Problemas resueltos Luis Zegarra Agramont

ALGEBRA LINEAL

Problema 1.

Dado el sistema B +B B B ," # $ % B ,B #B B -" # $ % B -B #B #B +" # $ % B B B B + , -" # $ %

i) Determine los valores de y para que el sistema dado admita como+ , -solucin a:

, para un valor del parmetro fijo.\ > >

" "# !! "" #

ii) Determine condiciones entre y para que el sistema dado tenga solucin+ , -

exctamente con un parmetro, luego encuentre una solucin particular y lasolucin del sistema homogeneo asociado en este caso.

Solucin.

i) qu sea solucin del sistema\ > \ \

" " " ># ! #! " >" # " #>

dado es que lo satisfaga es decir,

" + " " " > ," , # " # -

" - # # > +" " " " " #> + , -

#+ , # #, - > ! + #- $> " + , - %> #

Resolviendo resulta: y + , - > #$ " "$ *

## "" ## ##

ii) Se debe anular una fila completa de la siguiente matriz, para obtenerexctamente un parmetro en la solucin,

" + " " ," , # " -

" - # # +" " " " + , -

luego se debe tener

a b a b

a b a ba b

" #+ - ! ! #, +

! , - ! " + -

! + $, #- " ! #+ , $-

! + #, #- " ! ! $ + -

" "$ $

" "$ $

as+ #, #- " ! $ + - ! + - , - "a b a b"# resulta la solucin

parmetro.\ > >

#, -

!

$- "

!

-

"

- $

- "

a ba b a ba b

"$

"'

"$

"'"#

Problema 2.

Dado el sistema

#B B B B '" # $ & B B (B 5B %B $" # $ % & $B B B B :" # $ %

a) Determine y de modo que y en este caso obtenga y5 : \ B B B PF # % & .Yb) Resuelva por para la base PY \ B B B F # $ &

Solucin.

a) , la exigencia de supone \ B B B F \ F" ! "

" 5 %" " !

F # % & F

no

singular B 0 l l $ 5 ! 5 $

Se debe hacer prviamente con TF T " ! " " ! !" " ! ! ! "

" 5 % ! " !

con el fn de no imponer condiciones no necesarias para excepto as5 5 $

y Y P

" ! " " ! !! " " " " !! ! 5 $ " 5 "

b) Ntese que la matriz asociada a la base es singular, porF \ B B B F # $ & lo que es imposible resolver el sistema con esta exigencia.

Problema 3.

Dada la matriz E

" # $ *# $ & "%$ % ( "*% & * #%& ' "" #*

a) Determine una base para el subespacio .M7E

b) Determine una base para el subespacio dondeO/ #B C #> ! a b Solucin.

a) El espacio est generado por los vectores columna de entoncesM7E E

1

E

" # $ * # $ * " # $ *# $ & "% ! " " % ! " " "$ % ( "* ! # # ) ! ! ! !% & * #% ! $ $ "# ! ! ! !& ' "" #* ! % % "' ! ! ! !

a b

luego, una base para es {M7E " # $ % & # $ % & ' a b a b b) De a b a b O/ B D (> !

C D > ! por tanto O/ B D (> !a b C D > ! #B C #> !

As, a O/

" ! " ( !! " " " !# " ! # !

! ! a b de donde resolviendo se obtiene, , B > C > D >

% "% "(

$ $ $

con lo que y una base del subespacioO/ " ## #a b a) Determine la matriz de cambio de base, de: T W W # "

b) Si [ determine: y : > : > : > "!#!$!

a b a b a b W W# 1 Solucin.

a) # > $ " " " > ! " >a b a b# $ $ " ! " > ! " >a b# " > # " # " > " " ># #a b a b de donde T

$ $ # " ! #! ! "

b) De inmediato : > "! # > #! $ $! " > ""! "!> $!>a b a b a b# #por tanto se debe tener

""! "!> $!> "&! " (! " > $! " > # #a b : >

"&! (!$!

a b W1

Otra forma, es : > T : > $ $ # "! "&!

" ! # #! (!! ! " $! $!

a b a b W W1 #

Problema 5.

Una empresa elabora 4 tipos de productos y T T T T" # $ %

requiere 10 hrs. de diseo, 4 de armado, 5 de pulido y 2 hrs. de detallesT "T # $ " " # requiere hrs. de diseo, de armado, de pulido y hrs. de detallesT # ! " $ requiere 1 hrs. de diseo, de armado, de pulido y hrs. de detallesT & $ " % % requiere hrs. de diseo, de armado, de pulido y hrs. de detalles

Los recursos que se disponen son: 610 hrs. de diseo, 334 hrs. de armado, 288 hrs.de pulido y 172 hrs. para detalles.

a) Determine el nivel de produccin de modo, de ocupar todos los recursos.

b) Los costos por hora para el diseo es de $10, los costos por hora para el armadoes de $20, los costos por hora en las mquinas de pulido es de $12 y por terminarlos detalles se cobra $5 la hora. Calcular usando matrices el costo por unidad paraelaborar los productos: y .T T T T" # $ %

c) Hay ms demanda por el producto que por el producto esto obliga aT T % "cambiar el nivel de produccin acostumbrado. Se impone la produccin de 20 deT #! T & T T " # $ %de de y 25 de Determine usando matrices, si es necesarioadquirir ms recursos.

Solucin.a) "!B #B B &B '"!" # $ % %B $B #B $B $$%" # $ % &B B B #))" # % #B B B %B "(#" # $ %

\ E , \

&!$!"!)

"

Se deben producir 50 unidades de de de y 8 de T $! T "! T T " # $ %

b) E -

"! % & # "! #&!# $ " " #! *(" # ! " "# '#& $ " % & "%#

>

c) E\

"! # " & #! $(!% $ # $ #! ##&& " ! " & "% " " % #& "'&

w

Como y no es necesario$(! '"! ##& $$% "%& #)) "'& "(#

adquirir ms recursos.

Problema 6.

Gas-Chile, tom los siguientes datos sobre la eficiencia de combustible (97 octanos)en Km / lt. para automviles (de alto rendimiento) en un tramo de la carretera delNorte.

Ao Km / lt.1996 15.51997 15.91998 16.71999 17.12000 17.82001 18.22002 18.32003 19.22004 20.0

a) Encuentre una recta que ajuste por mnimos cuadrados y grafquela (B ! representa a 1996 , , representa a 2004). Analice si la recta parece B ) razonable para los datos.

b) Suponga que la tendencia se mantiene, ocupe tal tendencia para predecir el ao en que el promedio ser de 25.

Solucin.a)

E E E

" !" "" #" $" %" &" '" (" )

* $'$' #!%

>

E E ] #!% $' $' *

"&&"&*"'("(""()")#")$"*##!!

> " "&%!

\ E E E ] C !&$( B "&%)("&%)(!&$(

> " > La recta es razonable pus la pendiente es positiva lo que indica crecimiento.b) Entre los aos yC #& #& !&$( B "&%)( B "((" #!"$#!"%.

Problema 7.

Sea una transformacin lineal definida porX $ $

X B C D 5B $C B #C D 5B C Da b a ba) Determine de modo que 5 .37O/

E E " $ ! " $ $" # " # " "" " " $ # &

" "(

X B C D B $C $D #B C D $B #C &D" "(a b a b c) X " " ! % " # ) ! " " # " ! " " $a b a b a b a b a b"" "!$ $

X " " # # & # "% ! " " # " ! " " $a b a b a b a b a b"" "'$ $ X ! " # $ ! " # ! " " # " ! " " $a b a b a b a b a b& "$ $ luego

F ) "% #

"" "" &$ $ $"! "' "$ $ $

Problema 8.

Dada

E 5 # "# " :" # !

a) Determine y de modo que sea un vector propio para .5 : E"""

b) Sea la base de vectores propios de la matriz , para los valores de y queW E 5 :determin en a). Determine matriz de cambio de base de a siendo laT W W Ww wbase cannica de y verifique que matriz diagonal$ "T ET H H

Solucin.a)

5 # " " "# " : " "" # ! " "

>

5 # " ># " : > > $ 5 ! : #

" # >

b) Valores propios de E > $ > " > $" # $ Vectores propios:

, y

" " " # ! "" " "

asociados a , y respectivamente luego> > > " # $

y T T E " " " " # " ! # "

# ! " $ ! $ # " #" " " # # # " # !

" "'

T ET $ ! !! " !! ! $

"

Problema 9.

Encuentre la matriz de proyeccin sobre la recta dondeT [ [

[ B C D B C #D ! a b y verifique que T T ![ [

Solucin.

De inmediato y,[ " " # E "

" #

a b T E E E E T M T

"

'

" " # " " # # # %

[ [> >"

[ $ a b y fcilmente se verifica que T

"

'

& " #" & ## # #

[

T T ![ [

Problema 10.

Demuestre que si entonces tiene! ! ! !!> >"

#

8

3 " + T

+++

rango 1 y que es la matriz de proyeccin al espacio { } .T !

Demostracin.

! !> # # #" # 8 3 " + + + " + ! a 3 considerando ,

T

+ + + + +

+ + + + +

+ + + + +

+ + ++ + + + + + ! ! !

+ + +! ! !

"#

" # " 8

# " # 8##

8 " 8 ##8

" # 8

" 8#

" # 8

" # 8

si se consideran algunos la demostracin es similar. < T " + !a b 3 De inmediato y E

+++

"

#

8

+ + +E E E E EE T a b> > >" "

" ## #

8#

Problema 11.

Dada una funcin definida porX Q Q X E E E88 88 >a b a) Demuestre que es una transformacin lineal.X

b) Averigue si es biyectivaX c) Encuentre una base para el considere O/< X X Q Q $$ $$

Solucin.

a) X E F EF EF E E F F X E X Fa b a b a b a b a b a b a b> > > X 5E 5E 5E 5E 5E 5 E Ea b a b a b a b> > >

b) peroaE O/< X X E E E ! + ! a 3 " # 8a b > 33Q de aqu se sigue + + ! a 3 5 3 5 " # 8 + + 35 53 35 53

+ O/< X 53 parmetro no necesariamente nulo, lo que prueba que el { }, por) tanto no es biyectiva.X

c) con aE O/< X X E E E ! E + + ++ + ++ + +

a b >"" "# "$

#" ## #$

$" $# $$

Q

y + + + ! + + + + + +"" ## $$ "# #" "$ $" #$ $#

luego 0

00

E + +

+ ++ +

#" $"

#" $#

$" $#

E + + +! " ! ! ! " ! ! !" ! ! ! ! ! ! ! "! ! ! " ! ! ! " !

#" $" $#

Una base para esO/< X

! " ! ! ! " ! ! !" ! ! ! ! ! ! ! "! ! ! " ! ! ! " !

Problema 12.

Sea una definida porX X P $ %

E

" " "# % )$ * #"% "' %!

con respecto a donde: W W W " " " ! " " ! ! " " # " a b a b a b W " " " " ! " ! " " ! " ! " # " # # a b a b a b a b a) A partir de encuentre una base ortonormal para .W# %

b) Determine la matriz representativa de con respecto a bases cannicas deX respectivamente. $ %c) Encuentre una base para el y otra para la O/< X M7X

Solucin.a) " " "" # $ " " " " ! " ! " " ! " !

"% " # " # " " " " " " " "$ "

# #a b

Base ortonormal para " " " "% " # $ % " " " "

# ## # b) donde F TEU T U

" ! " "" " ! #" ! " "" " ! #

" ! !" " !" " "

"

F

") $' '# ## %% ($ ' "# #! #' )*

c) Una base para M7X * "" $ "$ '# ($ #! )* a b a b Una base para O/< X " " ! a b

Problema 13.

Dadas

E ]

% # " # +$ # # " ,# # & % -& # % & .

Determine una base para el subespacio definido por:[

sea compatible [ E\ ] a \ + , B- . B

B

B

"

#

$

%

Solucin.

E\ ]

% # " # + % # " # +$ # # " , " ! $ $ , +# # & % - # ! ' ' - +& # % & . " ! $ $ . +

! # "" "! %, $+" ! $ "! + ,! ! ! ! + #, -! ! ! ! #+ , .

E\ ] + #, - !

#+ , . !

es compatible

luego a \ [ \ + ,- . - + #,. #+ ,

\ + ,+ , " ! ! " + #, #+ , " # # "

[ " ! ! " " # # "

es L.I. por tanto una base para " ! ! " " # # " [

Problema 14.

Si es una base para un espacio vectorial V sobre , si y@ - !337

3"

? - @ , @ 4 " # $ 7 "4 4 4 7 con Demuestre que es linealmente independiente pero no una base para V.? 4 4"

47"

Solucin.

Si por demostrar !3"

7"

3 3 3+ ? + ! a 3 " # 7 ")

De la hiptesis se tiene ( !3"

7"

3+ - @ , @ 3 3 7 )

! !4" 3"

7" 7"

4 4 3+ - @ + ,3 7 @ )

Como note que para@ - ! 3 3"37 es L I. y + ! a 3 " # 7 "3

estos valores se verifica que !3"

7"

3+ ,3 !

No es una base pues son solo vectores y la dimensin de es .7 " Z 7

Problema 15.

Discutir segn sean los valores de los parmetros reales y el sistema lineal de+ ,8 " 8 "ecuaciones con variables, y resolver el sistema cuando seacompatible.

B +B +" 8" B +B +# 8" B +B +8 8" + B B ,!

3"

8

3 8"

Solucin.

E " ! ! ! +! " ! ! +! ! " ! + ! ! ! " ++ + + + "

" ! ! ! +! " ! ! +! ! " ! + ! ! ! " +

! ! ! ! " 8+

# E " 8+#

Si 0 y cualquier real el sistema tiene nica solucin" 8+ + ,# "8

que resulta ser y B B B B 8 " + , 8+

8+ " " 8+" # 8 8"# #

#

Si y el sistema tiene infinitas soluciones (con un parmetro) que+ , ""8

resulta ser: parmetro.B " B 3 " # 8 B"

83 8" 8"

Si y el sistema es+ , "

b) Hallar ( ocupando la matriz que obtuvo en a)..

.B% (B 'B ")B # $

Solucin.

a) Note que es una T.L. pues:0

0:B ;B :B ;B : B ; B 0:B 0;Bw w w

05 :B 5 :B 5 : B 5 0:Bw w

As,

0" ! ! B ! B # ! ##

0" B " ! B ! B # ## "#

0" B #B ! B # B # # ## #

0 B $B $ B ! B # ! #$ # #

de aqu se obtiene

E ! ! ! $! ! # !

! # !

"

#

b) Sea como se tiene:B % (B 'B ")B 0:B E :B # $W W# "

:B "( " ( " B ' " B ") B# $

0:B ! ! ! $ &%! ! # ! "#

! # !

"( ( '")

W#

" $"# # luego ( % (B 'B ")B &% B "# B # #

. $"

.B ## $ #

&%B "# B (#

Problema 18.

E " ! ,! , $+ , # "

a) Determine y tal que sea un vector propio de + , E#"!

b) Determine y tal que sea un valor propio de (no invierta )+ , > E E"#"

c) Si determine de modo que no sea diagonalizable.+ ! , E

Solucin.

a)

" ! , # #! , $ " "+ , # " ! !

> +

> "

, "

$#

b) valor propio de es un valor propio de as> E > # E"

#"

" ! , B B! , $ C C+ , # " D D

# + ! , ! , #

c) Para que no sea diagonalizable se debe pedir que un valor propio, tengaE multiplicidad algebraica 2 o 3 en este caso, y luego verificar su multiplicidad geomtrica(que debe ser diferente)

Notemos que obligandoT > > " > , > " $ , # > "E "

a que por tanto resulta> " " , ! $, # ! , ##

para cuya multiplicidad algebraica es 2 y su geomtrica es 1> > " , #" #

Por otra parte tambien se pueden obtener races repetidas imponiendo que

tenga su discriminante nulo, es decir> , > " $ , # !

en este caso:J , " % #, ' ! ,

y su multiplicidad geomtrica es 1.> " > > #" # $

Finalmente ntese que en este caso la multiplicidad algebraica de un valor propio no

puede ser 3, pues como para que necesriamente y esto> " > " , #" #

implica que > #$

Problema 19.

Dado , donde [ \ Q E\ ! &"

1 2

2E

" " # - " + , -# # + + , % %

a) Determine los valores de y de modo que la dimensin del subespacio+ , -

[ sea: i) 3 ii) 4.

b) Encuentre tres valores para y para los cuales la dimensin de sea 2,+ , - [

exiba una base en tal caso.

Solucin.

a)

1 2

2E

" " # - " + , -# # + + , % %

" " " # -! + " , " ! !! ! #+ # + , % #-

Para obtener es necesario que se anule la fila 2 o la fila 3 (pero no.37[ $ambas) en caso que sea la fila 2 lo que obliga a que + " , - #

Si se anula la fila 3 y en este caso la dimensin de es 4. + " , - # [

b) Basta tomar por ejemplo: (no es el nico caso), as:+ , - !

" " " # ! " ! ! # !! " " ! ! ! " ! ! #! ! # ! % ! ! " ! #

B #B

B #B

B #B

" %

# &

$ &

As a \ [ \ B B

#B # !#B ! #

#B ! #B " !B ! "

%

&

&

%

&

% &

una base para resulta ser , [

# !! #! #" !! "

Problema 20.

Sea una transformacin linealX Z [

a) Demuestre que es un subespacio de O/< X Z

b) Es verdad? que si es una base para entonces lo es para@ Z X @ 3 338 383" 3" [

Solucin.

a) Como X O/< X O/< X g) ) )Z [ Z

a O/< X X X

! " ! )

" )[

[

Sumando miembro a miembro resulta:

X X X O/< X ! " ) ! " ) ! "[ [

Tambien se tiene

5 X 5 X5 5 O/< X ! ) ) ! ) ![ [ [

b) Es falso, pues basta tomar la base cannica de y si se supone que$

no es una baseX" ! ! #X ! " ! X" ! ! X ! " ! X ! ! "

para el espacio de llegada de X

Problema 21.

Sea determine una[ " " " " " " # $ % & " % * "' #& base ortogonal para [

Solucin.

De inmediato por Gram Schmidt se tiene:

"" " " " " "

"# "&& " # $ % & " " " " " # " ! " #

"$ " % * "' #& """ " " " " ' # " ! " #

# " # " #

luego una base ortogonal para resulta[

" " " " " # " ! " # # " # " #

Problema 22.

Sea una transformacin lineal definida porX % %

XB C D > B $B C $D > B $C D >" ") ) ") (B C D $>

a) Determine la matriz representativa de con respecto a las bases cannicasE X de %

b) Determine los valores y vectores propios de E

c) Justifique porque? es diagonalizable y calcule E Elim8_

8

Solucin.

a) De inmediato E

) ! ! ! $ " $ "" $ " "

( " " $

")

b) > " #" # & $!" "!

> ! " " "# #") !

> ! " " #$ $"# !

> ! " " !% %"# !

c) es diagonalizable pues existe una base de vectores propios para E %

Note que E T H T8 8 "

#" ! ! ! # " " "& " " "

$! " # !

" ! ! !

! ! !

! ! !

! ! !

! ! !

!

")

"#

"#

"#"* " " "#" $ $ $" " " "# ' ' $" " "' # #

8

8

8

8

tomando el lmite resulta finalmente

=

" ! ! !

! ! !

! ! !

! ! !

##""$!#"

Problema 23.

Determine (si es posible) de modo que los conjuntos5

W " # " " # ! " " $ 5 ! # " a b a b a b W % % & " ! % $ " # a b a b generen al mismo subespacio de .%

Solucin.

Como tiene solo 2 vectores L.I., entonces genera un subespacio de dimensin W ##por tanto debemos probar dos cosas:

1) Determinar de modo que sea L.D. y que para dicho valor sean5 W"exactamente vectores L.I.#

2) Se debe probar que los generadores L.I. de generen al mismo espacio que# W"los dos generadores de para el valor de encontrado.W 5#

En efecto 1) B " # " " B # ! " " B $ 5 ! # ! ! ! !" # $a b a b a bB B B 5 #" # $y no todos nulos a la vez implica 2) Por probar que a b a b a b a b " # " " # ! " " % % & " ! % $ " a B C D > " # " " # ! " " a b a b #B C %> ! #B D $> ! "a b

a B C D > % % & " ! % $ " a b a b

#B C %> ! #B D $> ! #a bComo entonces ambos conjuntos generan al mismo subespacio.a b a b" #

Problema 24.

Sea sobre ,Q88

a) Sea sobre , definido por[ Q88

[ E Q >< ! ! [ Q Q 9 ii) a EF [ > >

1) [ [ # [ [ Q" # " # 88)

sumando" a E [ [ E [ E [ E E E E" # " # > >

estas dos ecuaciones miembro a miembro resulta #E ! E ! Q Q [ [ " # )# a E Q E E E E E Como en donde88 " "# #

> >

" "# #> >

" # " # 88E E [ E E [ [ [ Q

Problema 25.

Dado el sistema que tiene por solucin aE\ , E$&

\ > > >

% $ # "" ! " #! " ! "

" # # #! ! " #

" # $

a) Determine una base ortogonal para O/ > Solucin.

a) Una base para el es , por Gram SchmidtO/< X

$ #! "" !# #! "

" "" # "! ""% (

$ # $ "! " ! (" ! " # # %! " ! (

luego una base ortogonal es ,

$ "! (" %! (

b) Como .37O/< X # .37M7X & # $ M7X $

c)

\ > >

% $ #" ! " " ! $ ! # %! " ! ! " ! ! " "

" # # ! ! # " # "! ! "

" #

" ! ! + " ! ! +! " ! , ! " ! ,

$ ! # - ! ! ! $+ - #.! ! " . ! ! " .

# " # / # " # #+ , #. /

$+ - #. ! #+ , #. / !

Problema 26.

Sean y polinomios en Averiguar si:: B ; B T a b a b # a b a b a b a b a b:B ;B : ! ; ! : " ; " es un producto interior en T #

Solucin.No es un producto interior pus por ejemplo, si : B B B a b #

a b a b a b a b a b a b:B :B : ! : ! : " : " ! " " ! : B !# # lo que contradice que si 0 debe ser 0.a b a b:B :B : B

Problema 27.

Sea una base ortonormal para un espacio con producto Z! ! !" # 8interior. Demuestre que si es un vector cualquiera de entonces! Z

|| ||! ! !#5"

8

5# !a b

Solucin.

! ! ! ! ! ! ! + + ! !a b a b5" 5"

8 8

5 5 5 5 5 5 note que

|| || ( por propiedad! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !#5" 5"

8 8

5 5 5 5 a b a b a ba b! !distributiva del producto interno, por tanto se tiene que || ||! ! !#

5"

8

5# !a b

Problema 28.

Sea E

" " ! !! " " "" ! " "! ! " !

a) Factorice en E UV

b) Aprovechando la factorizacin hecha en a) resuelva el sistema enE\ , que ., "! #! "! "!> c d

Solucin.a) Por Gram-Schmidt "" " ! " !a b "# " "# # " " ! ! " ! " ! " # " !a b a b a b "$ " " "# ' $ ! " " " " ! " ! " # " ! # # # $a b a b a b a b "% " " %# ' #" ! " " ! " ! " ! " # " ! # # # $a b a b a b a b " " " ##( a b As, resultaU

y U V U E ! !

! !

! !

! ! !

" " # " # " " "

# #" ( # # # #'# # " $ " "

' ' ' '#" (" " # "

# #" ('$ #

#" (

>( %

#" #"#

(

b) E\ , UV\ , V\ U , U , !" > #! %! (!# #"'>

De donde : #B B B B #!" # $ % $B B B %!# $ % (B %B (!$ % B !% Finalmente, facilmente se obtiene: B #! B "! B "! B !" # $ %

Problema 29.

Sea una T. L. definida porX $ $

E " $ %$ % (

# # !

a) Describa la imagen y el nucleo de X

b) Describa el nucleo de la transformacin lineal cuya matriz representativa es E>

Solucin.a) Sea ] M7X

y b + + + ] + + +B " $ %C $ % (D # # !

" # $ " # $

" $ % B$ % ( C

# # ! D

" $ % B

! " " $B C

&

! ! ! #B D C $B

) &

La existencia de y obliga a de donde se obtiene+ + + !#B D C $B

) &" # $

"% B )C &D ! que representa a un plano por el origen.

*Tambin es vlido el argumento siguiente: la imagen est generada por losvectores columna de y como de los tres dos son L.I. entonces generan un planoEpor el origen.

Para el nucleo de X a\ O/< X \ B " $ % !C ! " " !D ! ! ! !

B C D \ D" ! " ! D "! " " ! D "! ! ! ! D "

que s la ecuacin paramtrica de una recta que pasa por el origen.

b) Tambin es una recta por el origen, que es perpendicular al plano generado porla imagen de pus .E O/

Procediendo en forma similar a la parte a) se llega

note que la direccin de esta recta coincidea\ O/< X \ > "% ) &

con el vector normal del plano obtenido en la parte a) y que afirma lo dichoanteriormente.

Problema 30.

Sea una funcin definida porX Q Q#$ $#

; 41

X E E F a E Q F " " ## #

" "a b > #$

a) Pruebe que es una transformacin linealX b) Determine una base para el O/< X c) Encuentre la matriz representativa de con respecto a las bases: cannicas deX y a la baseQ#$

" " " " " " " " " " " !" " " " " " " ! ! ! ! !" " " ! ! ! ! ! ! ! ! !

Solucin.

a) i) X E E E E F F E E F E Ea b a b a b a b" # " # " #> > > > >> " # F E F E E F E F X E X E> > > > > >" # " # " #a b a b ii) X 5E 5EF F 5E 5 F E 5EF 5 X E a b a b a b> > > > > >b) a E O/< X X E ! E F ! EF !a b > con de donde resulta sistemas homogeneos del tipoE B B B

C C C " # $" # $ dos B #B B !" # $ B #B B !" # $ #B %B B !" # $ cuyas soluciones son: por tantoB #B B ! C #C C !" # $ " # $

E B C #B B ! # " ! ! ! ! #C C ! ! ! ! # " ! # ## # # #

luego una base del resulta O/< X # " ! ! ! !! ! ! # " !

c) Como ; 41

X E F E a E Q F " " ## #

" "a b > > #$

X ! # # " " " " !" !# !

a b % . . . . . ." " # $ % & '

X ! % % # # # # !# !% !

a b % . . . . . .# " # $ % & '

X ! " " " " " " !" !" !

a b % . . . . . .$ " # $ % & '

X # # " " " " ! "! "! #

a b % . . . . . .% " # $ % & '

X % % # # # # ! #! #! %

a b % . . . . . .& " # $ % & '

X " " " " " " ! "! "! "

a b % . . . . . .' " # $ % & ' donde:

. . . . ." # $ % & " " " " " " " " " "" " " " " " " ! ! !" " " ! ! ! ! ! ! !

y .' " !! !! !

luego la matriz de transformacin pedida es

G

! ! ! # % "# % " # % "

# % " " # "" # " " # "

" # " " # "" # " " # "

Problema 31.

a) Sea una matriz cuadrada de y y matrices tales queE 8 8 U FE U FU a 5 E U F U demuestre que " 5 " 5

b) Si es diagonalizable, existe tal que E U T E T HT"

Sea se define por: > > - > - > - : Ea b a b8 8"8" " ! : E E - E - E - Ma b 8 8"8" " ! 8 i) Demuestre que si es un valor propio de entonces es un valor- -E :a b propio de : E a b ii) Demuestre que es diagonalizable: Ea b

iii) Aproveche para resolver en forma apropiada E T HT E\ ,"

Solucin.a) Sea con 5 5 ! Por induccin, para lo que es verdadero por hiptesis5 " E U FU"

Sea vlido para o sea se cumple 5 E U F U LM5 " 5

Por demostrar para o sea 5 " E U F U X 5" " 5" a bEn efecto, E E E U F U U FU U F U U FU5" 5 " 5 " " 5 "

U F FU U F U" 5 " 5"

Si se cumple 5 ! E M U U U F U! " " !8 Si asumiendo que es no singular(y por tanto lo s), entonces5 ! E F se tiene: (ya demostrado) entonces7 5 ! E U F U7 " 7

E E U F U U F U U F U5 7 " " 7 " " 7 " " 5

b) i) Si es un valor propio de asociado al vector propio entonces- E @ : E @ E - E - E - M @a b 8 8"8" " ! 8 E @ - E @ - E@ - @8 8"8" " ! @ - @ - @ - @- - -8 8"8" " ! - - - @- - -8 8"8" " ! : @a b- con lo que es un valor propio de : : E a b a b-

ii) Como es diagonalizable entonces existe tal que luegoE T E T HT"

: E E - E - E - Ma b 8 8"8" " ! 8 T HT - T HT - T HT - T T" 8 " 8" " "8" " ! T H T - T H T - T HT - T T" 8 " 8" " "8" " ! T H - H - H - M T" 8 8"8" " ! 8 T : H T" a b Lo que implica que es diagonalizable, pus: Ea b es diagonal por: H H - H - H - Ma b 8 8"8" " ! 8 ser una combinacin lineal de matrices diagonales.

iii) Sea un sistema. Asumiendo que y que esE\ , E T HT H"diagonal,

se cumple: E\ , T HT\ , HT\ T, HT\ T, "

H] T, T\ ] Pero como es diagonal, resolver para es muy simple de resolverH H] T, ] pus, si

y H ] T,

. ! ! C - ! . ! C - ! ! . C -

"" " "

33 3 3

88 8 8

entonces donde para cada 1 se tiene] 3 8

C . C . C .

" "

3 3

8 8

si

arbitrario si .

, !

C , !3

-, 33

3 33 333

Obtenido ya para resolver basta con ya que ] T\ ] \ T ] T" "existe y se asume conocida.

Problema 32.

Sea la transformacin lineal cuya matriz con respecto a las bases cannicas deX% es .E

E

"& '' %% $$! "$ #" "&" "& #" "## ") ## )

a) Encuentre una base para con respecto de la cul la matriz representativaW %

de sea diagonal.X b) Calcule X '" ( "% "& "!a b

Solucin.a) Valores propios: > & > # > > %" # $ % Vectores propios asociados, respectivamente:

y ! ! ! !" # $ %

"" ! $! $* $ $ ( &% $ $ !% # ! $

luego la base pedida es W ! ! ! !" # $ %

b) Expresamos el vector en C.L. de los vectores propios de laa b'" ( "% "&base W

'" "" ! $! $* ( $ $ ( &"% % $ $ !"& % # ! $

# # ! "

X #X #X "X

'" "" ! $* ( $ $ &"% % $ !"& % # $

X # & # # " %

'" "" ! $* ( $ $ &"% % $ !"& % # $

X # & # # " %

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# # # #

X # & # # " %

'" "" ! $* ( $ $ &"% % $ !"& % # $

"! "! "! "!

X

'" ( ' & ' # & %"%"&

## & $* %

) & ' #

) & ' # $ %

"!

"! "!

"! "! "!

"! "!

"! "! "!

Problema 33.

a) es una matriz de con dos valores propios. Un espacio propio esE & &tridimensional y el otro bidimensional. Es diagonalizable? ,porque?.E

b) Demuestre que si es un vector propio de y entonces es? EF F? F?)un vector propio de FE

c) Sea una forma cuadrtica dada por siendo el vectorJ J \ E\ \a b! >coordenada del vector con respecto a una base de ! ! ! ! W " # 8 8donde es una matriz simtrica diagonalizable.E

Sean los valores propios de > 3 " # 8 E3

es definida positiva J > ! a 3 " # 83 es definida negativa J > ! a 3 " # 83 es semidefinida positiva y algn J > ! a 3 " # 8 > !3 3 es semidefinida negativa y algn J > ! a 3 " # 8 > !3 3 es indefinida existen y J > ! > !3 4Segn lo anterior encuentre la forma cuadrtica asociada a las siguientes matrices yclasifquelas

E F G $ # % $ # !# ! # # % #% # $ ! # &

% ! #

% # !

! # %

# ! %

$#

$#

$#

$#

Solucin.a) Si es una matriz de con dos valores propios, entonces un valor propioE & &es de multiplicidad algebraica y el otro de multiplicidad algebraica 2 y se dice que$un subespacio es de dimensin 3 y el otro de dimensin 2, con lo que lasmultiplicidades algebraica y geomtrica de ambos valores propios son iguales, portanto E es diagonalizable.

b) Por hiptesis yEF ? >? FEF ? F>? FEF ? >F?adems , entonces es un vector propio de F? F? FE)

c) Para sus valores propios son: , y adems el valorE > > " > )" # $propio es de multiplicidad geomtrica por tanto es diagonalizable, " # Eentonces es indefinida yJ J \ E\ $B $B %B B )B B %B Ba b! > # #" $ " # " $ # $Para sus valores propios son: , y ambos valoresF > > > > " # $ %$ "$# #propios tienen multiplicidad geomtrica 2 igual a su multiplicidad algebraica,entonces es diagonalizable, y como los valores propios son todos positivos F Jdefinida positiva y 4 4 4J B %B B B $B B %B B %B B $B Ba b! # # # #" # $ % " # " % # $ $ %Para analogamente sus valores propios son: 1, 4 y todosG > > > (" # $distintos entre si, luego es diagonalizable, y por tanto es definida positiva yG J

J $B %B &B %B B %B Ba b! # # #" # $ " # # $Problema 34.

Sea una T. L. definida porX Q Q" ## ##

X + , #- + -- . , #- ."

y sea otra T.L. definida por la matrizX Q Q# ## ##

" # ! !# $ " !! " ! #! ! # "

con respecto a la base W " " " " " " " !" " " ! ! ! ! !

a) Determine los valores y vectores propios de Es diagonalizable?X "

Justifique.

b) Usando cambio de base determine los valores y vectores propios de X X" #

Solucin.a) Sea la matriz representativa de con respecto a cannicas de , es decirE X" %

E

! ! # !" ! " !! " # !! ! ! "

Valores propios: y > > " > " > #" # $ % Vectores propios:

y

0001

@ @ @ @

# # "$ " !" " "! ! !

" " " "

es diagonalizable pus existe una base de vectores propios con respecto de laEcual, puede ser representada por una matriz diagonalX"b) Sea la matriz representativa de con respecto cannicas de G X W # w %y como F W W T T G TFT"

W Ww w

G

donde de dondeT T

" " " " ! ! ! "" " " ! ! ! " "" " ! ! ! " " !" ! ! ! " " ! !

"

G

$ # $ "# $ & "! " ' #! ! # "

Con lo que, la matriz de es X X EG

! # "# %$ $ * $# " ( $! ! # "

" #

Valores propios de : EG > !&"! #! 3 > !"$'#" #

y > * )%#* > !&"! #! 3$ % Vectores propios:

y

000

1

@ @ @

"'"" ' ')& 3 #)( '%)*'(%! '#!* 3 '"! $%!)!#%% "!#' 3 %$" %%#"

" "

" # $

@

"'"" ' ')& 3'(%! '#!* 3!#%% "!#' 3

"

%

Problema 35.

Sean y W " -9=> -9= > -9= > W " -9= > -9= #> -9= '> " ## '

Suponga las siguientes identidades trigonomtricas-9= #> # -9= > "#

-9= $> % -9= > $ -9= >$

-9= %> ) -9= > ) -9= > "% #

-9= &> "' -9= > #! -9= > & -9= >& $

-9= '> $# -9= > %) -9= > ") -9= > "' % #

Sea el subespacio generado por las funciones en [ W"a) Escriba los vectores coordenada de los vectores de con respecto a yW W# "selos para demostrar que es un conjunto linealmente independiente en W [#b) Explique por qu es una base para W [#

c) Determine la matriz de cambio de base de a W W # "

Solucin.a) Sean: , entonces% % % %" # $ (# ' " -9=> -9= > -9= >

" " ! ! ! % % % %" # $ (

-9=> ! " ! ! % % % %" # $ (

-9=#> " ! # ! % % % %" # $ (

-9=$> ! $ ! % ! % % % % %" # $ % (

-9=%> " ! ) ! ) ! % % % % % %" # $ % & (

-9=&> ! & ! #! ! "' ! % % % % % % %" # $ % & ' (

-9='> " ! ") ! %) ! $# % % % % % % %" # $ % & ' (

" -9=> -9=#> -9=$>

" ! "! " !! ! #! ! !! ! !! ! !! ! !

W W W W" " " "

! $!%!!!

-9=%> -9=&> -9='>

" ! "! & !

) ! ")! #! !) ! %)! "' !! ! $#

W W W" " "

Como

por tantoE < E (

" ! " ! " ! "! " ! $ ! & !! ! # ! ) ! ")! ! ! % ! #! !! ! ! ! ) ! %)! ! ! ! ! "' !! ! ! ! ! ! $#

a b

W# es L.I.

b) Son LI. , pertenecen al espacio generado por por la parte a) y son que sW ( " la dimensin de [c) La matriz de cambio de base es la matriz mostrada en la parte a).E

Problema 36.

a) Sea un conjunto ortonormal en Verifique la : 8 ! ! ! " # : 8

desigualdad de que se cumple para todo en :F/==/6 ! 8

|| || ! ! !# #3"

:

3 "b) Demuestre que la linea de mnimos cuadrados para los datos: a b a bB C B C " " # # B C B C B B C C

" "

8 8a b a b " "8 8 3 3

3" 3"

8 8

debe pasar por donde y

Demostracin.a) Extendiendo el conjunto ortonormal dado a una base ortonormal de se tiene8{ as ,! ! ! ! ! ! " # : :" 8 8 a

luego entonces! ! ! ! ! ! ! ! B B ! !a b a b3" 3"

8 8

3 3 3 3 3

|| || ( ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !#3" 3" 3"

8 8 8

3 3 3 3 3# a b a b a ba b a b" " "

por tanto, la desigualdad

|| || es evidente.! ! !# #3"

:

3 "

b) La linea de mnimos cuadrados para los datos: a b a bB C B C " " # # B C C , +Ba b8 8 est dada por en donde] \ \ E E E ] E

C " BC , " B + C " B

a b

" "

# #

8 8

> >" as

+ , 8 B C B C B C B C

8 B B 8 B B

! ! ! ! ! ! !! ! ! !

3" 3" 3" 3" 3" 3" 3"

8 8 8 8 8 8 8

3 3 3 3 3 3 3

3" 3" 3" 3"

8 8 8 8# #3 33 3

# #

#3

Demostraremos que satisface a es decir, que , en efectoa b a bB C " +B , C

+B , B 8 B C B C B C B B C

8 B B 8 B B

"

8

! ! ! ! ! ! !! ! ! !"

3" 3" 3" 3" 3" 3" 3"

8 8 8 8 8 8 8

3 3 3 3 3 3 3 3

3" 3" 3" 3"

8 8 8 8# #3 33 3

# #3"

8

3

#3

B B C B C B C B B C

8 B B

! ! ! ! ! ! ! !! !

3" 3" 3" 3" 3" 3" 3" 3"

8 8 8 8 8 8 8 8

3 3 3 3 3 3 3 3 3"8

# #3

3" 3"

8 8#3 3

#

C CC 8 B B

8 B B

"

8

"83" 3" 3"

8 8 8

3 3# #3

3" 3"

8 8#3 3

# 3"

8

3

! ! !! ! "

Problema 37.

En el espacio vectorial sobre , considere el producto internoT#

a b (:> ;> :> ;> .>!

"

a) Calcular con a b:> ;> :> # > ;> % $> ># b) Determine la matriz del producto dado respecto a la base cannica de yT#

compruebe el clculo hecho en a) ocupando dicha matriz.

c) Determine la proyeccin ortogonal de sobre el subespacio de " > [ T#generado por y .:> # > ;> % $> >#

Solucin.

a) a b ( ( :> ;> # >% $> > .> ) #> > > .> )$"#

! !

" "# # $

b) La base cannica de es, entoncesT W " > > # #

G " " " > " >

> " > > > >

> " > > > >

" a b a b a ba b a b a ba b a b a b

#

#

# # # #

" "# $

" " "# $ %" " "$ % &

Comprobando la parte a) note que c d # " ! $G %

"

)$"#

c) Forma 1 donde es una base: 0 0 " > 0 0 0 0

[a b a b a b" " # # " #

ortonormal para [ Por Gram-Schmidt

0 # >" as0 % $> > # > "$) $""> ('> # # #)$ $ ""# "* ('a b a b

es una base ortonormal para # > "$) $""> ('> [" "#&"( ')#a b a b

luego, : # > # > [a b a b a b " "#&"( #&"(

a b a b" > "$) $""> ('> "$) $""> ('>" "') ')# #: ('>

[ # #a b a b a b" #$ "#&"( ' ') #( )

:[a b #

Problema 38.

a) Sea una matriz de demuestre que E 7 8 O/

Demostracin.

a) Si entonces Esto demuestra que a b E\ ! E E\ E ! ! O/ >est contenido en O/

Si entonces As que a b E E\ ! \ E E\ \ ! ! E\ E\ !> > > > > E\ll ! E\ !lo que implica que || y por lo tanto Esto demuestra que#O/

Problema 39.

Encontrar la forma de la transformacin lineal que representa la proyeccinXortogonal de un punto en el espacio sobre el plano y su matriz+B ,C -D !representativa con respecto a alguna base de , tambin demuestre que$X X X

Es lineal la transformacin si el plano es de la forma con+B ,C -D . !. !?

Solucin.

Primera forma

Suponiendo + ! B C D 5 C : D , -

+ +

5 C : DCD

!

! C D 5 : 5 :" ! " !! " ! "

por tanto el plano esta generado por: y , luego

As M7E [ E X \ E E E E \ a\ 5 : B" ! C! " D

a b a b> >"

Segunda Forma

[ E X \ M E E E E \ + +, ,- -

> >$

" a b a bAs con+ ! , ! - !

De inmediato de aqu, la matriz representativa de esX

"+ , -

# #

# #

# ## # #

, - +, +-

+, + - ,-

+- ,- + ,

X X E E E E E E E E E E E E E E E E Xa b a b a b a b> > # > > > > > >" " " " Si el plano no pasa por el origen no se verifica que luego no es unaX ) )

X P.

Problema 40.

Sea una transformacin lineal definida porX $ %

X \ E\ \ E BCD

" 5 #55 " 5#5 #5 "

#5 " $5 #5 "

a b

donde es un parmetro real dado.5

a) Demuestre que para un vector de la imagen, los valores y a b+ , - . + , - .satisfacen una ecuacin homogenea independiente de que define a la 5 M7X

b) Determine y la nulidad de < X X a b c) Halle los valores de para los cuales se tiene que 5 < X $a b d) Calcule para X " ! " ! 5 ""a b Solucin.

a) Recordemos que la Imagen de esta generada por los vectores columna de X Eentonces

" 5 #5 +5 " " ,#5 #5 " -

#5 " $5 #5 " .

Es suficiente hacer para obtener J% J J . + - !" $

b) Como adems de la operacin anterior hacemos < X < E J Ja b a b J" # $

" 5 #5 $5 " $5 " $5 "5 " 5 5 " 5#5 #5 " #5 #5 "

#5 " $5 #5 " ! ! !

< X # 5 X $ < X $ # ""

$a b a b a b(

Si haciendo y posteriormente 5 J 5J #5J"

$5 ""$ " " " J J# $

1 1

$5 " $5 " $5 " "5 " 5 ! " 5 !#5 #5 " ! ! " #5! ! ! ! ! !

< X # 5 " 5 X $ < X $ # "

"

#a b a b a b(

< X $ 5 5 " 5 X $ < X $ $ !" "

$ #a b a b a b(

c) < X $ 5 5 " 5 " "

$ #a b

d) considerando seX X 5 "

" "! !

" "! !

B BC CD D

"

tiene

" " # " " " ! "" " " ! ! ! " "# # " " ! ! ! !$ $ $ ! ! ! ! !

parmetroX >

"!

"!

" >>"

"

Problema 41.

a) Demuestre que todas las races del polinomio caracterstico de una matriz realsimtrica son nmeros reales.

b) Si es una matriz simtrica de entonces los vectores propios queE 8 8corresponden a valores propios de distintos entre si, son ortogonales.E

Demostraciones

a) Sea una raz del por demostrar que > + ,3 T > , !E con T > ! l + ,3 M El ! E E + a 3 4E 8 34>a b a b Ahora el sistema homogeneo [ ] ( , noa b a b+ ,3 M E 3 ! !3 8 8! " ! " nulos a la vez) tiene solucin distinta de la trivial de aqu se sigue +M E ,8! ! M +M ,M E ! !38 8 8" " ! "a b +M E ,8! ! M ! +M ,M E !8 8 8" " ! " de donde " +M E ,8! ! M ! + M E , M ! "8 8 8" " ! " ! " "a b a b a b a b a b a b a b a b+M ,M E ! + M E , M ! #8 8 8 8" ! " ! " ! " ! ! !pero como, a b a b a bM M M M 8 8 8> > > >8" ! " ! " ! " ! " M8!y tambin a b a b a bE E E E E" ! " ! " ! " ! " !> > > >remplazando en y y restando miembro a miembro resultaa b a b" #, M , M ! , ll ll ll ll ! a b a b8 8 # #! ! " " ! " , !

b) Sean dos vectores propios asociados a los valores propios y con! !" # " # > > , por tanto se debe tener: con > > E > E > " # " " " # # # " #! ! ! ! ! ! )Ahora, como como > > E E E E E" " # " " # " # " # #> > > >"a b a b a b! ! ! ! ! ! ! ! ! ! de donde E E > > ! ! ! ! ! ! ! !>" # " # " # # " ##a b a b a b pero como entonces> > ! > > ! " # " # " # " # " #a b a b! ! ! ! ! ! ) y son ortogonales.! !" #

Problema 42.

a) Para que valores de y es posible encontrar una matriz de orden 4,5 : Esimtrica real, tal que sus valores propios sean: con vectores propios:# " " "a b a b a b a b% # 5 " " " # ! " : " " ! % # ' respectivamente.

b) En caso que sea posible determinar y encuentre la matriz mediante una5 : Ematriz ortogonal que la diagonalice, en caso contrario haga caso omiso de estaTparte.

Solucin.

a) Por la parte b) del problema 3 deben ser ortogonales necesariamente los paresde vectores siguientes: % # 5 " " " # ! ! 5 " "a b a b a b % # 5 " " : " " ! % #: 5 " ! : #a b a b % # 5 " ! % # ' ! ) #5 ' ! 5 "a b a b " " # ! " : " " ! " : # ! : $ a b a b

por tanto no es posible encontrar una matriz simtrica, pues los vectores propiosasociados deben ser ortogonales.

b) Se omite.

Problema 43.

Sea una y sea su matriz representativa con respectoX Q Q XP E## ##a las bases cannicas de (partida y llegada), dada porW Q" ##

E

( $ # " #$ "& ( #"$ * & "* ' $ !

"$

a) Determine X " #! "

"

La inversa de la matriz representativa es , por lo2 00 1 4

E

" ! " "# " ! "" $

"

"

tanto para obtener lo pedido, calculamos .

E

" !# $! &

" #

"

Entonces = 0 35 2X

" #! "

"

b) Determine ( ) si [ ] dondeX

"#!

"

"W! ! #

}W " " " " " " " !

" " " ! ! ! ! !#

! " # ! " " " " " " " " ! # $" " " ! ! ! ! ! $ "

por tanto =

0

E X

# !$ ) # $ )$ "( $ " "( %" %

" "

c) Encuentre matriz representativa de con respecto a la base partida yF X W #

llegada).

De inmediato con asF T ET T

" " " "" " " !" " ! !" ! ! !

"

luego T F

! ! ! "! ! " "! " " !" " ! !

# # " $

"

( ) % "#' ( % "!

"# " %$ $ $

Problema 44.

En , dado el subespacio % [ " ! # # " " " " $ " & $ a b a b a b a) Determine una base ortonormal para [

b) Determine una transformacin lineal X % %

tal que el y O/< X [ M7X [

Solucin.a) Una base para es } pus el vector[ " ! # # " " " "a b a b es C.L. de los otros dos vectores.a b$ " & $ Por Gran Schmidt "" " ! # #a b "# " "* * " " " " " ! # # ) * ( ""a b a b a b Una base ortonormal resulta { " "$ $"&a b a b" ! # # ) * ( "" b) Tomamos una base para que incluya a los vectores y% a b" ! # # por ejemploa b" " " " {a b a b" ! # # " " " " " ! ! ! ! ! ! "

por otra parte de[ B C D > B #D #> ! B C D > ! a b donde resulta [ # " " ! # $ ! " a b a b As: X " ! # # ! ! ! !a b a b X " " " " ! ! ! !a b a b X " ! ! ! # " " !a b a b X! ! ! " # $ ! "a b luego a b a b a b a bB C D > D C C #B C D > D #C" "# #" # $ %& & & & X B C D > a b " "# #" # $ %a b a b a bD C X C X #B C D X > D #C X & & & & X B C D > #B C D # " " ! > D #C # $ ! "a b a ba b a ba b"# X B C D >

#B $C $D #>

B C D $>

B C D

> D #C

a b

"$ (# #

" "# #

Problema 45.

Sea una base para y sea dado un producto interno enW ! ! ! " # 8 8 ! !8 34 3 4 34 - G 3 4 " # 8 G-tal como y sea note que sc dsimtrica

Si y , entonces: donde y ! " ! ! " ! + , + ,83" 3"

8 8

3 3 3 3 3 3! !son determinados en forma nica, as se define e a b! " ! " \ G] \ ] >

W W

a) Es necesario imponer alguna condicin para que sea un producto internoa b! "bien definido.b) Con atencin a su respuesta en a) se puede afirmar que es un productoa b! "interno si la base esW W " " " " ! # " " " a b

y calcule y la si y a b a b a b! " ! ! " ll ll " # ! # $ " Solucin.

a) Las tres primeras propiedades de un producto interno se cumplen sin dificultad(debe verificarlo), para la cuarta propiedad esa b! ! \ G\>necesario que y esto verifica solo si es definida positiva.\ G\ ! G>

b) Debemos obtener la matriz y comprobar si es de finida positivaG

As, G G $ $ "$ & $" $ $

$ $ " $ $ "! # # ! # #

! # ! !

) #

$ $

todos los pivotes positivos, por tanto es definida positiva luego es unG a b! "producto interno considerando la base W

\ ] # %

" $! "

! "W W

a b c d ! " )# " ! $ & $ $$ $ " %

" $ $ "

ll ll " ! $ & $ "$ $ " #

" $ $ !! ! !a b c d

"#

Problema 46. Sea una T. L. con valores propios reales, se sabe queX % %

[ B C D > B #C > !a b #B D $> ! es un subespacio propio de tambin se sabe que que la imagen> > >< E ) 1 #del vector por es y por ltimo que |a b a b" " " " E $ $ $ $ El #"

a) Determine los valores y vectores propios de Eb) Es posible determinar de modo que sea definida positiva? (justifique)Ec) Sin determinar el indique cul es su dimensin. (justifique)O/< X d Calcule E &

Solucin.a) pus >< E ) # > $ > ) " E " " " " $ " " " "" % a b a b a b | El #" > > > > " > $ > #" #" # $ % %#" a bDe y se obtiene dea b a b a ba b" # # > &> ( ! > " #> (> ( !$ # #" " "" "donde las otras dos races son complejas entonces > " > (" %Por tanto los valores propios son: y > > " > $ > (" # $ %

Vectores propios: De se obtienen y [ # " % ! ! " ' #! !" #a b a b vectores propios asociados a , asociado a > > " " " " " > $" # $ $! a b

para consideramos > ( ! ! ! "% %! a b b) Es imposible pus tiene al valor propio que es negativo. "

c) Como | entonces El #" .37O/< X !

d) Existen varias matrices pus el vector propio puede ser cualquiera queE !%sea con los otros tres, para el caso en que se tiene quePM ! ! ! "!% a b

T T

# ! " ! & " " !" " " ! $ # " !% ' " ! # "# # !! # " " ) "' ! )

" "

)

H

" ! ! !! " ! !! ! $ !! ! ! (

E THT

# ' " ! " & " ! " ' # !( "! " (

"

d) E TH T& & "

Problema 47.

Sea

E

" # + " $ " # % " + , # % - # ' # % + - % # + , $

y [ \ E\ !&

a) Encuentre los valores de y de modo que la sea: + , - .37[ " # $ 9 %b) Encuentre una base para para el caso de y tal que [ + , - .37[ $

Solucin.a)

E

" # + " $ " # % " + , # % - # ' # % + - % # + , $

0 0 " # + " $

+ % ! + , $! ! $+ - % ! + , $! ! ! ! !

.37[ " es imposible

.37[ $ + % , " - )y y para cualquier otro caso diferentede estos valores para y en el que , entoces + , - .37[ $ .37[ #

Problema 48.

Sea una definida porX Q Q XP## %"

E

" # $ "! " " #" ! " "

" # ! #

con respecto a: W W" #

y W W " " " " " " " ! ! " ! !" " " ! ! ! ! ! ! ! " !

" ! ! !

! ! ! "

" #

a) Determine una base ortogonal para M7X

b) Encuentre tal que

B C B C #D > D > !

Q X

"

5

##W#

Solucin.a) Note que la est generada por los vectores columna de < E % M7X Ea bentonces por Gram Schmidt " "" # " ! " " # " ! # a b a b "$ % ( "$ * * $ " " ! " ! " " # " ! # " # $ #a b a b a b a bb) Primero determinamos el vector coordenado de en la base es decir! W "

B C " " " " " " " !D > " " " ! ! ! ! ! > D > C D B C

X B C ! " " # D > #D > " ! " " C D !

" # $ " > "

" # ! # B C 5W#

Como el el sistema anterior es consistente para todo real.< E % 5a bProblema 49.

Sea una transformacin lineal definida porX $ $

X B C D 5B $C B #C D 5B C Da b a b a) Determine de modo que 5 .37O/< X "

b) Considere y encuentre una base para la es invertible? en5 " M7X X caso afirmativo determine una frmula para X "

c) Encuentre la matriz representativa de con respecto a las bases X W W " #

dondeW " " ! " " # ! " # W " " # " ! " " $ " #a b a b a b a b a b a by 0 .Considere 5 "

Solucin.

a) a O/

encontrados en a).

Solucin.a) Se debe tener que

y " # # ! " "! " # + " "! # " , " "! # # - " "

" + # , # - $

b) Valores propios y T > ! > > " > > "E " # $ %a b Vectores propios Para y > > " " ! ! ! ! " " "" # " #! !a b a b y > > " # " " ! " " ! "$ % $ %! !a b a b Como existe una base { de vectores propios para entonces ! ! ! ! " # $ % % E es diagonalizable.

c) Como con:E TH T E TH T 8 " 8 " "!! " "!! "

H T

" ! ! ! " ! # "! " ! ! ! " " "! ! " ! ! " " !! ! ! " ! " ! "

notemos que en este caso luegoH H # ! # %" >! c d E # ! # % TH T"!! " "!! "!

Problema 51.

Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, en caso que surespuesta sea verdadera demustrela, y en caso de ser falsa muestre un contraejemplo.

a) Sea el espacio vectorial de todas las matrices cuadradas de orden sobreZ 8un cuerpo y sea formado por todas las matrices que conmutan con unaO [matriz dada, entonces s un subespacio de [ Z

b) / s un espacio vectorial. $

c) En / todos los vectores ortogonales a un plano, que no pasa por el origen, $ forman un subespacio de .$

Solucin. a) Sea matriz fija.Verdadera. [ \ Z \E E\ E

y a\ \ [ 5 O \ 5\ [" # " # En efecto a\ \ [ \ E E\ "" # " " a b \ E E\ 5\ E 5E\ ## # # # a b Sumando miembro a miembro y se tiene:a b a b" # \ E 5\ E E\ 5E\ \ 5\ E E\ 5\ " # " # " # " # entonces , lo que prueba que es un subespacio de \ 5\ [ Z " #

b) Falsa. No se cumple el axioma 1 de la ponderacin, por ejemplo tomando

3B C D 3B 3C 3D pues no son componentes reales.$ 3B 3C 3D

c) Sea la normal del plano que no pasa por el origen entonces Verdadera. 8t

[ ? ? >8 > t t t $

o tambin [ ? ? 8 ! t t t t$

En efecto: luegoa ? ? [ ? > 8 ? > 8 > > t t t t" # " " # # " #

a 5 ? 5 ? > 8 5 > 8 > 5> 8 >8 > > 5> t t t t t t " # " # " # " #

lo que nos demuestra que es un subespacio de .[ $

Problema 52.

Sea espacio vectorial sobre linealmenteE E Z Z O E! ! !" # 8independiente, demuestre que si entonces se escribe de manera nica" " Ecomo combinacin lineal de los vectores de E

Solucin. Supongamos que hay dos formas distintas de expresar , es decir sean:"

y " ! " ! B C! !3" 3"

8 8

3 3 3 3

restando miembro a miembro estas expresiones se tiene,

) ! ! ! B C B C ! ! !3" 3" 3"

8 8 8

3 3 3 3 3 3 3

pero los son L.I. entonces !3 3 3 3 3B C ! B C a 3 " # 8 lo que prueba que se escribe de manera nica en C.L. de los vectores " E

Problema 53.

En dados:T #

: B # B ; B " B < B " B B = B B Ba b a b a b a b# # #Sean y determine un vector W : B ; B W < B = B ? B W " # #a b a b a b a b a btal que T W ? B # " a b

Solucin. Sea se debe verificar que? B = B B B a b a b # es un conjunto L.I., pues de ser as, entonces# B " B B B # #

y W ? B T W ? B " # "a b a b) Por tanto: conduce a+ # B + " B + B B !" # $# #

#+ + !" # + + !" $ + + !# $ cuya solucin es , resultado que se pretenda.+ + + !" # $

Problema 54.

Demuestre que toda funcin que proyecta vectores de , ortogonalmente, sobre unZsubespacio del espacio vectorial , es una transformacin lineal.[ Z

Demostracin.

Sea tal que en que en que lasX Z [ X B T B T EE E Ea b[ [

> " >

columnas de esta formada por una base de E [

As: 1) X B B T B B T B T B X B X Ba b a b a b a b" # " # " # " #[ [ [ 2) X5B T 5B 5T B 5 X B

[ [a b

luego es una transformacin lineal.X

Problema 55.

En dado Q [

" !" "" #" "

%"

a) Factorice en y ocupe y para determinarE UV U V

" !" "" #" "

C +B , ! " " # # ! " % que mejor representa a los puntos: y a b a b a b a b

b) Encuentre un vector no nulo, tal que . . .T

c) Determine el vector en el espacio columna de ms cercano al vector" Ec d# $ " ! > Solucin

a) De inmediato U

"

"

"

"

"#

"

&"

&$

&$

&

como E UV U E U UV M V V U E # "

! &> > >

# donde C +B , \ \ E E E ] ] , #

+ !

"

%

> " >

\ UV UV UV ] V U ]> " > " >

\ "

!

" " " ""# %' #$! ## ""%

" "% #!

"

&

" " $ $

& & & &

finalmente: C ""B #$

b) puede ser cualquiera de los vectores generadores de . [

c) con " ! ! :

Solucin.El sistema E\ , debe ser compatible, y como:

% % * * "' ) ( & && ( % * &

* "" "' ( &

! ! "

" !

! "

! ! ! ! !

( "$ $

"( $( # #

"" #* # #

esta matriz nos indica que el sistema en cuestin es compatible, por tanto est en,el espacio imagen de Hay infinitos cuya imagen bajo sea uno de ellosX \ X ,

se obtiene para y resulta ser B ! \ "

$" # " !%

>c d

Problema 57.

Sean las bases de ;$

W " ! ! ! " ! ! ! " " a b a b a b W " " " ! " " ! ! " # a b a b a b W $ # " % " $ " " " $ a b a b a by dada la transformacin representada en la base porW$

E " # "! " ## $ !

a) Determine las imgenes de los vectores bsicos de la base W #b) Determine la matriz de transformacin en la base W "c) Determine la matriz de la transformacin inversa en la base W #

Solucin. a) Primero determinamos los vectores coordenada de los vectores de la base W#

con respecto a la base resolviendo el sistema simultaneo:W $

$ % " " ! ! " ! ! ' "! $# " " " " ! ! " ! # $ " " $ " " " " ! ! " "" ") &

As:

" # " ' "! $ "$ ## '! " # # $ " #% $* ""# $ ! "" ") & ") #* *

Las vectores columna de esta matriz, representan los vectores coordenada de lasimgenes pedidas pero con respecto a la base , por tanto tales imgenes resultanW$finalmente:X " " " "$ $ # " #% % " $ ") " " " $* #! "!$a b a b a b a b a bAnalogamente, y X ! " " '" $% "') X ! ! " "( "! %)a b a b a b a b

b) E

W W$ $ T T F TET"

W W" " F

donde: T T $ % " % ( $# " " " # "

" $ " ( "$ &

"

luego resulta F ## %% "("% #% "!

'& "#! %)

c) F"

W W" " U U G U F U" " "

W W# # G"

donde: U U " ! ! " ! !" " ! " " !" " " ! " "

"

F G %) (# $# &' "!% $#

## %* ") "!" "(" &!"#! ##! )) #$$ $(& "!'

" "" ""' "'

As

Problema 58.

Sea es un vector propio de con valor propio correspondiente y sea un" E > 5escalar, demuestre que es un vector propio de con valor propio" E 5M8correspondiente > 5

Demostracin. Por hiptesis de aqu se tieneE > " " E 5 > 5 E 5M > 5 " " " " " "8" es un vector propio de con valor propio E 5M > 58

Problema 59.

Sean

, y E ? @ ) # * # "' % ) " "% ! % # "

a) Averigue a cul de los subespacios: , o a ninguno pertenecen losO/ " >" "

efectuando clculos se obtiene: B :

Resolviendo resultta: parmetro. B D C # D D"% "$ $& "! #

Problema 61.

Sea E % $# "

a) Determine los valores y vectores propios de E

b) Resuelva X X X B " $C " #

#! #" "" c) Si es la matriz representativa de una T. L. de con respecto aE # #

. Determine frmulas para y para W X X " $ B +" # C ,"

" Solucin. a) Valores propios:

T > l>M El > $> # ! > " > #> % $ # > "E # " #

#a b Vectores propios:

> " $ $ ! " " ! # # ! ! ! !" " ! ""

> # $## #

! b) Note que existe X X X X B " $

C " #" %! " *

E E E TH T TH T TH TB " $C " #

%! " * %! " " " * " donde; y H T T \ " ! " $ # $ B

! # " # " " C "Problema 62.

a) Sea una base ortonormal para un espacio vectorial W Z ! ! !" # 8

a Z B! ! !3"

8

3 3! Demuestre que || || es igual a ! # #3"

8

3!B

b) Encuentre un vector ortogonal a todos los vectores del plano generado por:

y y muestre que dicho vector tiene la direccin del+ " # # , " " "t t

vector donde :

Como ;

E " " "! # %! ! %

b) Sean: y W " B B W " B " B B " ## #

E W W" " T T F T ET "

W W# #

donde luegoT T " " ! " " !" " ! " " !! ! " ! ! #

"

#

"

F "

#

# ! $ # % &! ! )

Problema 65.

Sea la funcin tal queJ Q ## %

J " ! ! " J " # $ %" " " "" " " !

y J % $ # & J ! " " "" " " !! ! ! !

a) Determine y demuestre que define un isomorfismo de J Q ## %

b) Determine el vector de que tiene por imagen al vector Q " ! % $## a b Solucin.

a)

J ! " " " J % # " %" ! ! "! ! ! !

y J $ " " " J ! # $ $! ! " !" ! ! !

Sea matriz de con respecto a las bases cannicas de asE J Q ## %

E

! % $ !" # " #" " " $" % " $

Como | es epiyectiva, y por el teorema de la dimensinEl " ! J

.37Q .37M7J .37O/< J % % .37O/< J##

entonces es inyectiva, por tanto es una biyeccin. .37O/< J ! J J

Ahora la funcin se puede expresar por donde es el vectorJ J\ E\ \

coordenada de con respecto a la base cannica de , y es claro que + ,- . Q## J\ 5] E\ 5] E\ E5] E\ 5E] J \ 5J ]a b a b lo que prueba que es una transformacin lineal, luego define unJ J

isomorfismo de Q ## %

b) Como es un isomorfismo entonces existe luegoJ J "

J " ! % $ E

" ( $ "! ) " &(! # ! $ $ ! "*

% $ ! % % % #&$ % " ' & $ $&

" "

entonces

J " ! % $ &( "*#& $&

" Problema 66.

Sea una matriz de con vectores propiosE $ $

@ @ @ " " "! " "! ! "

" # $

correspondientes a los valores propios

y respectivamente y > > > " B #"#

" # $" "$ $

a) Encuentre E B#!

b) Determine Qu pasa cuando crece( es decir, ?E B 8 8 _8

Solucin.

a) E TH T " " " " " ! #! " " ! " " "! ! " ! ! " #

! !

! !

! ! "

#! #! "

"$

"$

#!

#!

###

E TH T "

! "

! ! "

8 8 "

" " " "$ $ $ $

8 8

" "$ $

8 8

8 8

lim lim lim8_ 8_ 8_

8 8

" "$ $

8

"$

E B E # #" ## #

#

#

#

a b

8

8

Problema 68.

Sea [ B C D > B #D > ! B C $D #> ! a b #B C $D 5> !el subespacio asociado a un valor propio de multiplicidad y sean# > > " #> # > " E$ %y dos valores propios de cuyos vectores propios asociados son respectivamente y y ? " " " " ? " ! " # >< E )$ %a b a ba) Determine 5b) Averigue si existe la matriz y en caso afirmativo encuntrela s diag.?E E

Solucin. a) debe ser de dimensin 2, luego[

" ! # " ! " ! # " ! " " $ # ! ! " " " !# " $ 5 ! ! " " 5 # !

" ! # " !! " " " !! ! ! 5 " !

5 " ! 5 "

b) Valores propios:

> > > > ) #> # " ) > > " # $ % " " # (#

Vectores ptopios asociados a: son> > " # (#

y ? # " " ! ? " " ! "" #a b a b As: E THT"

E

# " " " ! " # "" " " ! " $ & $" ! " " " " $ #! " " # " # % $

! ! !

! ! !

! ! # !! ! ! "

(#

(#

es diagonalizable pues existe unaE "

#

"$ "& #( #" $ "! * '' "& $% #""& $$ '$ %"

base de vectores propios para .%

Problema 69.

Dada la matriz

E

# $ & # # %! 5 "% ' :

a) Determine la preimagen del vector para y c d' # ) "# 5 " : "!>

b) Determine los valores de y de modo que dim5 : M7E #c) Encuentre los valores adecuados de: y de modo que el vector+ , 5 :

pertenezca al c d+ , " 5/Solucin. a) Se debe resolver el sistema

# $ & ' # $ & ' # # % # ! " " )! " " ) ! " " )% ' "! "# ! ! ! !

\ > >

# ! # ")! " " )! ! ! !! ! ! !

* " ) "! "

b)

# $ & # $ & # # % ! " "! 5 " ! 5 "% ' : ! ! : "!

< E # 5 " : "!

# $ &! " "! ! " 5! ! : "!

a bluego y

c) Se debe tener que:

# $ & ! #+ $, & ! # # % ! #+ #, % !! 5 " ! 5, " !% ' : ! %+ ', : !

+,"

de donde se obtienen: y + " , " 5 " : "!

Problema 70.

a) Demuestre que toda matriz simtrica e idempotente es una matriz de proyeccin sobre un subespacio de [ 8

b) Determine el subespacio de y adems descrbalo geomtricamente tal[ $

que la matriz

T [ "'

" " # " " # # # %

es su matriz de proyeccin

Solucin. a) Sea una matriz simtrica e idempotente de , es decir:F 8 8

y F F F> #F

Se debe demostrar dos cosas:

1) Para cualquier sea y Z entonces\ ] F\ \ ] 8

es ortogonal a ] ^

2) Sea espacio columna de entonces es la suma de un[ M7F F \ vector de y un vector de [ [

En efecto: 1) ] ^ F\\ ] F\\ F\ \ F\F\ >

\ F \ F\ \ F \ F F\ \ F\ F \> > > > > > #

\ F\ F\ !>

2) Descomposicin unica)\ ] ^ ] [ ^ [

Sea una base ortonormal para ? ? ? [" # : As a\ \ B ? B ? B ? B ? B ?8 " " # # : : :" :" 8 8

es inmediato que , a esteB [3 3 3 3 \ ? " 3 : \ ? ?as ] !3"

8

vector se suele llamar :

@ 5? 5 t tB # B #5C $ C $5D % D %5

Con lo que: #5 $5 %5 " 5 "

#*

# # # As: y B C D

# $ %

#* #* #*

Problema 72.

a) Utilice la factorizacin para encontrar una solucin por mnimos cuadradosUV de dondeE\ ,

y E ,

" # # # " " # $ " ! " #" " # &

b) Se dice que y matrices de son semejantes si paraE F 8 8 F T ET"

alguna matriz invertible.T Demuestre que dos matrices semejantes tienen: el mismo determinante, rango y traza.Solucin. a) E\ , E E\ E , \ E E E , E UV > > > " > pero \ UV UV UV , V U UV V U , V U ,> " > > > " > > " >

Por Gram-Schmidt se obtienen

" " "" # $

"# "# $ &"! "#"#

$ &"!

&"!

&"!

''!

''

'$

As:

y U V U E

"# $ &"! ''

"# $ &"! !

"# &"! ''

"# &"! '$

# " "#

! & $

! ! '#

>

\ V U , U , "# &"! ''

! && '#

! ! '$

# #"!$

" > >

b) lFl lT ET l lT llEllT l lEl" "

pero entonces< F

X ! " ! ! " " " " "$ $ # " # $ X ! ! " ! " " " "% $ " # $

as la matriz de con respecto a a esX W W" #

E " " ! !! " " !! ! " "

ahora por cambio de base

E W W" # M T F T E "

W W" $ F

F "

#

" " " " " ! ! " " " ! " " !" " " ! ! " "

F "

#

" ! # " " # ! "" # # "

c) X F

"""!

"

#

""! ! !" # $ W$

X " " "

# # #! ! ! " " " " " " "" # $ " # # $ $ " $

Problema 74.

Sea el plano en con ecuacin [ B C #D !$

a) Encuentre la matriz representativa de la transformacin que proyecta ortogonalmente vectores de , sobre el plano $ [

b) Determine la matriz representativa de otra transformacin, que transforme los vectores del plano en los vectores de un plano cuya normal sea el vector[ a b" " "

Problema 75.

Sean y dos transformaciones lineales definidas por:X X " ## # # $

X C B"#transforma todo vector de en una reflexin con respecto a la recta

y definida por la matrizX#

E " "" "

" !

con respecto a , donde y cannicas de .W W W W" "" !1 # " #

$ a) Determine una frmula par X X # "b) Encuentre la matriz representativa de , e indique su efecto geomtrico enX"" plano de .#

Problema 76.

Sea una matriz ortogonal de y sea una transformacinE 8 8 X 8 8

definida por XB EB aB 8

Demuestre que: i) ll X B ll llBll ii) X B X C B C

Demostracin. i) ll X B ll llEBll EBEB EB EB B E EB > > > B M B B B B B llBll > >8ii) X B X C EBEC EB EC B E EC B C B C> > > >

Problema 77.

a) Si y son vectores propios de asociados con el valor propio entonces? @ E > para cualquier vector no nulo en .A ? @ EA >Ab) Sea una matriz diagonalizable, entonces demuestre que la matriz diagonalizadaE tambin satisface el polinomio caracterstico de H E

Solucin. a) Dado que: y E? >? E@ >@ ? @ A ? @ A 5? :@)

As: EA E5? :@ 5E? :E@ 5>? :>@ >5? :@ >A b) diagonalizable no singular tal que entoncesE bT E THT "

por Cayley HamiltonT > > + > + > +E 8 8"8" " ! de aquE + E + E + M !8 8"8" " ! 8

THT + THT + THT + TT !" 8 " 8" " "8" " !T H + H + H + M T ! 8 8" "8" " ! 8

H + H + H + M ! H T >8 8"8" " ! 8 Esatisface a .

Problema 78.

a) Mediante la factorizacin de determine una solucin por mnimosUV E cuadrados de EB ,

E ,

" # " "" $ # ## & $ !# ! " "$ " " #

b) Mediante Cholesky muestre que 0 B C D ! a B C D a b a b $ 0 B C D *B &C 'D "#BC 'BD #CDa b # # # Solucin.

a) B V U , #$ "&$$ #) ")'''% %#''

" > ""&

donde

V "* (*#$ #!)&

! (*#$ #!)&

! ! #!)&

"

" ' "*"* #'%" #!)&

" $%%"( #!)&

"$!

U "* "* "* "* "*

(*#$ (*#$ (*#$ (*#$ (*#$

#!)& #!)& #!)&

>

" " # # $"* "* "* "* "*

#! "$ &* "# $&(*#$ #'%" (*#$ #'%" (*#$( ' ")$% '*& %"(!

#" %$

"$*! %"(! #!)& #!)&

b)

E Y P * ' $ * ' $' & " ! " "

$ " ' ! ! %

" ! !

" !

" "

#$"$

H $ ! !! " !! ! #

0 B C D \ E\ \ P H HP P H \ P H \a b > > > > > >

$ # " B $ # " B! " " C ! " " C! ! # D ! ! # D

>

$B #C D C D #D C D$B #C D

#Dc d

$B #C D C D %D !# # #

Problema 79.

Para la matriz

E # " "" # "" " #

a) Determine su descomposicin espectral

b) Muestre que las matrices de la descomposicin espectral de corresponden aE las matrices de proyeccin ortogonal de cualquier vector de , sobre los$

los subespacios y [ [ > > ># $ "Solucin. a) Valores propios: > % > > "" # $ Vectores propios asociados:

1 1 11 11 1

, y !

!

base ortonormal

y 1 1 111 1 1

" " "

$ '#

! #

E > ; ; > ; ; > ; ;" " # # $ $" # $> > >

% " "!

! ! !

!

" " " " " "$ $ $ ' $ '" " " " # "$ $ $ $ $ $" " " " " "$ $ $ ' $ '

" "# #

" "# #

Ahora vamos a determinar la matriz de proyeccin de [>"

111

T UU " " " " " "" " "

" " "[

> " " "

$ $ $

c d

entonces T M T # " "

" # " " " #

[ $ ["$

!

! ! !

!

" "# #

" "# #

" " "' $ '" # "$ $ $" " "' $ '

Problema 80.

a) Determine un conjunto de vectores que genere el espacio nulo de

E " " # "# $ ' ## " $ "" " # "

b) Suponga que es ortogonal a y Demuestre que es ortogonal a? @ A ?t t t t cualquier vector de la forma donde y son escalares< @ =A < =t t

Solucin. a) Note que E M O/

por tanto es B B B ! E@ E@ E@ PM" # 8 " # 8

Problema 82.

Sean y bases para dondeW @ @ X A A T " # " # "

A > " A > "" #

Si la matriz de cambio de base de a esX W

" ## $ determine los vectores de W

Solucin.

Sea matriz de cambio de base de a , entoncesU X W" ## $

A " @ # @" " # A # @ $@# " #

de donde se obtienen: @ $A #A $> " #> " > &" " #

@ #A A #> " > " > $# " #

As los vectores de son: y W @ > & @ > $" #

Problema 83.

Responda con falso o verdadero cada una de las proposiciones siguientes, en casode ser verdadero demuestre y en caso de ser falso justifique.

a) En , || || || || para todo 8 8-@ - @ @

b) El espacio solucin del sistema homogeneo EB ! es generado por las columnas de Ec) Todo conjunto ortonormal de cinco vectores en es una base para . & &

d) Si , entonces E 8 8 < E 8es una matriz simtrica de a b Solucin.

a) Falso.

|| || || ||.-@ -@ -@ - @ @ l-l @ @ l-l @ # b) Falso.

Si es el espacio columna esta generado por vectores de E # $ # "

en tanto que la solucin de genera vectores de E ! $ "B

c) Verdadero.

Pus son cinco vectores y todo conjunto ortogonal es LI., .37 &&

por tanto forman una base para .&

d) Falso.

Como un contraejemplo basta tomar la matriz simtrica yE " "" "

sta es de rango 1 y no 2.

Problema 84.

De las afirmaciones que se indican, determine cules son verdaderas y cules sonfalsas. Para las que sean verdaderas debe hacer una demostracin y para las falsasbastar un contraejemplo o una justificacin adecuada.

a) Si

E + $ # " " + "! ! "

entonces el nico valor de para el cual el sistema lineal tiene una+ EB ! solucin no trivial es + #

b) Si un sistema lineal admite por soluciones a y a , entonces admiteEB , B B" #infinitas soluciones.

c) Una matriz simtrica siempre es diagonalizableE

d) Si entonces es el conjunto de todos los vectores de la[ ["!"

forma donde es cualquier nmero real.0

>! >Solucin.

a) Falso.

+ $ # " " + "! ! "

++ $ # ! + # + " por tanto

+ # no es el nico valor

b) Verdadera.

Si y son soluciones de y B B EB , EB , EB ," # " #

por tanto tambin es solucin puesB :B B " # "

EB :B B EB :EB EB , :, , ," # " " # "

Como es un real arbitrario, entonces el sistema admite infinitas soluciones.:

c) Falso.

La matriz que es simtrica no es diagonalizable, pues el valor propio " " !" " !! ! "

es de multiplicidad algebraica y su multiplicidad geomtrica es 1.> " #

d) Falsa.

Pues el vector tambin pertenece a y no es precsamente de la forma #"#

[

0, >

!>

Problema 85.

Determine una base ortonormal para el espacio solucin del sistema homogeneo

B B B #B !" # $ % #B B #B B !" # $ %

y encuentre el vector ms cercano al vector en el complementoa b" # ! " ortogonal de este espacio solucin

Solucin.

Sea el espacio solucin del sistema[

a? [ ? B B B B " " " # !# " # " !" # $ %

y B B B B $B" ! " " !! " ! $ ! " $ % # %

luego, ? B B B B B B $B B B " # $ % $ % % $ %

B " ! " ! B " $ ! "$ %

[ " ! " ! " $ ! "

"" " ! " !

"# " "# # " $ ! " " ! " ! " ' " #

As, es una base ortonormal para " ! " ! " ' " # [" "# %#

El vector ms cercano es :

porque

0000

( " # " $ (& # " " $ &"* % & " * "** ! $ $ $ *

O/< X

pues

0000

# " # " $ #

"# # " " $ "#( % & " * (& ! $ $ $ &

O/< X

b)

donde y F T ET E T

" # " $ " " " "# " " $ ! " " "% & " * ! ! " "! $ $ $ ! ! ! !

"

Problema 87.

a) Indique si es posible que los vectores

" " "" ! #" " "

formen una base de vectores propios asociados a los valores propios % " # tal que es diagonalizable y simtrica. No calcule E Eb) Demuestre que una matriz de proyeccin ortogonal sobre un subespacio [

solo admite por valores propios a: 0 y 1.

Solucin.a) Como los valores propios son reales distintos y sus vectores propios son ortogonales, entoces existe una matriz simtrica y diagonalizable.Eb) Sea una matriz de proyeccin ortogonal sobre un subespacio se sabe queE [

E E Ees idempotente ( .#

Si es un valor propio de y su vector propio asociado, entonces> E ? con de aqu E? >? ? E ? >E? E? >E? ) #

como >? > ? > > ? ? > > ! > ! > "# # # " #) )

Problema 88.

1. Dada la matriz

E

# $ & # # %! 5 "% ' :

a) Determine la preimagen del vector para y c d' # ) "# 5 " : "!>

b) Determine los valores de y de modo que dim5 : M7E #c) Encuentre los valores adecuados de: y de modo que el vector+ , 5 :

pertenezca al c d+ , " 5/ Solucin.

a) Se debe resolver el sistema

# $ & ' # $ & ' # # % # ! " " )! " " ) ! " " )% ' "! "# ! ! ! !

\ > >

# ! # ")! " " )! ! ! !! ! ! !

* " ) "! "

b)

# $ & # $ & # # % ! " "! 5 " ! 5 "% ' : ! ! : "!

< E # 5 " : "!

# $ &! " "! ! " 5! ! : "!

a bluego y

c) Se debe tener que:

# $ & ! #+ $, & ! # # % ! #+ #, % !! 5 " ! 5, " !% ' : ! %+ ', : !

+,"

de donde se obtienen: y + " , " 5 " : "!

Problema 89.

a) Demuestre que toda matriz simtrica e idempotente es una matriz de proyeccin sobre un subespacio de [ 8

b) Determine el subespacio de y adems descrbalo geomtricamente tal[ $

que la matriz

T [ "'

" " # " " # # # %

es su matriz de proyeccin

Solucin. a) Sea una matriz simtrica e idempotente de , es decir:F 8 8

y F F F> #F

Se debe demostrar dos cosas:

1) Para cualquier sea y Z entonces\ ] F\ \ ] 8

es ortogonal a ] ^

2) Sea espacio columna de entonces es la suma de un[ M7F F \ vector de y un vector de [ [

En efecto: 1) ] ^ F\\ ] F\\ F\ \ F\F\ >

\ F \ F\ \ F \ F F\ \ F\ F \> > > > > > #

\ F\ F\ !>

2) Descomposicin unica)\ ] ^ ] [ ^ [

Sea una base ortonormal para ? ? ? [" # : As a\ \ B ? B ? B ? B ? B ?8 " " # # : : :" :" 8 8

es inmediato que , a esteB [3 3 3 3 \ ? " 3 : \ ? ?as ] !3"

8

vector se suele llamar :

Que representa a una recta en $

Problema 90.

Aplique la desigualdad de Cauchy-Schwarz a los vectores:

y ? @ t t# B$ C% D

para determinar el mximo de la funcin sujeta a la0 B C D #B $C %Da brestriccin Cul es el punto donde se produce este mximo?B C D "# # #

Solucin.La desigualdad de Cauchy-Schwarz dice: luego? @ l? @l ll?ll ll@llt t t t t t

#B $C %D # $ % B C D #* # # # # # # el mximo de es 0 B C D #*a b Ahora, como y es mx. cuando? @ ll?ll ll@ll-9=> ll?ll -9=> ? @t t t t t t t

es paralelo a entonces es vlido suponer que-9=> " ? @t t

@ 5? 5 t tB # B #5C $ C $5D % D %5

Con lo que: #5 $5 %5 " 5 "

#*

# # # As: y B C D

# $ %

#* #* #* Problema 91.

a) Utilice la factorizacin para encontrar una solucin por mnimos cuadradosUV de dondeE\ ,

y E ,

" # # # " " # $ " ! " #" " # &

b) Se dice que y matrices de son semejantes si paraE F 8 8 F T ET"

alguna matriz invertible.T Demuestre que dos matrices semejantes tienen: el mismo determinante, rango y traza.

Solucin. a) E\ , E E\ E , \ E E E , E UV > > > " > pero \ UV UV UV , V U UV V U , V U ,> " > > > " > > " >

Por Gram-Schmidt se obtienen

" " "" # $

"# "# $ &"! "#"#

$ &"!

&"!

&"!

''!

''

'$

As:

y U V U E

"# $ &"! ''

"# $ &"! !

"# &"! ''

"# &"! '$

# " "#

! & $

! ! '#

>

\ V U , U , "# &"! ''

! && '#

! ! '$

# #"!$

" > >

b) lFl lT ET l lT llEllT l lEl" "

pero entonces< F

a) Si y son matrices cuadradas de orden n, tales que y E F EF E FE Fdemuestre que es una matriz idempotente.E>

b) Sea demuestre que F EE E E E Q F F #> " > # >78 F

Solucin. a) Por demostrar que E E> # >

En efecto E E E EF EF F E F E F > # > > > > > > > > > FE E> >

F F E F EF F E EF E> > > > > > > > >

b) F F EE E E EE E E EE E E # > > " > > " > > " > >

EM E E E EE E E8 > " > > " > >

EE E E EE E E> " > > > " >

EE E E EE E E F F #F> " > > " >

Problema 94.

Encontrar de manera que la siguiente matriz sea ortogonal! " #

E "

$

# & &

" # &

# % &

!

"

#

Solucin. Por definicin es ortogonal si y solo si entonces se debe cumplirE E E> "

EE E E M > > $

EE M "

*

# & & # " #

" # &

# % & & & # & % &

>$

!

"

#

! " # de donde

se obtiene el sistema de ecuaciones, que sigue:

"

*% & " ! !! ! !# #

"

*# # ! !!" !"

"

*% % " !!# !#

" % $' '

* & &" "

&" " "# #

" ) $

* !

&"# #

" "' $

* &% "

##

As resultan dos ternas de valores para y que son:! " #

! " ! " ! ! ' $ ' $

& & & & Problema 95.

Si

y P E " ! ! " # " #

# " ! + # " "$ " " , - ! "

a) Determine y c de modo que + , E PYb) Ocupe y para resolver en los siguientes casos de P Y E\ G G 3 3

y G G ! " #! " "! # %

" #

Solucin.

a) Se debe tener que : , as resulta+ ,

" " # + # $ , $

E " # " # " # " #

# # " " ! # " $$ - ! " ! - ' $ &

entonces

- '

# " - )

b)

E Y" # " # " # " #! # " $ ! # " $! # $ & ! ! % )

Por tanto donde: E\ G PY\ G P] G Y\ ]3 3 3

P] G " ! ! ! " # ! " #

# " ! ! " $ ! " "$ " " ! # & ! # %

3

Y\ ] " # " # ! " #! # " $ ! " $! ! % ) ! # &

B C DB C DB C DB C D

" " "

# # #

$ $$

% % %

De aqu se obtienen:

\ \ \

B

B

#BB

C

C D

#C

C

" D

#D

D

" # #

%"# %

%

%

%" " ( "% # ) #% %"# %

%

%

&% %

%

Problema 96.

La solucin de un sistema lineal est dado por

parmetros\ > > > >

# # &! " !

$ $ $! ! "

" # " #a) Cuantas variables tiene el sistema?, cules estan cons