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  • 7/23/2019 ALGEBRA LINEAL.rtf

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    INTRODUCCION

    En el presente trabajo se detalla un resumen general de la materia lgebra Lineal ,en el cual se tratara de enlazarlasrelacionesde todoslostemasvistosen ltranscurso del ciclo.

    Porejemplo, dimensin y espacio vectorial, combinacin lineal y matricesn x m,y otrostemasestn ampliamente relacionadosigual ue otrostemasueveremosen el transcurso de este trabajo.

    !ratarde enlazarlostemasde la presente asignatura "ue satis"actorio ya ue as# nosdamoscuenta de ue tanto necesitamosaprenderlostemasanteriorespara poderresolverlosnuevosproblemas, sin teneruna buena base de lostemasestudiadosen eltranscurso del trabajo no podr#amosrealizarlosproblemasde otrostemas no presentesen este trabajo ejemplo losvaloresy vectorespropiosen este se necesita ue sedomine casi todo este trabajo para poderentendery poderanalizareste tema ya ueestn grandemente relacionados.

    !ambin tratamosde sacarla esencia de cada tema y darlesuna vista relativamenterapida pero completa, ya ue este trabajo esta propuesto para ense$arbrevementepero ampliamente lostemasen este..

    ESTRUCTURASALGEBRAICAS

    %na estructura algebraica esun conjunto de operacionesbinarias, esta se representan&', operacin(, &)a, b, c*, operacin(, as# se representan lasestructurasalgebraicassencillas, lasdoblesse representan &conjunto, +o. operacin, o. operacin(.

    %na operacion binaria escuando dosconjuntosse operan entre si y el resultado deesta operacin da un tercerconjunto.

    !abla de -ayley esuna tabla ue contiene "ilasy columnas, para podertrabajarconestastablasse necesitan dosconjuntos"initosejemplo

    ')+,,/* y 0)1,2,3*

    - 4 'x 0 5- donde x esuna multiplicacin ordinaria.

    x 1 2 3

    + 1 2 3 6 +7 +

    / + +2 +6

    8onde c 4)1,2,3,6,+7,+,+2,+6*

    ESTRUCTURA ALGEBRAICA:

    Estosse pueden clasi"icarseg9n la cantidad de operacionesue tengan.

    :eg9n lasleyesue cumplan Lasestructurasalgebraicasde una operacin asi tienen

    un nombre en particularas#

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    :i cumple la ley de cierre se le denomina como estructura algebraica monoide.

    :i cumple la de cierre y la asociativa esun semigrupo.

    +

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    :i cumple la de cierre, la asociativa y la ley de identidad esun semi grupo conidentidad.

    :i cumple la de cierre, la asociativa, la de identidad e la inversa esun grupo.

    :i cumple sergrupo masla ley conmutativa esun grupo abeliano.

    ;ientrasue lasestructurasalgebraicasde dosoperaciones, pueden ser

    'nillos, divisorcero, dominio entero o cuerpo o campo.

    Para ue una estructura algebraica de dosoperacionessea anillo esta debe analizarseseparadamente y as# se clasi"ica

    < para ue sea anillo la primera operacin debe de sergrupo abeliano como lo vimosanteriormente.< Luego debemosde versi lasdosoperacionesson compatiblesy esto se =ace

    =aciendo ue la segunda operacin de distribuya en la primera operacin.< :i losdosprimerospasosse cumplen entoncesempezaremosa operarla segunda

    operacin tomando en cuenta ue:i la primera operacin esgrupo abeliano y la segunda operacin esgrupo entonceseste ser un anillo.

    :i la segunda operacin esun semigrupo este ser anillo conmutativo o abeliano.

    :i la segunda operacin esun semigrupo con identidad esun anillo con identidad.

    's# se clasi"ica un anillo.

    Para ue una estructura algebraica sea divisorcero este debe de cumplirue >y?uepertenecen un conjunto 0 entonces>y?tienen ue serdistintosal elemento neutrode la primera operacin y al seroperadoscon la segunda operacin este tiene ue darde resultado el elemento neutro de la primera operacin porejemplo

    Para la operacin &', @, x( donde >y?pertenecen al conjunto 'y ue @ esla sumaordinaria y x la multiplicacin ordinaria entoncesdeber#amostenerue >A?B7 yaue cero esel elemento neutro de la primera operacin y >y?deben de serdistintosde cero y al multiplicar>y?esta operacin debe de darel elemento neutro de laprimera operacin. Porlo tanto esta estructura algebraica no esun divisorcero.

    Para ue una estructura algebraica de dosoperacionessea 8ominio Entero se dice

    ue primero debe de seranillo abeliano con identidad y cumplirue >y?deben depertenecera un conjunto 0 y ue si al operarla segunda operacin debe de darelelemento neutro de la primera operacin y ue >o?tiene ue serigual al elementoneutro de la primera operacin ejemplo

    &', @, x( donde >y?pertenecen al conjunto 'entonces>x?4 7 si >o?4 7.

    Para ue una estructura algebraica de dosoperacionessean cuerpo o campo estetiene ue serprimero un dominio entero como lo vimosanteriormente y ue todoelemento de la segunda operacin tiene un inverso menosel elemento neutro de laprimera operacin.

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    Propiedadesde la operaciones

    Ley de cierre esta dice ue al operardoselementosel resultado debe perteneceralconjunto asignado en la operacin.

    ,

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    Elemento inverso o Cdentidad este dice ue un elemento operado con el neutro de laoperacin esta debe de darde resultado el elemento ejemplo el elemento neutro dela suma esel 7 entoncesa @ 7 4 a y 7 @ a 4 7.

    Elemento inverso este esauel ue al seroperado con cualuierelemento estedebe de darde resultado el elemento neutro de la operacin ejemplo el elementoinverso de la suma esla resta entoncesa @ DaF4 7 y [email protected] a 4 7.

    Ley asociativa este dice ue loselementosse pueden asociarsin alterarel resultadoejemplo Da @ [email protected] c 4 a @ Db @ cF4d.

    Ley conmutativa este dice ue el orden de loselementosno altera el productoejemplo

    a @ b 4 b @ a 4 c.

    ESPACIOSVECTORIALES

    Espacio euclidiano o Espacio vectorial:

    %n espacio euclidiano esel conjunto de nadasordenadas, tambien conocido porespacio ndimencional y de denota porGn este esuna sucesin de n n9merosrealesejemplo Da+,a,...,anFdonde losvectoresGn se clasi"ican as#

    G+ 4 espacio unidimensional, l#nea recta real.

    G 4 espacio bidimensional, paresordenados.

    G/ 4 espacio tridimensional, terna ordenadas.

    .......

    Gn 4 espacio ndimencional, nadasordenadas.

    OperacionesBasicasconVectoresenR2:

    Sumadevectoresmultiplicaci!nporunescalar:

    :iendo >y?dosvectoresy Hun escalarse dice ue

    >@?4 Dx+ , [email protected] Dy+ , yF4 Dy+ , [email protected] Dx+ , xFy la multiplicacin porunescalarse de"ine HDx+ , xF4DHx+ , HxF.

    Laspropiedadesue cumple la suma de vectoresson lasmisma ue cumpl#an lasestructurasalgebraica de una operacin ue son la de cierre, la conmutativa, laasociativa, elemento neutro e identidad y la distributiva.

    Lasleyesue cumple la multiplicacin porun escalarson

    La de cierre bajo la multiplicacin Hx,

    La distributiva [email protected] 4 Hx @ Cx I HDx @ yF4 Hx @ Hy,

    La asociativa DHCFx 4 HDCxF,

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    y el elemento neutro de la multiplicacin +x 4 x.

    OperacionesB"sicasconVectoresenRn:

    Lasoperacionesbsicascon vectoresen Gn son lasmismasue lasoperacionesbsicasue vimosanteriormente, o sea, la suma de vectoresy la multiplicacin porun escalarla di"erencia seria ue en estosserian nesimoselementosy nesimosvectoresejemplo

    Para suma de vectores

    >@?4 Dx+ , x, ... , [email protected] Dy+ , y, ... , ynF.

    Para multiplicacin de un vectorporun escalar

    HDx+ , x, ... , xnF4 DHx+ , Hx, ... , HxnF.

    Laspropiedadesue cumplen son lasmismasue vimosen operacionesbsicasconvectoresen G.

    El vectorcero 7 esel vectorneutro o identidad de la suma de vectoresen Gn

    7 4 D7, 7, 7, ..., 7nF, este vectortiene como propiedad de ue es9nico, esdecir, %@ 74 7,

    7%4 7, a7 4 7, a%4 7 si a 4 7 o %4 7, donde %esun vectory a un escalar.

    Espacios Vectoriales:

    %n espacio vectorial esauel conjunto de vectoresue cumple laspropiedadeso

    axiomasde la suma de vectoresy la multiplicacin porun escalardic=aspropiedadesvistasen espaciosndimensinalesGn o G. %n espacio vectorial esun espacio novac#o.

    Podr#amosdecirue un espacio vectorial esla abstraccin de laspropiedadesde unespacio ndimencional , debe tomarse en cuenta ue en el espacio vectorial no seespeci"ica operacionesni vectoresentoncesse puede usarcualuiervectory cualuieroperacin se puede sustituirla suma de vectoresy la multiplicacinporun escalar,pero siempre cumpliendo todoslaspropiedades, siempre seria un espacio vectorial.

    %n espacio vectorial cumple con cuatro partesue son un conjunto de vectores, unconjunto de escalares, y dosoperaciones. Estos"orman un cuerpo ue esigual a lasestructurasalgebraicasde dosoperaciones&conjunto, operacin ,operacin( DuncuerpoF. Para comprobarue determinado conjunto esun espacio vectorial esprecisode"iniro especi"icarlaspropiedadesde suma multiplicacin porun escalarcomovimosanteriormente tenemosue de"inirel elemento ue act9a como cero D7Fy elnegado de cada elemento.

    Cuerpo:

    Esel conjunto de n9merosy operacionescualuiera ue deben obedecerlasdiezpropiedadesalgebraicasue mencionamosen operacionesbsicasde espaciosvectoriales.

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    Su#cuerpo:

    :i se operan escalaresen "orma de sub cuerpo - y se operan bajo la suma y lamultiplicacin porun escalarestosescalaresno deben salirse del sub espaciodeterminado y lasoperacionesde prueba son lasmismasue se =an mencionado conanterioridad.

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    Su# espacio vectorial:

    Esto dice ue si J esun sub conjunto del espacio vectorial Kentonceseste esun subespacio de K. :i J esun espacio vectorial bajo lasoperacionesde suma ymultiplicacin porun escalarde"inidasen K.

    Para ue J sea un sub espacio de Kdebe cumplir