9. control multivariable - disam – división de ingeniería de ......ejercicio 9.2: control...
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U.P.M.-DISAM P. Campoy
Control Multivariable 2007/08
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Control de Procesos Industriales 9. Control Multivariable
por
Pascual Campoy Universidad Politécnica Madrid
U.P.M.-DISAM P. Campoy
Control Multivariable
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Ejemplo sistemas multivariables
Dado el mezclador de la figura, que trabaja sobre el punto de quilibrio definido por T10=20, F10=10, T20=80, F20=2 :
Diseñar un control de F y T utilizando ambas variables manipuladas F1 y F2
b) ¿afecta una perturbación de T1 en el flujo F? ¿cómo?
c) ¿puede calcularse el controlador de flujo independientemente de controlador de temperatura?
F1 T1
F T
F2 T2
FT
FC
TT
TC Tref
Fref a) ¿qué variable de salida se controla con qué variable de manipulada?
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Control Multivariable 2007/08
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Control multivariable
• Sistemas multivariables y su problemática de control
• Evaluación de las interacciones • Emparejamiento de variables
controladas y manipuladas • Sintonización de controladores • (Desacoplamiento) suprimido del temario
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Sistemas multivariable: definición
• Son sistemas con varias entradas y salidas, en los que una entrada afecta a varias salidas y recíprocamente una salida es afectada por varias entradas
Y1(s) = G11(s) U1(s) +...+G1m(s) Um(s) ... Yp(s) = Gp1(s) U1(s) +...+Gpm(s) Um(s)
Y(s) = G(s) U(s)
Y(s) = Y1(s) ... Yp(s)
U(s) = U1(s) ... Um(s)
G(s) = G11(s) ... G1m(s) ... Gp1(s) ... Gpm(s)
utilizando la notación matricial:
G11(s) U1(s)
G12(s)
G1m(s)
...
+
Gp1(s)
Gp2(s)
Gpm(s)
...
U2(s)
Um(s) ...
+ + Y1(s)
... +
+ + Yp(s)
...
...
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Sistemas multivariables: problemas para el control
• Interacción: efecto de un lazo de control sobre otro lazo de control, rebotando el efecto sobre el lazo original
• La f.d.t. entre cada salida y cada entrada cambia en función del resto de los lazos de control
G12(s)
G21(s)
G22(s)
G11(s) +
+
++
y1(s)
y2(s)
u1(s)
u2(s)
GC1(s)
GC2(s) -
-
+
+y1ref(s)
y2ref(s)
⇒ No se pueden sintonizar los controladores de cada lazo de forma independiente
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Control multivariable
• Sistemas multivariables y su problemática de control
• Evaluación de las interacciones • Emparejamiento de variables
controladas y manipuladas • Sintonización de controladores • Desacoplamiento
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Evaluación iteraciones: sistema 2x2
GC2(s) -y2ref(s)
G12(s)
G21(s)
G22(s)
G11(s) +
+
+
y1(s)
y2(s)
u1(s)
u2(s)
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Evaluación iteraciones: a partir de las relaciones estáticas
GC2(s) -y2ref(s)
G12(s)
G21(s)
G22(s)
G11(s) +
+
+
y1(s)
y2(s)
u1(s)
u2(s)
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Matriz de ganancias estáticas relativas …
uk=0, k≠j =
)()(
!
!
j
i
uy
yk=0, k≠i )()(
!
!
j
i
uy
Definición:
resto de los lazos cerrados
λij = todos los lazos abiertos
lim s→0
)()(sUsY
j
i
)()(sUsY
j
i
lim s→0
en la que:
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… Matriz de ganancias estáticas relativas
Cálculo
!
y1(")M
yn (")
#
$
% % %
&
'
( ( (
=
K11 L K1nM O M
Kn1 L Knn
#
$
% % %
&
'
( ( (
u1(")M
un (")
#
$
% % %
&
'
( ( (
Propiedad: 1
1=!
=
n
iij" 1
1=!
=
n
jij"y
donde “o” representa el producto de Hadamard o producto elemento por elemento >> K.*inv(K)’
dado:
λij =
yk=0 k≠i )()(
!
!
j
i
uy
Kij entonces:
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Análisis de la matriz de ganancias relativas
λij = lim todos los lazos abiertos s→0
lim resto de los lazos cerrados s→0
λij →0
)()(
sUsY
j
i
)()(
sUsY
j
i
1< λ ij
λ ij < 0
λ ij = 1
λ ij →∞
0< λ ij<1
mayor ganancia estática con resto bucles abiertos
control imposible en bucle cerrado cambia de signo la ganancia estática en bucle cerrado y por tanto la estabilidad del sistema
sin iteración menor ganancia estática con resto bucles abiertos
sintonización en bucle cerrado
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Ejercicio 9.1: evaluación interacciones
F1 T1
F T
F2 T2
Dado el sistema de la figura linealizado para T10=20, F10=10, T20=80, F20=2
a) Calcular λTF1 y λTF2 (5 puntos) b) Indicar cuál de los dos posibles bucles de control de T queda menos
alterado cuando se abre/cierra el otro bucle de control de la F (5 puntos)
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Control multivariable
• Sistemas multivariables y su problemática de control
• Evaluación de las interacciones • Emparejamiento de variables
controladas y manipuladas • Sintonización de controladores • Desacoplamiento
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Emparejamiento de variables controladas y manipuladas
• Criterios restrictivos: – no cerrar bucle de control de la salida i-ésima con la entrada j-ésima
cuando: • λij<0 • λij≈∞ • λij=0
• Criterios de prioridad: – controlar las variables de salida más importantes con aquellas
variables de entrada con las que tengan una dinámica más rápida sin respuesta inversa
• puede implicar desintonización de los lazos poco importantes
– cerrar bucles de control con λij próximas a 1
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Ejemplo 9.1: emparejamiento de variables
a) Diseñar una estructura adecuada de control multivariable para el siguiente sistema:
u3
u2
u1
y3
y2
y1
!
"1.2e"5s15s+1
2e"5s15s+1
" 0.1e"5s15s+1
e"15s60s+1
e"15s60s+1
0.2e"5s15s+1
" 0.1e"5s15s+1
0.1e"5s15s+1
e"5s15s+1
#
$
% % % % % % %
&
'
( ( ( ( ( ( (
+ GC2M(s)
+
-
-
y2ref
GC1M(s)
GC3M(s)
+ - y1ref
y3ref
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Control multivariable
• Sistemas multivariables y su problemática de control
• Evaluación de las interacciones • Emparejamiento de variables
controladas y manipuladas • Sintonización de controladores • Desacoplamiento
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Sintonización de controladores multivariables: desintonización
• Disminuir las interacciones desintonizando los controladores de las salidas menos importantes (la desintonización es mayor cuanto menos importante es
el bucle de control)
⇒ sólo haya iteración entre unos poco bucles, que
son los más importantes.
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Sintonización de controladores multivariables: Reglas de McAvoy
)()(1)()()()(
)()(
222
2122111
1
1
sGsGsGsGsGsG
sUsY
MC
MC
+!=
KCM = ≥ 0,5 KCS 0,5< λ<1,5 0,5 KCS 1,5<λ
tCM = 2 tCS 0,5< λ<1 tCS 1 < λ
• ambos lazos tienen dinámicas parecidas:
)()( 1111 sGsG SCMC != ⇒ la ganancia del controlador se multiplica por λ11
)()()(
111
1 sGsUsY
!• si el lazo 1 es mucho más rápido que el 2: )()( 11 sGsG SCMC = ⇒ puede sintonizarse independientemente:
11
11
1
1 )()()(
!sG
sUsY
"• si el lazo 1 es mucho más lento que el 2:
Reglas de sintonización sólo válidas para sistemas de 2x2:
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Ejemplo 9.2: Sintonización multivariable
!
KC1M = KC1S =0.92155
=1.35
!
tic1 = 3.33 x 5 =16.6
!
KC 2M = "21KC 2S = 0.6210.916015
= 2.23
!
tic2 = 3.33 x15 = 50
!
KC 3M = KC 3S =0.91155
= 2.7
!
tic3 = 3.33 x 5 =16.6
a) Calcular los controladores de la estructura de la figura:
u3
u2
u1
y3
y2
y1
!
"1.2e"5s15s+1
2e"5s15s+1
" 0.1e"5s15s+1
e"15s60s+1
e"15s60s+1
0.2e"5s15s+1
" 0.1e"5s15s+1
0.1e"5s15s+1
e"5s15s+1
#
$
% % % % % % %
&
'
( ( ( ( ( ( (
+ GC2M(s)
+
-
-
y2ref
GC1M(s)
GC3M(s)
+ - y1ref
y3ref
Tipo de
regulador
Kc Ganancia
Ti Tiempo integral
Td Tiempo
derivativo
PI m
p
p tt
K9,0 3,33 tm
PID m
p
p tt
K2,1 2 tm 0,5 tm
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Ejercicio 9.2: control multivariable
F1 T1
F T
F2 T2
Dado el sistema de la figura linealizado para T10=20, F10=10, T20=80, F20=2
a) Diseñar y calcular un control multivariable de T y F (4 puntos) b) Dibujar la evolución de las salidas ante un cambio de referencia de F
y también ante un cambio de referencia de T (3 puntos) c) Analizar la repercusión de la apertura de cada uno de los bucles de
control sobre el otro bucle (3 puntos)
!
F(s)T(s)"
# $
%
& ' =
13s+1
13s+1
(0.8333e(3s10s+1
4.166 e(3s10s+1
"
#
$ $ $ $
%
&
' ' ' '
F1(s)F2(s)"
# $
%
& '
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resultados ejercicio control multivariable…
b)
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…resutados ejercicio control multivariable
c)
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Ejercicio 9.3: emparejamiento incorrecto
F1 T1
F T
F2 T2
Dado el sistema del ejercicio anterior
a) Diseñar y calcular un control multivariable, de manera que el control de T se efectué con F1 y el de F con F2 (5 puntos)
b) Analizar la repercusión de la apertura de cada uno de los bucles de control sobre el otro bucle (5 puntos)
!
G(s) =
13s+1
13s+1
"0.8333e"3s10s+1
4.166 e"3s10s+1
#
$
% % % %
&
'
( ( ( (
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Resltados ejercicio de eparejamiento incorrecto
a)
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• Sistemas multivariables y su problemática de control
• Evaluación de las interacciones • Emparejamiento de variables
controladas y manipuladas • Sintonización de controladores • Desacoplamiento
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Desacoplamiento: Objetivo y estructura
• Objetivo: eliminar o reducir las iteracciones de cada variable de entrada con las variables de salida distintas de la que controla.
• Estructura (caso 2x2):
Sistema Desaco-plador
m1
m2
m1
y2
y1
m´2
m´1 Y2(s) M´1(s) = 0
Y1(s) M´2(s) = 0
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Desacoplamiento lineal total: cálculo de la matriz del desacoplador
G12(s) G11(s) D12(s) = -
G21(s) G22(s) D21(s) = - D(s) =
1 D12(s)
D21(s) 1
G12(s)
G21(s)
G22(s)
G11(s) +
+
+
+
y1(s)
y2(s)
m1(s)
m2(s)
D12(s)
D21(s) +
+m´1(s)
m´2(s) +
+
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Desacoplamiento lineal total: características del desacoplo (1/2)
K21(t22s+1) K22(t21s+1) D21(s) = - e-(tm21-tm22)s
G(s)D(s) = G11(s) λ11(s)
G22(s) λ22(s)
0
0
• Limitaciones en la realización de desacopladores análogos a los controladores anticipativos:
• Sintonización dependiente de otras f.d.t.:
• No son robustos ante errores de modelado cuando la λij es elevada
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Desacoplamiento lineal total: ejemplo comparativa con y sin desacoplo
F1 T1
F T
F2 T2
!!!!
"
#
$$$$
%
&
+
'
+
''+
'
+
'
160
15252,0160
15105,0115
52,0115
575,0
s
s
s
ss
s
s
s
ee
eeF(s)
D12(s)
D21(s)
+
+
+
++ GC1D(s)
+
-
- F2(s)
+
GC2D(s) T(s)
Fref(s)
Tref(s)
F1(s)
641.0252.0105.0
22
2121
)==!=
GGD
62.075.02.0
11
1212
)!=!=!=
GGD
desacopladores:
24,36,39,01111 =!== SCDC KK "
852,1228,149,02222 =!== SCDC KK "
6,16533,31 =!=ict
501533,32 =!=ict
controladores:
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Desacoplamiento lineal total: ejemplo comparativa con y sin desacoplo
F-Fr T-Tr
con desacoplo total sin desacoplo
con desacoplo total sin desacoplo
con desacoplo total sin desacoplo
T-Fr
con desacoplo total sin desacoplo
F-Tr
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Desacoplamiento lineal total: ejemplo con error 10% en el modelo
T-Fr
con error del 10%
F-Tr
con error del 10%
T-Tr
sin error de modelo con error del 10% en K11 y K22
F-Fr
sin error de modelo con error del 10% en K11 y K22
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Desacoplamiento lineal total: ejemplo con λ elevada
!!!!
"
#
$$$$
%
&
+
'
+
'+
'
+
'
160
15252,0160
157875.0115
52,0115
575,0
s
s
s
ss
s
s
s
ee
eeY1(s)
D12(s)
D21(s)
+
+
+
++ GC1D(s)
+
-
- U2(s)
+
GC2D(s) Y2(s)
Y1ref(s)
Y2ref(s)
U1(s)
125.3252.07875.0
22
2121 !=!=!=
GGD
62.075.02.0
11
1212
)!=!=!=
GGD
desacopladores:
6.216,361111 =!== SCDC KK "
71.8528,1462222 =!== SCDC KK "
6,16533,31 =!=ict
501533,32 =!=ict
controladores:
( ) !"
#$%
&
'
'==( '
6556
* 1 TKK
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Desacoplamiento lineal total: ejemplo con λ11=6 error 10% en el modelo
Y2-Y2ref
sin error de modelo con error del 10% en K11 y K22
Y1-Y1ref
sin error de modelo con error del 10% en K11 y K22
Y1-Y2ref
sin error de modelo con error del 10%
Y2-Y1ref
sin error de modelo con error del 10%
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Desacoplamiento lineal parcial: objetivo y estructura
• Objetivo: eliminar o reducir la interacción mediante el desacoplo de la salida más importante del resto de las entradas
G21(s) G22(s) D21(s) = - D12(s) = 0
G12(s)
G21(s)
G22(s)
G11(s) +
+
+
+
y1(s)
y2(s)
m1(s)
m2(s)
D21(s) ++
m´1(s)
m´2(s)
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Desacoplamiento lineal parcial: características
La sintonización del lazo de control de la variable importante es independiente de las otras f.d.t. del sistema, pudiéndose considerar el resto de la entradas como perturbaciones a dicho lazo de control
La sintonización de los otros lazos de control depende de otras f.d.t. ajenas al lazo
El comportamiento del lazo de control de la variable importante es más sensible a errores de modelo a medida que crece su ganancia estática relativa
G(s)D(s) = G11(s) λ11(s)
G22(s) 0
G12(s)
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Desacoplamiento lineal parcial: ejemplo con λ11=0,9 error 10% en el modelo
sin error de modelado
T-Tr
desacoplo total y desacoplo parcial
F-Tr
desacoplo total desacoplo parcial
con error 10% en K11 y K22
T-Tr
desacoplo total desacoplo parcial
F-Tr
desacoplo total desacoplo parcial
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Desacoplamiento lineal total: ejemplo con λ11=6 error 10% en el modelo
sin error de modelado
Y2-Y2r
desacoplo total y desacoplo parcial
desacoplo total desacoplo parcial
Y1-Y2r
con error 10% en K11 y K22
desacoplo total desacoplo parcial
desacoplo total desacoplo parcial
Y2-Y2r
Y1-Y2r
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Desacoplamiento no-lineal: objetivo
• Objetivo: reducir la interacción en sistemas en los que su comportamiento no-lineal de lugar a un mal funcionamiento de los desacopladores lineales
Sistema Desacoplador no-lineal
m1
m2
m1
y2
y1
m´2
m´1 y1≈f1(m'1)
y2≈f2(m'2)
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Desacoplamiento no-lineal: estructura del desacoplador
Sistema
m=f-1(m') (inversión del modelo estático del sistema)
m1
m2
m1
y2
y1
m´2
m´1
En régimen permanente y sin error de modelado: y≡m'
Desacoplamiento no-lineal por inversión del modelo estático.
modelo estático:
y=f(m)
!
y1 = f1(m1,m2)y2 = f2(m1,m2)
" # $
cálculo de entradas:
m=f-1(m')
!
m1 = g1( " m 1, " m 2)m2 = g2( " m 1, " m 2)
# $ %
inversión del modelo:
m=f-1(y)
!
"m1 = g1(y1,y2)m2 = g2(y1,y2)
# $ %
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Desacoplamiento no-lineal: caracteristicas
útil en sistemas fuertemente no-lineales no tiene en cuenta la dinámica del sistema
21
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Desacoplamiento no-lineal: ejemplo
!"#
+=
+=
2211
21
FTFTTFFFF
ecuaciones estáticas: F1 T1
F T
F2 T2
!!"
!!#
$
%=%
%=
%
%=
121
12
12
21
FFTTTTFF
TTTTFF
inversión del modelo:
Sistema F2
F1
T
F
m´2
m´1
21
2112
12
2211
TTmTmF
TTmTmF
!
"!"=
!
"!"=