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Curso Propedéutico 2016

FUNDAMENTOS : MATEMÁTICAS

FÍSICA QUÍMICA

Elaboró: Ing. Claudia De La O R. Ing. Alberto Hinojos E.

INTRODUCCIÓN

1


Las Matemáticas es una de las asignaturas con más estudiantes reprobados, y esto no es un problema de esta región ni del país, sino mundial; la situación radica en que esta disciplina no se aprende para solucionar situaciones de la vida cotidiana ni para resolver obstáculos de la carrera de estudio.

Los estudiantes que egresan de la educación media superior tienen conocimientos muy elementales sobre la aritmética y el algebra, por lo que al iniciar sus estudios de nivel superior, requieren fortalecer su aprendizaje en el manejo y aplicación de un lenguaje matemático, ejercitar la solución de problemas, comprender la importancia del razonamientos matemático, modificar su conducta en los hábitos de estudio, ya que la mayoría de los educandos tratan los textos matemáticos como un libro más de problemas sin leer las explicaciones y por tanto despreciando los objetivos de su existencia.

La aplicación del enfoque por competencias en las escuelas constituye un importante esfuerzo por lograr que la educación brinde a los estudiantes la posibilidad de desarrollar, a un mismo tiempo, las destrezas , los valores y las actitudes que les permitan integrarse como ciudadanos a un mundo globalizado.

Este curso de aritmética y algebra básicos, se han escrito para dar un enfoque moderno a los temas que sustancialmente incrementan las bases para cubrir los espacios existentes entre el algebra elemental y el cálculo diferencial e integral que son cursos fundamentales en la educación superior.

Las técnicas empleadas en la solución de problemas tienen por objeto desarrollar el razonamiento reflexivo y la destreza del educando, fortaleciendo su conocimiento con las respuestas de los ejercicios propuestos al final de manual.

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ÍNDICE

1.1 NUMEROS REALES 4

1.2 FRACCIONES COMUNES 4

1.3 ORDENAMIENTO DE PAREJAS Y SERIES DE NUMEROS RACIONALES 5

1.4 REGLA DE LOS SIGNOS 5

2.1 OPERACIONES CON FRACCIONES 7

2.2 CALCULO DE POTENCIAS ENTERAS DE NUMEROS RACIONALES 8

2.3 POTENCIAS ENTERAS DE NUMEROS RACIONALES 8

2.4 LA POTENCIA DE UNA FRACCION 8

2.5 MULTIPLICACION DE POTENCIAS 9

2.6 DIVISION DE POTENCIAS 9

3.1 TRIGONOMETRÍA 11

3.2 ALGEBRA 11

3.3 OPERACIONES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS 12

4.1 PRODUCTOS NOTABLES 15

4.2 FACTORIZACION 15

5.1 INTERVALOS 17

5.2 DESIGUALDADES 19

1.1 NUMEROS REALES

3


Existen diversas maneras de iniciar el estudio del sistema de los números reales, pero una de las mas utilizadas considera los sistemas numéricos más sencillos, el primero de ellos es el del conjunto de los números naturales.

Para poder representar los números nos podemos auxiliar de: La recta numérica esta es como una regla cualquiera que se extiende indefinidamente hacia la derecha (POSITIVO) y hacia la izquierda (NEGATIVO) de su punto llamado origen.

Los números reales se grafican en la recta numérica de la siguiente manera:

- ½ ¾

( -- ) ( + )

-3 -2 -1 0 1 2 3

1.2 FRACCIONES COMUNES

Una fracción común es una cantidad dividida por otra. Es importante recordar que cualquier número que se pueda escribir así: b/a se llama número racional.

Una fracción la podemos representar de la siguiente manera: b/a

b Numerador: número de partes que se consideran.a Denominador: partes iguales en que hemos dividido el grupo, unidad o conjunto.

Fracción propia: Son aquellas fracciones donde el numerador (1) es menor que el denominador (2), y por lo tanto, el resultado es un valor comprendido entre cero y uno.

Fracción impropia: Una fracción es impropia cuando su denominador (1) es menor al numerador (3), por lo que el resultado es un valor mayor que 1

Fracción unitaria: Decimos que una fracción es unitaria, cuando su resultado nos da como valor la unidad (1). Para que esto suceda, el numerador (4) y denominador (4) deben poseer el mismo valor.

Al comparar cada par de números reales, fraccionarios etc. se establece una relación de orden, que se indica con > y < :

> Mayor que < Menor que

1.3 ORDENAMIENTO DE PAREJAS Y SERIES DE NUMEROS RACIONALES4


Al considerar a los números racionales los cuales identificamos por fracciones en forma de quebrado:

bx = 0 x=a/b

Cuando nos referimos al conjunto de todos los posibles pares ordenados de enteros a/b,(b≠0), hay muchos pares ordenados que aparentemente son diferentes pero que realmente son iguales.

a) 1/2, 2/4, 3/6, 4/8, 5/10, 6/12, 7/14, 8/16,….etc.

b) 2/3, 4/6, 6/9, 8/12, 10/15, 12/18…..etc.

c) 2/1, 4/2, 6/3, 8/4, 10/5, 12/6,14/7,…etc.

1.4 REGLA DE LOS SIGNOS

Para recordar las reglas de los signos completa las siguientes tablas con la operación aritmética

Resuelve y comenta tus resultados con los compañeros.

(-1) (2)=(-3)+-(5)=(-7)-(7)=(9+3)=(4-5)=(3•-4) =(-4)÷(-2)=

Signos de agrupación

En matemáticas es muy frecuente que en un mismo problema implique varias operaciones, por lo que se utilizan signos de agrupación para indicar con claridad el orden en que han de efectuarse. Los signos de agrupación que se emplean son (),{},[], por lo cual se considera el siguiente orden:

Calcular primero las expresiones que están dentro de los signos de agrupación, es decir de los signos internos hacia los externos.

Después se calculan todos los términos que contengan exponentes y raíces.

Se efectúan todas las multiplicaciones y divisiones en el orden que aparezcan de izquierda a derecha.

Se resuelven todas las sumas y restas en el orden que aparezcan de izquierda a derecha.

Ejemplo:

5


20 + {8 - [ 2 (5 – 9) + (7 -2)2] }= 20 + { 8 - [2 (-4) + (25)]}= 20 + { 8 - [-8+25]}=20 + {8 - [-17]}= 20 + {-9}= 11Desarrolle su competencia.

En grupos de 3 o cuatro personas desarrollen los siguientes ejercicios y comenten sus resultados con otro equipo.

1.-Escriba el signo > ,< ó = según corresponda:

8 ________ -8 0 ________ 3 ¾ __________ ¼

-4 ________ -1 1 ________ -1 ½ __________ ¾

18 _______ 4 -12 ________ -15 ⅞ __________ -⅜

7 ________ 0 6 ________ 2 0.l5 __________ ¼

-5 ________ -9 5 ________ -2 ½ __________ 0.25

2.-Represente en la recta numérica lo siguiente:

2 ,-3 ,0 ,3 ,-1 ,¾ ,½ ,-¼ ,⅞ ,-⅜ ,0.50 ,0.75 ,1.125 ,2.25

-3 -2 -1 0 1 2 3

3.-Ordene de menor a mayor, los siguientes números racionales:

5.- Efectúa las siguientes operaciones

a) 9 + (-12)+(2)=

b) (-14)+(-6)-(-3)=

c) (-8)(-3)(-3)=

d)(-1+2)+(-3-5)-(1-2)=

e) {2(-3+5-7)+(4*3)-2(3+9+3-8)}=

f) 3{(3-8+2*5)-(2-6+9)}=

g) {(2(2-8)+6(-7-2)+(89-6))}=

h) (-3-5+6-8)÷(10+4 – 22)=

i) 3{((-3+5-7)+(9*3*2))-(2(7-9+4))}=

6


6.-En equipo elaboren un mapa conceptual sobre el conjunto de los números reales, en el salón de clase y explíquenlo brevemente ante sus compañeros

2.1 OPERACIONES CON FRACCIONES

SUMA 1 + 3 = 4 = 1 (IGUAL DENOMINADOR) 8 8 8 2

2 + 4 = (5)(2) + (9)(4) = 10 + 36 = 46 = 1 1/45 (DISTINTO DENOMINADOR) 9 5 45 45 45

RESTA 1 - 3 = -2 = - 1 (IGUAL DENOMINADOR) 8 8 8 4

2 - 4 = (5)(2) - (9)(4) = 10 - 36 = -26 (DISTINTO DENOMINADOR) 9 5 45 45 45 MULTIPLICACIÓN 2 . - 4 = (2)(-4) = -8 9 5 (9)(5) 45

DIVISIÓN 3 . 2 = 21 = 2 5/8 4 ∙ 7 8

Aplicando el método de multiplicar extremo por extremo y medio por medio: 3 4 (3)(7) = 21 2 (4)(2) 8 72.2 CALCULO DE POTENCIAS ENTERAS DE NUMEROS RACIONALES

PROPIEDADES O LEYES DE LOS EXPONENTES

7


2.3 POTENCIAS ENTERAS DE NUMEROS RACIONALES

Se denomina potencia enésima de un numero entero “X” siendo “n” un numero natural, al producto de “n” factores , es decir

Ejemplos con base positiva.a) (5)2 = (5)(5) = 25b) (2)3 = (2)(2)(2) = 8

Ejemplo con base negativaa) (-5)2 = (-5)(-5) = 25b) (-2)3 = (-2)(-2)(-2) = -8

2.4 LA POTENCIA DE UNA FRACCION

La operación es igual al producto obtenido de multiplicar la misma, fracción tantas veces como indique su exponente. EJEMPLOS:

a)

b)

2.5 MULTIPLICACION DE POTENCIASPara realizar el producto de dos o más expresiones en forma de potencia, solo es necesario aplicar las leyes o propiedades de los exponentes.Ejemplos:

a) (62)(63)= 62+3= 65

b) (a)(a3)(a5)=a1+3+5=a9

c)

d)

2.6 DIVISION DE POTENCIASPara realizar la división de dos expresiones en forma de potencia, solo es necesario aplicar las leyes o propiedades de los exponentes. EJEMPLOS:

a) c) e)

b) d)

8


Desarrolle su competenciaEn grupos de 3 o 4 personas desarrollen los siguientes ejercicios y comenten sus resultados con otro equipo.

1.-Transformar las siguientes fracciones impropias en números mixtos.a) 3/2 b) 9/7 c) 7/4

2.-Simplificar a su mínima expresión las siguientes fracciones equivalentes:a) 91 b) 180 c) 875

63 225 1375 3.-Realizar las siguientes operaciones con fracciones

4.-Resuelva las siguientes operaciones de potenciación para números racionalesa) (3)2

b) (5)3

c) (-2)2

d) (-1)4

5.-Resuelve las siguientes operaciones de potenciación de fraccionesa) (3/7)2

b) (3/4)4

c) (2.287)5

d) (-5/8)2

6.- Efectuar las siguientes multiplicaciones de potenciasa) (52)(53)b) (1/2)(1/2)3

c) [(0.25)2]4

d) (1/3)3

7.-Efectuar las siguientes divisiones de potencias

a)

b)

c) e) 6 2

9


66

3.2 ALGEBRAEs la rama de las matemáticas que generaliza los métodos y procedimientos para efectuar cálculos y resolver problemas.

ELEMENTOS DE UNA EXPRESION ALGEBRAICA

La Expresión algebraica es una representación que se aplica a un conjunto de literales y números, que conforman una o más operaciones algebraicas. 7x, 3x3, ab2

Los Elementos que constituyen un término son: signo, coeficiente, parte literal y el grado.

Coeficiente.- Es generalmente el primero de los factores que conforman un término; y puede ser numérico y literal.

Parte literal.- son los factores literales que contiene el termino

Grado de un término.- puede ser de dos formas, absoluto y relativo a una literal.

a) Grado absoluto.- es el número que se obtiene al sumar los exponentes de la parte literal. Ejemplos:2x------- Primer grado5ab-----segundo gradox3y------cuarto gradox3y2z--- sexto grado

b) Grado relativo.- Es el mayor exponente que tenga la literal considerada Xy2--------------à primer grado x, segundo grado y.M2n3x-----àsegundo grado m. tercer grado n, primer grado x

Según el número de términos que posee una expresión algebraica se denomina MONOMIO, BINOMIO, TRINOMIO Y MULTINOMIO.

Los polinomios están formados por términos cuyos coeficientes literales contienen exclusivamente exponentes enteros positivos.

ELIMINACIÓN DE PARENTESIS

Cuando el signo (+) antecede el paréntesis no interviene en la operación. + (a – 2b) = a – 2b

Cuando el signo (–) antecede el paréntesis si interviene en la operación.

Presencia de paréntesis dentro del paréntesis. Estas expresiones se resuelven de adentro hacia fuera.

Ejemplo: – {8x – [x – 4(3 – x) + 1]} = – {8x – [x – 12+ 4x + 1]} = – {8x – [ – 11+ 5x]} = – {8x + 11– 5x} = – 8x - 11 + 5x = -3x - 11

Reducción de términos semejantes Consiste en sumar y/o restar los coeficientes numéricos conservando el factor literal común.

10


Ejemplo:Reducir = [2(a – b) – (a + b + 3)] – (2a - 5b + 4) Eliminando paréntesis: = 2a – 2b – a – b – 3 – 2a + 5b – 4 Ordenando = (2a – a – 2a) + (–2b – b + 5b) + (–3 – 4) Reduciendo = –a + 2b – 7 3.3 OPERACIONES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS

1.-Suma y resta

A) SUMA

La suma de monomios y polinomios es asunto de combinar términos semejantes.Por ejemplo, suponga que se desea sumar 3x2 + 7x – 3 y 5x2 – 2x + 9, podemos (3x2 + 5x2) + (7x – 2x) + (-3 + 9) = 8x2 + 5x + 6B) RESTA Si queremos restar por ejemplo (3x2 – 2x +1) – (4x2 + 5x +2) debemos eliminar los paréntesis de una expresión precedida por un signo menos (de resta) debemos de cambiar el signo de cada término dentro de los paréntesis. Esto es lo mismo que multiplicar cada término dentro de los paréntesis por (-1), quedando

3x2 – 2x + 1 – 4x2 – 5x - 2 = -x2 – 7x – 1

2.- Multiplicación

Monomios Monomio por un binomio

Binomios Polinomios

(-3x2) (2x3) = (-3 . 2) (x2 . x3) = -6x5

5 (x – 2y)= 5x – 10xy

(x +2) (x + 3) = =x2 + 5x + 6

3x)(x+5)(x+6)= 3x(x2 + 6x + 5x + 30)=

=3x(x2 + 11x +30)=3x3 + 33x2 + 90x

3.-DIVISIÓN

Polinomio entre un monomio Polinomios.

Desarrolle su competenciaEn grupos de 3 o cuatro personas desarrollen los siguientes ejercicios y comenten sus resultados con otro equipo.1.-Resolver las siguientes operaciones indicadas:

1. 12ac – 8ac + 3ac =2. -3xy + 7xy – 2xy =3. 11a – 7b + 4c – 3b + 6c – 5a + 4b – 8c – a + 2c =4. 6x + 8y – 5z + 6y + 3z – 2x – 4y + x + 7z – y

11


5.

2.-Eliminar los símbolos de agrupación y simplificar las expresiones por reducción de términos semejantes.

1.2.3.4.5.

3.-Resolver las siguientes multiplicaciones6.7.8.9.10.

4.-Resolver las siguientes divisiones

11.

12.

13.

14.

15.

5.-Resolver las siguientes operaciones con binomios 1.- (x2 – x) – (2x2 + 5x ) – (x2 + 6)= 2.- (x3y3 + 2) (x3y3 - 2)= 3.- 2x(4x2 –6x +2) +3 (5x2 –3x-4) - 14 x2= 4.- (2x3 – x2 +6) + (x2 + 5x +6x)= 5.- (x2 + 3x-1): ( x + 3 )

4.1 PRODUCTOS NOTABLES

Son ciertos productos que se efectúan directamente, basándose en reglas notables que al memorizarse su aplicación, nos permite llegar al resultado sin necesidad de realizar la multiplicación.

Binomios conjugados Cuadrado de un binomio (x+a)2

Cubo de un Binomio (a+b)3

Binomio a la “n” potenciaTriangulo de Pascal

(x+3) (x –3) = x2 – 9

(x+6) (x-6) = x2 – 36

(x+5)2 =

(x)2 + 2(x) (5) + (5)2 =

x2 + 10x + 25

(a + 1)3 = a3 + 3a2 + 3a + 1

(x – 2)3 = x3 – 6 x2 + 12x – 8

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 1(a+b)2=a2+ab+b2

12


(a+b)3=a3+3a2 b+3ab2+b3

(a+b)4=a4+4 a3 b+6 a 2b2+4ab3+b4

4.2 Factorización

Factorización de factores comunes

Factor común por agrupación de términos

Factorización de un trinomios de la forma x2 + bx + c

Factorización de trinomios de la forma ax2 + bx + c

Factorización de trinomios cuadrados perfectosx2 + 2 Ax + A2

x2 - 2 Ax + A2

Factorización de la diferencia de dos cuadrados x2 – A2 = (x + A) (x – A)

Factorización de sumas o diferencias de cubos x3 + A3 = (x + A ) ( x2 – Ax + A2)x3 – A3 = ( x – A) (x2 + Ax + A2)

6x3 + 18x2 = 6x2 (x +3)

8x + 24 =

8 (x + 3)

3x3 + 6x2 + 2x + 4 = (3x3 + 6x2) + ( 2x + 4 ) = 3x2 (x + 2) + 2 (x + 2) = (x + 2) ( 3x2 + 2)

x2 + (A +B) x + AB = (x + A) (x + B)

x2 + 8x + 15 = (x + 3) (x + 5)

5x2 + 7x + 2

1. Encontrar el número clave (5.2) = 10

2. Hallar los factores del número clave 5 + 2 = 7, (5) (2) = 10

3. Rescriba el término intermedio con los factores 5x2 + 5x + 2x + 2

4. Agrupar los términos en pares (5x2 + 5x) + (2x + 2)

5. Factorice cada par 5x ( x + 1) + 2 (x + 1)

6. Factorice el término común (x + 1) ( 5x + 2)

9x2 + 12x + 4 =

(3x + 2)2

x2 – 16 =

(x)2 – (4)2 =

(x + 4) ( x –4 )

x3 + 27 = (x + 3= ) (x2 – 3x + 9)

13


Desarrolle su competencia. En grupos de 3 o cuatro personas desarrollen los siguientes ejercicios y comenten sus resultados con otro equipo.Identifique el tipo de producto notable o factorización y resuelva

Función Tipo de factorización Resultadoy2 + 3y – 10

(x + y) (x – y)

x2 – 5x + 4

27 m3 – 8n3

x3 + 8

(6x2 – m2 x) (6x2 + m2 x)

y2 + 6y + 8

7x2 – 10xy + 3y2

(9 + 4m)2

25x2 – 81y2

(2x + 3y) 2

8m3 – 27

9y3 – 18y2 + 27y2

25x2 – 10xy +y2

(2 + y2)3

9x2 – 6x + 1

(n – 4)3

(a3 – b2) (a3 + b2)

4y3 + 8 y2 + y + 2

25x2 + 20xy + 4y2

y3 + 8

2x2 + 5x + 3

1/9x2 – 1/16

5x2 – 25x4

6y2 – 10y – 4

(a2x + by2)2

6x6 + 12x5 – 18x4 + 30x2

16x4 – 1

x3 + 2x2 + x + 2

y3 – 3y2 + y – 3

14


(2x + 1)3

5.1 INTERVALOS

La notación de intervalos es una forma conveniente de representar algunos conjuntos importantes de números reales. Para los números reales a y b, siendo a < b, se define el intervalo abierto (a, b) como:

(a, b) = {x | a < x < b}Y se lee “el conjunto de números reales x tales que x es menor que b y mayor que a”

Cuando los extremos del intervalo se incluyen en el conjunto, el conjunto se llama intervalo cerrado y se representa como:

[a, b] = {x | a ≤ x ≤ b}Y se lee “el conjunto de números reales x tales que x es menor o igual que b y mayor o igual que a”.

Un intervalo que contiene un extremo pero no el otro se llama intervalo semiabierto (aunque también se le podría llamar semicerrado). Así los dos intervalos

(a, b] = {x | a < x ≤ b}Y se lee “el conjunto de números reales x tales que x es menor o igual que b y mayor que a”.

y

[a, b) = {x | a ≤ x < b} Y se lee “el conjunto de números reales x tales que x es menor que b y mayor o igual que a”.

Además de los intervalos con extremos finitos, se usa el símbolo infinito,∞, para indicar que un intervalo se extiende en forma infinita. Se dice que ese intervalo es no acotado.

[a, ∞) = {x | x ≥ a}se lee “el conjunto de números reales x tales que x es mayor o igual que a”.

Otros de los tipos de intervalos infinitos se muestran a continuación:

(a, ∞) = {x | x > a}

Y se lee “el conjunto de números reales x tales que x es mayor que a”.

(−∞, a] = {x | x ≤ a}Y se lee “el conjunto de números reales x tales que x es menor o igual que a”.

Los últimos dos tipos de intervalos infinitos se muestran a continuación.15


(−∞, a) = {x | x < a}

Y se lee “el conjunto de números reales x tales que x es menor que a”.

y finalmente

(−∞, ∞) = {x | −∞ < x < ∞}

Y se lee “el conjunto de números reales x tales que x es menor que ∞ pero mayor que −∞”.

5.2 DESIGUALDADES

La mayoría de nosotros está familiarizado con operaciones en las que se involucran símbolos de igualdad, tal es el caso de las ecuaciones que normalmente utilizamos en física por ejemplo.

O bien operaciones en las que se involucran los símbolos de proporcionalidad, tal es el caso de la fórmula de atracción entre dos cargas eléctricas propuesta por Coulomb.

La posición relativa de los puntos sobre una recta numérica se usa para definir una relación de desigualdad en el conjunto de los números reales. Se dice que a es menor que b, y se escribe a < b, cuando el número real a esta a la izquierda del número real b en la recta numérica. Esto equivale a decir que b es mayor que a, lo cual se escribe b > a.

La notación a ≤ b o b ≥ a se usa para expresar que a es menor o igual que b o que b es mayor o igual que a.A continuación se muestran algunas de las propiedades de las desigualdades.

Propiedades de las desigualdades1 Para a, b y c solamente se puede cumplir una opción de las siguientes: a < b, b < a, a = b

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1) Si a > b, entonces a + c > b + c2) Si a > b y c > 0, entonces ac > bc3) Si a > b y c < 0, entonces ac < bc

EJEMPLO 1 Determine todos los números reales que satisfacen 2x - 1 < 4x + 3.Solución Para determinar los números x que satisfacen la desigualdad, se despeja la x aplicando las propiedades de las desigualdades. Primero se suma -3 a ambos lados de la desigualdad.2x - 1 + (-3) < 4x + 3 + (-3) para obtener 2x - 4 < 4xAhora se suma -2x a cada lado para obtener-4 < 2xAl multiplicar ambos lados de la última desigualdad por ½ se obtiene la solución -2 < x o bien se puede escribir de la siguiente forma: x > -2, como se ve en la figura.

EJEMPLO 2 Determine todos los números reales x que satisfacen la siguiente desigualdad:

−1 < 2x + 3 ≤ 5

Emplee la notación de intervalos para expresar los valores de x

1)2)3)4)5)6)7)8)9)10)11)

17


12)13)14)

MATEMATICAS PARA FÍSICA y QUIMICA

NOTACIÓN CIENTÍFICALa notación científica (o notación índice estándar) es una manera rápida de representar un número utilizando potencias de base diez. Esta notación se utiliza para poder expresar muy fácilmente números muy grandes o muy pequeños.Los números se escriben como un producto:

Siendo:a = un número real mayor o igual que 1 y menor que 10, que recibe el nombre de coeficiente.n = un número entero, que recibe el nombre de exponente u orden de magnitud.

Escritura: 100 = 1 101 = 10

102 = 100

103 = 1 000

104 = 10 000

105 = 100 000

106 = 1 000 000

107 = 10 000 000

108 = 100 000 000

109 = 1 000 000 000

1010 = 10 000 000 000

1020 = 100 000 000 000 000 000 000

1030 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

18


10 elevado a una potencia entera negativa –n es igual a 1/10n o, equivalentemente 0, (n–1 ceros) 1: 10–1 = 1/10 = 0,1 10–2 = 1/100 = 0,01

10–3 = 1/1 000 = 0,001

10–9 = 1/1 000 000 000 = 0,000 000 001

Por tanto, un número como: 156 234 000 000 000 000 000 000 000 000 puede ser escrito como 1,56234×1029,y un número pequeño como 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 910 939 kg (masa de un electrón) puede ser escrito como 9,10939×10–31kg.

Suma o restaSiempre que las potencias de 10 sean las mismas, se deben sumar los coeficientes (o restar si se trata de una resta), dejando la potencia de 10 con el mismo grado. En caso de que no tengan el mismo exponente, debe convertirse el coeficiente, multiplicándolo o dividiéndolo por 10 tantas veces como se necesite para obtener el mismo exponente.Ejemplos:

2×105 + 3×105 = 5×105

3×105 - 0.2×105 = 2.8×105

2×104 + 3 ×105 - 6 ×103 = (tomamos el exponente 5 como referencia)= 0,2 × 105 + 3 × 105 - 0,06 ×105 = 3,14 ×105

MultiplicaciónPara multiplicar cantidades escritas en notación científica se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes.Ejemplo:

(4×1012)×(2×105) =8×1017

DivisiónPara dividir cantidades escritas en notación científica se dividen los coeficientes y se restan los exponentes.Ejemplo: (48×10-10)/(12×10-1) = 4×10-9

PotenciaciónSe eleva el coeficiente a la potencia y se multiplican los exponentes.Ejemplo: (3×106)2 = 9×1012.

Realice los siguientes ejercicios:

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http://es.wikipedia.org/wiki/Electr%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Potenciaci%C3%B3n


Consideraciones. Dependiendo de la operación de un término de un miembro pasara al otro como :

Ejemplos:

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Con ayuda de tu docente realiza los siguientes despejes de cada una de las variables.

3.1 TRIGONOMETRÍA

El teorema de PitágorasUn triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo recto, es decir de 90º. En un triángulo rectángulo, el lado más grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. a2 + b2= h2

b h

a

Sen Ѳ = b Cos Ѳ = a Tan Ѳ = b Csc Ѳ = h Sec Ѳ = h Cot Ѳ = a h h a b a b

de lo anterior se deduce:

Ejercicio:

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