algebra ii - armando rojo

7/18/2019 Algebra II - Armando Rojo

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A L G E B R A I I

A R MA N D O 0. ROJ O

IIIIIIIIE L A T E N E Owww.FreeLibros.com



álgebra II

Armando O. Rojo

D é c i m a t e r c e r a e d i c i ó n

I I I 1 1 I I I OBRERIA-EDITORIAL

J M U Ü Í E L A T E N E O

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512 (075) Rojo, Arm ando O.

ROJ Algebra II. - 13a. ed. - Bue nos Aires: El Ateneo,1995.XII, 396 p.; 23 x 16 cm.

ISBN 950-02-5205-8

I. Tí tu lo -1 . M atemá t ica - Enseñanza S ecundar ia

Adve r tenc ia impo r tan te :

E i de rech o de p rop ied ad de es ta obra comprende para su au to r lafacultad de dispo ner de el ia, pub licar la, traducir la, ada ptar la o autor izar su traducción y reproducir la en cua lquier forma , total o parcialmente, po r medios electrónicos o mecánicos, incluyendo fotocopias, grabaciónm agnetofónica y cualquier s is tem a de a lmacenam iento de in formación.

Por consiguiente, n adie t iene facultad a ejercitar los derech os precitados

sin pe rmiso de l autor y del editor, por escr ito.

Los infractores serán reprimidos con las pe nas del artículo 172 yconcordantes del Código Penal (arts. 2, 9,10, 71, 72 ley 11.723).

Queda hecho el depósito que establece la ley Ns 11.723.© 19 73 , 1975, 1976 (3ay 4 a edición), 1978, 1980,1981, 1983, 1985, 1987, 1 991 ,1993 , 1995, "EL ATENE O" Pedro García S. A.Librería, Editorial e Inmobiliaria, Florida 340, Buenos Aires.Fundada en 1912 por don Pe dro García.

Impreso en T. G. CO LOR EFE,Paso 192, Avellaneda, Bs. As.,el 6 de marzo de 1995.Tirada: 2.000 ejemplares.

IMPRESO EN LA ARGENTINA

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PROLOGO

Este libro responde a los contenidos de la asignatura ALGEBRA LINEAL, que figura en los planes de estudios del ciclo básico de Matemática de las facultades e institutos ote profesorado. Se supone adquirido el conocimiento de los temas relativos al álgebra de conjuntos, relaciones, y funciones, y de las estructuras de

grupo, anillo y cuerpo. Esencialmente se desarrolla aquí la estructura de espacio vectorial y se estudian los modelos particulares indispensables en la formación actual de profesionales y en las aplicaciones a disciplinas de uso cotidiano, entre las que citamos, por ejemplo, la Estadística y la Investigación operativa.

El esquema seguido es análogo al expues to en Algebra I, editado por EL ATENEO en 1972. La teoría es ilustrada con el desarrollo de ejemplos en los que el alumno puede apoyarse. En cada capítulo se propone un trabajo práctico cuyas respuestas se sugieren en el texto.

Agradezco a la editorial EL ATENEO y a su personaI la colaboración que me han brindado en todo lo concerniente a esta publicación.

Buenos Aires, mayo de 1973.A R M A N D O O . RO JO

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CONTENIDO

apítulo 1. ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL. SUBESPACIO

1.2. Concepto de espacio vectorial1.3. Propiedades de los espacios vectoriales

I 1. 4. Espacio vectorial de funciones! 1. 5. Espacio vectorial de n-uplas, 1 . 6 . Espacio vectorial de matrices, 1 . 7. Espacio vectorial de sucesiones

1. 8 . Subespacios1. 9. Operaciones entre subespacios

Trabajo Práctico I

pítulo 2. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL. BASE Y DIMENSION2 . 2 . Combinaciones lineales2. 3. Subespacio generado2 . 4. Dependencia e independencia lineal2. 5. Sistema de generadores2. 6 . Base de un espacio vectorial ^2. 7. Dimensión de un espacio vectorial 572 . 8 . Dimensión de la suma

¡ Trabajo Práctico II

iítulo 3. TRASFORMACIONES LINEALES3. 2 . Trasformación lineal entre dos espacios vectoriales 66

I 3. 3. Núcleo e imagen de una trasformación lineal 72

3. 4. Dimensiones del núcleo y de la imagen 803. 5. Teorema fundam ental de las trasformaciones lineales 833. 6 . Producto de matrices 85

3. 7. Matriz asociada a una trasformación lineal 86

3. 8 . Composición de trasformaciones lineales 923. 9. Trasformación lineal 110 singular 93

3.10. Composición de trasformaciones lineales y produc to de matrices 963.11. Espacio vectorial de trasformacioneslineales 983.12. Espacio dual de un espacio vectorial in i

Trabajo Práctico III ^

1

167

10

11

131520

27

30

3034425153

6063

66

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X C O N T E N I D O

Capítulo 4. MATRICES 106

4. 2. Producto de matrices 1064. 3. Anillo de matrices cuadradas 109

4. 4. Trasposición de matrices 1104. 5. Matrices simétricas y antisimétricas 1124. 6 . Matrices triangulares 114

4. 7. Matrices diagonales 114

4. 8 . Matrices idempoten tes e involutivas 1154. 9. Inversa de una matriz no singular 1164.10. Matrices ortogonales 117

4.11. Matrices hermitianas 1184.12. Matrices particionadas 1214.13. Espacios fila y columna de una matriz 123

4.14. Operaciones y matrices elementales 1304.15. Equivalencia de matrices 133

4.16. Método de Gauss Jordán para determ inar el rango 1354.17. Inversión de matrices por Gauss Jordán 1384.18. Inversión de matrices por partición 141

4.19 . Cambio de base y semejanza de matrices 144Trabajo práctico IV 149

Capítulo 5. DETERMINANTES 155

5. 2. Determinantes 155

5. 3. Propiedades de la función determinante 1575. 4. Existencia de D 1615. 5. Unicidad del determinante 1635. 6 . Determinante de la traspuesta 1665. 7. Determinante del producto de dos matrices 1695. 8 . Adjunta de una matriz cuadrada 1705. 9. Inversión de matrices no singulares 1725.10. Regla de Cilio 174

Trabajo Práctico V177

Capítulo 6 . SISTEMAS LINEALES 181

6 . 2. Sistemas lineales 1816 . 3. Teorema de Cramer 187

6. 4. Compatibilidad de sistemas lineales 1886. 5. Resolución de sistemas lineales 1906. 6. Sistemas homogéneos 196

6. 7. Conjunto solución de un sistema lineal 198

6. 8. Resolución de sistemas simétricos 2026. 9. Método del orlado 205

Trabajo Práctico VI 210

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CONTENIDO X I

Capítulo 7. PRODUCTO INTERIOR. GEOMETRIA VECTORIAL 214

7. 2. Espacio vectorial euclidiano 2147. 3. Ortogonalidad 2197. 4. Desigualdad de Schwarz 2227. 5. Desigualdad triangular 2237. 6. Angulo de dos vectores 2237. 7. Conjunto ortogonal de vectores 2257. 8. Base ortonormal 2257. 9. Complemento ortogonal 2297.10. Proyección de un vector sobre otro 2327.11. Espacio afín Rn 2337.12. Ecuaciones vectorial y cartesianas de larecta 2367.13. Ecuación normal vectorial del plano 2397.14. Curvas en el espacio 2467.15. Superficie cilindrica 2497.16. Superficie cónica 2517.17. Proyección de una curva sobre un plano 253

Trabajo Práctico VII 257

Capítulo 8. VALORES Y VECTORES PROPIOS. DIAGONALIZACION 263

8. 2. Valores y vectores propios 2638. 3. Polinomio característico de unamatriz 270

8. 4. Diagonalización de matrices 2768. 5. Triangulación de endomorfismos ydematrices 2798. 6. Teorema de Hamilton-Cayley 282

Trabajo Práctico VIII 285

Capítulo 9. FORMAS BILINEALES Y CUADRATICAS 289

9. 2. Formas bilineales 289

9. 3. Formas hermitianas 2939. 4. Formas cuadráticas 2949. 5. Operadores adjuntos y traspuestos 2969. 6. Operadores hermitianos y simétricos 2999. 7. Operadores unitarios y ortogonales 3009. 8. Teorema de Sylvester 3039. 9. Diagonalización de operadores simétricos 3079.10. Matrices simétricas reales y valores propios 3109.11. Descomposición espectral de una matriz 3119.12. Congruencia de formas cuadráticas 314

9.13. Signo de una forma cuadrática 318Trabajo Práctico IX 321

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X II C O N T E N D I O

Capítulo 10. CONVEXIDAD. PROGRAMACION LINEAL 325

10.2. Conjuntos de puntos en Rn 32510.3= Segmentos, hiperplanos y semiespacios 33010.4. Convexidad en Rn 33610.5. Convexidad y trasformaciones lineales

33910.6. Hiperplanos soportantes 34210.7. Puntos extremos 34410.8. Introducción a la Programación Lineal 346Trabajo Práctico X 356

BIBLIOGRAFIA 359

RESPUESTAS A LOS TRABAJOS PRACTICOS 361

INDICE 393

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Capítulo 1

ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL

SUBESPACIOS

1.1. INTRODUCCION

La estructura de espacio vectorial, que tratamos en este capítulo, es el concepto básicodel Algebra Lineal. Confiere unidad y precisión a temas esenciales de la matemática quetienen vastas aplicaciones en la ciencia y en la tecnología actuales. Después de introducir elsistema axiomático y de dar las propiedades fundamentales, proponemos los espaciosvectoriales de funciones,de los que se derivan los modelos de los espacios de matrices,n —uplas y sucesiones de elem entos de un cuerpo . Se da, finalmente, el concepto desubespacio.

1.2. CONCEPTO DE ESPACIO VECTORIAL

Sean: V un conjunto no vacío, K un cuerpo, + y . dos funciones, que llamaremos suma y produc to, respectivamente.

Definición

El objeto (V, + , K , . ) es un espacio vectorial si y sólo si se verifican los siguientes:

Aj . La suma es una ley de composición interna en V.

+ : V2 -> V

O sea

x e V a y e V =>x + y e V

Esto significa que la suma de dos elementos cualesquiera de V es un único elemento deV.

A2 . La suma es asociativa en V.

(x + y) + z = x + (y + z)

cualesquiera que sean x, y, z en V.

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A3 . Existe un neutro para la suma en V.El elemento neutro se denota con 0.

3 0 e V / V x e V : x + 0 - 0 + x = x

A4 • Todo elemento de V admite inverso aditivo u opuesto en V.

V x e V , 3 y e V / x + y = y + x = 0

Al opuesto de x lo denotamos con —x, o sea, y = —x.

A5 . La suma es conmutativa en V.

X + y = y + x

cualesquiera que sean x, y en V.

A6 . El produc to es una ley de composición externa en V con escalares u operadores

en K. r

. : K X V - > V

De acuerdo con 5.6, A lg ebraí, del mismo autor, la imagen del par (a, x), donde a e K yx e V, se escribe a x y se llama producto del escalar a por x.O sea

a e K a x e V =>ax eV

A7 . El produc to satisface la asociatividad mixta.

V a e K, V P e K, V x e V : a (0 x) - (a p) xObservamos aquí que los dos productos que figuran en el primer miembrocorresponden a la ley de composición externa. Pero el producto a p del segundomiembro se efectúa en K.

A8 . El producto es distributivo respecto de la suma en K.

V a e K , V 0 e K , V x e V : ( a + 0 ) x = a x + (}x

La suma a + 0 se efectúa en K, pero la suma que figura en el segundo miembrocorresponde a la ley de composición interna en V.

Ag . El producto es distribu tivo respecto de la suma en V.

V a e K , V x e V , V y e V ; a,(x + y ) - o ,x + o ; y

Las dos sumas se realizan en V.

A,0. La unidad dei cuerpo es neutro para el producto.

V x e V : Ix =x

donde 1 denota la identidad en K.

Los axiomas A ,, A2, A3, A4 y As caracterizan a (V ,+ ) como grupo abeliano. Losúltimos cinco axiomas son relativos a la ley de composición externa.

Los elementos de V se llaman vectores; en particular, el elemento neutro para la suma

2 ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL. SUBESPACIOS

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ESPACIO VECTORIAL 3

recibe el nombre de vector nulo. A menudo hablaremos del espacio vectorial V,sobrentendiendo que nos referimos a la cuaterna (V, + , K , .). La simplificación de lasnotaciones hace conveniente el uso de los mismos símbolos para nom brar las leyes decomposición interna en K, la suma en V y el producto de escalares por vectores. O sea, al

decir K nos estamos refiriendo al cuerpo (K, +, .), donde los signos “+ ” y denotan lasdos leyes de composición interna en K, que no tienen el mismo significado que las quefiguran en (V, +, K , .). Distinguiendo adecuadamente los elementos de K y los de V, no hay

lugar a confusión.

Así

a + ¡3es una suma en K x 4- y es una suma en V

a (i es un producto en K a x es el produc to de un escalar por un vector

Ejemplo 1-1.

Sean: V = R2, K = R, la adición definida en R2 por

(a , b) + (c , d) = (a + c , b + d) (1)

y el producto de números reales por elementos de R2 definido mediante

a(a , b ) = (oca, ot b ) ( 2 )

Resulta (R2, +, R ,.) el espacio vectorial de los pares ordenados de números reales

sobre el cuerpo de los números reales.En efecto, de acuerdo con los ejemplos 5-2 y 5-5 iv) del texto nombrado, es (R2 , +)un grupo abeliano.

Por otra par te se verifican:

A6 . Por la definición (2).

A7 . a = u ( P a , & b ) = (a ¡J = (aa + (3a , a b + ( ib) =

= (a a , a b) + (j3a , 0 b) = a (a , b) + j3 ( a , b)

De acuerdo con (2), la distributividad del producto respecto de la suma en R, y las

definiciones (1) y (2).

A9 . a ^ (a , b) + ( c , d) J = a (a + c , b +-d)~ ( a (a + c ) , a (b + rf)| =

= ( aa + a c , o t b + a d ) = (Oia, <xb) + (o te, oc d ) ~a (a , b ) + a ( c , d)

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Según (1), (2), distributividad de la multiplicación respecto de la adición en R y lasdefiniciones (I ) y (2). ’ *

A¡0. 1 ( a, b) = (1a , Ib) = (a , b)

El significado geométrico de las operaciones de este espacio vectorial es el siguiente:la suma de dos vectores no colineales del plano queda representada por la diagonal del paraleiogramo que forman. El pro ducto de un número real a por un vector no nulo x ~ ( a , b), es el vector a x que tiene la misma dirección que x; el mismo sentido si<*>0, y sentido opuesto si a < 0 . Corresponde a una dilatación si la l> 1 y a unacontracc ión si I ot I < 1. Si a - 0, entonces se obtiene el vector nulo.

Ejemplo 1-2.

En R2 se definen: la suma, como en el ejemplo anterior, y la ley de composiciónexterna mediante

« ( « , * ) = (a, a) (2’)

Se verifica, como antes, que (R 2 , +) es un grupo abeliano.

En cuanto a (2), satisface A6. Su significado geométrico es el siguiente: todos los

pares ordenados que tienen la misma absisa, al ser multiplicados po r cualquier númeroreal, se proyectan sobre la primera bisectriz paralelamente al eje de ordenadas.

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ESPACIO VECTORIAL

También se satisface A7, pues

« {$(<*,b)) = <*(a,a) = ( a, a) = ( a$ ) ( a, b)

No se verifica A8, ya que

(a +i 3) (a ,b ) = (a, a)

pero

a (a , b) + 0 (a , b) = (a , a) + (a , a) = (2a , 2a)

Este hecho es suficiente para afirmar que no se trata de un espacio vectorial.

El lector puede comprobar que esta interpretación cumple A9 pero no A10 .Observamos aquí que la estructura de espacio vectorial no es inherente exclusivamenteal conjunto V, sino que, además, depende de K y de las leyes de composición que sedefinan. Aclaramos que toda vez que se mencione al espacio vectorial (R2, + , R , .) sesobrentenderá que la suma y el producto son los definidos en (1) y en (2) del ejemplo

Ejemplo 1-3.

La estructura de espacio vectorial no es un sistema axiomático independiente, pues As puede deducirse sobre la base de los restan tes axiomas.En efecto

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x + x + y + y ^ l x + lx + ly + l y = (1 + l ) x + ( l + l )y —(1 + 1 ) 0 + y)

= 1 (x + y) + 1 (x + y) = lx + ly + lx + ly = x + y + x + y

en virtud de Aio , Ag, A9, Ag, A9 y A10 .

O sea

X + x + y +*y - X + y + x + y

Por ley cancelativa en el grupo (V , + ) resulta

x + y =y + x

1.3. PROPIEDADES DE LOS ESPACIOS VECTORIALES

Sea (V, + , K , .) un espacio vectorial.

1.3.1. El producto del escalar O por cualquier vector es el vector nulo.

En efecto, por neu tro para la suma en K y A8 es

a x = (a + 0)x = ax + Ox

Por A 3 se tiene JJHC + O Ox

Y por ley cancelativa resulta

0 x = 0

1.3.2. El producto de cualquier escalar por el vector nulo es el vector nulo.

Por A 3 y A9 esa x = f l ( x + 0 ) = « x + a 0

Entonces

a x + a O = o i x

Por A3

JX-X-+ a O ~ xhc + O

Y por regularidad en (V, +), resultaa O = O


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1.3.3 .Si el producto de un escalar por un ve ctores el vector nulo, entonces el escalar es 0 oel vector es nulo.

a x = 0 ^ a = 0 v x = 0

Se presentan dos posibilidades: a ~ 0, o bien, a 0En el primer caso es verdadera la primera proposición de la disyunción que figura en la

tesis, y por consiguiente ésta es verdadera.En el segundo caso es necesario prob ar que x = 0.En efecto, siendo 0, existe el inverso multiplicativo en K, a ’1. Partiendo de la

hipótesis, premultiplicando por a 1, usando A7, 1.3.2., el producto de inversos en K y Ai0

se tiene

a x = 0 => a -1 (a x) = a-1 0 => (a ’1 a ) x = 0 lx ~ 0 x = 0

1.3.4. El opuesto de cualquier escalar po r un vector es igual al opuesto de su producto.

(--«) x = - (a x)

Teniendo en cuenta A4, 1.3.1., la suma de opuestos en K y A8, es

—( a x ) + a x = 0 = 0x = (—a + a) x = ( -a ) x + a x

De

( a ) x +-e¿'X'= - (a x) + jxjc

después de cancelar, resulta

( - a) x = - (a x)

En particular se tiene

(—1) x = -- (1 x) = - x

PROPIEDADES DE LOS ESPACIOS VECTORIALES 7

1.4. ESPACIO VECTORIAL DE FUNCIONES

El símbolo Kx denota el conjunto de todas las funciones con dominio un conjunto X # 0y codominio un cuerpo K, o sea

Kx = { f / f : X - > K |

En Kx definimos la suma de funciones y el produc to de escalares por funciones mediante

i ) Si f y g son dos elementos cualesquiera de Kx , entonces f + g : X -»■K es tal que

(f + g) (x) = f (*) + g (x ) V j c c X

ii) Si a es cualquier elemento de K y f es cualquier elemento de Kx , entonces

a f : X -> K es tal que

(a f) (x) = a f (x) V x e X

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Tanto la suma de funciones con dominio X =É0 y codominio K, como el producto deescalares por funciones, se llaman leyes de composición punto a punto.

Resulta (KX , + , K , . ) un espacio vectorial. Para ello, veamos que se verifican losaxiomas.

A ( . f e Kx a g e Kx => f + g e Kx por la definición i)

A2 .Sean f, g y h en Kx . Cualquiera que sea x e X se verifica, teniendo en cuenta ladefinición i) y la asociatividad de la suma en K:

(( f + g) + h) (x) = (f + g)(x) + h(x ) = ( f (x ) + g(x ) j + h (x) =

= f (x) 4- ( g (X) + h (x) J = f (x) + (g + h) (x ) - ( f + (g + h) (x)

Y por definición de funciones iguales resulta(f + g) + h = f + (g + h)

A3 . El vector nulo es la función nula

e: X K definida por e (x) = 0 cualquiera que sea x e X .

Sea f e Kx . Teniendo en cuenta i), la definición de e y la suma en K, es

(f + e) 0 ) = f (x) + e (x) = f (x) + 0 = f (x) .

Luego

f + e = f Análogamente se verifica que e + f - f.

A4 • Inverso aditivo de f e Kx es la función - f : X -+ K definida por (~ f) (x) = - f (x)En efecto, para to do x e X se verifica

( - f + f) (x) = ( f) (x) + f (x) - - f (x) + f (x) = 0 = e (x)

O sea

( - f ) + f = e

Análogamente se prueba que

f + ( - f ) = e

A s . La suma en Kx es conmutativa, ya que

(f + g) O) = f (x) + g (x) = g (x) + f (x) = (g + 0 (x)

Luego

f + g = g + f cualesquiera que sean f y g en Kx .


A 6 . a e K A f e K x => a f e K x p o r la d e f in i c i ó n i i ) .

A 7 . S e a n a e K , / 3 e K y f e K x .

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Entonces

(a<JJf)) W = « ( ( Í O W ) = « ( p f ( x ) ) = (a f l) f( je ) = ( ( a f í t j (x)

Luegoa(/3f) = (a/?)f

A8 . Considerando

a e K , 0 e K y f e K x es

((« + P) f j (*) = (a + p) f (x) = a f (x) + p f (X) =

= (a f) (jc) + (/i f) (x) = (a f + p f) (x)

en k “ ¡)“ i r “ " 3 tenÍend° “ CUe,,ta i0 ’ 13 d¡S,ributiVÍdad ^ 13 asociatividad del productoEntonces es

(a + |3)f = a f + 0 f

A9 . Sean a e K , f e K x y g e K x .

y 0 » r2 e 0, distdbutividad del pr0duct0 resP“ ‘° de la suma en K y por las definiciones ii)

( “ ( f+ g) J (*) = <* ((f + g ) W ) = , ( f W + g W ) =

= a f W + « g W = (oif) (A:) + (a g)(*) = (a f + a g ) w

O sea

a ( ? + g ) ~ a : f + a g

AI0 . Cualquiera que sea f en Kx se verifica

(lf)C *) = 1 f( * ) = f(je)

Luego

1 f = f

no Vedt0rial de laS funci0nes definidas “ 61este espacio IZltZl ^ ^ C° mP° S1CÍÓn PUn‘° 3 P“ ‘°- Los

La figura siguiente explica la situación en el caso particular en que K = R y X = [0,1 ]

ESPACIO VECTORIAL DE FUNCIONES <.

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1.5. ESPACIO VECTORIAL DE «-UPLAS DE ELEMENTOS DE K

Con relación al espacio vectorial de funciones (Kx , +, K , .) consideremos el caso particular en que X es el intervalo na tura l inicial I„ . Toda función f: ln -*■fí es una n-upla deelementos de K, y escribiendo K1" = K" es (K" , + , K , .) el espacio vectorial de las n-uplas deelementos de K.

Las definiciones i) y ii) dadas en 1.4. se traducen aquí de la siguiente manera:

i ) Si f y g denotan elementos de K ", entonces f + g es la función de 1„ en K definida por

(f + g) Í0 ” f (0 + g (0 cualquiera que sea i e l„

Es decir

c i = (f + g) (0 = f (0 + g (0 = a¡ + bi

donde au b¡ y c¡ son las imágenes de i dadas por f, g y f + g, respectivamente.En consecuencia, dos n-uplas de elementos de K se suman componente a componente.

ii) Si oí e K y f e K ", entonces a f es la función de I„ en K definida por

(a f) (?) = a f (/) cualquiera que sea / e In.

Denotando mediante c,- la imagen de i dada por a f es

Ci = (a 0 (0 = oc f (/) = a a¡

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Es decir, el producto de un elemento de K por una n-upla se realiza multiplicando en K adicho elemento por cada componente de la n-upla.

En particular (K, +, K , .) es el espacio vectorial donde los vectores se identifican con los

elementos del cuerpo K. En este caso, la ley de composición externa es interna.En consecuencia, (R, +, R , .) es el espacio vectorial de los números reales sobre el cuerpo

de los reales. Este es un caso particular del espacio vectorial de las n-uplas de números realessobre el cuerpo de los reales, que denotamos mediante (Rn, +, R ,.).

(C", +, C , .) es el espacio vectorial de las n-uplas de números complejos sobre el cuerpo delos complejos.

ESPACIOS DE N-U PL A S Y DE MATRICES j x

1.6. ESPACIO VECTORIAL DE MATRICES n x m

Particularizando nuevamente con relación al espacio vectorial tratado en 1.4., consideremos X = I„ X l m, o sea, el producto cartesiano de los dos intervalos naturales iniciales: e

Im •Llamamos matriz n x m con elementos en K a toda función

La imagen del elemento (/, /) perteneciente al dominio se denota por a¡j.

La matriz f queda caracterizada por el conjun to de las imágenes

«11 «12 . . . a Xm

«22• • • a2m

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y suele escribirse como un cuadro de n.m elemenos de K dispuesos en n filas y m columnas.

En cada fila o renglón se escriben las imágenes de todos los pares ordenados que tienen lamisma primera componente, y en cada columna se anotan las imágenes de todos los paresordenados que tienen la misma segunda componente. El elemento de la matriz que figura en

la fila i y en la columna j se denota por a¡j, y es la imagen dada por f, del par (i, /). LlamandoA a la matriz cuyo elemento genérico es ay, escribiremos

«11 «12 «13

«21 «22 «23

A =

«i,l 2 m

« n i « n2 a n3

Tanto las filas como las columnas de A se llaman líneas de la matriz.Abreviando, puede escribirse

A = (a¡j) donde /= 1, 2,. .., n y / = 1, 2 , . . m

El conjunto de todas las matrices n x m con elementos en K. es K!»XIm y se denotamediante KnXm.

Las definiciones i) y ii) dadas en 1.4, se traducen aquí de la siguiente manera: si A y B sondos matrices de K” x m , su suma es C e K" x m, tal que

c¡j = (f + g) (i, j) = f (/,/) + g (/, /) = au + b¡j

y el produc to del escalar a e K por la matriz A es la matriz de Kn x m cuyo elemento genéricocu es tal que

c¡i = (a f) ( i , J) = a f (/ , f ) ~ a au

O sea, dos matrices del tipo n x m se suman elemento a elemento; y para multiplicar unescalar por una matriz n x m s e multiplica dicho escalar por todos los elementos de la matriz.

La cuaterna (KnXm, + , K , .) deno ta el espacio vectorial de las matrices n x m conelementos en K. En este espacio, los vectores son matrices.

En particular (KnXn, +,K , .) es el espacio vectorial de las matrices cuadradas, es decir,de n filas y n columnas.

El vector nulo del espacio K" x m se llama matriz nula; la denotaremos mediante N, y estádefinida por «y = 0 V i V /.

La matriz inversa aditiva u opuesta de A = (a¡j) es B, cuyo elemento genérico satisface la

relación b¡¡ = -a¡j. Escribiremos B = —A.

Por definición de funciones iguales resulta A = B si y sólo si a¡j = b¡j V/ V /.

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ESPACIO DE SUCESIONES 13

Ejemplo 1-4.

En R2 x 3 se consideran las matrices A y B cuyos elem entos genéricos son a a = 2i - j y

¡ j . j = 1 —i2 . Obtenemos C = A —2B.La expresión de C es C = A + ( —2)B, y como

1 0 -1

3 2 1 /

resulta

1 0 -1

C = +

B =

1.7. ESPACIO VECTORIAL DE SUCESIONES

Sean: X = N y KN el conjunto de todas las funciones de N en K. Los elementos de KNson todas las sucesiones de elementos de K, y retomando lo expuesto en 1.4. resulta

(Kn , +, K, .) un espacio vectorial.Las definiciones i) y ii) de 1.4. se interpretan ahora de la siguiente manera:

Ci = (f + g) (0 = f (0 + g (0 = + bi V ie N

c¡ = (a f) (/) = a f (i) = a a¡ Vi e N

O sea

(«j, a2, + (¿ i , b 2, ■■ bn, . . .) = (fli + b i, a2 + b 2, . . an .)

a (fl|, a2, ■■ a»t . . .) = (aa i , cta2, ■■ ocaUi . . .)

El vector nulo es la sucesión

0 = ( 0 , 0 , . . . , 0, . . .)

Ejemplo 1-5Sea R [X] el conjunto de los polinomios reales en la indeterminada X. La suma enR [X] se define como en 12.2.2., Algebra 1, del mismo autor. El producto de escalares

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14ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL. SUBESPACIOS

reales por polinomios es el habiual, o sea si cxeK y P eR [X ], enonces a P es la

función de N0 en R definida por (ccP (i) = a P (i), cualquiera que sea i e N0.

Res a (R [ X] ,+ , R , . el espacio vecorial de los polinomios reales en la indeerminada X sobre el cuerpo de los números reales.

El conjunto de los polinomios reales de grado 2 no es un espacio vectorial sobre el

cuerpo de los reales, porque la suma no es una ley de composición interna en dichoconjunto. Pero el conjunto de los polinomios reales de grado menor o igual que 2 y el

polinomio nulo constituye un espacio vectorial sobre R.

Ejemplo 1-6

Sea S el conjunto de las funciones reales definidas en [0,1 ] tales que f (0) = 0, es decir

S = í f : [ 0 , l ] ^ R / f ( 0 ) = 0j

Como todo elemento de S pertenece a R f0,1 es S C R l0-1)

Considerando las leyes de composición definidas en 1.4., se verifican

A, •feSAges^f(0)=OAg(0)=0=»f(0) + g(0)=c^(f + g)(o) = o=»f + geS

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SUBESPACIOS 15

A2 Como la suma de funciones es asociativa en R]0,1' , también lo es en S.

A3 . La función nula es el vector nulo de S.

A4 . Todo elemento de S admite un opuesto en S.Si f e S, en tonces —f e S, pues (—f) (0) = —f (0) = 0.

As . Cualesquiera que sean f y g en S, se tiene

f+ g = g + f

pues S C R^0,1^

A6 a e R a f e S ^ a e R a f (0 ) = 0 = > a f ( 0 ) = 0 =>( a f) ( 0) = 0 =» ot fe S

Los restantes axiomas, lo mismo que A2 y A5, por ser identidades en Rl°aí se

cumplen en S ya que S C R 0’1J.En consecuencia, (S, + , R , .) es un espacio vectorial.

1.8. SUBESPACIOS

1.8.1. Concepto

Dados el espacio vectorial (V, +, K , .) y el con junto no vacío S C V, si S es un espacio

vectorial sobre el mismo cuerpo K y con las mismas leyes de composición que en V, diremosque (S, + , K , .) es un subespacio de (V, + , K , .), o simplemente, que S es uí? subespacio de

V.

Definición

S es un subespacio de (V , + , K , .) si y sólo si (S, + , K, .) es un espacio vectorial.

Cualquiera que sea (V, + , K , .), tanto V como j 0} son subespacios de V, llamados

triviales.

Ejemplo 1'7

Consideremos el espacio vectorial (R 2 , + , R , .) y los subconjuntos

T = ¡ (x, y) e R 2 i y = x + 1 ¡ S = {(x, y ) e R 2 f y = 2 x )

T no es un subespacio, pues el vector nulo (0,0) ¿ T .

En cambio, S es un subespacio de R2 , ya que

1° (S, +) es un subgrupo de (R2, +). En efecto, de acuerdo con la condición suficientedemostrada en 8.4.2., Algebra I , del mismo autor.se verifica

( x , y ) e S a ( x ’, y r) e S ^ y = 2x a y ’= 2 x ’^ y - y ’= 2 ( x -*•)=>

(x - x \ y - y 1) e S => (x, y) + ( - x -y*) e S

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2o Respeco de la ley de com posición exerna consideramos

Los axiomas A ,, A ,, A , y A ,„ , por ser igaldades en R 2, se cmplen en S ya qeS C R

De la definición se deduce que (S, + , K , . es un subespacio de (V, +, K, . si y sólo si

(S, + es un subgrupo de (V, + y S es cerrado para el produco por escalares.

1.8.2. Condición suficiene

e n L l T s ^ K n^ C‘° ^ V “ Cr v ° Para la SUma y Para 61 Pr 0dct0 P0r e s c a l a r c s .entonces (a, t , K , .) es n sbespacio de (V, + , K , .).

Hipótesis) (V, +, K , .) es n espacio vectorial^ S C V

1 . x e S a y e S= >x + y e S2. oí e K a x e S => a x e S

Tesis) (S, +, K ,.) es n sbespacio de (V, +, K , .)

Demosración

1° Consideremos dos vecores cualesquiera x e y en S. De acuerdo con la condición 2 dela hipóesis, por 1.3.4. y por la condición 1. de la hipóesis,se iene

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SUBESPACIOS

x e S A y e S = > x e S A ( - l ) y e S = ^ x e S A - y e S => x+ ( -y ) e S

En consecencia,(S, +) es n sbgrpo de (V, + ).

T S es cerrado para el prodcto por escalares, de acerdo con la condición 2 de lahipótesis.

La aplicación del teorema demostrado es esencial para determinar si n conjnto S es nsbespacio de (V, + , K, .). Para qe lo sea, deben verificarse las condiciones qe figran en lahipótesis del mismo, a saber:

1. S =f=4>

2. SCV

3. x e S A y e S = > x + y e S

4 . a e K A x e S = * a x e S

Estas condiciones son, además, necesarias. Es decir, sabiendo qe S es n sbespacio son

proposiciones verdaderas.

Ejemplo 1-8

Sean: el espacio vectorial (R 3, + , R , .), y el conjnto S de las ternas ordenadas de R tales qe la tercera componente es igal a la sma de las dos primeras.O sea

S= { ( x ^ ^ ^ e R 3 l x z = *i + *2 f

Afirmamos qe S es n sbespacio de R3, pes

1. (1 , 2, 3) e S => S =£0

2. S C R3 por la definición de S.

3. (x¡, X 2 , X 3 ) e S A O i , ^ 2, ^ 3 e S = > X 3 = X t + X 2 A y 3 - y l + y 2

=" ^3 + ^ 3 =(*1 + V l + (* 2 + 7 2 =>0Cl + y 1 , X 2 + y 2, X 3 + J ' 3 e S = >

^ ( x If x 2 , x 3) + ( y l t y 2, y 3) e S Hemos aplicado sucesivamene: la definición de S, la adición en R, la definición de S y

la definición de suma de ernas.

4. a e R a (xj, x 2l x 3) e S ^ a e R a x j =a:1 + x 2 =>

^ a x 3 + otx2 :* (o ix 1 , a x 2 , a x 3 ) e S=*oc ( x l , x 2 , x 3 ) e $

Por definición de S, muliplicación en R, definición de S y la definición de producode escalares por ernas.

Al sbespacio S pertenecen las ternas {xx, x 2, x 3) e R3 qe satisfacen la condición

x \ + x 2 - x 3 = 0

Esta ecación define n plano qe pasa por el origen.

17

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Ejemplo 1-9

Considerando el espacio vecorial de las funciones reales definidas en [0 11 auedenoamos mediane (R , +, R, ., sean los subconjunos

1. S = { fe R V /(0 = 0

2. S = { f e RV/O = 1 }

f l e\ CT iene Un subesPacio de R l. como fue raado en dealle en el eiemolo1-6. Independien emene del análisis realizado en el ejemplo ciado se U» a f

misma conclusion aplicando el eorema demosrado, pero en forma más'saple

En canto al caso 2., S no es n sbespacio, pes no es cerrado m ra l p

efecto, las fnciones f y g de I en R definidas por P" a‘a SUma' E"

f(r) = j ; + l g( ^)==x2 + 1

satisfacen las condiciones

f ( °) =l g (0) = 1

o sea, son elementos de S. Pero la sma f + g está definida por

( f + g) (x ) = f(x) + g ( x ) = x 2 + x + 2y no pertenece a S, ya qe

(f + g)(0) = 2

Ejemplo 1-10

Dado el espacio vecorial (R4, + , R , . consideramos

S- j ( x lt x 2, x 3, * 4)e R 4 /x1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1 j

Se verifica que

1. pues (1, 0 ,0 , 0 e S

2. S C R 4 por la definición de S

3. S 110 es cerrado para la suma ya que

(1 , 1 , - 1 , 0 e S a ( I , 1, -1 , 0 eS pero

(1, 1, —1, 0) +(1, 1, —1, o) = (2, 2, —2, 0) S

s V e ^ o h ! T Í a’ S n°68 Un SUbeSpacio- Por otri>porte, el vector nlo no pertenece ay esto basta para qe no sea n sbespacio. fenece a

Ejemplo 1-11 .

cdm nas" ’ + ’ R' ° ^ ^ * t o matdCeS CUadradas „ filas y „

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SUBESPACIOS 19

Si A e R”*n escribimos

A =

au an

#21 #22• «ln \• a 2 n

\&n1 • • • ®nn

Por definición, traza .de na matriz cadrada es la sma de los elementos de s

diagonal. La notación es

tr

El conjnto

A = an + ú¡22 + . . . + ann - 2^ ati

S = ( A e R nx" / fr A = 0

es el conjnto de las matrices de traza nla de R nxn, y constitye n sbespacio, pes

se verifica:

1. S =£0, pes la matriz nla N es de raza nula, y en consecuencia es un elemeno

de S.

2. S e Rnx" por definición de S.

3. S es cerrado para la adición.

Sean A y B dos matrices calesqiera de S. Entoncesn n

A e S A B e S = > t r A = 0/ \ t r B = 0=>'E aH= 0 a 2 bü = 0 =>i - 1 (= 1

=»i a„ + i bu = 0 ¿ (aü + bu) = 0=>=i «=i i—i

=> tr (A + B) = 0 => A + B e S

4. S es cerrado para el prodcto por escalares. En efecton

a e R A A e S = >a e R A - A = 0 => a e R A 2 « t- = 0=>=in n

=> a 2 a a - 0 =►S a a¡i = 0 *=>tr (a A) = 0 =* a A e Si = l i —1

Ejemplo 1-12.

Consideremos S = j ( x u x 2) e R2/*i > x 2 ¡ e investigemos si S es n sbespacio de

(R2,+> R, .)■

Se ve de inmediato qe no se verifica A4, pes no todo elemento de S admiteopesto en S. As

(0, - l ) e S p e r o (0, 1) ¿ S

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Analizando la sitación en términos de la condición sficiente demostrada, se verifica:

1. S * f )

2 . S C R 2

3. S es cerrado para la sma.

O i , x 2)eSAOi,^2)eS=>xl > x 2 / \ y x > y 2=*

^*1 + y i > x 2 + y 2 * ( X l + y i ! x 2 + y 2 ) e s = > ( x i , x 2) + ( y lt y 2 ) e s

£ p t a ° “ Cerrad° Pari> d Pr° dUCt0 P° r eSC!ÜareS' C0m0Io ^ sigiente

(2,1) e S A (-2) (2,1) = (_ 4, -2 )j^S

En consecencia, S no es n sbespacio de R 2.

> ESTRUCTURA DE l-SPACIO VECTORIAL. SUBESPACIOS

*2

1.9. OPERACIONES CON SUBESPACIOS

1.9.1. Inersección de subespacios

Sea I S, | con i e l una familia de subespacios de (V, +, K, .. Denoaremos con S la

inersección de dicha familia, o sea, S = .H S,. Resula S un subespacio de V.

ir. Tet°ie” la ^1; a ¡ " l e c c ió n de toda familia de sbespacios de V, es n sbespacio de VHipótesis) (V, + , K, .) es n espacio vectorial

( Sf ) con i e I es na familia de sbespacios de V

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INTERSECCION DE SUBESPACIOS 21

Tesis) S = .Q j S,- es n sbespacio de V.

Dem osración De acuerdo con la condición suficiene 1.8.2. se verifica

1. S no es vacío, pues

0 e S , Vi e I => 0 e H s¿ =>¿ e l

r i oi el 1 r r

Por ser cada Sf un subespacio y por definición de inersección.

2. S esá incluido en V, ya que

sfcv,v/ei=> sfcv=>scv‘ 16 I

Por ser cada S, un subespacio de V y porque la inersección de oda familia de

subconjunos de V es una pare de éste.3. S es cerrado para la sma. En efecto

x e S A y e S = ^ x e > l s , A y e i l S /= >¿el iel n s, ay e n¿el 7 iel

=>X € S¡ a y e Si , Vi e I => x + y e S¿, Vi e I ==>

^ x + y e P s ^ x + y e Sie l

Por definición de intersección, y porqe todo S¡ es n sbespacio.

4. S es cerrado para el pro dcto po r escalares.Consideremos ex e K y x e S. Ahora bien

a e K A x e S = * a e K A x e f i s ¿ = *¿el 1

=>a e K a x e S ¡ , V/'e I =>a x e S f , V/ e I =*

^ a x e H s . - ^ a x e Siel

Ejemplo 1-13

En (R 3, +, R , .) consideramos los sbespacios

Si = j ( x , , x 2 x 3) e R 3/x3 = 0 j S2 = j ( x I lx 2 lx 3) e R 3/x I=0

La intersección de estos es

S = Si n S2 = j (X|, x 2, x 3 ) e R 3/ x i = 0 a x 3 = 0 }

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Esto significa qe n vector genérico de S es na terna del tipo (0,x2,0) qe pedeexpresarse mediante (0, a, 0) para algún olen R.

Entonces

S = ((0 , a, 0) e R3 /a e R )

O sea, S es el eje x 2

Subespacios de R3 son: R 3 , {0 }, odas las recas que pasan po r el origen y odos los

planos que pasan por dicho puno . Dos recas disinas que pasan por e! origen son

subespacios cuya inersección es el vecor nulo, y se llaman disjunos.

1.9.2. Unión de subespacios

Si Si y S2 son dos subespacios de (V, + , K , ., enonces Si U S2 , no es necesariamene un

subespacio de V, como lo prueba el siguiene ejemplo:

Consideremos en (R2, + , R , . los subespacios Sj y S2 de la figura

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La nión de ambos es el par de rectas, y eligiendo x e S , , y e S2, distintos del vector nlo,se tiene

x e S j = > x e S ! U S 2

y e S 2 =>y e S i s 2

pero

x + y / S ! U S2

1.9.3. Suma de subespacios

Sean Si y S2 dos sbespacios de (V, + , K , .). Definimos el conjun o

S = ( x e V / x = xj + x2 a x i e S i a x 2 e S 2 1

O sea

S = | x e V / 3 x 1 e S 1A 3 x 2 e S 2 A x = x! + x 2 )

El conjnto S se llama sma de los sbespacios St y S2 y se indica

| S = S1 + S 2

Teorema. La sma de dos sbespacios de V es n sbespacio de V.

Hipótesis) Sj y S2 son dos sbespacios de (V, + , K , .)S = S ! + S 2

Tesis) (S, + , K , .) es n sbespacio de (V, + , K , .)

Demosración Se verifican las condiciones expuesas en 1.8.2., a saber

1. S es no vacío, pues

O e S i A 0 e S 2 ^ 0 + 0 = 0 e S i + S2 =>0eS

2. S es na parte de V, por la definición de S.3. S es cerrado para la sma, ya qe

xeSAy es=*x = xi + x 2Ay = y_x + y JAxl í yl eSjAX.y eS2 =►

^ x + y = (Xl + y , ) + (x2 + y 2)AXt + y i e S i a x2 + y 2 6 S2 =*

=*x + y e S

4. S es cerrado para el pro dcto por escalares, porqe

a e K A x e S = >a e K A x = x 1 + x2 axi e S j A x 2 e S 2 =>

=>Q :x = a !x , + a x 2 A f t x1 e S l A a x 2 e S 2 = > a x e S

Por consigiente, la sma de sbespacios es n sbespacio.

Un caso particlar importan te se presenta cando los sbespacios Si y S2 son disjntos,

es decir, si Sj n S2 = {0 j . En esta sitación, el sbespacio S = Sj + S2recibe el nombre desma directa de Si y S2, y se tiliza la notación

S = S, © S2

SUMA DE SUBESPACIOS 23

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Sineizamos eso en la siguiene definición

s = s j © s 2 S = S! + s 2 a Si n s 2 = f o }


Ejemplo 1-14

Consideremos primero los subespacios de R3

S , = ¡ ( a , ¡3’,0) /a£RA(J’ c R | S2 = j( 0 ,0 ", y ) / r e R a t eR )

El sbespacio sma S = Si + S2 está formado por todas las ternas del tipo

(a , 0’ + y ) = (<*,(}, y )

y es R3. Ambos sbespacios son los planos indicados en la figra, y como sintersección es el eje x 2 , la sma S = S, + S2 “ R 3 no es directa.

En cambio, si

S t H ( t t , 0 , 0 ) / a e R [ y S2 = j (0 J , O)/ 0e R )

se tiene

S = S , + S2 ~ 0)/a e RA /3 e R )

O sea, la suma es direca y se idenifica con el plano horizonal

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OPERACIONES E NTRE SUBESPACIOS 25

Extendemos la definición de sma de sbespacios al caso en qe n > 2.

Definición

Sma de los sbespacios S j, S2, . . Sn de (V, +, K , .) es el conjnto

S ~ 2 S¿ = ( x e V/x = S x¡ax¿ eS , ( V/' = 1,2 , . . n)

n

Reslta S = 2 S¡ n sbespacio de (V, +, K , .).

Además, si tales sbespacios son disjntos dos a dos, o sea

i ^ / ^ s , - n S j = {o}

entonces diremos qe S es la sma directa de ellos, y escribiremos

S = SX© S2 ®. . . © S*

Ejemplo 1-15

Sean S, T y U sbespacios de (V, + , K , .), tales qe T C S . Entonces se verifica qe

s n ( T + ) = T + ( s n )

I o. x e S n ( T + U ) = > x e S A x e T + U=>

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ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL. SUBESPACIOS

= * x e SAx = x 1 -f-XjAXi eTAx 2 eU=»

=^(xi + x 2 e S A X ] e S ) a x2 e U a Xi e T =>

^ X j € T a x 2 e S A x 2 eU=>

=> x t e Ta x 2 e S n U =►xi + x 2 e T + (S n U) =►

= > xe T + ( S n U )

O sea

s n ( T + ) c T + ( s n ) ( i )

2o. x e T + (S n U) => x = xj + x2A x t c T a x 2 e S n = >

^ X ! e T A x 2 6 S a x 2 e U =>

=>x j eTAx! cSax 2 e S A x 2 eU=>

=*Xi + x 2 eSAX! + x 2 e T + U=>

= > x , + x a e S n ( T + l J ) = > x eS n ( T + U)

Lego

T + (S O U C S n (T + U) (2)

De (1 y (2 resula la igualdad.

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I

TRABAJO PRACTICO I

1-16. Deerminar si las cuaernas que se indican denoan espacios vecoriales con las

operaciones que se indican

i ) (R, + , Q ,.) iü) (Q} + j r )

i i ( Q , + , Q , . iv (R, +, Z , .

1-17. Sea (V, +, K , . un espacio vecorial. Demosrar

i x + y = 0 = > y ~ —x i ü x + ay = x + a z y ^ 0 ^ y = z

i i x + y = x=>y = 0 iv ax = bx y x ¥^0 = b

1-18. Deerminar ct sabiendo que y ^ 0 y que

(1 - a x + a ( x —y = x —y1'19. Considerando V = Rr , o sea, el conjuno de las funciones reales con una variable real,

y K = R, invesigar si son espacios vecoriales sobre R:

i El conjnto de las fnciones continas,i i ) El conjn to de las fnciones derivables.iü ) El conjnto de las fnciones pares, o sea, las fnciones f e R R tales qe

f 00 = f ( - x ) .

iv) El conjnto de las fnciones impares, es decir, las aplicaciones f c R R qeverifican f (x) = —f (- x ) .

v ) El conjnto de las fnciones constantes,vi) El conjnto de las fnciones no negativas.

1-20. Sean V = R2 y K = R. Deerminar si las siguienes operaciones definen sobre V una

esrucura de espacio vecorial.

( a , b) + (a’ , b ,) = ( l a + l a ’ l ¡ } + l f }’)2 2 2 2 '

oc (a , b) ~ (ota, ab)

1-21. Deerminar si (C2 , + , C ,. es un espacio vecorial, definiendo( z , , z 2 ) + ( z ’l r z ’2 ) ^ ( z 1 + z ’l t z 2 + z ’2)

z ( z i , z 2) = ( z z l , z z 2)

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1-22. Considerando el espacio vecorial (R 3 , +, R , ., invesigar si los siguienes conjunos

son subespacios de R3

i ) S= ( ( x 1, x 2 fx 3 e R 3/ x 1+ x 3 = 0 J

i i S = ( ( x 1,X2 ,x3 e R 3/ i x 1 1= 1^2 l

iii S = | (x 1( x 2, x 3 e R 3/x 3 =X i + 2

1-23. Sea el espacio vecorial (R " ,+ , R , .. D eerminar si los siguienes conjunos son

subespacios de R"

i S = ((Xi, x 2, . - - x n) e K n¡ xn e Z \

nii S = ( (x i ,x 2, .. x „ e R ^ S ü i X i ^ O A a i eR}

1-24. Demosrar que S = {(z , w e C2/z = iw } es un subespacio de (C2, +, C , ,.

1-25. Sean C2 y S = | (z , w e C2/z - z + w = 0 }. Deerminar si son subespacios (S, +, C , .

y ( S , + , R , ..

1-26. Sean S y T sbespacios de (V, +, K , .). En el prodcto cartesiano S X T se definen

(x , y) + (x* , y ’) = (x + x’ , y + y ’)

<x (x , y) = (ax , ay)

Demosrar que ( S X T , + , K , .) es n espacio vectorial. El espacio S X T se llama prodcto directo de S por T.

1-27. (R” x" , + , R , .) denota el espacio vectorial de las matrices reales n x n.Por definición, la matriz A e R nxn se llama trianglar sperior si y sólo si

i > j =>a¡j = 0

Demosrar que (S ,+ , R , . es un subespacio de Rnx" , siendo S el conjuno de las

marices riangulares superiores.

1-28. Dado (R 2 , + , R , ., deerminar si los siguienes subconjunos son subespacios

0 S - ( ( x , ^ ) / ( x - ^ ) 2 = ( x + ^ ) 2 )

ii T=( ( x , y ) / - ^ x + y = x ~ ^ y \

1'29. Considerando (C2, + , R , .) el espacio vectorial de los pares ordenados de númeroscomplejos sobre el cerpo de los reales, investigar si los sigientes conjntos sonsbespacios del mismo.

1 ) S = j (z , u) e C2/z2 + u 2 = 0 J

ii) S = |(z , u) e C2¡z + 2« e R |iii) S = { (z , u) e C2 /R e (z) = R e («))

iv) S = J (z , u) e C2 / Im (z) = 0 a R e (z - u) = Im (z) f

2 8 ES TR UCTURA DE ESPACIO VECTORIAL. SUBESPACIOS

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TR A B A JO PRACTICO I 29

v S = j ( z , i / e C 2/z= u|

vi S = I (z , u) e C 2 / ím (z - /m (« = 0

1-30. Sean S, T y U sbespacios de (V, +, K, .)• Demosrar

i S + T = T + S .i i ) S + (T + U) = (S + T) + U.

i i i ) S C S + T .

1-31. Demosrar que si el subespacio S de (V, + , K , . es la sumadireca de los subespacios

Si y S2, enonces odo vecor de S puede expresarse demodoúnico como la suma de

un vecor de S y uno de S2.

1-32. Sean (Rn xn , +, R , . y los subconjunos

S = { A e R nKn V/V/

T = 1 A e R,,Xl I a¡¡ = -a Jt Vi V;)

Por definición, los elementos de S se llaman matrices simétricas, y los de T se llamanmatrices antisimétricas.Demosrar

Io. S y T son sbespacios de R " xr*

2° . R " X" = S © T

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Capitulo 2

DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL,

BASE Y DIMENSION

2.1. INTR ODUCCION

En esta nidad introdcimos las definiciones de combinación lineal de n conjnto novacio de n espado vectorial y de sbespacio generado por el mismo. Se estdian ladependencia e independencia lineal y los sistemas de generadores, a fin de caracterizar losconceptos de base y de dimensión en el caso finito.

2.2. COMBINACIONES LI NEALES

2.2.1. Concepto

A ^ Vr,V2’■' -; v" j na familia 0 conjnto de vectores del espacio Í V + K 1

“ r e " : “ t í * " “ ■ ¿

Definición

Combinación lineal de la familia A C V es todo vector del tipon

.2 = a , Vl + ü 2 v2 + . . . + tt„ vn I oc¡ g K. a v¡ c A

o b t te P“ r n l o '“ S° n nUl° S’ h C°mbÍ ”aCÍ Ó" * « “ >• trivial y se

Definición

El vector v e V es combinación lineal de la familia A c V si y sólo si exist™ ,

<*i, <*2 , . . tales qe y ten escalares

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COMBINACIONES LI NEALES 31

Ejemplo 2-1.

Sean los vectores v, = ( -1 , 0, 2) y v2 = ( - 1 , 2 ,4 ) en R3 . Deerminamos si los vecores

v = ( - 1 , 1, 3 y u - (1, 2, 2 son combinación lineal de Vj y v2.

1. Para que v sea combinación lineal de v y v2 deben exisir escalares oi y a 2 ales

que

« i V! + a 2 v2 = v

O sea

a , ( - 1 ,0 , 2 + o2 ( - 1 , 2 ,4 = (—1, 1, 3

Por definición de ley exerna es

( - a j , 0, 2 + ( - a 2 , 2aa , 4aa - ( -1 , -1,3

Por suma de ernas

(-(*! - 0:2 , 20 :2 , 20!! + 4oa = ( - l , 1, 3

Por igualdad de emas resula

—OÍ! — C ¿2 = —1

2 0*2 = 1

2 a i + 4 a 2 = 3

Entonces

0¡1 + q¡2 = 1

1ct2 - -

a t + 2o ^ = -

Sstityendo a2 =— en la primera ecación, se tiene

. 1 1Oíj + - = 1 = *0 t i = —

2 . 2

Como ambos valores a, = ~ y a7 = —satisfacen la tercera relación es v = —v 1 +—v2.2 2 2 2

O sea, v puede expresarse como combinación lineal única de Vj y v2 .

2. Si u = (1, 2, 2 , enonces procediendo análogamene se llega a

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3 2 DEP ENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL. BASE Y DIMENSION

- Ci! - 0i2 = l

2 <*2 = 2 o bien

2úi + 4<¡ í 2 = 2

Oí! + 0i2 - -1

a2 = 1

O'! + 2<*2 = 1

De donde

0i2 - 1 =>-0!, + 1 = -1 => o! = - 2

Al sstitir en la tercera ecación

- 2 + 2 . 1 = 0 ^ 1

Entonces no es combinación lineal de Vi y v2.

Ejem plo 2-2.

En el espacio vectorial de las fnciones reales de na variable real (Rr , +, R , .) sean lasfnciones f y g definidas por

f ( 0 = e y g (0 = e3

Deerminar odas las combinaciones lineales, es decir, los escalares a y b, ales que

a i + ¿>g = 0

donde 0 denoa la función nula, definida por 0 (í = 0 , V t € R.

Por definición de funciones iguales, suma de funciones y produco de escalares por funciones (véase 1.4.) se tiene

El propósito es obtene r los escalares a y b qe satisfagan a (1) para todo t e R.Derivando (1 se iene

En consecencia es a = 0.

Lego, la única combinación lineal de f y g qe da la fnción nla es la trivial. Toda vezqe esto ocrra, diremos qe los vectores, en este caso f y g, son linealmenteindependientes.

a f ( ) + b g (f) = 0 calqiera qe sea t e R

O sea

aet + b e ^ t = 0 (1

Y como e3í nunca es cero, resula b = 0, que susiuido en (1 nos da

a e = 0

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COMBINACIONES LINEALES 33

Ejemplo 2-3-1.

Decidimos si el vecor v = (1, 2 ,3 es com binación lineal de la familia cuyos elemenos

son los vecores de R 3 ,

Vl = ( 1 , 0 , - 1 v a = ( 0 , 1 , - 1 v 3 = ( 1 , 1, —2

Invesigamos si exisen escalares reales a , b y c , ales que

a Vi + / j v 2 + c v 3 = v

Entonces, debe ser

a (1 ,0 , —1) + (0, , —1) + c (1, 1, —2) = (1 ,2 ,3 )

Efectando operaciones

(a, 0, - a ) + (0, b, -b ) + (c, ct -2c) = (1 ,2, 3)

(a + c, b + c, ~a - ft‘- 2 c ) - ( l , 2 ,3 )Por igaldad de ternas es

a + c - 1

b + c = 2

—a —b - 2 c = 3

Smando las tres relaciones se tiene

0 = 6

lo qe es imposible.En consecencia, v no es combinación lineal de Vi , v2 , y v 3 .

Ejemplo 2-3-2.

En el espacio vectorial (R2X2, + , R , .) se consideran las matrices

Deerminar odas las combinaciones lineales de A, B y C qe den la matriz nla N.

Hay que obene r a, 0 y y en R, ales que

a A + 0 B + 7 C = N

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34 DEPE NDE NCIA E I NDEPE NDE NCIA LI NEAL. BASE Y DIME NSION

Por produco de escalares po r marices es

“ ° W í ° ) + /° ° . u ° °0 a ) \ 0 0 / \ y y ) [ Q q

Por suma en R2* 2 se iene

/< * + 0 0 \ / o 0 \

\ 0 + 7 a + y ) \ 0 0 /

Por igualdad de marices resula

a + 0 = 0

0 + 7 = 0

oc + y = 0

De las dos primeras se deduce

Susiuyendo en la ercera es

O sea

0f = _ 0 y <y = _ 0

- 2 0 = 0

0 = 0

Lego a = 0 = 7 = O y l a única com binación lineal que saisface la relación propuesa esla rivial. v

2.3. SUBESPACIO GE NERADO

2.3.1. Conjuno de combinaciones lineales

Sea A n con jnto no vaco de vectores del espacio (V, +, K , .). A expensas de A podemos form ar el sbcon jnto de V cyos elem entos sean todas las combinaciones linealesde los vectores de A. A este conj nto lo denotaremos con el smbolo A, qe se lee “ A raya”

Si A = { V i, v2, . . v„ } , entonces escribiremos

^ = (i? i a¡ v* / “ e K A vi e A )

Ejemplo 2-4.

El conjnto de todas las combinaciones lineales de los vectores

v , = (1 ,0 ,1 ) y v2 =(0,1 , l ) d e R 3

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S U B ES P ACIO GENERADO 35

es

Á = { « i (1 , 0 ,1 + o2 (0 ,1 , l /«*! eR A (*2 e R ¡

O sea

Á = j ( a j ,o a ,« ! + <*2 /<*i c R a a2 e R |

En consecencia, a A pertenecen todas las temas cya tercera componente es la smade las dos primeras.

Podemos escribir

A = ) (x i, x 2, x 3) e R 3 1 x 3 =Xi + x 2 )

2.3.2 . Subespacio generado por una familia de vectores

Teorema. El conjnto de las combinaciones lineales de toda familia no vaca de n

espacio vectorial es n sbespacio del mismo.Hipótesis) (V, +, K , .) es n espacio vectorial

A = (vi, va, ■■.,v„ ¡ CV

Tesis) (A, + , K , .) es n sbespacio de V

Demosración

1. Siendo Vi = 1 v t + 0 v2 + . . . + 0 v„ se deduce que Vi e A, o sea, A 0

2. Por definición, se tiene _ n

v e A =>3 a t , <x2, . . Q¡„ e K / v = 2 a¡ v¿ a v¿ e A =>=i

n=> v = .2^ a¡ v¡ a dj e K a v¡ e V, pes A C V

Lego

v e Á ^ v e V

O sea

A C V

3. A es cerrado para la sma.Sean v y u en A.

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3 6

4. A es cerrado para_ el pro dcto po r escalares.Sean a e K y v e A.

a e K A v e A = > a e K A v = 2 a, v- =>=i 1 ‘

DEPE NDE NCIA E I NDEPE NDE NCIA LI NEAL. BASE Y DIM E NSION

<*/ v, = 2 a (a, v, = 2 (a a f v, = 0, v , = »a v e Á

Como se cumplen las hipóesis del eorema 1.8.2., resula (A, +, K , .), n sbespacio de1 ’ 5i“ , IV,

Definición

El sbespacio de las combinaciones lineales de la familia no vaca A C V se llama

sbespacio generado p or A.

Ejemplo 2-5.

Deerminar el subespacio de (R 3, + ,R ,. generado por la familia A cyos elementosson los vectores

v, = ( 2 , 1 , 2 ) y v2 = (1 ,2 ,1 )

Por definición, el sbespacio A es el conjnto de las temas { x u x 2, x 3) e R 3 tales qe

( x i , x 2l x 3) = a 1 (2, 1, 2) + ü 2 (1 ,2 , 1)

= (2 , « i , 2a !) + (a2i 2a2, a 2)

= (2 a, + a2 (a , + 2a2, 2a t + a 2)Por igaldad de ternas es

2 a j + a 2 = x t

a i + 2a2 ~ x 2

2 a j + a 2 = x 3

De la primera y ercera relación se deduce

x i = x 3

y x 2 es cualquier número real.

En consecencia

A - ¡ ( x l , x 2 , x 1 ) / x l e R A x , e R

A es el plano de ecación x , - x* = 0

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SUBESPACIO GE NERADO

Ejemplo 2-6.

Obener el subespacio de ( R 2 x 2 , + , R ,. generado por las marices

1 0 \ / O I

Vl~ ' o - i ) Vs ~( 0 0V , =

0 0

1 0

A = | £ o¡¡ V¿ /oíí e K a V,- e A )

\ /=i '

Todo vector de A es na matriz I ^ ¿ I ta^ 1e

1 0 ' 0 1 0 0

0)1 o - i / + “2lo o / + “3 U 0,

a b

c d

Realizando operaciones en R 2 x2 es

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http://slidepdf.com/reader/full/algebra-ii-armando-rojo-56d6c1dc14ece 47/401




se iene que.

A C A

Y siendo A n sbespacio qe inclye a A, se identifica con algún S e s decir, existe; en

I tal qe S;- = Á .Por otra parte, como la intersección está inclida en calqiera de los conjntos qe seintersecan, es

O s.- c Si UieI

En consecencia

Por lo tanto

l \ Si C S, V,

n s¡ c aiel '

A = n s,el ‘

En virtd del teorema demostrado, observamos qe el sbespacio generado por nafamilia no vaca de vectores de V z¡>ei “ mnim o” sbespacio, en el sentido de inclsión, qeinclye a A.

Ejemplo 2-7.

Demosrar que los siguienes conjunos de vecores generan el mismo subespacio de

R 3.

A = j (1, —1, 1) , (3, 0, 1) | B = j ( - 2 , - 1 , 0 ) , ( 5 , - 2 , 3 ) )

Deerminaremos Á y B.

1.A A pertenecen las ternas (x, y , z), tales qe

Entonces

Lego

Como t = - y , se tiene

( x , y , z ) = t ( 1, —1, 1) + « ( 3 , 0 , i )

(x, y , z) = (t , - t , t ) + (3u, 0, «)

(x, y, z) = (t + 3« , - t , t + u)

x = t + 3u

y - - t

z - t + u

x = - y + 3u

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DEP ENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL. BASE Y DIMENSION

O sea

Resando

Resula

x = - y + 3u

3 2 = - 3 y + 3u

x - 3z = 2y

A = j ( x , y , z ) e R 3 ¡ x - 2y - 3 z - 0

2. Procediendo análogamente para obtener B es

(x, y, z) = t ( - 2, — 1,0) + u (5, —2, 3)

(x, y, z) = ( - 2 1, - t , 0) + (5m, —2«, 3»)

(x, _v, z) = (— 2t + Su, —t —2u, 3« )

O sea

Como u - — z , se iene

3

O bien

Resando

Lego

Reslta

x = —21 4- 5«

y = - t - 2U

z = 3u

x = - 2 t + 7 *

y ~ - t ----- - z 3

x = —2 H — ■z

3

2 y = - 2 t ----- - z 3

x — 2y - 3z

B = \ (x ,y , z ) e R 3 l x ~-2y -3z = 0

A = B

La ecación x - 2 y - 3 z = 0 corresponde a n p lano qe pasa por el origen.

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Ejemplo 2-8.

El sbespacio de (V, + , K , .) generado por n vector v es, en particlar, el conjnto de

todos los múltiplos escalares de v, o sea

{ b / j k e KÍ

Deerminamos el subespacio de R2 generado por v = (1,2.

Llamando S a tal sbespacio, se tiene

S = ( ( x l , x 2 ) l ( x l , x 2 ) := k ( l , 2 )¡

En consecencia

{xt , x 2) = (k, 2k)

O sea

X i = k y x2

=2

k

Eliminando el parámetro k entre ambas relaciones, reslta

* 2 = 2 * !

O lo que es lo mismo

2 x ¡ - x 2 = 0

Entonces

S - j ( X , x 2 ) e R 2 / 2 x i ~ x 2 = 0 ¡

S es la recta qe pasa por el origen representada en la figra

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2.4. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL

2.4.1. Conjunto linealmente independíente

En el ejemplo 2-2 hemos demostrado qe la única combinación lineal de los vectores f yg, cyo resltado es el vector n lo, es la trivial. O sea

a f + b g = 0 =>aí=: b = Q

En este caso, los vectores son las fnciones de R en R definidas por

f ( t ) = et y g () = e3f

y la fnción qe asigna a todo número real t, el valor 0, es el vector nlo. Este hecho se

tradce diciendo qe los vectores f y g son linealmente independientes, o bien qe elconjnto {f, g } es linealmente independiente.

Sea A = | v j , v2 , . . . , vr | na familia de vectores del espacio (V, +, K ,.).

Definición

La familia A C V es linealmente independiente si y sólo si la única combinaciónlineal de dicha familia, cyo resltado sea el vector nlo, es la trivial.

En smbolos

>• A es linealmente independiente o Vz: .2 a¡ v¡ = 0 =► a¡ = 0.

La independencia lineal de n conjnto finito y no vaco de vectores significa qe no pede darse na combinación lineal de dicho conjnto qe dé el vector nlo, con algúnescalar distinto de cero.

Para investigar la independencia lineal de n conjnto de vectores, se propone na

combinación lineal de éstos, con escalares a determinar, qe sea igal al vector nlo. Si losescalares son necesariamente nlos, entonces el conjnto es linealmente independiente.

Convenimos en qe el conjnto vaco es linealmente independiente.

Definición

El conjnto A C V es linealmente independiente si y sólo si todo sbconjnto finito deA es linealmente independiente.

Esta definición extiende el concepto de independencia lineal a toda familia de vectores den espacio V.

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INDEPE NDE NCIA LI NEAL

Ejemplo 2-9.

Dado el espacio vecorial (R 3, +, R , . deerm inar si los siguienes conjunos de

vecores son linealmene independienes.

i A = ( ( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1)|

ii) B= 1 ( 1 , - 1 , 0 ) , ( 1 , 1 , 2 ) , ( 1 , 0 , 1))

i) Sea

«1 ( 1, 0 , 0 ) + ( 0 , 1 , 0 ) + £*3 (0 , o , 1) = (0 , 0 , 0)

(« i , 0 , 0 )+ ( 0 , 02 ,0 )+ (0 , 0 , a3) = (0 , 0 ,0)

(« 1 , 0 2 . « 3) = (0 , 0 , 0 )

Por igaldad de ternas reslta

o¡i = a2 = a 3 = 0Lego

A es linealmente independiente

ii) Procediendo análogamente

o¡i (1, —1, 0) + a 2 (1 ,1 , 2 ) +ce3 ( 1 ,0 ,1 ) = (0 ,0 , 0)

( a , , , 0) + (a2, Os, 2«2 + (a3,0 , a 3 = (0 ,0 ,0

(<*! + o¿2 + a 3»_ a i + *2a2 + 0 3 = (0 , 0 , 0

Entonces

g¡i + a 2 + o¿3 = 0

- a , + <*2 = 0 = > a 1 = a 2

2 a-i + a 3 = 0 =►a 3 = - 2o¿2

Las infinitas solciones de este sistema de ecaciones son

<Xx~k <*2 = k

ot 3 = —2 k c o n f c e R

En consecencia, B no es linealmente independiente, ya qe los escalares no sonnecesariamente nlos. Más aún, existen infinitas combinaciones lineales no trivialescyos resltados son el vector nlo.

Ejemplo 2‘10.

En (R1, + , R , .), donde I = [0 ,1 ], los vectores v t = sen y v2 = eos son linealmenteindependientes.

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44 DEPE NDE NCIA E I NDEPE NDE NCIA LI NEAL. BASE Y DIME NSION

Sea

a , sen + a 2 eos = 0

V í e [0,1] es

(aj sen + oc2 eos (f = O (?

Por definición de suma de funciones y de función nula

(a^ en ) ( t) + (a2 eos (í = 0

Por definición de produco de escalares por funciones

«i sen t + a 2 c o s t ^ O (1) Vi el

Derivando

oi eos t - a2 sen t = 0 (2

Resolvemos el sisema respeco de ai y a2 :

A = sen t eos t

eos t - sen t = - s e n í t - c o s 2 / = - 1

A a , =

0 eos t sen t 0

0 - 0 Aa2 “- sen t eos t 0= 0

Y la única solción es

= o ¡ 2 = 0

O sea

V], v2 } es linealmene independiene

Ejemplo 2-11.

Sabiendo que dos vecores vj y v2 son linealmene independienes en ( V , +, K

dem osrar que Vj + v2 y v2 son linealmene independienes.

Consideremos una combinación lineal de la familia ( v + v 2 , v2 } que sea igual al

vecor nulo, con escalares a y b, que deerminaremos:

a (v i + v2 + b v2 = 0

Por disribuividad respeco de la suma en V

a V i + a v 2 + b v 2 = 0

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DEPE NDE NCIA LI NEAL 45

Por distribtividad respecto de la sma en K

a Vj + (a + b) x-i = 0

Como, por hipótesis, Vj y v2 son linealmente independientes, se dedce

a = 0 y a + b = 0

En consecencia

a = b = 0

P o r consigiente, Vi + v2 y v2 son linealmente independientes.

2.4.2. Propiedad.

Si n vector es combinación lineal de na familia linealmente independiente, entonces

dicha combinación lineal es única.

Sea v e V combinación lineal de la familia j Vi , v2 , . . .,v r } , y ésta linealmente

independiente. Entonces existen escalares a¡ tales qer

V= 2 0f v¡1=1 1

Sponemos qe existen escalares tales qe

v = 2fi¡ vf 1=1

Entonces

.2 vf = 2 fr v¿i= i i—i

O sea

2 aiVf - 2 /3v = 0«=i 1=1

Lego

. 2 ( a f - f c ) v , = 01= 1

Y como la familia es linealmente independiente, se dedce qe

a¡ - (3¿ = 0 =► a¡ ~ (3¡ Vi' = 1, 2 , . . r

En consecencia, la combinación lineal es única.

2.4.3. Conjnto linealmente dependienteEn el ejemplo 2-9 ii) hemos probado qe existen escalares no simltáneamente nlos a i ,

a2, a3 tales qe

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a , ( 1 , - 1 , 0 + 0 2 (1, 1 , 2 + a 3 ( 1 , 0 , 1 - ( 0 , 0 ,0

Diremos que los vecores (1, - 1 ,0 , (1, 1, 2 y (1 ,0 , 1 son linealmene dependienes.

DefiniciónLa familia A C V es linealmente dependiente si y sólo si no es linealmenteindependiente.

La familia A = {Vi, v2, . . . , vr [ es n conjnto linealmente dependiente de vectoresde V si y sólo si existe na combinación lineal no trivial de dicha familia cyoresltado sea el vector nlo.

Negando las dos proposiciones que figuran en la definición de independencia lineal, seiene

r

A es linealmente dependiente o 3 / / 2 a, v- = 0 a a • =£ 0¿=i 1 ' 1

La dependencia lineal de n conjnto finito de vectores significa qe tiene qe existir, almenos, na combinación lineal de éstos qe dé el vector nlo y qe no sea trivial.

Parainvestigar la dependencia lineal de na familia de vectores, se propone nacombinación lineal de dicha familia, con escalares a determinar, qe sea igal alvector nlo.Si algún escalar es distinto de 0, entonces la familia es linealmente dependiente.

Ejem plo 2-12.

Los vectores (—2,4 ) y (1, - 2 ) son linealmente dependientes en (R 2>+, R, •)• En efecto, sea

<*! ( - 2 , 4) + a 2 (1 , —2) ~ (0, 0)

Por definición de prodcto de escalares por pares y por sma de pares es

( - 2 0-! +<*2,4 0!! - 2 oí2)= (0 ,0)Por igaldad de pares reslta

—2 <*! + a 2 = 0

4 a] - 2 a2 = 0

Dividiendo la segunda relación por - 2 , el sisema se reduce a la única ecuación

—2 a! + a 2 = 0

Esta admite infinitas solciones, dadas por

a 1 = k

a2 = 2 k y k e R

46 DEP ENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL. BASE Y DIMENSION

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DEP ENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL 47

Ejemplo 2‘13.

Las matrices

/ 1 0 \ /O 1 \ /O ° \ /O O

E n = ) ^12 = | | Eai = | j E22 = i

Vo o/ \o o/ \ i o' 'o 1

son vectores linealmente independientes del espacio vectorial (K2x2 , + , K , .), pes

calqiera qe sea la combinación lineal de los mismos con escalares en K, cyo

resltado sea la matriz nla, es la trivial. En efecto

a i E n + ct 2 E 12 + a 3 E2l + a 4 E22 = N =>

¡ a i 0 \ i 0 0C 2\ /O 0 \ /O 0 \ /O 0

l o 0 / \ o 0 / Va3 0 / ^0 a 4/ \ 0 0

0 0^i / °+

«3 0 '/ \ o

a2 \ 0 0^

a4 /i

\ 0 0;

Legoa 1 = a2 “ a 3 = a4 =0

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DEPE NDE NCIA E I NDEPE NDE NCIA LI NEAL. BASE Y DIME NSION

En cambio, las matrices

A - r 0

1 o

y B =1 0 / \ _ , o

son linealmente dependientes, pes

<*i A + a 2 B = N =>

« 1 - 0 2 0 \ / O O

a i - 02 0 / \ 0 0 .

O sea

a i - a 2 = 0 ^ oti~cx.2 = k \ / k e K

Por consiguiene, exisen escalares no simuláneamene nulos que saisfacen la relaciónanerior, lo que prueba la dependencia lineal.

2 .4.3 . P o p ied a d es

‘ in de pe nd ie ne n ° nU' ° ^ eSPaCÍ ° VeC‘° rial C° n5‘Í Uye ' á m e n e

Sea v * O en (V, + , K ,.. Consideremos

lin e lre m e independiene.’ C° m° ’ # ° ’ " de UCe qUe "= ° ’ y e" c™ - ™ »cia | v | es

” ^dependiene!^0 ^ CUa‘qUÍ er ™ t 0 M C° nSÍ Uye un « a lm en e

En efecto, calqier escalar, nlo o no, satisface la relación « O = O, según lo demosrado

ni Todo conjnto al qe pertenezca el vector nlo es linealmente dependiente.

Sea A Vj , v2, . . vr J con vy = 0. Se verifica qe

Ovi + 0v2 + . . . + <xj vj + . . . + Ovr = O

O sea

a j v j = ocj O = O

con dj no necesariamene nulo.

en

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iv Un conjuno finio y no vacío de vecores es linealmene dependiene si y sólo si algún

vecor es combinación lineal de los demás.

Sea A = {v j , v2). • vr na familia de vectores de ( V, + , K, . ) . Demosramos las dos

condiciones en que se desdobla el enunciado: necesaria y suficiene.

n

Io. A es linealmente dependiente => 3 / /v¡ =,S & v¡.

Por definición de dependencia lineal

A es linealmente dependiente =>r

=►2 ct¡ \¡ = 0 a ocj ¥=0 =>=i

n=>Uj \ j + %. a¡ v¡ = 0 otj ^ 0 =>

rt=>OtjVj = — 2 tt/ V/ A

Premltiplicando po r a / 1, inverso mltiplicativo en K, de oc¡ 0, se tiene

n

<*/* (»jV;) = ( - a / i ) £ . «¡Vi

Por A7 y propiedad de la smatoria

n(ocf 1

Por inversos en K y A7 esn

1 v; = ( - a / 1 a*)*.-1 i*}

Teniendo en centa A io, y llamando (3/ a — 1ott se dedce

V; “ Vi*!' l*)

En consecencia, existe e A, qe es combinación lineal de los restantes vectores de A.

n2°.Vj = 2 a¡ v¡ =>A es linealmente dependiente.

Por hipótesis y trasposición de términos se tienen n

V,- — 2 a vf => S a,- Vj —V/ = 0 con a;- = -1 J i¿j

Como <Xj 0, el conjnto A es linealmente dependiente.

v ) Un conjnto finito y no vaco de vectores es linealmente independiente si y sólo si

ningún vector es combinación lineal de los demás.

DEP ENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL 49

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y Ss : ‘; ^ r ° strar’ pues bas,a ,,egar ias dos prop°sid°nes de ** ^En smbolos

A es linealmente independiente «■ V¿ : v;- =£ £ {J¡ y t

En lo scesivo, y en algnas ocasiones, abreviaremos las expresiones' “ linealmenteindependiente y linealmente dependiente” mediante “ L.I.” y “ L.D.” , respecivamene.

vi Un conjuno finio y ordenado de vecores al que no perenece el vecor nulo es

pTectdemes. P6ndiente S1 V SOl° si al®ún vecor es combinación lineal de los


10- A - {v , , v3, . . vr } es LD a 0 /A =* 3 k j 2 < k < r a vh - v¡

Dem osración Sea k el primer en ero posiivo al que

| v j , v 2, . . ., Vf ) esL.D.

k exise por el principio de buena ordenación.

Por definición se iene

fe0/Vf - O y algún 0

Si = 0 , enonces j Vl, v2 , . . yh^ sería LD, conra lo supueso.

Lego $h j= 0, y procediendo como en iv) 1 se dedce qe

fc-ivft = , 2 a¡ v¡

O sea, vk es combinación lineal de los precedenes, y k es al que 2 < k < r.

2? . El recproco es obvio y pede ser demostrado como ejercicio.

■o n l S r 105 COn“ PtOS P°dem0S af¡rmar hS Si®uie"‘“

a) A es L.I.

b) Toda combinación lineal de la familia A, cyo resltado sea el vector nlo, as la trivial.

c) Ningún vecor de A es combinación lineal de ios demás.

Análogamente son eqivalentes:

a’) A es L.D.

re su ¿ d e r e , ™ c^ o ? :b,o aCÍ Ón ' Í nea‘ ^ A “ “

c ) Algún vector de A es combinación lineal de los demás.

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S IS TEMA DE G ENER A DORES 51

Ejemplo 2-14.

En el espacio vectorial de los polinomios reales sobre el cerpo de los reales, P y Q

definidos por

P (x) = x 2 + x Q 0 ) = - 2 x

son linealmente independientes.

Sea

a? + bQ = 0 donde 0 denota el polinomio nlo

Calqiera qe sea x e R se verifica

(«P + 6 Q ) (x ) = 0 (x )

Por definición de sma de fnciones y de polinomio nlo es

(flP) (x) + (bQ) (x) = 0 V x e R

Por definición de prodcto de escalares por polinomios, se tiene

aP (x) + bQ (x) = 0

O sea

a (x2 + x ) + b (- 2x = 0

Lego

ax2 + (a - 2b) x ~ 0 V x e R

Six = - l , s e verifica a - a + 2b = 0 , y en consecencia b = 0 .Entonces es ax2 +a x = 0 ,y haciendo x = 1, reslta 2a = 0, o sea, a = 0.

2.5. SISTEMA DE GE NERADOR ES

2.5.1. Concepto

Si n conjn to no vaco de vectores de n espacio (V, + , K , .) es tal qe tod o vector de V

pede expresarse como combinación lineal de dicho conjnto , en tonces se dice qe éste esn sistema de generadores de V. Esto eqivale a decir qe el sbespacio de V generado por tal conjnto es el mismo V. El concepto de sistema-de generadores de n espacio vectorial esindependiente de la dependencia o independencia lineal del sistema. O sea, un sisema de

generadores puede ser linealmene independiene o no.

Definición

La familia A = {v , , v2 , . . . , vr ) es n sistema de generadores de V si y sólo si todovector de V pede expresarse como combinación lineal de los vectores de A. O bien, A

es n sistema de generadores de V si y sólo si el sbespacio generado por A es V.Las notaciones “ S.G.” y “ C.L.” son abreviatras de “ sistema de generadores” y

“ combinación lineal” , respectivamente.

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La tradcción simbólica de la definición an terior es

r

A es n S.G. de V o v e V => v = 2 a¡ v,-¿=i 1 ‘

O bien

A es n S.G. de V o A = V

Ejemplo 2-15.

El conjntó A = j (1, 0) , (0 ,1 ) , (1, 1) } es n sistema de generadores de R2.

En efecto, si (a , b) es calqier vector de R2 , deben existir escalares a, 0 y y tales qe

a (1, 0) 4- 0 (0, 1) + 7 (1, 1) = ( a , ¿ )

O sea

(a + y , 0 + 7 = (a , b)

Lego

a + y = a A 0 + 7 =

En consecencia

ot = a - k , p - b - k , y = k V k e R

Este resltado nos dice qe, efectivamente, A es n S.G. de R2, y además, qe

calqier vector del espacio pede expresarse de infinitas maneras como C.L. de losvectores de A. Por otra parte, es fácil verificar qe A constitye na familia L.D.

En el ejemplo 2-6 está demostrado qe las matrices V1} V2 y V3 constityen nsistema de generadores del espacio vectorial de las matrices reales de traza nla del tipo2 X 2 . Además, tales matrices son linealmente independientes.

2.5.2. Propiedad

Si la familia A = { v 1}v2 , . . . vr } es n S.G. L.D. de V, enonces exise e A, al que

A - |v;-| es n S.G. de V.Demosración Por ser A n sistema de generadores de V, se verifica

v eV =>v= 2 a ¡v¡ ( 1)

Como A es linealmente dependiente, por 2.4.3. iv), algún vector de A, digamos v/, escombinación lineal de los restantes, o sea

3 Vy tal qe vy = 2 (i¡ (2)»*/

Teniendo en centa (1) y (2) podemos escribir

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B A S E 53

r r r

\ = cc4y,- + 2 a¡ y,- = a¡ 2 &v¿ + 2 a, v, =3 1 ¡*j 1 1 1t*r* ' ¡*i ' 1

r r

= 2 (píj p¡ + ot v¿ = 2 y t \ i¡ f j V ; r, V i i¥¡J n i

En consecencia, A - { v¡ j es n sistema de generadores de V.

Ejemplo 2-17.

Deerminamos si los vecores Vj = ( 1 , 1 , 1 ,v2 = ( 1 , 1 , 0 y v3 = ( 1 , 0 , 0 de

(R3, +, R , . consiuyen un sisema de generadores de R3.

El problema se redce a investigar si existen escalares reales a, (3 y y , tales qecalqiera qe sea (a, b , c) e R 3 se verifiqe

a ( l f l , 1) + 0 ( 1 , 1 , 0 ) + -y (1, 0 , 0 ) = (a , 6 , c)

(a + P + y ,a + 0 ,á) = (a, b , c)

Lego

a + P + y =a

■ a + p = b

a = c

De donde resula

a = c , p = b - c , y ~ a - b

En consecencia, todo vector de R 3 pede expresarse como C.L. de los vectores propestos. Observamos, además, que al C.L. es única para ca d a v e R 3,En el caso en qe (a, b , c) sea el vector nlo, los escalares son nlos, y enconsecencia los vectores vt , v2 y v3, además de constitir n S.G., son L.I.Por este motivo se dice qe tales vectores son na base de (R 3, + , R , .).

2.6. B A S E DE U N ES P ACIO VECTORIAL

2,6.1. Concepto de base

Sea A = {Vj, v2, . . . , vn } na familia de vectores de (V, 4-, K , .).

Definición

L fmili A C V es un bse de(V, + , K ,.) si y só lo si esn. conjunto linelmcnteind ep end iente y sistemde gener d or es de V.

A C V es na base de V o A es L.I. y A = V

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Ejemplo 2-18.

Un bse de (K " , +, K , .) es el conjunto de vector es

ej = ( 1, 0 , 0 , . . . , 0

e2 = (0, 1,0,...,0)

DEP ENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL. BASE Y DIMENSION

e„ = (0 , 0 , . . . , 0 , 1

El lector pede com probar qe la familia { ,e 2 , . . e„ | es linealmenteindependiente y n sistema de generadores de K \ Tal familia recibe el nombre de base

canónica.

Ejem plo 2-19.

En el ejemplo 2-13 se demostró qe las matrices E n , E 12 , E 21 y E22 constityen

na familia linealmente independiente del espacio (K * , +, K , .).Además, tal conjnto es n sistema de generadores de dicho espacio, y en consecencia

es na base del mismo. La llamaremos también base canónica de K 2 *2 .

Ejemplo 2-20.

Deerminar una base del subespacio de (R 3 , + , R, ■ esudiado en el ejemplo 1-8.Tal sbespacio es

S= { ( xu x 2 , x 3) e R 3 ¡ x 3 = x x + x 2 |

Si (a , b , c) es n vector genérico de S, entonces se tiene c = a + b , y en consecencia

podemos escribir, en virtd de las leyes de composición en S:

(a, b, c) = (a, b,a + b) = (a, 0,fl) + (0, b, b) (1, 0,1) + b (0, 1, 1)

Este resltado nos dice qe los vectores de R

vi = ( 1, 0 , l)y v2 = ( 0 , 1 , 1)constityen n sistema de generadores de S. A d e m á s , son linealmente independientes,

pes

a ( 1 , 0 , l) + 6 (0 , 1 , 1) = (0 , 0 , 0 )=>a = b = 0

Por consigiente, Vi y v2 constityen na base de S.

2.6 .2. Coordenadas o componentes de un vector

En este texto consideraremos únicamente espacios vectoriales de bases finitas. En

algnas ocasiones, para indicar qe | v „ v 2, . . .,v „ | es na base del espacio vectorial

(V + K ) tilizaremos el smbolo [v] para hacer referencia a ella.Si ’ |’vi,’ v2 , . . v„ f es na base de (V, +, K, .), entonces cada vector de V pede

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COORDE NADAS 55

expresarse de modo único como combinación lineal de la base, ya qe los vectores de éstason linealmente independientes y sistema de generadores, de acerdo con 2.4.2.

O sea, six e V, enonces exisen y son únicos los escalares x t , x 2 , . . x n ales que

nX = *1 V, + x 2 V2 + . . . + x n v n = 2 x¡ Vi

i- 1

Respeco de la base dada, el vecor x e V queda caracerizado por los coeficienes de la

combinación lineal, o sea, por la n -u p la de elemenos de K: (* ,, x 2 ,. . x„. Los escalaresx¡ se llaman coordenadas o componentes del vector x e V, respecto de la base dada. Si se

elige otra base en el espacio V, entonces el mismo vector x admite otras coordenadas ocomponentes: 2 , . .

Demosraremos más adelane que dos bases cualesquiera de un mismo espacio vecorial

son coordinables, es decir, ienen el mismo número de vecores.

Dada la base [v] = |v j ,v2, . . v„ del espacio (V, +, K ,., podemos expresar a cada

vecor x e V como una mariz columna, cuyos elemenos sean las coordenadas de x respeco

de [v]; en al caso escribiremos

Ejemplo 2-21.

Deerminar las coordenadas de x = ( - 2 , 3 pereneciene a (R2 , +, R , ., respeco de

las bases:

i [v] — 1( 1 , 1 , ( 1 , 01

i i [w] = | (- 2 , 3 ,( 1 , 2 |

iii canónica

En el primer caso, planteam os la relación lineal

a ( U l ) + 6(1 ,0) = ( -2 , 3 )

Efectando las operaciones, y resolviendo respecto de a y b, se tiene

(a + b ,a) = (--2, 3) =*■a + b = - 2 y a = 3 =>

=>a = 3 y b = - 5

En consecencia, las coordenadas de x, respecto de la base [v], son: 3 y -5Y pede escribirse

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56DEP ENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL. BASE Y DIMENSION

En el segndo caso, procediendo análogamente, se llega a qe las coordenadas de x son

1 y 0 , y po r lo tanto

Finalmente, respecto de la base canónica, es

(—2, 3) = ( - 2 , 0) + (0, 3) = - 2 (1, 0) + 3 (0, 1)

O sea, las coordenadas de x son precisamene los elemenos del par ordenado, y

escribiremos simplemene

2.6.3 . Teorema de extensión a una base

[v j = | V l, v 2 , • • v„ | es u n a ba se del espacio vecorial V, y

[w] = {w , w2 , . . wm } es un conjuno linealmene independiene, pero no de generado

res de V , e n o n c e s e x is e n vecores w,n + i> wfn + 2 >• • •>wm+p, a es ^ue

i w 1,w 2 , . . , w m, wm+I , . . . f wm+pj es una base de V.

Si [w] n [vj = 0, consideramos el conjuno

A = [w]U [ v ] = ( w i , w2 , . . . , w m , v i ! v3 , . . . , v „ )

Como cada w,- es combinación lineal de los vectores de la base [v], A es n conjntolinealmente dependiente por 2.4.3. iv). De acuerdo con 2.4.3. vi, siendo A n conjntofinito y linealmente dependiente al qe no pertenece el vector nlo, algún vector escombinación lineal de los precedentes. Tal vector es n elemento de [v], ya qe [w] eslinealmente independiente. Por otra parte, como A es n sistema de generadores linealmente

dependiente de V, y v,- es combinación lineal de los precedentes, resltaA¡ - A - ( v¡ | = j W l, w 2, . . ., wm, v , , . . .,vM ,v f+1, .. .,v„)

n sistema de generadores de V, según 2.5.2.Si A¡ es linealmente independiente, el teorema está demostrado. Si A¿ es linealmente

dependiente, se reitera el proceso, y a lo smo, al cabo de («— 1) etapas se obtiene nconjnto linealmente independiente qe es sistema de generadores de V, o sea, na base.

2.6.4 . Coordinabilidad de las bases

Dos bases cualesquiera de un mismo espacio vecorial son coordinables.

Hipóesis (V, + , K , . es un espacio vecorial.

[v]= vl5v2 , . . . v „í y [w] = ( W ! , w2, . . . , w j son bases de V.

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Tesis) [v] ~ [ w] ,o sea, n = m.

Demosración Consideremos

A = | wm, v l ! v2, . . . ,v„J

Este conjnto, al qe no pertenece el vector nlo, es n sistema de generadores (pes [ v ]es na base), y linealmente dependiente (ya qe wm es C.L. de la familia [v]). La propiedad2.4 .3 . nos dice qe algún v¡ es C.L. de los precedentes, y, de acerdo con 2.5.2,, esA - { v¡ } n sistema de generadores de V.

Se

Ai — I wm_ j , w m, Vj, .. ., v,-_i, V[+i, .. ., vfl f

Este conjnto es n sistema de generadores linealmente dependiente, y en consecencia,algún vy es combinación lineal de los precedentes. Lo mismo qe en la etapa anterior, se loextrae y se agrega wm.2, obteniéndose

A2 = | Wm.2l Wm. h . .,VM ! Vi+ 1 , . . „Vy .^V y+i , . . -,Vn |

qe es n sistema de generadores y linealmente dependiente.

R eiter nd o el p r oced imiento, fir mmos que no es p osible q ue los se " goten untes”que los wk , y q ue en este cso los wfe sobr ntes ser in combinció n linel de losconsid er d os.En consecencia es

m < n ( 1)

Análogamente, a par tir de

B = | vb,W1 i W .......wm|

se preba qe

n K m (2 )

De (1 y (2, por la anisimería de la relación de menor o igual, resula

n - m

2.7. DIME NSION DE U N ESPACIO VECTORIAL

.7.1 .Concepto

En 2.6.4. hemos demostrado qe si [v] es na base finita del espacio vectorial (V, + , K , .),entonces tod otr bse de V es coor d inble [v].sto signific q ue d os bses culesquier de n mismo espacio vectorial tienen el mismo número de vectores. Tal número se llama ladimensión del espacio.

Definición

Dimensión de un espacio vecorial V es el número cardinal de cualquiera de sus bases.

Si V consise únicamene en el vecor nulo, diremos que su dimensión es 0.

DIMENSION 57

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58 DEP ENDENCIA F. INDEPENDENCIA LINEAL. BASE Y DIMENSION

En ambos casos, V es n espacio de dimensión finita.

Si [v] = { Vi, v2 , . . v„ } es na base de (V, +, K, .) , escribiremos

diniR V = «

Ejemplo 2-22.

Analizando ejemplos propestos anteriormente se tiene qe

dimKKn = « dimKK2 x 2 = 4

dimR R rt = « dimRS = 2 siendo S el sbespacio del ejemplo 2-20

El lector pede verificar qe { 1, X, X2 | constitye na base del espacio vectorial de

los polinomios reales en la indeterminada X, de grado menor o igal qe 2 y el polinom io nlo , sobre el cerpo de los reales. En consecencia, s dimensión es 3.

2.7.2. Propiedad

Un conjnto de « vectores de n espacio vectorial «-dimensional es na base si y sólo si eslinealmente independien te o sistema de generadores.

I o. Si [v] = { V j, v2 , . . vn } es na base de V y dimKV = «, entonces [v] es linealmenteindependiente y sistema de generadores.

2o • Si dimKV = « y [v] = ¡ V j, v2 , . . v„ } es L.I ., entonces [v] es S.G.En efecto, si [v] no fera n sistema de generadores, por el teorema de extensión, podrú

completarse hasta formar na base de V, en cyo caso sera dimK V > n, io qe es absrdo• Si dimKV =n y [v] = ¡ Vj, v2, . . v„ ¡ es S.G., entonces [v] es L.I.

Si [v],qe es S.G., fera L.D., enonces exisiría \¡ al que [v] v ¡ es S.G. de V,

según 2.5.2. Si ese conjuno de n — 1 vecores fuera L.I. constitira na base de V. S:[v] - {\ j } no fera L.I. se reitera el procedim iento, y en todo caso se llega a na base de \cyo cardinal es menor qe « , lo qe también es absrdo.

En consecencia afirmamos qe:

1 . « vectores linealmente independientes de n espacio vectorial «-dimensional constityen na base del mismo.

2. Todo sistema de generadores de n vectores de n espacio vectorial «-dimensional e¡na base del mismo.

3 . Todo conjnto de más de n vectores de n espacio vectorial «-dimensional e¡linealmente dependiente.

La dimensión de n espacio vectorial (V, +, K, .) depende no sólo de V, sino también de!cerpo K. Segidamente aclaramos esta observación.

Ejemplo 2-23.

Sean (V, + , R , .) y (V, +, C , .) dos espacios vectoriales, donde el conjnto de vectoreses el mismo en ambos casos y C es el cerpo de los complejos.

2 .

ve

Ei

y,

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DIMENS ION 59

en;

stiti

l

Supongamos qu e dimc V = n. Entonces es dimRV = 2n.En efecto, si [v] = | Vj,v2 , .. ., vn ) es na base de (V, + , C , .), entonces

[W]= {v i >v2 , . . . , v n>/vI ,rv | es na base de (V, + , R, .).

Para ello probaremos qe1 [w] es L.I.

Sea

n n n2 a /V.-+ 2 i \ , = 0 = > 2 (<Xj + i p j ) v;=0=>O/+ i/3y= 0 , V/=*

; = i ; = i 1 1 ; = i

=>(Xj = fy = 0 , V/

2 . [w] es S.G.

Por ser [v] una base de (V, 4-, C, ., para odo v e V, exisen escalares a¡ + i ty e C ales

que

v = j=.i + 1 & ví ^ v = £ ai vj + 0' v/>

Lego [w] es na base de (V, +,R , .) ,y en consecencia

dimR V = 2 dimc V

En particlar, es

dimRC" = 2 dimcC" = 2 n

y

dimRC = 2 dimcC = 2

2.7.3. Propiedad

Sea S n sbespacio de V. Se verifica qe:

dim S = dim V o S = V

1. Si el sbespacio S es el mismo V, entonces es obvio qe dim S = dim V.

2. Spongamos ahora qe S es n sbespacio de V qe verifica dim S = dim V.^ j. Si la dimensión común es 0, entonces tanto S como V tienen como único elemento al

*vector nlo y son idénticos.Sea dim S = dim V = n > 0. Consideremos na base de S:

[ w ] í w w 2 . . w„}

Los n vectores de [w] son L.I. en V, y de acerdo con 2.6.3. constityen na base de V.Entonces son n S.G. de V, lo qe nos dice qe todo vector de V pertenece a S, o sea, V C S,

es y, como por definición de sbespacio es S C V, reslta S = V.

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2.8. DIME NSION DE LA SUMA

2.8.1. Propiedad

Si S 4 y S2 son dos sbespacios de (V, + , K , .) y la dimensión de V es finita, entonces severifica qe

dim (Sj + S2) = dim Si + dim S2 - dim (Si n S2)

Sean:dim V = « . d i m S , = « ’ d i mS2 = /2”

d i m ( s 1 n s 2) = p y d i m S ! + S 2 = q

Se trata de probar qe

q u ’ + n" - f>

Consideremos S, O S2 ^ jo y fx] = [ Xl , x2 , . . xp una base de S n s 2.

Teniendo en centa qe Si n S2 es n sbespacio de Sj y de S2 , completamos la base [xa na base en cada no de éstos.

Sean

{ x , , x 2 , . . . , x p>y I , y ; t ) . . . , y n ._ J, J y

I x ¡ , x2 , . . xp , z , , z2 , . . . , z p | base

Si y en S2, respectivamente.

El conjntoA = I X j, x 2 , . . Xp, y i , . . ., y n ’ — p , z , , , . ,

es na base de S i + S2, pes:

Io. AesS.G. deS! + S 2.

En efecto, sea v e Sj + S 2 . Por definición de sbespacio sma es

v = x + y a x e S i a y e S 2

Entonces71 -p

v = , i “ X i + ¡ g b y ' + M “ ’'X I+ . 2 ’(z ,=

P n'-p n"-p^ . 2 (a¡ + a \) x¡ + piY i+ S p’. z .

2o. A es L.I.

Consideremos

Entonces

i* • » t* t\ ” y

. S a . x . + Z p ,y ¡ + 7¡Zi = 0 ( 1)

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DIMENS ION DE LA SUMA 61

y’ n -P

2 y i z¿, que perenece a S2 , ambién pertence a S i , o sea

n ’’-p

2 T j Z i e S i n S jz=i

En consecencia es

t=i 7,' Z = / l i a x *

n " - p p

O sea p n ” -p

2 oc'¡ x { - 2 y ¡ z¡ = 0, y por la independencia lineal de la base de S2, se iene :i=i ¿=i

a ' i = 0 , y¡ = 0

Teniendo en centa (1) esp n ' -p

2 0Ci x¡ + . 2 P¡ y i = 0¡-i i=i

Lego

o¿¡ = 0 , /3j =0

Siendo A na base de Si + S2 , reslta

j r + ( n ’ - j r ) + ( n ” -p )= < i

Es decir

q = n’ + n ” - p

Lo qe se tradce en

dim(Si + S 2) = dimSi + dim S2 - • dim (S^n S2)

2.8.2. Dimensión de la suma direca

Si Si y S2 son dos subespacios disjunos de (V, +, K , ., enonces la dimensión de la suma

direca es igual a la suma de las dimensiones de S y S2.

En este caso es Si n S2 = {0} , y en consecencia, dim (Si n S2) = 0.El teorema anterior es válido también en esta sitación, y por consigiente reslta

dim (Si © S2) = dim Si + dim S 2

Ejemplo 2-24.

Deerminar la dimensión de la suma de los siguienes subespacios de (R3, +, R , ..

51 = (pe, y, z) e R 3 / x + y - z - 0 j

52 = i ( x , y , z e R 3 / * ~ z = 0

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Sj y S2 son planos y la dimensión de cada uno de ellos es 2.

S i n S2 = { (x ,y , z ) e R 3 / x - z a y ~ 0

Todo vector de Si O S2 es del ipo

(a , 0, a) = a (1,0,1 Va eR

Lego

dim Si n S2 "

En consecencia

dim (Si + S 2) = 2 + 2 —1= 3

O sea

S, + S 2 = R 3

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Probar que son linealmene independienes.

2-33. En (R 2, + , R , .), los vectores (a, b) y (<c , d ) verifican la condición a d - b c 4 oDemosrar que son linealmene independienes.

2-34. Deerminar si los vecores (1,1, 1, ( 1, 1, 0 y (0 , 1, -1 son linealmene independien

es en (R 3, +, R , . y en (C3, C ,..

2-35. Sabiendo que v1} v2 y v3 son vecores linealmene independienes del espacio

(V, +, K , ., invesigar la dependencia o independencia lineal de los siguienes

conjunos de vecores:

i { v, + ÜV2 + ¿>V3 , V2 + Cl> 3 , V3

ii { V!, V2 + av3 , v3 + bv2

donde a, b y c son elemenos de K.

2'36. Sean: | x ,, x2 , .. ., x„ un conjuno L.I. de (V, +, K,.) y k e K .

es L .u ., entonces es comoinacion lineal de la tamilia A.

2-38. Sabiendo qe el conjnto A, a qe se refiere el ejercicio anterior, es L.I. en (V, +, K, )y qe x n o e s combinación lineal de dicho conjnto, entonces A U {x} es L.I.

se verifica qe el vector X ix¡ ¥=0 .

2-40. Demosrar la independencia lineal de los vecores f,, f2, y f 3 del espacio (R1, +, R, .,

donde I es el inervalo cerrado de exremos 0 y 1 , sabiendo que

2-42. Deerminar el subespacio de (R 3 , + , R , . generado por los vecores v, = (1, -1 , 2,

v2 = (0. —1, 1 y v3 = (1 ,1 ,0 . O bener una base de dicho subespacio.

2-39. Demosrar que si el conjuno A = j X l, x2 ,. . x„ ) es L.I. en (V, +, K ,.), entonces

2 s i Q < x < l 3

fi (x) =

0 s ix e [ — ,113 1Osi — < x < 1

3

f 3 (x = 2 - x s ix e [0 , l j

2-41. Proponer una base en cada uno de los siguienes espacios vecoriales:

i (R, +, R , .

ii (R4, +, R, .

iii (R 2 x3 , + , R , .

iv ( C . + X , ■

v (C, +, R, .

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Capítulo 3

TRA SFORM ACIONES LINEALE S

3 .1. INTRODUCCION

Exponemos en este captlo el concepto de trasformación lineal entre dos espaciosvectoriales sobre n mismo cerpo, las propiedades generales y los tipos especiales detrasformaciones lineales. Se introdcen las estrctras de núcleo y de imagen de natrasformación lineal y se da la relación entre ss dimensiones. Fijada na base en cadaespacio, siempre en el caso finito, se determina la matriz asociada a na trasformación lineal.Después del estdio de la composición de trasformaciones lineales, se conecta este concepto

con el prodcto de matrices. Finalmente, se mencionan los espacios vectoriales detrasformaciones lineales y el espacio dal de n espacio vectorial.

3.2. TRASFORMACION LINEAL ENTRE DOS ESPACIOS VECTORIALES SOBRE UN MISMO CUERPO

Sean (V, +, K, .) y (W, + , K , .) dos espacios vectoriales sobre n mismo cerpo K.

3.2.1. Concepto

La fnción / : V -*■ W es na trasformación lineal homomorfismo si y sólo si

i)la imagen de la sma de dos vectores calesqiera de V es igal a la sma de ssimágenes en W

/ ( * + y ) = / ( x ) + / ( y )

ii) la imagen del prodc to de calqier escalar por todo vector de V es igal al prodcto

del escalar por la imagen de dicho vector.

f (a x) = a f (x)

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7 0 TR A S FORMACIONES LINEALES

Lego

( x í , x 2, x 3) = ( y l , y i , y 3)

3. f e s sobreyectiva.

Calqiera qe sea (a, b, c) en el codominio, existe ( - b, a, c) en el dominio, tal qe

/ ( -b, a, c) = (a, b, c)

Q eda probado as qe f es n atomorfismo en R3. La trasformación lineal/pedeinterpretarse como na trasformación del espacio en s mismo qe corresponde aúnarotación de 90° alrededor del eje x 3.

Ejemplo 3-5.

1. La fnción / : V W qe asigna a todo vector de V e l vector nlo en W es natrasformación lineal, pes

/ ( x + y) = 0w = (V + 0w = / ( x ) + / (y)

/ ( « x ) a O w - « 0w « a / ( x )

f se llama trasformación lineal nla.

2. La f n c ió n /: V -> V tal qe / (x) =ax calqiera qe sea x e V, y a n escalar dadoen K, es na trasformación lineal.

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72

es una

TRASFORMACIONES LI NEALES

trasfoTmación lineal, peT" *0 * V * P r e m i o derivado,

/ ( P + Q ) = (p + Q ) ’ „ p . + q , ^ / ( p ) + / ( Q )

f { a ¥ ) = {a¥y = a? ' =a f ( V)El endoinorfismo / no es inyectivo.

3 .3 . NUCLEO E IMAGEN DE UNA TRASFORMACION LINEAL

Consideremos na trasformación lineal / : V -»W.

3.3.1. Concepto de núcleo

c er po ^e s VeC*°r iaks « -del codominio. d0mmi° CUyaS inia^enes P” / s o n el vector nlo

El smbolo N (f) se lee núcleo de f. Por definición es

N ( / = j x e V / / ( x = 0

El núcleo de toda trasformación lineal es laespacio. O sea p re imagen del vecor nulo del segundo

K ( j ) = f l ( (0W|

Por definición, un vecor pereneciene a V es un elemeno del núcleo si v sólo «■

imagen es el vecor nulo de W. y so!o SJ su

x e N (/ ^ / ( x = Ow

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74 TR A S FORMACIONES LINEALES

3.3.2. Propiedad del núcleo

El núcleo de toda trasformación lineal entre dos espacios vectoriales es n sbespacio del primero.

Hipótesis) f : V -*• W es na trasformación lineal.Tesis) ( N (f), +, K, . es un subespacio de (V, +, K, ..

Demosración Ya hemos viso que el núcleo de oda rasformación lineal enre dos

espacios vecoriales es una pare no vacía del dominio. De acuerdo con la condición

suficiene, demosrada en 1 .8 .2 ., fala demosrar:

1. N (/ es cerrado para la suma.

Sean x e y dos vecores cualesquiera de N (/.

x e N ( / A y e N ( / = >/(x = 0W a / ( y = Ow =>

=>/'(x +y==0 w =>

=>x + y e N (f)

Por definición de núcleo, suma en W, definición de rasformación lineal y definición de

núcleo.

2. N (f) es cerrado para el produc o por escalares.

Sean a e K y x e V

e K A xe V= > e K A / (x) = O s> a f ( x ) = ) ^ =►

=»/(a x = 0W a x e N (/

Por definición de núcleo, produco de escalares por elemenos de W, definición de ras-

formación lineal, propiedad 1.3.2. y definición de núcleo.

3.3.3 . Concepto de imagen

Imagen de una rasformación lineal / : V-+W es el conjuno imagen del dominio, o sea, es

la oalidad de las imágenes de los vecores del primer espacio.

El smbolo I (/) se lee: imagen de f.

I < / ) = { / ( x ) / x e V |

También1 ( 0 = 1 y € W / 3 x e V a / ( x ) = y j

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IMA GEN 75

Sabemos que f (0V ~ 0W. En consecencia, 0W e I (f), lo qe significa qe

1 (0 * 0

Además, de acerdo con la definición, es

I ( / ) C W

3.3.4. Propiedad de la imagen

La imagen de toda trasformación lineal entre dos espacios vectoriales es n sbespacio del

codominio.Hipótesis) / : V -»• W es na trasformación lineal.

Tesis) f I (f), + , K, . ) es n sbespacio de (W, +, K, .).

Demosración Sabemos que la imagen de oda rasformación lineal enre dos espacios

vecoriales es una pare no vacía del segundo. Teniendo en centa la condición sficiente para la existencia de sbespacio, probaremos:

1. I (/) es cerrado para la sma.

Sean y v dos vectores de (/).

e I (/) a v e I ( / ) ^ 3 x ^ y e n V / / ( x )= a /( y ) = v =>

= >/(x) + / ‘(y) = + va x e V a y e V ^

= >/(x + y) = + v a x + y e V ^ + v e l ( / )

Hemos aplicado la definición de imagen, de trasformación lineal y de imagen.

2 . I (f) es cerrado para el prodc to po r escalares.

Consideremos a e K y e I (f)

a e K a e I (/) => a e K a / (x) =u a x e V =>

=> a / (x) = a a x e V = > / ( a x ) = a a a x e V = >

=>a e I (f)

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^ Í magen> Pr ° dUC0 W> - rasformación

Ejemplo 3-9.

eD„e7eTem pto°31 * ' * Í ma8en " * " trasformació" lta^ / : R 2 - R 2 * 2 definida1.

N ( / = |( x\ , x 2) € R . 2 / f ( x l , * 2 = N}

/O 0 \( ^ i , x 2 e N ( / »/ ( XliJCjj = J

\ 0 0 /

x i + *2 0 , /O 0 \

, = J + x 2 = 0 ^ o x , + x 2 f \ 0 o /

* x t = - x 2Lego

N (J) = f ( - a, a / a e R

o sea, ei núcleo de / es el conjun o de los pares ordenados de componenes opuesas.


1 0 = |A e R 2» / / ( * , . * 2) = A}

(cJ e I W <>3 f e . ^ ) e R 2 / / ( I l | Í ! ) = AA =

* i 0 \ ja b \

] =[ + * 2 = a = d a b = c = OO x x + x 2 I \ c d J

Lego a (f ) pertenecen las matrices del tipo

¡a O

\ 0 a

Ejemplo 3-10.

Dada la rasformación lineal del ejemplo 3-9, deerminamos las dimensiones de N (/ e

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NU CLEO E IMAGEN 77

1. Hemos viso que

N ( 0 = ( - a , a / a e R í

Teniendo en centa la definición de ley de composición externa en R 2 , es

N ( / = í « ( - 1 , l / « e R l

Esto significa qe N (f) esá generado por el vecor (- 1 , 1, es decir, ese vecor

consiuye un sisema de generadores del núcleo. Además es linealmente independientesegún 2.4.3. i). Por consigiente, { ( - 1 , 1) } es na base del núcleo.Entonces

es n sistema de generadores de I (/), y además linealmente independiente. Enconsecencia, constitye na base.Lego

dim N (f) = 1

2. Como

podemos escribir, por definición de produco de escalares por marices:

O sea, la mariz

dim I (0 = 1

3.3.5. Núcleo de un monomorfismo

Una rasformación lineal / : V -> W es inyeciva si y sólo si el único elemeno del núcleo es

el vecor nulo del dominio.

1. Sea / : V -> W un monomorfismo. Debemos probar qu e N (f) = { 0 V | •

Ov eN (f)=> { 0V( CN (/) ()

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Sea x e N (J). Se iene

x e N ( j ) = > f ( x ) ~ O w = f ( O v )=>x = Ov =>xe j 0V}

Por definición de núcleo, 3.2.2. 1. y p or ser/ inyeciva.

Entonces N ( 0 C | 0 V (2

De (1 y (2 resula

N ( 0 = | 0 V

2. Sean / : V -> W una rasformación lineal y N (f) = ( Oy

Para demosrar que / es inyeciva consideremos dos vecores cualesquiera x e y en V, ales

q u e / ( x = / (y.

Ahora bien, por sma en W, definiciones de trasforma ción lineal y de núcleo, por hipótesis y sma en V, se tiene

/ ( x ) =/ ( y ) ^ / ( x ) - / ( y ) -O w =* / ( x —y =0 W =>

^ x - y e N C O ^ x - y ^ O v ^ x ^ y

O sea, basa que el núcleo enga un único elemeno para que la rasformación sea

inyeciva.

Ejemplo 3-11.

La imagen de calqier conjnto linealmente dependiente, por toda trasformaciónlineal, es linealmente dependiente.

Sea / : V W na trasformación lineal,y { Vi, v 2 , . . vr } n conjn to linealmentedependiente en V. Debemos probar que { / (v ^, / ( v 2 ,. . ., /( v r } es linealmene

dependiene en W.

En efecto, por definición de dependencia lineal se verifica qer

3 i l . 2 a ¡ v ¡ - 0 V a ctj i= 0

Aplicando / es

/ ( . 2 ^ v ^ / O M a ^ O

Por s e r / una rasformación lineal y por imagen del vecor nulo se iene

r

2 O!|/(Vi = 0wA1=1

En consecencia

/ ( V i ) , / ( V2) , . . . , / ( v r ) ¡

es linealmente dependiente.

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Y co m o /e s inyeciva, el núcleo se reduce al vecor nulo de V, o sea

r

.2 « , = 0 V

Aplicando la definición de independencia lineal a los vectores de la hipótesis es

a¡ = 0 V - 1 , 2, . . . , r

En consecencia

/ ( V l ) , / ( v 2 ), . . . , / ( v r )}

es n conjnto linealmente independiente.

3.4. DIME NSIONES DEL NUCLEO Y DE LA IMAGE N

La trasformación lineal / : R 2 ^ R 2 *2 , estdiada en los ejemplos 3-9 y 3-10, verifica

dim N (/ = 1 y dim I(f) = 1

O sea

dim N (/ + dim 1 (/ = 2 = dim R 2

Este hecho se verifica calqiera qe sea la trasformación lineal definida en n espacio

vectorial de dimensión finita.Propiedad

Si (V, + , K , .) es n espacio vectorial de dimensión finita y / : V - > W es na

trasformación lineal, entonces la sma de las dimensiones del núcleo y de la imagen es igal ala dimensión del primer espacio.

Hipótesis) / : V -»W es na trasformación lineal

dim V = n

Tesis) dim N (f ) + dim I (f) ~ dim VDemosración

1. I (f) iene dimensión finia

Sabiendo que cualquier base de V es finia, se deduce que I (f) iene dimensión finia. Enefecto si I w , , w2 , . . wr } es n conjnto L.I. en I {/), entonces existe n conjnto L 1en V :( vj , v2, . . vr j tal qe

/(v ¿ ) = w¿ i = 1, 2 , . . . ,r

de acerdo con el ejemplo 3-12. Esto significa qe si 1 (f ) no tviera dimensión finita

entonces V no tendra dimensión finita.2. Sea ( x , , x2, . . xp ) na base de N (J .

S in - p , enonces N (/ = V y dim I (f ) = 0, pues en ese caso es I (f)= j 0W J .


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TEOREMA FUNDAMENTAL 83

O í. y i ) e I (f) O í, y i ) = (a - b - c + d , 0 o

^ (y 1, y 2 = (a , 0 + ( -b , 0 + ( - C , 0 + ( d , 0 o

«■ ( y i. >a = « ( l , 0 - ¿ ( l , 0 - c ( l , 0 + d ( l , 0 o

^ 0 1 . ^ 2 = ( a - 6 - c + c í ( l , 0 o ( y l i ^ 2 = 0 ( i , 0

Lego

( 1, 0 ) es na base de I (f).

En consecencia

dim I (/) — 1

3.5. TEOR EMA FU NDAME NTAL DE LAS TRASFORMACIONES LI NEALES

Sean (V, +, K , .) y (W, +, K , .) dos espacios vectoriales y [v]= j v j , v 2 , . . v„ ) na base de V. Si W j, w2 ,. . wn son n vectores calesqiera de W, entonces existe na úni catrasformación lineal / : V W tal qe f (v,) = w,- V/ = 1 , 2 , . . . , n.

Hipótesis) (V, 4-, K , .) y (W, +, K , .) son espacios vectoriales

[v] = { v , ,v2, . . vn | es na base de V

c w

Tesis) Existe f : V -»W trasformación lineal única, tal qe / (v¿ ) = w¿, Vi = 1, 2, . . ., n

Dem osración Sea cualquier vecor x e V. Entonces existen y son únicos los escalares o»!,

a2 , . . 0ín , tales qen

X = 2 di V;¿ = 1 '

ya qe tod o vector del espacio pede expresarse de modo único como combinación lineal de

los vectores de la base, según 2.4.2.Definimos

f : V -*■W mediane / (x = 2 cc¡ wf 1=1

La asignación (1) caracteriza a / como na fnción de V en W. Necesiamos probar las siguienes afirmaciones:

1. /e s una rasformación lineal

Si x e y son dos vecores cualesquiera de V, y a e K, enonces

n n

x = í? i ai v< A

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y se verifica

84TR A S FORMACIONES LINEALES

i / ( x + y = / ( | aiV + ¿ f v , = / ( | ( a + f v = | (a, + WW( =

= .2 «, w( + | ft w , = / (x ) + / ( y)

" r x > =/■( g v, = / ( .2 (aa,. v , =

- V ”C « / W , - S íWí = « / ( *

2 . / - 1, 2 ,. . « => /(v. w .

En efecto

vf = 0 v, + . . . + o vM + j v . + + 0

Lego

f ( y ¡ ) = 0w, + . . . + owM + 1 Wi + . . . + oW)j=

= 1 wf = w,

3. Bajo la co nd ició n/(v,) = w,. / e s única.

S i g : V -> W es na trasformación lineal tal qe g (y.) - w . y/ = 1 ?& \ o w t, v i i , / , . . . , n, entonces

g ( x ) = g ( .£ «,■ V) = . £ aig (V) a . w . =

" A a i f (y) /| 1a¡ v, ) - / ( X)

calqiera qe sea x e V.Lego

“ neal entre dosdel primero. determinada poi los valores qe toma sobre calqier base

Ejemplo 3-15.

Definimos la rasformación lineal / : R 3 R 2 0hp 1ion, iO» 1. 1 , (1 1 0 (i 0 í» ™ r 3 , q gna a los vec ° res de la base

» /»v. en R , losvecores (T 2) ( \ v ( i n « 2

respectivamente. y ( - 1, 1) en R2, Necesiamos deerminar la imagen de un vecor genérico (a b peste como combinación lineal de la base dada ' A s a m o s a

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Entonces

( a , b , c ) = a , ( 1, 1, \ ) + a 2 ( 1, 1, 0 ) + o¡3 ( 1, 0 , 0 ) -

= (<*i + a 2 + a 3 , a , + <x2 , ctj) =>

^ = c , ot 2 = b —c , a 3 = a -- b

( f f ,¿ , c ) = c ( l , 1, 1) + (¿>- c ) ( l , 1, 0 ) + (a - b) ( i , 0 , 0 )

f ( a , b , c ) = c ( 1, 2)+ (¿ - c) ( 1, 2)+ (« - £>) (— 1, |) =

= ( c>2c) + (b —c, 2b — 2c) + (—a + b, a —b) =

= (2 b - a , b + a )

P R ODUCTO DE MATRICES 85

3.6. PR ODUCTO DE MATRICES

Sean las matrices A e Kmxjs y B e K px " . Llamaremos prodcto de las matrices A y B enese orden, a la matriz C cyo elemento genérico cu es la sma de los prodctos de’loselementos de la fila i de A, por los correspondientes elementos de la colmna / de B.

Escribiremos

C = AB

donde

cü = *i b u + a i2 b 2j + . . . + aip bpj

O sea

cü a¡k bh}

cualesquiera que sean /' =1, 2 , . . ., m y / = 1, 2 , . . . n.

De acuerdo con la definición, para que dos marices se puedan muliplicar, el número de

columnas de la primera debe ser igual al número de filas de la segunda.Por ejemplo, si

y 1 o 1 - 2

1 2 - 2 / '0 - 1 --I l

enonces

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MA TR IZ DE U NA TR A S I ORMACION LINEAL 89

a >.. " . 2 • • • a i„ \ / ■<a{

« 2 \ \ai\ <*i2 ■■. ain

\ am I am2 • • ■ &ntn J Oí ,n / /O bien

Reierando lo enunciado, afirmamos que la imagen de cualquier vecor del primer espacio

es igual al produco de la mariz de la rasformación lineal por la mariz de coordenadas de

dicho vecor, respeco de la base [v].Tal imagen reslta expresada en términos de la base delsegndo espacio.

Ejemplo 3-16.

Consideremos la trasformación lineal / : R 3 -> R 2 tal qe

f ( X \ , X 2 , JC3 ) — ( # 1 — J Í3 ) ( 1 )

1. Deerminamos la mariz de f respeco de las bases

M = | (1, 1 , 1 , ( 1, 1 , 0 , ( 1 , 0 0 } enR 3

Mediane (1 obenemos las imágenes de los vecores de la base [v], y expresamos

dichas imágenes como combinaciones lineales de los vecores de la segunda base

[ w ] = | (2 , 0 , (0 , 1| en R 2

/ ( 1, 1, 1 = (2 , 0 = 1 (2 , 0 + 0 (0 , 1

/ ( l f 11 0 = ( 1, 1 = (2 , 0 + 1 (0 , 1

/ ( 1 , 0 , 0 = ( 1, 0 =_~ ( 2 , 0 + 0 (0 , 1

Se iene

2 ~2

0 1 0

A es la matriz de la trasformación lineal /, respecto de las bases [v] y [w].

2. Utilizando la matriz A, obtenem os la imagen de x = (1, 2, 3).

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1. Hipóesis / : V -*■V es una rasform ación lineal inyeciva

dim V = rt

Tesis) /e s sobreyectiva.

Demosración Por h ipó es is,/e s inyeciva.En consecencia, por 3.3.5., es

N ( 0 = | 0 V

ydim N (J) = 0

Como

dim N (/ + dim I (f) = dim V

resula

dim I (f ) = n = dim V

En consecencia, I (f) ~ V, o sea,/es sobreyectiva.

2. Hipótesis) / : V-*■V es na trasformación lineal sobreyectiva

dim V = n

Tesis) /e s inyectiva.

Demosración Sea ( W j, w2, . . w„ una base del codominio V. Por ser /

sobreyeciva, exisen V!, v2 , . . v„ en V, ales que

/ ( v í = wí Vf = 1 , 2 , . . . , «

Los n vectores Vj, v2 , . . v„ son linealmente independientes en V, y de acerdo con2.7.2. constityen na base de V.

Consideremos ahora n vector x calqiera perteneciente al núcleo de /. Se verifica qe

x e N ( / = * x = 2 a¡ vf a /( x = 0 => /( x - cttf ( y t) = 0 =* w, = 0 =>

=>oti = 0 , Vi = 1,2.......n

Siendo N (f) = Oy, resu lta/inyectiva.

3.10. COMPOSICION DE TRASFORMACIONES LI NEALES

Y PR ODUCTO DE MATRICES

Consideremos las trasformaciones lineales

/ : V-+ U y ^ : U ^ W

y sean

M = ( v i ,v 2 , . . v„ } , [u]= ( u ! , u2 , . . up J y [w ]= {wl t w2 ) ----- , w m J bases de U, V y W, respectivamente.

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TRABAJO PRACTICO III

3-21. Deerminar cuáles de las siguienes aplicaciones de R 3 en R 3 son rasformaciones

lineales, donde K = R.

1 . f ( X \ , X 2 , X3 = (X2l Xi, JC3 )

2 . g ( x l , x2 , x

3 ) = ( x l + l , x

2+ 2 , 0

3. T ( x 1 , x 2 , x 3) = ( 0 , x 1 + x 2 ,0 )

4. T (.Vi, X 3 ) — X2 , .X3 , A!] )

3-22. Invesigar cuáles de las siguienes apl icac iones/son lineales.

1. / : R 3 -* R 2 definida por f ( x , y , z) = (y, x

2. / ; R 2 -> R 3 definida p o r/ (* 1( x 2) = (x lt x 2, 0 + ( - 1 , 0 , 0

3. / : R 2 R 3 definida p o r / ( x l x 2 = (2x¡ ~ x 2, X l )

4. f : R 2 ->R definida p o r/ (^ i , x 2) = x i x 2

3-23. Sea / : V -+ W una rasformación lineal y sean x e y en V ales que / ( x *=z. Sabiendo

que / (y =0 W, demosrar que / (x + y = z,

3-24. Sea la función / : R 2 -* R 2 definida por f ( x lt x 2) = ( ~ x lf ~ x 2). Demosrar que es

lineal, clasificarla e inerprearla geométricamente.

3-25. La fnción / : R 2 -»R 3 es lineal, y verifica

/ ( 1, 2 ) « ( - 1, 0 , 2 ) / (2 , 1) = (0 , 2 , — 1)

Deerminar las imágenes de los vecores (3, 3 y (0, - 1.

3-26. Consideremos un espacio vecorial V sobre un cuerpo K, y dos rasformaciones lineales

/ : V -»K y £ : V -> K

Sea F : V K 2 al que F (v = ( / (v,^ (v

Demosrar que F es una rasformación lineal.

3-27. Sea T na aplicación lineal de R 2 en s mismo, tal qe

T (1, 0) = (1, 1) y T (0, 1) = (—1, 2)

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su mariz sea

/ 1 0 0

\ 1 - 1 1

3-42. Hallar la mariz de la rasformación lineal g o /d e l ejercicio 3-29, respeco de las bases( ( 1, 1 , (0 , — 1} en el dominio

{ (2 , 0 , (2 , 2 í en el codominio

3-43. Deerminar la mariz de la roación del plano de ángulo 0, respeco de la base canónica,

con cenro en el origen.

3-44. Sea la rasformación lineal f 0 : R 2 -> R 2 represenada por la mariz

eos 6 - sen Q

sen 6 eos 6respeco de la base canónica.

Demosrar que si Qy 6' son números reales cualesquiera, enonces

fo ' 0 fe = fe +o '

f 1 - f-e

3-45. Demosrar que si [v]= f v lva, . . . ,v„ } es una base de (V , +, K ,., y si f¡ con

/ = 1, 2 , . . . , n son las formas lineales definidas mediane

f¡ (v; ~

enonces f ¡ es una base de L (V, K, o sea, del espacio dual de V.

3-46. En (V, +, K , .) sean los sbespacios Sx y S2 tales qe V = S! ®S2. Se considera lafnción

Pt : V-> V

definida por

P i ( x ) = x!Siendo x = x t + x 2 y x 1 e S 1 ,x 2 6 S2.

La fnción Pj se llama proyección sobre S t , según S2 .Demosrar:

1. Pj es una rasformación lineal.

2. P, es idempoene , o sea P2 = P, o Pj = P,

3. Si P2 es la proyección sobre S2 , enonces P , + P2 = 1

TR A B A JO PRACTICO III 105

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P R ODUCTO 107

Observamos que para que exisa el produco de dos marices, el número de columnas de la

primera debe ser igual al núm ero de filas de la segunda.

Si A e K mx" y B e K nxm, entonces coexisten los prodctos A B e K mxm yB A e K ' 1*" , pero son distintos si mi=-n.

En el caso en qe m = n , tanto AB como BA son matrices del tipo n x n, es decir,cadradas y pertenecientes a KMX” , pero en general se verifica qe

A B ^ B A

O sea, el produco de marices no es conmuaivo.

Ejemplo 4-1.

Verificamos la no conmuaividad del produco de marices en el siguiene caso:

Este hecho es coherente con lo qe sabemos: la composición de trasformacioneslineales, qe son fnciones, no es conmtativa.

Si AB = BA entonces diremos qe A y B son matrices permtables.

4.2.2. Asociatividad del prodc to de matrices

Sean V, U, S y W espacios vectoriales de dimensiones n, p, q, m respectivamente, y na base en cada no. Si

/ : V - »U £ : U S y h : S-»W

son trasformaciones lineales, C e K px " , B e K 9xp y A e K mxfl son las correspondientesmatrices,

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MA TR IZ HER MITIA NA 119

Para denoar la mariz conjugada de A, escribiremos A.Si A es la matriz an terior, entonces

1)\ - i - 2 3 + 2i j

Diremos que A y A son matrices conjgadas, na de la otra, pes A = A.Dado_ el espacio vecorial (C'ixm , +, R , ., la función / : Cnxm ->cnxm definida por

f (A) = A es na trasformación lineal, pesto qe se verifica

i ) la conjgada de la sma es igal a la sma de las conjgadas,

ii) la conjgada del prodcto de n escalar por na matriz es igal al prodcto del escalar por la conjgada de la matriz.El lector pede demostrar qe / es n atomorfismo.

Se verifica qe la traspesta de la conjgada de calqier matriz es igal a la conjgada des traspesta, o sea

a ' - á *

Para designar esta matriz, escribiremos A*.En el caso ya tratad o es

A* = í \ - i - 2 ]\ 2 3 + 2 i /

El operador * satisface las sigientes propiedades:

1 (A*)* = a

2. (A + B)* = A + B * (A + B)* = A* + B* = A* + B*

3. (A B)* - B* A*

Para demostrar esta afirmación es necesario probar qe la matriz conjgada de n prodc to es igal al prodcto de las conjgadas.

Sean A e C nxp y B eCJ5Xm. Si C = AB, entonces el elemento genérico de C es

p

c ij j aik bkj

y teniendo en centa qe el conjgado de na sma es la sma de los conjgados y qe elconjgado de n prodcto es el prodcto de los conjgados, se tiene

p _ _ _

ca = a¡k H j

O sea

AB = Á B

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120 MA TR I CES

Reomando nuesro propósio

(AB)* = ÁB* = (Á S)f =WA* = B* A*

4.11.2. Matriz hermitiana

La matriz A e Cnxn es hermitiana si y sólo si es igal a la traspesta de s conjgada.

A es hermitiana « A = Á «, A = A * of f¡ j=/¡ Vi V/.

Los elementos de la diagonal de toda matriz hermitiana son números reales, pes

A es herm itiana =*au = a¡i a e R.

La matriz

/ 1 - i 2 + iA = ( i - 2 - 3 - 2 i | es hermitiana

\ 2 —z —3 + 2/ 3

Toda matriz simétrica y real es hermitiana, ya qe verifica ay = aj{ = áj¡7

Ejemplo 4-11.

Si a e C y A e C " xm, entonces (a A)* = a A*.

En efecto:

(a A* ) - a A 1 = ( a Á ) ~ a Af = 0A*

Ejemplo 4-12.

Dadas las marices X = ( ^ y A = [ ) , calclamos\ 1 + i f \ 1 - i 2 /

i ) X*X = (1 1 - i) ^ . j = 1 + (1 - 0 (1 + () = 1 + 1 - i2 = 3

• o x ' A x ^ 1

Ejem plo 4-13.

Si H = { A e C 3X3/A es he rm itiana} , entonces H no es n sbespacio de(C3 x3 , + , C , .), ya qe H no es cerrado para el prodcto por escalares.

En efecto:

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P A R TICION 121

/e (.: y A =

iA = (1 - i - 2 i 3i —1 0 —2 / 1 ^ H , pesladiagonalnoes

/ 1 - 1 +

El lector pede comprobar qe H es n sbespacio de (C3x3, +, R , .).

4.12. MATRICES PARTICIONADAS

4.12.1. Sbmatrices de A e Kn x

Eliminando r filas y s colmnas de la matriz A e K " xm se obtiene na sbmatriz de A,qe denotaremos as:

A ( i , i 4 , ■- . , i r | A ,/2 i . . . ,/ ,)

donde /', es el número de la primera fila eliminada,/, es el número de la primera colmnaeliminada, etcétera.

Si eliminamos las filas indicadas en

(

a n a 2 a 4 $

■Cht —^ 2—^23—^ —& T

a31 8.2 O-n a ;S

2— #43 —j ¡t—<; y

entonces

Si se mencionan las filas y colmnas qe se conservan, la notación es

4.12.2. Partición de na matriz

Sean A e K xm , n - v x + v ^ y m - Mi + M >y consideremos las sbmatricesA n = A [1, 2, . . Ui 1 1 , 2 , . . . , Mi]

Ai2 = A [1, 2 , . . . , vx l^ i + 1, Mi + 2 , . . m]

n x m

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ES P A CIOS FILA Y COLUMNA 123

II. Produco por escalares

Se define de la siguiene manera:

A = (a A y)

III. Mltiplicación

Sean las matrices A e Knxp , B e Kpxm y los esqemas de partición

n - Vi + v2 + . . . + vr , P = 7r 1 +7 r 2 +. .. +7 T í ,m = jLíl+M+ . . . + jLís

osea, A = (Aife) y B = (BW) donde /= 1,2 , . . r, j = 1, 2, . . 5 y k = 1, 2, . . t.El prodcto en forma particionada es

A B = ( (2 i A lk Bw )

Ejemplo 4-14.

Consideremos las matrices A y B particionadas como se indica

A n A 12

A2i A22

í 1 0 0 2 \

0 1 1 2 1

V -l - 1 2 3 2 Ì

/ I 0 1 1 \

0 1 2 2-1 1 - 2 2

1 2 3 - 1\ o 1 0 0 /

B B12

b21 b 22

El prodcto en forma particionada es

, A n A j2AB =

A2i A22 B2j b 22

As:

Cn - An B 4- A i2 B2i — 1 0

0 1

B u + A i 2 C O

A n B 12 + A 12

B „ + A 22 B 2 i A 2 i B l 2 + A 22

/ i 0 \ / °1 2 '

\ í ~ l l \+ 1 2

\ o 1 / \ l 2 1 ./ V o i /

) - /2

r \ 1 7 /-G:)*(: iAnálogamente se calclan CJ2 , C22 y C2J , qe son los restan tes bloqes del prodcto.

4.13. ESPACIOS FILA Y COLUM NA DE U NA MATRIZ

Sea A e K'1Xfn y sean los esqemas de partición r t= i' i, m = : l + l + . . . + l.

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12 4 MA TR I CES

Entonces A qeda particonada en matrices colmnas y se escribe

A - ( A n A12 . . . A iwl ) —( A i A2 . . . A,,,)

donde k¡ e K" y / = 1 , 2 , . .m. Definición

Espacio colmna de la matriz A e K " xm es el sbespacio de K" generado por las m

colmnas de A.

Denoamos el espacio columna de la mariz A mediante SC(A). Los elementos de Sc(A)

son todas las combinaciones lineales de las m colmnas de A.

O sea

SC(A) X oij A j I oij e K ; =1

Definición

Rango colmna de na matriz es la dimensión del espacio colmna de dicha matriz.

pc (A ) se lee: rango colm na de A, y es

iOc (A) = dimS c(A)

Si A es na matriz nla, el espacio colmna es n vector nlo y el rango colmna es 0. SiA # Ñ, entonces el rango colmna de A es el máximo n úmero de vectores colmnaslinealmente independientes.

Análogamente se definen el espacio fila y el rango fila de na matriz A, y se indicanmediante Sp(A) y Pf (A), respectivamente.

SF(A) es el sbespacio de Km generado por las n filas de A y dimSp(A) es el máximonúmero de vectores filas linealmente independientes de A.

La partición de A € Knxm en vectores filas se indica as:

Ai N

A2 , donde A¡ e Kw ; i - 1, 2 ,. . ., n .

Si es necesario, para referirnos a la sbmatriz colmna de lgar r escribiremos A r, y paraindicar la sbmatriz fila de lgar k, pondremos A*.. El pnto en A r significa qe el primer ndice vara desde 1 hasta n. En el segndo caso, el pnto indica qe el segndo ndice es

variable desde 1 hasta m.

Ejemplo 4-15.

Deerminamos los rangos fila y columna de la mariz

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12 8 MA TR I CES

De (1 y (2 resula

p (A B ) < m n j p ( A ) ,p ( B ) | I

4.13.4. Invarianza del rango

Propiedad '

Si en n prod cto de dos matrices na de ellas es no singlar, entonces el rango del ¡ prodcto es igal al rango de la otra matriz.

Hipótesis) A e K nxm

B eK nx” esnosinglar

Tesis) p (B A) = p (A)

Demosración Sabemos que

p ( B A ) < p (A) (1)

pes el rango del prodcto es m enor o igal qe el rango de cada factor.Como B es no singlar, existe B" 1 tal qe BB' 1 = B" 1B = IAhora bien

A = IA = (B_1 B)A = B" 1(BA)

Por consigiente

P (A) = p [B" 1 (B A)]

Y por rango del prodc to, es

p ( A ) < p ( B A ) (2)

De (1 y (2 se deduce que

p (B A) - p (A)

Análogamente se demestra qe si B e Kmxm es no singlar, entonces

p (A B) = p(A )

Una consecencia inmediata del teorema anterior es la sigiente: si A eK nxm, P e K " xn yQ e Kmxm son dos matrices no singlares, entonces

P (P A Q ) = p (P A) - p (A)

4.13.5. Propiedad

Una matriz A e Knxn es no singlar si y só lo si s rango es n.

A e K " x" es no singlar p (A) =n

Io. A e KriXfl es no singlar => 3 A-1 / A A" 1 = I=>

=> p (A A" 1) = p (I) => p (A) = n

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MA TR I CES ELEMENTALES 131

AyA - i

/ 1 0 ° \0 1 0

_0_0_1 di -.0

.0_-0_1 i _0

lo<

0 1/

/ A1\ / Al \

f / A2 1;

A¿:

A;

, : 1

Af + Ay

•

\ Anl /

O sea, la premuliplicación de A por Ay sma a la fila / la filai.Se sabe qe las filas de la matriz identidad-.ei, e2 , . . ef>. . . , e„ constityen n

conjnto linealmente independiente. En consecencia

ei>e2 >■■■»e¿>■• .,e ;- + e ¿ , . . .,e„ f

es n conjnto linealmente independiente, o sea

P (Ay) = fi

Lego

Ay es no singlar

3. El prodcto de la fila i de A por el escalar a i=0 pede obtenerse premltiplicando A

por la matriz no singlar

M K c O - I + C a - O E y

EnK4*4 es

M3 (a) =

1 0 0 0 ’

0 1 0 00 0 a 00 0 0 1

Mj(a) se obtiene mltiplicando por a el elemento de lgar (/,*) de la matriz identidad.Se verifica

M^a). A

h o0 1

_0_0_a_0

0 0

AiA2

A,-

Ani

AiA2

a

I

Como p (M¿ (a)) = n, es M,- (a) no singlar.

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134 MA TR I CES

Si A es na matriz no singlar en Knx " , entonces s forma canónica es la matriz

identidad.

A e Knxn es no singlar o F.C.(A) = I

El smbolo F.C.(A) se lee: “ forma canónica de A” .

4.15.3. Propiedad

Las sigientes proposiciones son eqivalentes:

i ) A ~ B

ü ) P (A ) = p (B)

iii) F.C.(A) = F.C.(B)

1. A ~ B = * p ( A ) = p (B )

Si A ~ B , entonces B pede obtenerse efectando n número finito de operacioneselementales sobre A, y de acerdo con lo afirmado en 4.14.2. el rango se conserva. Enconsecencia es p (A) = p (B).

2. p (A ) = p (B) => F.C.(A) = F.C.(B)

Es inmediato po r la propiedad 4.15.2.

3. F.C.(A) = F.C.(B) =>■A ~ B

Por la propiedad 4.15.2. es F.C.(A) ~ A y F.C.(B) ~ B. Como A y B son eqivalentes ana misma matriz, reslta A ~ B.

4.15.4. Propiedad

Si A e K " xm, entonces existen matrices no singlares P e K nxn y Q e K mxm tales qeF.C.(A) = PAQ.

En efecto, la forma canónica de A se obtiene premltiplicando A por n número finito dematrices elementales del tipo n x n y posmltiplicándola por n número finito de matrices

elementales pertenecientes a Kmxm. Como tales matrices elementales son no singlares, ss prodctos P y Q , respectivam ente, también lo son, y a qe las matrices no singlares formangrpo mltiplicativo.

4.15.5. Propiedad

Toda matriz no singlar es n prod cto de matrices elementales.

En efecto, si A e K nxn es no singlar, entonces s forma canónica es la identidad, y deacerdo con 4.15.4. existen P y Q no singlares (am bas son prodctos de matrices

elementales) tales qe

P A Q = I

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DETER MINA CION DEL RANGO 135

En consecencia

P" 1PAQ Q ”1 = F l Q " !

Lego

A = P_1 Q”1El segndo miembro es n prodcto de matrices elementales, ya qe la inversa de toda

matriz elemental es na matriz elemental o n prodcto de éstas.

4.15.6. Propiedad

Las matrices A y B pertenecientes a K " Xfn son eqivalentes si y sólo si existen matrices

no singlares P e K nx" y Q e K mxm tales qe B =PAQ .

1. A ~ B => F.C.(A) = F.C.(B) =►3 K, L, M, R no singl ares / KAL = MBR =>

=> B = K A L R " 1 => B = P A Q donde P = M-1 K y Q - L R" 1

Hemos aplicado 4.15.3., 4.15.4., premltiplicado por M '1 y posmltiplicado por R" 1.

2. Spongamos qe A y B son matrices n x m , y qe existen P y Q no singlares tales qeB = P A Q . Por 4.15.5., P y Q son prodctos de matri ces elementales, loqe significa qe Bse obtiene efectando n número finito de operaciones elementales sobre A. Enconsecencia, A ~ B.

4.16. METODO DE GAUSS JORDA N PARA DETERMI NAR EL RA NGO

El método qe exponemos a continación nos permite determinar el rango de na matrizmediante n número finito de operaciones elementales del tipo: mltiplicación de na fila

por n escalar no nlo y adición de na fila a otra . Señalamos qe se opera exclsivamentesobre las filas de la matriz, y qe además el método se hace extensivo a la determinación dela inversa de na m atriz no singlar y a la resolción de sistemas lineales.

Esencialmente, mediante las operaciones elementales indicadas, se trata de formar elmáximo número posible de vectores canónicos linealmente independientes. Tal número es,

precisamente, el rango de la matriz .Sea A na matriz no nla. Se elige calqier elemento distinto de cero, al cal se lo llama

pivote. Para fijar ideas, sin pérdida de generalidad, spongamos qe el pivote es au =a, y seala matriz

® b c . . . .

d e f . . . .

de la qe se han indicado sólo algnos elementos.

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13 6 MA TR I CES

Dividiendo la primera fila por a =£ 0, o sea, muliplicándola por el recíproco del pivoe, se

obiene

1b c

a a

d e f . . . .

En la etapa sigiente, se redcen a cero los restantes elementos qe figran en la colmnadel pivote. Entonces, a la segnda fila se le sma la primera mltiplicada por - — . De ese

a

modo, d se rasforma en 0, e se rasforma e n e - — , y / s e rasforma en / - — . Se obiene

a a

Si a 31 = g, en la misma eapa, al sumarle a la ercera fila la primera muliplicada por - - , g a

g - bse rasforma en 0. Ysi¿z32 =h, enonces h se rasforma en h ---------

a

En las dos etapas descritas se ha obten ido n vector canónico en la colmna del pivote.Observamos en la mariz dada que odo elemeno que no figure en la fila, ni en la

columna del pivoe, forma con éste na diagonal de n “ rectánglo” . Los otros dos vérticesdeterminan lo qe llamaremos la “ contradiagonal” . Por ejemplo, asociado al elemento e setiene

b c

e f

Como el trasformado de e es e ------- , operaremos as: el trasformado de cada elementoa

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13 8 MATRICES

es combinación lineal de los tres primeros, pes es la sma de los prodctos de ellos por 7, - 5 y 2, respectivamente.

Si en algna etapa intermedia se eligiera como pivote n elemento no nlo qe figreen la fila de algún pivote ya seleccionado, la colmna qe entonces se trasformó en n

vector canónico dejara de serlo.Resmimos la mecánica del procedimiento:

1. Se elige como pivote calqier e lemento no nlo de la matriz dada, y se divide por élla fila correspondiente.

2. Los restantes elementos de la colmna del pivote se trasforman en ceros.

3. El trasformado de todo e lemento qe no figre en la fila ni en la colmna del pivote sedetermina sigiendo la regla del “ rec tánglo” , es decir, es igal a s diferencia con el

prodcto contradiagonal dividido por el pivote.

4. Se reitera el mecanismo eligiendo como pivote n elemento no nlo qe no pertenezcani a las filas ni a las colmnas de los pivotes anteriores.

5. El número de vectores canónicos linealmente independientes es el rango de la matriz.

4.17. I NVERSION DE MATRICES POR GAUSS JORDA N

El método explicado en 4.16 . pe rmite determinar la inversa de na matriz no singlar. SeaA e K'lx '1 no singlar; a s derecha se escribe la identidad en KrtXr*.

A I

La matriz as indicada es del tipo nx2n , y a ella se le aplica el método de Gass Jordánhasta lograr qe A se trasforme en la identidad. La identidad qe figra en el esqemaanterior qeda trasformada en na matriz B e K " * n .

A I

I B

La trasformación de A en la identidad siempre es posible, ya qe, siendo A no singlar, srango es n, y en consecencia es posible obtener n vectores canónicos linealmenteindependientes mediante las operaciones elementales indicadas en 4.16. Si los vectorescanónicos obtenidos no resltan ordenados de modo qe constityan na matriz diagonal, laidentidad se logra mediante na adecada permtación de filas de la matriz completa. Lamatriz resltante a la derecha es la inversa pedida.

Las operaciones elementales realizadas sobre las filas de A, qe la convierten en laidentidad, son las mismas qe las efectadas sobre las filas de I y qe la trasforman en B. Si E

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INV ER S ION

Calculamos

Obenemos la inversa de ésta por Gass Jordan

© - 1-1 0

1 00 1

1 -10 0

1 01 1

1 00 1

0 -1-1 -1

Lego

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146 MA TR I CES

O sea

Xt v r P X [v.| (3)

Y como P es no singular, premuliplicando p or P" 1 resula

X[V. ,= P- ‘ X[V| (4

(3 y (4 se llaman fórmulas de rasformación de coordenadas.

4.19.4. Matrices de una trasformación lineal y cambio de bases.

Sea / : V -> W una rasformación lineal de mariz A e K mxn respecto de las bases[v]~ v i , v2, .. .,v„ } e n V y [ w ] = ( w , , w 2 , . . , w m ) enW.

Si se efectúa n cambio de base en cada espacio, entonces la misma trasformación lineal/

está caracterizada por na matriz B e Kmxn respecto del nevo par de bases fv’] y [w’l.Sean P e K.nxn y Q e K”1X" 1las matrices de pasaje de [v] a [v’J y de [w a [w’].

Demosraremos que las marices A y B de la trasformación lineal /respecto de los dos pares de bases verifican

es decir, son eqivalentes.

Para ello consideremos el diagrama

B = Q ' 1 A P

V, [v]

P

V, [v’]

AW, [w]

Q

W, [w’l

Se verifica qel.Xjvj = P X [v.j por 4.19.4. (3)

2 Y(w] = Q Y [w,, por4.19 .4. (3)

3. Y,„t -

[w].(w] - A X[v] por ser / trasformación lineal de matrizA respecto de las bases [v] y

[w’].4. Y[w .j - B X|v ,, pes / e s trasformación lineal de matriz B respecto de las bases [v’] y

De 2., 3. y 1. se deduce

Y . . . . n - m[W] - O' Y(wj = Q - 1 A X[v) = Q -‘ A P X(v,|

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148

( 1, 1»0 = 1 e, + 1 e2 + Oe3

(1, 0 ,0 = 1 e, + 0 e2 + 0 e3

MA TR I CES

Lego

/ 1 i iP = 1 1 0

\ 1 o o

m\ " T fn “ ad°a,e<: ; : i UltadOS CaUlam0S ™ ‘riZ B de la base

Se sabe que

Empleando Gass Jordan reslta

Lego

B = P" 1 A P

h » ? ) / : ; :1 -1 0 / \ i o 1 / \ 1 o o

1 1 1 \ / o 1 11 1 0 ] = [ 1 —1 o1 0 0 / \ 1 2 0

El lector pede verificar este resltado obteniendo directamente B, como en i).

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TRABAJO PRACTICO IV

4-22. Calcular la mariz— A —2 B, sabiendo qe2

y B

4-23. Deerminar la mariz X = / X ^ sabiendo que X + ( ^ M = I\ .z u f \ 2 - 2 /

4-24. Sean las marices

1 1 \ / 1 - 1

10

B = 0 0

1 2 / \ - 2 2

- 3

-3

Obener: A 2 , A B C y B f A t ,

4-25. Desarrollar

i (A + I) (A —I)

ii) (A + B) (A - B)

Sabiendo qe A, I y B son matrices cadradas n x n.

4-26. Siendo

PQ q 2

- P 2 ~PQ

Calclar A2.

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150 MA TR I CES

4-27. Obener A2 sabiendo qe

A =

0

0

4-28. Dada la mariz

A =

calclar A2, A3, A4, etcétera, y vinclar los elementos resltantes con los términos dela scesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 1 3 , . . . donde, a partir del tercero, cada noes igal a la sma de los dos anteriores.

4-29. Demosrar que A (B C) = (A B) C, sabiendo qe los prodctos indicados existen.

4-30. Demosrar por inducción complea que

4-33. Siendo B e Knxn , C e K " xn , C2 = N y B C = C B, demosrar

A = B + C ^ A ftti = B** ( B + (fc + 1) C )

4-34. Sabiendo qe en K nxn se verifica X A = I y A Y = I, demostrar qe X = Y.

4-35. Deerm inarlas marices X e R2x2 ales que X2 = N .

4-36. Demosrar que si A y B son matrices diagonales en K " x'!, entonces AB es diagonal y

4-31. Sabiendo qe

demostrar

4-32. Resolver la ecación A2 + X2 = I, donde A, X, l'son matrices 2 X 2 y

AB = BA.

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152 MA TR I CES

4-53. Mediane una parición adecuada efecuar el produco

2 0 0\ / O 0 0 11 0 0 \ / 0 0 2 0

0 0 0 1 j 1 1 0 0 0

0 0 2 2 / ' 0 1 0 0

4-54. Deerminar una base del espacio fila de

4'55. Demosrar que si A es no singlar y B A = N, enonces B = N.

4-56. Siendo A e Knxn no singlar y X e Y matrices en Knx 1 tales qe A X = Y, entonces cX = A" 1 Y.

4-57. Demosrar que si A y B son matrices de Knxn tales qe AB= N, enonces A = N i

B = N o A y B son singlares.

4-58. Deerminar los rangos de

- 2 4 - 2 - 2

A = f —1 —1 1 0 | B

- 2 1 2 - 1

4-59. Obener, si exisen, las inversas de

/ 1 - 1 0 \ / 1 - 1 0

A = 0 1 - 1 B = | 0 1 - 1

4-60. Sea

1 0 1 / V—1 0 2

2 3

1 42 - 7

Verificar qe p (A) = p (A A*)

4'61. Demosrar que el rango de la suma de dos marices es menor o igual que la suma de su

rangos.

4-62. Demosrar las siguienes propiedades relaivas a la raza de marices en K" xn :i ír(A B ) = tr (BA).

i i ) tr (ABC) = tr (CAB) = tr (BCA), o sea, la traza no vara frente a permtaccclicas.

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TR A B A JO PRACTICO IV 153

iii Si C es orogonal, enonces tr (C*AC) = tr A.

4-63. Sea A na m atriz idem poten te en R " xn , y sea X n vector no nlo de R n qe verifica

AX *=aX, con a e R. Demosrar que a = 0 o a s sl.4-64. Si A e Rnxn es involtiva y X e R " es no nlo y verifica AX = aX, entonces a = 1 o

a ~ -1 .

4-65. Sea X e R " x 1. Se define el escalar X (X raya) mediante

— i nX = - 2

n i= i 1

Deerminar las marices A e Rnxn qe verifican

i ) X( A X = X2

Ü ) X Í A X = n X 2

iii) X^ A X = £ ( X i - X f =i

4-66. Sea T e JC™” estrictamente trianglar sperior. Demosrar que

(I _ t )- i =1 + T + T 2 + . . . + T fl_l

4-67. Sean

'0 0 1 0

. . ° ° 0 1 .

A 1 i o o o I y b =

, 0 1 0 0

donde C y D son marices 2 X 4 . Verificar que A B\ C

4-68. S e a / n a trasformación lineal de V en V caracterizada por la matriz A.Sabiendo qe A verifica la relación A 3 + A2 - A + I = N, demosrar que / es no

singular.

4-69. Deerminar la inversa de

A =

4-70. Sean A = | ) y B e R2 x2 .DemosranA y B son permtables o B = a A + J310 3,

1 -v 0 0

0 1 -p 0

0 0 1 -p0 0 0 1

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Capítulo 5

DETERMINANTES

5.1. INTR ODUCCION

En esta sección se define axiomáticamente la fnción determinante de orden n y sedemestran las propiedades qe se derivan de tales axiomas. Se encara despés el problemade la existencia del determinante y se llega al desarrollo por los elementos de na fila. Acontinación, y sobre la base del concepto de inversiones de na permtación, se da eldesarrollo del determinante en fnción de los elementos de la matriz, y se demestra laigaldad de los determinantes de dos matrices cadradas y traspestas. Se encara el

desarrollo de los determinantes por los elementos de na lnea calqiera, y se demestra elteorema relativo al determinante del prodcto de dos matrices. Después de exponer elconcepto de matriz adjnta de na matriz cadrada, se da n método para invertir matricesno singlares.

5.2. DETERMI NA NTES

En lo qe sige, spondremos qe K es tal qe 1 + 1 =£0, y si A e K " x" , escribiremos

A = (Aj Á 2 .. . A„), donde A¡ con 1 < / ' < « denota la colmna de lgar i de la matrizcadrada.

Definición

Deerminane de orden n es oda función

D : Knxn -» K

que verifica

1 . D( A, . . . a ; + a ; \ . . a „ ) - d ( a i . . . a ; . . . a „ ) + d ( a 1. . . a ? . . . a »)

calqiera qe sea /= 1, 2, . . . , n.

2. D (Aj . . . a A ; . . . A „ ) = f tD (A 1 . . . A ,. . . A„)

para to do / = 1, 2 , . . .,n.

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156 DETER MINA NTES

3. A¡ ~ AJ+ ! =>D (A i . . . A; A j + 1 . . . A „) - O

cualquiera que sea / = 1, 2 , . . n - 1.

4. D (I =1 .

Haremos algunas aclaraciones acerca de la noación usada y de los axiomas propuesos en

la definición. La fnción D asigna a cada mariz n x n un escalar llamado deerminane de la

mariz. As, el smbolo D (A) se lee “ determinante de A” , y es n elemento de K.Los axiomas 1. y 2. caracterizan a D como una función lineal respeco de cada columna

de la mariz.

El axioma 3. establece qe si dos colmnas consectivas de na matriz son idénticas,entonces s determinante es nlo.

El axioma 4. expresa qe el determinante de la identidad vale 1.

Si

A =

an an • ■■ a \n a 2l a 22 ■ ■ ■ @2n

escribiremos

a n 1 a n 2 ■ ■ ■ flfin

Û11 d \1 . . . d \ n

a21 Û 22 • • • a2n

& n 1 0 -n 2 ■ ■ ■ a n n

Ejemplo 5-1.

La fnción D : K2*2 ->K definida por

a bD (A) =c d

= ad - be

es n determinante.En efecto:

1.a b ’ + b ”

c d ’ + d ”

a b ’ +

a b ”

c d ’ c d ”

2 .a a b

a c d

= a ( d’ + d ,T) - ( b , + b ”) c = ( a d , - b ’c) + ( a d ’’ - b ”c) =

a b

c d a a d - b a c ~ a . ( a d - b c ) = a

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r

P R OPIEDADES 157

3_ a a =a c - a c = 0c c

4 - D( I = | o i = u ~ 0 0 = 1

os en

de la

Análogamente lo es la fnción D : K1x 1 -►K definida por

D (A) = \a\ = a

mna

5.3. PROPIEDADES DE LA FUNCION DETERMINANTEicas,

5.3.1. Teorema

Si se permtan dos colmnas de na matriz, entonces los correspondientes determinantesson opestos.

Razonamos indctivamente:

i ) Las colmnas qe se permtan son consectivas.

Sea A = (Ai . .. Ay Ay+i . . . An)

D (Aj . . . Ay + A/+i Ay+i + Ay . . . An) 0

Aplicando 2. se tiene

D (Aj . . . Ay Ay+i . . . A n) + D iA J_ _ ^ A r -Ar^ r A ) - +

4- D_( A i . ■. —Ay+i . . . A ny + D (Ai . . . Ay+ i A¡ . .. A n) —0

Los dos términos centrales son nlos por 3.

Lego

D (A i . . . Ay Ay+i . . . A„) = — D (Ai . . . Ay+j Ay . . . A„)

ii) Sponemos válida la propiedad para h - j = k y la demostramos para h - j = k + \

Por 3. es

D (A! . . . Ay Ay+1 . . . Ah . . . A„)

= — D (Ai . . . Ay+1 A y . . . A h . . . A „ ) Por i)

= D (A j . . . Ay+1 Ah . . . Ay . . . A„) Por hipótesis

= — D (A , . . . Ah Ay+i . . . Ay . . . A„) Por i)

5.3.2. Teorema

El determ inante de toda matriz qe tenga dos colmnas idénticas es nlo.

i i= j a A¡ = Ay =>D (Ai A2 . . . A ¡. . . Ay. . . A„) = 0

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158 DETERMI NA NTES

En efecto, permtando tales colmnas idénticas por 5.3.1. es

O sea n)

D (A) = - D (A) pes A* = A,Lego

1 D (A) + 1 D (A) = 0En consecencia

(1 + 1) D (A) = 0Y como l + l ^ o , reslta

D (A) = 0

5.3.3. Teorema

Hemos aplicado 1.3.1. y el axioma 2. de la fnción determinante.

5.3.4. Teorema

linfa! de“ ante n ° S¡ a ™ “ » - » Se le sma na com bi nación

/ ^ ^ D ( A 1 . . . A J. . . . A , . . . A „ ) = D ( A 1 . . . A ; . . . A f c + a A . . ,

Aplicando los axiomas 1. y 2., y teniendo en centa 5.3.2., reslta ' " '

D (A, • ■ • A , . . . A * + a A / . . . A „ ) =

l>IA' ' A - -A». (A, . . . A ; . . . A / . . . A„) == D (A. . . . A j . . . A k . . . A n) + a .0 =

= D (A 1 ■■■Aj . . . A k . , . A„)

Ejemplo 5-2 ,

Sea

/ 1 ° l \

A - ^ 1 ° / eR3X3

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P R OPIEDADES

Calculamos D (A) de la sigiente manera:

i ) A la tercera colmna le smamos la primera mltiplicada por - 1 .

1 0 1 1 0 0

-1 1 0 = - 1 1 12 1 -1 2 1 - 3

D.(A) =

i i ) A la primera colmna le smamos la segnda.

D (A) =

iii) A la tercera colmna le smamos la segnda mltiplicada po r - 1

D (A) =

1 0 0

0 1 13 1 - 3

1 0 00 1 03 1 - 4

iv) De la ercera columna exraemos el facor -4 .

1 0 0

D (A) = (- 4 ) 0 1 03 1 1

v ) A la primera colmna le restamos el triplo de la tercera.

1 0 0

D (A) = ( -4 ) 01 00 1 1

vi) A la segnda colmna le restamos la tercera

(1 0 0

D (A) = (—4) '

Por 4. reslta

0 1 00 0 1

D (A) = ( - 4 ) . 1 = -4

Ejemplo 5-3.

S i a e K y A e K " * " , entonces

D ( a A ) = a " D (A)

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160 DETER MINA NTES

En efecto:

D ( a A ) = D [ a (A 1 A2 . . . A „ ) ] =

= D(o: Aj a A2 .. .a An) =

= an D (A)

Ejemplo 5-4.

Sl Al«x^2 ’ ‘ A" son vectores colmnas de Kn tales qe D (Ai A2 . . . A„) 0 yB e K" x es combinación lineal de aqéllos, o sea

B = ; i* A ‘' con x ¡ e K , i = 1,2,. . .,n,

entonces

„ D ( A t . . . B . . . A „ )

D (A )

donde B es la colmna de lgar j.En efecto:

D (Ai . . . B . . . Am) = D (A, . . . ¿ x¡ . An) =

- * i D (A t . . . A i . . . A „) + * 2 D (Ai A2 . . . A2 . . . A„) ++ xj D (Ai . .. Ay . . . A„) + . . . + Xn D (Aj .. . An . .. A„) -

: Xj D (A)

Lego

5.3.5. Teorema

. _ D( Ai ...B ...A„1

D(A)

D( A, A i ' * AAa ) = o " A " S° n Une al men te dependientes en K n, entonces e

Siendo por hipótesis Í A t l Aa........ A „ | n conjnto Unealmente dependiente algúnvector, digamos A;-, es combinación lineal de los restantes, o sea

A,- = S « / A f

En consecencia reslta

D ( A ) - D ( Aj A2 . . . . S ft¡ AI. . . .A „ ) = 0

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EX IS TENCIA 161

El teorema contrarrecproco expresa

D (A) =£0 => A i, A2, . . A„ son L.I.

Por consigiente

D (A) 0 => {A j, A2, . . A„ ) es na base de K"

5.4. EXISTE NCIA DE D

Definiremos los deerminanes p or inducción sobre n. Sea A e K " x" , Para cada(/ /)e l n X I„ consideramos la matriz A ( / 1 f) del tipo (n - 1) X (n - 1), qe se dedce de

A al sprimir la fila i y la colmna;.

/d\ \ . . . . . . a in \

ay

an 1 an1 . . . a,

Denoaremos con Ay al prodcto de ( - l ) w por el determinante de A (i \j), o sea

A „ = ( - 1 ) w D ( a (í I/))

El determinante Ay recibe el nombre de cofactor del elemento (/, /') de la matriz A.

1 2 3

Por ejemplo, si A = J 1 0 —22 1 - 3

entonces los cofactores de los neve elementos de A, son

An —(—l)20 - 2 1 !

t o > I I'

“ w 1 - 2

1 - 3 2 - 3= - 1 , etcétera.

Probaremos la existencia de D procediendo inducivamene.

i Sean n = 1 y A = (a) e K1x 1. Definiendo

D : Klxl -»K mediane

D (A) = a

se satisfacen los axiomas propestos en 5.2.

ii) Spongamos definido D : K(" 1 >x(fl 1 K.

Esto significa qe se satisfacen los axiomas 1 2 . , 3. y 4.

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Daremos ahora una expresión para ]a función * j

deerminane de orden » - i. Para ello definimos, para cada fla / = 1 , 2 . ^ 6XPenSaS deI

D : K n x n ~>K mediane la asignación

D (A ) = . § 1 au A ¡í ( i

donde A¡j « ( - 1 « d f A( / /) ) .0 sea

„ , D ( A ) - s „ A fl + a ¡2 A „ + . . . + a¡n A¡n V ; e l „ .

Probarem os qe la definición (1) satisface los axiomas nom brados

!• D (A, A2 . . . A ' k + A”fe . , . A„ ) =

n "~ jS x aa A y =aik A ik + X a¡j Ay =

j&h

= (a ¡k + a \ ) A ik + 2 a a = j^ k w

2 . D ( A i Á 2 . . . a Ak.. . A „ ) = 2 a..a -= an A 4 . vn) Á a* Av a atk Aik 4^2 ay Atf.

pede extraerse en vir td de lá U p ó t e Í td c t v a “ ^ ta “ " 3 ^ 1U8" * ^ faC‘° r qUe

D ( A 1 A2 . . . a Af t . . . A„) = a D ( AiA2 Aft ^

3 . A » = A * + 1 = > D( A , . . . A * A * + 1 . . . A „ =

n

=¡St aHA ü= aik Aik + a¡i h+1 At h+í =

- ““ D ÍA(í1*} ! (_1)i" +1a**■ D *4 4 >)) =( 1) ath D (A (; Ik ) ) + (_ !)<♦ ** , ^ D ( A ( / 1*) J = 0

4- D W = , 4 ( ~ l w 5i í D ( l ( | / j =

- ( - I ‘+iSu D f I (/ [ / J= 1

Entonces, Vn e N , V/ e l n, la función

D : Knx” K

162 d e t e r m i n a n t e s

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U NICIDAD 163

definida por

D ( A ) = . |i a ; Ai;-

es n determinante de orden n.

La fórmla anterior corresponde al desarrollo del determinante por la i-sima fila y expresaqe todo determinante es la sma de los prodctos de los elementos de la fila i por ss

correspondientes cofactores.

5,5. U NICIDAD DEL DETERMI NA NTE

Expondremos primero algnos conceptos relativos a permtaciones e inversiones de na

permtación, sin entrar en detalles de demostraciones. Después hallaremos na expresión del

determinante en términos de los elementos de la matriz, de modo tal qe se satisfagan loscatro axiomas de la definición.

5.5.1. Permtaciones

Sea el intervalo natral inicial = { 1 , 2 .

Definición

Permtaciones de I„ son todas las fnciones biyectivas de I„ en s mismo.

Si o : I„ -*■ In es na permtación, entonces O qeda caracterizada por el conjntoordenado de las imágenes

a ~ { a ( l ) a ( 2 ) . . . ff(tt))

Como o es biyectiva, existe la perm tación inversa de a, a 1 : ln ■ + definida por

a 1 ( O= / si o ( j ) ~ i

Como la composición de funciones biyecivas de I„ en l n es ambién na fnción

biyectiva, reslta qe la composición de dos permtaciones de I„ es na permtación de l n.

Permtación idéntica es la fnción identidad en I„.

5.5.2. Trasposiciones

Sea ¡ e l — i • Trasposición /-sima de la perm taciónO es la permtación

Ja : I/j ln

definida por

i o ( i ) si i + } a / = £ / + 1

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164 DETER MINA NTES

Por ejemplo, dada la permuación de l5

a = (2 1 3 4 5

enonces es

2CT“ (2 3 1 4 5)Toda trasposición de na permtación intercambia dos imágenes consectivas y deja fijas

a las restantes. ,

Se verifica qe la permtación inversa de na trasposición es na trasposición. Por ejemplo, la permtación inversa de la trasposición

20 = (2 3 1 4 5)

es la trasposición !

2'¿ = (3 1 2 4 5) i

Se demestra qe si o es na permtación de I„ y n > 1,entonces existe n número finito Ide trasposiciones cya composición es la identidad.

Por ejemplo, si i

o = (2 3 1 4 5) ;

entonces

2(j = (2 1 3 4 5) ¡

y !

l2 0 = (l ° 2 ) 0 = (i 2 3 4 5) = I !

5.5.3. Signo de na permtación

Sea a na permtación de l n . El smbolo e(ff) denota el mnimo número detrasposiciones qe trasforman a o en la identidad. Convenimos en qe e (I) = 0.

Diremos que o es par si e (a es par. Si e (a es impar, enonces a es impar.

A cada permtación a de I„ se le pede asignar el signo + si a es par, y el signo menos sies impar. Tal signo qeda caracterizado po r ( -- l ) e(0)

Se verifica qe dos permtaciones inversas tienen la misma paridad. O sea

( _ ! « «*> = ( ~ i e« ^>

5.5.4. Teorema

Los determinantes están nvocamente determinados por los axiomas 1., 2., 3. y 4. Eldeterminante satisface la expresión

D (A) = S ( ~ l ) e (CT) ao0 M • • -aa{n) n

donde la sma se realiza sobre todas las permtaciones de I„.

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Consideremos A = (A , A2 . . . An) e K " x" . Si E j, E2, . . Ert son los vectores colmnas

de la base canónic a de K" , entonces

U NICIDAD 165

n

A2 ~ £ a ¡2 E¡1=1

A„ = 2 ain E,= i

O sea

D (A) = D (A, Ai . . . A„) = D ( i a„ E, 2 a¡2 E , . . . J ain E,)1=1 1=1 l - l

Mediante 1. podemos expresarlo como na sma de términos del tipo

D(aff(i i E0(1) fla (2),2 Eg( 2) . .. aa („),n Ea („))

donde o( 1), o(2 ) , . . o(«) denota na elección de n enteros entre 1 y n.Por 2. se tienen términos de la forma

# <7 ( 1 ) , ! a o { 2),2 • • • a a { n ) s n D (ECT(i) Eff(2) . . . ECT(n))

Si algún o asigna el mismo entero a valores distintos i y /, el determinante es nlo envirtd de 5.3.2. Esto significa qe debemos considerar sólo las permtaciones de In.

Lego

D (A) = 2 Í70(1^1 J 2 . . . na(n),n L) (EC(1 ) Ea (2 ) . . . ECT(„))

Los vectores canónicos ECT(1), ECT(2 Ea („) constityen en cada término na permtación de E j , E2 , . . En . Si e (a ) denota el número mnim o de trasposicionesnecesarias para obtener la permtación identidad es

D (E *d ) Eaia)- ■■**(»>)■ = ( -1 y <a) D (Ei E2 . . . E„) donde (—l)e(a) es el signo de la permtación.

Por 4. reslta

D (E „(1 , E0( 2>. . . E„ (n)) = (- 1 ) £<°> D (I = ( - l eí<7

Por consiguiene es

D (A) = 2 (—l) e<7 ü 0( i «0(2),2 ■■■ ao(n),n

Este desarrollo del determinante no es útil para el cálclo, pero s lo es desde el pnto de

vista teórico.

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166 DETERMI NA NTES

5.6. DETERMI NA NTE DE LA TRASPUESTA

“ k" x" — * - — .Sabemos qe

D (A) ~~ ^ _ 1 )eÍCT)f la( l) , i «„(I) ,2 ■■• aa{n)n

Sea na permtación de I S i o( j) = k, entonces a 1 (*) = /

ao(j)J=ak,o~l(k)En todo prodcto del tipo

ao(i)ia<ji 2 ) t 2 ■■■

cada entero k e \ n figra na sola vez entre los enteros a( f t P™ • • pede escribirse as: ^ consigiente, tal prodcto

y la sma es

ya qe

( - l ) c<°>=( - I )e<cT')

perm tación caracteriza nvocam ente a s inversa. ’ aPor consigiente, la sma es igal a

2 ^ l > ° a l . a (l ) « 2, a (2>. . . a n, 0(n) = D (A )

Ejemplo 5-5.

Calclamos, según 5.5.4., el determinante de C = (A B) siendo

-■íri).Efectamos primero

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16 8 DETER MINA NTES

Desarrollamos por la primera fila, según 5.3.5.

2 - 2D (A) = 9 . 1 .

- 4 - 2= 9 ( -4 -8 ) = -108

Teniendo en centa qe los determinantes de dos matrices traspestas son igales, losaxiomas y propiedades relativos a las colmnas son válidos para las filas.

En consecencia, el desarrollo de n determinante por los elementos de na fila propesto en 5.3.5., se hace extensivo a los elementos de na colmna. Podemos decir’entonces, qe todo determinante es igal a la sma de los prodctos de los elementos de mlnea (fila o colmna) por ss respectivos cofactores.

Ejemplo 5-7.

Desarrollamos por los elemenos de la primera columna.

1 1 1 1

D ( A) =a c d

c2 d 2a2 b2a3 b3 c 3 d 3 .

Antes de efectar el desarrollo pedido redciremos a 0 los tres últimos elementos de la primera colmna, para lo cal restaremos a cada fila la an terior mltiplicada pora.

D (A) =

1

b -a

1

c—a

1

d -a0 b2-ab c2- a c d 2-a d 0 b : -ab2 c3-a c 2

Desarrollando por la primera columna y facoreando

b—a c-aD (A) = b(b~a) c(c-a )

b2(b -a ) c2(c-a)

Extrayendo factores en cada colmna

d 3- ad 2

d -ad(d-a)

d 2(d -a)

D (A) = (b -a) (c-a) (d -a)1b

b2

El determinante de orden 3 qe reslta es del mismo tipo qe el primero. Ahorarestamos a cada fila la anterior por b

1 1 1D (A) = (b -a) (c-a) (d -a) 0 c - b d - b

0 c2-bc d2~bd

Desarrollando por la primera co lumna y exrayendo facores se obiene

D (A) - (b-a ) (c- a) (d a) (c-b ) (d-b )

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DETER M INA NTE DEL P R ODUCTO 169

D (A) = (b - á ) (c - a ) (d - a) (c - tí) (d ~ b ) ( d - c)

El determinante propesto recibe el nombre de determinante de Vandermonde, yconsiderando la fila de elementos a, b, c y d,s desarrollo es igal al prodcto de los binomios qe se obtienen restando cada elem ento de la misma de todos los qe le

sigen.

0 se a

5.7. DETERMINANTE DEL PRODUCTO DE DOS MATRICES

Demosraremos que si A y B son matrices n « , entonces se verifica qe

D (A B) = D (A) D (B

O sea, el deerminane del produco de dos marices es igual al produc o de sus

deerminanes.

Considerando la mariz A particionada en vectores colmnas, se tiene

C = A B = (A 1 A2 . . . A n )

b 11 b 12 • • • b 1„¿21 b 22 . . . b2n

bn i b n2 . . . b nn

A j j = i b i2 A i • ■ ■ y ! b jn A i)

Lego

D (A B) = D ( 2 ò yi Ay .2 bj2 . . . .2 bjn A}) =

= 2 D (^0(1 >,1 Aff(i ) 6a (2),2 Act(2) • • • ^ ( n ) ,n A 0(n) ) =

“ ^ <7(1 ),1 ba( 2),2 • • • ^ (iì ),nD (A(j(i ) A(j(2 ) - • • Aff(n)) ■

= £ (— ¿>o(1 J(1 60(2),2 • • ■^a(n),n D (A ( A2 . . . Art)

= D (A) 2 (—l ) et°> ¿0(1 ),i ^o(2 ),2 ■■■&(r(n),n =

= D (A) D (B

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170d e t e r m i n a n t e s

5.8. ADJUNTA DE U NA MATRIZ CUADR ADA

5.8.1. Definición

Si

- - >— » * - — - — *

I a n a 12 . . . a

an <*22 . . . a2nln

an 1 an2 . . . ann>

enonces la mariz adjuna de A se denota mediante el smbolo Adj A,

/ An A:

y es

Adj A =

Por ejemplo, la matriz adjnta de

k2i • • • A nlA 12 A22 . . . A„2

Aln A2 „ . . . A nn

es

- 1 0 2

A = [ 2 1 31 —2 —3

3 9 - 5 \ 'Adj A = ¡ - 4 j _ 2

-2 7 - 1

5.8.2. Propiedad

3 -4 -2= [ 9 1 7

, - 5 - 2 - 1

Sea

rn a \2 a 1 n

ai2 . . . f f; .A =

donde h¥=i

ah\ ah2 . . .

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172DETER M INA NTES

n n

a H A 2 ; -' ' } S x ü l J

n n

A 2 j • ■■ a v A n i

n n

' a n j A nj

D(A ) O . . . O

O D (A) . . . O

0 O . . . D (A )

= D(A )

1 0 . . . 00 1 . . . 0

= D ( A ) . I

o 0 . . . 1

En forma análoga se preba qe

Adj A . A = D (A) I

5.9. I NVERSION DE MATRICES NO SINGULARES

dis to to de cerrom0S matóZ “ Í nVerSÍ We * sól° ■* -> determinante esSea A e K nxn .

1. Spongamos qe A es inversible. Entonces existe B e K nxn tal qe

A B = B A = ILego

D (A B) = D (B A) = D (I

Por deerminane del produco y de la idenidad es

D( A ) D ( B = D ( B D ( A ) = I

Reslta D (A) * 0, pes en caso contrario s prodcto po r D (B sería 0, y no 1.

2. Sea A e K»* " tal qe D (A) * 0. Demosraremos que A es inversible

detenriinante ■ * * « * - -

A . Adj A = Adj A . A = D (A) . I

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INV ER S ION DF, MATRICES 173

Por hipóesis, el escalar D (A) es distinto de cero, y dividiendo por él reslta

Adj A _ Adj A T

A - F ( x r ^ ( X )

Entonces, por definición, existe A 1 y es

A-l - AdÍ AD( A)

Se obtiene de este modo otro método efectivo para el cálclo de la inversa de na matriz

110 singlar.

Ejemplo 5-8.

Obenemos la inversa de la mariz del ejemplo 5-6.

/ I 3 5

A = I 3 5 1

V5 1 3

Como D (A) = -10 8 , existe A-1.Primero obtenemos la '

Adj A =

Lego

O sea

14 - 4 --22 \*/ 14

- 4 -2 2

- 4 -2 2 14 - - 4 -2 2 14

-2 2 14 - 4 / \ -2 2 14 - 4

/ 14- 4 - 2 2 \

A " 1 =1 -22 14

~ 108 \ -2 2 14 -4 /

7 2 1 1

~ 54 54 542 11 7

54 54 ” 5411 7 2

54 ~ 54 54

Ejemplo 5-9.

Demosramos que los deerminanes de dos marices inversas son escalares recíprocos.

Sea A e Knx'' no singlar, es decir, tal qe existe A 1.Entonces se tiene

A A" 1 = I

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174d e t e r m i n a n t e s

D (A A_1) = D( I

Por deerminane del produco y de la idenidad es

D ( A ) D ( A ~ 1) = 1

O sea

Ejemplo 5 ’10.

D (A " ' ) = [D (A ) r '

qs - ^ SK™ Í CeS Semejanfes determinantes igaies.' S l B e K CS SemCJ;1,' te a A- 0 " '« " « » existe P no singlar tal qe

Entonces

Como K es conmtativo

B = P ' 1 A P

D (B = D (P~* D (A) D (P

D ( B = D ( P - ' D ( P D (A )Por determinante del prodcto

D (B = D (P" 1 P D (A)

D( B = D( I D( A )

O sea

Y resula

D(B = D(A)

5.10. REGLA DE CfflO

de n :

™ de rminaaCnea;eel 7 E.

T Oa^aai^ ^ Pr°P°rCÍ Ona el método de Gass ^rdan para la determinación

Sea

D (A) =

«u « 12 . . . a u . . . a ln

«2i a 22 . . . a2j ... a2n

« « ai2 • • . (a

am an2 . .. anj . . . ann

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R EGL A DE CHIO 175

Fledm os como pivoe un elemeno no nulo, digamos Después de extraerlo como

facwr de la fra i, redciremos a cero los demás elementos de la colmna del pivote.

a n a 12 • • • <*1/ • • • a in

a21 a22 . . . a2¡ • • • a2n

D (A) = a ad j \ a i 2

a¡j a¡j. 1

dn\ an2 • • • anj ■■■ ar

A cada fila A, con h * i, le restamos la fila i mltiplicada por aHh y reslta

D (A ) = fly

a -&t]an

an 1an¡an

a i

012Q i j a ¡2

(*i2

«y

an2an¡ai2

. . 0 . . . a i „ -fllj

«y

i . . .

din

Gni &

Al desarrollar por los elementos de la colmna / reslta n determinante de orden n 1

“ t f i n d w X t o M i r a l l a o la co lmna del p ivote por él. En el segndo caso se redcen aEs indistinto ^ m . te En ambas sitaciones el procedimiento

mecánico consiste en aplicar el método de Gass Jordán teniendo en centa, además, el

factor ( - 1 ) ' +* « y•

Ejemplo 5-11.

Calclar, sando la regla de Chio.

D (A) -

2 0 - 1 23 2 - 2 - 3

0 - 2 ( 3 ) 22 3 0 - 1

del pivote se anlan, y a los elementos del determinante qe no figran ni en la

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TRABAJO PRACTICO V

$.12 Calcular los siguienes deerminanes desarrollando por los elemenos de una linea,

reduciendo a ceros odos los elemenos de la misma, salvo uno:

2 1 2 2 4 3

D (A) =0 3 1 D (B = -1 3 1

4 1 1 4 1 2

1 1 - 2 4 -1 1 2 1

0 1 1 3 0 3 2 -1D (C =

2 - 1 1 0D (E ) =

1 4 2 1

3 4 2 --1 3 1 3 2

5-13. Demosrar que el deerminane de oda mariz riangular es igual al produco de los

elemenos de su diagonal.

5-14. Demosrar que si un deerm inane iene dos líneas proporcionales, enonces es nulo.

5-15. Resolver las siguienes ecuaciones:

1 - X 0 - 2 ü 2 - x - 3 6

01 0 = 0 4 1 - 2

- 2 0 4 - X 2 -1 2 + x

0

5.16. Sea la mariz

Resolver la ecuación D (A - X 1) - 0

5-17. Resolver la ecación D (A - X I) = 0

j_

3

A = 1

= 0

siendo

J_

3

0

i'2

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178 DETER MINA NTES

5-18. Demosrar que el deerminane de oda mariz orogonal vale 1 o —1.

5-19. Sea A eK nxn. Demosrar que

D (Adj A) = [D (A)]”-1

5-20. Demosrar que

1 1

x 21

í x i)

5-21. S e a n / y g funciones reales de una variable real con derivadas primeras y segundas.

Demosrar que si

5-22. Demosrar que si n vecores columnas de K " son Unealmene independienes, enonces

el deerminane de la mariz cuyas columnas son ales vecores es no nulo.

5-23. Deerminar los signos de las permuaciones de I3, y la inversa de cada una.

5-24. Sean ax, a2, . . an escalares disinos. Demosrar que las n funciones f x, jf2, . .definidas por

enonces

f i ( t ) = eaif

son linealmene independienes sobre el cuerpo de los complejos.

5-25. Obener las marices inversas de

( a y b son no nulos

5-26. Deerminar, si exisen, las inversas de

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TR A B A JO PRACTICO V 179

$.27. Sean las marices

y B =

Hallar X sabiendo que AX - B.

$-28. Verificar las sigientes identidades en K

i ) 1 1 1 x y 2

yz xz xy= ( x - y ) ( y ~ z ) ( z - x )

i i) X y z t

y z t X (x + y + z + 0

z t X y X y z

iii) 1 X y z + 11 y z X + t

= 01 z t x + y

1 t X y + z

iv) X - y —z 2 x 2 x

y y - x - z 2 y2 z 2 z z - x - y

(x +y + z ) 3

5-29. Efectar, mediante el determinante del prodcto de dos matrices,

5-30. Calclar

1 --1 2 1 10 2 32 --1 1 2 0

0 1 1 1 1

0 1 1 1

1 1 0 1 1

1 1 0

1 1 1 1 0

5-31. Dadas las fórmulas de rasformación de coordenadas esf éricas a cartesianas

[ x = p eos ipeos 8 I y = p sen eos Q z p sen 6

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180 DETER MINA NTES

obener el jacobiano de la rasformación, es decir, el deerminane cuyas filas son h*

derivadas parciales de x, y y z, respeco de p, v? y 0, respecivamene.

5-32. Obener el jacobiano de la rasformación

U= X + Y

X

V = ~ donde X > 0 , Y > 0 .

5-33. Demosrar que el deenninan e de oda m ariz anisimétrica de orden impar es nlo.

5-34. Demosrar que

A C

B D= lAl ID - B A ' 1 C l

donde A y D son cuadradas y A es no singlar.

5-35. Si A y D son simétricas e inversibles, entonces

^A B \ 1 /a -i + F E " 1 F í - F E " 1

B D / ( - E ' 1 F Í E" 1

donde E = D - Bf A '1 B y F = A" 1 B.

5-36. Sean A e Knxn no singlar. U y V en K " x 1. Demosrar

(A + U V*)”1 = A '1 - A 1 U y t A~*l + V ' A U

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Capítulo 6

SISTEMAS LINEALES

6.1. INTR ODUCCION

En este captlo se estdian los sistemas de ecaciones lineales sobre la base de sestrecha relación con las trasformaciones lineales, y se analizan los espacios solciones de lossistemas lineales y homogéneos. Después de la demostración del teorema de Cramer, se tratala compatibilidad de los sistemas lineales generales. Se dan, finalmente, los sigientesmétodos directos de resolción: de Gass Jordán, de la raz cadrada y del orlado.

6.2. SISTEMAS LI NEALES

6.2.1. Concepto

Consideremos A e Knxm y la fnción

/ : Km ~>K"

definida por

/(X ) = AX (1)

donde X denota calqier vector colmna de Kw.

Afirmamos qe la asignación (1) caracteriza a / como na trasformación lineal de Km enK” . En efecto:

1■ /(X + Y ) “ A ( X + Y ) = AX + A Y = /(X ) +f(Y) .

2. /(aX ) = A (aX) = a A X = o^X ).

Por consigiente, toda matriz A e Knxm determina na trasformación lineal / : Km -> Krtdefinida po r/(X ) = A X.

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182 SISTEMAS LI NEALES

K"

Sea B e K " . La igaldad

AX) = B

o lo qe es lo mismo

A X - B

recibe el nombre de sistema de ecaciones lineales.La tradcción de tal igaldad es

«11 «12 • ■• «lm ' *1 ' bi

«21 «22 • • • «2 m *2 =b-i

«/ti «n2 • • • «Jim X m bn .

Efectando el prodcto y aplicando la definición de matrices igales se obtiene la formaescalar del sistema de n ecaciones lineales con m variables:

’ «11*1 + « 12*2 + • • • + a lmx m = b x

«2 1*1 +« 2 2*2 + • • • +« 2rn* m = ¿ 2

« t¡l* l " ^«n2*2 + • . • + nm*m

La matriz A, cyos elementos son los coeficientes de las variables del sistema, recibe elnombre de matriz del sistema. Los escalares qe figran en el segndo miembro se llamantérminos independientes. La matriz de coeficientes ampliada con los términos independien

tes se denota mediante

A* = (A B)

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Conjuno solución del sisema lineal es la preimagen por / , de {B } C K " .

S IS TEMA S L INEA L ES

0 sea, cada m-upla de elemenos de K que saisface a odas las ecuaciones del sisema es

una solución del mismo.

Entonces

a = (a i , <*2 , • • • , es na solción o a e f 1 | {B | )

Si la preimagen de B e Kn es el con jnto vaco diremos qe el sistema lineal

A X = B (I)

es incompatible. Si el conjnto solción es no vaco, entonces se dice qe el sistema escompatible.

Afirmamos qe

A X = B tiene solción - »B e l(f)

y

A X = B es incompatible o B ¿ l ( f )

En particlar, si B es el vector nlo de Kn, entonces

A X = 0 (II)

recibe el nombre de sistema lineal y homogéneo. En la forma escalar, los términosindependientes son nlos.

Como 0 e Km satisface a (II), todo sistema lineal y homogéneo es compatible. El vector nlo de Km se llama solción trivial del sistema lineal y homogéneo.

Denoaremos con S al conjuno solución de (II. S es la preimagen p o r / d e Oe K" . En

consecencia, el conjnto solción del sistema homogéneo es el núcleo de / Resolver elsistema (II) es determinar el N(/. Por lo ano , S es un subespacio de Km, llamado espacio

solución del sisema lineal y homogéneo.

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S IS TEMA S L INEA L ES

6.2.2. Rango de la mariz de coeficienes

Sea A e K nxm la matriz de coeficientes de n sistema lineal. Consideremos latrasformacion lineal

f : K m -+Kn

definida po r

f(X ) = A X

Afirmamos qe el rango de A es igal a la dimensión de la imagen de f. En efecto: laimagen d e / e s el espacio colmna de A, pes

m = I /( X ) / X e K m ) = ( A X / X e K " * | -

/ ^ 1\ 1= j (A i Á 2 . . . Am) • 2 J/ Xj -eK con i = 1, 2_ _ _ , m j=

■xmf I

I m t

= j .X x tA ¡/ jr¡ e K J = SC(A)

Por consiguiente es

dim l(f) = dim SC(A) = p (A)

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r ES P A CIO SOLUCION

185

6 2.3. Dimensión del espacio solución de un sisema homogéneo

Consideremos el sistema lineal y homogéneo

A X = 0y sea S el espacio solción, es decir

s = mdonde f es la trasformación lineal a qe nos hemos referido.

De acuerdo con 3.4. se verifica que

dim N(/ 4- dim \(f) = dim Km

En consecencia

dim S + p (A) = mO sea

dim S = m - p (A)

Lego, la dimensión del espacio solción de todo sistema lineal y homogéneo es igal alnúmero de variables menos el rango de la matriz de coeficientes.

En particlar, si p (A) = m, entonces es dim S = dim N(/ = 0. En consecencia

Es decir, si el rango de la matriz de coeficientes de n sistema lineal y homogéneo es igalal número de variables, entonces dicho sistema admite como única solción la trivial.

Ejemplo 6-1

Interpretamos el sigiente sistema lineal en términos de na trasformación lineal ydeterminamos la dimensión de s imagen

2 * 1 - * 2 + * 3 + * 4 = 1

* 1 ~ * 2 - * 3 + 2 * 4 = 03*! - 2* 2 + 3*4 = 1

La matriz del sistema lineal es

2 - 1

A = 1 - 1 - 1 2

3 - 2 0 3

El vector de los términos independientes es

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Definiendo la rasformación lineal

/ : R 4 R 3

¡ S IS TEMA S L INEA L ES

medianeAX) = AX

el sistema lineal propesto nos condce a la determinación de la preimagen de

Para hallar dim 1(0 obtenem os el p (A) por el método de Gass Jordán

2 1 1

® - 1 - 1 2

3 - 2 0 3

0 © 3 - 3

1 - 1 - 1 2

0 1 3 - 3

0 1 3 - 3

1 0 2 - 1

0.

0 0 0

Reslta dim 1(0 = p (A) - 2

Ejemplo 6-2

Si consideramos el sistema homogéneo

2* 1 - x 2 + *3 + *4 = 0

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enonces la rasformación lineal asociada es la misma del ejemplo anerior. Resolver el

sisema homogéneo significa determ inar el núcleo de / , cya dimensión es

dim S = m - p (A) = 3 - 2 = 1

6.3. TEOR EMA DE CRAMER

Si A e Kfix'1 es no singlar y B e K " , entonces el sistema lineal A X = B admite solciónúnica, y el valor de cada variable es el cociente entre el determinante qe se obtiene alsstitir, en el determinante del sistema, la colmna de coeficientes de la variable por lacolmna de los términos independientes, y el determinante del sistema.

Sea el sistema lineal

A X = BComo A es no singlar, premltiplicamos po r s inversa

A-1 ( AX) = A‘1 B

Asociando

(A-1 A) X = A-1 B

Lego

¡ IX = AM B

En consecenciaX = A“ 1 B

es la única solción del sistema.

De acuerdo con 5.3.5., como D(A ):/ : 0, las n colmnas de A son linealmenteindependientes y constityen na base de K " . Por consigiente, calqiera qe sea B eK" ,existen escala res* !, x 2, . . . , x n, únicos, tales qe

B = 2 x¡ A¡=i ' ‘

y por lo demostrado en el ejemplo 5-4 reslta

_ D(A j A 3 . . . B . . . A „ )A I ........ ““

D(A)

para todo 7 = 1 , 2 , . . . , « , donde B es la colmna de lgar /.

Los sistemas de n ecaciones con n variables se llaman cadrados, y si el determinante dela matriz de coeficientes es distinto de cero, entonces reciben el nombre de cramerianos.

Ejemplo 6-3

Resolvemos mediante el teorema de Cramer el sigiente sistema:i X i “ -V3 = — 1

I + 2 x 2 — 2x 3 = — 1

2x, - x 2 + x 3 - 3

TEOREMA DE CRAMER 18^

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188 S IS TEMA S L INEA L ES

La matriz de coeficientes es

y s inversa, determinada en el ejemplo 4-18, es

Como la solción es X = A 1 B, se tiene

1 / 1

_ 1 = - 1

3 0

6.4. COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS LINEALES

6.4.1 . Teorema de Rouche Frobenius o de Kronecker

Un sistema de ecaciones lineales es compatible si y sólo si la matriz de coeficientes y lamatriz ampliada con los términos independientes tienen igal rango.

Sea el sistema lineal A X = B, donde A eK" * ™ , X e K mxl y B e K iXl, y sea A’ la matriz

de coeficientes ampliada con la colmna de los términos independientes.El teorema afirma qe

A X = B es compatible o p (A) = p (A’)

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TEOREMA DE ROUCHE 189

En efecto:

A X = B es compatible «■ 3 a e Kmx 1 / Aa = B «•

I a i \

......... € K / (A j A2 . . . A m )

4 > 3 %a 2 , . . . , a m e K / B = | i a ( A¡ «■

B es combinación lineal de las m colmnas de A o

^ B e SC(A) o- p (A’) = p (A)

Por definición de sistema compatible, prodcto de matrices en forma particionada,definición de combinación lineal, definición de espacio colmna de na matriz y de rango de

na matriz.Denoando con T el conjnto solción del sistema lineal A X = B, el teorema demostrado

pede expresarse as:

T=¿0<* p(A) = p (A ’)

En consecencia

T = 0 o p (A) ¥= p (A’)

0 sea, n sistema de ecaciones lineales es incompatible si y sólo si los rangos de la matrizde coeficientes, y de la matriz ampliada con la colmna de los términos independientes, sondistintos.

6.4.2. Conjunto solución de un sistema lineal compatible

Sea A X = B n sistema lineal com patible, es decir, tal qe p ( A ) = p (A ’), dondeA e Knx m, X e Kmxl y B e Kn x i . Se presentan las sigientes sitaciones:

1. El rango de ambas matrices es igal al número de variables.

Si p (A) = p (A’) = m, entonces las m colmnas de A son linealmente independientes y, enconsecencia, B es combinación lineal única de tales colmnas. Esto significa qe existenescalares , . . . , ccm e K, únicos, tales qe

O sea, ot =

« i

0i2

B= S /A ;i= i

es la única solción del sistema.

2. El rango de ambas matrices es menor qe el núm ero de variables.

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Supongamos que p( A ) = p ( A ’) = r < m . Podemos sponer, sin pérdida de generalidadqe las filas y colmnas linealmente independientes de A son las r primeras. Las r variablesasociadas a las colmnas linealmente independientes se llaman principales, y las m-r restantesse llaman secndarias. Las m-r ecaciones no principales son combinaciones lineales de las,

primeras, y el sistema es eqivalente a n sistema lineal de r ecaciones con m variablesTrasponiendo al segndo miembro de cada ecación las m-r incógnitas secndarias, para cada

sistema de valores asignados a éstas, se tiene n sistema lineal crameriano de r ecaciones conr variables con solción única, ya qe la matriz de coeficientes es no singlar.

En este caso se dice qe el sistema es indeterminado.

6.5. RESOLUCION DE SISTEMAS LI NEALES

El método de Gass Jordán permite no sólo la discsión del sistema en el sentido dedecidir si es compatible o no, sino también la resolción efectiva de él en el caso decompatibilidad. Esto significa determinar el conjnto solción.

Esencialmente se basa en la determinación de los rangos de A y de A \ para lo cal seescribe a la derecha de la matriz A la colmna formada con los términos independientes, y seopera de acerdo con lo expesto oportnamente.

Ejemplo 6-4

Discuimos y resolvemos por el m étodo de Gass Jordán el sigiente sistema:

*1 + X 2 + *3 = 22 x , - x 2 - *3 = 1

+ 2x2 - * 3 - —3

® 1 1 2

2 - 1 - 1 1

1 2 - 1 - 3

1 1 1 20 - 3 - 3 - 3

0 © - 2 - 5

1 0 3 7

0 0 ( -) - 18

0 1 - 2 - 5

1 0 0 1

0 0 1 20 1 0 - 1

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R ES OLUCION DE SISTEMAS 191

Desde el puno de visa geométrico, cada ecación es la representación analtica de n plano, y la solción única caracteriza al vértice del triedro qe forman dichos planos.

Ejemplo 6-5

Verificamos qe el sigiente sistema es incompatible:

í + x 2 - *3 = 1| - x 2 + 3 x 3 - - 3I x t + X3 = 1

Investigamos para ello, los rangos de A y de A ’:

© 1 - 1 1

1 - 1 3 —3

1 0 1 1

1 1 - 1 1

0 - 2 4 —4

00

2 0

1 0 1 1

0 0 0 ( r * )

0 1 - 2 0

1 0 1 0

0 0 0 1

0 1 —2 0

El único elemento qe pede ser tomadocomo pivote es - 4 . Esto significa qe elrango de A’ es 3, pero el rango de A es 2, yen consecencia el sistema es incompatible.La última etapa es innecesaria y ha sidorealizada para poner en evidencia los vecto

res canónicos.

Ejemplo 6-6

Deerminamos una base del espacio solución del sisema lineal y homogéneo

(A - XI ) X - 0

para cada X tal qe

D (A - X I) = 0

siendo

y X e R3 x 1.

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Resolvemos primero la ecuación D (A - X I) = 0, o sea

1 - X 1 1

0 2 —X 1

0 0 1 - X

=

0

Como la matriz es trianglar, el determinante de la misma es el prodcto de loselementos de s diagonal

(1 -X )2 (2 —X) = 0Las races son

\ - X2 = 1 y X3 =21. Para \ = X = 1 se obtiene el sistema homogéneo

Es decir

O sea

0* ! + x 2 + * 3 = 0

0*! + x 2 + * 3 = 0

0*1 + 0*2 + 0*3 =0

V * ! e R se verifica

*2 + * 3 = 0

* 2 ~ * 3

Las infinitas solciones son las ternas del tipo

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R ESOLUCION DE SISTEMAS

Una base del espacio solción está formada por los vectores

193

Al mismo resltado se llega tilizando el método de Gass Jordán

0 © 1 00 1 00 0 0 0

0 1 1 0

0 0 0 00 0 0 0

Como p (A) = p (A’) = 1 y este valor es menor qe el número de variables, el sistema

tiene infinitas solciones. La dimensión del espacio solción es

3 - p ( A ) = 2

Las dos primeras ecaciones caracterizan n plano qe pasa por el origen y qe

contiene al eje x x. La tercera ecación se satisface para todo (* i, x 2, x 3) e R3, o sea,representa a R3. La intersección de estos dos sbespacios es el plano de ecación

*2 + *3 = 0-

Ejemplo 6-7

Considerando las matrices

l i 2

\

0 *1 ^ \

A =4" ~4 2~

•> x= *2-y 1 =*r l

3 3 i ¡*3 \ i

resolvemos el sistema lineal

X* A = Xf

f X = l

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SISTEMAS LI NEALES

Efectamos primero las operaciones matriciales

l . ( * l * 2 * 3)

i i

« (* i X% * 3)

i * . + ^ a + f r , j x . + l

Por igaldad de matrices

* > + ' * 2 + J X 3 j x 2 + ^ X¡

■ '*' + 4 Xi + J a:3 = * ,

i + ~ * 2 + T * 3 =X2

I r 4 - 19 2 + - * 3 = * 3

Eliminamos los denominadores

Redciendo términos

6 x í + 3*2 + 4 * 3 = 12*1

6 x t + 3 * 2 + 4* 3 = 12.*2

3 * 2 + 2 * 3 = 6 x 3

I 6*1 -3*2 - 4*3 =06*! - 9*2 + 4*3 = 0

( 3*2 - 4* 3 = o

2* * X = 1 => ( l ! ! ) / '~ 1 ^ * 1 + * 2 + * 3 = 1

Teniendo en centa 1. y 2 ., el sistema a resolver es

6*! - 3 * 2 - 4 * 3 = 0

6*, - 9* 2 + 4* 3 = o

3*2 - 4* 3 = 0*1 + * 2 + * 3 = 1

(*1 * 2 * 3)

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R ES OLUCION DE SISTEMAS 195

Aplicamos Gass Jordan

6 - 3 - 4 0

6 - 9 4 00 3 _ 4 0

© 1 1 1

0 - 9 - 1 0 - 6

0 - 15 - 2 - 6

0 © - 4 0

1 1 1 1

0 0 C 22) - 6

0 0 -" 22 - 6

0 14

30

1 07

31

0 0 13

11

0 0 0 0

0 1 04

11

1 0 0 ±11

Se tiene: p (A) = p (A’) = 3 y la única solción es

( 4 Xi ~ — 11

4

La matriz A de este ejemplo es tal qe ss elementos son no negativos y la sma de los

elementos de cada fila vale 1. Esto significa qe los vectores filas caracterizan nadistribción discreta de probabilidades, y por tal motivo la matriz se llama estocástica.

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El vector solción define también na distribción de probabilidades, llamadaestacionaria. Este tipo de distr ibciones se estdia en las cadenas finitas de Markov.

6.6. SISTEMAS HOMOGE NEOS

6.6.1. Espacio solción de n sistema lineal y homogéneo

Dado el sisema lineal y homogéneo

A X = 0

donde A e K " x m, X e K mxl y OeKnxl , como p ( A ) ~ p ( A ’) = r , ocurre que al sisema

siempre es compaible, de acuerdo con 6.4.1.

En canto al espacio solción del mismo, son válidas las conclsiones obtenidas en 6.4.2.,o sea

1 .r = m=> existe solción única => S = { 0 }

En este caso la única solción del sistema es la trivial.

2. r < m =>el sistema es indeterminado.

6.6.2. Sistemas homogéneos cadrados

Sea el sistema lineal y homogéneo

A X - 0

donde A e K " x " , X e Knxl y O e K ” x l .

Propiedad

Un sisema lineal y homogéneo de n ecaciones con n variables tiene solción única siy sólo si el determinante de la matriz de coeficientes es no nlo.

1. Si A X = 0, con A e K nx" , tiene solción única, entonces es p (A) = n. En consecencia, las n colmnas de A son linealmente independientes, y de acerdo con el ejercicio

5-22 reslta D(A) =£ 0.2. Spongamos qe D (A) =£ 0. Según 5.3.5., las n colmnas de A constityen na base de

K" . Por lo tan to , 0 es combinación lineal única y trivial de tales vectores colmnas.

Los teoremas contrarrecprocos de 1. y 2. nos permiten afirmar qe n sistema lineal yhomogéneo de « ecaciones con n variables es indeterminado si y sólo si el determinante delos coeficientes es nlo.

Ejemplo 6-8

Deerminamos los espacios soluciones de los siguienes sisemas homogéneos ycadrados:

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SISTEMAS HOMOGE NEOS197

i X ! - 2*2 + * 3 = 0

- * 2 + * 3 = 0

X i - 2*2 - 2*3 = 0

- 2 1 1 —2 1

D(A) = 0 - 1 1 - 0 - 1 1

1 —2 - 2 0 0 - 3

= 3 * 0

Lego la única solción es

* i = * 2 - * 3 = 0

S~ { 0 |

Los tres planos forman n triedro cyo vértice es el origen.

i i) * ! - x 2 + 3 x 3 = 0I Xt + X 2 - *3 = 0

( *1 + *3 = 0

Como

1 - 1 3 1 - 1 3

D(A) = 1 1 - 1 = 2 0 2

1 0 1 1 0 1

= 1 0, el sistema es indeterminado.

Lo resolvemos según Gass Jordan

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Se iene:

/ * , + * 3 = 0

i x 2 - 2* 3 = 0

Despejando las variables principales

= - * 3

X2 *3

Las infinitas solciones están dadas por

i Xi = - a

| x 2 = 2a[ * 3 = 0 V a e R

El espacio solción es la recta de ecaciones

_X j_ _ _X2_ _ _*3_

-1 2 1

O sea

S = { ( a, 2a , a / a e R í

Geométricamente, este sistema admite la sigiente interpretación: las ecacionescorresponden a tres planos qe pasan por el origen y forman n haz cyo eje es elespacio solción, o sea, la recta mencionada.

6.7. CONJUNTO SOLUCION DE U N SISTEMA LI NEAL

Sea T el conjnto solción del sistema lineal A X = B, y sea S el espacio solción del

sistema lineal y homogéneo asociado. Si t es na solción particlar del sistema A X = B, yt + S denota la sma de esa solción particlar y todas las solciones del sistema homogéneoasociado, entonces se verifica qe

T ~ + S

En efecto:

1. Consideremos calqier solción u de A X ~ B, y sea t na solción particlar de este

sistema.

u e T A eT => A(w - t ) = Au Af = B B = O=>

=>u - t eS=>u —t = s A.5eS=> = + s A s e S = > « e / + S

O sea

T C + S (1)

2. Sean: t , na solción particlar de AX = B, y s calqier solción de A X = 0.« = + s e + S= ;’ AM = A(/ + s) = A + As = B + 0 =B =i' MeT .

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CONJUNTO SOLUCION 199

Lego

f + S C T (2)

D e (l y ( 2 resula

T = + S

En consecencia, toda solción de n sistema lineal es igal a na solción particlar dedicho sistema, más na solción del sistema homogéneo asociado. En otras palabras, elconjnto solción de n sistema lineal es igal a la sma de na solción partic lar con todaslas solciones del sistema lineal y homogéneo correspondiente.

Ejemplo 6'9

Interpretamos geométricamente el significado del teorema anterior considerando elsistema lineal de na ecación con dos variables

2* i - * 2 = 1

En este caso es A = (2 —1) y A’ = (2 -1 1). Ambas matrices tienen rango 1 y elsistema tiene infinitas solciones.

El sistema homogéneo asociado es

2 x j - * 2 = 0

y corresponde a na recta qe pasa por el origen. Una solción particlar del sistemadado es (1 ,1) = t. Smando a t los vectores correspondientes a todos los pntos de larecta de ecación 2xx - x 2 ~ 0, se obtiene la recta T, paralela a S.

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CONJUNTO SOLUCION 201

= a + p + 5y

* 2 = - 2a —2/3 —6-y

* 3 = a

* 4 =0 * 5 = 7

cualesquiera que sean a, 0 y y e R.

Lego

*1 1 / 1 5 1

*2 ~ 2 - 2 - 6

*3 =Oi 1 + 0 0 + 7 0*4 0 1 0

X S ■ 1 0 0 1

Una base de S está formada por

1 \ ' 1 / 51

- 2 - 2 - 6

1 , 0 y 0

0 1 00 0 , 1 /

Obenemos una solución paricular del sisema dado haciendo x 2 = * 3 = * 4 = 0

Lego, la solción general es

t =

- 16

23

0

0

0

/ - 16 ' / * 1'

5

23 _ 2 _ 2 - 6

0 + a 1 + 0 0 + 7 0

0 0 3 00 0 0 / 1 /

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O sea

202S IS TEMA S L INEA L ES

— 16 + a + 0 + 5y

* 2 = 23 - loe - 23 - 6 y

* 3 = 0: x 4 =p

* 5 = 7

6.8. R ESOLUCION DE SISTEMAS SIMETRICOS POR EL METODO DE

LA RAIZ CUADRADA

EStomséL to V terativos para, 13 resohidó" deconvergencia, y mediante Z l „ 1 - reqUl eren el análisis *> cestiones *

qe se desee. A diferencia de éstos los métodos8 * 0™ " 6'1 S° 1UC10nes con la aProximación

^ n e r o finito de operaciones aritméticas elementales.

A X - B ( i )

tal qe A = A* en Knx" , X e K ” x l , B e K nxi y a J=o Probaremos qe existe na matriz trianglar T tal qe

A - T ' T (2)

Proponiendo la forma escalar de (2), debe ser

1h i

12

0

22 I t

0

*1" h n t3n ... tnnj o o . . . I

f 12 *2 2

h n

h n

« U

« 2 1

a l 2

« 2 2

« 1 n

« 2 n

«n 1 «.n 2 . . «,

Por igaldad de matrices, despés de efectar el prodcto indicado, reslta:

1. Considerando la primera fila:

= «

S i / > 1, entonces

i « t , =>r = V «

t u t u = a ÍJ

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S IS TEMA S S IMETR ICOS 203

Lego

t t i = ÜL l ALt\ i V«11

O sea, la primera fila de T se dedce de la de A de la sigiente manera: el primer elemento

es la raz cadrada del primero de A, y los restantes se obtienen dividiéndolos por esta razcadrada.

2. Considerando calqier fila distinta de la primera, es decir, tal qe / > 1, se tiene:

-ii = i=>au = 2 t l ¡= X j , = r j + 2 t l ,*>tí t

h- 1 h = l h= 1ia-u — 2 t\ ¡

h= 1

n i i~i/ > i ^ a u = ^ thi t hj = ^ th¡ thj = tu tu + thi h i

i'-laÜ - 2 h i thi /!= 1

La determinación de los elementos de la matriz trianglar se realiza en na sola etapa y por filas scesivas.

La tradcción de las fórmlas obtenidas es la sigiente: todo elemento diagonal, a partir de la segnda fila, es igal a la raz cadrada de la diferencia entre el elemento ai¿correspondiente y la sma de los cadrados de los elementos de la misma colmna de la

matriz trianglar. Todo elemento no diagonal t¿j es igal a ia diferencia entre ay y la sma delos prodctos, fila por fila, de los elementos de las colmnas correspondientes, dividida por el elemento tu de la diagonal.

Retomando el propósito original, de (1) y (2) se dedce

T f T X - B

Haciendo

TÍ K = B (3)

se determina el vector K, y considerando

T X = K (4)

conocido K, se obtiene X.

La determinación de las componentes del vector K se efectúa de la misma manera qe lascolmnas de la matriz T. En efecto , considerando (3), es

o o

i ^ l b ' ' 112 ¿22 • • • 0 k-i = b 2

¡ It i t -in ■■ ■ t n n k n j b n 1,

de donde reslta, por prodcto e igaldad de matrices:

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2 0 4 S IS TEMA S L INEA L ES

1. t i j Aj = b x, o sea

2.

i > \ ^ b i 2 th l k h - X t h i k h -n =I h = i

i - 1

- « A : f + S t h¡ kh =>ki = h=i

bi ~ ^ {hi^h /!= 1

Finalmente, obtenidos T y K en na única etapa, se reselve fácilmente el sistema

Ejemplo 6-11

Resolvemos el sigiente sistema simétrico por el método de la raz cadrada:

Trasformamos, de acerdo con el esqema propesto, las filas de la matriz de

coeficientes ampliada con la colmna de los términos independientes:

2 2 0

2 5 - 1 - 8

2 - 1 33 4

1 2 2 0

0 1 - 5 - 8

0 0 2 - 18

En consecencia:

trianglar

T X = K

+ 2 x 2 + 2 x 3 = 0

x 2 - 5 x 3 = —82 x 3 = — 18

Lego

* 3 = - 9 * 2 = - 5 3 x i = 124

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MET ODO DEL ORLADO 205

La solción es

/ 124

X = - 53

\ - 9

Las condiciones para qe el método sea aplicable son: tu *0, \ / i = 1, 2, . . . ,n .

Ejemplo 6'12

Resolvemos po r el mismo método

- + x 2 - 2 x 3 = 2

+ 3 * 3 = - 5 — 2 x i + 3;c2 —2x 3 = - 1

No es necesario muliplicar la primera ecuación por - 1 para obener elemenos reales

en T.

_ 1 - 2 2

0 3 - 5

- 2 3 _ 2 - 1

i - i 2 i - 2 i

0 1 1 - 3

0 0 1 - 2

Entonces

x3 = - 2 x 2 = ~ 1 x , -

6.9. METODO DEL OR LADO

Este método, qe es directo, permite obtener la inversa de na matriz no singlar M e KnXfl. Particionamos M de acerdo con el esqema

n =(n - 1) + 1

para filas y para colmnas, y se tiene

A BM = .

C ann

donde A e K ^ ' 1>x<n-‘ >, B e K (n l )x l , C e K1x(i' 1>y(ann) e K1X1.

Sponem os conocida la inversa A”1 del primer bloqe y proponemos, para la inversa deM, el mismo esqema de partición.

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2 0 8 S IS TEMA S L INEA L ES

También:

ann " C A 1 B ann + (cn>1 C„2 . . . cn n . , )

I &ln«2 n

«n- l,n

n-I^nn ^ «in *'«<

/= 1

4. Los elementos x¡j de la sbmatriz A 1 +

correspondientes elementos de A" 1:

.> i bin Cni

-i . A '1B C A ' 1son, llamando x \¡ a los

x ¡j = x ’ij + in ni ú i < n - \ , ] < n - \ Oí»

Además

' in

ni

El sigiente esqema denota na etapa del proceso;

Ejemplo 6-12

Calclamos la inversa de A por el método del orlado, siendo

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METODO DEL OR LADO

Siguiendo el esquema anerior, y aplicando las fórmulas desarrolladas, resula:

2 0 9

- 1

1

2

- 1

2

- 1

1

_ 1

2

M

1 2 - 2

2 - 1

- 2 5

3 5 1

14 14 14

5 1 3

14 14 14

1 3 5

" 14 14 14

115

- A " 1 B

- - C A"

M‘

Conocida M" 1 es posible resolver sistemas del tipo

M X = K

donde M es no singlar.

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TRABAJO PRACTICO VI

6 -13. Sea f ‘ i>2^ una S a c i a n lineal caracerizada ^ ^ ^

( I J _ 2 J respeco de la base canónica en cada espacio Deerminar I

preimagen p o r/d e l vecor ( - i i

r ; r 7 “ dode ^ —1 ¿ * 1 ' * 2 + 2 V ,= 1 .1 3 2- i x +3 y + z = 6

* i + * 2 + * 3 = 2 L /2x v , ) 3 x ~ 2 y ~ 8 z = 7¿ * 1 - * 2 + *3 = 5

El método de Gass redcido consiste en t j f h ^ ^ =qe / > / , y en nos los elementosa„, ™ ar “ °er OS los eIenren ‘os a,- ales

sisemas homogéneo™ 0" S° bre ” ^ eSPaC¡0 S° ldón de cada ™ ° de los s igientes

1- * ! + * 2 ~ * 3 = 0

2. j 2 x l + x 2 - * 3 =()

X 1 + * 3 = 0

3. X1 + * 2 + * 3 ~ 0

*1 —* 2 = 0

* 2 + * 3 = 0

4 ‘ I X1 + * 2 + * 3 = 0

i2* ( + 2*2 + 2at3 = o

5* = 0

' * 1 + * 2 - * 3 = 0

3 * 1 + 4 * 2 =: Q

5* 1 + * 2 + * 3 = 0

anterior, en los c z s o X Z ^ ó T p o Z L ™ ^ U" ° ^ ‘“ C3SOSdeI ejerci °

siguienes casos" 810" V na b3Se d d eSpaCio soIución *°bre C en cadauno de los

u l ‘ x + y - z = 0 , l í l + 1

| , > +z = o 1 ( I + 0 * - , , + * = oI ¿x + ¡ y ^ z = 0

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TR A B A JO PRACTICO VI 211

¿ ./8: En el anillo de las clases de restos módlo 3, determinar na base del espacio solción

de! sistema _

X i + * 2 + * 3 = 0

X i + 2 * 2 = 0

6-19. Discuir y hallar el conjuno solución de

X i + 2x:2 = — 5

3*1 + *2 = - 5

i 2x + 3 * 2 = - 8

6-20. Resolver por el método de Cramer el sistema del ejercicio 6-14. 1.

6-21. Resolver el sistema homogéneo X (A —I) = 0, donde X e R y

1 i2 2

1 A

. 3 3

6-22. Obener el conjuno solución del sisema

f 3*i + 2 s 2 + * 4 = 0

*1 + 2*2 + *3 = 1

5*! + 6*2 + 2*3 + * 4 = 2

6-23. Deerminar si exise X e R 3x3 al que X A = B, siendo

/ 2 4 6 \ / 3 5

A = - 1 2 3 B = - 2 3

\ 1 - 1 1 / \ 3 2 36-24. Discuir y hallar los conjunossoluciones de los siguienes sisemas:

1. ( * 1 — 2 * 2 + * 3 — * 4 — * 5 = 2

2 * ! + * 2 ~ * 3 - * 5 = 4

4 * i - 3*2 + * 3 2 * 4 - 3*5 = 1

2 . *1 + * 2 3*3= - 1

2 x t + *2- 2*3 = 1

*J + *2 +*3= 3

* 1 + 2 * 2 — 3 * 3 = 1

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3. x x + x 2 - 3 x - x s =0

*1 - * 2 + * 3 - * 4 = 0

T x i + 2 * 3 - x 4 - * 5 = 0

2*i — *4 — *5 = 0

6-25. En el caso de compatibilidad, obtener el conjnto solción del sistema

*1 + * 2 + 2*3 = —1

2*i - * 2 + 2*3 = —4

4* i + * 2 + 6x3 - —6

en términos de na solción particlar y del espacio solción del sistema homogéneoasociado.

6-26. Siendo

- 3 0 - 4

A = 4 4

2 0 3

obtener X tal qe D(A - XI) = 0 . Después resolver el sistema (A - XI) X = 0 para cadavalor de X.

6-27 Deerminar para qué valores de k el sigiente sistema tiene solciones distintas de latrivial:

* + (&+ l)_ y + z = 0

* + y ± { k + 1)2 = 0

( £ + 1 ) * + y + z = 0

En cada caso, estdia r el espacio solción, e interpre tar geométricamente.

6'28. Deerminar la inversa de M por el método del orlado, siendo

/ I 1 - 1

M = 1 - 1

1 1

&29. Resolver el sistema X*A ~ x \ siendo

n 1

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TR A B A JO PRACTICO V 213

6-30. Obener odas las soluciones de

+ ¿>1 y + ci 2 - 0

a2 x + b2 y + c2 z = 0

sabiendo que

b i

b2

Ci

c-i=£0

6-31. Discuir el siguiene sisema según los valores de a:

a x - y + 2z = 1 + a

x + a y - z = — 1

3* + y + z = a

6-32. Estdiar el sistema

2x - a y + z = ~ 2 a + 5

* + y - a z = 1

4x + y - a z = a

para los distintos valores de a

6-33. Discuir la compaibilidad de

axi + bx2 + * 3 ~ a + b

b x 1 + a x 2 + + x 4 =a - b

x 2 + bx 3 + ax 4 = a + 1

Xi + o x 3 + bx4 = 0 - 1

6-34 Deerminar el sisema lineal cuyo espacio solución

admia la base

( 3 , - 2 , 8 , ( 4 , - 1 1 , 7 }

6-35. Probar que el sisema

bx + ay ~ c

ex + az = b

cy + bz = a

iene solución única si abe =£ 0. Hallar la solución.

6-36. Resolver por el método de la raz cadrada

- x x + x 2 + 2 x 3 =7 X i —2x3 = — 5

2 x t — 2 x 2 + x 3 =1

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Capítulo 7

PRODUCTO INTERIOR EN ESPACIOS VECTORIALES GEOMETRIA VECTORIAL.

7.1. INTR ODUCCION

En este captlo introdcimos, sobre la base de n prodcto interior, el concepto demétrica en n espacio vectorial real. Se estdian temas relativos a distancias, longitdes,ortogonalidad y ánglos entre vectores. Se desarrolla el procedimiento de Gram-Schmidt para la constrcción de bases ortonorm ales en espacios de dimensión finita. Después de dar na idea del espacio afn R " , se tra tan algnos temas básicos de geom etra: rectas, planos,sperficies y crvas elementales.

7.2. ESPACIO VECTORIAL EUCLIDIA NO

Sea (V, + , R , . un espacio vecorial sobre el cuerpo de los números reales.

7.2.1. Produco inerior

El smbolo <x , y ) se lee: producto interior entre los vectores x e y .

Definición

Prodcto interior en V, es toda fnción

<, > : V2 R

qe satisface las condiciones de simetra, de linealidad respecto del primer argmentoy de definida positiva:

i ) < x , y > = <y , x > calesqiera qe sean x e y en V.

i i ) ( x + y , z } = ( x , z > + < y , z > calesqiera qe sean x, y y z en V.

i i i )< ax , y> = a < x , y ) V x e V , V y e V , V a e R.

iv) <x , x >> 0 V x e V

( x , x >= 0 x = 0

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ES P A CIO VECTORIAL EUCLIDIANO 215

Todo prodcto interior en n espacio vectorial real asigna a cada par de vectores n único

escalar real.Espacio eclidiano es todo espacio vectorial real con prodcto interior.La adjnción de n prodcto interior a n espacio vectorial permite establecer na

métrica en él; o sea, los conceptos de distancia entre pares de vectores, módlo de n vector,ortogonalidad y ánglo entre dos vectores. Estas nociones no son intrnsecas al espaciovectorial, sino qe dependen del prodcto interior qe en él se considere. O sea, dos vecores

de un espacio,orogonales con un produco inerior, pueden perder ese carácer si se define

oro produco inerior.

Ejemplo 7-1

En (R" , +, R> ■), la fnción

<, >: R" X R" -+ R

definida por

<X, Y> = X*Y (1)

donde

*1 x 2 y 2

X ~ Y =

Xn yn ,

es n prodcto interior. Para probar esta afirmación verificamos los axiomas de ladefinición.

i ) < X , Y > = XÍ Y = ( X£ Y) Í = Y Í X =< Y , X )

Por (1), por ser X*Y n escalar, por traspesta de n prodcto y por (1).

ü ) < X + Y , Z > = ( X + Y) Z = (X + Y ) Z = X Z + Y f Z = < X, Z ) + ( Y , Z )

Por (1), traspesta de la sma, distribtividad y (1).

iii) <a X , Y >= (ex X y Y = a X* Y = a <X , Y )

Por (1), traspesta de n escalar por na m atriz y (1).

i v ) < X , X > = X X = £ x j > O=i

Por (1), pro dc to de matrices y sma de números reales no negativos.Además

n( X , X > = 0 « 2 x j = Q*>X í = 0 , Vi <*X = 0

; =i * 'La definición (1) caracteriza n prodcto interior en R”, llamado también prodctointerior sal. Efec tando la operación indicada en (1) es

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2 16 P R ODUCTO INTERIOR. GEOMETRIA VECTORIAL

< X , Y ) = g 1 x i y i

0 sea, el produco ine rior de dos n*uplas de números reales es igual a la suma de los

producos de las componen es correspondienes.En el caso n = 2 esta definición se tradce en

<X ,¥ > = * ! y i + * 2 y 2

Ejemplo 7-2.

Consideremos (R2 , + , R, • ) y la matriz A =| * ^

La fnción

( , ) : R 2 X R Í - >R

tal qe

< X , Y > = X ( A Y ( 1 )

es n prodcto interior. En efecto

1 ) < X , Y ) = XÍ A Y - ( X Í A Y ) Í = Y Í AÍ X = YÍ A X =< Y , X >

Por (1), por ser Xf A Y n escalar, por traspesta de n prodcto , por ser A* = A y por

i i ) ( X + Y , Z > = ( X + Y) ( A Z = ( Xf + Yf) A Z = X Í A Z + Y Í A Z = ( X , Z > + ( Y , Z>

iii) ( a X , Y ) = (a X)* A Y = a X ( A Y = a <X , Y >

i v ) < X , X > = X ' A X = ( * , * 2) | j ~ s ) ( * j = <*

“ ( * ! — 2 x2 )* ( + (—2 * ! + 5* 2) *2 ~ x \ — 4 * 1 X 2 + 5*2 =

= x \ - 4 * ! * 2 + 4* 1 + * ! = (* ! - 2 * 2 )2 + * i > 0

Además

(X , X > ~ O ( * j - 2 * 22 + * = 0<*

<**! - 2 * 2 = 0 a * 2 = 0 ^

*>xx = * 2 = 0<>X = 0

Ejemplo 7-3.

Sea C [ - 1 , 1 ] el conjuno de las funciones reales coninuas definidas en el inervalocerrado de exremos - 1 y 1.

El lector pede verificar, considerando el espacio vectorial

(C [—1 , 1], + ,R , . )

1 2*2 - 2 x¡ + 5* 2) , x 2

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que la función definida por

<f , g >= /j f (* g(x) dx

caraceriza un produco inerior en dicho espacio. Para ello es suficiene probar que secumplen los axiomas de la definición eniendo en cuena propiedades elemenales de la

inegral definida.

7.2.2. Produco in erior de dos com binaciones lineales

Sea (V, + , R , . un espacio con p roduco inerior, y sean las combinaciones lineales

n m

x " ü a ''x¡ y =jS [ y>

donde

c t i J j e K y x , y ; e V

De acuerdo con los axiomas de la definición, se iene

n m

<x , y >= (.2 ctt x ,.2 fy y =

n m n m

= .2<ot¡ xf ,.2 § y¿ >= 2 a¡ <x ¿ ,5 ^ fy y ¡ )-

n m n m

= lS 1 y> ’ X i ) " d i v? ! <yy >xi >=

n m

= ( xí »y/ >

Hemos aplicado sucesivamene:ii, iii, i, ii, iii, propiedades dela sumaoria e i.

En particlar es

< a x + y , « x + y) = a 2 < x , x ) + a ( x , y ) + a < y , x > +

+ ( y , y > = a 2 ( x , x ) + 2 a < x , y ) + < y , y >

7.2.3. Propiedad

En todo espacio con prodcto interior, el prodcto interior de calqier vector y elvector nlo es cero.

En efecto, por ser 0 netro para la sma en R, por el axioma A3 de espacio vectorial y por el axioma de linealidad del prodcto interior, se tiene

0 + ( 0 >x ) = ( 0 , x ) = <0 + 0 , x ) ~

= < 0 , x > + < 0 , x >Por ley cancelativa en (R , + ) reslta

0 = <0 , x >

P R ODUCTO INTERIOR 217

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Lego

< x , 0 > = < 0 , x > = 0

7.2.4. Módlo o longitd de n vector

Definición

Módlo de n vector en n espacio con prodcto interior es la raz cadrada nonegativa del prodcto interior de dicho vector por s mismo.

El smbolo llxli se lee: módulo o longitud de x.De acuerdo con la definición es

II XÍI = V <x ,x>

En R2, con la definición dada en el ejemplo 7-1, si x = (3,4), entonces11x11 = \ /3 2_+ 4 2 =\ ¡ 2 S = 5

Al módlo de x se lo llama también norma de x.Se verifica qe el cadrado del módlo de todo vector es igal al prodcto interior de

dicho vector consigo mismo, es decir

11x II2 = <X , x >

Definición

Disancia enre dos vecores x e y, en un espacio con produco inerior, es el módulode su diferencia.

d (x, y = II x y II

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M ODULO219

El lector pede comprobar qe esta definición satisface los axiomas de la fnción

distancia.

7 2 5. Módulo del producto entre un escalar y un vector

En todo espacio con prodcto interior, el módlo del prodcto entre n escalar y nvector es igal al valor absolto del escalar po r el módlo del vector.

il a x l l = I a l II x l l

En efecto:

O sea

a x i l 2 = ( a x , a x > = a 2 < x , x > =

= l a i 2 I I x i ! 2 = ( l a l I ! x l l ) 2

ll axí !2 = (l a l II xll2

Y como las bases son no negaivas resula

II axi l = lal IIxll

El prodcto de n vector no nlo por el recproco de s módlo, o lo qe es lo mismo, elcociente entre n vector no nlo y s módlo, es n vector de módlo 1.

XEn efecto, sea x ¥=0. Considerando — se verifica

II xll

X 1 1l l x l l = —— X

II x l l I l x l l I l x l l ti X 1x l l = l

Si x - ( 1 , —1 , \ / 2 ), entonces es, con el prodcto interior sal,

y reslta

■ - \ / l M - ( - l ) 2+ ( n/ 2) 2 = 2

= [.L V Ilxll \ 2 ’ 2 ’ 2

n vector de módlo 1, llamado vector unitario

7.3. OR TOGONAUDAD

Sea (V, + , R , . un espacio vecorial con produco inerior.

Definición

Dos vecores son orogonales si y sólo si su produco inerior es nulo.

El smbolo x i y se lee: x es ortogonal a y.Entonces

x l y « * < x , y ) = 0

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220 P R ODUCTO INTERIOR. GEOMETRIA VECTORIAL

Ejemplo 74.

1. En R2, con el prodc to interior sal, los vectores

x = (—2 , 3) e y = (—3 , —2)

son ortogonales, pes

< x , y >= ( - 2 ) ( —3) + 3 (—2) = 0

2. Deerminamos a € R para que los vecores

x = ( - 3 a , - 4 , 1 e y = (-a , a, 1)

sean orogonales, con el produc o in erior habiual.

De acuerdo con la condición de orogonalidad, hay que deerminar a de modo que

< x , y >= 0

O sea

( - 3 a) (-a ) + ( - 4 ) a + 1 . 1 = 0

3 a 2 - 4 a + 1 = 0

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ORTOGONALIDAD 221

Las races son:

Los pares de vectores de R3 qe satisfacen la condición son

x ^ C - 3 , - 4 , 1 ) e y ' =( - l , 1, 1)

x” = ( - l , - 4 , l ) e y ” = ( - 1 , 1 , 1 )

Ejemplo 7-5

Demosramos el eorema de Piágoras: si x e y son dos vecores orogonales, enonces

llx + yll2 = Ibdl2 + II yII2

En efecto:

llx + yl2 = < x + y , x + y > = < x , x ) + ( x , y > +

+ <y , x ) + <y , y ) = IIx lt2 + 0 + 0 + IIy II2 =

= llxll2 + IIy II2

Ejemplo 7-6.

En el espacio vectorial de los polinomios reales de grado menor o igal qe 2 y el

polinomio nlo, donde el prodcto in terior se define como en el ejemplo 7-3, los polinomios

y/ 2 s / í —— y -^7=*

2 s f l

son ortogonales, pes

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= 0

7.4. DESIGUALDAD DE SCHWARZEn todo espacio vectorial eclidiano, el valor absolto del prodcto interior de dos

vectores calesqiera es menor o igal qe el prodcto de los módlos de dichos vectores.Demosraremos que

í <x ,y > l< llxll IIyII

cualesquiera que sean x e y en V, donde esá definido un produco inerior.

Se presenan dos siuaciones:

1. y = 0.

En este caso, de acerdo con 7.2.3., se verifica qe

( x , y >= 0 y II y II = 0

Lego

I<x , y > 1= llxll IIyII

En consecencia

K x ,y > K llxll II y II

2 . y ^ 0 .

Calesqiera qe sean t y u en R, por el axioma iv) de la definición de prodcto interior es *

( t x + u y , t x + u y )>0

Desarrollando el primer miembro

t 2 ( x , x ) + 2 t u ( x , y ) + u 2 ( y , y )> 0Haciendo

t = ( y , y )y w= - < x , y >

se iene

( < y , y > 2 < x , x > - 2 < y , y > ( < x , y > 2 + ( <x , y >2 <y , y >> 0

Por definición de módulo y reducción de érminos

llyff4 l l x l l 2 - IIyII2 ( < x , y > ) 2 > 0

Dividiendo por II y II2, que es no nulo, resula

IIyII2 Hxll2 - ( < x , y > 2 > 0

Teniendo en centa qe el cadrado de n número rea! es igal al cadrado de s valor absolto, y trasponiendo términos

II y II2 II x II2 > l <x , y >P

2

, y/3 x 2 x d x = -i-------

2 2

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DES IG U A L DA D DE S CHWARZ 223

O sea

I <x , y > I2 < ( II x 11II y II 2

Y, como las bases son no negaivas, resula

I<x , y > K II x II II y II

7.5. DESIGUALDAD TRIA NGULAR

En todo espacio con prod cto in terior, el módlo de la sma de dos vectores calesqiera

es menor o igal qe la sma de ss módlos,

probaremos qe

Hx + y lK 11x11+ II y II

En efecto, por definición de módlo y de prodcto interior es

| l x + y l l 2 ~ < x + y , x + y> = < x , x > + 2 < x , y > + < y, y > (1)

Teniendo en centa la desigaldad de Schwarz y propiedades del valor absolto en R, se

verifica

- Ilxll l l y l l < ( x , y X llxll llyll

Lego

De ( l y (2 resula

O sea

En consecencia

2 ( x , y > < 2 l l x l l l l y l l ( 2 )

11 x + y II2 < II x II2 + 2 II x II 11 y II + II y II2

l l x + y l l 2 < ( 1 1 x 1 1 + l l y l l ) 2

II x + y l l < II x l l + II y l l

7.6. A NGULO DE DOS VECTOR ES

Sean x e y dos vectores no nlos en n espacio con prodcto interior. De ia desigualdad

de Schwarz

l < x , y > l < l l x l l l l y l l

se deduce que

- l l x l l H y l K < x , y > < l l x l l l l y l l

Dividiendo por el produco de los módulos de x e y , que es posiivo, se iene

< x , y > ^

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2 2 4 P R ODUCTO INTERIOR. GEOMETRIA VECTORIAL

Definición

Anglo de dos vectores no nlos x e y es el núm ero real y qe satisface:

1. 0<p<7T

2 . 0 8 * =llxll IIyII

De la relación 2. se deduce la siguiene expresión del produco inerior en función del

ángulo de los vecores y de los módulos de éstos:

<x ,y> = llxll IIyeos v

Ejem plo 7-7.

Los vectores x e y forman n ánglo de 60° y el módlo de x es 3. Deerminamos elmódulo de y para que y —x sea orogonal a x.

y - x

Hay que deerminar II y II de modo que

O sea

Lego

En consecencia

Por ley cancelativa del prodcto

Reslta

De donde

y - x 1 x

< y - x , x > = O

< y , x - < x , x > = 0

y il II x II eos II x l l 2 = O

II y II eos <¿>= II x l l

II y II.— = 32

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B A S EORTONORMAL 225

7.7.1. Definición

Un conjuno de vecores | Xi, x2, . . xr } en un espacio con produco inerior es

orogonal si y sólo si dos vecores cualesquiera y disinos son orogonales.

{Xi , x 2, . .. , xr } es un conjuno orogonal • »• / # /=> <x f , x;- >= 0

7.7.2. Propiedad

Todo conjnto ortogonal de vectores, al qe no pertenece el vector nlo, es linealmente

independiente.

Sea I Xj, x 2, • • xr | n conjnto ortogonal tal qex¿ =£ 0 , Vi - 1, 2 , . . y sea la

combinación linealr

2 a¡ x, = 0i =i 1 3

Para cada / = 1, 2 ,. . .,r consideramos

<.2^ oi j X j , x ¡ ) - < 0 , x ¿ ) = 0

Entoncesr

.2^ a.j < X j , x¿ >= 0

Como i=£j =>( X j , x¡ >= 0, la smatoria se redce a n único término qe se obtiene si

/ = o sea

a¿ <Xf, x ¡ ) = 0

Siendo x¡ # 0 reslta < x ¡ , x ¿ ) # 0, y en consecencia

a ¡ ~ 0 Vi= 1,2,

Lego

¡ x , , x 2 , . . . , xr } esL .I.

7.8. BASE OR TONORMAL

7.8.1. Concepto

Sea (V, +, R , .) n espacio con prodcto interior y sea A = { X j, x2 , . . . , x„ } na base

del mismo.

DefiniciónDiremos que A es na base ortonormal si y sólo si A es n conjnto ortogonal de

vectores de módlo 1.

7.7. CONJUNTO OR TOGONAL DE VECTOR ES

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A es ortonormal o A es ortogonal y II x< II = 1 , Vi = 1, 2 ,. . n

Una base ortonormal es tal qe

i =£; =*■<x ¡ , x j >= 0

i e I„ <x ¡ , x¡ >= 1

En consecencia, integrando estas dos expresiones en n a sola, se tiene

A es na base ortonormal o ( x ¡ , X j ) = 5y

Ejem plo 7-8.

• En R " , con el prodc to interior sal, la base canónica j e lt e2, . . . , e „ ) es

ortonormal.

• En R 2, con el mismo prodcto interio r, la base formada por*

('■ ^

es ortonormal, pes


X* T T “ 7 X2 = \ 2 - 2

< X ! , X * > = < X 2 , X 2 > = 1

x* , X 2 >= 0

7.8.2. Oronormalización de una base

Todo espacio eclidiano de dimensión finita adm ite na base ortonormal.

Nos proponemos obener, a parir de una base cualquiera { X i, x2 , . . . , xn } una base

oronormal. En efecto:

1 _ Xl o por ser n vector de la base dada. En consecencia

IIX ! II =£0

El vector

X l

y i = 7 7ItXj II

de acerdo con 7.2.5., es nitario.

2. Spongamos qe | y , , y2 , . . yfe ¡ es n conjnto ortonormal. Se trata de obtener

yfc+i tal qe

{ y i . y a . - - - . y * + i )

sea ortonormal.

Consideramos el vector k zft + i = xft + i - 2 ( x¡¡ 4.1 j y ¡ ) y/

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Se verifica que z„ + 1 es orogonal a y , , V/ = 1, 2 , . . k.

En efecto k

( zfe+i > y i ^= + i ^Xft+1 >y¿ ’ y/

k = <xfe+i ,yy> -S ^ X fe + i ,yf><yi,yy> =

k ~ <Xft + i , y j >— <xfe+ 1 , y,-) =

= <xh+ i ,y/ >-<Xft + i ,y,->- 1 = 0

Definiendo

B A S EORTONORMAL 227

Se deduce que IIy&+ 1 II 1 >y en consecuencia

(yi ,y»---.yfc+i|

es un conjuno oronormal.Este proceso, llamado de Gram-Schmidt, nos permite constrir na base ortonormal a

partir de na base dada.

Ejemplo 7-9

En (R2, + , R, •) se considera la base formada por

x, =(, 1) x=(-,2 )

Constrimos na base ortonormal sigiendo el procedimiento desarrollado en el

teorema anterior.

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2 2 8P R ODUCTO INTERIOR. GEOMETRIA VECTORIAL

M - i ^

-H-í)La base f y , , y2 | es ortonormal.

Ejemplo 7-10

r r grado , , n . , . ) se aeiine n prodcto interior mediante

<P’ Q >=/ ! p W Q W *

Gram-SchmidlJ ’ ’ * ' C°m ,rin ,0s na base « rtonormalmediante el proceso de

1.

2 .

x i« = »m 2 = i > = ^ i . i d * = *

■II l i - V T

* i _ __ 1 = V2 _

Xi II V 2 2

z2 = x 2 - < x a , y , >y i

= 2

-i

y i

Como <x2 , y , > =< x , X Í ) =22'

1 v T* dx V T

= 0 ,

reslta

Además

Entonces

Z2

' Z2 11'“ <Z2 ,Z2 ) = (X ' X > = j 1 2 dx =

x l 1 2

3 J - i 3

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COMPLEMENTO ORTOGONAL 229

Lego

3.

V = z2 - V 3 -,

Il z2 ti V 2

= x 3 - . s < * 3 , y ¡ > y ¡ =>Z3

= > z 3 = x 3 ' < x 3 , y i > y i - < x 3 , y 2 > y 2 ( i )

v- í l ^ v 2 Wv =( x 3 , y i > ~ l i 2 6

i \ /3

-i

De (1 re sula

3 3 2 3

Como

II z3 f ^ < Z 3 , Z3 > ^ 1 | * 2 ~ j j 2 ífe =

= P (x4 + i í & =— -- - X 3 + i x l ^J_ i 3 9 5 9 9 J~i

1 + 1 = ^ - - - = — 5 9 9 5 9 45

resula

1 , 1 43 > / r

Y en consecuencia

Z3y3 ~ II z3

= 2 ^ / 2 _ i = 3^ / 2 _ i

2 y / l l 3 / 4 \ 3 /

La base

es ortononn al.

Vf 3 Vio / 2 12 ’ s /2 ’ 4

7.9. COMPLEME NTO OR TOGONAL

7.9.1. Complemento ortogonal de n sbespacio

Sea (V, + , R , .) n espacio con prodcto interior, y sea S n sbespacio de V.

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4 . a e R A x e S Í ! ^ « e R A ( x , y > = 0 , V y e S = >

= »< a x , y> = : 0 , V y e S = >,o : x e S i

Por consigiente

(S1, +, R, .) es n sbespacio de V.

9.7.3. Propiedad

Si V es n espacio eclidiano de dimensión finita y si S es n sbespacio de dimensión r, entonces la dimensión del complemento ortogonal de S es n - r .

Se trata de probar qe

dim S + dim S1 = dim V

En efecto:Si S = {0 } o S = V, la propiedad es obvia. Consideremos, pes, el caso en qe S { 0 1 y

S ¥=V, y sea

\ X i , X 2 , . . . , x r )

na base ortonormal de S.Entonces existen vectores xr + 1, xr +2 , . • ., x„, tales qe

( X ! , X 2 -------- , X r , X r + l , . . , , X n l

es na base ortonormal de V.Afirmamos qe

( X r + i , X r + 2 » • • •> X n }

es na base ortonormal de S1.Para ello es sficiente probar qe este conjnto es n sistema de generadores de S1. Sea

entonces n vector calqiera e S1.n

e S i = > e V =* 3 a > , a 2, . .., o¡Me R / = 2 a,- x,-í=i

Como es ortogonal a todos los vectores de S, considerando el prodcto interior entre y x ¡ , i = 1, 2 , . . r, resltan n

0 = < , x¡ >=.2^ (oijXj , x,- >=.2^ oí ¡ 5y = a ¿

O sea

n

u = . 2 a¡x¡i = r + 1

Esto preba qe

iX r + i , Xr+2, ■■■ )X n }

es n sistema de generadores de S1.

COMPLEMENTO ORTOGONAL 231

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2 3 2PRODUCTO IN TERIOR. GEOMETRIA VECTORIAL

como estos vectores son ortogonales y de módlo 1, constityen na base ortonormal de

S1, y se tiene

O sea

dim S1 = n - r

sumdim S + dim S1 —dim V

El lector pede comprobar, como consecencia de esta propiedad, qe V es la

directa de S y de s complemento ortogonal.

7.10. PR OYECCION DE U N VECTOR SOBR E OTR O

Sean x e y dos vecores de un espacio con produco inerior, e y * 0. Entonces existe n

e

x - a y l yescalar a, tal qe

En efecto< x - f l y , y > = 0 =* < x , y> — a < y , y > - 0

( x , y >=>a =

<y>y>

El vector _ <x ,y > _ < x , y > X -

“y <y ,y>y_ «y» «ylse l lama p ro y e c c ió n o r to g o n a l de x so b re y .

Identificaremos la proyección ortogonal de x sobre y con el nmero real

<x ,y>

y escribiremos

<x ,y>

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ES P A CIO AFIN 233

O sea, la proyección de un vecor x sobre un vec or y es igual al produco inerior de

ambos, dividido por el módulo del vecor sobre el cual se proyeca.

En particlar, si y es n vector de módlo 1, se tiene

por lo tanto , la proyecc ión de n vector sobre n vector de módlo 1 es igál al prodcto

interior de ambos.

Ejemplo 7-12

Comprobamos qe las proyecciones de n vector de R3, con el prodcto interior sal, sobre los vectores de na base ortonormal, son las componentes de dicho vector respecto de la base.

Py x = <x ,y >

3 3

3 3

= 2 a¡ <e ¡ , e;- >= 2 a¡ óy ~ a¡

7.11. ESPACIO AFI N R"

7.11.1. Concepo

Sea (Rn , +, R , . el espacio real n-dimensional.

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V ECTORES UBRES 235

Entonces la sma de X e Y, en el espacio de origen A, es

X ® Y = AX + Á Y = X + Y —A

Siendo

X + Y - A = (xi +>»i - a u X i + y 2 - a 7 ........ x n + y n - a»)Si a eR, entonces

t i 0 X = a A X = « ( X - A ) + A = « X - - ( t t - l ) A

a A - (a - 1) A = (axj - ( a - . . . , a x n - (a - 1)«„)

7.11.3. Espacio de los vectores libres

Consideremos el espacio afn R" , es decir, el conjnto de todas las n-plas de númerosreales y las estrctras de espacios de los vectores aplicados en cada pn to de R " .

En el espacio afn Rn definimos la sigiente relación de eqivalencia:

donde

Escribiremos

A X ~ B Y « > A Y = X ®B = A X © A B

A X ® AJB = A ) + AB

Cada clase de eqivalencia se llama n vector libre, y el conjnto cociente es el conjnto

de los vectores libres de R" .Un vector X e R" se denota:

Á " X si se lo considera com o vector del espacio de orig en A.

Ó X s i pertenece al espacio de origen 0.

En el último caso se escribe directamente X.Para operar en el espacio de los vectores libres se considera como conjnto de ndices na

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esrucura de espacio vecorial fija, con origen 0. Entonces el vector fijo XY es eqivalente alvector Y - X, con origen 0, y se escribe H ed ien te aJ

3t v = y x

Y - X

escaT aresiTseT ^ re‘aCÍ Ón ^ eqUÍ ValenCÍ a es compati ble con la sma y el nr y el prodcto por

a x - b VA~X + AX' ~ Í T y + B V ’

A X’ ~ B Y’

A X ~ B Y A a e R = > « ÀX ~ a B Y*

En consecencia existen en el conjnto cociente, de ios vectores libres, dos leves decomposicion indcidas qe lo caracterizan como espacio vectorial.

Reslta as el espacio vectorial de los vectores libres de R"

7.12. ECUACIONES VECTORIAL Y CARTESIA NAS DE LA RECTA

En lo qe sige nos referiremos a vectores libres del espacio eclidiano tridimensionalsideiaremos na estrctra de espacio vectorial, con origen en 0, y la base ortonormal

I = (1, 0. 0) J = (0, 1,0 ) K = ( 0, 0, 1)

Los sbespacios correspondientes a los ejes coordenados serán denotados por * y z ¿>ea A n vector no nlo de componentes /, m y n, es decir

A = / I + m J - l - « K

po X ; s r ¿ r : “ adas (x ° ' Zo)> entonces existe — o » p -

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Ejemplo 7-13

Deerminamos las ecuaciones vecorial y caresianas de la reca que pasa por

p0 ( _ } ? o, 2 y es paralela al vecor A, siendo A = 3 I —J + 2 K .

La ecación vectorial esX = P0 + t A

O sea

x I + y J + z K - — + 2K + í( 3 l —J K )

Efectando las operaciones

x I + ;> J + z K = (- 3 01 - t J ( t) K

Igalando componentes

( x= — + 3 t

\ y = - t

\ z = í

Las relaciones anteriores constityen el sistema de ecaciones cartesianas paramétricas

de la recta, y eliminando el parámetro t reslta

x __ y _ z - 3 - 1 2

Observamos que los susraendos de los numeradores son las coordenadas del punodado, y los denominadores son las componenes del vecor A.

Ejemplo 7-14

Obenemos las ecuaciones caresianas de la reca r que pasa por P0 (1,2,3 y es

paralela al vecor A = 2 1 + K.

Como

X = P0 + t A

se tienex I + _ v J + z K = I + 2 J + 3 K + f ( 2 I + K)

O sea

x = + t

y 2

z = 3 í

Eliminando el pa rámetro entre la primera y la tercera ecación, reslta

x " = z - 32 1

y = 2

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P L A NO 239

Efectando operaciones en la primera de estas ecaciones se tiene

j x - 2z = —5

i y = 2

Este es el sistema de ecaciones cartesianas no paramétricas de la recta, y se interpretade la sigiente manera: r es la intersección de los planos cyas ecaciones son

x _ 2z = -5 (paralelo al eje y ) a y = 2 (paralelo al plano x z , por el pnto (0, 2, 0)).

7.13. ECUACION NORMAL VECTORIAL DEL PLA NO

Consideremos un vecor uniario N I + n2S + n 3K

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Sus proyecciones sobre los ejes son

n l = <N , I = II Nll IIIII eos a = 1 . 1 eos a = eos a

Análogamente

n 2 = eos 0 n 3 = eos y

Los números eos a, eos 0, eos y se llaman cosenos directores del vector N, y se idenifican

con sus coordenadas, o sea

N = eos a I + eos 0 J + eos y K

Como el módulo de N es 1, se verifica que

eos2 a + eos2 P 4- eos2 y = 1

Esta propiedad es válida para todo vector del espacio. Es decir, la sma de los cadrados

de los cosenos directores de n vector es igal a 1.Dados un vecor uniario N y un número p e R , esamos ineresados en deerminar la

ecuación del plano perpendicular a la dirección de N y al que la disancia del origen al plano

sea p.

El vector N y el número p se llaman parámeros normales del plano.

Sea 7r el plano en cuesión. Cualquiera que sea X e 7Tse verifica qe

P NX = p (1

Es decir

< X , N > - p = 0

Para denoar el produc o inerior o escalar <X , N >escribiremos X . N.

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P L A NO 241

Entonces

Tanto (1) como (2) son la ecación normal vectorial del plano.

En términos de coordenadas se tiene(x \ + y J + 2 K) (eos a I + eos j3 J + eos 7 K - p) = 0

Efectando el p rodcto interior reslta

x eos a + y eos 0 + z eos y - p = 0 (3)

La relación (3) recibe el nombre de ecación normal cartesiana del plano. Los coeficientesde las variables son los cosenos directores del vector normal al plano, y el termino

independiente cambiado de signo es la distancia del origen al plano.

M l ti p li can d o l a ec ac i ó n (3 ) p o r k i 0, r es l t a

ax + by + cz + d = 0

Esta relación recibe el nombre de ecación general del plano.Desa r ro l l amos a c o n i n u a c i ó n e l m é t o d o q e n o s p e r m i te p a s a r d e la ec ac i ó n g ene ra l de l

plano a la ecación normal cartesiana.Sea el plano 7Tde ecación

ax + by + cz + d = 0 (4)

El plano 7Tadmite la ecación normal

x eos a + y eos /3 + z eos 7 —p = 0 (3)

cyos coeficientes hay qe determinar.Como ambas ecaciones corresponden al mismo plano, para algún k e R se verifica qe

X . N - p = 0 ( 2 )

( 5)

a ~ k eos a

b = k eos 0

c = k eos 7

d = k ( - p )

Sea d ± 0; como p es positivo, - p es negativo y, en consecencia, el signo de k es distinto

del de d.Elevando al cadrado las tres primeras relaciones y smándolas, se tiene

a2 + b2 + c2 = k 2 (eos2 a + eos2 0 + eos2 7 )

O sea

k 2 = ü 2 + b 2 + c1

En consecencia

k = ±V a2 + b2 + c 2

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donde el signo de k, por lo observado aneriormen e, debe omarse disino del de d.

De (5 resula

a Q b c d eos a = — y eos p = — ’ eos y ~ — » - p = —

k k k k Susiuyendo en (3, la ecuación normal vecorial es

ax + by + cz + d _ ^

±s/a 2 + b 2 + c 2

Lego, para trasformar la ecación general del plano a la forma normal, se divide el primer miembro de aqella po r la raz cadrada de la sma de los cadrados de loscoeficientes de las variables, la qe se toma con signo distinto al del término independiente.

Ejemplo 7-16

Deerminamos la ecuación normal caresiana del plano cuya ecuación general es

x - y + z - 1 = 0

De acuerdo con la fórmula de pasaje, la ecuación normal caresiana es

x - y + z - 1 _ n

Vi 2 + (- )2 + i2 ~O sea

x - y + z ^ l =Q

y /T

O bien

_ . V L o3 3 3 3

Los tres cosenos directores son y la distancia del origen al plano es

V T 3 3 ’ 3

3

Observamos que el vecor cuyas componenes son los coeficienes de las variables de la

ecuación general del plano es normal al mismo, ya que se deduce del vecor normal

uniario muliplicándolo por k.

Ejemplo 7-17 Obenemos la ecuación del plano que pasa por P0 (1 ,2 ,2 , sabiendo que es

perpendicular al vecor A = 3 I + J + K.

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P L A NO 243

Cualquiera que sea X pereneciene al plano pedido es

PqX 1 A

En consecencia

es la ecación vectorial del plano.En términos de coordenadas se tiene

P0X. A = 0

P0X - (x - 1) I + O - 2 J + (z - 2 K

Efectando el prodcto interior

3 ( * - l ) + 0 —2) + ( z —2) = 0

O sea

3 x + y + z —7 = 0

Ejemplo 7-18

Deerminamos la disancia enre el plano de ecuación

2 x - j ' - 2 z + 3 - 0

y el puno P0(l, 2, 3

Sea 7Tel plano cya ecación normal es

P N X - p = 0

y sea P0(^0. yo> z0 un puno dado.

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2 44P R ODUCTO INTERIOR. GEOMETRIA VECTORIAL

La distancia entre el plano 7Ty el pnto P0 es

d ~ - p\

O sea la disancia enre un p lano y un p un o es el valor absoluo del primer miembro

Pian0’ CUand° " SUS Uye h

Deerminamos primero la ecuación normal del plano dado

J l x - y - 2 z + 3

- V 2 ‘ + ( - l ‘ + ( —2 2 ~ °

O sea

2 X 1 2

? " +? v+ I 2 - 1 =oSusiuyendo x, y , z por las coordenadas de Pf es

d “ | - f 1 + r 2f - 3 - 1

Ejemplo 7-19

Dados los punos A ( - i 3 2l v R f _ i i n\ a *

Plano perpendiclar a la recta AB, sabiendo qe d i d l o T 08 ^ ° rÍ 8en 31del segmento AB. piano pasa por el pnto medio

Las coordenadas del pnto medio de n semiento «nn u

coordenadas de los extremos de dicho segmento S<!miSUmaS de laSEn efecto:

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O sea

2 y + 2 z - 6 = 0

es la ecuación del plano pedido. Este plano es ortogonal al vector —2J - 2K, es decir,

al plano y z ; en consecencia, es paralelo al eje x .Observamos que si el coeficiene de una variable de la ecuación de un plano es cero,

enonces dicho plano es paralelo al eje correspondiene a esa variable.

La ecación normal del plano hallado es

2 y + 2 z - 6 = 0

2s ¡2

O sea

Y la disancia pedida es

d =

\ /2 , y /2 —— y + —— z

2 2

^ . 0 + . 02 2

_ 3y/2

7.14. CURVAS E N EL ESPACIO

Sea I un inervalo real. Toda fnción

X : I -> R3

se llama crva paramétrica en el espacio.

Calqiera qe sea r e l , X ( f ) es n vector cyas coordenadas dependen de t. O sea,

exisen funciones x, y , z de I en R, ales que

X ( 0 = ( * ( 0 > . v ( 0 »z ( 0 j

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CURVAS 247

La ecación vectorial paramétrica de la crva C es

X = jc () 1 + y () J + z (t ) K

Las ecaciones cartesianas paramétricas de Cson

x ~ x ()

y=y{t)Z ~ 2 ()

La crva cya ecación paramétrica es

X (f) = eos 1 1 + sen t J + K

es tal qe ss ecaciones cartesianas paramétricas son

/ x = eos t

| y - sen t

\ z ~ 1

calqiera qe sea t e R.Elevando al cadrado las dos primeras y smando eliminamos el parámetro

x 2 + y 2 = 1

z - 1

La representación de C está caracterizada por la intersección de dos sperficies: la

sperficie cilindrica cya directriz es la circnferencia de radio 1 centrada en el origen einclida en el plano horizontal y cyas generatrices son paralelas al eje z, y el plano de

ecación z = 1.Se trata de la circnferencia indicada en el gráfico sigiente:

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La representación de na crva como intersección de dos sperficies se llama implcita, y

en general se denota mediante

[ F (x , y , z) = 0C

( G(x , y , z) = 0

2 48 P RODUCTO INTERIOR. GEOMETRIA VECTORIAL

Donde el sisema anerior es al que se cumplen las condiciones de regularidad dadas por

el eorema de Cauchy Dini, relaivo a la exisencia de funciones definidas por sisemas de

ecuaciones.

Ejemplo 7-20

Deducimos la ecuación vecorial de la hélice circlar, definida como la trayectoria den pnto qe gira alrededor de n eje y además se traslada paralelamente a él, siendoambos movimientos niformes.

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SUPERFICIE CILI NDRICA 249

Suponemos qe en el instante t = 0 el punto m óvil está en A (a, 0, 0), y qe al cabo del

tiempo t está en X (x , y , 2).

Se verifica qe

w t y z = v t

Siendo w la velocidad anglar del movimiento circlar niforme, y v la velocidad (enmódlo) del movimiento rectilneo y niforme.Las ecaciones paramétricas en coordenadas cilindricas de la hélice circlar son

p = a

<p= w t

Z - V t

Se tiene as el sistema de ecaciones horarias de la crva.

Haciendo

(£= w t ~ u

Reslta

y z = v t —— w t = b u

w

Las ecaciones cartesianas paramétricas son

X ~ Ü eos u

y - a sen u

z = b u

La ecación vectorial paramétrica de la hélice es

X = a c o s « I + 6 s e n « J + Z>wK

7.15. SUPERFICIE CILI NDRICA

Sean: na crva C y na dirección del espacio caracterizada por n vector no nlo

A = / I + m J + « K.

Definición

Sperficie cilindrica de directriz C y dirección A, es el conjnto de pntos de las

paralelas a A, qe pasan po r todos los pn tos de C.

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r 2 5 0

P R ODUCTO INTERIOR. GEOMETRIA VECTORIAL

Las paralelas a A se llaman generatrices

La ecación vectorial es, entonces

x=q + \ a

Ejemplo 7‘21

Deerminamos la ecuación de la superficie cilindrica de direcriz

x = eos t

y = sen t

z = 0

y cuyas generarices son paralelas

1. Al eje z , o sea, al vector A = K.

X = Í 2 + Xa ( l )Como 12 (eos t, sen t, 0), de (1) reslta

Lego x I + y J + z K = cos I + sen / J + \ K

x = eos t y = sen t

z = \

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S U P ER FICIE CONICA 251

to

un

es el sisema de ecuaciones paramétricas de la sperficie, siendo t y Xlos parámetros.De las dos primeras ecuaciones resula

x 2 + y 2 ~ 1

siendo z cualquier número real.

2. Al vector A = I + J + K

De (1 )

x l + y J + z K = eos 1 1 + sen J + X ( I + J + K )

Lego

Eliminamos los parámetros

Y reslta

x = X + eos t

y = X + sen t

z

= X

X — z = eos t

y - z = sen t

( x - z ) 2 + { y - z)2 = 1

7.16. SUPERFICIE CONICA

Consideremos na crva C, llamada directriz, y n pn to V no perteneciente a C, llamado

vértice.

Definición

Sperfì cie cónica de directriz C y vértice V es el conjnto de pntos de las rectasdeterminadas por V y todos los pn tos de la directriz.

K

O

I

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2 5 2P R ODUCTO INTERIOR. GEOMETRIA VECTORIAL

Las rectas consideradas se llaman generatrices.Sea X n pnto genérico de la sperficie cónica; X pertenece a na generatriz, la c

cor ta a la directriz en n pnto £2.Entonces la ecación vectorial de la sperficie cónica es

x=v+xvn

O bien

X = £2 + XV £2

Ejemplo 7-22

Obenemos la ecuación de la superficie cónica de direcriz

x 2 + y 2 - 1 = 0

y vértice V (0 ,0 ,0 )

Como

y

reslta

z = 1

V £2= (a — OI + (0 —OJ = a I + 0 J

X = V + \ V~£2,

x I + 7 J + 2 K = X ( a I + 0 J + K

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P R OYECCION 253

Lego

De donde

x = X a

y = \( 3

z ~ \

A (3=£ z z

Sstityendo en(l)

* 2 + y 2 - z 2 = 0 ,

se obtiene la ecación cartesiana implcita de la sperficie cónica.

7.17. PR OYECCION DE U NA CURVA SOBR E U N PLA NO COORDE NADO

En el cálclo de integrales múltiples selen tilizarse a mendo las ecaciones de la proyección de na crva sobre no de los planos coordenados.

Sea la crva C, definida por el sistema de ecaciones

F ( x , > ’ , z ) = 0 (1)G ( x , y , z ) = 0 (2)

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^ L a sperficie cilindrica de generatrices paralelas al eje z y de directriz C, se llama «7,**,

proyectan te de C sobre el plano horizon tal. S ecación es del tipo

y d e Í X d r o proyectante con el plano de ecación z = 0, es la proyecció,

de C sobre el plano horizontal.

O sea-

f ( x , y ) = 0


C' = P*=oC2 = 0

,a« Aa r cnhr? el olano v 2 hay que eliminar x enre (1 y (2jPara obener la proyección de C sobre el piano y ¿ no* 4

corar el cilindro proyec ane con el plano de ecuación x 0.

Ejem plo 7-23Deerminamos las proyecciones, sobre los planos * j y * z , de la curva

c

1. Eliminamos z entre (1) y (2)

x * + y 2 + 2* = l (1)

x 2 + / = 2 (2)

+ y 2 + ( x 2 + y 2)2 - 1

Pasando a coordenadas polares

Entonces

Resolviendo respecto de p2

La única solción es

O sea

p2 + p 4 = l

p4 4- p2 — 1 = 0

^ - 1 ± V TP2 = — ; —

La proyección sobre el plano horizontal es la circnferencia de ecac.ones.

V 5 - 1

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P R OYECCION 255

Su radio es _ _ _ _ _ _

2. Si proyecamos sobre el plano y z, se elimina x enre (1 y (2 resándolas

z 2 = 1 - z

Se obiene

O sea

Y como 2 > 0 , se iene

Resula

z 2 + z —1 = 0

-1 ±>/5 z --------------

2

y/5 - 1z —

P*=0 C{ 2

jc = 0

Ejemplo 7-24

Obenemos la proyección de C sobre los planos x y y x z , siendo

I x 2 + y 2 + z 2 = 1 (1

C ( x 2 + y 2 - x = 0 (2

1. La ecación del cilindro proyectante de C sobre el plano horizonta l es

x 2 + y 2 - x ~0 (2)

ya qe z no figra.Lego

P , = o C x 2 + y 2 - x = 0

z = 0

es la circnferencia de radio -^-y cen tro , 0 j del plano horizontal.

2. Restando (1) y (2)

z 2 + x = l

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Lego( Z2 = —X + 1

py=oc \ _ n\ y - 0

es la parábola de vértice (1, 0) y eje - x del plano x z.

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TRABAJO PRACTICO VII

= Xf A Y no es n prodcto interior en (R2, +, R, .)•

7-26 . Considerar la misma cestión siendo A =

7-27. En (V, + , R , .) se sabe qe v es ortogonal a v 1( v2 y v3. Demosrar que v es orogonal

al subespacio generado por ellos.

7-28. En n espacio con prodcto interior el ánglo de los vectores y y z es a. Sabiendo qe

y = x + z, demostrar qe

II xll2 = llyli2 + llzll2 - 2 II yl l . II zll cosa

7-29. Demosrar

7-5/. En n espacio eclidiano n-dimensional los vectores v 4, v2, . . v„ son tales qe<V( , V, >= 6y. Dem osrar que ales vecores forman una base.

7-32. En n espacio eclidiano se considera la fnción

definida po r d (x , y) = II x - y II. Demosrar que (V, d) es un espacio métrico.

7-33. Sea (V, +, R, .) n espacio vectorial con prodcto interior, y sea y e V. Demosrar que

<x , y > 1= II xll II yll e y son L.D.

7-30. En Rn se considera el prodcto interior definido por

<X , Y >= Xf Y

Demosrar

d : V2 -►R

la función

/ : V -»R

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definida por

/ ( x = < x , y

es una forma lineal.

7-34. Sea < , un produco inerior en (V, + , R , ., y sea / : V V unaT. L. Demosrar que

: V2 -*■R

al que ( p( x, y = </(x, /(y)> es un produco inerior en V, si / es 1 - 1.

7-35. Sea (V, + , R , . un espacio euclidiano. Demosrar que la función

N : V ^ R

definida por

N (x = ( x , x >f

verifica:

1 . N ( a x - a 2 N (x

2. N (x + y - N (x - N (y = 2 <x , y >

3.—N (x + y - - N (x - y = <x , y >4 4

7-36, Demosrar que en odo espacio euclidiano las diagonales de un rombo son

perpendiculares.7-37. Sea (V, + , R , . un espacio vecorial con produco inerior.

Demosrar

1. ! l x - y l l > | l lxl l - Uyll|

2. llxll2 + IIyII2 = IIx +yl l2 = > x l y

3 . I lx -y l !> l lx l l - l ly l l

4 . x l y II x + a y II > II x II, V a e R

7-38. Sean: V un espacio vecorial euclidiano y A C V. Por definición, x e V es ortogonal a A

si y solo si

y e A ^ x l y

Demosrar que si x es orogonal a A, entonces x es ortogonal a A.

7-39. Demosrar que si V es un espacio euclidiano n-dimensional y S es un subespacio de

dimensión m, al que m < n , enonces exise un vecor x e V y x / S al que x es

orogonal a S.

7-40. Sean V y S como en el ejercicio anerior. Demosrar que exise un único subespacio T

tal qe

l . x e T ^ x l S

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TR A B A JO PRACTICO VII 259

2. dim T = « - W

3. V = S® T

j4 l En (R3, +. R>■)se considera el prodcto interior habital.

1 Obener un vecor uniario orogonal a

V! = (1 , —1, 3 y v2 = ( 2 , 4 , 3

2. Obener dos vecores uniarios orogonales enre sí y orogonales a

v = (1, —1,3

3. Sea la base

[ v ] = ( 1 , 1 , 1 , ( 1 , 1 , 0 , ( 1 , 0 , 0 (

Consruir una base oronorm al a pari r de [v] mediane el proceso de Gram Schmid

742. Sea ( , va , . . v „ un conjuno orogonal en (V, + , R , . y sea

n

v « . S a ¡ v ¡ 1=1

Demosrar que

7-43. Sean (V, +, R , . un espacio euclidiano y { Vi, v2 , . .. , vn } una base de V al que

nx e V a y e V=><x , y >= £ x t y t

n ndonde x = 2 x fvf y y =.2 y ¡ \ i

í—i i—i

Demosrar que la base { v , , v2, . . v„ } es oronormal.

7-44. Sean: V un espacio euclidiano y A C V. Si £2(A) denota el conjnto de todos los

vectores ortogonales a A, entonces

f i ( 2 ( A ) ) = A7-45. Demosrar que si / Vi, v2, . . v„ | es una base oronormal de (V, +, R ,., enonces

n

< x , y > =

746. En (V, + , C ,.), la fnción

< , ) : V2 C

es n prodcto interio r o hermitiano si y sólo si

i ) < x , y >= <y , x>

i i )< x + y , z > = < x , y > + < x , z >

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iii < a x , y > = a ( x , y >

iv <x , x > 0

( x x = 0 < í- x - 0

Un espacio vecorial sobre C, con p roduco inerior, se llama unitario.Definiendo

II x ii= v T x T x ) ,

demostrar qe

I<x , y ) l< llxil IIyII

7-47. Sean Pi ( l , -1 , 1) y P2( - l , 1 ,0 ). Obener:

1. Las ecaciones vectorial y cartesiana del plano perpendiclar a la recta Pi P2 en Pj.

2. Las ecaciones vectorial y cartesianas de la recta perpendiclar al plano anterior,

sabiendo qe dicha recta pasa por Po(0, 2, -3).

7-48. Deerminar el conjuno de los punos del espacio que equidisan del plano

x + y = 1

y del puno F (2, 2, 1.

7-49. Obener las ecuaciones vecorial y caresiana del plano paralelo al plano

a x + y - 0 = 0que pasa por P0(a, a, 3.

7-50. Hallar la disancia enre el plano que coniene a las recas

x = y = z

x — 1 = y + 2 = z

y el puno P0(—1, 0, 1.

7-51. Obener las ecuaciones de la reca deerminada por los planos

2 x - y + z — 2 = 0y

x + 2 y - z + 1= 0

7-52. Hallar las ecuaciones de la reca que pasa por el origen y es paralela a la inersección de

los planos

2 x + y ~ z =0

y

x — 2 y + z = 5

7-53. Obener la ecuación de la superficie cilindrica de direcriz

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C

y cuyas generarices son paralelas al vecor A = I + J 4- K.

7-54. Deerminar la ecuación de la superficie cónica cuya direcriz es la curva del ejercicio

7-53, y cuyo vértice es V (0, -1 ,1 ).

7.55 . Obener las proyecciones de la curva

Obener la ecuación del conjuno de punos de ales perpendiculares.

7-57. Hallar las ecuaciones vecorial y caresiana del helicoide reco, que se define como el

conjuno de punos de las recas que pasan por odos los punos de una hélice circlar y qe son perpendiclares al eje de ésta.

7-58. Sea (V, + , C, .) n espacio nitario, y sea { Vj, v2, . . v„ } na base ortonorm al delmismo.Demosrar que

7-61. Sea dimK V = n > 1 y sea ( , >un produco inerior en V.

Demosrar que si / ’eV * , enonces exise un único vecor x e V , al que / ( y =

sobre los res planos coordenados.

7-56. Por cada puno de la reca

r x + z = 2

y = 0

Se considera la perpendicular a la reca

i - i í= i7-59. Sea P e Rnxn una mariz orogonal. Demosrar que las líneas de P consiuyen una base

oronormal de R" , considerando el produco inerior habiual.

siendo X = X x¡ y Y — 2 v¡

i - l . „i

n

i < / ' = > 2 P U = 0

= < x , y > , V y e V.

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7-62. Sean: un espacio uniario V de dimensión finia y [v] ={ Vi, v2, . . v„ ¡ una base

oronorm al del mismo.

Demosrar que

nx e V =>x = 2 ( x , v ¿ v ¿

j=i '

2 6 2 P RODUCTO INTERIOR. GEOMETRIA VECTORIAL

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Capítulo 8

VALORES Y VECTORES PROPIOS .

DIAGONALIZACION

8.1. INTR ODUCCION

Desarrollamos en ese capíulo los concepos de valores y vecores propios de un

endomorfismo en un espacio vecorial y de la mariz asociada en el caso de dimensión finia.

Demosramos las propiedades fundamenales de los mismos y su deerminación a parir del

polinomio caracerísico. Encaramos despés el problema de la diagorialización detrasformaciones lineales y matrices, as como también el de la trianglación. Por último,demostramos el teorema de Hamilton-Cayley.

8.2. VALOR ES Y VECTOR ES PR OPIOS

8.2.1. Concepo

Consideremos un espacio vecorial (V, + , K , . y un endomorfismo

/ : V -> V

Definición

El escalar X e K es n valor propio de / si y sólo si existe n vector no nlo x e V, talqe /( x ) = Xx.

Todo vector no nlo qe satisfaga la condición anterior se llama vector propio de f , asociado al valor propio X.

En consecencia, n vector propio de n endomorfismo es n vector no nlo cya imagenes n múltiplo escalar del mismo.

Las expresiones “ valor propio” , “ valor caracterstico” y “ atovalor” son sinónimas.También lo son “ vector propio”, “ vector caracterstico” y “ atovector” .

Ejemplo 8-1Considerando (R2, +, R , .) y la trasformación lineal

/ : R2 R2

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2 64 V A L ORES Y VECTORES PROPIOS. DIAGONALIZACION

definida por

f ( x i , x 2) = (2jc1 , 7 x 1 - 2 x 2 ,

el escalar X = 2 es un valor prop io de / , ya que el vecor no nulo (2, 1 es al que

/(2 , 1 = (4 , 2 = 2 (2 ,1

(2, 1 es un vecor propio asociado al valor propio 2.

8.2.2. Propiedad

Si X es un valor propio de una rasformación lineal / : V V, y si S \ es el conjuno de l0s

vecores propios asociados a X, enonces S* = S \ U {0 } es un subespacio de VEn efecto:

1 . Q e S x ^ S x ^ í j ) .

2. S \ C V por definición de S^.

3. Sean x e y pertenecientes a S^.

Si x = 0 v y = 0, entonces x + y e S^.Spongamos qe x ¥=0 e y ¥=0

xv¿=0 A y ^ 0 ^ x e S \ A y e S \ = >

(x) = Xx A/ ( y ) = Xy =>f (x) + /( y ) = Xx + Xy =►

=> / (x + y) = X (x + y) => x + y e S:\ =>x + y e S K

4. Sean f t e K y x e S ^ .Si x = 0 o a = 0, entonces a x e S \ .

Consideremos el caso en qe x ¥=0 y a =£ 0:

a e K A x ^ O ^ a e K a x e S \ = >a e K a / ( x ) - Xx =>

=►a /( x = a (Xx =>/(a x = X (a x = > a x e S ’^

^ a x e S ^

En consecencia, (Sx , +, K , .) es n sbespacio de (V, + , K, .).

De acuerdo con lo demosrado en 4., afirmamos que si x es un vecor propio de/asociado

a X, y a =£ 0, enonces a x es un vecor propio asociado al mismo valor propio.

Observamos ambién qe la restricción d e / a es na homotecia de razón X

8.2.3. Valores y vectores propios de una matriz

Definición

El escalar X es n valor propio de la matriz A e Knxn si y solo si existe n vector non loX eK " * 1 tal qe AX=- a X

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una rasformación lineal y x , , x2, . . x„ vecores propios asociados « X ,, \ , .

que

i i = j => \ 6 A,-

Demosraremos que X i, x 2, . . x„ son linealmene independienes.

1 . M- 1 x i ^ O ^ x j esL.I.

2. {X j , x2 , . . Xj, ) es L.I. ^ { X j , x2 , . ■ xh, x^ +1 | es L.I.

En efec to, consideremosh + 1

a i x i = 0 (1)

Mltiplicamos por X>,+ 1

tti X/,+ 1 Xj + . . . +a /i X* + l Xj, + « h + l \ j+ i xh+i

Aplicando/a (1)

\ i X! + . . . + oth x t + 0¡h + l \ j+ i x ft + i “ 0

Restamos estas dos igaldades

« i ( \ i + i - M x i + ■ ■• + í h i +i - b i ) x h = 0

Por la hipótesis indctiva reslta

cl¡ ( \ + i - \ ) = 0 V /=1 , 2 , . . .,h

Y como \ , + 1 —X,- 0, reslta

«¿ = 0 V/= 1,2 , . . ., h

Sstityendo en (1), se tiene

®h+1 x h + i = 0

Os e aa f +i = 0 , y aq u e x h + i ^ 0

En consecenciad i = a- i = . .. = oth = a h +! = 0

Y por lo tanto

( x , , x 2 , . . . , x » } e s L . I .

8.2.5. Propiedad

Si / es na trasform ación lineal del espacio vectorial V, de dimensión finita,

entonces A e K es n valor propio de / s i y sólo si / - Ai es singlar.i denota la trasformación identidad en V.

1. Sea Xn valor propio d e /. Entonces existe x ^O en V, al qu e/(x =Ax

2 66 V A LORES Y VECTORES PROPIOS. DIAGONALIZACION

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V ECTORES PROPIOS267

Ahora bien

/( x ) = X x = * /(x) - X i (x) = 0 =►/(x) - (X) (x) = 0 => ( f - M) (x) = 0.

En consecencia, N ( f - Ai) { 0 ), o s e a , / - A/ es singlar.

2. Spongamos ahora qe / - A i es singlar, o sea, no inversible. Esto significa qe/ - A /: V -»• V es tal qe N ( f — A/) =£{ 0} . En consecencia, existe x eV, x =£ 0 talqe ( f - A¿) (x) = 0. De acuerdo con el álgebra de las rasformacioneslineales, se iene

y por consiguiene Xes un valor propio d e /.

En términos de matrices esta propiedad se tradce de la sigiente manera:Si A e K nx n, entonces X eK es n valor propio de A si y sólo si A - XI es singlar.Eqivalentemente

Ejemplo 8-4

El lector podrá demostrar, al realizar el trabajo práctico, qe todo endomorfismo en V,donde V es n espacio vectorial de dimensión finita y mayor o igal qe 1 sobre el

cerpo de los complejos, admite n vector propio.Pero si el cerpo no es C, entonces peden no existir vectores propios. En efecto, sea(R2, +, R , .) y sea

/(x ) —(Xi) (x) = 0

Es decir

/( x ) = X (x) = Xx

Xes n valor propio de A gK nx " D (A - Xl) = 0

entonces

Xi eos 6 - x 2 sen 0 = X xi

x 1 sen 6 + x 2 eos 6 = \ x 2

O sea

(X - eos6 ) x ! + x

2 sen 6 = 0

- x i sen 0 + (X - eos 6 ) x 2 = 0

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Si el sisema admie soluciones no riviales debe ser

2 68 V A LORES Y VECTORES PROPIOS. DIAGONALIZACION

X —eos 0

—sen 0

sen 0

X —eos 0= 0

Lego

Si 0 = 60° , entonces

(X - eos 0)2 + sen2 0 = 0

X2 —2 Xcos 0 + 1 = 0

X= eos 0 ± \J eos2 0 —1

\ = — + V " —¿ R

Sólo existen vectores propios si 0 - n ir.Considerando (R2 , + , C , .) existen valores y vectores propios. El endomorfismo f

representa na rotación del plano de ánglo 0 alrededor del origen.

8.2.6. Propiedad

Si / : V - ^ V es na trasformación lineal, y si además existe na base jyj = j Vl (v2 ........v„ ¡ fo rmada por los vectores propios de/co rre spon dientes a los valores

propios X j, ., X n , en tonces la matriz de / respecto de esta base es la matriz diagonal I X, 0 . . . 0 ’

0 Xa . . . 0

D = ; ; ;

o o ... K

En efecto, la matriz de / respecto de [v] se obtienedeterminando las imágenes de losvectores de dicha base, y teniendo en centa la definición de vector propio es

/ ( v i ) = Xi Vi = Xi vj + 0 v2 + . .. + 0 vn/ (V2) = Xa v2 = 0 V! + X2 v2 + . . . + 0 v„

/( v „ ) = Xfl vM= 0v i + 0 v 2 + .. . + X* v„

En consecencia, reslta

D =

X! 0

0 X2

0 0 . . . X„

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m

V ECTORES PROPIOS269

En este caso diremos qe la trasformación lineal / esdiagonalizable.Una consecencia del teorema demostrado es la sigiente:

Si dim V = n y / : V-> V es n endomorfismo qe admite n valores propios distintos

entonces/ es diagonahzable.Esta afirmación es obvia en virtd del teorema anterior y de 8 2 4

En términos de matrices diremos qe si A e K " x" admite « va lore s propios distintosentonces existe P € K no singlar, tal qe

P 1 A P es diagonal

os

Ejemplo 8-5

Deerminamos los valores y vecores propios de A, siendo

3 - 2A =

1

De acuerdo con 8.2.5., consideremos

D ( A - X 1 ) = 0

0 sea

3 - X - 2

- 1 2 - X

= 0

Resolvemos respecto de X

( 3 - X ) ( 2 - X ) - 2 = 0

X2 - 5 X + 4 = 0

5 ±V 25 - 16 _ 5 ±3

2 2

Las races son:

Para cada X resolvemos el sistema

~ X :

El sistema es eqivalente a

De donde

(A - XI) X = 0

2 x i - 2 x 2 = 0

- X j + * 2 = 0

x i - x 2 = 0

x x —x 2

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2 70 V A L ORES Y VECTORES PROPIOS. DIAGONALIZACION

Lego

1X i =

,1

Xi es n vector propio asociado a \ = 1.

2. a2 = 4 - ( : | : j ) = ( “ ) ■ * - * . - 2 * , + 2 , a = o

= - 2 x 2 =>X2 ^ ^

X2 es n vector propio asociado a X2 • Los vectores Xj y X2 son L.I. y forman na base de R2.

A es diagonalizable, y s forma diagonal es

1 0D =

0 4

Si P es la mariz cuyas columnas son los vecores propios, enonces es

P”1 A P = D

8.3. POLI NOMIO CARACTERISTICO DE U NA MATRIZ

8.3.1. Noa sobre polinomios

Sea K [X] el anillo de polinomios del cuerpo K (véase captlo 12 deAlgebral, del mismoator).

Si P e K [X], escribimos

P(X )= 2 a.-X1v ' i=0 '

donde a¡ e K y an =£0, o sea # P = n.Dada la mariz cuadrada A, definimos

P (A)= £ a¡ A'v ' i=0 1

Haciendo A° = 1, se tiene

PCA)-«,! A" +an~l A" -' 1 -f . . . + ü t A + a 0 I

La matriz P (A) es la especialización de X por A.

Ejemplo 8-6

En R [X] consideremos

P (X ) = 2 X 2 - X - l

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P OLINOMIO CARACTERISTICO 271

y sea

Entonces

1 1A =

0 2

P (A) = 2 A2 - A - I =

—1 1 \ / —1 1 \ / - I 1 \ / 1 0- 2 . , , , ,

0 2 / \ 0 2 / \ 0 2 / \ 0 1

= 2 , 1 I U I - 1 + - 1 °0 4 / \ 0 - 2 \ 0 —1

2 2 + / ° - 1 = 2 10 8 / 1 0 - 3 / 0 5

Se verifica qe

1.(P + Q ) (A) = P (A) + Q (A)

2. (P . Q ) (A) = P (A) . Q (A)

3. (a P) (A) = aP (A )

Si « i , <*2 , • • •>Oín son elementos de K y

P(X ) = ( X - a 1) ( X - a 1) . . . ( X - a II),entonces es

P (A) = (A —otl I) (A - a2 I) . . . (A - an I)

Ejemplo 8-7

Si A € k xm, entonces existe n polinomio no nlo P € K [X]tal qe P (A) = N, donde

N denoa la mariz nula del ipo n x n.

En efecto, la dimensión de (K”x” , +, K , .) es n2. Esto significa qe las matrices

I, A, A2 ,. . A m

son linealmente dependientes si m > n 2.En consecencia, existen escalares a lt a2, . . am , no todos nlos, tales qe

Am + V i A”1“ 1 + . . . + « ! A + a0 I = N

O sea, exise

P ( X = í i m X m + a m-l Xm_1 + . . . + a i X + a 0

en K [X], que saisface

P ( A ) = N

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2 7 2V A L ORES Y VECTORES PROPIOS. DIAGONALIZACION

8.3.2. Polinomio caracerísico

Definición

Polinomio caracerísico de una mariz A e K " Xl es el determinante de la matriz

XI —A.

O sea

P (X = D (X I — A) =

X — ü\\ ~~ #12 . . . Q\n

— #21 ^ — a22 • • • ~ ^In

~ « ni an2 . . . X ünn

Desarrollando por los elemenos de la primera columna y reierando el procedimieno

los sucesivos cofacores, se obiene una suma del ipo

en

( X - ¿ fu . . . ( X - ann) + . . .

1primero, son de grado menor

P (X = X" + cn-1 X" " 1 + . . . + ci X + c0

donde los érminos, a partir del primero, son de grado menor qe n.

Reslta

Ejemplo 8-8

Deerminamos el polinomio caracerísico de A, siendo

■ 1 2 2

A = ‘

P (X) = D (XI — A) =

X - 2 - 2

= ( X + 1 ) 6 A + 6

= (X + 1) (X2 + 4 X) + 2 ( - 2 X) + 3 . 2 X

= X3 + 5 X2 + 4 X - 4 X + 6 X = X 3 + 5 X2 + 6 X

Una raz es \ = 0. Las otras dos lo son de

X2 + 5 X + 6

O sea—5 ± 1

X-t-1 —2 - 2

- 2 X— 2 —2

3 6 X + 6

+ 2- 2 - 2

6 X+ 6+ 3

- 2 —2

X - 2 - 2

X =2

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Resula

X2 = —3 X3 = —2

P OLINOMIO CARACTERISTICO 273

8.3.3. Propiedad

El escalar X es n valor p ropio de A e K nxn si y sólo si X es raz del polinomiocaracterstico de A.

1. Sea Xn valor propio de A. Entonces, de acerdo con 8.2.5., A - XI es singlar, y por consigiente también lo es XI - A, o sea, D (XI - A) = 0.En consecencia, Xes na raz del polinomio caracterstico.

2. Spongamos qe Xsea na raz del polinom io caracterstico de A. Entonces es

O sea, XI - A y A —XI son singlares. Esto significa qe X es n valor propio de A, por 8.2.5.

Usalmente, la determinación de los valores propios de na matriz, es decir, de las racesde s polinomio caracterstico, no es simple. Los métodos adecados a este fin son temas deCálclo Numérico, qe no trataremos en este texto.

Ejemplo 8-9

Deerminamos los valores y vecores propios de A e C 2x2, siendo

P(X) = 0 ^ ( X - 2)2 + 4 = 0= >X~ 2 = ±2/=* X=2 ±2i

Los valores propios de A sonX, = 2 + 2/ Xj = 2 - 2i

Para determinar n vector propio asociado a X resolvemos el sistema lineal

(X I - A ) X = 0

En efecto, si X es n vector propio asociado a X, por 8.2.3. se tiene

D ( X l — A) = 0

El polinomio caracterstico es

P(X) = D (XI — A) = X 2 2 =(X —2)2 + 42 X —2

A X = X X

De donde

X X — A X = 0O sea

X I X - A X = 0

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Por disribuividad es

(XI - A ) X = 0

¡2

i —2 \ / x A ¡0

\2i x

1-

2 x 2 =Q

1. Xt = 2 + 2 =* = U\ 22 i j \ x 2 j \ 0 / 2 x i + 2 i x 2 = 0

=>x2 = ix i

' 1

2 74 V A LORES Y VECTORES PROPIOS. DIAGONALIZACION.

X 2 = ' i

Un vector propio es Xj1 / ■

2. X2 = 2 - a - 2 ( * | ) = ( ° ) - | 2* . - 2 /* , = 0 - x , = i * 2

Un vector propio asociado a X2 es

' i

¡ \ i \Si P = [ I , entonces es

\ i 1 /

/ 2 + 2i 0P" 1 A P =

\ 0 2 - 2 i

La matriz A ha sido diagonalizada.

Ejemplo 8-10

Probaremos ahora qe los valores propios de toda matriz involtiva son 1 o —1.Sea A e KflXfl, tal qe A2 =1.Si X e K71x 1 es n vector propio asociado al valor propio X, entonces

A X = XX (1)

Premltiplicando por A

Como A2 = I, se tiene

O sea

De (1 y (2 se deduce

Es decir

A2 X = X A X

ix =Xa x

X = XA X (2)

X = XX X

(1 - X 2) X = 0

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P OLINIMIO CARACTERISTICO 275

Como X =£ 0, resula 1 - X2 = 0, y en consecuencia X= ± 1.

Con procedimieno análogo el lecor podrá comprobar que los valores propios de oda

mariz idempoene son 0 o 1, es decir

A2 - A =* X - 1 . X = 0

8.3.4. Propiedad

Dos marices semejanes ienen el mismo polinomio caracerísico, y en consecuencia los

mismos valores propios.

Hipóesis A ~ B e n K lXfl

Tesis) D(XI - A ) = D (X l —B

Demosración

A ~ B =>3 Pn o singlar / B = P 1 A P Por 4.19.5.

Entonces es

D (XI —B = D (XP’1I P - P ' 1A P ) =

= D [P_1 (XI - A) P] ~D (P" 1 D (XI - A) D (P =

= D (P-1 D (P D (XI — A) = D (P*1 P D (XI — A) == D (I D (XI - A) = 1 . D (XI - A) = D (XI - A)

La recproca no es cierta, ya qe dos matrices peden tener los mismos valores propios yno ser semejantes.

Un contraejemplo se presenta considerando las matrices

i l 0 \ i 1 3

A - ( o . ) y B = ( o .

8.3.5. Polinomio característico de una trasformación lineal

Sea / : V-*■V na trasformación lineal y sea [v] = { Vj, v2, . . v„ } na base de V.En tonce s/está caracterizada por na m atriz Ae Knxn respecto de [v].

Si [v’] = { v \ , v’2, . . . , v’n f es otra base de V,entonces existe na matriz no singlar P e K.nxn tal qe la matriz d e /, respecto de la base [v’]}verif ica

B ^ F 1 A P

Las matrices A y B admiten el mismo polinomio caracterstico, de acerdo con 8.3.4. El

polinomio ca racterstico de calqiera de las matrices qe caracterizan a / se llama polinomio caracterstico de la trasformación lineal.

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2 76 V A L ORES Y VECTORES PROPIOS. DIAGONALIZACION.

8.4. DIAGONALIZACION DE MATRICES

8.4.1. Definición

Una mariz A e Knxn es diagonalizable si y sólo si es semejante a na matriz diagona]

O sea

A e Knx" es diagonalizable o 3 P no singlar / P" 1 A P =D

donde D es diagonal.

8.4.2. Propiedad

Si A e K " xn es diagonalizable, entonces s form a diagonal es D 6y, donde \

i = 1 ,2 , . . n son los valores propios de A.En efecto:

C0(

di 00 \ - d 2

0 0 \ - d y

A es diagonalizable =>A~ D= >D (M —D =

=.7^ (A - d ¡ )

El polinomio caracterstico de A es

P (k) = ( \ - d l ) ( K - d 2 ) . . . ( k ~ d tl)

En consecencia, los elementos de la matriz diagonal son los valores propios de A.

8.4.2. Propiedad

Una matriz A e K nx" es diagonalizable si y sólo si A admite n vectores propiolinealmente independientes.

1. Sea A diagonalizable.

A es diagonalizable = > A ~ D =* 3 Pn o singular /P " 1A P = D=> A P = PD (1

Paricionando P en vecores columna, o sea

P = (X1 X2 . .. X„,

es

P D = (Xj X2 . . . X„

/ Xj 0 . . . 0

0 ^ 0

0 0 . . .

eleind

dilo ihoi

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DIA G ONALIZACION277

Además

A P = A( X, X2 . . .X „ ) = ( AX , A X 2 .. . AX „j (3)

De (1. (2, y (3 resula

A X ¡ —\ X ¡ i = 1, 2, . . n

Lego las colmnas de P son n vectores propios de A, y como P es no singlar, talescolmnas son L.I.

En consecencia, A admite n vectores propios L.I.

2. A admite n vectores propios L.I.Sean tales vectores propios: X j, X2, , . X„.Por definición es

0 sea, A es diagonalizable.

8.4.3. Races del polinomio caracterstico y diagonaización

De acuerdo con 8.2.4., si los valores propios del polinomio caracerísico de A eKnxn sonelementos distintos de K, en tonces los vectores propios asociados son Ü nealmenteindependientes, y, por 8.4.2.2., A es diagonalizable.

En general, si el polinomio caracterstico de A tiene races múltiples, la matriz no es

diagonalizable. Para qe lo sea, debe cmplirse la condición sficiente demostrada en 8.4.2.,lo qe significa qe a toda raz múltiple de orden p debe corresponderle n sistema lineal yhomogéneo cyo espacio solción tenga dimensión p.

Ejemplo 8-11

P - (X ! X 2 . . . X„) y D - ( \ - 5a)

Se iene

A P = (A X ¡ A X2 . . . A X * ) ^ , X t %2 X2 . . . X,, X j,)^

= (x i X2 . . . X„) (A; 5jj) = P D

Como P es no singular resula

P" 1 A P = D

La matriz

no es diagonalizable

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2 78VALOR ES Y VECTOR ES PR OPIOS. DIAGONALIZACION.

Deerminam os los valores propios

P(A) = D ( X l - A ) =

X 1 - 1 o0 X - l - i0 0 X - l

= (X l ) 3 ^ Xi —X2 *- X3 1.

Los vectores propios asociados a esta raz triple satisfacen a

( X I - A) X = 0

O sea

Lego

0 - 1 O W X j

0 1 - 1 |( ^2

0 0 0

0 * ! - x-i + 0 x 3 0

Oxj + 0 x 2 - X 3 = 0

El rango de la matriz de coeficiente es 2, y en consecencia es

dim S = 3 - 2 = 1

O sea, hay un solo vecor propio linealmene independiene de la mariz A.

Por consigiente, A no es diagonalizable.

Ejemplo 8-12

La matriz

es diagonalizable y ss valores propios no son todos distintos.En efecto:

P (X) = D (XI - A) =

«CX- 1 )

X + 3 0 4- 4 X - l - 4- 2 0 X - 3

X + 3 4

—2 X - 3

=>Xi =X3 = 1 , X3 = -1

= ( X - 1)(X2 - 1)=*

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es una base fan de V si y sólo si {v j . v * , . ■.,v f \ es una base de Sf para odo

/ = 1 , 2 , . . . , ».

El teorema de extensión 2 .6.3. nos permite afirmar qe existe na base fan.

8.5.2. Propiedad

Si [v] es na base fan de V, entonces la m atriz asociada a todo endomorfismo/ : V -+ V es

trianglar sperior.Sabemos ae para obtener la matriz de / respecto de na base, hay qe determinar las

imágenes'de los vectores de la misma y expresarlos como combinaciones lineales de tal«

vectores. Teniendo en centa además la definición de sbespacio invariante, reslta

Vi eSi =>/(vi)esi =>/(vi) = fln viv2 e S 2 =>/(v2) eS 2 =* /(v2) = 0 n Vi+ a22 v2

vn e S„ =>f(y») e Sn =>/(vn) - ¿(i „ Vi +a2n v2 + ■■• + «»n v„

Por consigiente, la matriz de / respecto de la base fan es

011 ^0 022 • • • Q'in

280 VALOR ES Y VECTOR ES PR OPIOS. DIAGONALIZACION

A =

0 0 . . . ann

Si f : V -*• v es na trasformación lineal y si existe na base respecto de la cal la matri

de fe s trianglar, entonces diremos q e /e s trianglable. ■En términos de matrices, diremos qe A e K 'lxn es trianglable « y solo si exis

P e KrtXfl no singlar, tal qe P '1 A P es trianglar. Demosraremos que oda mariz pued

ser riangulada sobre el cuerpo C.

8.5.3. Propiedad

Si V es un espacio vecorial de dimensión finia mayor o igual que 1, sobre el cuerpo

los complejos, y si / : V -> V es una rasformación lineal, enonces exise un fan de / en .

Demosramos esa afirmación inducivamene.

1 Si dim V = 1, enonces nada hay que probar.

2. Supongamos que la propiedad es válida si dim V = » - 1. Demosraremos que lo esj

dim V = n.Sea V, un vecor propio de / , el cual exise de acuerdo con el ejercicio 8-46, y sea S,

subesoacio generado por Vi. Resula dim Si —1. ,, , c _Siendo Sr un subespacio de V, exise un subespacio W cuya suma direca con S,

(ejercicio 7-40, o sea

V = Si ®w

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Cons ide remos las proyecciones p , y p 2 de V sobre S t y W, respecivamene.

La composición p 2 ° f e s na trasformación lineal de V en V tal qe si x e W, entonces/( x ) e W. Restringiendo el dominio a W, podemos consi derar a p 2 ° f como nat rasformación lineal de W en W. De acuerdo con la hipóesis induciva, exise un fan de

p 2 o / e n W. Sea éste( W , , w 2 .........w „ ^ )

Consideremos ahora los sbespacios

Sf= S i + W M

pa ra = 2, 3 , . . . , n.

Se verifica qe dim Sf = i, ya qe si | W j , w2 , . . ., wn_ , J es na base de W, entonces{Vi, Wi , . . WM } es na base de S,-, i « 2 , 3 , . . n.

Además, S¡ C S+1 para todo / = 1 , 2 , . . . , « .

Para demostrar qe { , S2, .. S„ } es n fan de / en V, es sficiente probar qe/ (V í) c V(,

Observamos que

f = i v ° f = ( p i + p 2 ) f = p 1 ° f + p 2 ° f (1

puespi + p 2 = i y (ver346

Sea x un vecor cualquiera de S,-:

x e S,- => x = av^ + w , donde a e Cy w e W

Teniendo en centa (1) es

/ ( X ) = ( P! o f + p 2 o f ) ( x ) = ( p1 o f ) ( x ) + ( p 2 0 / ) ( x ) ( 2 )

Ahora bien

ÍP i 0 f ) (x) = p i ¡f (x)] e S i , y en consecencia

( P i ° f ) ( x ) e S ¡ (3)

Por otra parte

( P 2 ° f ) (x ) = ip2 o f)(av1) +( p2 of )( w¡) ^ a p 2 ( / ( v ! ) j +(p2 ° / ) (w,') —

=a p 2 (Xi vO + (p2 ° / ) (wi) = a \ i p 2 (y1) + (p2 ° /) (wt) = 0 -t-<>2 °/ )(w,) =

=(P2 ° f) (W,)

de acerdo con la descomposición de x, la definición de trasformación lineal, y considerandoqe Vj es n vector propio de / . Por la hipótesis indctiva se sabe qe (p2 ° f) (W,) C W,-, y

por consigiente

(Pi o f ) (x) = (p2 ° f ) (w ¡) e W,

O sea

(P 2 o f ) ( x )eS, (4 )

TR IA NGU L A CION 2gl

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TEOREMA DE HAMILTON - CAYLEY283

0 se a

P (A) = N

A =

Ejemplo 8-13

Utilizando el teorema de Hamilton-Cayley, determinamos la inversa de la matriz A delejemplo 8-5.

3 - 2

, 1 2

El polinomio caracterstico de A, es

P (X) = X2 - 5 X + 4

Entonces es

P (A ) = A2 ~ 5 A + 4 I = N

O sea iI = ——(A 2 - 5 A)

En consecencia, mltiplicando po r A ;

A ' 1 =-----(A - 5 I)

Como

Reslta

A - 5 I

A ' 1 =

- 2 - 2

- 1 - 3

M i2 2

_L 1

4 4 I

Demosraremos ahora que oda mariz A e Cnx,t satisface a s polinomio caracterstico, osea

A e Cnxn =>P (A) = N

En efecto, sea el polinomio caracterstico de A:

P (X) = D (XI — A) (1)

Sabemos qe el prodcto de toda matriz cadrada por s adjnta es igal al determinante

de aqella por la matriz identidad (5 ,8.3.). Entonces(XI - A) Adj (XI - A) = D (XI — A) . I

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V A L ORES Y VECTORES PROPIOS. DIAGONALIZACION.

Teniendo en centa (1) es

(X I —A) Adj (X I —A) = P (X) . I (2)

Los elementos de Adj (XI - A), por ser los cofactores de (XI - A), son polinomios de

grado menor o igal qe n - 1, y en consecenciaAdj (XI - A) = A n^ X* '1 + A n.2 X" -a + . . . + A1 X + A0 (3)

De (2 y (3 resula

An_i X" + (A„_2 - A A„_ i) X" " 1 + (A„_3 - A AnJ ) X" -*+. . . +

+ (A0 - A A O X - A Ao = X" I + c„_ i X" " 1I +.. . + XI + c0 I

O sea

An-j = I

An-2 ~ A An_i — C n-1 IAn_3 —A An_2 —Cf-2 ^

Ao —A Aj Cj I

—A Aq = C q I

Lego de premltiplicar por A " , A n 1, . . A e I, respectivamente, se tiene

A” A n_i = A"

A" 1 A„_ 2 —A*1A n_i —cn_ i A n 1A""2 Ajj„3 - A" " 1A„_i = Cd_2A”-2

A A0 - A2 A| =Cj A

- - A Aq — C q I

Smando, despés de redcir, es

N = A n 4- cn. i A”" 1 + . . . + C , A + c0 I

O sea

P (A) = N

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TRABAJO PRACTICO VIII

8-14. Deerminar los valores y vecores propios de las siguienes rasformaciones lineales:

1. / : R 2 ~>R2 definida por f ( x u x 2) = (4x¡ + 3 * 2 , 3 ^ - 4 x2)

2. / : R3 -* R 3 al q u e /(x, y , z )= (2y ~ z ,2 x - z , 2x~y)

8-15. Obener los valores y vecores propios, si exisen, de las marices siguienes conelemenos en R:

8-16. Demosrar que si X es un valor propio de A e K " x" y ésta es no singlar, entonces X esno nlo.

8-17. Demosrar que si X es un valor propio de la mariz no singular A, entonces X'1 es nvalor propio de A" 1.

8-18. Demosrar que si X, es un vecor propio de la mariz A asociado al valor propio X¿,entonces X¡ es n vector propio de A n correspondiente al valor propio Xf

8-19. Demosrar que si X! es un vecor propio de la mariz A, correspondiente al valor propio X j, en tonces Y = S" 1 X, es n vector propio de la matriz S" 1 A S, asociado aX!.

8-20. Deerminar el polinomio caracerísico, los valores y vecores propios de cada una delas siguienes marices complejas:

8-21. Demosrar que si P (X es el polinomio caracerísico de la mariz A eCnxn entoncescn-1 el opesto de la sma de los valores propios y el término independiente es igal

al prodcto de ( - l )n y el prodcto de los valores propios.

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2 86V A L ORES Y VECTORES PROPIOS. DIAGONALIZACION.

8-22. Demosrar que si A e Cnx' \ entonces la traza de A es igal a la sma de los valores propios y el determ inante de A es igal al prodcto de los valores propios.

8-23. Demosrar que los valores propios de od a mariz idempoene son 0 ó 1.

8-24. Demosrar que dos marices raspuesas ienen el mismo polinomio caracerísico.

8-25. Invesigar si la siguiene mariz es diagonalizable

8-26. Sea una mariz A e Cnxn tal qe A k = I. Demosrar que si X es un valor propio de A,

entonces Xfe = 1.

8-27. Demosrar que los valores propios de una mariz riangular son los elemenos de la

diagonal.

8-28. Por definición, una mariz cuadrada A es nilpotente si y sólo si existe n entero positivo k, tal qe A k = N. Dem osrar que los valores propios de oda mariz

nilpoene son nulos.

8-29. Demosrar las siguienes propiedades:

1. Dos marices semejanes ienen sus razas iguales.

2. Si k es un enero posiivo, enonces tr Ah = 2 X? .

3. La traza de toda matriz idempotente es igal a s rango.4. La traza de na sma es igal a la sma de las trazas.

5. Las trazas de dos matrices traspestas son igales.

6. Las matrices A B y B A tienen trazas igales.

7. tr (ABC) = tr (BCA) = tr (CAB)

8. Si P es ortogonal, entonces tr (P f A P) = tr A.

8-30. Considerando el prodcto interior habital en R2, determinar na base ortonormal de

vectores propios de A, siendo

8-31. Demosrar que si odos los valores propios de una mariz son no nulos, enonces dicha

mariz es no singular.

8-32. Calcular P (A), siendo P (X) = X3 —X + 1 y

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8-33. Demosrar que si A es na matriz simétrica y P e R [X],entonces P (A) es na matrizsimétrica.

8-34. Demosrar que si A es herm itiana y P e R [X],entonces P (A) es hermitiana.

8-35 Sean A y P elementos de Knxn, tales qe P es no singlar. Demosrar que(P' a Pf = P" 1 A h P

8-36. Considerando dos marices A y B como en el ejercicio anterior, demostrar qe siP eK [X], entonces

P (B 1 A B) = B~‘ P (A) B

8-37. Verificar qe la matriz

' eos sen y

TR A B A JO PRACTICO VIII 287

A =sen i/ —eos

admite n vector propio en R 2, calqiera qe sea e R. Probar qe existe n vector X tal qe A X = X.

8-38. Con relación al ejercicio anterior, dem ostrar qe si Y es n vector de R2 ortogonal a X,entonces A Y = —Y. Interpre tar geométricamente.

8-39. Demosrar que si P es una mariz orogonal del ipo 2 X 2 y D (P = - 1 , enonces

exise un número real y? al que

/ 1 0 \ / eos v? -s en

P =\ 0 -1 / \ sen eos

8-40. Sean X un valor propio de Ae K Hxn y f n polinomio de K [X].Demosrar que/(X es

un valor propio d e /(A ).

8-41. Obener una base fan de los endomorfism os de C2 caracerizados por las marices

*-(::) h i :8'42. Demosrar que si X es un valor propio de A e K" xn, entonces a + Xes n valor propio

de a I + A , V a K.

8-43. Demosrar que una mariz A e Cnxn es singlar si y sólo si admite algún valor propioigal a cero.

8-44. Diagonalizar, si es posible, las marices

1 l + i• A = | ) eC 2x2

0 • 1

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2 88 V A L ORES Y VECTORES PROPIOS. DIAGONALIZACION.

A -

/ 1___

0

2

0

1

2

1 1

2 2

j_

2

_1_

2

— 0

e R 3x3

8-45. Sean A =- 2

2y P(X) = X2 - l .

Diagonalizar P (A), si es posible.

8-46, Sabiendo qe dimc V > 1 y qe / : V V es n endomorfismo, demostrar qe existen vector propio de /.

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Capítulo 9

FORMAS BILINEALES Y CUADRATICAS

9.1. INTR ODUCCION

Presenamos en ese capíulo los concepos de forma bilineal sobre un espacio vecorial,

de forma cuadráica asociada, y sus conexiones con la mariz de cada una respeco de una

base en el caso de dimensión finia . Se esudian los operadores ad junos, raspuesos,

hermiianos y simétricos, as como también algnas propiedades de ss valores propios. Estasitación se reitera en el caso de operadores nitarios y ortogonales. Después de lademostración del teorema de Sylvester, se trata el tema de la diagonalización de operadoressimétricos y de las matrices correspondientes. Además de la descomposición espectral de na

matriz diagonalizable, se estdia la congrencia de formas cadráticas reales, la redcción ala forma canónica y el signo de na forma cadrática.

9.2. FORMAS BILI NEALES

9.2.1. Concepto

Sean: (V, + , K , .) n espacio vectorial y / na fnción de V2 en K.

Definición

La fnción / : V2 -+K es na forma bilineal sobre V si y sólo si es lineal respecto de los

dos argmentos.

O sea

/ : V2 K es una forma bilineal sobre V si y sólo si saisface:

1. Linealidad respecto del primer argmento

f ( a x + b x \ y ) = a f ( x , y ) + b f ( x \ y )

2. Linealidad respecto del segndo argmento

/ ( x . c y + d y ’) =c f ( x t y ) + d f (x, y ’)

calesqiera qe sean x, x ’, y, y ’ en V ya, b, c, d, en K.

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2 90 FORMAS BILINEAI.ES Y CUADRATICAS

S i/ e s una forma bilineal sobre V, enonces se verifica que

f ( a x , y = a f ( x , y = /(x , a y

El lector pede demostrar qe el conjnto de las formas bilineales sobre V es n espacio

vectorial sobre el cerpo K, comprobando qe s i / y g son dos formas bilineales calesqieray si oc e K, en tonces/ + g y a f son formas bilineales.

Ejemplo 9-1

Considerando (Kn , +, K ,.), la fnción

/ : K " X K " ^ K

definida por

f ( x , y ) = i§ i x t y ¡

es na forma bilineal sobre Kn, ya qe verifica las condiciones 1. y 2. de la definición.

Ejemplo 9-2

Asociada a la matriz A e KnXtt, la fnción

/ : K n x r ^ K

definida por

/ (X, Y) = X( A Y (1)

es na forma bilineal en K" , donde la imagen /( X ,Y ) e K lx l se identifica con nescalar en virtd del isomorfismo entre K 1x 1 y K.En efecto:

f ( a X -f b Y, Z) = (a X + b Y)* A Z = (a X* + b Y*) A Z =

- a X* A Z + b Y* A Z = a f (X, Z) + b f (Y, Z)

Análogamente se preba la linealidad de/respecto delsegndo argmento.La expresión escalar de (1), efectando el prodc to de matrices, es

/ ( X , Y ) = X ‘ A Y = (X l X 2 . . . X n )

011 «12 . . . flih y ia 2 \ #22 • • • O-i „ y

1 #n2 • • • flfm y « ¡

( 2 Xf On 2 x ¡ a ¡2 . . . 2 * ¿0 ^ )i - i j i i = i

y iy 2

y n

n n

= y, x ¡ a u = a u X t y i i - i 1 i= l 1 y i = l ) = l

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FORMAS BILINEALKS SIMETRICAS 291

Sea V un espacio de dimensión n > 1. Consideremos una base [v] = { v ,v2 ,. . v„ de

V y la forma bilineal / : V2 K.

’Entonces/ e s t á caracterizada por los valores

a y = / ( v i , v / )

son los elementos de la matriz A e K nx n, llamada matriz de /re sp ec to de la base [v].En efecto, si x e y son dos vectores calesqiera de V, expresándolos en términos de la

base [v], es

/ ( x ^ / C . I x t v t . j i y j v j ) * % f x iy j f ( v [ , v]) =

= 2 S¿ ffx >/ = Xt AY

donde X e Y son las matrices colmnas cyos elementos son las coordenadas de x e y

respecto de la base [v].

9.2.3. Forma bilineal simétrica

Sea / : V2 -> K na forma bilineal.

Definición

La forma bilineal / es simétrica si y sólo si

/ (x , y ) = / ( y , x )

calesqiera qe sean x e y en V.

Si K = R, y ( , >es n prodc to interior en V, entonces / : V2 R definida por

/ ( x , y) = < x, y > (1) ^

es na forma bilineal simétrica.Si [v] = { V |,v2, . . vn ¡ es na base ortogonal de V, o sea

i # / ^ / ( v ,v/)= ay = 0

entonces la matriz A de la forma bilineal (1) es diagonal

ax 0 . . . 0 '

9 2.2. Matriz de na forma bilineal

A =0 a-i . . . 0

0 0 . . . &ri

y la forma se dice diagonalizada.

Reslta

/ ( x , y ) - l¡ 1 a i x ¡ y i

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292 FORMAS BIU NEALES Y CUADR ATICAS

Si [v] es oronormal reslta

/ ( x , y) = ¡£ x , y l

9.2.4. P ropiedad

T 2 T X l T ¿ reT ntaunaformaMineal siraétricasiysó,°s¡Aes. >ea/ la forma bilineal simétrica asociada a A.

/e s simétrica « / (X , Y) = / (Y ,X) =>X, A Y = YÍ A XComo

Y' A X = (Y'AX)« = X A' Y por ser Y A X n escalar y por traspesta de n prodcto, reslta

X t A Y = X A f Y V X , Y e K"O sea

X* (A - A' ) Y = 0 V X . Y e K 11En consecencia

A - A* - N

Y por lo ano

A - A ¿2. Sea A simétrica. Entonces

/ « Y ) = X ' A Y = (Xl A Y)t = Yf A ' x = Y, A X = / ( Y X)Lego / es simétrica.

Ejem plo 9-3.

Desarrollamos la forma bilineal simétrica asociada a la m a te A, siendo

/ l - l 2 A « - 1 3 1\ 2 1 - 2

Reslta

/ (X ,Y ) = Xl AY = (I l J ¡ l 3 ) ( \ ? ' \ 2 1 _ 2

.= ( * i ~ * 2 + 2x3 - * , + 3 x 2 + * 3 2x , + x 2 ~ 2 x 3 )

y i| =

73

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MATRIZ DE U NA FORM A HERMITIA NA

9.3. FORMAS HERMITIA NAS

2 93

9.3.1- Concepto

Sea V n espacio vectorial sobre el cerpo de los complejos.

Definición

La fnción / : V2 C es na forma hermitiana sobre V si y sólo s i / satisface lascondiciones de linealidad respecto del primer argmento y de simetra conjgada.

0 sea

i ) f ( a x + b x \ y) = a f (x, y) + b f ( x \ y)

¡i) / ( x , y ) =/ ( y , x)

Ejemplo 9-4

En ( C" , +, C, .) la fnción

/ : Cn X Cn -v C

definida por

X Y ) X t Y « S * 7

es na forma hermitiana definida positiva, ya qe satisface los axiomas del prodcto

interior sal en n espacio nitario (véase el ejercicio 7-46).

9.3.2. Matriz de na forma hermitiana

Sea (V, + , C , .) n espacio nita rio, es decir, n espacio vectorial sobre el cerpo C,

donde está definido n prodcto interior como en el ejercicio 7-46.

La fnción

/ : V2 -+ C

tal qe

/ ( x , y ) = < x , y )

es na forma hermitiana. Si V es de dimensión n > 1, y [v]= { Vj , V2 , . . v„ J es na

base, entonces- n n n n

/(x,y) = <x,y> = <2 'xfVi.S I x,7,<v,,v,> =l —l J T=1i““ -!-/“ i

au x ¡ yj = x t A Y

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2 94 FORMAS BILINEALES Y CUADRATICAS

Respeco de la base elegida, la forma hermiiana esá caracerizada por la mariz A,cyo elemento genérico

aü = Vf , v;-)

es tal qe

0y = <vi ,v/ >= <v/ , v l->= a;-¿

En consecencia, la matriz A verifica

A - Á f = A*

o sea, A es hermitiana.

9.4. FORMAS CUADR ATICAS

9.4.1. Concepto

Sean: (V, +, K , .) n espacio vectorial de dimensión finita y g : V2 K na forma bilineal simétrica sobre V.

Definición

Forma cadrática asociada a la forma bilineal simétrica g es la fnción

/ : V- >K

definida por

/ ( x ) = * ( x , x )

Como la forma bilineal simétrica# verifica los axiomas i), ii) y iii) del prodcto interior definido en 7 .2.1., es sal escribir

S (Xj x ) = (x, x )

Si V = K" y si A e Knxn es la matriz simétrica de la forma b ilineal# , entonces la forma

cadrática asociada está definida por

/ ( X ) = X ‘ A X = , 2

Observamos que el desarrollo de una forma cuadráica, en érminos de las variables

* i , * 2 . • • •> x n> corresponde a n polinomio homogéneo de grado 2, donde los coeficientesde los términos cadráticos son los elementos de la diagonal de la matriz simétricacorrespondiente, y cada coeficiente de n término rectanglar x t xj es el dplo del elementoa¡j de la misma.

Definición

Una forma cadrática X* A X es no degenerada si y sólo si A es no singlar.

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FORMAS CUADRATICAS 295

La matriz correspondiente a la forma cadrática

f : R3 - R

Ejemplo 9-5

definida por f ( x ) = x \ + 2 x \ + 2 x 1 - 2 x x x 2 + 4 * ! x 3

es

Como

A =

D (A) = -1 2 0 = 2 = - 6 =£ 01 1 0 1 1

reslta A no singlar, y en co nsec e nc ia/e s no degenerada.

9.4.2. Formas cadráticas y cambio de base

Sea / : V -> K na forma cadrática caracterizada por la matriz A e K" xn respecto de la

base [v].Se tiene entonces

/ (x) = X* A X

donde X es la matriz colmna cyos elementos son las coordenadas de x respecto de la base

lvl-Si en V se considera na base [v*], respecto de ésta, el vector x se representa mediante X’.

Se verifica qe

X = P X ’

donde P es la matriz de pasaje definida en 4.19.

Sstityendo en la primera igaldad/ ( x ) = (P X’) f A (P X’) - X’*P ' A P X ’

La matriz de / respecto de la neva base es

B = P ' A P

Las matrices A y B se llaman congruentes.

Definición

A e K" * Mes congrente a B e K”xn si y sólo si existe P no singlar tal qe B = Pf A P.

Sabemos qe el rango de na matriz no vara si se la mltiplica por matrices no singlares.

En consecencia, si dos matrices son congrentes tienen el m ismo rango.

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2 96FORMAS BILI NEALES Y CUADR ATICAS

Rango de na forma cadrática es el rango de calqiera de h* m trepresentan. siqiera ae las matrices qe la

En consecencia, na forma cadrática es no degenerada si v ■dimensión del espacio. Una forma cadrátir* a / SUrang0 es ^ al ala dimensión del espacio. * degenerada S1V si s rango es menor qe

Definición

Ejemplo 9-6.

La forma c ad rát ica /es tá caracterizada po r la matriz

/ JO 0 2

0 6 0

\ 2 0 7respeco de la base canónica en R3

Deerminamos la mariz de / respeco de la base

1

La matriz de pasaje es

La matriz B de la forma ca drática /respec to de la neva base es

/ 6 0 0B = P ' A P = ( 0 6 0

0 0 11

9.5. OPERADOR ES ADJUNTOS Y TRASPUESTOS

Una rasformación lineal f • V -> V sprá \u mt,An * u -operador en V. llamada ambién operador lineal o simplemente

Propiedad

n en ^

< / ( x ) , y > = < x , / * ( y ) >

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En n espacio de dimensión finita con prodcto interior, n operador f * se llamaadjnto d e /s i y sólo si

< /(x) ,y> = <x, f * (y)>calesqiera qe sean x e y en V.

Si el cerpo es R, el operador /* se llama traspesto de f y se denota

r = f

9.5.2. Matriz del operador adjnto

Si A es la matriz del operador f respecto de na base ortonormal, entonces B = Á* e s la

matriz del operador adjnto f*.En efecto, sea [v] = ( Vi , v* , . . . , v„ } na base ortonormal de V. De acuerdo con el

ejercicio 7-61, se verifica que

/(v j = </(vj ,v , >vx+ ( f ( v j ) , v 2 >v2 + . . . + </(v ;- ,v „ >vn V/ =1 , 2 , . . . , «

En consecencia, el elemento genérico de la matriz A es

ay = </(V; )Jvf>

Si B es la matriz d e /* respecto de [vj, entonces= y¡)

Se verifica qe

btj = <f* (v>), Vf) = ( vu f* (v;-) >= ( f (V i \ v j ) = á¡¡

Lego

B = A * ^ Af

Observamos que si f y g son dos operadores sobre V y a e C, enonces

( f + g)* = f * + g * (ot f )* = áf *

(/*)*= f ( f ° g)* = g* ° f*

Los operadores f y f * se llaman adjntos entre s.

Ejemplo 9-7

Deerminamos el operador adjuno de

/ : C2 C2

al que

/ ( z , u = (z + 2i'u, (1 +í)z + u

Definición

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OPERADORES 299

La matriz de / respecto de la base canónica, qe es ortonormal, es

1 2iA =

1 + i 1

por consigiente, la matriz de f * es

'-2 / 1 /

Reslta

/* (z, ) = (z + (1 — i) , — 2iz + )

9.6. OPERADOR ES HERMITIA NOS Y SIMETRICOS

9.6.1. Concepo

Sea/un operador lineal sobre V, de dimensión finia, con produco inerior, y sea f * el

operador adjuno.

En el caso complejo, V es n espacio nitario, y en el caso real, V es eclidiano.

Definición

Un operador / sobre n espacio nitario se llama hermitiano si y sólo si es igal a s

adjnto.

/e s hermitiano o </ (x), y ) = <x , / ( y ) >

La matriz asociada a n operador hermitiano respecto de na base ortonormal es

hermitiana.

Definición

El operador / sobre n espacio eclidiano se llama simétrico si y sólo si es igal a s

traspesto.

La matriz asociada a n operador simétrico respecto de na base ortonormal es simétrica.Los operadores simétricos y herm itianos selen llamarse también atoadjntos.

9.6.2. Propiedad

Un op era do r/es hermitiano si y sólo si <x ,/ ( x ) >e R, V x e V.

1. Sea / n operador hermitiano. Entonces

<x ,/ (x )> = </ (x ) ,x> = <x ,/ (x )>

Lego<x , / (x ) >e R

2. Sea/ tal qe V x e V : <x, /(x )> e R

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300 FORMAS BILI NEALES Y CUADR ATICAS

Se tiene

< / ( x ) , x > = < x , / ( x ) ) - < / * ( x ) , x > = >

=>< / ( x ) -/ * (x ) , x > =0 =>=* <</-/* ) (x) , x >=O . V x e V ^

—f* ~ e , donde e denoa el operador nulo.

Lego

f = f *O sea, / es hermiiano

9.6.3. Propiedad

Los valores propios de todo operador hermitiano son reales.

Sea Xn valor propio asociado al vector propio x. Se tiene:

X<x , x >= <\ x ,x> = </ (x ), x> = <x ,/ (x )> =

^ ( x , Xx) = \ < x , x >

Cancelando { x , x > 0 reslta X= XO sea

X eR

Una consecuencia inmediaa es la siguiene: los valores propios de oda mariz hermiiana

son reales. En particlar, los valores propios de toda matriz simétrica y real por ser hermitiana, son reales. ’

9.7. OPERADOR ES U NITARIOS Y OR TOGONALES

9.7.1. Concepto

Sean (V, + , C ,.) n espacio nitario de dimensión finita, y / n operador sobre V.

Definición

El operador / : V V es nitario si y sólo si preserva el prodcto interior

/ es nitarioo <x , y >= < /(x ) , / ( y ) >

Sean (V, + , R , .) n espacio eclidiano de dimensión finita, y / n operador sobre V.

Definición

El o p e ra d o r/: V V es ortogonal si y sólo si preserva el prodcto interior.

En este caso, en qe K = R, el operador se llama también real nitario.

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Ejemplo 9 'T

El operador / : R2 ->• R2 definido po r

f ( x , y)

(x eos 8

- y

sen 8, x

sen 8 + y

eos 8)

es ortogonal, considerando ei prodcto in terior sal.En efecto, el prodcto interior entre (xx, y x) y ( x 2, y 2) es

( (xx, y x) , {x2, y 2) ) ^ x i x2 +y x y 2

y el prodcto interio r entre ss imágenes es

( f ( xu y i) , f ( x 2t y 2) ) ^

{X eos 0 - yx sen 8, x x sen 8 + y x eos 8),(x2 eos 8 - y 2 sen 8, x 2 sen0 +y 2 eos 0))

- X i x 2 eos2 8 + y x y 2 sen2 8 - x xy 2 sen 8 eos 8 - x 2 y i sen 9 eos 8 +

+ Xi x 2 sen2 8 + y í y 2 eos2 8 + x x y 2 sen 8 eos 8 + x 2 y t sen 6 eos 8 =

= Xi X 2 + y 1 y 2 =<(xl , y l )i(x2, y 2))

f representa na rotación del plano de ánglo 8, con centro en el origen,

9.7.2 . P o p ied a d

Si V es n espacio vectorial real con prod cto interior y / es n operador, ento nc es/esortogonal si y sólo si preserva las longitdes de los vectores.

1. Spongamos qe / e s ortogonal. Entonces

/es o rto g o na l =><x, x> = </ ( x ) , / ( x ) > =* IIxII2= l l / ( x ) l l 2 =>

=>11x11= II / (x) II

2. S e a / n operado r qe conserva las longitdes de losvectores.Entonces es

</(xy),/(xy)>-</(x-y),/(x-y)> = <x+y,x+y> —<x- y,x -y)Desarrollando ambos miembros resula

< / ( x , / ( y > = < x, y>

Lego/es ortogonal.

Una consecencia inmediata es la sigiente: los operadores ortogonales trasformanvectores nitarios en vectores nitarios.

9.7.3. Propiedad

Los operadores ortogonales conservan la ortogonalidad.

En efecto, se a /: V V n operador ortogonal, y sea x ortogonal a y.

OPERADORES 3Q1

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Resula

< /( x >/ ( y > = <x , y >= 0

Lego / (x) es ortogonal a / (y).Observamos que no oda rasformaeión lineal que preserve la orogonalidad e-

operador orogonal. En e fecto, si

/ : V ->V

es tal qe/( . * ) - 3a:, en tonces/co nse rva la ortogonalidad, pero no es n operador ortogt

9.7.4. Propiedad

Sea V n espacio eclidiano de dimensión finita. Un operador lineal / : V -M

ortogonal si y sólo si/* ° / = iv .En efecto:

/ es ortogonal <x , y >= < / ( x ) ,/(y)> «■

* < x , y > = < x , (/*<>/) (y) ) o

f* denota el operador adjnto de / , qe en el caso real es s traspesto.Lego

/ es ortogonal /v

En términos de matrices se verifica qe n operador es ortogonal si y sólo si la m;asociada respecto de na base ortonorm al es ortogonal.

Sea A tal matriz. Entonces

/ es ortogonal «>Af A = I

Observamos que odo operador orogonal es inversible, y se verifica que

r = f

O sea

A”1 = A*

9.7.5. Propiedad

Sea V n espacio nitario, y s e a / n operador sobre V.

Como en el caso real, se verifica qe n operador es nitario si y sólo si preservalongitdes de los vectores.

Se demestra análogamente q e /e s nitario si y sólo si/* ° / = iv .Además, si A e Clxn es la matriz de / respecto de na base ortonormal,e nto nc es /es

operador nitario si y sólo si A* = A" 1.

Una matriz compleja qe satisface la condición anterior se llama nitaria.

302 FORMAS BILI NEALES Y CUADR ATICAS

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Definición

A e Cf,Xfl es nitar ia A* A = I A* = A" 1.

Toda matriz n itaria de elementos reales es ortogonal.

Observamos que los operadores y las marices uniarias son una generalización de losoperadores y marices orogonales de los espacios euclidianos.

9.7.6. Propiedad

Los valores propios de todo operador n itario tienen módlo 1.

En efecto, sea X n valor propio del operador nitario f , y sea x n vector propio asociadoa X. Entonces

< x , x > ~ < / ( x ) , / ( x ) > = <Á x , \ x> =

= \ \ ( x ,x>

Como <x , x ># 0 reslta

\ Á = 1

O sea

IX P = 1

Lego

I Xl= 1

9.8. TEOR EMA DE SYLVESTER

9,8.1. Ampliación del concepto de base ortogonal

Sea V n espacio vectorial de dimensión finita sobre n cerpo K, y sea na forma bilineal simétrica qe denotamos con <, > sobre V. Se dem estra qe si dim V > 1. entoncesexiste na base ortogonal respecto de <, >(ejercicio 9*41).

Ejemplo 9-8

En R2 definimos (,) mediante

<x ,y> = Xi x 2 - y i y 2

donde x - (x j, x 2) e y = (y¡ , y 2).

Esta forma no es definida positiva, pes, por ejemplo

x = (1, 1)=> <x , x >= 0

x = ( , 3) => <x , x ) = —8Los vectores = (1, 3) y v2 = (3, 1) forman na base ortogonal respecto de la formadada.

TEOREMA DE SYLVESTER 3Q3

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La base formada por x = ( l , 2) e y = (1 ,3 ) no es ortogonal. Para ortogonalizarla, procedemos as:

Seav! = x = (1, 2) y sea

ViV2 = y - <Vi , y > — — -<Vi , Vi >

Es decir

Entonces ( Vj , v2 } es na base ortogonal de V respecto de la forma dada.

9.8.2. Generalización del concepto de base ortonormal

Sea V n espacio de dimensión finita sobre el cerpo de los números reales, y sea <, >naforma bilineal simétrica sobre V. De acuerdo con 9 . 8 . 1 siempre es posibleobener una base

orogonal. La forma no es necesariamente definida positiva, ya qe peden existir vectoresx e V tales qe ( x , x >= 0 ó ( x , x ) { 0 .

Diremos que una base es oronormal respeco de la forma <, si y sólo si

<Vi , v = 1 ó { V,- , V/ = ” 1 ó <v¿ , v >= 0

donde v¿ e [v] = { v , ,va , . . v„| .

A partir de na base ortogonal [v’J = {v’i , v ’2}. . v*n \ es fácil constrir na baseortonormal asociada.

En efecto, denotando <v’Í5 v’¿ > mediantea¡, se obtiene na base ortonormal haciendo

v¿ = v’,- sia¡ = 0

304 FORMAS BILINEALES Y CUADRATICAS

- v i si a¡ > 0V»

si a¡ < 0■ v = ^

La base [v] reslta ortonormal.Sea [v] na base ortogonal ordenada de modo qe

ax, a2, . . . , ap > 0

Si / es la forma cadrática asociada a la forma bilineal simétrica <,), entonces, respecto deesta base ortogonal, es

/ ( X ) = « i x \ + . . . + a p x l + i x } + í + . . . +arx]. 2

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En este desarrollo figran p términos positivos, r - p negativos, y n - r variables se haneliminado.

Si la base se ortonormaliza, entonces se tiene

Los números p y r son independientes de la base ortogonal elegida. El entero p se llamandice de positividad de la forma. Indice de n lidad de laforma es el entero n - r . Signatrade la forma cadrática es s = p - (r - p ) = 2 p - r.

Ejemplo 9-9

Sea la forma bilineal simétrica sobre R2 definida p or la matriz

TEOREMA DE SYLVESTER 3Q5

Los vectores v, - (1, 0 ) y v2 - (1, 1) constityen na base ortonorm al y se verifica qe

<v: , Vi >= - 2 < y2 , v2 >= 0

9.8.3. Propiedad

Sea <,) na forma bilineal simétrica en el espacio Y de dimensión finita,sobre el cerpo

R, y sea el sbespacioS0 = | x e V / ( x , y > = 0 , V y e V |

Si [v] = { v j , v2 , . . v „ },es na base ortogonal, entonces la dimensión de S0 es igal alnúmero de enteros i, tales qe = 0.

Demosración

Sea [v] ordenada de modo que

ai&O si / = 1 ,2........ /*

a¡ = 0 si i > r Por ser [v] orogonal, se verifica que

i > r = * ( v , - ,y> = 0 , V y e V

En consecencia

^r+1, Vr-f2 >•'<<>V„

son elementos de S 0.

Sea n e lemento calqiera x e S0 , y escribamos

x = x 1 y l + . . . + x r vr + . . . + x n y nEntonces

/ < r => 0 = <x , ) = Xj <v j , ) = xj a¡

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Como a ¡ ^ 0, resula x¡ = O s i / < r

Lego

x = xr+1 vr+1 + ... + x n vn

O sea

f ^ r+ 1»• • • Vfl

es una base de S0. Es decir, dim S0 = n - r.

9.8.4. Teorema de Sylvester

Sea (V , + , R , .) n espacio tal qe dim V = n > 1, y sea < ,) na forma bilineal simétri.

sobre V. Si [v] es na base ortogonal calqiera de V, entonces existen exactamenteenteros positivos ta les qe < , v¡ >> 0.

Demosración

Sean [v] y [w] dos bases orogonales de V ordenadasde modo que si <v¿ ,v , >= a.

( w,-, w¿ ~ b¡, enonces 1

a¡ > 0 si z = 1, 2, „ . . , p b f > 0 si i = 1 , 2 , . . . ,p '

a¡ < 0 ú i ^ p + l , . . . , r b¡ < 0 sí r = p ’ + 1 , . . r ’

a¡ = 0 sií = r + 1,. . b - 0 s i i = r ’+ 1 , . . n

Demosraremos que p = p \ Para ello observamos que los vecores

Vi j v2 , . . Vp, wp . + 1, . . w„

son linealmene independienes, pues considerando la relación lineal

(5 1 * ' v' + ,= £ + 1J’' w' = 0

3 0 6 FORMAS BILINEALES Y CUADRATICAS

se iene

y efecuando

se deduce

* » n

, ' i x¡y¡ = - ,= ? .+

= < J . +1„ W; , J , + 1y, W, >

a, * ? + . . . + ap Xp = bP’+1 y j ,'+1 + . . . + bry l

El primer miembro es mayor o igal qe cero, y el segndo miembro es menor o igal qtcero, o sea, ambos son nlos. Entonces es

= * 2 = • • • = x p = Q

y r ' + i = . . . = y n = 0

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DIA G ONALIZACION307

Como dim V = n, de lo anerio r se deduce que

p +( n - p r) < n

osea p < p ’

Análogamente se preba qe p ’ < p, y en consecencia re slta p ~ p \

Lo expesto en 9.8.2., 9.8.3. y 9.8.4. nos permite afirmar qe si/es la forma cadráticaasociada a na forma bilineal sobre ( V , + , R , .) y di mV = w > i , entonces / estárepresentada por na matriz diagonal respecto de calqier base ortogonal. Todarepresentación de este tipo admite exactamente p términos positivos y r - p términosnegativos.

9.9. DIAGONALIZACION DE OPERADOR ES SIMETRICOS

Sea (V, + , R , . un espacio euclidiano de dimensión finia.

9.9.1. Propiedad

Sea / : V -> V un operador simétrico y x n vector propio de / . Si x es ortogonal a y,entonces x es ortogonal a/( y ) .

En efecto<x , / (y )> = </ (x ) , y> = < \ x ,y >=X<x , y >= 0

O sea

x l / ( y

9.9.2. Propiedad

Sea / : V-*■V un operador simétrico y dim V = n > 1. Entonces existe na base ortogonalde vectores propios de /.

Demosración

1. Si dim V = 1, enonces la propiedad se cumple obviamene.

2. Supongamos que d i m V > l , y sea v un vecor propio de /. Consideremos el

subespacio

Se verifica que

dim S = dim V - 1 = n — 1Por 9.9.1., / es un operador simétrico sobre S, donde el prodcto interior es el indcido

por el prodcto definido en V.

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DIA G ONALIZACION 309

Comox\ + x j = 1, se iene

Lego

Entonces

x \ + 2 x \ = 1

v f _ \ /6" X ì = ±—— y x - y = + -----3 3

X ,

V i

3

b) Aa = 3. Con el mismo procedimiento se obtienev r -

3

V T

3

X ,

3. Reslta

P =

V 3 V 6 _

~ 3 3~

y /6 y/3

3 ~

tal qe

P" 1 A P = P* A P =0 0

0 3

Ejemplo 9-11Efectamos na trasformación de coordenadas qe diagonalice la forma cadrática /,definida por

f ( x l , x 2) = 3 x j + 10JCj x 2 + 3 x \

La matriz de esta forma cadrática es

- C 5\ S 3

Ss valores propios son:

Xj = 8 y \ = - 2

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MA TR IZ DEF INIDA P OSITIVA 311

d nde D es la mariz diagonal formada por los n valores propios de A, o sea

D = d i a g ■; K )

Consideremos la mariz diagonal

Dj = diag , s/K¡ , . . >Añ)

Se verifica qe

Di = D (2

T e n i en d o e n c e n t a (1) y (2) es

a = P D P 1 = P D P Í = P D Í P* = P D, d [ p ^ c p d o c p d , *

Haciendo

Q = (P Di )

resula

A = Q Q (

donde Q es no singlar por ser prodc to de dos matri ces no singlares.

2. Sea A simétrica y real. Spongamos qe existe Q no s inglar tal qe A

Por 9.9.3., existe P ortogonal ta l qe

P( A P = D = diag (Xi , \ K )

Entonces

P t Q Q , P = D

O sea

(Pf Q (P( Q Í = D

Llamando Xf a la i-sima fila de P( Q , y por lo tanto a la i-sima colmna de (P( Q )' , se

tiene, considerando el prodc to interior habital en Rn

Xi Xf = X. >o

Si fera \ = 0, resltara X, = 0, y en consecencia P{ Q sera singlar, lo qe es absrdo.

Lego

\ > 0 V/=1 , 2 , . .

Por lo tanto, A es definida positiva

9.11. DESCOMPOSICION ESPECTRAL DE UNA MATRIZ

Teorema, Si A e R nx" es na matriz diagonalizable, y \ , X 1, ■■ son los valores

propios distintos de A con mltiplicidades m f m2, -. m s, entonces A pede expresarse enla forma

(3 )

- Q Q * .

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A = 2 \ A t i=l 1 '

de modo tal qe se verifica

1.Áf = A¡ V/ = 1,2........ s

2 . i ^ j =>A¡ A¡ = N

3 . ¿ A¡ = Ii=i '

4. A A ¡= A,- A V = 1, 2 , . . s

Demosración

Por ser A diagonalizable existe P no singlar tal qe

P A P = D (1

donde D es la mariz diagonal formada con los n valores propios de A, qe sponemos *

ordenados según las mltiplicidades.O sea

D

donde los elemenos no diagonales, que no figuran, son nulos.

Denoando con ¿ la mariz idenidad del ipo w¿xw,-, la forma bloque-diagonal de D es

D ^2

Considerando las marices

N,

para / = 1 , 2 , . .

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DESCOMPOSICION ESPECTRAL

Se verifica, por ser matrices diagonales,

a) E = Ef

b) i ± j => Ef E; = N

Además

c) 2 E,- = I, donde I es la identidad n x n i=i

D = íS \ E , (2)

De (1 resula

A = P D P" 1

Considerando esa relación y (2, se iene

A = p ( . f i Xi E 1) P" 1

O sea

Haciendo

resula

A = 2 \ P E P¿=i

A¿ = P E, P"

A = 2 Aii -1 n

-i

Se verifican las sigientes proposiciones

1. A \ = P Ef P' 1 P Ej = P E P" 1= P E¡ P" 1= A¡

2. Af A¡ = P E( P '1 P E¡ P 1 = P E¡ Ey F 1 -

= P N P '1 = N

3 " ! _ D T D _ 1 ~3. 2 A,-= 2 P Ef P”1 = P ( 2 E,) P" 1= P I P _1 =1=i =i ¿-i

4. A A¿ = A P E, P 1 = P D E( P" J = P ( . 2 A, E¡) E, F 1 = P ( . 2 ^ E, E¿) F 1 -

^ ? ( \ E ¡) F 1 = \ ? E Í P-1 ^ \ A ¡ (3)

Aj A = P E¡ P" 1 A = P E i D P 1 = P E f ( . 2 A, E,) F 1 = P \ Ef F 1 =

- A f P E i P - ^ X f A i ( 4 )

De (3 y (4 resula

A A¡= At- A V< = 1 ,2 , . . n

313

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3 14 FORMAS BIUNEALES Y CUADRATICAS

9.12. CONGRUENCIA DE FORMAS CUADRATICAS

9.12.1. Concepo

Sean f y g dos formas cuadráicas reales caracerizádas por las marices simétricas Avfi pertenecientes a R"x".

O sea

/ (X = X*A X

g ( Y ) - Y f B Y

Definición

Las formas cadráticas / y g son congrentes si y sólo si existe P no singlar, tal qe

B ~ P* AP

Las formas cadráticas / y g son ortogonalmente congrentes si y sólo si existe P ortogonal, tal qe

B = Pf A P = F 1 A P

Las matrices A y B se llaman, respectivamente, congrentes y ortogonalmente tcongrentes.

9.12.2. Propiedad j

Dos formas ' cuadráicas reales / y g, de marices A y B respectivamente, son !ortogonalmente congrentes si y sólo si A y B admiten los mismos valores propios con lasmismas mltiplicidades.

Demosración

1. Sean f y g orogonalmene congruenes. Entonces existe P ortogonal, tal qe

B = P* A P ~ P" 1 A P

En consecencia, A y B son semejantes y admiten el mismo polinomio caracterstico.

2. Sean A y B con la misma forma diagonal. O sea, exisen Q y R orogonales ales que

Q -J A Q = R’ 1 B R = D (1

donde D es la mariz diagonal formada po r los valores propios.

De (1 resula

A = Q R “ 1 B R Q " 1

Lego

A ~ (Q R() B (Q R f)f

La matriz P = Q R Í es ortogonal, ya qe Q y R son ortogonales. Preml tiplicando por P - P , y posmltiplicando por P, reslta

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FORMA CANONICA 317

Ejemplo 9-12.

Reducimos a la forma canónica la forma cuadráica / : R2 R definida por

f ( x i , x 2) = x'¡ - Txí x 2 + x l

1 La matriz de la forma cadrática es

A =1 -1

1 1

El polinomio caracterstico es

D (X l — A) =X - 1 1

1 X - 1

= X2 - 2 X

Los valores propios son, entoncesXi ~ 2 y X¿ = 0

2. Como el núm ero de valores propios positivos es 1, la forma canónica congrente es

g, definida por

g ( y i , y 2 ) = y í

Efectamos el procedimiento indicado en el teorema anterior para obtenerla.

Calclando los vectores propios asociados a \ y X2 se obtiene

X, = ( 1 ) y X2 =- 1

La matriz ortogonal correspondiente es

Se verifica qe

Q ' A Q

1 1

1 1

2 0

0 0

La forma cadrática ortogonalmente congrente a / esh, tal qe

h ( z 1 , z 2 ) - 2 z'¡

Sea

P =

1 0^ 0

v x r 2

0 1 0 1

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Entonces, haciendo X = Q P Y, se tiene

( Y ) = Y f (Q P)Í A ( Q P ) Y =

= Y* P* Q* A Q P Y = Y ' Pé D P Y =

- Y* B Y

donde

318 FORMAS BILINEALES Y CUADRATICAS

B = P* D P =

O sea

^ 0 2 0 02 2

0 1 0 0 0 I

y/2 0

0 0

^0

1 02

0 1 o o

g ( y i , y i ) = y 2i

9.13. SIGNO DE UNA FORMA CUADRATICA

Sea / una forma cuadráica real definida po r

/ ( X = X r A X

donde A es na m atriz simétrica real del tipo nx n.

9.13.1. Definiciones

1 ./ e s definida posiiva si y sólo si

X* A X > 0 V X ^ O2 . / es semidefínida posiiva si y sólo si

X ' a X > 0 a 3 X ^ O / X ' A X = O

3. f e s definida negaiva si y sólo si la forma cuadráica g definida p

g (X - X* (- A ) X

es definida positiva.

4. / es semidefnida negativa si y sólo si g tal qe

■^ ( X ) = X Í ( - A ) X

es semidefnida positiva.

or

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FORMA DEFINIDA POSITIVA 319

Ejemplo 9-13.

| Deerminamos el signo de la forma cuadráica / : R2-+ R definida por

/ ( X = 3 *1 - 2 x ¡ x 2 + 2 x \

Se verifica que

/ ( X = 2 x \ + x l - 2 x i x 2 + x 2 + x 2

! 0 sea

| A X ) = 2 x \ + ( x i ~ x 2f + x \

! Como/(X) > 0 , V X 0 , res l ta/def in ida positiva.

9,13.2. Propiedad

La forma cadrática real / , tal qe / (X) = X* A X, es definida positiva si y sólo si los

valores propios de A son positivos.

i En efecto, sabemos qe toda forma cadrática real es ortogonalm ente congrente a na

forma cadrática g tal qe

£ 0 0 = J i

siendo Xj , X2 , . .. ,X„ los valores propios de A. Como ejercicio del trabajo práctico se propone la demostración de qe el signo de na forma cadrática no vara frente a

trasformaciones de coordenadas. Esto significa qe el signo de / es igal al deg. Lego

/ es definida positiva<*g es definida positiva o \ ( > 0, Vi

Diremos, enonces, que una forma cuadráica es definida posiiva si y sólo si la

correspondiene mariz es defin ida posiiva.

Análogamente se demestra qe: / es defin ida negativa si y sólo si ss valores propios son

negativos; / es semidefinida positiva si y sólo si ss valores propios son mayores o igales qe

0 y algno de ellos es 0; / es semidefinida negativa si y sólo si ss valores propios sonmenores o igales qe cero, pero algno de ellos es 0. Si existen valores propios positivos y

negativos, diremos qe la forma cadrática es indefinida.

El lector podrá demostrar como ejercicio del trabajo práctico qe na forma cadrática

real /, definida por / ( X ) = X* A X, es defin ida positiva si y sólo si los menores principales de

la matriz A son positivos.

Ejemplo 9-14

Analizamos, tilizando el criterio de los menores principales, si la forma cadrática/,definida por

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/ ( * u x 2>x z ) = 2 x \ + x \ + 3 * i + 2 X l x 2 - 2 x 2 x 3

es definida posiiva.

La matriz de la forma cadrática dada es

/ 2 l 0A = f 11 - 1

\ 0 - 1 3

Ss menores principales son

an = 2 > 0

32 0 FORMAS BILÍNEALES Y CUADRATICAS

a n a l2 2 1

a21 a 22 1 1

D ( A)= 1 > 0

Lego, / es definida positiva.

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921. Sean g una forma bilineal simétrica sobre V v f 1 r Demosrar que V, y / ia forma cuadráca

i y ( x , y = - i ( / ( x + y _ / ( x _ y j

> f ( x , y = - ± - ( / ( x + y - / ( x _ / ( y j

9-22. Deerminar la mariz de la forma cuadráica sobre R3 definida por

/ ( * i . x 2 , x 3) = x j ~ 4 Xl x 2 + 2 x%

^ (x >y = / ( x + y - / (x- f (y)

Suponiendo que g es bilineal, y que f i a x \ = a2 f ( n \ ^ v w

r r forma';uadráticayií“ r i ^ i i > r lac L ; : i ? ostrarque

sean [y] y {J¡ ^ Pro^ o inerior y

/(V í) - w„ e no nc es/e s orogonal. ^ ^ operador que Venfíca

W que " • COn * > * * * • Amostra,{/(.%)} es na base ortonorm al de V. /e S UnOperador Mo8onaI en V, enonces

« * . Sea P una m ariz orogonal diagonal. Demosrar que ,os Cemenos de ,a diagona, son ,

9m27. Sean las marices

/ eos6 - sen Q \ / j e

' Q = í\ sen 0 eos 0 ) \ 0 e wDem osrar que exise una mariz uniaria U al que Q = I T1 P .

9-28. Demosrar que oda mariz simétrica y real admite n vector propio.

9-29. Obener, en cada caso, una base orogonal de R 2 fn rm ^o „ i

las siguienes marices: P° f vecores propios de

0 / 3 0 \ ü

A = A\ 0 3 /

9-30. Com probar qe la matriz

322 FORMAS BILINEALES y CUADRATICAS

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3 2 4 FORMAS BILINEALES Y CUADRATICAS

ySi (Z=X! z \ + X 2 z \ + . . . + \ z n

9-41. Sean (V, + , K, . un espacio vecorial de dimensión finia, y < , una forma bilineal

simétrica’ sobre V. Una base [v] es ortogonal respecto de <,> si y sólo si

i=£/ =*•<¥ * ,v; >= 0.Dem osrar que si V {0 } , enonces V admie una base orogonal.

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. . J p e s p u n o fronera y am bién de acmlación de CSi consideramos

3 2 8 CONVEX IDAD. PROGR AMACION LI NEAL

a e C es pnto frontera de C, pero no es de acmlación de C.

contiene infinitos pntos de redUClda' “ " ‘rada en n pnto de acmlación de C,

10.2.5. Conjnto abierto

Sea C C R"

Definición

c es abierto si y sólo si todos ss pntos son interiores.

c es abierto " ^ V a e C , 3 r > o / S ( a , / ' ) n c= S( a r)

- f . " “ K z t í r s r •“ « - > - . .

qs i , ■ ,1 M a n S ' de la ; ' K l " :

10.2.6. Conjnto cerrado

Consideremos C C Rn.

Definición

c es cerrado si y sólo si todo p nto de acmlación de C pertenece a C

„ ■ r ° r pun, os de— derivado de C. Diremos enonces que P ° S e acumulaeión de C, se llama

C es cerrado ^ C ’ CCLa sigiente figra

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R ECTA Y S EG MENTO EN R" 331

Por disribuividad respeco de la suma en Rn y en R, se iene

X = í P 2 + ( l - O ^ i c o n í e R

La recta determinada por Pj y P2 es el conjnto

P, P2 = { X e R" / X = r P2 + (1 - ) P , )

El segmento Pi P2 se obtiene haciendo variar el parámetro t entre 0 y 1, o sea

X e P , P2 <*X = P2 +( 1 - t )?1 a 0 < < l

como

si. k. x j * 2 1 V* ‘

Observamos que cualquier puno del segmeno deerminado por Pj y P2 puede expresarse

combinación lineal de éstos, con escalares no negativos y cya sma es 1.

Ejemplo 10-1

La ecación vectorial paramétrica de la recta determinada por Pj(3,0) y P2(0, 4) es

( x 1 , x 2 ) - ( 3 , 0 ) + f ( - 3 , 4 )

El sistema de ecaciones cartesianas paramétricas es

I X i = 3 - 3 í

| x 2 = 4 t

Eliminando el parámetro reslta la ecación cartesiana

O sea

* i = 3 —3— 4

4 x i + 3 x 2 = 12 (1

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La representación es

CON VEX IDAD. PROGR AMACION LI NEAL

El vector c = 41 + 3 jes normal a #■. En notación matricial, la ecación ( 1) se escribe

C t X = l 2

La distancia entre 0 y r es

La igaldad

( 0 , r ) = l pc p 1 1 = | =I ICI I 5

c ' x « *

dirección d e ' “ ! rt o „ c “ ^ V o r t r y t drectaPara' elamen,e3 ^

misma en la

Ejemplo 10-2

dEI ~ ° dete™ ¡nado por P, y P2, con las por coordenadas del ejemplo anterior, está

Pl , „ (0 . 4) + ( l _ r) (3, 0) con 0 < r < 1

( 2 .2) ( ° . 4 f ) + ( 3 - 3 / , 0 ) = ( 3 _ 3 / , 4 )de donde reslta t = —

2 '

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r10.32. Hiperplanos en R r

pefiniciótt

Un hiperplano en R” es un conjuno de punos de R ” ales que

C* X = k

donde C denoa un vecor columna de n componenes y k es un número real.

HIP ER P L A NOS 333

El vector C es ortogonal a 7r. En efec to, sean Pj y P2 pertenecientes a ir. Entonces es

C( P , ^ a C( P 2 =A

Lego

Ct (P2 - P , ) = 0

O sea, el produco inerior enre C y cualquier vecor de ttes cero.

Lego

CJ.7T

La ecación de n hiperplano qe pase por el origen es

C( X = 0

La ecación normal vectorial se ob tiene dividiendo por IIC li y considerando k en valor absolto, o sea

C*

CUx =

l i t i

Esta igaldad pede escribirse

Nf X = p

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3 3 4 CONVEXIDAD. PROGRAMACION LINEAL

donde N es un vecor uniario normal al plano. El número — es, en valor absoltoII CII ’

distancia del origen al plano.

Los hiperplanos de ecaciones C{ X = k , y C$X = k 2 son paralelos si y sólo si C, = a C

En R2 n hiperplano es na recta. En R 3 es n plano.

La ecación cartesiana del hiperplano cya ecación vectorial es

C*X = k,se escribe

n2 C i X i = k

1=1 ‘ '

Consideremos el caso de n hiperp lano cyas intersecciones con los ejes sean positivas Isigiente figra ilstra la sitación en R2 ' ‘

La ecación es

C*X = k

donde k > 0. Mostraremos qe si el hiperplano se traslada paralelamente a s mismo en ladirección del vector normal, entonces el término independiente de la ecación crece Enetecto, el hiperplano qe pasa por X ! , de vector normal C, está definido por

Cf X -fc i

Si consideramos el hiperplano con el mismo vector normal, qe pasa por

X2 = Xj + a C, con a > 0,se tiene

C*X = k 2

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S EMIES P A CIOS335

Como

resula

Ct X 2 ^ C t ( X l + C = Cí X1 + a C t C = k l + o: Il CIP

&2 ^ k x

Todos los pntos del hiperplano de ecación Ct X = k 2 verifican C* X > k

Se propone como ejercicio del trabajo práctico la demostración de la sigiente propiedad*todo hiperplano es n conjnto cerrado.

10.3.3»Semiespacios

Un hiperplano 7Tde ecación

C ( X = A

determina na partición de R" en tres conjntos: el hiperplano 7r y dos semiespaciosabiertos de borde 7T.

Ilstramos esta sitación en R2.

Definición

Semiespacios abiertos de borde ttson los conjntos

S, = ( X e R n / C X < / c

S 2 = ( X e R n / C f X > i f c

Definición

Semiespacios cerrados de borde 7r son los conjntos

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CONVEXIDAD EN RM 337

Definición

Combinación convexa de los punos P , P2 , . . Pm es odo vecor del ipo

cioj .2 di Pf i=i

donde

2 oc¡ = 1 y a.- > 0, V/ = 1 ,2 , . . . , m. í=i

propiedad

El conjnto de las combinaciones convexas de los pntos P j , P2 , . . . , Pm, es convexo.

Hipótesis) j P i , P 2 ........ P » | C R "i m m >de Tesis) C = { .2 c¡f Pf / 2^~ 1a > 0 J es convexo

Demosración

Se raa de probar que oda combinación convexa de dos punos cualesquiera de C,

perenece a C. Sean P’ y P” perenecien es a C.Ahora bien

donde12‘ ón

P’ e C a P” e C =►P’ = 2 a) P¿ a P” = 2 a ”, P,=i f=i ' 1

0 < aj-, 0 < y 2 a|- = .2 a ’) = 1las V ' *-1 ‘ f=i

Comoni m

t P” + (1 - 0 P’ = t .2 a} Pf + ( i - 0 2 a ’;. Pf =

m= 2 ( a; + ( l - O « /’ Pf

M 1-1

resula t P” + (1 -- i) P’ una combinación convexa de losm punos dados, pues

0 < á¡ => 0 < t

0 < a ; - ’ = > 0< ( 1 - i « ”

Lego

t0 + - 0 « ”

Ademásm m m

2 t a¿ + (1 - i) a ” = t 2 a- + (1- t) 2 a ” = 1i=l ' 1 1=1 ' v 1=1 1

El conjnto C, representado enla figra sigiente, es el conjnto de las combinaciones

convexas de los pntos P*, P2, P3 y P4 pertenecientes a R 2

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CONVEXIDAD EN Rrt 339

1;

un

recio

a(

Debemos probar que

C C A y A es convexo =►S C A

Razonamos indctivamente sobre m.

1 Si tn = 1, Ia proposición se verifica obviamente, ya qe S = C.2 Sponemos la validez pa ra m -1 . Se tiene

m m

P e S =*• P = 2 a* Pf a 0 < a 2 a ¡ = 1¿=i 1 ‘ ' «=i 1

Sea entonces

• p = ( i - o ( — — p, + — ^ P 2 + . . . + - ^ i - P m n ) +<*m P„,\ 1 - am 1 - am 1 - am J

fti dm _ic| vector ------

— Pi + . . . + — ^ ^ P m - i es na combinación convexa de1 - Otm * - “ m

P P2, . • Pm -i >y Por hipótesis indctiva pertenece a A. Como éste es convexo, P, qees na combinación convexa de dos pntos de A, pertenece a A.

En consecencia

S C A

O sea, C = S.

Definición

Poliedro convexo generado por un número finio de punos es el casco convexo que

ellos deerminan.

El triánglo representado en 10.4.3. es el poliedro convexo generado por P j , P2, P3 y P4.

10.5. CONVEXIDAD Y TRASFORMACIONES LI NEALES

10,5.1. Imagen de n conjnto convexo

La imagen de n conjnto convexo, por toda trasformación lineal / : R" -+Rm , es nconjnto convexo.

Hipótesis) / : Rn -»Rm es trasformación lineal

C C R" es convexo

Tesis) /( C ) es convexo en Rm

Demosración Sean Q ’ y Q ” perenecienes a f (C. Por definición de imagen, exisen P’ y

P” en C, ales que

/ ( P ’ = Q* y / ( P ” = Q ”Como C es convexo, se verifica que

í P ” + ( l - r P’ e C

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Lego

O sea

3 40CONVEXIDAD. PROGR AMACION LI NEAL

/ ( n + ( l ~ 0 / ( P ’) e / ( C )

' Q ” + ( l - ) Q ’e /( C )En con sece ncia,/(C) es convexo.

10.5.2. Preimagen de n conjnto convexo

c o ¿ m ó eZ I x o de Un C° njUnt0 C° nVeX0’ P° r *°da ' d a c i ó nü n e a l /: R »^ * «

Hipótesis) f : R n ->Rm es trasformación lineal

C C Rm es convexoTesis) / 1 (C) es convexo en R" .

Demosración Consideremos dos punos cualesquiera P’ v P” i

definición de preimagen, de r a s l a c i ó n lineal yT e convexMad, L t ™ “ * C

P’e f 1 (C) a P” e n (C) ^ / ( P ’) e C a / ( P ”) e C

=>tf{ P ”) + ( i _ ,) /( > ) e c = > /( p „ + (1 _ r) F ) e c ^

=>P” + ( 1 - 0 P ’e f '1 (C)

En conse cenc ia,/ 1 (C) es n conjnto convexo.

10.5.3. Convexidad de hiperplanos y de semiespacios

1. Todo hiperplano es n conjnto convexo.

Consideremos C e R" y la fnción / R" -»R definida por

/ (X ) = C*X

Rn

esin

elemento e s * e R es'tonvexcf ü T L ' e r i ™ n ‘ lO s ^ ' ^ C° njUn° °Uy° Ú convexo en R" . Tal preimagen es el conjnto Prem agen por / , es »

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CONVEXIDAD Y TRASFORMACIONES LINEALES 341

( X e R " / f ( X ) = Ct X = &

0 sea, el hiperplano de ecuación C* X = k,

! El conjuno C = 1* e R / x > f c | es convexo.

Pi P2________________ o-------------------•-----------------------------• ■ --------- »

k x 1 * 2 R

Bn efecto:

Pj eC a P2 eC =>x4 > k A x 2 >k=>

=*tx2 + ( 1 - t ) x i > t k + { 1 —f) fr - fc

]II Todo semiespacio abierto es un conjunto convexo.

Considerando la trasformación lineal f : R" -> R definida por

/( X ) = C* X,

y que el conjunto

{ x e R / x > k }

es convexo, entonces su preimagen, o sea

j x e R ” / / ( X ) = C * X >&} ,

es un conjunto convexo, de acuerdo con 10.5.2.

Tal preimagen es el semiespacio de inecuación

C * X > k

IV. Con criterio análogo se prueba que todo semiespacio cerrado es un conjunto

convexo.

V . La intersección de un número finito de semiespacios, por ser éstos conjuntos

convexos, es un conjunto convexo. Tal intersección, como lo muestran las siguientes

figuras, puede ser acotada o no.

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1

342

10.6.1. Propiedad

CONVEXIDAD. PROGR AMACION LI NEAL

10.6. h i p e r p l a n o s s o p o r t a n t e s

Si C es n sbconjnto cerrado y convexo HP R« pertenece a C, o bien existe n hiperplano tt T a u l J L T * ^ pUnto

en no de los dos semiespacios ab ie rta de borde * Y “ q“ # C 6Stá * * 4

demostraremos^e6existe n h ip e ^ la n o ^ ^ e ^ e r if ^ l110 611*0^ 068 ^ f * C' en ^ *Co nsideremos la fnc ión afirma do en el ennciado.

definida po r

f P ( X) = I I X - P I J

La fnción fp es contina y alcanza el mnimo en C. O sea

p , . 3 A e C / X e C = %( A ) < / (X)t s decir, existe A e C tal qe

IIA —P(|< Hx —P|| v X e C

Sea N = A - P. Se verifica qe N * 0, pues A e C v P ^ r Af ortogonal a N que pasa por P es al que C esá in cLrf Af™ 0s qe el hiperplanabiertos determinados po r él. inclido en no de los dos semiespacio

La ecación de tal hipeiplano es

NÍ ( X - P = 0O sea

semiabiero (o,’ ] se ve rific ^q ue ^1” 10 A’ ent0nces para todo ‘ Perteneciente al inte™!

1 A ~ P ■< IA - / ( B - A _ P , = , ( A _ p + , (

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PUNTOS EXTREMOS 345

r esa afirmación consideremos un hiperplano soporane de C en un puno

Para pr° * aJ ^perplan o, y su ecuación

n! x = n ' p0

Cons 1

sea

• de remos el semiespacio cerrado definido por

Nf X > N ‘ Po VXeC

A - ttn c

¿ c u e r d o con las hipóesis y propiedades aneriores, A es convexo, cerrado y acotado

por

De ac

debajo.

Probaremos que odo puno exremo de A es n pnto extremo de C. En consecencia, el

problema qeda redcido a la determ inación de los pntos extrem os de A.Spongamos qe P sea n pnto extrem o de A no perteneciente a C; entonces existen Ch

y Q 2 en C tales qe

P = Q 2 + ( 1 — O Q i A 0 < < l (1)

Ahora bien

De (1 se deduce

P e 7 T N í P = N P0 (2

N í P = í N í Q 2 + ( 1 - í N ( Q j

De esa igualdad y de (2 resula

N‘ P0 = í N ( Q a + ( l - í N ‘ Q i (3

Además

Q t e C a Q 2 eC=> Nf Q i > N ( P0 a N ‘ Q 2 > N é P0

Spongamos qe se verifica algna desigaldad estricta, por ejemplo, N( Q 2 > N( P0.

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346 CONVEXIDAD. PROGR AMACION LI NEAL

Entonces, considerando (3) se tiene

N í P0 > / N í p o + ( l - / N í P0 = N í Pn

lo que es absurdo. En consecencia, se verifica qe

N Í Q 1 = N Í P0 a Nf Q 2 = N* P0O sea

y eso conradice la suposición de que P es un puno exremo de A

extrem“ C° m ° eje rdd° " * " b* ° • > * « “ * determinación efectiva de n pnto

p n t t “ qUe t0 d° C° njUn,° aCOad° y convexo es el casco convexo de j

^ “ r ° de que un ~ - « *

10 .8. INTRODUCCION A LA PROGRAMACION UNEAL

10.8.1. Concepo

• r ¡ r s ? x s - r i r r * ? - ••- — - -aphcable a sisemas complejos en los que in e J e ñ e n T e ’rso etCé,era' »dinero. S objetivo es el asesoramiento a fin de adornar L • e« ° s > materia prima y

La Programación Lineal es n m ^e lo n a r t i . l T “ co m ^ e s.

Los problemas qe trata la Programación Lineal s o ^ 6 " n ^ Investi6ación Operaiva.

^ E i H n 6 relac ones **neales que vinculan las variabies corólos daos16 PUeden " eXPreSad°S

¿fsirtZí'SE.rr.'rr 'soluciones posibles y opimización del objeivo. SU P ’ esrucíura lineal,

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P R OGRAMACION LINEAL 347

oroducir una unidad del produco A x , el dinero insumido por los recursos es, en pesos,

pa? 0 y 4 respecivamene. En el caso del segndo prodcto las cantidades son 6 ,2 0 y 4.

5’ Esta sitación qeda indicada en la sigiente tabla o matriz

A) a 2

Mano de obra 5 6

Materia prima 10 20

Eqipos 4 4

El dinero disponible para cada no de los tres recrsos es, respectivamente, 15.000,

20.000 y 6.000 pesos. . . .La ganancia o beneficio neto por cada nidad del prodcto A! es 3 pesos, y por cada

nidad del prodcto A2 es 4 pesos. Se spone qe el mercado pede absorber sin

competencia estos prodctos.Con esta información completamos el cadro anterior:

^ ^ ^ P r o dcto s

Recrsos^''“''“' ' « ^ ^ A! a 2 Disponibilidades

Mano de obra 5 6 15.000

Maeria prima 10 20 20.000

Eqipos 4 4 6.000

Beneficio 3 4

El problema consiste en determinar las cantidades a prodcir, Xi y x 2, de los prodctosAi y A2 respectivamente, a fin de obtener el máximo beneficio. El objetivo es, entonces,

maximizar el beneficio.Las variables x t y x 2 deben satisfacer las sigientes restricciones:

1. Condiciones de vnclo

5jcx + 6x2 <15.000

■ 10 x i + 20 x 2 <2 0.00 0

4 x i + 3 jc2 < 6.000

2. Condiciones de no negatividad

\Xl >0

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3 48 CONVEXIDAD. PROGRAMACION LINEAL

El número de nidades prodcidas de cada prodcto no pede ser negativo.

El conjnto solción S del sistema formado por las inecaciones anteriores esintersección de los cinco semiespacios (en este caso semiplanos), qe tales inecaciodeterminan. nes

Para obtenerlo, representamos primero las rectas cyas ecaciones son:5 i + 6 x 2 = 15.000

10 X ! + 2 0 x 2 = 20.000

4 * i + 4 * 2 = 6.000

Las condiciones de no negatividad restringen el problema al primer cadrante. Obenemos

las inersecciones de las recas con los ejes escribiendo las ecuaciones en la f0rm

segmenaria, o sea, dividiendo por cada érmino independientemente:

3.000 + 2.500

+ *22.000 1.000

+ *2

1.500 1.500

La representación de las tres rectas y del conjnto S, intersección de los cincosemiespacios, qeda indicada en la sigiente figra

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■conjUno solución S es el cuadriláero cuyos puno s (x x, x 2) saisfacen las condiciones

'nculo y de no negaividad. S recibe el nom bre de conjuno de soluciones posibles o

f6 [bles Deél hay qe elegir el sbconjnto cyos elementos maximicen la fnción objetivo

f ( x l t x 2 )= 3 * ! + 4 x 2

x ) representa el beneficio neto qe se obtiene al ven der ; ^ nidades del prodcto A!

y nidades del prodcto A2 .

La relación

3 * i + 4 x2

r e p r e s e n t na familia de rectas paralelas, de pendiente m = llamadas rectas de

isobeneficio.

De éstas, interesa aqella cya intersección con S sea no vacia y cya distancia al origen,es decir,— , sea máxima. Esto es, hay qe determinar la recta de la familia de mayor k y de

intersección no vaca con S.

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3 50CONVEXIDAD. PROGRAMACION LINEAL

En la figra se ha representado la recta de la familia qe Dasa nn r .1 • ecuación es 3 que pasa P0r el °« gcn y CUya

3*, +4*2 =0

origDee„SP,aZand° °Sa reC,a 18 direcci0n dcl vecor >" ■»> 31 + 4 J cace la disancia a,

b e n e L r ^ r i " : ; : er: r „ dee al p n to a o o ° - 5oo)- p » -* « » ^ * . y „

máf x 2 ) ~ 3 . 1000 +4 •500 = 5000

n id ades’del p rodcto ^ T ^ r i n T d a d e s ^ V ^ C T P1'°dcicnd° 1-000

Con relación al problema expesto, tilizando notación matrcial, se tiene

A M 10 20 I * = »= Í 2O.OOO

1. Condiciones de vínculo:

2. Condiciones de no negatividad:

3. Func ión ob jetivo (a opimizar:

Ejemplo 10-5

6.000 / c =

A X 0

/ ( X ) - C f x

Desarrollamos el siguiene problema expueso por Tcker en el Se,»- ■ ,Royamont, cyo ennciado figra en la pblicación número 26 escrita 2 7 r LU»A. Santaló, de la colección La Escela en el T i e m p o S c S ^ a 9^ ”

Un chacarero tiene a s disposición 10 0 hectá reas de tierra if.a a - i ' [ cltivarlo y 1 , 0 0 pesos para invertir. Desea s e l r a r dÓfcu, ’titosrequiere un día-hombre por hecárea y produce un beneficio de 40 pesos ñor lie * **

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Culivos

R e c u r s o s ^ ' ' \ . Ci c , Disponibilidades

Hecáreas 1 1 100

Días-hombre 1 4 160

Inversión por ha. 40 20 1.100

Benefìcio 40 120

Si x j y x 2 son las hecáreas que deben desinarse a los culivos Ci y C2, el problema

consise en maximizar la función objeivo

4 0 * ! ' + 1 2 0 x 2

sujea a las resricciones

*1 + * 2 < 100

* 1 + 4 * 2 ^ 160

10xi + 2 0 x 2 <1.100

> 0

x2 > 0

En el gráfico sigiente están representados el conjnto S de solciones posibles, y el

pnto de coordenadas (60, 25) qe optimiza la fnción objetivo:

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El máximo beneficio se obtiene sembrando 60 hectáreas del cltivo 1 y 25 hectádel cltivo 2, o sea, dejando 15 hectáreas sin cltivar. eas

10.8.2. Problema general de Program ación lineal

Un problema de programación lineal pede expresarse de la sigiente manera:

minimizar /( X ) = C ' X = |ctX, (fnción objetivo)

sjeta a las restricciones:

A X 0 (condiciones de no negatividad)donde X e R" x l , A e Rmx" , B e

Definición

Solción posible o factible de n problema de programación lineal es todo vector deK qe satisfaga las restricciones. r de

El conjnto S, de las solciones posibles es c o n v e n a semiespacios cerrados. Si algna condición de vncnln p ^ ^ intersecció« deinterviene n hiperp lano, qe es convexo y cerrado. eCUaC10n’ en tal intersección

Definición

" “ na S° 1UdÓn P° SÍ ble en este caso) ,a

Propiedad

t iene pn tos inter io res a l con jn to d fsd c ton es p^ iM es0^ 1™ ’ en‘° nCeS “ h iperPIano n°

t - * “ ° 31 mnimo de ia * “ * ■S de solciones posibles. 0 ’ qe es inteno r al conjntoPor definición de pnto interior, existe e > 0, tal qe

S (P0 , e) C S

352 CONVEXIDAD. PROGRAMACION LINEAL

El pnto

P i = P 0 -€

3 II CU

perte nece a S, ya qe es n ele mento de la esfera abie rta de cen tr o P0 y ra dio e, pes

r f ( P a , P , ) = IIP, - P 0 I I=- 13

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S OLUCIONES OPTIMAS Y PUNTOS EXTREMOS 353

El vector Pi verifica, además

p f p _ / - i p ^ C C _ T e l l e II , ,

c P‘ ~ c P # ' 7 i d ‘ ^ ~ a

lo qe es contradictorio con la hipótesis de qe la fnción objetivo alcanza el mnimo en P0.En consecencia, podemos afirmar qe n hiperplano correspondiente a na solción

óptima es n hiperp lano soportante de S en el pnto de solción óptima.

10.8.3. Solciones óptimas y pntos extrem os

propiedad

La fnción objetivo toma el valor óptimo en n pnto extremo del conjnto desolciones posibles. Si toma dicho valor en más de n pnto extremo, entonces lo toma en

toda combinación convexa de tales pntos.Consideremos n problema genérico de Programación Lineal, consistente en maximizar la

fnción objetivo

/ (X ) =C* X

sjeta a n número finito de restricciones del tipo habital. Entonces S admite n númerofinito de pntos extremos, y se identifica con el poliedro convexo generado por ellos. Esdecir, S es el casco convexo de ss pntos extremos, y por consigiente toda solción posible

pede expresarse como combinación convexa de los mismos.

Sean P i , P2 , • . Pfc los pntos extremos, y sea P0 n pnto de solción óptima, es decir,qe maximiza la fnción objetivo.Se verifica qe

P e S = > / ( P ) < / ( P 0 )

Debemos probar que exise un p uno exremo, en el q u e /o m a el v a lo r/( P 0. Como

P0 eS, se iene

k k P0 = 2 oc, P; con 0 < oc¡ a 2 a¡ = 1

u 1=1 * 1 ' «=i

La fnción

definida por

/ : RH R

/(X ) = C X

es na trasformación lineal, y en consecencia

/ ( P 0)= = £ « í / ( P í) ( 0i= iConsideremos

/(P* ) = máx j/ (P ¡ )/i ~ 1>2........ * )i

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Como P* es un puno exremo de S, y / oma el máximo en P0, es

/(P * < /(P 0 (2

Por definición de máximo se iene

/ ( P * > / ( P , V/ = 1, 2 , . . £Entonces

O f/(P* > a//(Pi i =i , 2 , . . . , ARealizando la smatoria respecto de i, es

x l <xin n > ¡§ 1 <xi f ( p i)

354 CONVEXIDAD. PROGRAMACION LINEAL

O sea

k Como^S <Xi = 1 , resula

De (I y (3 se deduce

/ ( P * . 2 a , a , f ( P,

/■(?*)>2 a , / - (Pj) (3

/ ( P * > / ( P „

De esa relación y de (2, por la anisimería, se verifica que

/ ( P o = / ( P *

m á S n a CÍ r’ PüM° eXtK ™ ’ e‘ CUai Ia función objei™ el valor

P, qUe / 41031123 d ÓPÍ m0 d° S PUn0S exrem os y sean éstos

/ ( P ) = / ( P y ) = M

Consideremos na combinación convexa

P = P , - + U / ) P ,Como

/ ( Pt = f / ( P ;-j + (l —r j / ( P ¿ )- / M + ( l /) M = M

de p j y p “ bad° qUe d Va' ° r Óp,im° “ alCanZad° en e' PU'ltUP' 4Ue eS combÍ MC’°" c°nvexa

10.8.4. Observación

Sabemos, por 10.6.2., que odo conjuno convexo, cerrado y acoado por debajo iene

punos exremos en cada hiperplano soporane. El conjnto de solciones posibles de n

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S OLUCIONES OPTIMAS Y PUNTOS EXTREMOS 355

problema de Programación Lineal es convexo, cerrado y acotado por debajo por el vector nlo ya qe X > 0. El teorema ante rior asegra qe si existe óptimo de la fnción objetivo,tal valor es alcanzado al menos en n p nto extremo. En R " , S tiene n número finito de

pntos extremos. . .

El problema se redce entonces a examinar el valor de la fnción objetivo en los pntosextremos a fin de hallar el óptimo. El método Simplex permite determ inar analticamentelos pntos extremos y pasar de no a otro analizando el valor de /, hasta obtener el óptimo.

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T R ABAJO P R ACT ICO X

m S e a A ^ J ^ . ^ e R ' / U i K i A ^ K ! ) y j (2 , i ) |

Deerminar la fronera y el derivado de A.

¡0-7. Dados los siguienes subconjunos de R2

A = \ ( x i , x i ) l 2 x \ + 3 * 1 < 6

B = \ ( x l t x 2 ) ¡ x 1 > 1 a x 2 < 2 Í

C ~ j ( x l f X2) / X i X 2 ^ 2 A X ¡ ^ 0 A x 2 ^ l }

clasificar los pntos del plano respecto de ellos, determinar ss fronteras y derivados einvestigar si son abiertos o cerrados.

10'8' ab“ qUC Un C° njUnt0 A C R " “ Cerrad° SÍ y SÓ1° Si s «»nphmentario es

10-9. Demosrar que un hiperplano es un conjuno cerrado.

10-10. Invesigar si los conjunos de los ejercicios 10-6 y 10-7 son convexos o no.

10-11. Demosrar que la unión de una familia numerable de abieros es un conjuno abiero.

10-12. Demosrar que la inersección de una familia finia de abieros es un conjuno abiero.

10-13. Demostrar que la inersección de una familia numerable de cerrados es un conjuno

cerrado, y que la unión de una familia finia de cerrados es un conjuno cerrado.

10-14. Deerminar el casco convexo generado por los punos (1, 2 (1 _ n ( l i w , n

( -1 ,2 , (2, 3, ( -1 , - 1, (1 ,0 . Invesigar si (0, 0 es combinación convexa (1, -1 y

10-15. Sea/ : R" -*• R" la raslación definida p o r/ ( x = x+ a, donde a e R"Demosrar que

S es convexo =>f (S es convexo

Demosrar que el conjuno solución del sisema lineal A X = B, donde A e R “o e K y X e R , es convexo. ’

10-17. Sea O C R " . Por definición

C es un cono x e C ^ a x e C A a > 0

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TRABAJO PR ACTICO X 3 57

Demosrar que si A C R*1, entonces el conjnto

C = i a x /a > 0 a x e A )

es n cono. C recibe el nombre de cono generado por A.

¡048. Deerminar el cono C C R3 generado po r la inersección deA l {( x i , x 2 , x 3) l x 21 + x ¡ < 2 ¡

y el plano de ecuación x 3 = 2 .

1049. Sabiendo que C es un cono, demosrar que

C = j - x / x e C |

es un cono. C‘ recibe el nombre de cono opueso de C.

10-20. Demosrar que si C es un cono, enonces

C1 = j y / { y ,x> = 0 , V x e C j

es un cono. Cx se llama cono orogonal a C.

10-21. Demosrar que el cono orogonal al cono C C R" es un subespacio de R».

10-22. Sean los conos Cj y C2. Demosrar que

C = c 1 + C 2 = | x + y / x e C 1 a y e C 2 |

es un cono.

10-23. Planear el siguiene problema de programación lineal: * AoUn mezclador de licores impora licores de res grados: A, B y C. Mediante mezclas deéstos, ateniéndose a las indicaciones especificadas en la tabla sigiente, obtiene tres

prodc tos finales: L, M y N.

Mezcla Especificación Precio de venta por litro

L No menos del 60 % de A No más del 20 % de C

68 $

M No más del 6 0 % de C

No menos del 15 % de A

57$

N No más del 50 % de C 45 $

Las disponibilidades de los tres licores básicos y ss costos son

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3 58CONVEXIDAD. PROGRAMACION LINEAL

Licor

A

BC

Disponibilidad máxima

mensual en liros

6.000

7.500

3.600

Coso por liro

63 $

45 $

36$

“ r i " ; : : . saber cutoo debe produdr de ,os L, M y N> a & dem a x i .

^^ ^si^iem es^p edido s/3^1 31 Pr° dUCe r0,1° S e 82 « * ancho. Se han recibido ios

60 rollos de 58 cm85 rollos de 26 cm

85 rollos de 24 cm

50 rollos de 23 cm

y S i z ? ; d p e 3rdfciCoÓm0 C° r ar 108 r° I,0S de 82 a <>• -is fa ce r ios pedidos

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W "

BIBLIOGRAFÍA

Boueloup, J.: Cálculo de Matrices, EUDEBA, Benos Aires, 1965.

C otla r-Sado sky: In troducción al Algebra, EUDEBA, Benos Aires, 1962.

piedonné J.: Fundam entos de Análisis Moderno. Editorial Reverté S.A., Barcelona, 1966.

Faddeeva, N. A.: Métodos de Cálculo de Algebra Lineal, Editoria l Paraninfo, Madrid, 1967.

Fare-Kafman-Denis: Matemática Moderna. Editorial Paraninfo, Barcelona, 1966.

Gass S.: Programación Lineal. Editorial CECSA, México, 1961.

Gentile E. R.: Espacios Vectoriales. C.E.D.Q ., Buenos Aires, 1965.

Graybill, F. A.: A n In troduction to Linea l Statistical Models. Mac Graw-Hill, New Yor,

1961. ■

Hadley, G.: Linear Algebra. Addison-Wesley Pblishing Company, Inc., 1967.

Johnson R.: Algebra Lineal. CECSA, México, 1969.

Lang S.: Linear Algebra. Addison-Wesley Pblishing Company Inc., 1967.

Lentin-Rivad: Lecons d ’Algebra Moderne. Libraire Vibert, Paris, 1961.

Lipschtz, S.: Teoría y Problemas de Algebra Lineal. Serie de Compendios Scham,

Colombia, 1963.

Lipschtz, S.: Theory and Problems o f Finite Mathematics. Scham, New Yor, 1966.

Marcus-Minc: In troducc ión al Algebra Lineal. CECSA, México, 1969.

Pettofrezzo A. J.: Matrices and Transformations. Prentice-Hall, Inc., New Yersey, 1966.

Rao C. R.: Linear Satistical In ference and its Applications. John Wesley and Sons, Inc., New

Yor, 1968.

Rojo A.: Algebra I. Editorial El Ateneo, Benos Aires, 1972.

Rdin W.: P r i n c i p l e s o f M athematical Analysis. Mac Graw-Hill Book, 1963.

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T«r

RESPUESTAS A LOS TRABAJOS PRACTICOS

TRABAJO PRACTICO I

j - i6. i ) si i i ) s iii) no iv)n o.

¡‘17. i ) smar el opesto de y.

ii) smar el opesto de x.

iii) despés de cancelar y de trasponer, aplicar A9 y 1.3.3.

iv) trasponer y aplicar A8 y 1.3.3.

1-18. Después de tilizar As y A9, y de cancelar, mediante 1.3.3. se obtiene a = 1.

149. i ) s i i ) s iii) s iv)s v ) s vi) no.

¡■20. No, ya que no exise neuro para la suma en V.

1-21. Sí. El lector debe probar qe se verifican los axiomas.

¡•22. i ) sii) no, pes (1, 1, 2) e S y (1, - 1 , 3) e S pero la sma (2, 0, 5 ) £ S

iii) no, porqe S no es cerrado para la sma.

1-23. i ) no, pes no se verifica A6

ii) s. Verificar las condiciones sficientes.

1-24. Aplicar 1.8.2.

1-25. S no es sbespacio de (C2, +, C, .) pes no es cerrado para el prodcto por escalares.

As, por ejemplo

( 1 + / , - 2 ) e S pero / ( l + / , - 2 ) t f S .

En cambio S es n sbespacio de (C2 , +, R , .).

1-26. Ai y A6 se verifican por definición de cada ley de composición. Mostramos, a modo de

ejemplo, la validez de A2 :

{(x, y) + (x \ y ')| + (x’\ y”) = (x + x’, y + y’) + (x” , y” ) =

= (x + x’ + x ” , y + y’ + y” ) - (x, y) + (x* + x” , y’+ y” ) =

= ( x , y ) + l ( x \ y ’) + ( x ” , y ” ) )

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« A i ) (* , ) e S - + , )2

S e. el conjnto nión de los dos ejes, o sea, no es n sbespacioU) T es el sbespacio definido por la ecación * - 3, = 0.

1-29. i ) „0 , ya qe no es cerrado para la sma; p or ejemplo

( l , 0 e S y ( , l ) e S pero (1 + ¡t 1 + A / si i ) s

iii) si

iv) si. s= j (a, a + bí) j a e R a b e R iv ) s

Vi) s.

1-30 Teñe, en centa las definiciones de sma de sbespac.os y de inclsión

1-31. Sponer qe x eS admite dos descomposiciones del ü p L = x x vy tener en centa la definición de sma directa.

1-32. Io, Aplicar 1.8.2.

2 . Tener en centa el ejemnlo 4-5 iVí or «i ,

sma de na matriz simétrica y de na^ntisimétrica^3 m ,t*

RESPUESTAS A LOS TRABAJOS PR ACTICOS

1-27. Aplicar 1.8.2.

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T R ABAJO P R ACT IC O II

2-25. i se deerminan a y b ales que

a ( v S , 2 + 6 ( - V 6 , 2 = ( V 2 , l

Aplicando las leyes de composición habitales se reselve, despés de igalar componentes, n sistema lineal de dos ecaciones respecto de a y b.

ii) procediendo análogamente, el sistema resltante carece de solciones y enconsecencia v no es combinación lineal de Vi y v2 .

2-26. Considerar la relación lineal

a x (-1 , 3, 1) + a 2 (3, -1 , 1) + a 3 (4, 0, 2) - (0 ,0 , 0)

y despés de aplicar las leyes de composición sales y de igalar las componentes delas ternas se llega a n sistema lineal cyas infinitas solciones están dadas por

o i = k , 0=2 = 3 k , a 3 = —2 k

En la segnda parte, a partir de

(4, 0, 2) = o¿ ( - 1 , 3, 1) + 0 (3, —1, 1)

1 3se llega a n sistema lineal cya solción es a = — , 0 = —. Lego

2 2

(4, 0 , 2 ) = ~ ( - l , 3 , l ) + | ( 3 , - l , 1)

2-27. Considerar a A + 0 B = N. Resula a = (3 = 0,

2-28. En (R, +, R ,.) son L.D., pero en (R, +, Q , . son L.I.

2-29. x = l .

2-30. Considerar

<* ( 1 , a , a 2 ) + I K M , &2 ) + 7 0 , c , c 2 ) = ( 0 , 0 , 0 )

En -el sistema resltante, restar a cada ecación la anterior mltiplicada por a, ydespés, a la tercera restar la segnda mltiplicada por b.

2-31. A partir de la relación lineal

a f + 0 g + 7 h = e

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^ al S! 2C nSdera ]a de cualquier f e R; derivando

2-32. Se planea una combinación lineal cuyo resulado i t ■>ejercicio anerior, que se verifica para odo í e R Drndo f*ncion ™ la. com° <* el

ejemplo 1 y 2 , se llega a un sisema con la solucion un” a a 4 ^ 12-33. Considerar a (a, b )+ 0 (c, d) = (0, 0.

2-34. Son L.I. en ambos espacios.

2-35. i ) son L.I.

ü ) son L.I. si ab * 1, y son L.D. si ab = 1.

2-36. Aplicar la definición de independencia lineal.

2-37. Considerar la re lación lineal

a i x i + - - . + a n x „ + ^ = 0y probar qe 0 0.

2-38. A partir de a , x , + . + <* x ,

x seria C.L. de los vectores de^ . Te* er" en centa^desp és la " hipótesis °aS° contrar*°

™ r : “ n se puede hacer por inducci6n c°mpkta ° ■>

2-41. i ) calqier núm ero real no nlo 3 3

i i ) la base canónica

iii) la base canónica

ív) ! i +i i

y ) i + i, i -/ ¡ .

2-42. El sbespacio pedido es el plano de ecación * - y _ , = n

1 0 , l . o ) , ( 1, 0 , 1) ) . ya q e °> y ™ base del mismo es

( x . y . z ) e S * ( y + z , y , z ) e S ~ ( y , : ,<o) + (2¡o , z ) e S ~

2-43 y 1’ 1’ 0) + Z0 ’ ° ’0 e s - 0 sea" los dos vectores son n S.G. de S, y además L I

* * r " ' “ - * ™ b“ * — - . - . i . » ™

2-44. Una base es / / * ® \ ® M ® ®\ I¡ \ 0 - ~ l ) ’ \ o 0 / ’ \ l 0 / ’ la dimensión es 3.

2-45. Una base de S es f (2 , 1) , (24 0 ¡ , y la dimensión es 2.2-46. S no es n sbespacio ya qe no es cerrado para la sma.

3 6 4 RESPUESTAS A LOS TRABAJOS PR ACTICOS

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¡47. Está propesto en 1-2S, y la respesta es afirmativa si el cerpo es R. Una base es11 + , —2 ) .

248. S es el plano de ecación = 0. Una base de S está formada por los vectores (1 0 01 v

(0, 0, 1). T pede ser el plano de ecación z = 0. ’ ’¡49. La dimensión de S, n S2 es 2; aplicando 2.8.1., y considerando ge

dim Si - dim S2 = 3, reslta dim (Si + S2) = 4.

2-50. Primero, demostrar

i > r =* vf es C. L. de vi , v2 ) . . . , vr .

Lego, probar qe ( Vj, v2,. . vr | esn sistema de generadores de V.

2-5L Considerar dos bases: na en Si y otra en S2, y tener en centa el ejercicio 1-31

TRABAJO PR ACTICO II 365

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T R ABAJO P R ACT IC O III

3-21.1, sí. 2. no. 3. sí. 4. no.

3-22. l. s í . 2. no. 3. sí. 4. no.

3-23. Aplicar la definición de T.L. a / ( x + y).

^ Pr°bar !a s tae tna del p,ano

3-2S. Expresar los veetores (3, 3) y (0, - 1 ) como C.L. de (1, 2) y de (2,1). Apliear deSp„é¡

la definición de T.L. Re s lta/(3 , 3) = ( -1, 2, 1) y/(O , - 1 = J

3-26. Considerar F (v + v’ y F (a v.

3-27. Se obiene el paralelogramo de vértices (1,1), (0, 3), ( - 1 2) y (0 0)

S-28. S. ’3-29. 1. Aplicar la definición de T.L.

2 ./ e s inyectiva, pero no sob rey ec tiva ^c s sobreycctiva. pero no inyectiva.

-( S ° f ) ( a , b ) = (a b, b) y (/•- g ) {a, b) (a + b, a + b + c, c).

3-30. Aplicar la definición de imagen, el hecho de qe / v. v2 v Jes S c rf* v idefinición de T.L. 1 2 ’ *‘ ” " ' de V’ y la

3-31. f es trasformación lineal biyectiva.

3-32. Aplicar la definición de T.L. El único vector cya imagen es la matriz nla, es (0, 0).

3-33. Considerar 1.8.2., la definición de preimagen y de T.L.

* « . l . N ( 0 = í ( y su dimensión es 1.

3-35. n = 3. Se define / ; R4 R 3 mediane

f {X\ , X2,X3, XA) ^ { Xl + ^ 2 ! - X 4, X2 + x 3 +X4),

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3 68 R ES P U ES TA S A LOS TRABAJOS PRACTICOS

1 0

3-42. A

\ 2

J_

2 /

3-43. Hallar las imágenes de los vectores de la base canónica de R 2 ; se obtiene

eos 6 -sen

sen 9 eos

3-44 Considerar qe la matriz de la composición de dos trasformaciones lineales es el prodcto de las correspondientes matrices. En el segndo caso, comprobar qUe fe 0 f-Q = f-e ° fe = i, donde ¿ denota la fnción identidad.

3-45. Probar qe ( f u f 2 , . . . , f n J es n sistema de generadores de V considerando

calqier elemento ^ e V y definiendo a¡ - g (i>,); reslta entonces g - Xa¡f¡. Probar

despés la independencia lineal a par tir de la relación lineal = e donde e denota

la fnción nla; obten iendo la imagen de cada se preba qe a, = 0, para todo* ” 1> 2 , . . n. Ambos espacios, V y s dal, tienen la misma dimensión.

3-46. 1. Probar qe se cmple la definición de trasformación lineal, y tener en centa el

ejercicio 1-31.2. Utilizar la definición de composición de fnciones.

3. Aplicar las definiciones de sma de fnciones y de proyecciones; I denota la fnciónidentidad en V.

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TRABAJO PRACTICO IV

el

u e ^ I 5 — 2 - U

do

ar

>t, 4 -2 4 . A 2 = | 0 i o ) ;ABC = f 0 I ¡ B ' A ^

do

1 0 - 1

1 0 1

ii) A 2 - AB + B A - B

2 \ , 4 _ / 5 3

el

4-29. Considerar, por ejemplo, qe A, B y C son de los tipos nxp , pxq y qxm, respectivamente; expresar la fila i de A, y la colmna/ de BC, para formar el elemento(i, j) de A (BC). Proceder análogamente con el segndo miembro.

4-30. Demosrar que la propiedad se cumple para n = 1, y que si se verifica para n = h, enonces se verifica para n = h + 1.

4-31. Demosrarlo por inducción complea, como el ejercicio anerior.

4-32. X - 1.

4-33. Demosrar por inducción sobre k.

4-34. Considerar X = X I.

4-35. Planear el sisema de ecuaciones no lineales.

4-36. Aplicar la definición de prodcto de matrices y la conmtatividad del prodcto en K.

4-37. Utilizar la definición de trasposición y de p rodcto de matrices.

4-38. Partir de (A B)2 .

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370 R ESPUESTAS A LOS TRABAJOS PR ACTICOS

n n4-39. Q = X a i k aki = ^ a ^ k =>a[k = 0 , V k. Análogamente se preba qe la colmna de

lgar i es el vector nlo.

4-40. Efectar (Bf A B)2„

4-41. Premltiplicar A + B = I por A, y posmltiplicar por B.

4-42. Como en el ejercicio anterior.

4-43. Deerminar el cuadrado de cada una de las cuaro marices y aplicar las hipóesi-i, propiedades de la rasposición. ^

4-44. Verificar que se cumple la definición de mariz simétrica.

4-45. Para la condición necesaria, considerar A B = ( A B ) ' . Para la condición sficiente

part ir de (A B ) \ me>4-46. Desarrollar el pro duco indicado.

4-47. Desarrollar (A - a 1) (B - a I) y tilizar la hipótesis de qe A y B son pemitables

cancelar" 011 sriclente>consid« a r qe A - al y B - al son permtables; despés

4-48. Las filas de AB son igales entre s, y cada elemento es igal a la sma de loselementos de la correspondiente colmna.

4-49. Tener en centa las propiedades relativas a la inversa de n prodcto y ala traspesta

de n prodcto.4-50. Se considera la matriz diagonal B cyos elementos diagonales son los inversos de los

correspondientes de A ,y se verifica qe A B = B A = I.

4 '5 l , Considerar A2 = A y mltiplicar po r A" 1.

4-52. Probar qe se verifican los catro axiomas de grpo.

4-53. Utilizando el mismo esqema de partición en ambas matrices, en bloqes de dos filas ydos colmnas, se obtiene

0 0 4 10 0 2 0

0 1 0 0. 2 2 0 0 ,

4-54. Las dos primeras filas constityen na base del espacio fila de A.

4-55. Mltiplicar a derecha B A = N por la inversa de A.

4-56. Premltiplicar por la inversa de A.

4-57. Tener en centa qe hay qe probar la verdad de na disynción.

4-58 .p{ A) = 2; p(B ) = 3.

/ 2 2 14-59. La inversa de A no existe. B'1 = [ 1 2 1

1 1 1

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4 0 Deerminar los rangos de A y de AA* por Gass Jordán.

Demosrar primero que Sc (A + B) C Sc (A ) + Sc (B). Al pasar a la relación entre ssdimensiones, tener en centa 2 .8 .1.

462 i ) considerar el elemento genérico de la diagonal de AB y de la diagonal de BA.

Ü ) asociar y aplicar i).

iii) aplicar ii).

44 Premltiplicar por A la relación A X = a X, y tener en centa qe A2 = A.

4-64. Realizar la misma mltiplicación qe en el ejercicio anterior y considerar qe A2 = I.

4-65. i ) Expresar X com o prodcto de matrices, calclar s cadrado y tener en centa qeT donde T es la matriz nx 1 formada por nos, es n escalar, y por lo tan to igal a

s traspesta.

Reslta A = — 1 1 f . o sea, na matriz n x m cyos elementos son igales a — n2 n2

1 -*t i i ) Se obtiene A = — 1 1 .

n

iii) Después de desarrollar la smatoria y redcir términos, se llega a qe

A = — - 7 1 *. El lector pede comprobar qe esta matriz es idempotente.

n

4-66. Efectar el prodc to entre I - T y la sma indicada. Considerar qe T" = N.

4-67. Paricionar A en dos bloqes del tipo 4 X 2, y efectar el prodcto.

4-68. Trasponiendo términos se preba qe A admite inversa.

4-69. Por Gass Jordán se obtiene

TR A B A JO PRACTICO IV 371

1 p p 2 P3

0 p p 20 0 1 p0 0 0 1 1

4-70. Para la condición necesaria, efectar los prodctos AB y BA, e igalarlos para obtener a y ($. Para la condición sficiente, efectar ambos prodctos sstityendo B por s

1 expresión.

J 4-71. Aplicar indcción completa.

S / 1 1 - 1; 4*72. i ) A = ! 1 - 1 0

\ 0 1 1

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R ESPUESTAS A LOS TRABAJOS PR ACTICOS

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T R ABAJO P R ACT ICO V

$.12. D (A) = -2 0 . D (B = 10. D (C = -1 3 5 . D (E) = 57.

$.¡3. Desarrollar por los elemenos de la primera columna.

$.14. Considerar que la fila h, con h # / , es el produc o del escalar Á por la fila i.

5-15. i ~ ^2 ~ 0, X3 = 5i i * i =0 >* 2 = 2 ,x 3 = -3 .

5-16, \ - 1 >^2 = 10-

5-17. \ - 1 , \ ~ —•

5-18. Tener en centa la definición de matriz ortogonal y 5.7.

5-19. Considerar 5.8.3.

5-20. Tener en centa el ejemplo 5-7.5-21. Desarrollar el deerminane y? y derivar.

5-22. Expresar los vectores canónicosE i , E2 , . . En de K " x 1, como combinaciones linealesde A i, A2 ,. .., A „, y aplicar los axiomasde lafnción determinante.

5-23. Aplicar 5.5.1. y 5.5.3.

5-24. Considerar na relación lineal qe sea igal a la fnción nla, expresar la igaldadobtenida para calqier t y derivar « —1 veces. Reslta n sistema lineal y homogéneodando a t el valor 0. El determinante de los coeficientes es de Vandermonde.

$-26. En cada caso, examinar el valor del determinante, y si es distinto de cero, aplicar 5.9.

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5-28, i Resar a cada una de las dos primeras columnas, la siguiene.

i i Sumar a la primera columna las resanes; facorear; a la cuara fila sumarle ,

segunda y resarle las oras dos; sacar facor común; a la segunda columna sumarie '

ercera , y a esa, sumarle la cuara. Desarrollar. le laiii A la carta colmna smarle la segnda y la tercera.

r i i u i l Z Z “ * SUmarle 13 SE8Unda y ^ terCera; faCt° rea r; a 18

5-29. Agregar el vector de componentes 0,0, 1, como tercera fila y tercera colmnasegndo determinante. El prodcto es -1 8 . ^m m na del

5-30. El valor del determinante es 4.

5-31. El jacobiano es p2 eos 6.

5-32. El jacobiano es - — + ^U

5-33. Considerar(- l ) " D (A), y mltiplicar el escalar -1 por cada na de lasn colmnas.

5-34, Mltiplicar el determinante de la matriz particionada por 1 =

374 R ES P U ES TA S A LOS TRABAJOS PRACTICOS

I N

-B A -1 I

El lector pede verificar qe P Q

N R IPIIRI.

5-35. Muliplicar las dos marices y verificar que se obiene la idenidad.

5-36. Proceder como en el ejercicio anerior.

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T R ABAJO P R ACT IC O Vi

¿ ./ i .La preimagen del vector (—1 ,1 ) es j ( —2- k , 3 + 3k, k) /k e R } .

6-14. El sistema 1. admtela solción única X\ = 5 , x 2 = l , x 3 = —4.

El sistema 2. tiene infinitas solciones, dadas por x = 3 + 2fc, y ~ 1 — k,z = k.

6-15. Las dimensiones de los espacios solciones de los sistemas homogéneos, son,respectivamente: 2 , 1 , 0 , 2, 0.

6- 16 . 1 . { ( 1 , 0 , 1 ) , ( 0 , 1 , 1 ) ) .

2. ( ( 1 , - 1 , 1 ) ) .

4. ( ( - 1 , 1 , 0 ) , ( - 1 , 0 , 1 ) ) .

6-17. 1. Una base de S es { (—1 —/,/, 1) } y la dimensiónes 1.

1 2. Una base de S es { (1, —3 + / , —1 — 2i) | y la dimensión es 1.

; 6-18. Una base es { ( I , T, 1) J .

6-/9. Como p (A ) = 2, el sistema tiene solción única. El conjn to solción esT = ( ( - 1 , - 2 ) ) .

6-20. Tener en centa qe X = A" 1 B.

6-21. T - j k (2 ,3) /k e R ) .

6-22. El sistema tiene infinitas solciones, dadas por

X i =oc

2 =(i

x 3 = 1 - cí - 2 { }

x4 - —3 a — 2 0 con a e R, (3 e R,

1 / S - 1 0 o \1 6-23. Posmltiplicar por la inversa de A. Se obtiene X = - — 4 — 4 —12 .

2 0 \ - l 6 s )

6-24. 1. p( A ) = p ( A’) = 2 < 5. El sistema tiene infinitas solciones, dadas por

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3 76

* l = 2 ~ 3 a + 2 { 3- y

x 2 = a

x =/3

X 4 = y

x s - 8 - 5 a + 3 2 -y con a, 0, y eR .

2. Como p (A) = 3 y p (A’) = 4, el conjnto solción es vaco

3- P (A ) = p A-) = 3 < 5. Existen infinitas solciones, del tipo

* 1 = a + 0

x 2 = a

x 3 = 0

x 4 0

x s = 2ec + (3

R ES P U ES TA S A LOS TRABAJOS PRACTICOS

6-25. El sistema es compatible porqe p ( Á ) = o fA’l = 1 T™ i

solciónson + * / 4 2 H \ \ * W4 2 i1 ). k e R .

' \ ^ ¿ /

6-26. Las races de la ecación son: \ , = \ , = 1 A = _ i p -x _ isolciones son del tip o * , = - a x , = h v - \ 3Ai - A* - 1 las infinitasp \

_

r 1 — (7,ara A, - -1 , se obtiene = - 2 k , * 2 = 2k , x 3 = k.

k = o T * =1°3.Vpa°raSestosA; ^ C°efidentes- Se obti®ambas sitaciones. Para * = o el e s a d o T “ “ " * 1 * * 1

6-28.

M'1 =

y ' ^ c i r t én n in o s , se

Xl =

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0 0 . Trasponer ai segndo miembro los términos en z y aplicar el teorema de Cramer. Si lostres determ inantes son no n los, pede escribirse

TR A B A JO PRACTICO VI 3??

X y z

bt c x a t Ci ax bx

b 2 c 2 a 2 c3 a 2 b 2

6-31. Proceder como en 6-27. Para a distinto de 2 y de 3, se obtiene solción única. Paraa = 2 existen infinitas solciones y para a = 3 no existe solción.

6-32. Para a # ± 1 existe solción única. Para a = 1 el conjnto solción es infinito y paraa = —1 el conjnto solción es vaco.

(>•33. Analizar qé relación vincla a a y a b para qe exista solción única, ningna solcióne infinitas solciones.

(¡.4. Un sistema lineal y homogéneo es 74xj + 1 \ x 2 — 25* 3 = 0.

6-35. Analizar el determ inante de los coeficientes. La solción única es

b2 + c 2 - a2 a2 + c z - b2 a2 + b2 - c2 x ~ ------------------ , y - ------------------ . z = ------------------

2 b e 2 a c 2 a b

6-36. La solción e s x x = l , x 2 = 2 , x 3 =3.

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T R ABAJO P R ACT IC O VII

7-25. Se verifican los res primeros axiomas de la definición, pero no el cuaro.

El vector de componentes - ¿ y i es no nlo, pero <X, X >< 0.

7-26. No se verifica el axioma de simería .

7' 27- 1 : ; : i definición de oro8onaiidad y ~ ^

7-28. Es el teorema del coseno; despejar x y considerar el prodc to interio r <x , x >.

7-29. Para la condición necesaria prop oner na combinación lineal de x e y qe sea im.ai ,vector nlo y considerar el prodc to interior entre dicha combinación H . J 1 „misma. Sponer qe ambos vectores son no nlos. y

Para proba r la condición sficiente, siendo los dos vecto ra nn n „

ellos como múltip lo escalar del otro, por e jemplo y = « x . C a s t o r li x y II ^ *

7-30. Partir de la desigaldad de Schwarz y elevar al cadrado

* " • - “ “ * - C.L. qe sea

o ) e7 (nx cye)n= < r , x T i ? T i; r í m á 6 n d ' v 2 - R **• d( x, y) = ó í \ = y ( ) " ^ ( X . * ) + < f f e y ) . ( 3 ) d ( x , y ) > 0 y

'7-33. Probar qe / e s na trasformación lineal.

^ ^ t r n T c ^ l i ^ “ 108 aX¡0maS ^ Pr° dUCto Í nteriOT> “ « « * > qe / es na

7-35. Utilizar la definición de N.

736. Limando x e y a doB W o , del rom bo qe sean consectivos, las dia gonales son

de rombo, o sea II x I = II yT Pr< y ten " “ CUenta la deflnició"

7-37. Demosrar 3 haciendo x y = z; despejar x y apUcar 7.5.

p á r o l i x /- V y l l .eSSUflCÍ ene demMr ~ »V»« »x - yII y para eso,

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Para probar 2., parir de llx + yll2.

para demosrar 4., considerar II x 4- a y II2.

7-38. Tener en centa la definición de sbespacio generado por n conjnto de vectoresA = { Xj, x2 , . . xr } , y probar qe el prodcto interior entre x y calqier vector de

A es cero.7.9. Considerar n vector en el complem ento ortogonal de S.

1 740. Tener en centa 7.9.

741. 1 • Considerar v = (x, y, z ) y resolver el sistema qe se obtiene de las relaciones v 1 vt ,

3. y x =(1 , 0, 0), y 2 = (0, 1 ,0) y y3 = ( 0 , 0 , 1 ) son los vectores de la base ortonormal

pedida.

742.Efectar el prodcto in terior entre v y v¿.

' 743. Considerar el prodcto interior entre v¡ y

7.44. Probar qe el conjnto de todos los vectores ortogonales a A es n sbespacio de V, y

tener en centa las definiciones correspondientes.

1 745. Expresar cada n o de los dos vectores como combinación lineal de la base.

746. Desarrollar 0 < <a x + 0 y, a x + |3y>, hacer a =<y , y >y j3= - ( x, y >, y considerar que <x, y ><x Ty >= Kx , y> I2.

v l v 2 y II vi

2.Vi

(

747. 1. Pj X . Px P2 - 0; 2x - 2y + z - 5 = 0.

2. X = P0 + X A ; ~ = - — - = z +3 .2 —2

748. Es el paraboloide de ecación x 2 + y 2 + 2z2 - 2 xy - 6 x - 6v - 4z + 1 = 0.

7-49. P^X. A = Q\ax +ay - 2a2 =0.

7-50. d ^ —L y / H '

7 . v * . - y ~ 1 - z ~ 3

1 3 5

7-53. 2 (x ~ y + 2)2 + ( z - y + 2)2 - 2.

7-54. 18 x 2 + [ 3 ( z - 1) + 0 + l ) ]2 ~ 2 ( y + l )2

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[ z = + ^ p * = o c r - 2 '

U = 0

I 4 -^ "Z = ±

JL_ _~ P yo C

1 ^ - 0

7-5<í. 2* = ( 2 - ^ (2 —z.

7-57. X = M + X Mí 2; z= ¿ > aretg —.*

7-55. Desarrollar el produ co hermiiano.

7-59. Efectar el prodcto PP* = I.

7-60. Considerar el prodcto interior entre calqier fila i, con i < n , y tener en centa deacerdo con el ejercicio anterior, qe tal prodcto es 0.

7-61. Probar qe la fnción F : V V definida por F (x) = /„ , donde / x (y) = <x y ) es nisomorfismo. ’

n7-62. Desarrollar E ( x , v¡ >v,-.

3 8 0 R ES P U ES TA S A LOS TRABAJOS PRACTICOS

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T R ABAJO P R ACT IC O VIII

8-14. 1. X = - 5 , X2 = 5 son los valores propios.

Vecores propios son X: = | *j , X2 =

2. No exisen en R.

8-15. 1. Valores propios: 2 y 3.

Vecores propios: y | j

2. No exisen en R.

3. X1 =X2 =: 6, X3 = 11. Vecores propios asociados a 6 son

2\ X3 = 11, corresponde ( 0 j .

8-16. Suponer que exise algún valor propio nulo.

8-17. Considerar A X = X X y premltiplicar por la inversa de A y por el recproco de X .

8-18. Probarlo por indcción.

8-19. Partir de S' 1 A S Y.

8-20. 1. Para A, es X* = —1 + i, X2 = —1 — i. Los vectores propios asociados son ^ ^

1

1 - i

2. Para B, los valores propios son —1, 1, i.

8-21. Considerar P (X )- X” + c n^ X”“1 + . . . +C i X- fc 0

P(X) = ( X - X 1) . . . ( X - \ l).

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* '2Z X : í v l 0 eXPleSÍ Ón e P(X = D (X 1 " A); t a e r “ d * " * * > « “ • * »;dara

8-23. Partir de A X = X X y premltiplicar por A.

Tenel' “ CUe' lta los to o n n ta m t., de dos matrices tr aspestas son igales8-25. Los tres valores propios son igales a 1 y a éste le corresponde unsistema h or no s

cyo espacio solcion tiene dimensión 1. No es diagonalizable.

8-26. Considerar 8-18.

8-27. Sea T na m atriz trianglar sperior; considerar el valor de D (X í - T)

8-28. Tener en centa 8-18 y la definición de matriz nilpotente.

8-29. 1. Aplicar 8.3.4.

2. Aplicar 8-18.

^ T u V m t i z T '-’r nces — pceros. Aplicar despés 7. " a‘nZ r nos *

4. Aplicar la definición de traza.

5. Considerar 8-24.

6. Expresar los valores de tr AB y tr BA.

7. Asociar y aplicar 6.

8. Aplicar 7.

RESPUESTAS A LOS TRABAJOS PR ACTICOS

8-0. Hllr los vlor es y los vector es p r op ios y or tonomlizr éstos. Se obtiene/ 1 / 2

v r V5-

P2 =2 1

y /s /

Consid er r 8 5.3, II 0 se, l existenci de un mr iz P no smgulr , tl queA P I . Ap lici deter minntes y tener encuent 8 -27.

' 3 l '

1 68-32. P (A)

8-33, Consid er r P(A) - a¡ A' y tener en cuent q ue Af = A.

8-34. Por ser A her mitin, es A = Á(. Pr oed er como en 8 -33.

8-35. Pued e d emostr r se p or ind ucció n sobr ek.

8-36. Pr tir de P( 'A B) - .2 a¡ (~J A B); y p licr 8 -35.

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TR A B A JO PRACTICO VIII383

W 7 . X - | i ” MP1 —COS ip

8-38. Y - ( 1 cos . Respeco de los vecores Y, / represena una simería.

\ sen / *

/ cos¡p —sen kú \ * . . . .

S'39' P = \ - senl - cos l y represena la °°™P<»> °n de una roación de áng ulo „ y

una s imería axial.

8-40. Según 8.5.3. II, exise P no singular al que P 1 A P es trianglar sperior. Reslta/(P " 1 A P) trianglar sperior cya diagonal está formada por /( X j) ,.Además f ( P 1 A P) P" 1 /( A ) P es la forma trianglar de /(A ).

8-41. Tener en centa 8.5.

8-42. Considerar (a I + A) X.

8-43. Relacionar con 8-16.

8-44. ¡ * ^ "j" * ) n0 es diagonalizable.

La matriz 3 X 3 es diagonalizable y s forma diagonal es D =

- 0 0

o l °

0 0 1

8-45. Los valores propios de A son 1 y 4. Los valores propios de P (A) son 0 y 15. La forma

diagonal de P (A) es ( ^ ^\ 0 15

8-46. De acuerdo con 8-7 exise P e C [X] no nulo, al que P (A) = N, donde A es la matrizde / . Además, es

nP (i) = 7T ( - X¡), donde X,- e C.

O sea

N = P ( A ) = ¿ ( A - M )

3 ¿ta l qe A —X,-1 es singlar, pes si no, P(A ) sera inversible. En consecencia,existe X ^ 0 tal qe

(A - X I )X = 0

O sea

A X = XfX

Lego, existe n vector propio de /.

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T R ABAJO P R ACT ICO IX

9-15 Desarrollar ( f + g) (ax +b x\ y) , ( / + „ ( x c v + ^ , A ,( « f ) ( x , c y + d y \ definiendo la sma de fnciLneTv(“ /»(<« + 4x',y) y

fndones de aeerdo con las leyes de composición pnto a pmo“ ' 0 680313165 por 9-16. Desarrollar gy (x + x ’ y gr (ax).

9-17 - > y ^ ^ y , ^ y 3 +X 2 y 1 - 2 X 2 y 3 + X 3 y 2 + X 3 ^

B = P ( A P = / i 4 2

\ 2 3 1 7

donde P es la mariz de pasaje de la base dada a la base canónica

W * , « X = * « X = X 'A X = 3 I ! + ^ I ^ 2 ^ü )/ ( X ) = * ? - * 2 + , ¡ .

9-19.

I

A f '

1 1

Ver 4-65, i).

9 - 2 f ti )A = - ! - lI ,

\ « 2 ti2

ii) Desarrollar e, cuadrado, ^aplicar el operador sumaoria, ener en cuena que

x , = » x = 1 X y que 2 X? = t f X . Se obiene A = J _ _ - T í 1

Ambas matrices son idempotentes. ”

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TR A B A JO PRACTICO IX385

9-21. i Expresar en términos de g a / ( x + y ) - / (x —y).

ii) Lo mismo respecto de / (x + y) —/ (x) —/ (y).

9-23. La fnción h : V2 K definida por h (x, y) = ~ g (x, y ) es na forma bilineal sisimétrica

y la forma cadrática asociada es f.

9-24. Aplicar 9.7.1., desarrollando < /(x ),/(y )> y probando qe es igal a <x ,y >.

9-25. A part ir de S oc¡ f (v¡-) = 0, considerar { X « i/ (v/) , / (v; )>= 0.

Se preba qe ocj^O para todo /, o sea, / ( v j ) , / ^ ) , ... J ( v n ) sonlinealmenteindependientes y en consecencia constityen na base de V qe verifica

</(v ,) ,/(vy) >= ( y¡, Vy >= 5¡j, o sea, es ortonormal.

9-26. Tener en centa qe P Pf = I y qe Pf = P.

9-27. Considerar 9.7.5. y qe U Q = P U.

9-28. Sea A la matriz de / : C” -* C " ; de acerdo con el ejercicio 8-46, A admite n vector prop io, o sea existe X eC tal qe A Z = XZ. Observar que XeR, según 9.6.3.

Considerar que Z = X + ? Y, donde X e Y perenecen a R " y premuliplicar por A.

n n

U =

9-30. Xi = 1, X$= 4 ; por 9.10.1. A es definida positiva. La matriz de vectores ortonormaleses

/ V 2 V T '

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3 86R ESPUESTAS.A LOS TRABAJOS PR ACTICOS

Siguiendo 9.10.2. se form a D, = ^ 0 j y resul(a

0 = P D , =

9-31. La matriz ortogonal de vectores propios

± / V 3 - V 2 '

1

2 ^“ V 3 V3

2 2

V 6 V T /

de A = 1 —y/ 6

- y / 6 2

V ¡ \ y /2

La trasformación de coordenadas está dada por X = P Y, o sea

- V 2 y t )

1

es

*1

9-32. Sea /(X ) =X ' A X definida positiva y sea X = P V h

S (Y) = Yf B Y y es ta l qe B = P ' A P T a L / ' eS n° Si”8lar; entonc«

sficiente prob ar qe Y ' B Y= 0 =»Y = Ó. C o n s i d e r a ^ Y ^ V ^ X " ^ mÍ Sma ™ agen; es9-33. Tener en centa el ejercicio 8-17 y 9.13 2

9-34. i ) p ( A ) = 3; s = 3.

ii) p (A) *= l ; s = ].

9-35. Considerar 9.11, Se obtiene

A = S \ Ai = 6í—1 n 1

9-36. i ) Considerar 9.11.

ii) Considerar el ejercicio 8-17.

9-37. A es no singlar y A A* es simétrica. Según 9 10 2 A A f *> h r ortogonal tal qe Q* A A* Q = D = diae ( \ \ defimda posiiva. Existe Q

Jos valores propios de A Af son positivo, Vy/ ’ V ** Í T d®acerd<Lcon 9.9.3., donde

/ 1

50

2

5

/1 0

1

20 0 + 11 0 0 02

5.

04

5 / 2~0

1

4 /

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TRABAJO PR ACTICO IX 3 87

9-38. Aplicando 9-37 se obtiene A S P, donde S —j | ^ jes simétrica definida

positiva y P =es ortogonal.

j _ V i

V 3 \ / T

V J -V3 V3

9-Í P. Probar qe si / es definida positiva, existe na trasformación no singlar X = T Ydonde T es trianglar sperior y D (T) = 1, qe la redce a la forma

( Y ) = Y f D

g (Y = Y( D Y y l »donde a f > 0 , siendo D = ( T 1)* A T" 1. En consecencia,

D (D = D (A) > 0.

Haciendo x„ = 0, f se convierte en na forma cadrática respecto de n - lqe sigesiendo definida positiva; la correspondiente matriz se obtiene prescindiendo de la

última fila y de la última colmna de A. Reiterar el procedimiento.Para la sficiencia, tilizar el método de Lagrange, qe consiste en completar cadrados. Siendo an > 0 , existe na trasformación no singlar, trianglar sperior,

con determinante igal a 1, qe la redce am n

a l l z \ "*"f? 2 _í= 2 ^í;' Z ‘

Probar qe b22 > 0 , haciendo x J - z J = 0 para i = 2 , 3 , . . n, y reiterar el proce

dimiento.

9-40. Por ser / definida positiva, según 9.12.4., existe na trasformación de coordenadasn

X = P Y qe la redce a la forma 2 y i ■1 i=i

Se tiene Pf A P = 1, o sea A = (P P*)-1 • La trasformación aplicada a g es tal qeX* B X = Yf (P f B P) Y, donde P{ B P es simétrica. En consecencia, existe natrasformación ortogonal Y —Q Z qe la redce a na sma de cadrados cyos

coeficientes son los valores propios de P* B P.

X‘ BX = Z( (P Q )( B (P Q ) Z = 2 \ z\

n

Esta trasformación aplicada a Y( I Y la redce a z . La composición de las dos

trasformaciones: X = (P Q ) Z, redce ambas formas.

9-41. Demosrarlo por inducción sobre n = dim V.

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T R ABAJO P R ACT ICO X

10-6. Fronera de A es el conjnto

I (x i, x 2)e R 2 / f j j j | = i A ¡ j;2 1<2 j u ¡ ( i 2) i

vértices ( - 1, _ 2X (If _ 2)( (1 (

„ r ; : : ° •* *■ - — « • • « » & *

interiores. Pntos exteriores a A son los qe satisfacen1 S™

El derivado de A es A; o sea, A es cerrado

* = P = s S = = H ............................

Todos los pntos de acmlación de B pertenecen a n d

todos los elementos de B son pntos de acmlación d i b"“ ’ " Cerrad°' AdemáS’

3 ' condiciones^0 6 3 SU L<* interiores de C satisfacen las

XI X2 < 2 y X l > o y X 2 > 1

10-8. 1. Sea A cerrado. Considerar n p u nt o a e A c ' r e . n l ,

A. Lego, existe S (a, e) / s (a e) n A - a p ^ 3 ” 0 CS de acmlación detanto, A es abierto. ^ 1 >' E" con«* « encia, S (a, 6) C A ' y por lo

' a " £ lleg rrn aS!o T a d iqcciónXÍ Ste PU‘' t0 d° aCUmlació»* A qe pertenece a

>0-9. Sean: el hiperp,ano „ de ecación N ' X = * , a e , y Ia esfera abiera S (a e.

Considerando b = a + - — *P wrifí

b i enN‘ b > * , 2 " N " ^ i3’ 6’ P" M b - « = f <«■ Ahora

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10-10. El conjnto del ejercicio 10-6 no es convexo. Los tres conjntos de 10-7 sonconvexos.

10*11. Probar primero qe el conjnto vaco es abierto. Sea | A¡¡ i e N } na familianmerable de abiertos. Si esta familia es vaca, entonces A = U A ¡ es el conjnto vaco,

i e Ny en consecuencia es abiero. Si la familia no es vacía, cada abiero de la misma es una

unión de esferas abieras. De ese modo, A es la nión de tales esferas abiertas, y por lo

tanto es n conjnto abierto.Se ha tilizado la sigiente propiedad: n sbconjnto C C R" es abierto si y sólo si es

na nión de esferas abiertas.

10-12. Sea { A ¡ / i e In } na familia finita de abiertos. Si esta familia es vaca, entoncesn

A = O A; es el espacio tota l, qe es abierto (probarlo). Spongamos ahora qe lai=i

familia es no vaca; si A es vaco, entonces es abierto. Consideremos entonces qe A esno vaco y sea a e A.

Se tiene

a e A =►a e A¡, Vi =>3 ef / S (a, e¡) C Af, para cada i.

Sea e el mnimo del conjnto { ex , e2 , . . . , en | . Entonces para cadai se verifica qe

S (a, e) C S (a, e¡)

en consecencia, para cada i es

S (a, e) C A¿ por lo ta nto S (a, e) C A. Lego, A es abierto .

10-13. Aplicar 10-11, 10-12 y las leyes de De Morgan.

10-14. El casco convexo generado por los pntos dados, es el pentágono convexo de vértices( - 1 , - 1 ) , ( - 1 , 2), (1 ,3 ), (2, 3), (1, -1 ). Además, (0, 0) es combinación convexa de

(1 , -1 ) y ( -1 ,1 ) , donde t = - ^ .

10-15. Aplicar la definición de convexidad y de la fnción dada.

10-16. Tener en centa qe el conjnto solción del sistema es la intersección de n

hiperplanos de Rn, y qe éstos son convexos.

10-17. Considerar qe

ye C= * y = ax donde a > 0 , x e A.

Mltiplicar por /3 > 0.

10-18. El cono generado por la intersección de los dos conjntos está caracterizado por

4 x 2 + 4 y 2 - z 2 < 0

z > 0

10-19. Utilizar la definición de cono y de C" .

TR A B A JO PRACTICO X 389

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390 R ESPUESTAS A LOS TRABAJOS PR ACTICOS

10-20. Aplicar Ja definición de C1 y mltiplicar por a > 010-21 til iza r la deflnic¡ón de CQno ortogonal y Ja cond ¡ción s&ien te ^

conos 31 Un VeC‘° r 2 6 C ’ mUltÍ P,Í Car P » O- y ‘ ere n cuena que Cl y C_

/ M i . Sea X , ^ a n u d a d de liros de licor / que se desina a la mezcla/, donde / = i, 2 ,3

y

2 son

/

i N.1 2 3 Disponibilidades

en lirosCoso por

liro

1

2

3

* 1 1 x 12 j f J3

* 2 1 * 22 * 23

* 3 1 * 3 2 * 3 3

6.000

7.500

3.600

63

45

36

Precio--------- -------------- 1

de vena 68 57 45 po r li ro

Objeivo: maximizar

F = 5 * n - &. 2 - l &13+ 2 3 * 2, + 1 2 * *2+ 32* 3, + 2 1 ^ + 9 . ^Sujea a las resricciones:

* n + * 1 2 + * i 3 < 6 . 0 0 0

*21 + * 2 2 + * 2 3 < 7 . 5 0 0

* 3 1 + * 32 + * 3 3 < 3 . 6 0 0

* 1 1 > 0 . 6 ( x n + x 2i + * 3 1 )

* 3 1 < 0.2 ( * j j + x 21 + x 3 l )

* 3 2 < 0 . 6 ( x 12 + ^ 22 + ^ 23

* 1 2 ^ 0.15 ( x 12 + x 22 + X 32)

* 3 3 < 0.5 ( * i 3 + X 23 + X 33)

XU > 0 1 , 2 , 3 , j = 1 , 2 , 3

especifica el número de rollos del c r e /. V o b fe n e faTigÚ fente tabla-'' ^ ™ Í able “ “

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TR A B A JO PRACTICO X 391

númerorollos

ancho * 1 * 2 *3 *4 * 5 * 6 * 7 * 8 x 9 *10 *11 *12

58 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

26 0 0 3 2 2 1 1 1 0 0 0 0

24 1 0 0 1 0 2 1 0 3 2 0

23 0 1 0 0 1 0 1 2 0 2 3

Desperdidoen cm 0 1 4 6 7 8 9 10 10 11 12 13

.. . .

Minimizar

F = x 2 + 4 * 3 + 6 * 4 + 7 * s +&x6 + 9 x n + 10*8 + 10 x9 + 1 U 10 + 12xn + 13x12

Sujea a las resricciones:

* 1 + * 2 > 60

x , + x 4 + 2 * 6 + * 7 + 3 * 9 + 2 x 10 + * 1 1 > 8 5

*2 + * 5 + *7 + 2 * 8 + * 1 0 + 2 * u + 3 * 12 > 5 0

* j > 0 , 7 = 1 , 2 , . . . , 12.

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INDICE

Adjnta de na matriz, 170

Anglo entre vectores, 223Anillo de matrices, 109Atomorfismo, 69

Base, 53, 54, 58cambio de, 146fan, 280ortogonal, 303ortonormal, 225,304

teorema de extensión, 56

Cambio de base, 146, 295Casco convexo, 338Chio, regla de, 174Clasra, 329Combinación lineal, 30, 217

convexa, 336Composición de trasformaciones, 92

Complemento ortogonal, 229Condiciones de vnclo, 352de no negatividad, 352

Congrencia de formas cadráticas, 314de matrices, 295

Conjnto abierto, 328acotado, 329cerrado, 328convexo, 336de combinaciones lineales, 34derivado, 328

linealmente dependiente, 45, 78

linealmente independiente, 42, 79maximal, 65ortogonal, 225solción de n sistema, 189

Cono, 356ortogonal, 357

Convexidad en R" , 376Coordenadas, 44

esféricas, 179

trasformación de, 145Cramer, teorema de, 187Crvas, 246

Dependencia lineal, 45, 78,160

Descomposición especral, 311

Desigualdad de Schwarz, 222

riangular, 223

Deerminane, 155

de la raspuesa, 166

del produco, 169

de Vandermonde, 168, 178

exisencia de, 161

propiedades de, 157

unicidad de, 163

Diagonalización de marices, 308

de operadores simétricos, 307

Dimensión, 57, 59

de la imagen, 80

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3 94

de la suma, 60

del núcleo, 80

Fan, 279

Forma bilineal, 289, 291cuadráica, 294,305,314,318hermiiana, 293

lineal, 101,257

Funcional, 101

Función objeivo, 349, 352

Gau ss-Jordan, m é to d o de, 135 186Gram-Schmidt , 228

Hamilton-Cayley, teorema de, 282Hélice circlar, 248

Helicoide recto, 26 1Hiperplano, 233

soportante, 343

Imagen de na trasformación lineal 7 4 80 propiedades de, 75 ’ ’

Independencia lineal, 42, 58Indice de positividad, 305de nlidad, 305

Inversión de matrices, 138, 1 4 1 , 172Investigación Operaiva, 346

Isomorfismo, 69

Jacobiano, 178

Marices equivalenes,133

produco de, 85 ,9 6 ,106

permuables, 107

semejanes, 147, 275

riangulación de, 279

Mariz, 11,33, 71

adjuna, 170

ampliada, 182

anisimétrica, 29,112compleja conjgada, 118definida positiva, 310de pasaje, 144

I NDICE

de na forma, 291,293de traza nla, 19,38, 65de na T.L., 8 6 , 146

de n sistema lineal, 182elemental, 114

forma canónica de, 133

hermitiana, 12 0

idempotente, 115identidad, 108

inversa, 116,141,172involtiva, 115, 274no singlar, 134

particionada, 121

rango de, 126,138rango colmna de, 124rango fila de, 125

simétrica, 29, 112traspesta de, 110

traza de, 19, 152, 286trianglar, 28,114

Método de Gass-Jordan, 135, 13 8

de Gass redcido, 210de la raz cadrada, 202del orlado, 205

Menores principales, 319Módlo, 218

Monomorfismo, 69, 77

Norma, 218

Núcleo de unaT.L., 72, 80, 183de n monomorfismo, 77

Operaciones elemenales, 129

Operadores adjunos, 298

auoadjunos, 299

hermiianos, 299

orogonales, 300

simétricos, 399, 307traspestos, 298nitarios, 300

Orogonalidad, 219, 225Oronormal, base, 225

complemeno, 229

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INDICE 395

Parición de marices, 121

Permuaciones, 163

Plano, 239

Polinomio caracerísico, 270, 277

Produco inerior, 214

hermiiano, 259

Programación Lineal, 346Proyección, 105, 232

de na crva, 253de n sbespacio, 281

Pnto de acmlación, 327extremo, 344frontera. 326

Interior 326

Rango colmna, 124de na matriz. 126,135 , 184del prodcto, 127

fila, 124Recta, 236,330Rotación, 268Roche-Frobenis, 188

Segmento, 330Semiespacio, 335Semejanza, 147Signatra, 305Simplex, 355Sistema de ecaciones, 181, 190, 198, 202

compatible, 183,188incompatible, 183

Sistema de generadores, 51, 58Schwarz, desigaldad de, 222Sma de sbespacios, 23, 29,60, 231

directa, 25 ,61 , 105

Sylvester, teorema de, 306

Trasformación lineal, 66 ,68

biyectiva, 69composición, 96diagonalización de, 269, 276imagen de, 74inversa, 93matriz de, 86no singlar, 93núcleo de, 72 polinomio caracterstico de, 275

Teorema de Cramer, 257de Hamilton-Cayley, 282del coseno, 257de Roche-Frobenis, 188de Pitágoras, 221de Sylvester, 306de extensión, 56fndamental de las T.L., 83

Trasformación de coordenadas, 145, 309

de matrices, 279Trasposición de matrices, 110de na permtación, 163

Unión de sbespacios, 22

Valores propios, 263de n operador hermitiano, 300de n operador nitario, 303

Vectores, 2ánglo entre, 223combinación lineal de, 30cosenos directores, 240

algebra ii - armando rojo

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