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17 18COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria ÁLGEBRA 4to. Año Secundaria

I. OBJETIVOS ESPECÍFICOS

• Expresa un polinomio como una multiplicación indicada de factores primos.

• Identifica un factor primo sobre un determinado campo numérico.

• Comprende que la factorización es el proceso contrario a la multiplicación

II) COMENTARIO PREVIODesde tiempos muy lejanos en todo argumento matemático estuvo presente siempre, la teoría de números los cuales se apoyan en la parte algebraica, como una necesidad para facilitar la resolución de las ecuaciones polinómicas surgen los diversos procedimientos de transformación de polinomios a los cuales se les denomina FACTORIZACIÓN, en el cual se busca expresar un polinomio como una multiplicación indicada de otros polinomios de menor grado.

Recordemos que en la multiplicación algebraica se aplica la propiedad distributiva, de la siguiente manera.

xzxyx)zyx(x 2 ++=++

Por medio de la factorización podremos restituir los factores de una expresión que se obtuvo de la ejecución de una multiplicación, veamos:

)zyx(xxzxyx2 ++=++

De lo expuesto concluimos que la factorización es el procedimiento recíproco al establecido por la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición y/o sustracción.

En este capítulo desarrollamos el tema con algunos conceptos de los números reales, polinomio irreductible, factor primo, así como los criterios para poder factorizar polinomios sobre determinados conjuntos numéricos

III. CONTENIDO TEÓRICO

DEFINICIÓNEs el proceso de transformaciones sucesivas de un polinomio en una multiplicación indicada de polinomios primos, denominados Factores primos, dentro de un conjunto numérico.

FACTOR PRIMOEs la mínima expresión algebraica en la que sus elementos se encuentran ligados por las diferentes operaciones aritméticas, excepto la adición y sustracción.

Ejemplo:

49x)x(f 4 −=

a) Factorizando en el conjunto Q.

QenimosPr

22222 )7x)(7x(7)x()x(f −+=−=

∴Existen 2 factores primos en Q

b) Factorizando en el conjunto R

f(x) = (x2 + 7) (x2 – 7)

RenimosPr

2 )7x)(7x)(7x()x(f −++=

∴Existen 3 factores primos en R

c) Factorizando en C, tendremos:

)7x)(7x()7x()x(f 2 −++=

f(x) = [x2 – ( 7 i)2 ] (x+ 7 ) (x – 7 )

CenimosPr

)7x)(7x()i7x)(i7x()x(f −++−=

∴Existen 4 factores primos en C

OBSERVACIONES:

Generalmente el conjunto numérico a utilizarse será el de los racionales, salvo se indique lo contrario.NUMERO DE FACTORES PRIMOSEl número de factores primos depende del conjunto numérico en el que se trabaje. En los racionales el número de factores primos se calcula contando los factores de la base.

Ejemplos:

a) F(x) = (x+1) (x2–x+1) → Tiene 2 factores primos

b) P(x) = (x–12) (x+2) (x+2)(x–5)3 → Tiene 3 factores primos

NUMERO DE FACTORES DE UN POLINOMIODado el polinomio “P” , el cual luego de ser factorizado totalmente se expresa así:

cba CBAP =

Siendo A, B y C sus factores primos; el número de factores del polinomio P, se calcula de la manera siguiente:

)1c)(1b)(1a(Fact# +++=

Ejemplo: Sea P(x)= (x–1)2 (x+2) (x–5)3

N° factores = (2+1) (1+1)(3+1)

24FactoresN =°

NUMERO DE FACTORES COMPUESTOSLas Factores compuestos resultan de la combinación de los Factores primos:Ejemplo:

P(x,y) = x2y , tienen los sgtes, factores .

compuestoFactor:2x2

primoFactor:y

polinomiocualquierdefactores,cerodogradePolinomio;1

2

compuestoFactor:yx

compuestoFactor:xy

primoFactor:x

yx

Por lo tanto; x2y: tiene 6 factores y 3 factores compuestos.

Cálculo de manera directa: P(x,y) = x2yN° factores = (2+1)(1+1) = 6

N° Fact. compuesto = 6 – 2 – 1= 3

FACTORES ALGEBRAICOSSe denomina así, aquel que por lo menos tiene, o presenta una variable.

Ejemplos explicativos:

01. F(x) = (x+1)2 (x–4)3. Hallar el número de Fact. algebraicos

Solución

* N° Fact = (2+1) (3+1) = 12

* N° Fact Algebraicos = 12– 1 = 11

P(x) = primo.fact

2

primo.factprimo.factesNo

)2x()1x(6↓↓↓

−−

Por tanto colocamos los factores primos del 6, de la siguiente manera:

S4AL32B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4AL32B “El nuevo símbolo de una buena educación...."

FACTORIZA


P(x) = 2 . 3 (x – 1) (x – 2)2

Existen 4 Factores Primos

Luego:

Totales

.FactdeN° = (1+1) (1+1) (1+1) (2+1) =

24

Factores Primos del N° 6 = 2 . 3

N° de Divisores del 6 = (1+1) (1+1) = 4

Por lo tanto :

N° Fact. Algebraicos=N° Fact totales - N° Divisores del número 6

Reemplazando:

N° Fact Algebraoicos = 24 - 4

20.lgA.FactN =°

MÉTODOS DE LA FACTORIZACIÓN

A) FACTOR COMÚN MONOMIO Y/O POLINOMIO

Se utiliza cuando todos los términos del polinomio tienen un factor que le es común. El factor común puede ser un monomio o un polinomio.

Ejemplo:– Factorizar:

91187510 yx25yx10yx5 −−

=

)yx5y2x(yx5 4433

monomiocomunFactor

57 −−

– Factorizar :

P(x,y,z)=(x – y + z) a + (y – x – z) b

= (x – y + z) a – (x – y + z) b

=

)ba()zyx(

polinomiocomunFactor

−+−

B) MÉTODO DE AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS.

Consiste en agrupar los términos del polinomio por binomios, trinomios, que luego de descomponerlos a su vez en dos factores, aparece algún factor común a todas las agrupaciones realizadas.

Ejemplos explicativos:

1) Factorizar:

F(a,b,c)= abc+ab+ac+bc+a+b+c+1

Solución:

Agrupando en la forma indicada.

1cbabcacababcF +++++++=

•• F = ab (c+1) + ( aab + +b+1)

)1baab()1c(F ++++=

F = (c+1) [a(b+1)+(b+1)]

Extrayendo Factor común del corchete (b+1)

)1a)(1b)(1c(F +++=

2) Factorizar :

76

524334567

yxy

yxyxyxyxyxx)y,x(A

++

+++++=

Solución .

♦Agrupando convenientemente:

A(x,y) = x6 (x+y)+ x4 y2 (x+y)+ x2 y4 (x+y)+y6

(x+y)

♦Extrayendo Factor común:

A(x,y)=(x+y) ( 642246 yyxyxx +++ )

A(x,y)=(x+y) [x4 (x2+y2)+ y4 (x2+y2)]

Extrayendo el Factor común: (x2 + y2) dentro del corchete.

)yx)(yx)(yx()y,x(A 4422 +++=

Observe que:

(*)Existen 3 factores primos : (x,y) , (x2+42) y (x4+y4)

(*)Presenta 1 Factor Lineal : (x+y)

(*)Presenta 1 Factor cuadrática: (x2 +y2)

C) MÉTODO DE LAS EQUIVALENCIASConsiste en aplicar las equivalencias o productos notables de manera directa o inversa, es decir, del producto pasar a los factores. Veamos algunos Ejemplos explicativos:

1. Factorizar

N = x6 – x4 + 2x2 – 1

Solución:Agrupando los tres últimos términos y extrayendo el signo(–).

N = x6 – ( 1x2x 24 +− )

N=x6 – 22 )1x( − ...... Diferencia de

cuadrados

∴ )1xx)(1xx( 2323 +−−+

2. Factorizar:P(a,b,c,d) =

bc2ad2dacb 2222 ++−−+

Solución:P(a,b,c,d)=

)ad2da()bc2cb( 2222 −+−++

P(a,b,c,d)= 22 )da()cb( −−+ Diferencia de

cuadrados .)dacb)(dacb()d,c,b,a(P +−+−++=

D) MÉTODO DEL ASPA SIMPLE

Se utiliza para factorizar polinomios que adoptan la siguiente forma general:

n2nnn2 cyybax ++

El método consiste en descomponer los términos extremos, de tal manera que al multiplicar en aspa y sumar los resultados y nos produzca el término central, siendo los factores las sumas horizontales.

Ejemplo Explicativos

1. Factorizar : 8x2 – 22x + 15

Solución:

8x2 – 22x + 15

4x - 5 = - 10x +

2x - 3 = - 12x

-22x

∴ Los factores son: (4x - 5) (2x - 3)

2. Factorizar : abx2 + (a2 + b2)x + ab



Solución :

abx2 + (a2 + b2)x + ab

ax +b = b2 x +

bx +a = a2 x

x(a2 + b2)

∴ Los factores son: (ax + b) (bx + a)

E) MÉTODO DEL ASPA DOBLE

Se emplea para factorizar polinomios que tiene la sgte. forma general

FEyDxCyBxyAx 22 +++++

Pasos:

1° Se trazan 2 aspas simples entre los términos:

( )22 CyAx ∧ , además ( )FCy 2 ∧

2° Si faltaran términos se completarán con ceros

3° Se traza un aspa grande entre los extremos

4° Se verifican las aspas simples y el aspa grande

5° Se forman factores como el método anterior (horizontalmente)

Ejemplos explicativos

1) Factorizar :

A(x,y) = 3x2 + 4xy + y2 + 4x + 2y + 1

Solución :

A (x,y) = 3x 2 + 4xy + y 2 + 4x + 2y + 1

3x

x

+y

+y

+1

+1(I) (II)(III)

Comprobaciones :

(I) : (3x) y + x (y) = 4xy

(II) : y (1) + y (1) = 2y

(III) : 3x (1) + x (1) = 4x

Finalmente :

∴ (3x + y + 1) (x + y + 1)

F. MÉTODO DEL ASPA DOBLE ESPECIAL

Se utiliza para factorizar polinomios de 4to. grado de la forma general.

Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E

Pasos :

1° Se aplica un aspa simple en los términos extremos : (Ax4 ∧ E)

2° El resultado se resta del término central : Cx2

3° Expresar las diferencias en dos factores y colocarlos debajo del término central.

4° Luego se aplican dos aspas simples, y se toman horizontalmente.


1) Factorizar : A(x) = x4 + 5x3 + 9x2 + 11x + 6

Solución :

A(x) = x 4 + 5x 3 + 9x 2 + 11x + 6

x2

x2

4x

x

(I) +3

+2 (II) (III)

Se observa que :

(I) (2) (x2 + x2(3) = 5x2

. luego : 9x2 (término central) – 5x2 = 4x2

. se descompone 4x2 en 2 factores : (4x) (x)

(II) x2(4x) + x2(x) = 5x3

(III) 4x(2) + x(3) = 11x

Finalmente :

A(x) = (x2 + 4x + 3) (x2 + x + 2)

G. CRITERIO DE LOS DIVISORES BINOMIOSSe utiliza para factorizar polinomios de cualquier grado y de una sola variable que aceptan factores binomios de la forma (ax ± b).

Cero de un Polinomios : Es el valor o conjunto de valores que tienen la propiedad de anular (valor numérico cero) a determinado polinomio.

Ejemplo:

Sea : F(x) = x3 + 3x – 4

Para x = 1 F(1) = 13 + 3(1) – 4 = 0

∴ 1 será un “cero” de F

Regla para calcular los posibles ceros de un polinomio

Posibles ceros =

.Coef.er1delDivisores

.indep.TdelDivisores±


1. Factorizar : P(x) = x3 – 11x2 + 31x – 21

Solución :

P.C. = ± 1 , ± 3 , ± 7, ± 21

Para x = 1, se anula, luego tendrá un factor (x – 1) determinando el otro factor por la Regla de Ruffini

1 -11 31 -21

1 1 -10 21

1 -10 21 0

P(x) = (x – 1) (x2 – 10x + 21)

P(x) = (x – 1) (x – 7) (x – 3)

2. Factorizar : Q(x) = x3 – x – 6

Solución :

P.C. = ± 1 , ± 3 , ± 6

Para x = 2, se anula, entonces tendrá un factor (x – 2). Luego por la Regla de Ruffini

1 0 -1 -6

2 2 4 6

1 2 3 0

Q (x) = (x – 2) (x2 + 2x +3)

PRACTICA DE CLASEPRACTICA DE CLASE

01. Factorizar. M(a; b) = a2 - 4 + 2ab + b2 e indicar un factor primo.

a) a + b + 2 b) b - 2 c) a + b - 4d) a + 2 e) b + 2

02. Señalar un factor primo, luego de factorizar:

P(x) = x2 + (b + c + 2d)x + d2 + (b + c)d + bc

a) x + b + d b) x + 2d c) x + d + b + cd) x + c e) x - 2c

03. Señalar un factor primo de:

H(x) = (2x2 + x - 1)2 - (x2 - 3x - 5)2

a) 3x2 + 2x - 6 b) (x - 2)2 c) 3x2 - 2x - 6d) (x + 2)2 e) x - 2c

04. Factorizar:

P(a; b; c) = a(b - c)2 + b(c - a)2 + c(a - b)2 + 8 abc

a) (a2 + b2 + c2) (a + b + c)b) (ab + ac + bc) (a + b + c)



c) (a + b ) (b + c) (c + a)d) (a - b) (b - c) (c - a)e) (ab + ac + bc) (a - b + c)

05. Indicar el factor primo cuadrático de mayor suma de coeficientes, después de factorizar:

M ( x) = x4 + 4x2 + 16

a) x2 + x - 2 b) x2 +2 x - 4 c) x2 + x - 8d) x3 + 8 e) x2 + 2x + 4

06. ¿Cuántos divisores primos posee:T (a; b) = (a2 + b2 - 6ab)2 - 4ab (a + b)2 ?

a) 2 b) 5 c) 4d) 3 e) 6

07. Indicar el número de factores irreductibles de:

P(x; y; z)=x4 y2 z7 + x y2 z7 + 3x2 y2 z7 + 3x3 y2 z7

a) 4 b) 3 z7 c) 2d) 5 e) 1

08. Indicar un factor primo de:

P (x; y; z) = [(x - y + z) (x - y - z) + 1]2 - 4(x - y)2

a) x + y + z + 1 b) x - y + z + 1 c) x - y + z d) x - y + z + 2 e) z + y - z + 2

09. ¿Cuál de las siguientes expresiones no es término de un factor primo de:

F (x; y) = 1 + 2x2 - (6x2y2 + 4x3y + y4 + 4xy3)

a) - x2 b) 2xy c) y2

d) 2x2 e) -y2

10. Obtener la suma de coeficientes de un factor primo del polinomio.

H (x) = x3 - x2 - 17x + 33

a) -3 b) -6 c) -7d) -5 e) -8

11. Factorizar:

M (z) = z2 (z8 + 1) + z6 + (z2 - 1) ( 1 + z2 + z4)

y dar como respuesta el número de factores primos

a) 2 b) 4 c) 5

d) 3 e) 6

12. Señalar el factor primo cuadrático de mayor suma de coeficientes en:

P (x) = x4 - 4x3 + 11x2 - 14x + 10

a) x2 + 3x + 2 b) x2 - 2x + 5 c) x2 - 4x - 2d) x2 + 4x + 2 e) x2 - 2x + 2

13. Hallar la suma de coeficientes de un factor primo de:

P(x) = (1 + x2) (1 - x2)2 + (x - x2)2

a) 2 b) 4 c) 1d) 5 e) 3

14. Factorizar e indicar el factor primo cúbico de:

P (x) = x5 - x4 + 2x2 - 2x + 1a) x3 + x + 1 b) x3 + x2 + 1c) x3 + x + x2 - 1 d) x3 - x + 1e) x3 - x2 + 1

15. Del polinomio

P (a; b) = a4 + 5bc2 - a2b - a2c2 - 2b2 - 2c4

decir si es verdadero o falso con respecto a las proposiciones siguientes:

I. Tiene 3 factores primosII. Tiene 2 factores primos cuadráticosIII. La mayor suma de coeficientes de un factor

primo es 2 -2c2 ; 0 < c < 1.

a) VVV b) VFF c) FVFd) FVV e) VVF

16. Factorizar

F(a;b;c)=(a+b+c)2+(a+b-c)2+4c(a+b)+5(a+b+c)+ 2

e indicar el factor primo de mayor término independiente.

a) 2a + 2b + 2c + 1 b) a + b + c - 2c) 2a + 2b + c - 1 d) a + b + c + 2e) 2a + 2b + 2c - 1

17. Factorizar y obtener la suma de factores primos del polinomio.

P (x; y) = (x + 2y)2 - 2xy (3x - 4xy + 6y)

a) x2 + 4y2 b) 2x2 + 2xy + 8y2

c) x2 - 4y2 d) 2x + 4y - 6xy e) 2x2 - 2xy + 8y2

18. Factorizar y dar como respuesta la suma de coeficientes de un factor primo de:

P (x; y) = 6x2n - 4y2n + 7 + 5xnyn +3yn - 17xn

a) 0 b) 2 c) 12d) 1 e) 6

19. Con respecto al polinomio:

P(a;b;c)= b3 (a-c2) + c3 (b-a2) + a3 (c-b2) + abc (abc-1).

Señalar el valor de verdad o falsedad de cada una de las proposiciones siguientes:I. Un factor primo es a2 - bII. Un factor primo es a2 + bIII. a - c2 no es un factor primo

a) VVF b) VFV c) VFFd) VVV e) FFF

20. Mencionar un factor primo del polinomio:3x)2222(2x)32(3x2 Q(x) αβ+βα+β+βα+αβ+α=

a) α+βx b) αβ+α c) 2β+α

d) 2x α+β e) α+x

TAREA DOMICILIARIATAREA DOMICILIARIA

01. Indicar un factor de:

S(x) = (1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 )2 - x5

a) x4 + x3 + x2 + x + 1b) x9 + 1c) x5 + 1d) x3 + x2 + x + 1e) x4 + 1

02. Si x2 - 5x + 6 es un factor de:

P(x)=x4 - 9x2+x+mx+n, hallar el valor de n / m

a) 1 b) -3 c) 10

d) -5 e) 3

03. Siendo b + 1 y a - 1 cuadrados perfectos, factorizar

M(x)=x6-(a + b+1)x4 +(ab+2a-1)x2 - a +b - ab +1

y señale aquél que no es un factor de M(x).

a) 1bx ++ b) 1ax −− c)

1bx −−d) x2 - 1 e) x2 + 1 - a

04. Con respecto al polinomio

P(z) = z6 - 9z4 + 16z3 - 9z2 +1

Indicar el valor de verdad de cada una de las proposiciones:I. Un factor primo es z2 + 4z + 1II. Un factor algebraico es (z - 1)3

III. Tiene sólo 2 factores primos mónicos

a) VVV b) FVF c) VVFd) VFV e) FFF

05. Indicar aquel polinomio que no es factor de:

Q(x;y) = x3 + 2x2y - 4xy2 - 8y3 - x + 2y

a) x - 2y b) x + 2y + 1 c) x - 1 + 2yd) x + 2y e) x2 -1 + 4y (x + y)

06. Luego de factorizar:

P(x) = x5 + x4 + x2 + x + 2

Indique el valor de verdad o falsedad de cada una de las proposiciones:

I. Un factor primo es x3 + x + 1II. Un factor primo es x2 - x + 1III. La suma de coeficientes de un factor primo

mónico es 1.

a) VVV b) VFV c) FFVd) VFF e) VFF

07. Señalar un factor de:

P(x) = 6x5 + 41x4 + 97x3 + 97x2 + 41x + 6

a) x-1 b) x-2 c) 2x -1



d) 3x2 -7x + 2 e) 3x + 1

08. Luego de factorizar

S(x; y; z) = (3x + y - 5z)5+(2z - y - 2x)5 + (3z - x)5

Indique el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:

I. Un factor primo es 2x + y - 2zII. La suma de 2 factores primos es 2x + y − 2zIII. Un factor primo es 3x + y + 5z

a) VVV b) VVF c) VFVd) VFF e) FVF

09. Indicar el valor de verdad con respecto al polinomio:

P(x) = x(x − 1) (x + 2) (x − 3) + 8

I. Tiene 2 ceros racionales.II. Tiene 3 factores primos mónicos.III. Tiene 2 factores cuadráticos.

a) VVV b) VVF c) VFV d) VFF e) FVF

10. Luego de factorizar:

P(x) = (2x + 1)7 + 4x(x + 1) + 2

Indicar un factor primo cuadrático.

a) 4x2 + x + 1 b) x2 − 5x + 1 c) 4x2 +x+3d) 2x2 + x + 12 e) 4x2 + 6x + 3

PRÁCTICA DE CLASE

01. Un polinomio lineal se relaciona mediante:

x 0 1P(x) 4 9

Entonces el valor de

−

5

3P ; será:

a) - 1 b) 1 c) 0d) – 3/5 e) 11/5

02. Dado un polinomio:

P(x)=x3 – 1000x2 – 1002x+999

Determine el valor de P(1001)

a) - 3 b) - 2 c) - 1d) 0 e) 1

03. Sea el polinomio:

P(x)=(ax - 1)(a2x - 1)(a3x - 1)...(an-1.x - 1)

Halle: )x(P

)ax(P

a) 1ax

1xa n

−− b)

1ax

1xa 1n

−−−

c) 1ax

1xa 1n

−−+

d) 1xa n −

e) 1ax

1

−

04. Sabiendo que “P” es un polinomio cuyo término independiente es cero.

Halle )1x(P + ; sabiendo que: )2x(P − = kx -

8

a) x+1 b) 2x+2 c) 4x+4d) 8x+8 e) 16x+16

05. En la expresión matemática:

1x5x4x2P 78

1x

1x −+−=

−+

Halle: )3(P

a) 11 b) 10 c) 9d) 8 e) 7

06. Dada la expresión matemática:

f(x)=x1

x1

−+

; x ≠ 1

Halle: f(2) . f(4) . f(6) . ... . f(24)

a) - 25 b) - 24 c) 24d) 25 e) 50

07. Sea el polinomio: P(x)= ax2+bx+c; donde:

P(1)= P(3)=0 y P(2)=2

Entonces: “a – b + c”, será:

a) - 20 b) - 16 c) - 12d) - 8 e) - 4

08. Cuanto deberá suma a y b a fin de que para cualquier valor de “x”, se establezca la relación:

15+2x = a(2x - 3) – b(3x - 5)

a) 91 b) 87 c) 75d) 55 e) 36

09. Identifique el termino independiente del polinomio “P”, si este es mónico y cumple con:

( ) 1nxn3x4nP 4242)1x( −+−−=−

a) - 1 b) 2 c) 10d) 15 e) 24

10. Si un polinomio se relaciona mediante:

x = 27x+26

mientras que otro con:

x = 2 x +3

Conozca el valor de:

2

a) 19 b) 15 c) 12 d) 10 e) 7

11. El polinomio:P(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e; es tal que:P(0)= 0; P(-1)=6 y P(x)=P(1-x)

Determine el valor de: 2c - b

a) 2a b) 3 - a c) 4d) 5 e) 6

12. Dado el polinomio:

P(x)=3x – 2

¿Para que valor de “m”, se establecerá que:

[ ] 1P)1m2(P =

− ?

a) - 2 b) - 1 c) 0d) 1 e) 2

13. En la expresión 1x

1x

−+

tal que x ≠ 1. Si cada “x”

es sustituido por: 1x

1x

−+

, la expresión que se

logra obtener será:

a) x b) 1/x c) 1x

1x

−+

d) 1x

1x

+−

e) Se indefine

14. Si: P(x, y)= 1b3a xy2yx)2a(2 +−+ es un

monomio halle ba10 +

a) 1 b) 2 c) 3d) 0 e) - 3

15. Si el polinomio indicado:

Q(x)=x2x - 3+mxm - 2 - m3 - x5 - m

Es completo. ¿Cuál es su estructura?

a) x2+x – 6 b) x2 - x - 7 c) x3 - x2+3x - 27 d) x3 - x2+2x - 8

e) x3+4x2 - x - 64

16. Sabiendo que:

x3+2x2 - 1 ≡ (x+1)[Ax2+B(x - 1))]

Calcule: A . B

a) 1 b) 2 c) 1/2d) 3 e) – 1/4



17. Dada la expresión 3)x( x1Q −= . Entonces:

( )( ))1x(Q1Q1 33Q +−−

a) - x b) x c) 1+x

d) 3 x1 − e) 3 x1 +

18. En un polinomio dependiente de dos variables, homogéneo, ordenado y completo respecto a cada una de ellas, se sabe la suma de los grados absolutos de todos sus términos es 156. ¿Cuál será su grado de homogeneidad?

a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 12

19. Si: ( ) xa136aax36a 224 +=+++ .

Se verifica para todo para todo “x” Esto ocurrirá cuando “a” tome los valores de:

a) {- 2, 3} b) {2,- 3} c) {2, 3}d) {- 2 , - 3} e) {- 3, - 2, 5, 3}

20. Dado: 1z

3zP

2

2

1z

12 +

+=

+

.

Calcular: )100(P

2

1)99(P

)1( PP

−− +

Determine:

)1()1( QP +−

a) 5 b) - 2 c) 4d) - 1 e) 0

PRACTICA N° 02

01. Efectúe :

2

63232

+−++

a) 12 2 b) 24 c) 6 6

d) 48 3 e) N.A.

02. Si: a+b= 5 y ab = 3

entonces : (a - b)2 es : a) 6 b) - 7 c) - 9d) 12 e) 10

03. Deducir el producto xy a partir del sistema de ecuaciones : x3 + y3 = 56 ; x+y=2

a) - 8 b) 6 c) - 6 d) - 12 e) 8

04. Encuentre el valor de : 3 25x + si el valor

numérico de: J = (x + 1)(x2 + x + 1)(x - 1) (x2 - x + 1) es 63.

a) 2 b) - 2 c) 3 23

d) 3 e) N.A.

05. Calcular : b

a +

a

b

Si : 223a

b

b

a=+

a) 13 b) 15 c) 18d) 12 e) 55

06. Efectuar :

M = 8 436 9762 - 8 436 9752

a) 18 673 901 b) 16 738 591 c) 16 873 951 d) 14 863 951 e) 26 873 951

07. Calcular :

R = (176 446) (176 444) - (176 447) (176 443) a) 1 b) 3 c) 4d) 6 e) 7

08. Si: x + x-1 = 3. Calcular el valor de :

P = 3xx 3322

2xx−+ −

−

−+ a) 1 b) 2 c) 3d) 1/2 e) 1/4

09. Si : x - x-1 = 1. Calcular : x4 + x-4

a) 3 b) 9 c) 7d) 12 e) 15

10. Si: x + x-1 = 5 . Halle : A = x5 + x-5

a) 5 5 b) 5 c) 0

d) - 2 5 e) 5

11. Calcule el valor de :

λ = 2

15

x

xx −+

Si x = 7 + 6

a) 50 7 b) 23 7 c) 50 6

d) 25 - 2 6 e) N.A.

12. Encuentre el valor de :

S = 1257x17x5x3 +

a) 256 b) 128 c) 64d) 32 e) 18

13. Si : a + b + c = 3

222 cba ++ = 9

Calcular : E =

( ) ( ) ( ) 222 cbcaba +++++ a) 9 b) 12 c) 15d) 18 e) 21

14. Si : a + b + c = 3

333 cba ++ = 9

Obtener : N = (a+b)(b+c)(a+c) a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

15. Siendo : xy = 1, calcular el valor de “m” en:

( )2yx + + ( )222 yx + ≡ 2

x

1x

− +

2

22

x

1x

− +4m

a) 2 b) 4 c) 6d) 1/2 e) 1/4

16. Conociendo que:

ax+by=8; ay - bx = 6; a2+b2=5

Calcular : x2+y2

a) 16 b) 18 c) 20d) 24 e) 25

17. Hallar el valor de :

M =

( )( )( )1aa1aa1aaa 24224 +−+−+++

a) a+1 b) a2+1 c) a4+1d) a8+1 e) a4 - 1

18. Si : bc2a + + bc2a − =8bc

Calcular : bc2a + - bc2a − a) 1 b) 2 c) 1/2d) ab e) 1/4

19. Reducir :



N = (a + b + c)2 + (a + b - c)2 - 4(a - b)2 + 2(a + b + c) (a + b - c) a) 0 b) 4ab c) 8ab d) -1 e) 18ab

20. Reducir :

(a+b+c)3-(a+b)3-3(a+b)(a+b+c)c a) a3 b) b3 c) c3

d) 2a3 e) 2b3

PRACTICA N° 03

01. Proporcionar el residuo de dividir :

5x4x

7)2x(3)2x(5)2x(4)2x(2

3646382

++

−+++++−+

Rpta : ..........................


5x

210)3x()5x(3)5x()5x( 1616182230

−−+−+−+−+−

Rpta : ..........................

03. Halle el resto de dividir :

[ ])ax()ax( 555 −−+ entre (x+a)

Rpta : ..........................

04. Encontrar el residuo de la siguiente división:

2x

1x4x3x2xx2

45678

−

−++−−

Rpta : ..........................

05. Proporcionar el residuo de la división mostrada:

2x7x

)6x)(5x)(4x)(3x)(2x)(1x(2 ++

++++++

Rpta : ..........................

06. Hállese el residuo de la siguiente división:

1x

2xn

n3

4

4

+

+ ; n ∈ N*

Rpta : ..........................

07. ¿Cuál es el residuo que se obtiene al efectuar la siguiente división:

)1x)(2x(

7)1x()2x( 45

−−+−+−

Rpta : ..........................08. Proporcionar el residuo de la siguiente división :

30x11x

1)6x()5x(2

19992000

+−

−−+−

Rpta : ..........................


1xx

7x2x32

1045

+−

+−

Rpta : ..........................

10. Encontrar el residuo de dividir 18x entre

1xx2 ++

Rpta : ..........................

11. Encontrar un polinomio P(x) de tercer grado sabiendo que al dividirlo separadamente por (x+3), (x+2) y (x+1) se obtiene el mismo resto8 y al dividirlo por (x+4) se obtiene como resto 20.

Rpta : ..........................

12. Encontrar un polinomio P(x) de 2do grado, que sea divisible en forma separada por (x-2) (x+1) cuya suma de coeficientes sea de -6.

Rpta : ..........................

13. Encontrar un polinomio de 3er grado que sea divisible en forma separada por (x+2) y (x+1) sabiendo además que la suma de sus coeficientes es 24 y que su término independiente es 2.

Rpta : ..........................

14. Encontrar el resto de dividir un polinomio P(x) entre (2x-1), si se sabe que el término independiente del cociente es 5 y además P (0) = 18.

Rpta : ..........................

15. Si un polinomio P(x) se divide entre 4)1x( − ,

se obtiene como resto un polinomio de tercer grado cuya suma de coeficientes es 3. Hallar el residuo de dividir el polinomio original por (x – 1).

Rpta : ..........................

16. Un polinomio entero en “x” al ser dividido por (x-1) y por (x-2) separadamente proporcionan residuos 6 y 8 respectivamente. ¿Qué expresión se debe restar al polinomio para que al dividirlo entre [(x-1)(x-2)] el cociente resulte exacto.

Rpta : ..........................

17. Si : 1313

22

yx

yx

−− θθ

αα

+

− origina un cociente

notable cuyo segundo término es 816 yx− .

Calcular “α-θ”

Rpta : ..........................

18. Calcular el valor de “α” para que la división

notable: 321

544

yx

yx−α+α

α+α

−

− origine un cociente

notable.

Rpta : ..........................

19. Simplificar :T =

+++

++++

++++

++++

1x...xx

1x...xx

1xxxx

1xxxx54550

910

234

11223344

Rpta : ..........................

20. Si el tercer término del cociente de:

+−+ αα

1x

x)2x(

2

1

tiene como valor numérico 122 para x=2.

Calcular el valor de “α”

Rpta : ..........................

PRACTICA N° 04

01. Determine al dividir:

1x2x

6x6x9x7x2

3456

++

++−−

Determine la suma de los coeficientes del cociente obtenido

a) 0 b) – 7 c) 2d) – 1 e) 5

02. Si dividimos:

1bxax

1bxx)7a(x6x22

234

++

++−++; {a; b}

⊂ Zobtendremos como cociente y residuo polinomios no constantes mónicos de coeficientes reales; además se sabe que el residuo es un monomio halle: a + b

a) 13 b) 11 c) 15d) 9 e) 10



03. El resto de la división:

3xx2

9x8AxBxAx2

234

−+

−+++−

Es el polinomio R(x) = 3x - 3. Calcule

3 B3

A+

a) - 1 b) 0 c) - 2d) 3 e) N.A

04. En la siguiente división:

3x

2xx3 1n

−+++

La suma de coeficientes del cociente es 1093, calcular “n”

a) 3 b) 6 c) 7d) 8 e) 5

05. Halle el resto de la siguiente división:

5xx

)3x()1x()2x()3x()2x(2

2233

−−

+++−+−+

a) 30x+77 b) 31x+77 c) - 31x+77d) x+11 e) - 31x -77

06. Halle el resto:)2x)(1x(x

1x10

−−−

a) 611 2x - 610x+1 b) 610 2x - 611x - 1

c) 610 2x +611x+1 d) 511 2x - 510x - 1

e) 611 2x - 1

07. Halle el resto en:

)1x)(1x(

)1x....()1x()1x()1x( n21n243322

+−−+−+−+− −

Siendo n ∈ N

a) 1 - x b) 1 + x c)

)x1)(14(3

2 n −−

d) )1x)(14(2

3 n ++ e) 0

08. Halle el resto en la siguiente división:

)x1)(x1(

x....xxx12

1n432

++

++++ −

a) 0 b) 1 - x c) 1 + x

d) 1 + 2x e) 2x - 1

09. Al dividir el polinomio p(x) entre (x - 1) y luego entre (x - 2) se obtiene el mismo resto 4, además p(x) es divisible entre (x - 3). Calcular el término independiente p(x) si es de 3º y además cp es 2.a) - 1 b) - 3 c) - 12d) - 7 e) - 8

10. Sea p(x) un polinomio mónico de 3º si p(x) es divisible entre (x+2) y también entre (x+3) y

además al dividir p(x) entre ( 2x - 1) el resto es

17x+19. Calcular p(0)

a) 10 b) 17 c) 2d) 12 e) 6

11. Calcule “m” para que la división:

1xx

2m2nxx2

5

−+

−+−

a) 5 b) 6 c) 2

5

d) 10 e) 8

12. Al dividir: 1x2

1x2x16 4

−−++

se obtiene como

cociente :

dx35

cx2

4

bx1

3

a)x(q 23 +

−+

−+

−=

Halle: a + b + c + d

a) 34 b) 30 c) 21d) 8 e) 50

13. Luego de dividir:

4)x7x(

)12x7x)(6x7x)(6x)(3x)(1x)(4x(22

22

−−

−−−−−−−−

Calcule la suma de los coeficientes del cociente obtenido

a) - 140 b) - 156 c) - 175d) - 144 e) - 136

14. Calcular a+b+c, si el resto de dividir:

3x5cxbxax 245 −−++ entre

2xxx2 23 −−+ es :

a) 18 b) 20 c) 15d) 19 e) 92

15. Halle el resto en la siguiente división:

2x2x

4xx)1x(2

4n

++

++++ donde n = 4º

a) x+2 b) - x + 1 c) - x - 1d) x+1 e) x - 1

PRACTICA N° 05

01. Con respecto al polinomio:a(x – 1) – b(1 – x) + cx – cseñale verdadero o falso:I) a + b + c es un factorII) x + 1 es un factorIII) solo tiene 2 factores primos

a) VVF b) VFV c) FVVd) FFF e) VVV

02. Al descomponer en dos factores la expresión:(a – 5) (a – 6) (a – 7) + (a – 5) (a – 6) – (a – 5)El resultado del producto de los valores absolutos de los términos no literales es:

a) 157 b) 165 c) 156d) 175 e) 105

03. Factorizar: (n2 + n-1)2 + (2n + 1)2, e indicar la suma de los términos independientes de sus factores primos.

a) 3 b) – 1 c) 4d) 2 e) – 2

04. Factorizar:(a – b)2 (x – y)2 + 2ab(x – y)2 + 2xy (a2 + b2)indicando la suma de sus factores primos:

a) a2 + b2 + x2 + y2 b) a2 + 2b + 2x2 + y2

c) 2a2 + b2 + x2 + 3y2 d) a2 + b2 + 3x2 + y3

e) a2 + b2 + x3 + 3y2

05. Indicar la suma de los factores primos de:C = a2 + a – b2 + b – c2 – c + 2b

a) 2a + 1 b) a + b + c c) a + 2b + cd) a –b + c e) a

06. Factorizar:a4 – a3 – 7a2 + a + 6, indicando uno de sus factores:

a) a +3 b) a-2 c) a+1d) a2+1 e) a2+2

07. ¿Cuál no es un factor de (1 + mx)2 – (m+x)2

a) 1 + m b) 1 + x c) 1 – xd) 1 – m e) m + x

08. El polinomio: 3x3 – 21x + 18, al factorizar tiene la forma: a(x –b) (x – c) (x – d), donde b < c < d. Calcular: a – b + c – d

a) 7 b) – 7 c) 9d) 5 e) 6

09. El número de factores primos de:x3y2 + y3z2 – x3z2 – y5, es:

a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1

10. Hallar el número de factores primos de:64a7b – ab7

a) 3 b) 4 c) 6d) 5 e) 7

11. Indicar el término independiente de uno de los factores primos del trinomio.

P(x,y) ≡ (x + y + 3)2 + 7x + 7y + 31

a) 2 b) 7 c) 8d) 3 e) 39



12. Reconocer un factor del polinomio:

6a2 – 11ab + 4b2 – 8ª + 14b – 8

a) 3a + 4b – 2 b) 3a - 2b + 4c) 2a - 2b + 1 d) 2a + 4b – 1 e) 3a - 4b + 2

13. Un factor de: a(a – 1) + a3 – 1 es:

a) 1 – a b) a+1 c) a + 2d) a - 2 e) a

14. Dar la suma de los factores primos de:P(x) = x4 – 5x2 + 4

a) x2 + 2 b) x2 + 5x c) 4xd) 3x+7 e) N.a.

15. Luego de factorizar: R(x) = x3 + x2 + x + 1Se obtiene un factor de la suma (ax2 + b)Halle Ud. “a + b”

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

16. Hallar la suma de los factores primos de:x3 + (a + b + c)x2 + (ab + ac + bc) x + abc

a) x + a + 2b + c b) 2x + 2a + 2bc) 3x + a + b + c d) 2x + 2ª + 2b + 2ce) x + 3a + 2b + c

17. Si (x + 1) es un factor de x2 + cx – 2 y (2x – 1) es un factor de dx2 + 5x – 4, entonces el valor de d/c es:

a) 1/2 b) 4 c) –1/2d) – 6 e) 6

18. Los trinomios: 2x2 + ax + b y 2x2 + bx + 3 admiten un factor común de la forma: 2x + c.Calcular el valor de (a – b)c

a) – 3 b) 2 c) 6d) – 2 e) 3

19. Factorizar en “z” al polinomio:P(x) = x6 + 4x5 – 21 x4 – 20x2 – 4

a) (x3 + 7x2 – 2) (x3 – 3x2 + 2)b) (x4 + 2) (x3 – 3x – 2)c) (x3 + 7x – 2) (x3 – x – 2)d) (x3 + 7x2 + 2) (x4 – 2)e) (x3 + 7x2 + 2) (x3 – 3x2 – 2)

20. El coeficiente de un término lineal de uno de los factores primos de:

P(x) = x4 + 2x3 + 5x + 2 es:

a) 2 b) – 2 c) 1d) – 1 e) - 3

OBJETIVOS ESPECÍFICOSOBJETIVOS ESPECÍFICOS:• Conoce una nueva operación matemática.• Determina el factorial de un número natural.• Resuelve ejercicios referidos a factoriales

haciendo uso de las propiedades estudiadas.

COMENTARIO PREVIO:COMENTARIO PREVIO:El presente módulo comprende el estudio de una nueva operación matemática denominada factorial, el cual se refiere a determinar el resultado del producto de los números naturales consecutivos desde el 1 hasta el número indicado. Pero ¿ Para que nos va a servir esta nueva operación matemática? Pues bien esta operación se va a utilizar como un apoyo en la potenciación de polinomios.

CONTENIDO TEÓRICOCONTENIDO TEÓRICO1. Factorial de un número

El factorial de un número natural “n” es el producto de todos los números naturales consecutivos desde 1 hasta “n”.

La simbología a utilizar será: n! = n

= 1 x 3 x ... x (n - 1) x nn! = n

∀ n N∈ n 1 ≥

2. Propiedades del factorial de un número1. Los factoriales sólo están definidos para los

números naturales. Así:

0! ....

3! ....

74

! ....

21/2 ....

(- 6 )! ....

( 2/5 )! ....

El factorial de un número natural puede expresarse en función del factorial de otro número natural menor.

7! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 77! = 6! x 7Luego:

De la relación anterior, se concluye:

Para n = 1 ⇒ 1! = 0! x 1 ⇒ 1! = 0! = 1

Observación:

Sí n! = 1, cabe dos posibilidades para n:

n = 0 ó n = 1

Asimismo: 7! = 4! x 5 x 6 x 7

Luego se concluye:

n! = (n – 3)! . (n – 2) . (n – 1) . n

3. Si: a! = b! ⇒ a = b

4. En factoriales se debe recordar lo siguiente:(a ± b)! ≠ a! ± b!(a . b)! ≠ a! . b!(a/b)! ≠ a! / b!

3. Cofactorial o semifactorialSea “n” un número entero positivo, el cofactorial o semifactorial de”n” se denota por n!! ó n y se define:

a. Para “n” par:8!! = 2 x 4 x 6 x 820!! = …………………

b. Para “n” impar: 7!! = 1 x 3 x 5 x7

19!! = …………………

Luego:

n!! = n =

1 x 3 x 5 x .... x n

2 x 4 x 6 x .... x n

Si "n" es impar

Si "n" es par

4. Relación entre el cofactorial y el factorial de un número.

• Si el número es par:

( 2n ) !! = 2n = 2n n

• Si el número es impar:


n! = (n – 1)! . n

FACTORIAL DE


( 2n ) !! = 2n - 1 = 2n

2 nn

Observaciones:• 3! = 6 factorial de 3• 3!! = 3 cofactorial de 3• 3 !!! no existe definición• (3!)! = 6! =720 factorial del factorial de 3• ((3!)!)! = ( 6!)! = 720!• 3 !!! ≠ (( 3! )!)!

Ejemplo:

Si !7!6

!8!7!6

+++=A ;

!70!69

!71

+=B

!36

!35!34 +=C Calcula: A x B x C

Resolución Aplicando las propiedades estudiadas y reduciendo términos tendremos:

)71(!6

)5671(!6

7!6!6

87!67!6!6

+++=

+++=x

xxxA

A = 64/8 = 8

7071

7170

)701(!69

7170!69 ==+

= xxxB

35

1

3635

36

3635!34

)351(!34 ==+=xxx

C

Luego: A x B x C = 8 x 70 x 1/35 = 16


01. Hallar el equivalente de:

!201

!199!2000 +=R

a) 0,01 b) 0,001 c) 0,005 d) 0,05 e) N.A.

02. Calcula el valor de n en:

24)!4()!3(

)!3.()!5( =+++++nn

nn

a) 0 b) 3 c) 2 d) 1 e) N.A.

03. Para qué valor de “n” se cumple: 12n! + 5(n + 1)! = (n + 2)!

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

04. Sí:(x +1)! – x! = 18; el valor de (x + 1)! + x! es:

a) 24 b) 36 c) 30 d) 54 e) 60

05. Reduce:

( )nfactores

nfactoresx

)...!4!3)(!3!2)(!2!1(

)...!5!4!3)(!4!3!2(!3!2!1

+++++++++=

06. Simplifica:

500

1500...12963

1000....8642

xxxxx

xxxxx

07. Halla “x” en:

1(1!) + 2(2!) + 3(3!) +.... + x(x!) = 19! – 1

08. En qué cifra termina N?

N = 1! + 2! + 3! + 4! + 5! + ......+ 50!

09. Calcula el valor de E:

!3!2!1

!27!26!25

!25++

++

10. Halla “n” en:

48)!7()!6(

)!8()!7()!6( =+++

+++++nn

nnn


01. Reduce la siguiente expresión:

E = 2 x 4 x 6 x 8 x. . .x 2n

a) n! . nn b) (2n). n! c) 2n . n! d) 2n e) N.A.

02. Simplifica:

60........22.21.20

60.............14.13

a) 19/12 b) 19!/12! c) 19! d) 12! e) 19! - 12!

03. Simplifica:

80.......52515080.......222120xxxxxxxx

W =

a) 50!–20! b) 80!–40! c) 49! ∕ 19!d) 42! ⁄ 20! e) F.D.

04. Simplifica:

!52!53

!52!53!54

+++=R

a) 54! b) 54 c) 27!d) 27 e) 53

05. Simplifica:

)!4()!5(

)!6()!5()!4(

++++++++=

xx

xxxT

a) x b) x + 4 c) x + 6

d) x + 5 e) x + 3

06. Reduce:

)!1(!

)!2()!1(!

++++++=

xx

xxxT

a) x + 4 b) x + 3 c) x + 2d) x + 1 e) x

07. Hallar n Sí: [(n! + 2)! – 4] ! = 20!

08. Sabiendo que:

!15)!5()!6(

)!5()!7( =+++

++xx

xx, el valor de “x” es

:

09. Calcula “n” en:

!108)!43()!53(

)!43()!53)(8103(3 2

=+−+

++++nn

nnnn

10. Hallar el equivalente de:

E = 2(2!) + 4(2!) + 6(3!) + 8(4!) + ... + 2n(n!)



OBJETIVOS ESPECÍFICOSOBJETIVOS ESPECÍFICOS:

• Define, conoce y aplica las propiedades del coeficiente binomial o número combinatorio para su posterior aplicación en la solución de problemas.

COMENTARIO PREVIO:COMENTARIO PREVIO:

Newton que no es un matemático puro, sino un físico que aplicaba la matemática a los fenómenos de la naturaleza, su contribución más importante es su método de fluxiones que fue escrito en 1671, pero publicado en 1736, cuya esencia y notación, no es sino una forma de tratar los problemas del actual análisis infinitesimal.Newton es considerado como una de las brillantes mentes de todos los tiempos, investigador profundo de la filosofía natural, no solo se limita a cuestiones infinitesimales sino a zonas del álgebra en donde uno de sus aportes es generalizar el desarrollo del binomio (x + y)n para exponente no natural cuya aplicación se manifiesta en matemática financiera. En la sesión anterior estudiamos el factorial de un número natural, ahora nos asiste estudiar el coeficiente binomial que se verá reforzado con los conocimientos previos de la sesión anterior.

CONTENIDO TEÓRICOCONTENIDO TEÓRICO

Coeficiente binomial

Esta importante notación conocida como coeficiente binomial, se define de la siguiente manera: Si “n” es un número real y “r” un número natural, la notación coeficiente binomial denotado

por

r

n. Se lee: “coeficiente n, r” y está

definida por:

factoresr

rxxxx

rnnnn

r

n

""

....321

)1)....(2)(1( +−−−=

Puede comprobarse que el número de factores que hay en el numerador de ésta relación, coincide con “r”.

r

n

Propiedad:

1=

n

n ∧ 1

0=

n

Teorema del coeficiente binomial

El siguiente teorema, permite evaluar

r

n de

otra manera: Si “n” es un entero positivo, “r” es un entero no negativo y 0 ≤ r ≤ n, se verifica que:

)!(!

!

....321

)1)....(2)(1(

""

rnr

n

rxxxx

rnnnn

r

nfactoresr

−=+−−−=

La expresión propuesta es semejante al cálculo del número de combinaciones de “n” objetos tomados de “r” en “r”, por lo que a este coeficiente binomial n, r también se le llama número combinatorio n, r.

Una notación equivalente a la ya establecida es: nrC , Donde “n” recibe el nombre de la base y

“r” el de orden.

=

r

n

BasenordenrC

←←

Propiedad de los números combinatorios

1º Los números combinatorios complementarios, son aquellos que tienen igual base y la suma de las órdenes coincide con dicha base.Se verifica que los números combinatorios complementarios son iguales.

mnm

mn CC −=

Ejemplo:

49502199100100

210098 ===

xx

CC

2º La suma de dos números combinatorios de igual base, cuyas órdenes difieren en una unidad, es igual a otro número combinatorio cuya base es la de los sumandos aumentado en una unidad y cuyo orden es el mayor de los órdenes:

11

+− =+ m

nmn

mn CCC

Ejemplo:

20321

45663

53

52 ===+

xx

xxCCC

3º La suma de todos los números combinatorios de igual índice, cuyos órdenes varían desde cero hasta la propia base, vale 2 elevado a dicha base:


COEFICIENTE

índice superior

índice inferior


mmm

mm CCC 2...10 =+++

Ejemplo:

162444

43

42

41

40 ==++++ CCCCC

4º Degradación de índice: Consiste en descomponer un número combinatorio en otro que tenga como índice superior e inferior el inmediato anterior. Es decir:

11−−= nr

nr C

r

nC

1−

−= n

rnr C

rn

nC

nr

nr C

r

rnC 1

1−=+−=

PRÁCTICA DE CLASEPRÁCTICA DE CLASE

01. Halla (m + n) en:

2115

104

93

82

81 .... CCCCCC n

m =+++++

a) 30 b) 34 c) 22

d) 35 e) N.A.


6561243614 4321 =+++ nnnn CCCC

a) 20 b) 24 c) 22 d) 25 e) 19.

03. Si x e y son primos entre sí. Calcula (x + y) en:

124

167

124

135

146

157 C

y

xCCCCC −=+++

a) 13 b) 14 c) 15d) 25 e) 16.

04. Calcular xy, si se cumple:

7432 2 yxxx CCCC =++

a) 15 b) 18 c) 21d) 20 e) a y d

05. Calcula (x + y) si se cumple:

54

1 ++ = yxy CC

a) 15 b) 12 c) 13d) 14 e) 16

06. Efectuar:

∑=

+10

1

3

k

kkC

a) 105 b) 108 c) 101d) 120 e) 100


5

72

4

132 =+

+

+

n

nn

C

CC

a) -22/7 b) 7 c) 22 d) 3 e) N.A.

08. Calcula “n” y “p” en la siguiente igualdad:

np

np CC 2

1022 −− =

a) 4,6 b) 6,4 c) 8,10 d) 5,5 e) 3,6

09. Calcula “x” en:

21221

2122221

221

122

220

−−−−− =−+++ xxxxxx CCCCCC

a) 18 b) 19 c) 20 d) 22 e) 21

10. Un valor equivalente a 136C es:

a) 147C b)

135C c)

137C

d) 127C e)

138C

PROBLEMAS PROPUESTOS PROBLEMAS PROPUESTOS

01. Simplificar:

1910

256

199

255

266

209

2620

2010

CCCC

CCCC

++

a) 42/13 b) 42/15 c) 42/11d) 42/7 e) N.A.

02. Sumar:

mm

mmmmxm CCCCC 3...333 33

221

10 ++−+− −

a) -2 b) -22n c) -2n

d) 22n e) N.A.

03. Halle n + p en la ecuación:

4511516

117 p

nnn CCCC =−+ −−

a) 52 b) 62 c) 60d) 56 e) N.a.

04. Sí: nC2 = 10;

Hallar: 2n-1

a) 5 b) 15 c) 13d) 9 e) 7

05. Sí: 18xC =

182+xC , el valor de “x” es:

a) 4 b) 6 c) 2 d) 10 e) 8

06. Simplifica:

157C2

157C815

8C2 +

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

07. Resuelve:

1684

57 =−

−

n

n

C

C

a) 16 b) 18 c) 21 d) 19 e) 20

08. 15=

b

a ∧ ( ) 360

!

! =−ba

a

Entonces a.b es igual a:

a) 24 b) 96 c) 216d) 864 e) N.A.

09. Reduce:

16

1

16

2

18

15

17

15

+

−

a) 1/3 b) 1/5 c) 3/5 d) 5/3 e) 1/1510. ¿ Para qué valor de “n” se cumple:



4 2

331

3++ ++ nnn CCC = 1331

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14


01. Sí n! = 720 y .56C 2nk =+

Halle la suma de (n + k) si k es el menor valor.

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

02. Resolver:

5

72

4

132 =+

+

+

n

nn

C

CC

a) 1 b) 5 c) 2d) 3 e) 4

03. Reducir:

9996

63

52

41 .... CCCC ++++

04. Reduce: (r ≤ n – 1)

−+

−

+

−−

+

++

r

n

r

n

r

n

r

n 1

11

1

1

1

a)

++1

2

r

nb)

+r

n 2c)

++2

2

r

n

d)

++2

3

r

ne) N.a.

05. Calcula: “n + k” de:

−

=

12

2111

2

227

kk ∧

=

2

228

3

43

nn

a) 15 b) 8 c) 12d) 9 e) 17

06. Halla el valor de “n” en la siguiente igualdad:

2 nC4 = 5 1

3−nC

a) 6 b) 8 c) 10d) 12 e) 5

07. Calcula el valor de “x” en:

( )( ) 12x2

C.CC

CCC

m1x

2m1x

21mx

m1x

1mx

2m1x −=

−

−

−+

++

−++

+

a) 12 b) 10 c) 8d) 6 e) 5

OBJETIVOS ESPECÍFICOSOBJETIVOS ESPECÍFICOS:

• Desarrolla correctamente la potenciación de un binomio, haciendo uso de los coeficientes binomiales.

• Determina el término que ocupa un determinado lugar en el desarrollo de dicha potencia.

• Resuelve ejercicios y problemas referidos al binomio de Newton.

COMENTARIO PREVIO:COMENTARIO PREVIO:

El Binomio de Newton recibe el nombre de Isaac Newton (1642 – 1727), que ha sido el más grande los matemáticos ingleses y uno de los mayores científicos de la humanidad.En este módulo introducimos las combinaciones de “n“ elementos tomados de “r” en “r“ para denotar los coeficientes de los términos del desarrollo del binomio.Estos valores funcionando como coeficientes del desarrollo del binomio, son llamados números combinatorios.

Cabe mencionar que un ilustre peruano Federico Villarreal (1850-1923) nacido en Túcume, Lambayeque quién a la edad de 23 años descubrió el método para elevar ya no solo un binomio sino un polinomio cualquiera a una potencia compleja inclusive, otro matemático peruano Cristóbal de Losada y Puga, le dedico profundos estudios a este descubrimiento e incluso lo llamó “polinomio de Villarreal” donde aquí el binomio de Newton viene a ser un caso particular. n ∈ Ζ+

CONTENIDO TEÓRICOCONTENIDO TEÓRICO

1. POTENCIACIÓN: BINOMIO DE NEWTON

La potencia de un binomio es un polinomio que se denomina desarrollo binomial o de Newton.

Así tenemos:(x + a)1 = x + a(x + a)2 = x2 + 2xa + a2

(x + a)3 = x3 + 3x2 a + 3xa2 +a3

(x + a)4 = x4 + 4x3 a + 6x2 a2 +4xa3 +a4

: :: :

Veamos a continuación el desarrollo de los diversos tipos de exponentes que pueden afectar al binomio.

DESARROLLO DE LA POTENCIA DE UN BINOMIO CON EXPONENTE NATURAL (n ∈ IN): BINOMIO DE NEWTON

nnnnn aaxnn

anxxax ++−++=+ −− ...2.1

)1()( 221

o también:

nnn

nnnnnn aCaxCaxCxCax .......)( 222

110 ++++=+ −−

Como ( ) nk

nk C= ; entonces también se podría

expresar haciendo uso de los coeficientes binomiales:

+

+

+

=+ −− 22

2

1

10

...)( axaxxax nn

nn

nn

n

nn

n

nn

n

nn

axaax ........ 1

1

33

3

+

++

−

−

−

FORMAS PRÁCTICAS DE DEDUCIR DIRECTAMENTE EL DESARROLLO DEL BINOMIO

Veamos los siguientes ejemplos:

MÉTODO “1”


( ) kknn

k

n

k

n yxyx −

=∑

=+0

POTENCIACIÓN DE


Desarrollar : (x + a)4

432234 axa4ax6ax4x ++++Solución :

Nótese que cualquier coeficiente es igual al producto del coeficiente anterior por el exponente de “x”, dividido entre el exponente de “a” previamente aumentado en 1.

Así: El 3er coeficiente: 611

3.4 =+

El 4to coeficiente: 412

2.6 =+

Generalizando:

Coeficientede un término

Coeficiente del término anterior

Exponente de la 2da

base del término anterior

Exponente de la 1ra base del

+1

=término anterior

cualquiera

MÉTODO “2”

TRIÁNGULO DE PASCAL

Si distribuimos en línea los coeficientes del desarrollo del binomio para sus potencias consecutivas, toma la forma geométrica de un triángulo de Pascal o de Tartaglia en honor a sus descubridores.

Veamos

(x + a)0 ⇒ 1(x + a)1 ⇒ 1 1 (x + a)2 ⇒ 1 2 1(x + a)3 ⇒ 1 3 3 1

(x + a)4 ⇒ 1 4 6 4 1

(x + a)5 ⇒ 1 5 10 10 5 1

(x + a)6 ⇒ 1 6 15 20 15 6 1

(x + a)7 ⇒ 1 7 21 35 35 21 7 1

: : : : :

También:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

En donde un coeficiente cualquiera es igual a la suma de los dos que están encima de él en la fila anterior.

Ejemplo. Halla el desarrollo de (x + y)5

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

Luego:

(x + y)5 = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5

Además obsérvese estos detalles del triángulo:

4 6 41C

42C

10 52C

Que en realidad comprueban que:

52

42

41 CCC =+

Es un caso particular de:

cccn

r

n

r

n

r=+ −−

−

11

1

Además: 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 25 ó

55

5

5

4

5

3

5

2

5

1

5

02=+++++ cccccc

Son una prueba de que la suma de los coeficientes de la fila n, es igual a 2n.

OBSERVACIÓN:

• Tanto el método (1) como el método (2) son viables o factibles de emplear para potencias con exponentes pequeños, caso contrario habría que emplear la forma general.

• Si los términos del binomio están ligados con el signo "−", los términos del desarrollo estarán ligados en forma alternada con los signos + , −.

nnnnn aaxnn

anxxax ±−−+−=− −− ...2.1

)1()( 221

o también:

nnn

nnnnnnn aCaxCaxCxCax .......)( 222

110 ±−+−=− −−

Siendo los de lugar: IMPAR ⇒ positivolugar: PAR ⇒ negativo

TÉRMINO GENERAL DEL DESARROLLO DE LA POTENCIA DE UN BINOMIO

Para: (x ± a)n, se tiene que:

( ) kknnkk axt −

+ ±=1

Donde :

(k + 1) → lugar que ocupa el término

n

k

→ combinación de “n” elementos tomados de

“k” en “k”

n → exponente del binomio

x → primer término del binomio

a → segundo término del binomio

k → lugar del término buscado menos 1

Ejemplo: Halla el séptimo término del desarrollo de: 10

43

4

12

− yx

Resolución

Tk + 1; entonces k = 6, luego de la fórmula se obtiene:

( )6

4610310

67 4

1.2

= −

yxT

24121247 2)2.(

6.5.4.3.2.15.6.7.8.9.10

yxT −=

24127 .128105

yxT =

TÉRMINO GENERAL DEL DESARROLLO DE LA POTENCIA DE UN BINOMIO CONTADO A PARTIR DEL EXTREMO FINAL

Es necesario y suficiente intercambiar simultáneamente las bases y aplicar la fórmula conocida del término general.



Ejemplo: Calcular el t10 a partir del extremo final de: (x + y)40

Resolución

Solamente intercambiamos las bases (y + x)40 y aplicamos la fórmula del término general.

931409

940409

401910 .. xyCyctt final === −

+

Observación:

La suma de los coeficientes de (x + a)n es:nn

nnnn CCCC ++++= ....2 210

La suma de los coeficientes de (x – a)n es cero.

En general la suma de los coeficientes del desarrollo de la potencia de un binomio se obtiene reemplazando a las variables que aparecen en la base por la unidad.

P(x ; a) = (px ± qa)n ⇒ P(1;1) = (p ± q)n

2. DESARROLLO DE LA POTENCIA DE UN BINOMIO CON EXPONENTE NEGATIVO Y/O FRACCIONARIO.

En la primera parte del módulo se estudió el Teorema del binomio cuando el exponente es un número entero y positivo cualquiera, ahora se trata de hallar la fórmula para exponente negativo y/o fraccionario.

...2.1

)1(

1)( 221 +−++=+ −− ax

nnax

nxax nnnn

( ) ( ) ( ) +++=+ −− 222

110 .....)( axaxxax nnnnnnn

( ) .....a.x. 33nn3 ++ −

Su desarrollo admite infinitos términos pudiéndosele llamar Serie binomial..

Ejemplo.

Hállese los tres primeros términos de la expansión de:

( ) 3/11 −−x

Resolución

De acuerdo con lo expuesto en la teoría se deberá plantear:

...)1()1()1(1

3

13/1

1

3/13/1

0

3

1

+

+

=−

−−−−

−−xx

Y según las propiedades antes vistas, se tendrá:

....2.1

13

1

3

1

3

11)1( 23/1 +

−−

−

+

−+=− − xxx

Finalmente efectuando las operaciones indicadas conseguimos:

términosprimerostres

23/1 .....

9

x2

3

x1)xI( −+−=− −

PROPIEDADES DEL DESARROLLO DEL BINOMIO

01. El número de términos es infinito, y al desarrollo se le reconoce con el nombre de serie binómica de Newton.

02. Para determinar el desarrollo de (x + a)n para un número fraccionario y / o negativo el valor de x

debe ser uno y además x > a. Los valores de a deben ser 0 < a < 1.

03. Los términos del desarrollo con respecto a sus signos, no tienen ninguna relación.

04. Para determinar el término general en el desarrollo se utiliza la siguiente fórmula.

kknn

kk axt −+

=1 ; ó también:

kkn

factoresk

k axk

knnnnt −

++−−−=

!

)1)...(2)(1(1

3. FÓRMULA DE LEIBNITZ

Así como se puede hallar el término que uno desee en la potencia de un binomio, se puede hallar un término cualquiera en la potencia de un polinomio, aplicando la llamada fórmula de Leibnitz. Por razones puramente pedagógicas estableceremos las reglas para el desarrollo de (a + b + c + d)m, en donde el término que contiene a: aα . bβ . cγ . dδ es:

δγβαδγβα dcba

m....

!!!!

!

Donde: m=+++ δγβα

El desarrollo de toda la potencia se expresa así:

δγβα

δγβα dcbam

dcba m ...!!!!

!)( ∑=+++

Donde m se descompone en todos los modos posibles tales que: α + β + γ + δ pertenecen al conjunto {0; 1; 2; ... m}.

Ejemplo:

Halla el coeficiente de x6 en el desarrollo de (1 + 2x – x2)5.

Resolución

El coeficiente estará expresado por:

γβα

γβα)()2()1(

!!!

!5 2xx −∑ ......

....... (I)

Donde : β + 2γ = 6 (exponente de x6)

Además : α + β + γ = 5, donde los valores posibles que pueden asumir son:

α = 0 ; β = 4 ; γ = 1

α = 1 ; β = 2 ; γ = 2

α = 2 ; β = 0 ; γ = 3

Reemplazando en (I):

22211240 )()2()1(!2!2!1

!5)()2()1(

!1!4!0

!5xxxx −+−

66663202 308012010)()2()1(!3!0!2

!5xxxxxx =−+−=−+

¡Importante!

Dado el polinomio n

ostérk

kcba )...(min""

++++

El número de términos de su desarrollo se calcula de la siguiente manera:

n° términos =

−+

−

1

1

kn

k

Ejemplo:

El número de términos de (1 + x + y + z)6 es:

843.2.1

7.8.993

14614 ===−+

− CC




01. Para que valores de “n” los coeficientes del término 5, término 6, término 7 del desarrollo de (1 + x)n

forman una progresión aritmética.

a) 7 y 14 b) 7 y 12 c) 7 y 11d) 6 y 14 e) 7 y 13

02. Si los coeficientes de tres términos consecutivos en la expansión de (x + y)n son proporcionales a 3, 12 y 28. Hallar “n” sí n < 10.

a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 6

03. Determina el número de términos irracionales en el desarrollo de:

48

3

1

4

1

+xx

a) 14 b) 43 c) 42d) 45 e) 44

04. En el binomio: ( ) 1234 −−+ nxx ,el coeficiente

del término 6 es 95C .Halle el número de

términos.

a) 20 b) 10 c) 11d) 14 e) 12

05. El coeficiente de x45 en la expansión:

( )782−+xx es

78

a

; a < 20. Halle el

coeficiente de x4a -8

a) 6814C b) 78

14C c) 8814C

d) 6816C e) N.A.

06. ¿Cuál de las siguientes expresiones es falsa en relación con el desarrollo de (x2 – 3y5)6?

a) El desarrollo consta de 7 términos.b) Los términos son alternadamente positivos y

negativos.c) La suma de los exponentes que afectan a “x” é “y”

en cada término es constante.d) El coeficiente del segundo término es –18e) El coeficiente del cuarto término no es 540

07. El quinto término de (2x2 + y)20 tiene por coeficiente:

a) 170. 28 b) 570. 24 c) 570. 216

d) 340 . 25 e) 4845. 216

08. El término de segundo grado en el desarrollo de:4

2 2

−

xx es :

a) -32x2 b) 24x2 c) -12x2

d) 4x2 e) -16x2

09. Halla el coeficiente del término independiente de

“x” en el desarrollo de ( )1248 −−xx

a) 490 b) 492 c) 497d) 493 e) 425

10. Hallar n + k si se sabe que el cuarto término del desarrollo de (x + 2)n es 80xk

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

11. En el desarrollo de:

120

3

5 1

+

xx .

Determinar el número de términos irracionales.

a) 9 b) 150 c) 118d) 112 e) Imposible

12. Al desarrollar la expresión:nn

n

m

x

x

y

x

+

+

−

20

10

Observamos que ésta admite un término central

cuya parte literal es: 60060 yx .Calcula “m + n”

a) 41 b) 42 c) 43d) 44 e) 45

13. Hallar el coeficiente que contiene a x2 en el

desarrollo de: 2/1)41( −− x .

a) 12 b) 6 c) 4d) 18 e) 1

14. Calcular el coeficiente cuya parte literal es x9 en la

expresión: 53 )21( xx ++

a) 70 b) -70 c) 80d) -80 e) 90

15. El número de términos que se obtiene al

desarrollar: nzyx )5432( 22 +++ es 84.

Calcula n.

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOS

01. ¿Cuáles son los dos primeros términos del

desarrollo de:

102

101

−a ?

a) 1– a2 b)10 – a20 c) 1 – 10a8

d) 10 – a2 e) 1+ a2

02. En el desarrollo de:

5

2 2

11

+

xx.El término

que contiene a x–8 es:

a) El 2do b) El 3ro c) El 4to

d) El 5to e) El 6to

03. En el desarrollo de

m

x

ax

+2 los coeficientes

de los términos cuarto y décimo son iguales. Hallar el término que no contiene a “x”:

a) 120 b) 612 a4 c) 870 a6

d) 3003 a10 e) 1020 a9

04. Por el teorema del binomio. ¿Cuántos términos de

la expansión de: ( )123 23 + son números

naturales?

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05. Si el término de lugar “n” contando a partir del último en la expansión del binomio.

B(x ; y) =

m

yx

+ 23 1

. Es px18 y–6.Halle m + n + p

a) 82 b) 84 c) 86

d) 88 e) 90

06. Calcular el valor que toma el quinto término del

desarrollo de: 1

1

−x; para x = 0,4

a) 0,001 b) 0,003 c) 0,005

d) 0,007 e) 0,009

07. La suma de coeficientes de los 4 primeros términos del siguiente desarrollo:

32331

1

xxx +++; es:

a) 0 b) 5 c) 6

d) –5 e) – 6

08. Determinar el lugar que ocupa el término de mayor valor numérico que se obtiene al desarrollar: (3 + 2x)15; para x = 7/ 2



a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) 16

09. El valor de “x” es tan pequeño de tal manera que su cuadrado y demás potencias superiores pueden despreciarse. De acuerdo a esto, el equivalente de:

x

xT

++=

1

9, es:

a) 6

x3 + b)

6

x3 − c)

6

x172 +

d) 6

x173 − e)

17

x63 −

10. La suma de los coeficientes numéricos del desarrollo completo de ( x2 – 2xy + y2)7, es:

a) 0 b) 7 c) 14d) 128 e) 1282

11. Si el número de términos que se obtiene al desarrollar: ( 2 + 3x2 + 4y + 5z2)n es 84. Calcula “n”

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

12. Al desarrollar: ( x + y + z + w )8, se obtienen “n” términos en el cual uno de ellos toma la forma: λ x2

y2 zw3. De acuerdo a lo anterior, calcular el valor de: “x + n”

a) 1805 b) 1584 c) 1845d) 1854 e) 1580

13. Hallar el término que contenga la cuarta potencia

de “a” en el desarrollo de: ( )102 a−

a) 1280 a4 b) 1380 a4 c) 1480 a4

d) 1580 a4 e) 1680 a4

14. En el desarrollo de

71

−

aa , el coeficiente

de a-1/2 es:

a) - 7 b) 7 c) - 21d) 221 e) 35

15. La suma de los coeficientes numéricos de todos los términos del desarrollo de: (x - 2y)18 es:

a) 0 b) 1 c) 2d) - 19 e) 19

TAREA DOMICILIARIA

01. Determinar el valor de “n” si se sabe que el término central del desarrollo de:

4n)1x( −+ es

6 2

76n172n

x

+−

a) 8 b) 9 c) 10d) 7 e) N.A.

02. Calcular el lugar del término que contiene a x2 en el desarrollo de:

14

x

1x

−

a) 6 b) 7 c) 9d) 8 e) N.A.

03. Indicar el lugar que ocupa el término independiente de “x” en la expansión de:

xx

23

4

1541

+

a) 57 b) 63 c) 97d) 112 e) 113

04. En la expansión de: (3x3 + x-1)n existe un término en la cual su grado es numéricamente igual a la posición que ocupa. Indica dicha posición si la suma de los coeficientes de todos los términos del desarrollo es igual a 234

a) 8 b) 11 c) 10d) 12 e) 9

05. En el desarrollo de: 120

3

5 1

+

xx . Determina el

número de términos racionales e irracionales.

a) 9 y 12 b) 15 y 104 c) 17 y 104d) 20 y 101 e) N.A.


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