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75 76COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria ÁLGEBRA 4to. Año Secundaria

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

OBJETIVOS ESPECIFICOS:

Reconoce y clasifica una ecuación algebraica desarrollando la percepción y acumulando experiencias que servirán de soporte para futuras formalizaciones

Dado un conjunto de Ecuaciones de Primer Grado, trabaja creativamente y con actitud crítica situaciones problemáticas, utilizando una variedad de técnicas de cálculo y aplicando correctamente las propiedades que correspondan.

COMENTARIO PREVIO:

Una de las mayores aportaciones a la teoría de las ecuaciones se debe al matemático Joseph Luis Lagrange (1736 – 1813). Lagrange fue uno de los mayores analistas de su época. Su mayor aportación al álgebra es su famosa memoria “sobre la resolución de las ecuaciones numéricas” escrita en 1767.La interpretación de los fenómenos físicos de la naturaleza se realiza en general mediante modelos matemáticos, los cuales se expresan por ecuaciones algebraicas. De ahí la gran importancia del estudio de la teoría de ecuaciones.

En este módulo aprenderemos a resolver ecuaciones de primer grado, de segundo grado, sistemas de ecuaciones, ecuaciones bicuadráticas y demás ecuaciones polinomiales.

CONTENIDO TEÓRICO:

1. IGUALDAD DE NUMEROS REALES

Es la relación matemática donde nos indica que dos cantidades tienen el

mismo valor. Se denota por el signo =, que se lee igual. Veamos:

27 = 27|9| = |- 9|

A = B

Axiomas de la igualdad.- Enunciaremos los siguientes axiomas sobre la Igualdad de Números Reales.

Axioma de Reflexividad: Todo número real es igual a si mismo.

SI a R a = a

Axioma de Simetría: Si un número real es igual a otro , entonces el segundo es igual al primero.

Si a = b b = a, a; b R

Axioma de Transitividad: Si un número real es igual a otro, y este otro es igual a un tercero, entonces el primero es igual al tercero.

Si a= b b = c a = c; a; b; c R

Axioma de Sustitución o Principio de Sustitución: En cualquier preposición referente a los números reales todo número puede ser reemplazado por su igual sin alterar el valor veritativo de tal proposición.

Si a = b c = d a+c= ma+d= m

Si a = b c = d a . c= ma . d= m

2. ECUACIÓN

Una ecuación es una igualdad condicional entre dos expresiones matemáticas definidas sobre un mismo conjunto numérico, donde participa por lo menos una variable (cantidad desconocida llamada variable). Es todo enunciado abierto en que aparece el signo “=” y cuyo valor de verdad se determina mediante su correspondiente conjunto de valores admisibles para la variable (conjunto solución).

Notación: A(x) = B(x)

OBSERVACIÓN:Enunciado abierto: es toda expresión que contiene por lo menos una variable, que para determinados valores de su dominio se convierte en un enunciado verdadero o falso llamado proposición.

Variable: es el símbolo que puede tomar un valor cualquiera de un determinado conjunto llamado dominio. A las variables que intervienen en la ecuación se les llama incógnitas

Conjunto Solución:

El conjunto solución de una ecuación es el conjunto de valores (soluciones) que permiten que la ecuación sea una proposición verdadera.Si una ecuación no posee solución alguna, entonces definiremos a su conjunto solución como el vacío y lo denotaremos por o {}

Ejemplo 1. Sea la ecuación: x3= 4x.

Si x=1 : 13= 4(1) 1= 4

Proposición falsa

Si x=2 : 23= 4(2) 8= 8

Proposición verdadera

Si x=- 2 : (- 2)3=4(- 2) - 8= – 8 Proposición verdadera

Si x=0 : 03= 4(0) 0= 0

Proposición verdadera

De lo expuesto; vemos que 2, – 2, 0 son soluciones de la ecuación de acuerdo a la definición, luego:

CS= {2, - 2, 0}

Ejemplo 2: La ecuación 3x – 5 = 0, tiene como raíz o solución a: x = 5/3.

Luego, su conjunto solución es:

C.S. =

3. CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES ALGEBRAICAS

3.1. De acuerdo a su forma:

Ecuación polinomial: Es una ecuación algebraica racional entera.P(x)=ax+b= 0P(x)=ax2+bx+c= 0P(x)=ax3+bx2+cx+d= 0P(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+a3xn-3+...+an–

1x+an= 0n Z+ {a0; a1

; a2; a3; ...an - 1;an} R

a0; a1; a2; a3; ...; ; an - 1; an son los coeficientes.Nota: El conjunto de valores admisibles en una ecuación polinomial son todos los reales.

Ecuación fraccionaria: Es una ecuación algebraica racional fraccionaria.

P(x)= - 5x+11= 0 .......CVA= R –{–

2}

P(x)= ...CVA=

R–{–1, –3,1}

Ecuación Irracional:

P(x)=

S4AL32B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4AL32B “El nuevo símbolo de una buena educación...."

ECUACI


Restricción de la ecuación: x - 2 0 x 2

Luego C V A= x [2,+>

Nota: El hecho de haber establecido el conjunto de valores admisibles (CVA), no implica haber resuelto la ecuación, sólo se le ha restringido.

3.2 De acuerdo a su conjunto solución:

Ecuaciones consistentes o compatibles: Son aquellas que tienen o aceptan por lo menos una solución. A su vez se dividen en:

- Determinadas.- Son aquellas que tienen un número limitado de soluciones. Ejm:

x3= x, CS={1, 0, - 1}

- Indeterminadas.- Son aquellas que tienen un número ¡limitado de soluciones. Ejm:

x+1= x+1, CS= R

Ecuaciones inconsistentes o incompatibles.- Son aquellas que no tienen solución, también se les denomina absurdas o imposibles.

= 0 CS=

4. ECUACIONES DE PRIMER GRADO 0 LINEALES EN UNA VARIABLE:Son aquellas ecuaciones que tienen la forma:

P(x)= ax + b = 0

Donde: a, b son los coeficientes, “x” es la incógnita. Para obtener la única raíz o solución de la ecuación, basta con despejar la

incógnita, así tendremos que: x=

(presentación única solución).

5. ANÁLISIS DE LA ECUACIÓN

PARAMÉTRICA EN VARIABLE “X”.

ax= b .........( * )

Caso I:- Si: a 0 (no importa el valor de b),

reemplazamos en (*), obteniéndose x=b/a una sola solución, con lo cual su conjunto solución es finito, luego (*) es compatible determinada.

Caso II:- Si: a=0 , b=0, evaluando en (*) se

tiene 0x=0, indicando que existen infinitas soluciones, luego (*) es compatible indeterminada

Caso III:- Si: a=0 , b 0, al reemplazar en (*)

se obtiene 0x= b que carece de soluciones, con lo cual su conjunto solución es vacío, luego (*) es incompatible.

Ejemplo: En la ecuación paramétrica en “x”:

(a - 5)(a+3)x= (a+2)(a+3)

Halle los valores de a para que sea:

I) DeterminadaII) IndeterminadaIII) Incompatible

Resolución:

I) (a - 5)(a+3)

a R -{- 3, 5}

II) (a - 5 ) (a+3)= 0 (a+2)(a+3)= 0(a=5; a=- 3) (a=- 2; a= - 3)

a= - 3

III)(a - 5)(a+3)= 0 (a+2)(a+3) 0(a=5; a=- 3) (a - 2; a - 3)

a= 5

6. ECUACIONES EQUIVALENTES: Dos o más ecuaciones de las mismas variables son equivalentes, si y solo si poseen el mismo conjunto solución.

Ejemplos:

P1= CS= {12}

P2= 5x - 36= 24 CS= {12}

Como los conjuntos solución son iguales, entonces P1 y P2 son equivalentes:

Para resolver una ecuación de primer grado es fácil, bastará con aplicar algunas propiedades básicas de los números reales hasta hallar el valor de la incógnita.

Se debe tener cuidado, cuando la variable aparece en el denominador o cuando se presenta un término radical; es justamente en estos casos que aparece una raíz extraña en algunas ecuaciones.

Luego, para resolver ecuaciones en general y de primer grado en particular es necesario tener en cuenta lo siguiente:

a) Si se divide ambos miembros de una ecuación por una misma expresión que contenga a la incógnita, entonces se perderán soluciones. Esto se puede evitar si la expresión que se divide (simplifica) se iguala a cero. Ejemplo:

Resolver: (x + 3) (x - 2) = 4 (x – 2) Solución:Simplificando: (x - 2) x - 2=0 Para no perder solución x = 2Luego, tendremos: x+3=4 x=1 La ecuación tiene 2 soluciones x=2 y x=1 (de no haber igualado a cero, hubiéramos perdido la solución x=2).

b) Si se multiplican ambos miembros de una ecuación por una misma expresión que contenga a la incógnita, entonces se puede introducir soluciones extrañas. Esto se puede evitar si previamente se simplifica por separado cada miembro de la ecuación. Ejemplo:

Resolver:

Solución:

Primero simplificamos (x - 2), y tendremos; x+3= 4 x= 1

Observación:Si hubiésemos trasladado (x – 2) a multiplicar, tendríamos que una solución sería x=2, que es una solución extraña, pues no verifica la igualdad.

c) Si se eleva ambos miembros de una ecuación a un mismo exponente, entonces se pueden introducir soluciones extrañas.

Ejemplo: Resolver

Solución: Elevando al cuadrado:

x2 + 7 = x2 – 14x + 4914x = 42

x = 3

Pero si reemplazamos; x = 3 en la ecuación dada tendremos:

(Proposición Falsa) (No cumple), luego: x = 3 es una

solución extraña, y la ecuación es incompatible, pues no tiene solución:

Observación:



Siempre que se potencie los dos miembros de una ecuación. El valor o los valores obtenidos para “x” deben comprobarse en la ecuación original pues pueden no ser soluciones verdaderas.

d) Si a ambos miembros de una ecuación le sumamos un mismo número o un mismo polinomio, la nueva ecuación es equivalente a la inicial.

Observación:Si a ambos miembros se suma o resta una función arbitraria la ecuación resultante no necesariamente es equivalente a la inicial.

La ecuación: x2 - 12= 2x+3 tiene por raíces:

x= 5; x= - 3

Sumando a los dos miembros:

Obtenemos: x2 - 12+ = 2x+3+

Para lo cual x= 5 no es solución.

Observaciones:

1. El conjunto solución de una ecuación depende del conjunto numérico en que se quiere resolver la ecuación, por ejemplo:

Se queremos resolver en el conjunto de los racionales (Q), entonces el conjunto solución de la ecuación: x2= 2, es vacío; pues no existe número racional cuyo cuadrado es 2. Si embargo si resolvemos en el conjunto de los reales (R), entonces

el conjunto solución es { , }.

De la misma manera, la ecuación x2=- 1, no tiene en R, pero si la tiene en el

conjunto C. Al despejar x se obtiene: x=

ó x= - .

Si definimos =i( i es la unidad

imaginaria del conjunto C), el conjunto solución es: {- i, i}.

2. Si p y q son expresiones algebraicas en una variable “x”, entonces un enunciado de la forma “p=q” se llama una ecuación algebraica en “x”. Si obtenemos una proposición verdadera cuando reemplazamos x por x0; entonces x0 es llamada una solución de la ecuación. x0

es un valor del dominio (conjunto de valores admisibles) para x.

3. Si el conjunto solución de una ecuación es todo el dominio para x, entonces la ecuación se llama una IDENTIDAD, por ejemplo:

La ecuación: =

es una identidad; pues

es cierta para todo número en el dominio para x, esto es, en el intervalo cerrado: [- 1, 1].

4. Si en el dominio para “x” existen números que no son soluciones, entonces la ecuación se llama ecuación condicional o un enunciado abierto. Por

ejemplo; en la ecuación: x2= , cuyo

dominio para x es: [0, > existen números en el dominio que no son soluciones, por ejemplo x= 4 [0, +>, y no es solución, luego se trata de una ecuación condicional.

PROBLEMAS EXPLICATIVOS

01. Sayumi tenía 120 nuevos

soles. Si gastó los de lo que no gastó.

¿Cuánto dinero gastó Sayumi?

Solución:Sea x la cantidad de nuevos soles que gastó Sayumi. Entonces (120 - x) nuevos soles es lo que no gastó.

Luego: Gasto = (No gastó)

Entonces: x= (120 - x) 7x= 600 -

6x 7x+5x= 600 12x= 600

x=

x= 50 .

Respuesta: Sayumi gastó 50 nuevos soles.

02. Walter llega tarde al

colegio cuando había pasado un de la

clase de álgebra; 6 minutos después

llega Jimmi y sólo escucha los de la

clase. Si la clase empezó a las 8:00 de la mañana. ¿A que hora terminó?

Solución:Sea t el tiempo (en minutos) que duró la

clase. Jimmi se pierde ( ) de la

clase, que equivale a t (pues Jimmi sólo

escuchó los t).

Luego: t = t + 6 t - t= 6

= 6

t=

t= 80’

Respuesta: Como la clase empezó a las 8:00 a.m. y duró 80 minutos entonces término a las 9:20 a.m.

03. Un río tiene una corriente de 3 kilómetros por hora. Si el bote de Aly Boydi tarda el mismo tiempo en ir 18 kilómetros río abajo y 15 km. río arriba. Calcule la velocidad del bote en aguas tranquilas.

Solución:Sea V la velocidad del bote en aguas tranquilas, entonces (V+3) es la velocidad del bote río abajo (con la corriente a favor) y (V - 3) es la velocidad del bote río arriba (contra la corriente), entonces tenemos:

Distancia

Velocidad Tiempo

Río Abajo 18 V+3

Río Arriba 15 V- 3

Como el tiempo es el mismo: =

.

18 (V - 3)= 15 (V+3)

18V - 54= 15 V+45

18V - 15V= 45+54

3V= 99

V=

V=33

Respuesta: La velocidad del bote en aguas tranquilas es 33 kilómetros por hora.



PRÁCTICA DE CLASE

01. Clasificar las siguientes ecuaciones algebraicas de acuerdo a su forma.

a) = 0

..............................................................

b) = 0

..............................................................

c) = 0

..............................................................

d) = 0

...........................................................

...

02. Clasificar las siguientes ecuaciones algebraicas en función de soluciones:

a) x3= 9x

....................................................

b) 2x+5=

2x+5 ............................................

c) x+

..................................................

d) x(x - 2)= (x -

1)2 .......................................

e) 5x = 5x

...................................................

f) -

...................................

03. Encierra en una circunferencia V(Verdadero) o F(Falso).

- El conjunto de valores admisibles en una ecuación algebraica implica que la ecuación ha sido resuelta. V - F

- En una ecuación polinomial sus coeficientes son números naturales - F

- Una ecuación es una proposición matemática

V - F- Una ecuación compatible

indeterminada tiene infinitas soluciones. V - F

04. Una ecuación compatible:

a) Tiene 2 incógnitasb) No tiene soluciónc) Tiene un número finito de solucionesd) Tiene un número infinito de solucionese) c y d

05. Toda ecuación lineal presenta:

a) 1 solución b) 2 solucionesc) 3 soluciones d) 4 solucionese) N.a.

06. Se llama ecuación polinomial a la:

a) Ecuación algebraica racional enterab) Ecuación algebraica racional fraccionariac) Ecuación trascendented) Ecuación irracionale) N.a.

07. Una ecuación se llama incompatible si:

a) Tiene infinitas solucionesb) Tiene 3 incógnitasc) Tiene un número finito de solucionesd) Es irracional

e) No admite solución

08. Resolver:

x + 5 +

a) 6b) – 6c) 6 y – 6

d) Indeterminadoe) Incompatible

09. Resolver:

x - 4+2

a) 6b) – 6c) 6 y – 6d) Indeterminadoe) Incompatible

10. Resolver:

Marque lo correcto:

a) Tiene una raíz b) Tiene dos raícesc) Tiene tres raíces d) Indeterminado e) Incompatible

11. Resolver: .

a) Incompatible b) 0c) 5 d) 5, – 5 e) Indeterminado

12. Resolver:

.

Indique la suma de sus raíces.

a) 0 b) 5 c) 6d) 7 e) 9

13. Resolver:



Indique:

a) 4 b) 2 c) - 27

d) e)

14. Dada la ecuación en x:

Dar el valor de verdad:

I. La ecuación dada es linealII. La ecuación tiene infinitas solucionesIII. La ecuación tiene solución única

IV. x= es solución de la

ecuaciónV. La ecuación dada es ecuación polinomial

a) FVFVV b) FVFVF c) VVVFFd) FFVVV e) VFVFV

15. Para que valor real del parámetro “n”, la ecuación del primer grado “x”:

(2n - 1)x+ 2= nx – 3n2 será compatible y determinada.

a) n R b) 2 c) 3d) n R+ e) n R - {+1}

16. En la siguiente ecuación:(x+1) + (x+2) + (x+3) +...+ (x + n) = n2,

n entero positivo, el valor de x es:

a) b) c)

d) e)

17. Si se define: P(n)= n+3; f(m)= 3m. Calcular “x” en: f(P(f(P(2)))) - P(f(P(x)))= 75.

a) 4 b) – 11 c) 12d) – 15 e) – 1

18. Resolver:

a) 1 b) 4 c) 5d) 2 e) - 1

19. Resolver: x+ = 7.

¿Cuántas soluciones tiene?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 0

20. Hallar x en:

= 5

a) 1 b) 4 c) 9d) 16 e) 0

21. Si |– 9x|= 72. Calcular: |x - 3|.

a) 0 b) {1, 2} c) {5, 11}d) 11 e) 5

TAREA DOMICILIARIA

01. Sea la ecuación en “x” :a3x – a4+6a2=(3a – 2)x+8a – 3 e indicar el valor de a apara el cual la ecuación presenta infinitas soluciones:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 0

02. Hallar el valor del parámetro “a” de modo que la ecuación a2x+2x+2=a2+a+3ax sea:

Compatible determinado compatible indeterminado incompatible

03. Resolver: 285

x=

285(1+4+9+16+ ... +81)

a) 1 b) 7 c) 8d) 9 e) 570

04. Si a b, resolver en x. a(x - a2) - b(x -b2)= 0.

a) b) {0} c) {1}d) {a + b} e) {a2 + ab + b2}

05. Determinar el cardinal del conjunto solución de la ecuación:

- 9.

a) 0 b) 1 c) 2d) 4 e) N.a.

06. Al resolver la ecuación:(x+1)+(x+2)+(x+3)+...+(x+20) = 420 – x .

a) 0 b) 5 c) 10d) 12 e) 21

07. Hallar m y p para que la ecuación:

3mx – 4p = 2x + m.

Sea:

I) Incompatible II) Indeterminada

Señalar la suma de soluciones de m:

a) 2/3 b) 1/3 c) 1d) 4/3 e) 5/3

08. Si: = 1 - x. El

conjunto solución de la ecuación es:

a) x= 1 b) x= 3 c) x > 1d) x < 1 e) x= 2

09. Resolver la ecuación: (m – 3)x2+5m+(m – 2)x – 14= 0 de primer grado

a) 1 b) - 1 c) 0d) 19 e) 15

10. Resolver: x - 7+ =

3 - x+

a) 5 b) 5; - 5 c) - 5d) Indeterminado e) Incompatible

11. Compre cierto número de folletos de álgebra por 100 nuevos soles. Si el precio por el ejemplar me hubiese costado un nuevo sol menos, tendría 5 ejemplares más por el mismo dinero. ¿Cuántos folletos compre?

a) 5 b) 4 c) 25d) 20 e) 15

12. José tiene tres veces los años que tenía Ricardo cuando el tenía 16 años. Ricardo tiene 24. Hallar la edad de José.

a) 25 b) 20 c) 40d) 30 e) 35

13. En un reloj se lee: 8: 48 cuando en realidad son: 8:52, más tarde a las 9:42 se lee 9:34, y según esto; ¿A que hora deba una lectura correcta?

a) 8:02 b) 8:00 c) 8:04d) 8:25 e) 9:11

14. En una ala de juego para entrar se paga 1 dólar y para salir 1 dólar. Una persona juega en 3 salas y pierde en cada una la mitad de lo que tiene. ¿Cuánto tenía antes de empezar a jugar si al final se queda sin dinero?

a) 20 b) 21 c) 22d) 23 e) N.a.

15. El conjunto solución de:

, es:

a) IR b) {3, - 3} c) {4, - 4}d) IR - {3, - 3} e) N.a.

16. Resolver:

= 4



a) 12 b) 16 c) 25d) 36 e) 9

17. Resolver la ecuación:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

18. Resolver la ecuación:

a) 18 b) 9 c) 25d) 16 e) 4

19. Resolver:

.

a) 1/2 b) 4/5 c) 2/3d) 3/2 e) 3/4

20. Resolver:

.

a) b) c)

d) e)

21. Indique que pares de ecuaciones son equivalentes:

I. x= 4; x2 = 16II. x= 4; x2 = 4x

III. = 4; x = 16

IV. x= 4; 4x = 16

a) Las 4 posibilidades planteadasb) Sólo I y IIc) Sólo II y IIId) Sólo III y IVe) Sólo I y IV

22. El valor de x que satisface la ecuación fraccionaria:

.

a) 3/4 b) 1/2 c) 2/3d) 5/6 e) 7/6

23. Hallar el valor de x en:

a) 2 b) 32 c) 16d) 4 e) 64

ECUACIONES DE SEGUNDO

GRADODEFINICIÓN:Se llama ecuación de 2do grado a toda ecuación que admite ser reducida a la siguiente forma:

ax2 + bx + c = 0 , {a; b; c} R / a 0

Frecuentemente a dicha ecuación se le llama: Ecuación Cuadrática y se caracteriza por presentar 2 soluciones (su incógnita “x” asume dos valores)

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN.Toda ecuación de 2do grado podrá resolverse por al menos una de las siguientes formas:

A) Por FactorizaciónEste método se aplica únicamente si el trinomio : ax2+bx+c es factorizable, para lo cual se debe tener en cuenta la siguiente propiedad:

Si : m . n = 0 m = 0 n= 0

Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación:

x2 – x–12=0

Solución:

La ecuación dada es: x2 – x–12=0

Factoricemos al trinomio: x2 – x–12

Según el criterio del aspa x2 – x – 12= (x – 4)(x+3)simple tendremos: x – 4 x 3

Luego la ecuación dada será: (x-4) (x+3) = 0

Finalmente de acuerdo a la propiedad señalada líneas arriba; se tendrá:

x – 4 = 0 x + 3 = 0 x = 4 x = -3

Es decir el conjunto solución de la ecuación :

x2 – x – 12= 0, es : C.S. = {4; – 3}B) Por la Fórmula de Carnot

Dada la ecuación : ax2 + bx + c = 0, sus raíces se obtienen utilizando la fórmula deducida por Sadi Carnot:

Donde las raíces son:

;

Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación: x2 + 3x – 1= 0

Solución:

De la ecuación se deduce que: a=1 b=3 c=-1Reemplazando en la fórmula tenemos:

Efectuando y reduciendo:

Finalmente las raíces de la ecuación son:

;

En consecuencia el conjunto solución es :

ANÁLISIS DE LA ECUACIÓN.



Para la ecuación : ax2 + bx + c = 0 , se tiene:

I) Si : a 0 {b ; c} R , la ecuación es : Compatible Determinada.x

II) Si : a = 0 b = 0 c = 0 , la ecuación es : Compatible Indeterminada.

III) Si : a = 0 b = 0 c 0 , la ecuación es : Incompatible.

NATURALEZA DE LAS RAÍCES.

A) DISCRIMINANTE ()Llamamos discriminante a la expresión subradical contenida en la fórmula de Carnot :

= b2 – 4ac

De este modo la fórmula que da solución a una ecuación de 2do grado queda así :

B) ANÁLISIS DEL DISCRIMINANTEObservando la relación anterior, resulta previsible que el valor y/o signo del discriminante determinará la naturaleza de las raíces de una ecuación de 2do

grado. Veamos los siguientes casos:

Primero : Si : > 0

En este caso las raíces de la ecuación serán reales y diferentes.

Segundo : Si : = 0

En este caso las raíces de la ecuación serán reales e iguales. Este caso se presenta cuando el trinomio “ax2+bx+c” es un cuadrado perfecto.

Tercero : Si : < 0

En este caso las raíces de la ecuación serán imaginarias y

conjugadas. Debe notarse que las raíces imaginarias y conjugadas.

Debe notarse que las raíces imaginarias siempre se presentan en parejas, siendo una la conjugada de la otra.

Cuarto : Si : = k2 (cuadrado perfecto)

Siendo a, b c números racionales, las raíces de la ecuación serán reales racionales. Pero si k2, las raíces de la ecuación serán reales irracionales y conjugadas.

PROPIEDADES DE LAS RAÍCES:

Para la ecuación : ax2 + bx + c = 0 / a 0, de raíces x1 x2 , tenemos:I) Suma de Raíces : s = x1 + x2 =

II) Producto de Raíces : p = x1 . x2 =

III) Diferencia de Raíces : d =| x1 – x2 |=

A) RAÍCES PARTICULARES:

En algunas ecuaciones las raíces se condicionan de tal modo que efectuando alguna operación elemental entre ellas, se podrá deducir alguna propiedad particular como por ejemplo:

Raíces Simétricas: Si x1 x2 son raíces simétricas, se podrá establecer lo siguiente:

x1 = m x2 = – m x1 + x2 = 0

Raíces Recíprocas: Si x1 x2 son raíces recíprocas, se podrá establecer lo siguiente:

x1 = m x2 = x1 . x2 = 1

B) RAÍCES ESPECIALES:

Llamaremos así a las siguientes raíces:

Raíz Nula: Dada la ecuación cuadrática ax2+bx+c = 0 / a 0, si ésta presenta una raíz nula (x=0), se cumplirá que : c = 0.

Raíz Unidad: Dada la ecuación cuadrática ax2+bx+c = 0 / a 0, si ésta presenta una raíz unidad (x=1), se cumplirá que : a+b+c = 0.

RECONSTRUCCIÓN DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA:Considerando a x1 x2 como raíces de la ecuación tal que:

S = Suma de raícesP = Producto de raíces

Entonces la ecuación que originó a dichas raíces se determina así:

x2 – Sx + P = 0PROPIEDADES IMPORTANTES.

A. De las Ecuaciones Equivalentes

Sean:a1 x2 + b1 x + c1 = 0 ...... (1)

a2 x2 + b2 x + c2 = 0 ...... (2)

dos ecuaciones equivalentes, luego entre ellas se cumplirá la siguiente relación:

PRÁCTICA DE CLASE

Bloque I:

01. Resolver las siguientes ecuaciones

a) =

b) x -

c)

02. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas:

a) (x+1)(x+2)(x+3) = x(x+4)(x+5)

b) c) -

= 2

d)

03. Completar:

a) 2x2 – 7x – 3 = 0 = …………………… b) 7x2 – 11x – 14 = 0 S = ……………………

c) x2 – 5x + 6 = 0

………………

d) 2x2 + 7x + 1 = 0 =

……………

e) 2x2 + x – 1 = 0 =

…………

f) x2 + 2x – 1 = 0 =

…………

04. Relaciona correctamente :

I) x2- 4 x+12=0 a) Raíces reales

igualesII) x2 – 2x – 1 = 0 b) Raíces reales diferentesIII) x2 – 2x + 3 = 0 c) Raíces complejas

a) I A – II B – III C b) I C – II B – III A c) I B – II C – III A d) I A – II C – III B



e) I C – II A – III B

05. Calcular “m” para cada uno de los siguientes casos, siendo la ecuación cuadrática :

(m+1)x2 – (3m - 5)x + 2m – 5 = 0

a) Suma de raíces es 5/2 m =

…………......

b) Producto de raíces es 9/4 m =

…………......

c) Raíces recíprocas. m =

…………......

d) Raíces simétricas m =

…………......

e) Una raíz es – 2 m = …………......

06. Calcular “n” para cada uno de los siguientes casos, siendo la ecuación cuadrática :

(2n - 5)x2 + (3n - 5)x + n + 1 = 0

a) Raíces iguales m =

………….....

b) Suma de las inversas de las raíces es – 5/2 m =

………….....

c) Diferencia de raíces es 0,5 m =

………….....

d) Suma de los cuadrados de las raíces es 5/4 m = ………….....

07. Formar una ecuación

cuadrática con coeficientes enteros para cada uno de los siguientes casos: a) x1 = 7 x2 = 4

b) x1 = 2/3 x2 = - 3/5

c) x1 = 3 -

d) x1 = 4 + i

e) x1 + x2 = - 7/3 x1 . x2 = 5/9

Bloque II

01. Indicar la mayor raíz de la ecuación :

x2 – 3x + 2,16 = 0

a) 1,2 b) 0,8 c) 1,8d) 0,3 e) 1,2

02. En la siguiente ecuación:

determine el valor de “y”.

a) 1 b) 0,1 c) 0d) –3 e) a y d

03. Si : x =

, puede decirse que:

a) x= b) 0<x<1 c) x>2

d) x=2 e) x es infinitamente grande

04. Cuál o cuáles de las siguientes ecuaciones:

I. x2 – x – 1 = 0 II. x2 – 2x + 3 = 0III. 3x2 + x – 2 = 0

no admite raíces reales.

a) Solo I b) Solo II c) Solo IIId) II y III e) I y II

05. Halle la menor raíz de la siguiente ecuación mónica de 2do grado:

(m – 2) x2 – (3m-8) x + m – 9 = 0

a) -2 b) -3 c) 2d) 3 e) -1

06. Calcular el valor de “m – 2n” si la ecuación cuadrática:

5 (m + n + 18)x2 + 4(m – n) x+ 3mn = 0es incompatible.

a) –9 b) –18 c) 9d) 18 e) –13

07. Calcular la mayor solución de la ecuación:

(m – 2) x2 – (2m – 1) x + m – 1 = 0sabiendo que su discriminante es 25.

a) 3 b) 0,5 c) 2,5d) 1,5 e) N.a.

08. Calcular “m” para que la ecuación :

6x2 + (2m+3x) + m = 0tenga solo una raíz.

a) 3 b) 3/4 c) 1/2d) 3/2 e) 5/3

09. Si “r” y “s” son las raíces de la ecuación : ax2+bx+c=0 ; el valor

de : , es:

a) b2 – 4ac b) c)

d) e) b2 + 4ac

10. Si la ecuación : x2 – nx + 36 = 0, admite como raíces a : x1 x2, tal que:

; encontrar el valor de “n”.

a) 25 b) 18 c) 12d) 24 e) 15

11. Siendo : x1 x2 las raíces de la ecuación :5x2 – 23x + 11 = 0 , el valor de:

; es:

a) b) c)

d) e)

12. ¿Para qué valores de “m” la ecuación:

x2 – 2(3m+1) x + 7(2m+3) = 0

tendrá sus dos raíces iguales?

a) 5 ; 2 b) 1 ; – 3 / 2 c) 4 ; – 2 d) 3 ; – 1 e) 2 ; – 10 /9

13. La ecuación cuadrática cuyas raíces son :

2+ 2 – , es:

a) x2 + 2x – 1= 0 b) x2 + 4x +2= 0c) 2x2 – 4x + 1= 0 d) x2 – 4x + 2= 0e) x2 – 8x + 2= 0

14. Si “” y “” son las raíces de la ecuación:x2 – 2x – 5 = 0, encontrar una ecuación cuadrática cuyas raíces sean: 2 y 2.

a) x2 +14x + 25= 0 b) x2 +14x +15= 0c) x2 – 2x - 1= 0 d) x2 – 14x - 25= 0e) x2 – 14x + 25= 0

15. ¿Para qué valor de “m” las raíces de la ecuación: x2 – (m+3)x +

+1=0; se diferencian en 2?

a) – b) c) –

d) e)

16. La ecuación de 2do grado una de cuyas raíces es la fracción :



x = ; está dada por:

a) 3x2 – 5 = 0 b) 5x2 – 3 = 0c) 3x2–x–5 = 0 d) 5x2 – x – 3 = 0e) 2x2 – 4 = 0

17. Determine la suma de los valores que puede tomar “a” para que la ecuación:

(a+1) x2+ax+1 = 0

tenga una sola solución si “a” es un número real y diferente de –1.

a) 12 b) 4 c) 4

d) 5 e) 6

18. Sea : {x1 ; x2} el conjunto solución de :3x2 – x – 1 = 0. A continuación se establece que:

P(n) = ; calcular : P(2)

a) 7 b) c) 3

d) e)

19. Si la ecuación : x2 – 6x + n + 1 = 0 , admite como raíces a x1 x2 , tal que :

;

encontrar el valor de n:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

20. ¿Para qué valor de “n” el discriminante de la ecuación : x2 – 8x + n = 0, es igual a 20?

a) 44 b) 11 c) 33d) 22 e) 17

TAREA DOMICILIARIA

01. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones, en base a la ecuación:

x(x – 1)2(2x – 3)3(x2 – )2 = 0

( ) Posee 4 raíces o soluciones( ) Su conjunto solución posee 5 elementos( ) Posee a x = 0 como raíz simple y a

x = 3/2 como raíz triple.

a) VVV b) FVV c) FFV d) VFV e) VVF

02. En la ecuación cuadrática : ax2+bx+c=0afirmamos :

I) Si la suma de sus raíces es igual a su producto entonces b + c = 0

II) Si una raíz es la opuesta de la otra entonces b = 0

III) Si una raíz es el doble de la otra, entonces 2b2 = 9ac

a) Las 3 afirmaciones son verdaderas b) I y II son verdaderas c) I y III son verdaderas d) II y III son verdaderas e) Sólo II es verdadera

03. Sea la ecuación :

indicar el valor de verdad de las

proposiciones:

( ) Si la ecuación admite solución, ésta debe estar en [-1; 0]

( ) La ecuación tiene dos soluciones reales

( ) La ecuación tiene una única

solución

a) VFV b) VFF c) VVFd) VVV e) FVV

04. Resolver: (1+x)(1+2x)(1+3x) = - 15Indicar la suma de las raíces no reales :

a) 0 b) 1/2 c) – 1/2 d) – 1 e) 1/6

05. Sea el polinomio cuadrático:P(x) (n+1)! x + n! (x) + (n-1)!; n N, indicar verdadero o falso, si P(x) = 0, según corresponda:

( ) P(x) tiene raíces reales y diferentes n N

( ) P(x) tiene siempre raíces imaginarias y conjugadas

( ) Para algún n N, P(x) tiene raíces iguales

a) FFV b) FVV c) VFVd) VVV e) FVF

06. Si x1 y x2 son raíces reales de : ax2+bx+c=0 (a 0), calcular el valor de “m” para que la ecuación de raíces (x1 + m) y (x2 + m); carezca de término lineal

a) – b / 2a b) b / 2a c) b / ad) – b / a e) b / 3a

07. Determinar la ecuación de segundo grado cuyas raíces sean: una la suma y la otra el producto de las raíces de: ax2 + bx + c = 0; a 0

a) a2x2 – a(b - c)x – bc = 0 b) a2x2 – a(b + c)x – bc = 0 c) a2x2 – a(b + c)x + bc = 0 d) a2x2 + a(b - c)x + bc = 0 e) a2x2 + a(b - c)x – bc = 0

08. Siendo x1 y x2 las raíces de la ecuación :

ax2 + bx + b = 0; a b 0

tales que x1 es a x2 como “b” es a “a” calcular:

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

09. La ecuación x2+bx+c=0 ……… (1); tiene raíces reales positivas distintas, entonces de las raíces de la

ecuación : +b +c=0; se puede

afirmar :

a) Son las mismas de (1) b) Algunas son negativas c) Algunas son complejas d) Son todas positivas e) Son todas negativas

10. Hallar la ecuación de segundo grado de coeficiente principal 1 y de raíces m y n se sabe que :

i) x2+(m – 1) x + m – 2 = 0; tiene una sola solución real

ii) x2 – (n+1)x + 2n = 0; tiene una raíz

igual a 3.

a) x2+9x+18 = 0 b) x2 – 6x + 18 = 0c) x2 – 9x – 18 = 0 d) x2 – 9x + 18 = 0 e) x2 – 6x – 18 = 0

11. En la ecuación: 2x2 – (m – 1)x + m + 1 = 0, ¿qué valor positivo debe darse a “m” para que las raíces difieran en uno?

a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 11

12. Sabiendo que : (p+q)2 y (p - q)2 son raíces de cierta ecuación cuadrática recíproca donde “p” y “q” son raíces de la ecuación : ax2+bx+c=0; a b 0, calcular a4 – b4

a) 2abc b) – 2abc2 c) 4abc2 d) – 4 ab2c e) – 4abc2



13. Sabiendo que la ecuación : x4 – 9x+ = 0 admite dos raíces que suman 3, calcular el producto de todas las raíces

a) 3 b) 6 c) 9d) 12 e) 18

14. Si las raíces de la ecuación en “x”x2 – 3x + m + 1 = 03x2 + 5x + m = 0

Son imaginarias y reales respectivamente determine el valor entero de “m”

a) 0 b) 1 c) - 1d) 4 e) 2

15. Determine a + b +c de modo que la ecuación :x3 – ax2 + bx + c = 0admita por raíces : a, b, c; abc 0

a) 1 b) – 1 c) 0 d) 4 e) 8

16. Resolver :

indicar la raíz de mayor valor

a) +1 b) 3-2 c) ( +1)2

d) 2+3 e) (3+ )/2

17. Si r y s son raíces de la ecuación cuadrática :

mx2 – 2(m-1)x+m=0 y cumplen

=4, halle la suma de todos los valores “m” que satisfacen la condición

a) 1 b) – 4 c) – 1 d) 0 e) 4

18. El producto de multiplicar el término independiente con el coeficiente del término cuadrático de la

ecuación que tiene por raíces el cuadrado de la inversa de las raíces de :

ax2 + bx + c = 0, a 0, es :

a) ac b) a2c2 c) a/c d) 1/a2c2 e) c/a

19. Hallar la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación polinomial :

F(x) = x3 – 3x + 6 = 0

a) 1 b) – 1 c) 4 d) 8 e) 6

20. Si x1, x2, x3 son las raíces de la ecuación :

4x3 + mx2 – 4x + m2 = 0además :

x1 = ; x2 = ;

x3 = , calcule un valor de “m”

a) 0 b) – 1 c) 2d) – 2 e) 1

21. Resolver las ecuaciones:

1) x2 = 72) (x + 1) (x – 3) = 123) 15x2 – 34x + 15 = 0

4) (x + 3) (x + 5) = 13x2

5) x (x – 1997) = (x – 1997)

Indicar la ecuación que posee la menor raíz

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

22. Sea la ecuación :[(m+n)2

– (m – n)2]x2+[(m – 1)2]x – [(m+n)2+(m –

n)2] = 0

siendo m 0 n 0 y x1 y x2 son sus raíces. ¿En cuántas unidades es necesario disminuir dichas raíces para que sean simétricas?

a) 1/n b) – 1/n c) 1/2 n d) – 2n e) – 1/2 n

23. Hallar una de las raíces de la ecuación :a(b – c)x2 + b(c – a)x + c (a – b) = 0

si x es la incógnita

a) b) c)

d) e)

24. Dada la ecuación : x2 - 2x + m 0Calcular “m” si una de las raíces es 1 + 2i,

(i = ); m R

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 8

25. Si la ecuación: x2+px+q = 0; tiene por conjunto solución

(r, s) si: r – s = 4 y r3 – s3 = 208

entonces p / q es:

a) 2/3 b) 3/2 c) 2/5 d) 2/7 e) 1/7

26. Hallar el valor de “a” para que las raíces de la ecuación: x2– (a+3)+

=0 se diferencien en 5

a) 5/3 b) 7/3 c) 10/3 d) 5/6 e) 20/3

27. Resolver e indicar la solución :

a) 7 b) 13 c) 15d) 5 e) 16

28. Calcular “m” para que la ecuación :6x2 + (2m+3)x+m=0 tenga una raíz solamente

a) 3 b) 3/4 c) 1/2 d) 3/2 e) 5/3

29. Sabiendo que las raíces de la ecuación :

x2 – (3n - 2)x + n2 – 1 = 0

son números enteros y una de ellas es el triple de la otra, calcular éstas

a) 4 y 12 b) 2 y 6 c) 5 y 15 d) 3 y 2 e) 1 y 3

30. Sabiendo que las ecuaciones:

x2 + mx + n = 0x2 + nx + m = 0

presentan una raíz común, formar otra ecuación cuadrática cuyas raíces sean las no comunes de las anteriores

a) x2 + x – 1 = 0 b) x2 + (m - n)x + mn = 0 c) x2 – x + 1 = 0 d) x2 – (m + n)x + mn = 0 e) x2 – mn = 0



ECUACIONES BINOMIAS, TRINOMIAS,

BICUADRÁTICAS

ECUACIÓN BINOMIA:

Se denomina así a las ecuaciones de dos términos que presenta la siguiente forma general:

a . b 0 n N

Éstas se resuelven factorizando o utilizando la fórmula de “Abraham de Moivre”

Ejemplo: Resolver:

Factorizando:

C.S. =

Teorema: Las ecuaciones binomias sólo tienen raíces simples, no aceptan raíces múltiples.

ECUACIÓN TRINOMIASon aquellas ecuaciones de tres términos que presentan la siguiente forma general:

; abc 0 n N

Estas ecuaciones se resuelven factorizando

o realizando el cambio de variable: ;

lo que la convierte en una ecuación cuadrática después de resolver esta, se repone la variable original y se hallan las soluciones de la ecuación trinomia.

Resolver:

Factorizando:

ECUACIÓN RECÍPROCASe denomina así a las ecuaciones cuyos coeficientes de los términos equidistantes de los extremos son iguales en valor absoluto.

Ejemplo:

Propiedades:

1. Si “r” es raíz de la ecuación recíproca entonces “1/r” también es raíz de la ecuación.

2. Si la ecuación es recíproca de grado impar, tiene una raíz “1” ó “- 1” (se evalúa para determinar cual de ellas es la raíz)

3. Si P(x)= 0 es una ecuación polinómica recíproca de grado “n”, se cumple:

Para resolver la ecuación recíproca se consideran los siguientes casos:

Casos:

I. Si el grado es par:- Se factoriza la parte literal del término

central y se agrupa convenientemente; luego se realiza el cambio de variable respectivo:

Si: Si:

- Se resuelve la ecuación con la nueva variable luego se repone, la variable original y se resuelve, hallándose las soluciones de la ecuación recíproca.

Ejemplo: Resolver:

*

Agrupando:

...... ()

Realizando el cambio de variable en el corchete:

Fact. (aspa

simple) (6a - 13)(a - 2) = 0

Reponiendo “x” y reemplazando en “”

Efectuando:

Igualando a cero cada factor el C.S.=

* También se puede factorizar por aspa doble especial

II. Si el Grado es Impar

- Se factoriza mediante el método de los divisores binómicos, evaluar para x=1 x=- 1

- Luego de obtener el factor lineal, el otro factor es un polinomio recíproco de grado par al cual se le aplica el método para resolver la ecuación recíproca de grado par.

Resolver:

Factorizando por divisores binómicos:



Igualando cada factor a cero:

Aplicando el método para la ecuación recíproca de grado par:

Se obtiene:

Fact: (2x - 1)(x - 2)(3x - 1)(x - 3) = 0

Igualando a cero cada factor el conjunto solución final es:

ECUACIÓN BICUADRADASe denomina así a las ecuaciones de cuarto grado que tienen la siguiente forma general:

; abc 0

Para resolver esta ecuación se factoriza o se utiliza la resolvente de la bicuadrada:

Resolver:

Factorizando por aspa simple:

Igualando cada factor a cero:

C.S. =

Resolver:

Por la fórmula:

Propiedades de:

1. Las raíces de la ecuación bicuadrada son opuestas dos a dos es decir:

2. Suma de productos binarios

3. Producto de raíces:

Reconstrucción de la ecuación bicuadrada

Ejemplo: Formar la ecuación bicuadrada, dos de cuyas raíces son: – 3 y 2¡

Por teoría sabemos que las otras dos son las opuestas:

Sean:

ECUACIONES FRACCIONARIAS

Son aquellas que se reducen a la forma:

Q(x) 0

Para resolver estas ecuaciones se debe restringir el denominador (diferente de cero), luego resolver la ecuación y finalmente intersectar los conjuntos de valores obtenidosEjemplo: Resolver:

Restringiendo: x - 3 0 x - 2 0x 3 x 2 ............. ()

Efectuando operaciones:

0 = (x - 2)2 x = 2 ................ ()

De : Vemos que x = 2 no satisface la ecuación: C.S. =

TAREA DOMICILIARIA

01. Determinar los números enteros p; q; r de manera que las ecuaciones:

tenga tres raíces comunes e indicar el valor de:p+ q + r

a) 1 b) – 2 c) 5d) – 7 e) – 9

02. Indicar una raíz de:

a) b) c)

d) e) -

03. Indicar una de las soluciones de:

Si: a + b = b + c + d = d + e

a) ¡ b) c)

d) e) - ¡

04. Resolver la ecuación bicuadrada:

Si el producto de raíces es igual a 1. Dar como respuesta la raíz de mayor valor absoluto

a)2/ b) /2 c)

d) e)

05. Calcular los valores de “” para que la ecuación:

, tenga

sólo dos raíces reales

a) ]- ; 3[ b) ]- ; 5[ c) ]- ; +4[d) ]3; +[ e) ]4; +[

06. Sea la ecuación de coeficientes enteros:



Calcule: , si una de sus raíces es

igual a: “b” toma su mínimo

valor positivo

a) 1 b) – 1 c) 4d) – 4 e) – 2

07. Indicar una raíz de:

a) b) c)

d) 1 + ¡ e) 1 - ¡

08. Luego de resolver:

podemos afirmar que:

a) x = 1 es una raízb) x = – ¡ no es una raízc) x = – 2002 es una raízd) Sólo posee una raíz imaginariae) x = ¡ es una raíz imaginaria

09. Si son las

soluciones reales de la ecuación recíproca:

proporcione el valor de:

a) 1 b) 2 c) 4d) 9 e) 36

10. En la ecuación bicuadrada:

, de raíces

si se cumple: a + c = 2b

Calcular el valor de:

; si

a) 3 b) – 4 c) 5d) – 3 e) 3,5

11. Calcular una raíz de:

m R m > 1

a) b)

c) d)

e)


qué se puede afirmar de sus raíces:

a) Son reales y negativosb) Una es real y la otra es imaginariac) Son irracionalesd) Son reales e igualese) Son dos números consecutivos

13. De las proposiciones:

I. De la ecuación: ; al

resolver se obtienen sólo como raíces a 1 y 2

II. De la ecuación bicuadrada:

; la suma de sus

raíces es

III. En toda ecuación bicuadrada de coeficientes reales A; B; C; A 0 siempre existirán 4 raíces

Son verdaderas:

a) Todas b) Sólo II c) I y IId) Sólo III e) I y III

14. Calcular la suma de raíces reales de:

a) – 1 b) 0 c) 1d) 3 e) 7

15. En la ecuación:

donde: Calcular la suma de sus raíces si dos de ellas son a y b(a b), si a + b = 10 ab = - 10

a) 3 b) – 2 c) 8d) 1 e) 0


si dos de sus raíces toman la forma:

, calcular m + n

a) 12 b) 13 c) – 5d) 0 e) 15

17. La ecuación:

; tiene una raíz “r”

de multiplicidad 2. Calcular el valor de:

a) 1 / 2 b) 1 / 4 c) 4 / 3d) 3 / 4 e) 5 / 4

18. Hallar la suma de las quintas potencias de las raíces de la

ecuación:

a) 120 b) – 140 c) –110 d) 110 e) – 12

19. La ecuación bicuadrada:

tiene las raíces

de la ecuación: , calcular

“p” y “q” sabiendo que son reales. Indicar pq

a) 2 b) 6 c) – 4 d) – 8 e) 1

20. Al resolver:

Señale el denominador de la raíz obtenida:

a) a + b +c b) 1c) – a – b – c d) ab + ac + bce) abc

21. Indicar una raíz de la ecuación:

a) b) c)

d) e)

22. Formar una ecuación bicuadrada cuyas raíces se pueden determinar a partir de:

................ (1)

................. (2)

a)

b)

c)



d)

e)

23. Hallar el valor de “n” en la siguiente ecuación bicuadrada

Si el producto de sus raíces es 36

a) 48 b) 6 c) 9d) 12 e) 4

24. Sabiendo que x = c es una raíz de la ecuación:

; a 0, ¿qué condición se debe cumplir entre “a” y “b”, para que las otras raíces sean reales?

a) a + 2b 0 b) a + 0

c) a d)

e)

25. Si son las

soluciones reales de la ecuación recíproca:

proporcionar:

a) 2 b) 2 c) 4d) 9 e) 25

26. Al resolver la ecuación recíproca:

una de sus raíces es:

a) - 1 b) c)

d) e)

27. Una raíz real de:

es:

a) 1,5 b) 2 c) 0,6d) 1 e) 3/4

28. Resolver:

, dando enseguida la

suma de sus soluciones enteras

a) – 3 b) – 2 c) – 1 d) 1 e) 2

29. En la ecuación polinomial:

sabiendo que sus raíces:

satisfacen la condición:

Calcular el valor de m.

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

ECUACIONES POLINOMIALES

OBJETIVOS ESPECIFICOSOBJETIVOS ESPECIFICOS:

Reconocer una ecuación polinomial e indicar la relación existente entre solución y raíz.

Resolver ecuaciones de cualquier grado aplicando los teoremas y técnicas adecuada.

COMENTARIO PREVIO:

Al - Guarismi, el año 1 100 estudia ecuaciones del tipo:

ax 2+ e = bx ax2 + bx = e ax? + bx + c = d; etc y da soluciones para cada caso.

La época de oro de las matemáticas Italianas se da en el siglo XVI, en Scipiene del Ferro, Nicola Tartaglia, Girolamo Cardano, Ludovico Ferrari, Frencois Viette, ete, quienes resolvieron las ecuaciones del tercer y cuarto grado. Hecho de trascendental importancia en esa época. La historia da cuenta de que el profesor Scipiene del Ferro logré resolver la ecuación de tercer grado en 1515, pero no la dio a conocer siguiendo las normas científicas de su época. Aún así, confió sus resultados a Antonio Fiore.

En 1541 Antonio Fiore se bate en duelo matemático con el profesor Nicola Trataglia para ver quién resuelve la ecuación de tercer grado, saliendo vencedor este último. Cardano quien era médico, adivino y matemático logra con tretas y promesas, que tartaglia le hiciera conocer la solución de la ecuación de tercer grado. El mismo año Cardano publica su libro “Arte Mayor” en donde da la solución de la ecuación de tercer grado como suya y menciona que tartaglia no es sino un redescubridor ya que del Ferro había dado la primera prueba hace 30 años.

En la misma obra aparece la solución de la ecuación de cuarto grado, debido a Ludovico Ferrari, discípulo de Cardano. Posteriormente se dieron otras pruebas tanto de la ecuación de tercer grado (F. Viette) como de la ecuación de cuarto grado (R- Descartes)

Después de los rotundos éxitos de los matemáticos Italianos viene nuevamente un largo periodo de estancamiento en la tarea de la solución de ecuaciones de quinto grado. Recién en 1825, el joven matemático noruego Niels Henrick Abel demostró que la ecuación general de quinto grado no es resoluble mediante la extracción de raíces y las operaciones aritméticas conocidas.

Por otro lado en 1929 Evaristo Galois, probaría que las ecuaciones de grado superior a cuatro no son resolubles por radicales y dio las condiciones necesarias y suficientes para que una ecuación de cualquier grado sea resoluble por radicales. Actualmente existen técnicas que permiten resolver ecuaciones de cualquier grado.

CONTENIDO TEÓRICO:CONTENIDO TEÓRICO:

ECUACION POLINOMIAL EN UNA

INCÓGNITA

Es aquella ecuación que tiene la siguiente forma general:

P(X) = a0 xn +a1xn-1 + ......... + an-1 x+ an = 0

Donde: a0 : a1 : a2 :.............. : an-1 ; an son sus coeficientes Si: a 0 # 0 el grado de la ecuación es “n” (n N) X es la incógnita

RAIZ DE UN POLINOMIO.- Dado el polinomio P(x). Se denomina raíz o cero del polinomio, al número “a” si y solo si el polinomio P(x) es divisible entre (x - a).

El polinomio P(x) tiene una raíz de valor “a” P(x) = (x - a) q (x)



Ejemplo hallar las raíces de: P(x) = x3 - 6x2 + 11x - 6

Factorizando se tiene : P(x) = (x - 1) (x - 2) (x - 3)

Luego las raíces o ceros de P(x). Son: ( 1, 2, 3)

Observación: Una manera práctica de hallar las raíces de un polinomio P(x), es formar la ecuación: P(x) = 0 Así: (x – 1) (x – 2) (x – 3) = 0 CS = {1, 2, 3} En este ejemplo las raíces del polinomio P(x) coinciden con las soluciones de la ecuación P(x)=0, lo cual no ocurrirá siempre.

Raíz de Multiplicidad “k”: Dado el polinomio P(x) se denomina raíz de multiplicidad “k” (k Z+) del polinomio P(x). Al número “a”, si y sólo si el polinomio P(x) es divisible entre (x – a)k, pero no es divisible entre (x – a)k+1, es decir si:P(x) = x4 – x3 – 3x2 + 5x – 2

Factorizando se tiene: P(x) = (x – 1)3 (x + 2)

Luego las raíces de P(x) son: {1 . 1 . 1 . – 2}y se dice que:“1” es una raíz de multiplicidad 3 (raíz triple)“2” es una raíz de multiplicidad 1 (raíz simple)

Formemos la ecuación : P(x) = 0 (x – l)3 (x + 2) = 0

* (x – 1)3 = 0 x = 1 * x + 2 = 0 x = -2

Luego: CS {1 . -2}

Observación:Cuando un polinomio tiene raíces múltiples el número de raíces y el número de soluciones no coincide.

Ejercicio:En la ecuación polinomial:

x3 (x – 2)2 (x2 + 9) (x + ) = 0

Señale:

a) El número de raícesb) El número de solucionesc) Su conjunto solución

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA

Toda ecuación polinomial con cualquier tipo de coeficientes numéricos tiene por lo menos una raíz que generalmente es compleja.

Corolario: Toda ecuación polinomial de grado n > 1. Tiene exactamente “n” raíces complejas en general. Luego dada la ecuación polinomial

P(x) = a0 xn + a1xn-1+.......+an-1- x+an= 0: a0

0 Se tiene : P(x) = a0(x – x1) (x – x2) ...... (x – xn) = 0 Donde: {x1 : x2: x3: .......... : xn) son raíces de P(x)

TEOREMA DE CARDANO – VIETTE

Sea la ecuación polinomial:P(x)=a0 xn+a1xn-1+ a2xn-2 +...+an-1x+an = 0 : a0 0Cuyas raíces son: {x1 : x2 : x3 : ............ : xn}Se cumple las siguientes relaciones

Suma de Raíces:Si = x1 + x2 + x3 + ............... + xn = -

Suma de Productos Binarios:S2=x1 x2+ x1 x3 + x2 x3 +...... + xn-1 xn = -

Suma de Productos Ternarios:S3= x1 x2 x3 + x1 x2 x + ...... xn-2 xn-1 xn = -

Producto de Raíces:

Sn = x1 x2 x3 .............. xn-1 xn =(-1)n

Ejemplo: En: 4x4 + 3x3 – 2x2 + 3x – 1 = 0

Calcular :

En: 3x5 + 10x12 - 2x10 - 25x5+ 15 = 0 Calcular: S10

TEOREMA SOBRE LA ECUACIÓN POLINOMIAL

1. Toda ecuación polinomial de coeficientes racionales y de grado n 2. Que tenga

una raíz de la forma: “a + ”, donde:

a y b Q (b > 0) I : tendrá

como raíz necesariamente al número “a

- ”

2. Toda ecuación polinomial de coeficientes racionales y de grado n 4: que tenga

una raíz de la forma" , donde:

a y b Q+ . Tendrá

como raíces necesariamente a los números:

:

3. Toda ecuación polinomial de coeficientes reales y de grado n 2 que tengan una raíz compleja de la forma ,”a + bi”

Donde a y b R (b 0). Tendrá necesariamente como raíz al complejo conjugado de dicha raíz es decir otra raíz será: "a - bi"

Observación:

Q : conjunto de los números racionales I : conjuntos de los números irracionales

Ejemplos

• En la siguiente ecuación:

P(X) = . a,

b Q

Hallar (a + b) si su raíz es : 3 +

• Formar la ecuación de menor grado posible sabiendo que una raíz es

y además sus coeficientes son racionales.

• Dadas la ecuación: x3 + x2 + mx + n = 0. m, n R

Donde : 1 + i es una de las raíces.

Hallar 1 asuma de coeficientes de la ecuación

TRANSFORMACIONES DE ECUACIONES:Sea la ecuación polinomial:

con raíces: { x1 . x2 ................ xn }entonces

1. La ecuación de raíces aumentados o disminuidos en un valor “k”, es decir con

raíces: : es:

Ejemplos:

* Halle la ecuación cuyas raíces son las de la ecuación: x2 - 2x - 8 = 0, pero aumentadas en 1 La ecuación es: (x - 1)2 - 2(x - 1) - 8 =O

Encuentre la ecuación cuyas raíces son los de la ecuación x3 - 2x2 + x - 5 = 0 disminuidas en 2. La ecuación es:

(x + 2 )3 – 2(x + 2)2 + (x + 2) – 5 0.

Efectuando se obtiene: x3 + 4x2 + 5x – 3 = 0 También se puede usar el siguiente método:

x=21 - 2 1 - 5

2 0 2

x= 2 1 0 1 - 3



2 4

x=21 2 5

2

1 4

Luego la ecuación es:

Encontrar la ecuación cuyas raíces son las de la ecuación: x5 - 3x3 + 2x2 + 1 = 0, disminuidas en 1.

2. La ecuación de raíces multiplicadas por

un valor “k” (k 0) : es decir con raíces:

o también:

Ejemplos:

Encuentre la ecuación, cuyas raíces son las de la ecuación: x2 - x - 6=0. Multiplicadas por 2

La ecuación es : x2 - 21 x - 22 . 6 = 0

Halle la ecuación cuyas raíces son las de la ecuación: x3 + 2x2 - 5 x 6 = 0 multiplicadas por 3. La ecuación es:

x3+2 . 31 x2 + 5 . 32 x - 6 . 33 = 0

x3 + 6x2 - 45x - 162 = 0

3. La ecuación de raíces invertidas es decir con raíces:

es :

Ejemplo: Dada la ecuación: x3 - 5x2 + 7x + 2 = 0. De raíces {a, b, c) entonces la ecuación cuyas raíces son:

: es

2x3 + 7x2 - 5x + 1 = 0

TEOREMA DE BOLZANO

Dada la ecuación polinomial F(x) = 0.

Donde F(x) es una función continua

definida en [a : b]

Si F(a) . F(b) < 0. Entonces existe al menos una solución real: x0 < a. b > / F(xo) = 0

PRÁCTICA DE CLASE

01. Sean: x1 . x2 . x3 raíces de la ecuación:

2x3 – x + 5 = 0

Calcular:

a) 1 b) 2 c) -2 d) – 3/2 e) 4/3

02. Sean: a, b, y c raíces de la ecuación: x3 - 4x2 + 2x + 4 = 0

Calcular:

a) 5 b) – 5 c) – 4 d) – 7 e) 2

03. En la ecuación : x3 - 63x + = 0 Determinar un valor de para que una de las raíces sea el doble de otra.

a) 162 b) 180 c) 400

d) 800 e) N.a.

04. En la ecuación polinomial: P(x)=x3+(m + 2) x2 + (m2 - 3) x + m2 + 2 = 0 De raíces x1 , x2 , x3. Calcular el valor de “m” de tal manera que la expresión:

A= tenga el máximo

valor.

a) l b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05. Hallar la relación que debe existir entre los coeficientes de la ecuación:

ax3 + bx2 + cx + d = 0 : a 0

Si una de sus raíces es el negativo de otra

a) ab = cd b) ac = bdc) ad = bc d) a+b = c+de) a+d = b+c

06. Sabiendo que: x = c es una raíz de la ecuación

ax5 + (b-ac)x4 - bcx3 - bx2-(a-bc)x+ac = 0:(a>0) ¿Qué condición deben cumplir a , b y c para que las otras raíces sean reales?

a) |b| a b) |b| a c) |b| 2a d) |b| 2a e) 2 c = a + b

07. Indicar el menor valor que debe tener el grado del polinomio P(x). Con coeficientes reales, tal que:

(2 + ) sea una raíz simple, (3 + 2i)

sea una raíz de multiplicidad 2 y ( +

) sea una raíz triple.

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

08. Hallar un polinomio mónico P(x) con coeficientes enteros y de menor grado posible una de cuyas raíces sea:

.

Indicar la suma de los coeficientes de este polinomio.

a) 34 b) 24 e) - 24 d) 62 e) - 34

09. Encontrar un polinomio mónico en "x" de coeficientes en Z que acepte a

como raíz. Hallar la suma de

coeficientes de dicho polinomio.

a) 165 b) 168 e) 170 d) 174 e) 162

10. Formar la ecuación de menor grado posible con coeficientes racionales, en la

que una de sus raíces sea.

a) x4 - 2x2 + 25 = 0 b) x4 + 2x2 - 25 = 0c) x4 + 2x2 + 25 = 0 d) x4 + x2 + 25 = 0e) x4 + 2x2 + 5 = 0

11. Hallar el valor de “k” si las raíces de la ecuación:

x3 - 9x2 + kx - 24 = 0Están en progresión aritmética.

a) 12 b) 13 c) 24 d) 26 e) 28



12. Sea el polinomio: F(x) = x3+ 3x2 - 9

Además : F(m) = F(n) = F(p)= 0

Calcular: F

a) – 5 b) – 1 c) 2d) – 2 e) 4

13. Si: (2 + i) es una raíz de multiplicidad dos del siguiente polinomio: P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 25 Hallar: a + b + c + d Además: a , b , c , d R.

a) 17 b) 18 c) 19 d) –18 e) –17

14. La ecuación: x4 – 12x – 5 = 0. Contiene 2 raíces cuya suma es 2. Calcular la suma de las inversas de las otras dos.

a) 0,2 b) 0,4 c) - 0,2d) - 0,4 e) 5

15. Sea la ecuación polinomial: P(x) = ax3 + x2+ x + b = 0: a 0 Determinar los valores de “a” de modo que P(x) admita una raíz real “r” de multiplicidad 2.

a)

b)

c)

d)

e) R

16. Si la ecuación: x4 + mx3 + 2x + n = 0 m n R; admite una raíz triple. Hallar: m2 + n3

a) 3 b) 4 c) 5d) – 3 e) –1

17. Se sabe que : x1 , x2 y x3 son las raíces de la ecuación. x3 – x2 – 1 = 0. Encontrar una nueva ecuación cuyas raíces son: x1 + x2 ; x2 + x3 ; x3 + x1

a)

b)

c)

d)

e)

18. ¿Cuál será la ecuación cúbica cuyas raíces sean el duplo de los recíprocos de cada una de las raíces de la ecuación polinomial?

Ax3 - Bx + C = 0 ; C 0 a) Cx3 - Bx + A = 0 b) Cx3 + 2Bx2 + 4A = 0 c) Cx3 + 2Bx2 – 4A = 0 d) Cx3 - 2Bx2 + 8A = 0 e) Ax3 - 2Bx + 4C =O

19. Si: P(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)+(x - 2)(x - 4) Indicar la alternativa más correcta:

a) Tiene 3 raíces reales b) Tiene 3 raíces reales negativasc) Tiene 3 raíces reales positivas d) Tiene 2 raíces reales positivas y una

es negativae) N.a.

20. Sea el polinomio : P(x) = x3 – 3x2 + 5 Indicar si es verdadero o falso:

I. Sólo tiene una raíz real positiva II. Tiene 2 raíces complejas III. Tiene una raíz comprendida entre <-2; - 1> IV. Tiene un mínimo absoluto en x= 2

a) VVVF b)VFVF c)VFFF d) FVVF e)FFFV

TAREA DOMICILIARIA

01. Si: F(x) = 1 / (x3 - 1)2 y además a, b y c son raíces de la ecuación: x3 - 3x - 1= 0Calcular S = F(a) + F(b) + F(c)

a) 1 b) 3 c) 1 / 3d) 9 e) N.a.

02. Halle las raíces r1 , r2 , r3 , r4 de la ecuación:

4x4 – ax3 + bx2 – cx + 5 = 0

a) 1/2 b) 1/4 c) 5/4 d) 1 e) N.a.

03. Halle las raíces r1 , r2 , r3 , r4 de la ecuación:

4x4 - ax3 + bx2 - cx + 5 = 0 sabiendo que son reales positivos y que:

Indique el valor de: r4

a) 1/2 b) 1/4 c) 5/4d) 1 e) 2

04. Determinar el polinomio P(x) de grado 7. Sabiendo que:

I) Para: x = 3 : P(x) =PI (x)=PII (x)= PIII

(x)=0 y PIV (x) 0 II) Para: x = - 2 : P(x) = 0 : PI (x) 0 III) Para: x = 4 : P(x) = 0 : PI (x) =0 : PII

(x) 0IV) P(2) = – 32

Dar como respuesta el valor de P(5)

a) – 112 b) 224 e) 32d) – 32 e) – 224

05. Si la ecuación: x5 - 10a3x2 + b4x + c5 = 0 tiene 3 raíces iguales.

Hallar el valor de: ab4 - 9a5

a) c b) – c5

c) 0d) c2 e) 1

06. Sean a . b y c raíces de la ecuación: x3 + px + q = 0 (a, b, c diferentes) expresar en términos de p y q a:

M=(a – b)2 (b – c)2 (a – c)2

a) b)

c) d)

e)

07. Sabiendo que: a b y c son raíces de la ecuación: x3 - 7x2 + 5x + 6 = 0 Calcular: M = (a + b – c) –1 + (b+c – a)–1 + (c + a –

b) –1

a) 31/55 b) 9/55 e) 7/155d) 29/155 e) 27/55

08. Sobre la ecuación:P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + c = 0 Donde: 2a2 < 3b {a, b, c, d, e} R

Indicar (V) o (F)

I) Todas sus raíces son realesII) Al menos dos raíces son complejasIII) Una raíz es real

a) VFF b) FFV c) FVFd) FFF e) VVV

09. El producto de los coeficientes de la función polinomial de menor grado que pasa por los puntos: ( 0 ; 0) ; (1 ; 1) ; (2 ; 0) y (3 ; -1) es:

a) –15/4 b) –14/9 c) 5/9 d) –15/9 e) –16/9



10. La única raíz real de: x5 + x - 10 = 0 se encuentran en:

a) 3/2: 7/4 b) 7/4: 2 c) 1 : 2 d) 5/4: 3/2 e) 1 ; 5/4


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