Universidad Andres BelloFacultad de Ciencias ExactasDepartamento de Matematicas

Algebra (FMM013)Guıa 3

Trigonometrıa:

1. Determinar los valores de las funciones trigonometricas del angulo α definido por elpunto P , el origen de coordenadas y el eje de las x positivo.

a) P = (0, 1).

b) P = (6,−7).

c) P = (−3,−2).

2. En cada caso, determinar los valores de las restantes funciones trigonometricas sabiendoque:

a) senα = −12, con α en el tercer cuadrante.

b) cosα = 34, con α en el cuarto cuadrante.

c) tanα = 3, con α en el primer cuadrante.

3. Determine, sin usar calculadora, el valor numerico de las siguientes expresiones:

a) cos 225o

b) tan 150o

c) sen(−π6)

d) sec 4π3

e) cot 7π4

f ) csc 300o

g) sen 315o

h) cos(−150o)

i) tan 135o

4. Determine el angulo θ ∈ [0, 2π) en cada caso.

a) sen θ = 45, cos θ < 0.

b) tan θ = 23, cos θ < 0.

c) sec θ = 3, cos θ > 0.

d) sec θ = −1312, csc θ < 0.

e) sen θ =√22, θ en el segundo cuadrante.

f ) cos θ = − 725, θ en el tercer cuadrante.

g) cot θ = −34, θ en el cuarto cuadrante.

h) sec θ = 135, θ en el cuarto cuadrante.

i) tan θ = −√33, θ en el segundo cuadrante.

j ) cosec θ = −2524, θ en el tercer cuadrante.

5. a) Si α y β son angulos interiores de un triangulo rectangulo, y cosα = 35, calcular

sen 2α− 3 cos 2β

tan β + cotα

b) Si 3 cotα = 2, calcule10 senα− 6 cosα

4 senα + 3 cosα

c) Si cotα = a2, calcule senα.

d) Si senx tanx = 2, calcule cos x.

e) Si α = 11π4, determine el valor de sen2 α− cos2 α+ 2 tanα.

6. Demostrar las siguientes identidades:

a)cos(α+ β)

cos(α− β)=

1− tanα tan β

1 + tanα tan β

b) tan(x+π

3) =

4 tan x+√3 sec2 x

sec2 x− 4 tan2 x

c)sen x cos x

cos 2x− tanx

1− tan2 x= 0

d)senα + sen 2α

1 + cosα + cos 2α= tanα

e) cos 2α =csc2 α− 2

csc2 α

f )cos 2α

1− sen 2α=

1 + tanα

1− tanα

7. Resuelva para x en el intervalo indicado:

a) 1 + cosx = 0, x ∈ [0, 2π).

b) 1− sen x = 0, x ∈ [0, 2π).

c) 1 +√2 sen x = 0, x ∈ [0, 2π).

d) 1−√2 cos x = 0, x ∈ [0, 2π).

e) 4 cos2 x− 3 = 0, x ∈ [0, 2π).

f ) 2 sen2 x− 1 = 0, x ∈ [0, 2π).

g) 2 cos 2x = 1, x ∈ [0, 2π).

h) 2 sen 2x =√3.

i) senx = cos x, x ∈ (−∞,∞).

j )√3 sen x− cos x = 0, x ∈ (−∞,∞).

k) 4 cos2 2x−4 cos 2x+1 = 0, x ∈ [0, π].

l) 2 sen2 x2− 3 sen x

2+1 = 0, x ∈ [0, 2π).

m) sen 2x = sen x, x ∈ (−∞,∞).

n) sen 2x+ cos x = 0, x ∈ (−∞,∞).

n) sen2 x+ 2 cos x = −2, x ∈ [0, 2π).

o) 2 cos2 x+ 3 sen x = 0, x ∈ [0, 2π).

p) 2 sen x cos x = cos x, x ∈ [0, 2π).

q) 2 sen2 x+ 3 cos x = 3, x ∈ (−∞,∞).

r) senx+ cos x = 1, x ∈ [0, 2π).

s) secx+ tanx = 1, x ∈ [0, 2π).

t) sen 3x+ sen x = 0, x ∈ [0, 2π).

u) cos 5x+ cos 3x = 0, x ∈ [0, π].

v) sen 5x− sen 3x = sen x, x ∈ [0, π2].

w) cos 3x− cosx = sen x, x ∈ [0, π].

8. Verificar la identidadcot2 β − 1

cos β + sen β=

cos β − sen β

sen2 β

9. Determinar el menor valor de α− β tal que{cosα + cos β = 1

senα + sen β =√3

10. Resuelva los siguientes problemas:

a) Desde un faro, el angulo de depresion con que se observa un bote, en direccionsur, es de 55◦ y el angulo de depresion con que se observa otro bote, en direccionponiente es de 28◦. Calcular la altura del faro si la distancia entre los botes es de150 metros.

b) Desde un faro de 25 metros de altura se observa un bote situado en un punto A.Cuando el bote se aleja 20 metros, el angulo de elevacion desde este hacia el faroes de 30◦. Determinar la distancia final entre el bote y el extremo inferior del faro.

c) El extremo A de una escalera, se encuentra apoyado a una altura h del piso,formando un angulo de 30◦ con la pared. Resbala y su extremo superior desciendeun metro y queda formando un angulo de 60◦ con la pared. ¿Cual es la altura dela escalera?

d) Desde lo alto de un edificio de h metros de altura se observa una persona conun angulo de depresion de 15◦. La persona camina 10 metros hacia el edificio yobserva el tope de este con un angulo de elevacion de 30◦. Calcular la altura deledificio.

e) ¿Que altura tiene un arbol si arroja una sombra de 8,5 metros de largo en elmomento que el angulo de elevacion del sol es de 45◦?

f ) Desde el extremo superior de un monumento, el angulo de elevacion hasta elremate de un edificio es de 60◦ y el angulo de depresion de la base es de 45◦. Si laaltura del edificio es de 40 metros, calcular la altura del monumento.

g) Desde el pie de un poste, el angulo de elevacion de la punta de un campanario esde 60◦, desde la parte superior del poste, que tiene 9 metros de altura, al angulode elevacion es de 30◦. Hallar la altura del campanario y la distancia de este alposte.

11. Resuelva el triangulo de la figura con los datos que se muestran en cada caso:

a) α = 80o, β = 20o, b = 7.

b) β = 37o, γ = 51o, a = 5.

c) γ = 15o, a = 8, c = 5.

d) α = 140o, γ = 20o, c = 12.

e) α = 43o, β = 62o, c = 7.

f ) β = 45o, c = 5. Encuentre todos los valores de b para los cuales el triangulo esrectangulo.

g) a = 12, b = 5,32, c = 10.

12. La distancia entre la meta y un hoyo particular de golf es de 370 yardas. Una golfista lepega a la pelota y la coloca a una distancia de 210 yardas. Desde el punto donde esta lapelota, ella mide un angulo de 160◦ entre la meta y el hoyo (ver figura). Encuentre elangulo de su lanzamiento. Encuentre tambien la distancia entre la bola y el hoyo.

13. El angulo de elevacion de un aeroplano medido desde la cima de un edificio de 20 metrosde alto es de 38◦, y el angulo medido desde la base del edificio es de 40◦. Encuentre laaltitud del aeroplano.

14. La formula de Heron para calcular el area de un triangulo de lados de longitud a, b yc es

A =√

s(s− a)(s− b)(s− c) donde s =a+ b+ c

2Calcule el area del triangulo correspondiente a cada caso:

a) a = 5, b = 8, c = 4.

b) a = 12, b = 5, c = 13.

c) γ = 25o, a = 7, b = 10.

15. Un hombre a 100 metros de la base de un risco suspendido, mide un angulo de elevacionde 28◦ desde ese punto hasta la punta del risco (ver figura). Si el risco forma un angulode 65◦ con el suelo, determine su altura aproximada.

16. Determine los angulos en un triangulo con vertices en los puntos A = (0, 0), B = (5, 0),C = (4, 3).

17. Encuentre el area del terreno que se muestra en la figura.

18. Se necesita conocer la altura de un arbol ubicado en la ladera de un cerro. Para estose ubican dos puntos A y B sobre la ladera (A mas abajo que B) a una distanciad y colineales con la base del arbol. Los angulos de elevacion desde A y B hasta lacuspide del arbol son α y β respectivamente y el angulo de inclinacion de la ladera esγ. Calcular la altura del arbol en funcion de α, β, γ y d.

19. Dos muchachas que llevan radios estan en la interseccion de dos caminos rurales que secruzan en un angulo de 105◦. Una comienza a caminar por uno de los caminos a unavelocidad de 5 millas por hora; al mismo tiempo la otra camina por el otro camino aldoble de velocidad. Cada radio tiene un alcance de 10 millas. ¿Durante cuanto tiempose mantendran en comunicacion las muchachas?

20. Un avion despega de una base A en la costa y vuela en lınea recta en direccion NαE.Cuando lleva recorrido 400 kilometros sufre una averıa mecanica que lo obliga a dirigirsea una aeropuerto B de alternativa siguiendo la trayectoria indicada en la figura, ubicadoa 250Km al norte de donde despego. El avion vuela a 320Km/hr. ¿Alcanzara a llegaral aeropuerto B si tiene combustible para 1 hora de vuelo?

21. Un bote a motor navega durante 3 horas a razon de 20 millas por hora en direccionN 40◦ E. ¿Que distancia hacia el norte y que distancia hacia el este habra recorrido?

22. Una rampa esta inclinada un angulo de 41, 3◦ con respecto al suelo. Un extremo deuna tabla de 20, 6 pies de longitud se localiza en el suelo en un punto que esta a 12, 2pies de la base de la rampa, y el otro extremo reposa sobre la rampa en un punto P .Determine la distancia desde la base de la rampa hasta el punto de apoyo de la tabla.

23. En la figura determine el valor h, en terminos de α y β, sabiendo que |AB| = 150.

24. Determine el valor de x en la figura.

25. Considere la funcion sinusoidal y = −2 sen(2x − π). Obtenga su grafica, indicandoamplitud, perıodo y desface.

26. Determinar grafica, amplitud y desface del la funcion sinusoidal y = 3 sen(2x+ π/2).

27. El numero de horas de luz natural para un area particular se puede modelar con laformula:

D =5

2sen

(1

2t− π

6

).

Donde D es el numero de horas de luz natural y t es el dıa del ano, considerando t = 1correspondiente al primero de enero. Trace la grafica de esta funcion e indique perıodo,amplitud y desface.

28. Exprese la amplitud A y el perıodo P de cada funcion en los problemas siguientes ygrafique la funcion sobre el intervalo indicado.

a) y = 3 senx, −2π ≤ x ≤ 2π.

b) y = 3 cos 2x, −π ≤ x ≤ π.

c) y = 2 sen 4x, −π ≤ x ≤ π.

d) y = 3 + 3(cos πx/2), −4π ≤ x ≤ 4π.

e) y = 4− 2 cos(x/2), −4π ≤ x ≤ 4π.

29. Un peso de 6 libras cuelga del final de un resorte que se estira 1/3 de pie debajo dela posicion del equilibrio y entonces se libera. Si la resistencia del aire y la friccionse desprecian, la distancia x, que el peso se desplaza con respecto de su posicion deequilibrio en un tiempo t, medido en segundos, esta dada por x = (1/3) cos(8t). Expreseel perıodo P y la amplitud A de esta funcion, y grafique para 0 ≤ t ≤ π.

30. Un generador de corriente alterna genera una corriente dada por I = 30 sen 120t, dondet es el tiempo en segundos. ¿Cual es la amplitud A y el perıodo P de esta funcion? ¿Cuales la frecuencia de la corriente?; es decir, ¿Cuantos ciclos (periodos) se completaran enun segundo?

31. Si el voltaje E en un circuito electrico tiene una amplitud de 110 voltios y un perıodode 1/60 segundos, y si E = 110 volts cuando t = 0 segundos, encuentre una ecuacionde la forma E = A cos(Bt) que entregue el voltaje para cualquier valor de t ≥ 0.

32. La cantidad de bioxido de azufre, obtenido de la combustion de hidrocarburos, liberadohacia la atmosfera en una ciudad, varıa durante el ano. Suponga que el numero detoneladas de bioxido de azufre liberado hacia la atmosfera, en una ciudad, durante lasemana n del ano esta dado por:

A(n) =3

2+ cos

(nπ26

)0 ≤ n ≤ 104.

Grafique la funcion en el intervalo indicado y describa lo que muestra la grafica.

33. Un adulto normal sentado aspira y exhala cerca de 0, 82 litros de aire cada 4 segundos.El volumen de aire en los pulmones t segundos despues de exhalar es aproximadamente:

V (t) = 0,45− 0,37 cos

(πt

2

)0 ≤ t ≤ 8.

Grafique la funcion en el intervalo indicado y describa lo que muestra la grafica.

34. En los problemas siguientes, encuentre la ecuacion de la forma y = A sen(Bx), queproduzca la grafica mostrada.

a)

b)

c)

d)

35. En los problemas siguientes, encuentre la ecuacion de la forma y = A cos(Bx), queproduzca la grafica mostrada.

a)

b)

c)

d)