algebra numeros reales fracciones

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8/17/2019 Algebra Numeros reales fracciones

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MATEMATICA I. ING. JUAN CARLOS LICONA PANIAGUA

IEST SAN JOSE ORIOL Página 1

CAPITULO 1. ALGEBRA ______________________________________________________________________

OBJETIVO DEL CAPÍTULO

Identificar y aplicar las propiedades y técnicas fundamentales de álgebra, ya que estádirigido a los estudiantes que, por una u otra razones, lo necesiten para refrescar sushabilidades algebraicas básicas. ______________________________________________________________________

TEMARIO

1.1. LOS NÚMEROS REALES1.2. FRACCIONES1.3. EXPONENTES1.4. EXPONENTES FRACCIONARIOS

1.5. OPERACIONES ALGEBRAICAS1.6. FACTORIZACIÓN

______________________________________________________________________

1. LOS NUMEROS REALES

Los números 1, 2, 3… son usados para contar. Normalmente se los conoce como elconjunto de los números naturales, dicho conjunto se lo denota normalmente con laletraℕ, así:

ℕ = {1, 2, 3,…}

Si sumamos o multiplicamos dos números naturales cualesquiera, el resultado

siempre es un número natural. Por ejemplo, 8 + 5 = 13 y 8 5 = 40; la suma 13 y elproducto 40 son números naturales. En cambio, si restamos o dividimos dos números

naturales, el resultado no siempre es un número natural. Por ejemplo, 8 5 = 3 y 8 ÷ 2

= 4 son números naturales; pero 5 8 y 2 ÷ 7, no son números naturales. de númerosnaturales, siempre podemos sumar y multiplicar, pero no siempre podemos restar odividir.

Con la finalidad de superar la limitación de la sustracción, extendemos el sistema de

los números naturales al sistema de los números enteros. Los enteros incluyen losnúmeros naturales, los negativos de cada número natural y el número cero (0). De estemodo, podemos representar el sistema de los enteros mediante

= {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3,…}

Es claro que los números naturales también son enteros. Si sumamos, multiplicamos orestamos dos enteros cualesquiera, el resultado también es un entero. Por ejemplo,

3 8 5

, ( 3)(5) 15

y 3 8 5

son enteros. Pero aún no podemos dividir un

entero entre otro y obtener un entero como resultado. Por ejemplo, vemos que:

8 ( 2) 4 es un entero, pero 8 3 no lo es. Por tanto, dentro del sistema de losenteros, podemos sumar, multiplicar y restar pero no siempre podemos dividir.





Para superar la limitación de la división, extendemos el sistema de los enteros alsistema de los números racionales ℚ. Este sistema consiste de todas las fraccionesa/b, donde a y b son enteros con b ≠ 0.

Sin embargo no contempla todos los números que podemos conseguir. Por ejemplo 2π

que es el perímetro de una circunferencia de radio 1, no es un número racional.Tampoco 2 1.4142 es un número racional, este número representa la solución de

la ecuación x 2 = 2 y es un número que está en la naturaleza pues él es la longitud de lahipotenusa de un triángulo rectángulo con los dos catetos iguales a 1. Estos númerosque no son racionales, pues no pueden ser expresados de la forma a/b, se llamannúmeros irracionales. Una diferencia entre los números racionales y los irracionalesestá dada en su representación decimal. Los números racionales pueden ser

representados por decimales con una expansión finita

14 0.25 o por decimales que

se repiten indefinidamente 16

ˆ0.16 0.16666...,

111

0.090909.... 0.090 . En cambio

los números irracionales son representados por números decimales que no terminan yque no tienen ninguna periodicidad es decir que no tienen ninguna secuencia que serepita.

Los números reales son la unión de los números racionales e irracionales. El número

2 es un irracional y por tanto real. Este conjunto es denotado por la letra ℝ.

FIGURA 1. Esquema General de la clasificación de los númerosℝ

FIGURA 2. Cuadro sinóptico de los números reales





Ejemplo 1.- Diga cuales de los siguientes números son naturales, enteros, irracionales,

racionales y reales: a) 3; b)3

4; c) 0.2; d) π + 1; e) 101.

Solución:

a)

3 es un número entero, también es racional pues puede ser escrito como

3

1

y esreal.

b)3

4es un número racional pues puede ser escrito como

3

4

. También es real.

c) 0.2 es un número racional pues puede ser escrito como2

10. También es real.

d) π + 1 es irracional. Observe que como π es irracional su expansión decimal esinfinita no periódica al sumarles 1 da como resultado un número cuya expansióntambién es infinita no periódica. Es un número real

e) 101 es natural, entero, racional y es real.

Ejercicio de desarrollo.- Diga cuales de los siguientes números son naturales,enteros, irracionales, racionales y reales

a) 3π; b) 2 2 ; c) 3.1

PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES

A continuación enunciamos las propiedades más importantes de los números reales.

Asuma en lo que queda de sección que a, b, c y d son números reales, tenemos

entonces:

A) Propiedad Conmutativa

a + b = b + a (Suma) Ejemplo: 3 + 2 = 2 + 3

a b = b a (Multiplicación) Ejemplo: 3 2 = 2 3

B) Propiedad Asociativa

(a + b) + c = a + (b + c) (Suma)

a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c (Multiplicación)

C) Propiedad del elemento neutro

a + 0 = a (suma) a ⋅1 = a (Multiplicación)

D) Propiedad del inverso

a + (−a) = 0 (suma) aa

11 (Multiplicación)

El inverso de la multiplicación también es denotado por a 1 . Esto es aa

1 1

.





Ejemplo 4.Resolver:

1 113

1 1

7 7 17

3 3

7(3 ) 7(3) 21

Este resultado se extiende a cualesquiera pares de números reales a y b (b ≠ 0)

aab

b1/

Ejemplo 5.Resolver:

x y x y

x y

x y

x y

x y

3( 2 ) 3[ ( 2 )]

3 3( 2 )3 [3(2 )]

3 [(3 2) ]

3 6

(definición de sustracción)

(propiedad distributiva)

(propiedad asociativa)

Ejercicios propuestos:

a) x y 2( 3 )

b) x y x 2 (4 3 )

c)1 42 3

5 12





1.2 FRACCIONES

En la sección 1.1 vimos que la fracción a/b está definido como el producto de a y elinverso de b:

a

b = ab−1

(b ≠ 0)

En particular

bb

11

.

Con base en la definición anterior es posible deducir todas las propiedades que se usanal manejar fracciones. En esta sección nos detendremos un poco a examinar este tipode operaciones.

1.2.1 Multiplicación de Fracciones

El producto de dos fracciones se obtiene multiplicando en primer término los dosnumeradores y luego los dos denominadores.

a c ac

b d bd

Ejemplo 1.

a)2 5 2 5 103 9 3 9 27

b) x x x

y y y

2 4 (2 )4 8

3 3 3

c) x x x

x y y y y

4 3 4 (3 )4 123

5 1 5 1 5 5

1.2.2 División de Fracciones:

Con el propósito de dividir una fracción entre otra, la segunda fracción se invierte ydespués se multiplica por la primera. En otras palabras;

a c a d ad

b d b c bc

Ejemplo 2.

a)

3 7 3 9 3 9 27

5 9 5 7 5 7 35





b) x x y x y xy

y

3 4 3 (3 ) 3

2 2 4 2 8 8

c) y x y x xy

y x

6 5 5 (5 )(5 ) 255

5 1 6 1 6 6

d) y y x x x y xy 3 3 2 3 1 3(2 )

2 2 1 2 2 4

e) a a b b

b b a a

1

1 1

(Es decir, el recíproco de cualquier fracción se obtiene intercambiando el numerador yel denominador de la fracción).

Practiquemos:

a) 2 33 2

b) x y 7

2 5

1.2.3 Cancelación de factores comunes

El numerador y el denominador de cualquier fracción pueden multiplicarse o dividirsepor un número real cualquiera distinto de cero, sin alterar el valor de la fracción.

ac ac

bc b( 0)

Ejemplo 3.

a)9 3 3 3 3

15 5 3

5 3

3

5

b)70 2 5 7 2

84 2 6 7

5 7

2 6 7

5

6

c) x x x

x x

210 2 5 2

20 2 2 5

5 x x

2 2 5 x

x

2

d) x y x x y

x y y xy

2

2

26 2 3

2 2 28

x 3 x y

2 x 2 2 y

x

y y

3

4

1.2.4 Adición y Sustracción de fracciones

Cuando dos fracciones tienen un común denominador, pueden sumarse o restarsesimplemente sumando sus numeradores.

a b a b

c c c





Ejemplo 4.

a)5 11 5 11 16 4

12 12 12 12

4

4

4

33

b) x x x x x

3 5 3 5 2 1

2 2 2 2

Cuando dos fracciones con denominadores distintos deben sumarse o restarse, lasfracciones deben en primer lugar reescribirse con el mismo denominador. Para ellocalculamos el mcm (mínimo común múltiplo) del denominador respectivo. Ysiguiendo un procedimiento respectivo.

Ejemplo 5.Simplifique:

a) 5 36 4 b) x y 36 4 c) x 1 19 6

Solución:a) El mcm de 6 y 4 es:

6 4 2

3 2 22 2 3 12

3 1 3

1

5 3 5 2 3 3 10 9 10 9 1

6 4 6 2 4 3 12 12 12 12

b) El mcm de 6 y 4 es: 12

x y x y x y x y 3 2 3 3 2 9 2 9

6 4 6 2 4 3 12 12 12

c) El mcm de 9 y 6 es:

9 6 2

9 3 32 3 3 18

3 1 3

1

x x x

x x x x x x

1 1 1 2 1 3 2 3 2 3

9 6 9 2 6 3 18 18 18

Ejercicios Resueltos:

1. Simplifique x

3 13

Solución: Se usa primero la propiedad distributiva

x x 3 1 3 3 1

3 3

Se reescribe el 3 como una fracción para efectuar el

producto





= x 3

31 3

Se usa la multiplicación de fracciones

=3 x

1 3

3 Se simplifica usando la cancelación de factores comunes.

= x + 3

2. Calcule las siguientes expresiones numéricas:

a)1

3 42

; b) 35

1

5

3

Solución:

a) Podemos distribuir primero

1 13 4 4 3 4

2 2

Se realiza la multiplicación de fracciones

=1 4 4

3 4 12 2 12 102 1 2

b) Usamos primero la propiedad asociativa de la suma

3 13

5 5

=3 1

35 5

Las fracciones entre paréntesis tienen igual denominador

=2 2 3

35 5 1

aplicando el mcm en los denominadores.

=2 3 5 2 15 2 15 17

5 1 5 5 5 5 5

3. Simplifique la expresión: x

( 4)2

Solución:

x 1( 4)

2

x

1

4

12

Se usa la ley de cancelación con (1) y se reescribe el 4

x 1

2 4

aplicando división de una fracción.

= x x x 1

2 ( 4) 8 8

4. Realice y simplifique:

a)

42

5 13

; b)1 2

2 52 3

; c)3

3 5 25

Solución:





a)

4 2 4 2 5 4 10 4 62 6 3 6 1 6 15 1 5 1 5 5 5 5 51 1 1 1 1 1 1 1

3 3 3 3 3 5 1 5 3 5 3

2 3

5 3

2 2 5 2 5 31 1

5 5 5 5 5

b)1 2 1 3 2 2 3 4 3 4 1

2 5 2 5 2 5 2 5 2 52 3 2 3 3 2 6 6 6 6

12 5

6

Realizamos la multiplicación de fracciones.

5 1 5 1 52 2 2

1 6 1 6 6

Resolvemos la diferencia

2 5 2 6 5 12 5 12 5 7

1 6 1 6 6 6 6 6 6

c)3 3 5 3 5

3 5 2 3 5 5 2 3 10 35 5 1 5

3

1 5

10 3 3 10 10

Ejercicio de desarrollo.

Realice y simplifique las siguientes expresiones numéricas:

a)

2 12

4 3

11 2

, b)2 1

3 5 1

3 5



MATEMATICAS I. PRACTICA CALIFICADA 1

LOS NUMEROS REALES, FRACCIONES.

Docente: Msc. Ing. Juan Carlos Licona Paniagua

LOS NUMEROS REALES

Clasifique si los siguientes números son

racionales, irracionales.

1. 3,232323…

Rpta. ____________

2. 5,5432098772…

Rpta. ____________

3. 4,3333332123…

Rpta. ____________

4. 5,43

Rpta. ____________

5. 98,9887777…

Rpta. ____________

6. 9

Rpta. ____________

7. 2

Rpta. ____________

8. 16

Rpta. ____________

9. 15

Rpta. ____________

10. 25

Rpta. ____________

11. 7

Rpta. ____________

12. 5

Rpta. ____________

Simplifique las siguientes expresiones:

13. 2(4 2)

Rpta. _____________

14. 6 – 2 (3 2)

Rpta. _____________

15. x y 4(2 )

Rpta._________________

16. z x 3(4 2 )

Rpta._________________

17. x 2( 3)

Rpta._________________

18. x 4( 6)

Rpta._________________

19. x y ( 6)

Rpta._________________

20. y x y 3 4( 2 )

Rpta._________________



21. x z x 4 2(3 2 )

Rpta. ________________

22. y x x y 3( 2 ) 2(2 2 )

Rpta. ________________

23. x y z ( )( )( )

Rpta. ________________

24. x y z ( )( )(2 3 )

Rpta. ________________

25. x y ( 2 )( 3)( 4)

Rpta. ________________

26. x y y x 2( 3 )( 2 1) ( )(4 5 )

Rpta. ________________

27. x x 2 5 2( 2)

Rpta. ________________

28. x y x 2( )

Rpta. ________________

29. x 4[2( 1) 3]

Rpta. ________________

30. x [ 3( 4 5) 3]

Rpta._________________

31. x x 4[ (2 5) 2(1 2 )]

Rpta._________________

32. x x 1(2 1)

Rpta._________________

33. x x 1( 3 ) (6 2 )

Rpta._________________

34. xy x y 1

( ) ( )

Rpta._________________

35. xy x y 1( ) (2 3 )

Rpta._________________



FRACCIONES

Evalúe cada una de las siguientes

expresiones. Escriba las respuestas en los

términos más simples.

36. 2 69 5

Rpta. ___________

37.3 8 4

4 5 9

Rpta. ___________

38. x

x

3 2525 9

Rpta. ___________

39. y

x x

2 67

21

Rpta. ___________

40.18 8

11 33

Rpta. ___________

41. x x 7 21

10 5

Rpta. ___________

42. x xy

y

23 64

20 25

Rpta. ___________

43. x xy

y

23 64

20 25

Rpta. ___________

44.1 1

6 2

Rpta. ___________

45.1 1

10 15

Rpta. ___________

46. x x 4

5 10

Rpta. ___________

47. x x

2 3

Rpta. ___________

48. x x

2

7 3

6 4

Rpta. ___________

49. x

x

1 2

6 2

Rpta. ___________

50. x

x x

2 6

2

Rpta. ___________



51.1 2 1 1

4 5 2 5

Rpta. ___________

52.2 1 7 1

3 12 10 4

Rpta. ___________

53.

1 1

2 31 14 5

Rpta. ___________

54.1 13 4

1 15 6

Rpta. ___________

55.34

18

2

3

Rpta. ___________

Resuelva los siguientes ejercicios

aplicativos de fracciones.

56. Un camión puede cargar 8000 kg y lleva

3/5 de la carga. ¿Cuántos kilos lleva?

Rpta. _________

57. Un depósito de agua tiene 600 litros de

capacidad y está lleno. Gastamos 1/4 y

luego 1/3 de lo que queda. ¿Cuántos litros

quedan en el depósito?

Rpta. ______________

58. Plantamos en un parque 600 árboles: 1/3

son palmeras, 1/2 pinos y el resto olivos. Si

cada palmera cuesta S/. 30, cada pino

cuesta S/.3 y cada olivo S/. 7, ¿Cuánto

dinero cuestan todos los árboles?

Rpta. _______________

59. El depósito de gasolina de un coche

contiene 60 litros y gasta 2/3 en hacer un

trayecto. Si el litro de gasolina cuesta a S/.

0.85 ¿cuánto ha gastado en el trayecto?

Rpta. ________________

60. Una familia gana S/. 18,000.00 al año. Gasta

en comida 3/10, en ropa 1/8, en transporte

1/12 y en otras cosas S/. 3,000.00. ¿Cuánto

ahorra al año?

Rpta. _________________

“Si un hombre es perseverante aunque sea difícil de

entender se hará inteligente y si es débil se hará

fuerte”. (Leonardo Da Vinci)

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