Álgebra - 1er año

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I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

Sub – Área: Álgebra 1º Secundaria

Sistema Preuniversitario

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Es aquella expresión formada por números y letras unidas por diversas operaciones matemáticas definidas sobre estos números y letras.

Ejemplo :

5 14 3x xy x log

VARIABLEMagnitud que cambia de valor según el problema a determinar, generalmente se le representa por las últimas letras del alfabeto (x; y; z; ...)

CONSTANTEMagnitud que se mantiene fija según el problema a determinar, generalmente se le representa por las primeras letras del alfabeto (a; b; c; ...). Las constantes pueden ser de dos

clases:

Constantes absolutas.- Es un valor determinado. (Números)

Constantes Relativas.- Llamadas también PARÁMETROS, es un valor que varía de un problema a otro; es decir que no permanece fijo indefinidamente.

NOTACIÓN MATEMÁTICAEs la representación simbólica de una expresión matemática que nos va a permitir diferenciar variables de constantes.


Hace unos siglos, el nombre no sabía tanto como sabe ahora, ni conocía tanta ciencia (creemos) ni tanta técnica como en nuestros días. Y estamos seguros ..... muy pronto sabremos poco, comparado con lo que sabrán nuestros hijos y/o nietos. Y eso ocurre porque todo está en movimiento permanente y tendiendo al cambio. El ser humano fue aprendiendo de poco a poco, pasó etapas de cazador, recolector, ganadero antes de ser agricultor. En las tres primeras etapas, quiso contar lo que cazaba, lo que recolectaba o pescaba, o el ganado que pastaba. Por supuesto que en su necesidad de contar no tenía los instrumentos, ni siquiera los símbolos que tiene ahora. Sin embargo, él sabía cuándo le faltaba una oveja en su rebaño. Ya abstraía aunque rudimentariamente.... la idea de número estaba allí, en su mente (tengo tantas ovejas).

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Nació : 2 de Noviembre de 1815 en Lincoln,

Lincolnshire, InglaterraFalleció : 8 de Diciembre de 1864 en Ballintemple,

County Cork, Irlanda

Boole recluyó la lógica a una álgebra simple. También trabajó en ecuaciones diferenciales, el cálculo de diferencias finitas y métodos generales en probabilidad.

Boole primero concurrió a una escuela en Lincoln, luego a un colegio comercial. Sus primeras instrucciones en matemática, sin embargo fueron de su padre quién le dio también a George la afición para la construcción de instrumentos ópticos. El interés de George se volvió a los idiomas y recibió instrucción en Latín de una librería local.El álgebra Booleana tiene una amplia aplicaciónen el switch telefónico y en el diseño de computadores modernos. El trabajo de Boole ha llegado a ser como un paso fundamental en la revolución de los computadores hoy en día.


EXPRESIÓN ALGEBRAICAConjunto de variables y constantes unidos por las diferentes operaciones fundamentales (adición, sustracción, multiplicación, radicación, división, potenciación y radicación) un número limitado de veces.

Ejemplo:

1. 3x2y – 4x3y2

2. xy + xz + xyz

Término Algebraico

Es aquella expresión algebraica que tiene un solo sumando.

Ejemplo:

1.

2.

Partes de un Término Algebraico


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1. Reducir:

2(x + 4) – 3 (x + 3) + 4 (x – 2)

a) 3x b) 3x + 9 c) 9d) 3x –9 e) –9

2. Reducir:

2(12x - 4) – 3 (8x – 3)

a) –1 b) 1 c) 2d) 24x e) 12x

3. Reducir:

a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9

4. Reducir:

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

5. Reducir:

a) 9 b) 10 c) 4d) 12 e) 13

6. Calcular:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

7. Reducir:

a) 1 b) 2 c) 3d) 5 e) 6

8. Reducir:

5 (2x + 3) – 4(7x – 4) + 3 (6x – 5)

a) 12 b) 16 c) 14d) 18 e) 10


A C T I V I D A D E N A U L A

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1. Efectuar:

5x + 6x + 7x

a) 12x b) 15x c) 18xd) 21x e) 23x

2. Reducir:

5x – 6x + 7x – 8x + 9x

a) 5x b) 6x c) 7xd) 8x e) 9x

3. Efectuar:

4xy – 5xy + 6xy + 7xy – 8xy

a) 4xy b) 5xy c) 7xyd) 6xy e) 8xy

4. Reducir:

5m + 6m + 7m – 18m

a) m b) 0 c) –m d) 2m e) –2 m

5. Señalar el coeficiente del resultado, al

simplificar:

a) 12m5 b) 5 c) 21m5

d) 732 e) 12

6. ¿Cuál es el coeficiente al reducir :

?

a) 10a4 b) 10 c) 13a4

d) 4 e) 25

7. Efectuar en cada caso:

8. Reducir:

a) 9x b) 15x c) -14d) 18 e) 15x + 4


A C T I V I D A D D O M I C I L I A R I A

La confianza en sí mismo, es el secreto del

éxito

La confianza en sí mismo, es el secreto del

éxito

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TÉRMINOS SEMEJANTES

Son aquellos términos algebraicos, que tienen la misma PARTE LITERAL, es decir las mismas variables elevados a iguales exponentes.

Ejemplos :

1. , , son T.S

2. 5m , 6m , son T.S

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES

Si descubrimos que dos o más términos son semejantes, estos pueden ser reducidos a uno solo, sumando o restando los coeficientes y escribiendo la misma parte literal.

Ejemplos:1. Reducir:

7x2 + 3x2 = ( 7 + 3 )x2

= 10x2


El espíritu práctico que animaba a los romanos no les permitió hacer grandes progresos en los teóricos de las ciencias matemáticas. Esto se comprende mejor aún, si se piensa en las deficiencias de sus sistemas de numeración, que crearon siguiendo la huella de los griegos. Los hindúes llegaron a cuestiones más abstractas, tal como se puede apreciar en el manuscrito Bakhshali que data del siglo VII. (D.C.).

El espíritu práctico que animaba a los romanos no les permitió hacer grandes progresos en los teóricos de las ciencias matemáticas. Esto se comprende mejor aún, si se piensa en las deficiencias de sus sistemas de numeración, que crearon siguiendo la huella de los griegos. Los hindúes llegaron a cuestiones más abstractas, tal como se puede apreciar en el manuscrito Bakhshali que data del siglo VII. (D.C.).

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Nació : 24 de Marzo 1809 en Saint-Omer, Francia

Falleció : 8 de Septiembre 1882 en París, Francia

Liouville llegó a ser profesor de la Escuela Politécnica en París en 1833. En 1836 fundó un diario de matemáticas, “Diario de las matemáticas puras y aplicadas”. Este diario, conocido a veces como el “Diario de Liouville”, entregó mucho de las matemáticas de Francia, a través del siglo XIX.

Investigó los criterios para las integrales de funciones algebraicas para ser analíticas durante el periodo 1832-33. Esto llevó a probar la existencia de los números trascendentales en el 1844 cuando construyó la clase infinita de tales números.

Su trabajo en los problemas del valor del límite en las ecuaciones diferenciales es recordado a causa de lo que hoy llamamos Teoría de Sturm-Liouville, la cual es usada en la resolución de las ecuaciones diferenciales. Esto tuvo mayor importancia en la física matemática.


OPERACIONES CON TÉRMINOS ALGEBRAICOS EN Q

El tema de hoy es muy similar al del capítulo anterior, con la única diferencia que ahora los coeficientes son números racionales (Q).

Sin embargo, es bueno recordar las operaciones con fracciones y decimales, pues esto nos permitirá hacer los cálculos respectivos de una manera más rápida.

Veamos los siguientes ejemplos:

Mínimo Común Múltiplo

Observa como se ha multiplicado


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1. Reducir:

4x – [3x + 2y – (x + 2y)]

a) x b) 2x c) –xd) –2x e) 2x – 4y

2. Reducir:

2(x + 2) + 3(2x + 3) +4(3x + 4) – 5(4x)

a) 23 b) 25 c) 27d) 29 e) 31

3. Reducir:

3(a2 + 3a) + 4(a2 + 4a) + 25a2 – 25a

a) 4a2 b) 8a2 c) 16a2

d) 4322 e) 64a2

4. Efectuar:

3a2 – (2a2 – b2) – (a2 + 3b2) + 2b2

a) a2 b) 2 a2 c) b2

d) 2b2 e) 0

5. Simplificar:

a) x b) 2x c) 3xd) 4x e) 5x

6. Efectuar:

5m – [4m – (3m + n) + 2n] – 3n

a) 2m – 2n b) 3m – 3nc) 4m – 4n d) 5m – 5n e) m – n

7. Reducir: 3x – {-2x + (x – 2y)} – (- [x] + 2y)

a) 2x b) 4x c) 5xd) 2y e) 3x

8. Efectuar:

a) -x b) 4x c) –3xd) –2x e) 2x




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1. Si los términos:

son semejantes, calcule:

a) 5 b) 100 c) –25d) 36 e) 25

2. Efectuar:

a) x b) 2x c) 3xd) 4x e) 5x

3. Reducir:

a) b) c)

d) e)

4. Efectuar: 3x – [2x + (x – 5)]

a) x+5 b) -x+5 c) x – 5d) x e) 5

5. Reducir:

a – (b –a) + (-b + a) – (- b – a) – (-b)

a) 5a b) 4b c) 3a d) 4a e) 3b

6. Reducir:

a) b) c)

d) e)

7. Reducir:

x

2

x

3

x

4

x

12

a) x b) 2x c) 3xd) 4x e) 5x

8. Efectuar:

x

2

x

3

x

6

a) x b) 2x c) 3xd) 4x e) 5x


A x y( ) m n( )xmyn

B x y( ) m n( )x2y6 n

m nn m

m

La instrucción es el adorno del rico y la riqueza del pobre.

La instrucción es el adorno del rico y la riqueza del pobre.

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Los babilonios utilizaban la elevación a potencia como utilizar de la multiplicación, y los griegos sentían especial predilección por los cuadrados y cubos. Diofanto, siglo III (D.C.), ideó la yuxtaposición adhesiva para la notación de las potencias. Así x, xx, xxx, etc., para expresar la primera, segunda, tercera potencias de x. Renato Descartes (1596 – 1650), introdujo la notación x, xx, x3, x4, etc.


La potenciación es aquella operación matemática que consiste en multiplicar un número llamado base tantas veces como indica otro número llamado exponente.

POTENCIA

Es el resultado obtenido al multiplicar un número, llamado BASE, cierta cantidad de veces; esta cantidad es el EXPONENTE.

Ejemplos: Exponente

Potencia

Exponente

Potencia

Exponente natural:

; n N; a R

PROPIEDADES

1. am . an = am + n ; m, n N

2. ; m, n N

3. a0 = 1 ; a 0

4. 0n = 0 ; n 0


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1. Reducir:

a) ab b) 2ab c) a2b2

c) a + b e) 2a2b2

2. Efectuar:

(5x3) (4x2) (3x)

a) 6x6 b) 16x6 c) 60x6

d) 66x6 e) 60x5

3. Efectuar:

(3a + 5a + 7a) (3a – 5a + 7a)

a) 3 b) 3a c) 5d) 5a e) 1

4. Calcular:

{21 . 2-3} {2-4 . 2-5}

a) 8 b) 16 c) 32

d) 64 e) 128

5. Efectuar y reducir:

2x . x2 . x3 + 3x2 . x2 . x + 6x6

a) 12x18 b) 11x18 c) 12x6

d) 11x6 e) 6x11

6. Calcular:

(25 . 34 . 43) (24 . 33 . 42)

a) 6 b) 12 c) 24d) 36 e) 72

7. Multiplicar:

(-5x4) por (-4x5)

a) 9x9 b) –20x5 c) 20x9

d) 9x9 e) – 9x20




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1. Reducir:

(a2 b5) (a8b7) (a-9b-11)

a) ab b) a2b2 c) a3b3

d) a4b4 e) a5b5

2. Simplificar:

a) a3 b) a5 c) a15

d) 3a5 e) 3a3

3. Hallar el exponente final al efectuar: x. x2. x3. x4. ........ x9. x10

a) 20 b) 55 c) x55

d) x20 e) 25

4. Reducir:

a) x b) x2 c) x3

d) x e) x8

5. Reducir:

(3a8 + 5a8 + 7a8) (8a3 + 2a3 – 5a3)

a) 3a8 b) 3a3 c) 3a5

d) 3a e) 3

6. Efectuar:

a) 3 b) 9 c) 81d) 243 e) 729

7. Reducir:

a) x0 b) x c) x2

d) x3 e) x4

8. Reducir:

a)-36x11 b)36x10 c)36x11

d)-36x10 e)1


Las ciencias y las letras son el alimento de la

juventud y el recreo de la vejez.

Las ciencias y las letras son el alimento de la

juventud y el recreo de la vejez.

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