Universidad Andres BelloFacultad de Ciencias ExactasDepartamento de Matematicas

Algebra (FMM013)Guıa 8

Cuantificadores:

1. Escriba las siguientes afirmaciones proposicionalmente utilizando cuantificadores y en-cuentre su valor de verdad (cuando sea posible). En caso de ser verdadero o falsodemuestrelo:

Suponga que D es un subconjunto de R.

a) Todos los numeros naturales son mayores que -1.

b) Todos los cuadrados de numeros reales son mayores o iguales que 0.

c) Todos los numeros reales que son mayores que 10 son tambien mayores que 5.

d) Si todos los numeros reales son mayores que 10 entonces 0 = 1.

e) Todos los elementos de D son diferentes 0.

f ) Todos los elementos de D son mayores que 10 y menores que 25.

g) Todos los elementos de D son mayores que 10 o bien todos los elementos de Dson menores que 25.

h) La diferencia entre cualquier par de elementos distintos de D es a lo menos 1.

i) Existe un numero natural mayor que 1000.

j ) Existe un numero natural que es igual a su cuadrado.

k) Existe un numero real que es mayor que 0 y existe otro numero real que es menorque 0.

l) No existe ningun numero real que es mayor que 0 y que es menor que 0.

m) Para cada natural existe un numero natural que es mayor por 1.

n) No existe ningun numero natural que es mayor que todos los otros numeros na-turales.

n) La suma de dos numeros naturales es mayor o igual que cada uno de los dosnumeros.

o) Existen dos numeros naturales cuya suma de cuadrados es 58.

p) Si x pertenece a D entonces x+ 2 tambien.

q) Existe un elemento de D que es mayor o igual a todos los elementos de D.

r) D tiene exactamente un elemento.

s) D tiene exactamente dos elementos.

2. Escriba los siguientes conjuntos en forma proposicional con cuantificadores:

a) El conjunto de todos los numeros reales entre -10 y 10 pero que son distintos de0.

b) El conjunto de todos los numeros naturales que son pares.

c) El conjunto de todos los enteros multiplos de seis.

d) El conjunto de numeros naturales que son suma de cuadrados de dos numerosnaturales.

3. Determine cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuales son falsas ydemuestre su respuesta.

a) ∀n,m ∈ N : n ·m es par ⇔ (n es par ) ∧ (m es par )

b) ∀x, y ∈ R+ : x = y ⇔ xy+ y

x> 2

c) ∀x, y ∈ R : x < y ⇔ x+y2

> x

d) ∀n ∈ N : n no divide a n+ 1

e) ∀n ∈ N : n multiplo de 7 ⇒ n2 + 2n− 14 multiplo de 7

f ) Utilizando los numeros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, and 9 exactamente una vez cada unocon 8 operaciones de suma o resta es posible sumar 10.

g) ∀a, b, c ∈ N : a divide a b y b divide a c y c divide a a sı y solo si a = b = c.

4. Suponga que es verdadero que “todo lo que brilla es oro”. Bajo esta hipotesis determine,cuando sea posible, el valor de verdad de las proposiciones siguientes:

a) No todo lo que es de oro brilla.

b) Lo que no es de oro no brilla.

c) Si mis dientes brillan entonces son de oro.

d) Si mis dientes son de oro entonces brillan.

e) Si mis dientes no son de oro entonces no brillan.

f ) Mis dientes son de oro si y solo si brillan.

5. Determine cuales de las siguientes proposiones son equivalentes sin importar quien esD:

a) (∃x ∈ D∀y ∈ D : y ≤ x)

b) (∃l ∈ D∀k ∈ D : l ≤ k)

c) (∃k ∈ D∀m ∈ D :∼ (k < m))

d) (∀y ∈ D∃x ∈ D : y ≤ x)

6. Suponga que las siguientes proposiciones son verdaderas:(∀x ∈ A ∧ y ∈ B) ⇒ y ∈ A (x /∈ A ∨ y ∈ A) ⇒ y /∈ BProbar que y /∈ B es verdadera.

7. Indique el valor de verdad de las proposiciones cuantificadas siguientes, negandolasposteriormente:

a) (∀z ∈ Z)(√z2 = z)

b) (∃x ∈ N)((x2 + 2)2 = x2 + 22)

c) (∀x ∈ A)(∃y ∈ A talque x2 + y2 ≤ 25; donde A = {1, 2, 3, 4, 5}d) (∃a ∈ R)(a2 = 1 ⇒ 00 = 1)

e) (∃n ∈ N)(∀x ∈ R)(∀m ∈ N) n(x2 −mx) ≤ 0

f ) (∀x ∈ A)(∃δ > 0) x2 > δ, donde A = {x ∈ R/0 < x < 10}

8. Dados A = {1, 0,−2,−12} y B = {−2, 2, 1}. Determinar el valor de verdad de cada una

de las siguientes proposiciones:

a) (∀x ∈ A)(∃y ∈ B)(xy + 1 < 0 ∨ x2 − y2 = 0)

b) (∀x ∈ B)(∃y ∈ A)(xy ≥ 0 ⇒ (x+ y) ∈ A)

9. Negar las siguientes proposiciones:

a) (∃x ∈ R)(∀y ∈ R) x < y

b) (∀x ∈ R)(∀y ∈ R) x ≥ y

c) (∃x ∈ R)(∀y ∈ R) x > 1 ∧ y ≤ 1

d) (∀ϵ ∈ R+)(∃n0 ∈ N)(∀n > n0) |an| < ϵ

e) (∀x ∈ Q)(∀ϵ > 0)(∃y ∈ Qc) ϵ3< |x− y| < ϵ

2

f ) (∀ϵ > 0)(∃δ > 0) |x− 1| < δ ⇒ |x2 − 1| < ϵ

10. Considere el conjunto A = {−1,−12, 0, 1

2, 1}. Diga si las siguientes proposiciones son

verdaderas o falsas (justifique):p : (∀x, y ∈ A)(x+ y ≤ 1)q : (∀x ∈ A)(∃y ∈ A)(x2 ≤ y)Escriba la negacion de las proposiciones anteriores.

11. Sean p(x), q(x) dos funciones proposicionales. Muestre que si (∃!x)(p(x))∧ (∃!x)(q(x))entonces la siguiente implicacion es verdadera

(∃x)(p(x) ∧ q(x)) ⇒ (∃!x)(p(x) ∧ q(x))