Actividad 3. Segunda parte. VILETA, Erico

Ejercicio nº 26:

Dada la función 2 16

( ) 44

xf x

x

a) Exprese en notación de intervalo el dominio de f.

( ,4) (4, )

b) Calcule 2

3

16lim 4

4x

x

x

2 2

2

3 3 3

3 3 3

3 3 3

2

2

3

2

3 3

3

lim( 16) lim lim1616lim 4 lim 4 lim 4

4 lim(4 ) lim 4 lim

(3) 16 9 16 74 4 4 1 4 3

4 3 7 7

16lim 4 3

4

16 ( 4)lim 4 lim 4

4

lim

4)4 4

4

3

(

x x x

x x x

x x x

x

x x

x

x xx

x x x

x

x

x xx x

x

x

x

x

c) Demuestre, mediante la definición de límite, el resultado obtenido en el apartado anterior. Dado un demostrar la existencia de un por medio de la gráfica de f siendo f una función afín:

Buscamos probar que:

2

3

16lim 4 3

4x

x

x

Para ello, dado cualquier ε debo ser capaz de demostrar la existencia de un δ de tal manera que si los x no se separan en más de δ del 3 (sin ser 3) pueda asegurar que los f(x) no se separan en más de ε de 3. Para ello realizamos la gráfica de la función:

2 16( ) 4

4

xf x

x

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Sea P el punto donde la recta y = 3 – ε corta a la gráfica de f, por P trazamos una recta vertical que corta al eje X en a. Sea Q el punto donde la recta y = 3 + ε corta a la gráfica de f, por Q trazamos una recta vertical que corta al eje X en b. Ahora bien, llamemos a la distancia 𝛿1: 3 – a = δ1 Y a la distancia 𝛿2: b – 3 = δ2 Si x ϵ (a,b) podemos asegurar que 𝑓(𝑥) ∈ (1 − 휀, 1 + 휀)

Despejando de 3 – a = δ1 obtenemos a = 3 - δ1 Despejando de b – 3 = δ2 obtenemos b = 3 +δ2

Por lo cual podemos decir que: Si x ϵ (a,b) - {3}= (3 - δ1 , 3 + δ2 ) - {3} podemos asegurar que f(x) ϵ (3 - ε, 3 + ε ). Ya casi tenemos la definición completa de límite, salvo que en la definición me pide un solo δ para construir un entorno reducido de 3. Si tomamos δ= al menor entre δ1 , δ2 En lenguaje matemático diremos: δ = mínimo { δ1 , δ2 } = mín { δ1 , δ2 }

𝑦 = 3 − 휀

𝑦 = 3 + 휀

𝑄

𝑃

3 + 휀

3 − 휀

𝛿1 ↔

↔ 𝛿2 𝑎

𝑏

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Podemos asegurar que: si x ϵ (3 - δ , 3 + δ ) - {3} Entonces f(x) ϵ (3 -ε , 3 +ε ). Llegando así a mostrar gráficamente que

2

3

16lim 4 3

4x

x

x

d) y e) Analice la continuidad de f en todos los reales. Si corresponde, explicite y Clasifique el/los puntos de discontinuidad. / Analice la continuidad de f en su dominio. Si corresponde, explicite y clasifique el/los puntos de discontinuidad

𝑥 𝑓(𝑥) 𝑥 𝑓(𝑥)

2,9 2,9 3,1 3,1

2,99 2,99 3,01 3,01

2,999 2,999 3,001 3,001

Definición de Continuidad de una función en un punto de acumulación de su dominio. Sea f una función y sea a 𝜖 Df , a punto de acumulación del Df

Decimos que f es continua en a si y sólo si lim ( ) ( )x a

f x f a

Sea la función:

2

3

16lim 4

4x

x

x

Analicemos la continuidad de esta función son todos los números reales excepto aquellos que me anulen el denominador, punto a tener en cuenta primero debemos mirar si se pueden simplificar el numerador y el denominador para hallar el dominio, igualamos el denominador a cero y resolvemos la ecuación resultante si esa ecuación se anula para algún valor del dominio son todos los valores menos esos. Pero en este caso al estar sumando el 4 no se nos presenta inconveniente por lo que la función es continua en todo su dominio. Para todo “a” ϵ Df resulta que:

2

2 2

16( ) 4

4

16 16lim ( ) lim 4 4

4 4x a x a

af a

a

x af x

x a

Por lo tanto: lim ( ) ( )x a

f x f a

Acá concluimos que la función es continua para todo punto de su dominio, una función es continua en su

dominio cuando lo es en todos sus puntos (para darnos más cuenta si para realizar la gráfica no tenemos que

levantar el lápiz del papel).

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f) Grafique la función.

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30 Escriba diferente funciones que ejemplifiquen:

a) Límites nulo en el infinito

𝑓(𝑥)→0

𝑥 → −∞

lim𝑥→−∞

1

𝑥2= 0

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b) Límite indeterminado

Límites Indeterminados

En muchas ocasiones se presenta el cálculo de límites de cocientes, diferencias y productos de funciones en los que al reemplazar la variable por el valor al cual tiende se generan

indeterminaciones del tipo . El resultado de estos límites no puede anticiparse y el

mismo puede ser cero, , , un número finito diferente de cero, o bien puede no existir. Para

resolverlos, se realizan procedimientos algebraicos adecuados que permitan salvar la indeterminación.

La indeterminación

La indeterminación

La indeterminación

La indeterminación

Ejemplo indeterminación 𝟎

𝟎. Halle el valor de .

Reemplazando la variable por 3 se obtiene la indeterminación . Para resolver este límite, se racionaliza el denominador multiplicando el numerador y el denominador por la expresión conjugada de la del denominador y resulta:

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Ejemplo indeterminacion ∞ − ∞ . Calcule

No es posible escribir = ¥ - ¥ , ya que esa diferencia es indeterminada.

Se expresa la función polinomial de la siguiente manera: = –¥ ya que x ® +¥ y

(2 – x3)® –¥

Ejemplo indeterminación ∞

∞. Determine

Se dividen el numerador y denominador por x3:

.

Puede observarse que el ejemplo se refiere al cálculo del límite del cociente de dos funciones polinomiales del mismo grado y se obtuvo como resultado el cociente de los coeficientes de los términos de mayor grado de ambas.

Ejemplo indeterminacion 𝟎. ∞ . Halle

Cuando x ® –3, x2 + 6x +9 ® 0 y , por lo tanto , indeterminado.

Sin embargo, si x ¹ - 3.

Por lo tanto:

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c) Funciones con asíntotas verticales. Explicite las asíntotas

Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo

menos una de las variables (x o y) tienden al infinito.

Una definición más formal es:

DEFINICIÓN

Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que, por lo menos,

una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta

determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función.

Las asíntotas se clasifican en:

Asíntotas verticales Si existe un número “a” tal, que :

La recta “x = a” es la asíntota vertical.

Ejemplo:

es la asíntota vertical.

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Otro e jemplo: Calcular las as íntotas vert ica les de la función:

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