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Comunicaciones Digitales: Proceso de Conversión A/D

Representación de fenómenos físicos● CLIMA (Temperatura, Humedad, etc.)

● Sonido (Presión en un punto 3D)

● Grabación de Audio (Flujo Magnético)

● Fotografía (Intensidad de Luz/Color sobre papel)

Señales

Monitoreo continuo vs discreto● Sonido / Grabación de Audio

Señales

Monitoreo continuo vs discreto● Registro de Precipitación de lluvia

Señales

Representación mediante una función:

Señales

Variable Independiente

(Dominio)

Vari

able

Dep

en

die

nte

(Inte

rvalo

)

6

● La señal analógica es aquella que presenta una variación o fluctuación continua con el tiempo, es decir, que para cualquier valor de la variable independiente existe un valor de la variable dependiente que le corresponde.

● Una señal digital es aquella que presenta una variación discontinua con el tiempo y que sólo puede tomar ciertos valores discretos.

● Las señales digitales no se producen en el mundo físico como tales, sino que son creadas por el hombre.

Señales

7

Las señales pueden clasificarse a partir de sus características

● Según el dominio o comportamiento con respecto a la variable independiente:

● Continua en el tiempo : f(t), t ∈ [a,b] ● Discreta en el tiempo: f[t] ∈ {t₀,t₁,...,tn}

● Según el intervalo o variabilidad de la amplitud de la variable dependiente:

● Continua en amplitud ● Discreta en amplitud

Señales

Se dice que una señal es:

● Continua: si es continua en todo t

● Continua a tramos: si presenta un valor finito o infinito numerable de discontinuidades siempre y cuando se produzcan saltos de amplitud finita

Señales

Dominio (variable Independiente)

Continuat >f (t)

Discretan > f [n]

Dominio (variable Independiente)

Señales

Sea t1 un instante de tiempo y e un número que pertenece a los reales positivo e infinitesimalmente pequeño Y sean:

Si se cumple

Se dice que la señal es continua en t=t1 si no se dice que la señal es discontinua en t1.

Intervalo (variable Dependiente)

x ( t+ )=x (t−)=x (t1 )

t+ =t1+e

t−=t1−e

Señales

Se dice que una señal es de:

● Valor discreto si la variable dependiente solo toma valores de un conjunto numerable.

● Valor continuo si la variable dependiente toma valores en un conjunto en los reales

Señales

Intervalo (variable Dependiente)

Señal Analógica

• Contínua en el tiempo: Existe en todo momento.

• Contínua en amplitud: Existe en cualquier valor de amplitud. Tiene un número inifinito de valores de amplitud.

Señal Digital

• Discreta en el tiempo: Sólo existe en ciertos valores del tiempo.

• Discreta en amplitud: Sólo existe en ciertos valores de amplitud. Tiene un número finito de valores de amplitud.

Tipos de señales

Parámetros de las Señales

● Duración

● Periodicidad

● Amplitud

● Velocidad de cambio (Frecuencia)

● Fase

Señales

● Representación cartesiana permite la representación de un sistema en coordenadas rectangulares, la posición de un punto se encuentra determinada por 2 o 3 magnitudes independientes que definen su relación con los llamados planos coordenados.

● El cálculo vectorial proporciona una notación para representar a través de ecuaciones matemáticas modelos de las distintas situaciones físicas y de las dinámicas que los afectan en diversas situaciones.

Señales

Representación de variables

Señales

Velocidad de cambio (rpm, Hz, ...)

● Toda señal variable en el tiempo se puede representar en el ámbito de sus valores de frecuencia (espectro). Dicho espectro brinda información sobre la velocidad de la señal y se compone por una frecuencia fundamental y un conjunto de armónicos.

● El proceso matemático que permite esta descomposición se denomina análisis de Fourier.

Señales

Velocidad de cambio (espectro de Frecuencias)

Error● Diferencia entre los datos adquiridos y la función real (ideal)

● Imprecisiones del sistema de adquisición

● No linealidades (e.g.: offset)

● Ruido

● Velocidad de muestreo

Señales

Proceso de conversión

MUESTREO CUANTIZACIÓN CODIFICACIÓNf(t) d(t)

● MUESTREO : Discretización en el tiempo. Toma de muestras de la señal analógica en valores determinados de tiempo.

● CUANTIZACIÓN : Discretización de amplitud. Asignación de los valores de las muestras de la señal analógica a valores discretos, predefinidos, de un conjunto finito de valores.

● CODIFICACIÓN : Representación numérica de los valores cuantizados. Asignación de un valor numérico a cada uno de los valores, ya discretos, de las muestras de la señal analógica.

f(t)

t

010011010110101011010


f(t)

t

tt

Valores originales de las muestras

Valores cuantizados

f(t)

f(t)

0 0 1 10 0 1 10 0 0 10 0 0 01 0 0 11 0 1 0

Muestreo

CuantizaciónCodificación


• Una señal continua puede representarse y reconstruirse partiendo del conocimiento de sus muestras.

• Esto se deriva de un resultado básico llamado teorema de muestreo.

• Este teorema funciona como un puente entre las señales continuas y las discretas.


¿Cuántas muestras por segundo hay que tomar?

– Una señal discreta puede corresponder a varias señales continuas


MUESTREO

frecuencia de muestreo

señalanalógica

f(t)

f(t)

t

fm(t)

t

°

°

° °

°

°°

0.601263

0.2943020.326483

0.645823 0.586528

-0.120152 -0.156337

señal muestreada

(infinito número de valores

posibles de las muestras)

Proceso de Muestreo

• Muestrear una señal es equivalente a multiplicarla por un tren de funciones delta

)c()x()(xp ttt )(δ)c( nTtt

n


f(t) |F(f)|

t ffmax

pi (t) |Pi (f)|

t ffm 2 fm 3 fm 4 fmTm

v

v

fm = 1/Tm

fmi(t)

t

|Fmi (f)|

ffm 2 fm 3 fm 4 fm

pi (t) = (t - nTm )n= - oo

n= + o o

Pi (w) = 2Tm (w - k wm )k= - o o

k= + o o

fmi (t) = f(t) (t - nTm ) = f (nTm) (t - nTm)n= - oo

n= + o o

n= - oo

n= + o o

Fmi (w) = F(w) * Pi (w) = 1Tm F (w - k wm )k= - o o

k= + o o

Tm

v

v

Muestreo ideal (instantáneo)

Muestreo● Señales Lentas y Suaves


Muestreo● Señales Rápidas y Abruptas


• Una multiplicación en el tiempo equivale a una convolución en la frecuencia

)C()X(π21

)(Xp jjj

k

skjT

j ))(X(1

)(Xp

k

skT

j )δ(π2

)C(

¿Qué ocurre en la frecuencia?

• Ωs es la frecuencia de muestreo

• El espectro resultante es periódicoTs

π2

Con : Ωs = 2Ωmax

• Sea x(t) una señal de banda limitada con X(jΩ)=0 para ׀Ω׀> Ωmax. Entonces x(t) se determina unívocamente mediante sus muestras x(nT), n=0, ±1, ±2,..., si

donde

Ts

π2

max2s

Teorema de muestreo de Nyquist

fmi(t)

t

|Fmi (f)|

f

fm 2 fm 3 fm 4 fm

f(t) |F(f)|

t f

fmax

f

fm 2 fm 3 fm 4 fm- fm

FiltroPasa-bajas

Recuperación de la señal original

• Ocurre el fenómeno de solapamiento en frecuencia (frequency aliasing)

Nyquist : cuando Ωs < 2Ωmax

fffm-fmax fmax fm 2fm fffm-fmax fmax fm 2fm

|Fmi (f)|

ffm 2 fmfmax

fmax fmax

|Fmi (f)|

ffm 2 fmfmax

fmax fmax

|Fmi (f)||Fmi (f)|

fm-fmax

fm > 2 fmax

Frecuencia mínima de muestreo

Rango de Frecuencias Frecuencia de Muestreo

Hz kHzVoz Telefónica 300 - 3,400 8Voz de Banda Ancha 50 - 7,000 16Audio Medio 10 - 11,000 24Audio de Banda Ancha (CD) 10 - 20,000 44.1

Frecuencias de muestreo típicas

pp(t) |Pp(f)|

t ffm 2 fm 3 fm 4 fm

Tm

v

v

fm = 1/Tm

f(t) |F(f)|

t ffmax

a

fmn(t)

t

|Fmn (f)|

ffm 2 fm 3 fm 4 fm

pp (t) = pp(t) = pp(t-nTm) Pp(w) = 2/k sen(k a) (w - k wm )k= - oo

k= + o o

fmn (t) = f(t) pp(t) Fmn (w) = F(w) * Pp (w) = 1/k sen(k a) F (w - k wm )k= - oo

k= + o o

Tm

1, 0 < t < a

0, a < t < Tm

= , fmn(t) = fmn(t-nTm)f(t), 0 < t < a

0, a < t < TmTm

Tm

v

v

a

2 / a

Muestreo natural

Fmq (w) = sen(T w) F(w - k wm )

pq(t) |Pp(f)|

t f2 / T

T

v

v

f(t) |F(f)|

t ffmax

pq (t) = Pq(w) = 2/w sen( T w_)

fmq (t)

2

1, 0 < t < T

0, 0 > t > T

= f(nT) pq(t - nT)

|Fmq (f)|

f fm

n= - oo

n= + o o

fmq(t)

t

T

v

v

Fmq (w) = sen(T w) F(w - k wm )k= - oo

k= + oo

2

2_ wT

Muestreo de pulso plano sostenido

• El cuantificador es un sistema cuyo propósito es transformar la muestra de entrada x[n] en un valor de conjunto finito de valores preestablecidos.

Cuantización

CUANTIZACIÓNseñal cuantizada

(N valores posibles)

señal muestreada

(infinito número de valores

posibles de las muestras)

fm(t)

t

°

°

° °

°

°°

0.601263

0.2943020.326483

0.645823 0.586528

-0.120152 -0.156337

fm(t)

.7 .6 .5 .4 .3 .2 .1

-.1 -.2

Cuantización

Cuantización

La misma imagen cuantificada con 7 bits (128 niveles de grises) y con 3 bits (8 niveles de grises).

Cuantización

Sistema en complemento a dos

• El bit de la izquierda se considera bit de signo, y los bits restantes representan fracciones en binario.

• Los símbolos binarios tienen el siguiente significado para un sistema con tres bits.

Símbolo binario

Valornumérico

011 ¾

010 ½

001 ¼

000 0

111 - ¼

110 - ½

101 - ¾

100 -1

Cuantización

• Si tenemos una fracción binaria en complemento a dos representada con B+1 bits de la forma

su valor es

BBaaaa 2...222 2

21

10

0

Baaaa ...210

Generalización

Cuantización

La cuantización asigna a la muestra de f(t) el valor de amplitud más cercano a su valor original de entre los N valores discretos predefinidos, lo que produce un error. El error de cuantización disminuye mientras más valores discretos se definan.

Valores originales de las muestras

Valores cuantizados

f(t)

t

N1

N2

N3

N4

N5

N6

ec {

f(nT)

fc(nT)

nT

f(nT) = Valor original de f(t) en el tiempo de muestra nT

fc(nT) = Valor cuantizado de f(t) en el tiempo de muestra nT

ec = error de cuantización = f(nT) - fc(nT) N = Número de valores discretos

Cuantización

Error de Cuantización

Voz TelefónicaVoz de Banda Ancha

Audio MedioAudio de Banda Ancha

Valores Posibles

n

256256

65,53665,536

Ejemplos de valores de cuantización

información digital binaria

d(t)(cada muestra representada con m bits)

fm(t)

.7 .6 .5 .4 .3 .2 .1

-.1 -.2

0111 0110 0101 0100 0011 0010 0001 0000 1001 1010

CODIFICACIÓN

código digital de

m bits( N = 2 m )

señal cuantizada

(N valores posibles)

información digital binaria representada como señal en el

tiempo

010110101010110101011

Codificación

La codificación asigna un valor numérico (código digital binario) a cada uno de los N valores discretos utilizados en la cuantización. La representación de N valores a través de un código digital binario corresponde a un número de bits m que cumple con la relación:

N = 2m

Codificación

Los números del código digital asignado no necesariamente deben de tener una relación directa con el valor real de la señal original f(t), sino que puede considerarse que f(t) es normalizada para su codificación. Los valores reales de f(t) pueden ser recuperados en el proceso de conversión digital a analógica a través de un proceso de des-normalización (normalmente la multiplicación por una constante y la posible suma o resta de una componente de directa).

Características de codificación típicas

Summary of Modulation Techniques 1

Summary of Modulation Techniques 2

Summary of Modulation Techniques with some Derivatives and Familiar Applications

Summary of Modulation Techniques with some Derivatives and Familiar Applications 2

comunicaciones digitales: proceso de conversión a/d · teorema de muestreo de nyquist. fmi(t) t...

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