1

y

x

r(t)P

r(t) Q

r(t+t)

r

Vector velocidad

FUNCIONES VECTORIALES

1

1

v0

v

v

v

a

a

a

y0

altura inicial

v0 - ve lo c i d a d i n i c i a l

2

INDICE

FUNCIONES VECTORIALES _________________ 3

FUNCIÓN VECTORIAL ______________________________________________ 4

Dominio de una función vectorial ______________________________________________ 5

Operaciones con funciones vectoriales _________________________________________ 6

Límites y Continuidad ______________________________________________________ 6

Derivación de funciones vectoriales ___________________________________________ 7

Integración de funciones vectoriales ___________________________________________ 9

DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN _____________________ 10

Definición de velocidad, aceleración y rapidez __________________________________ 11

Movimiento de proyectiles – Tiro parabólico ____________________________________ 13

Vectores tangentes y vectores normales _______________________________________ 17

Vector aceleración – componentes tangencial y normal ___________________________ 23

LONGITUD DE ARCO Y CURVATURA _________________________________ 26

Longitud de arco _________________________________________________________ 27

Curvatura _______________________________________________________________ 29

3

FUNCIONES VECTORIALES

En el capítulo anterior, cuando describimos la recta en el espacio, utilizamos un parámetro en las ecuaciones para encontrar las coordenadas de los puntos que conforman esa recta.

1

1

1

ecuaciones x x at

paramétricas y y bt

de la recta z z ct

cada coordenada depende de el valor que le demos al parámetro t, en otras palabras, cada una está en función de t. ( ), ( ), ( )x f t y g t z h t

¿Qué pasa si a cada punto de la recta le asignamos un vector de posición

ˆˆ ˆr xi yj zk

Tendríamos un vector para cada valor de t, o sea que r

es, a su

vez, una función de t. ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )r xi yj zk r t f t i g t j h t k

0 0 0ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )r t x at i y bt j z ct k

Por ejemplo, para la recta con ecuaciones paramétricas 1 2

3

2 3

x t

y t

z t

, la posición de

cada uno de sus puntos esta dada por ˆˆ ˆ( ) (1 2 ) (3 ) (2 3 )r t t i t j t k

, si

tabulamos dádole valores a t para encontrar algunos vectores tenemos

t ( )r t

punto

-2 ˆˆ ˆ3 5 4i j k 3,5, 4A

-1 ˆˆ ˆ4i j k 1,4, 1B

0 ˆˆ ˆ3 2i j k 1,3,2C

1 ˆˆ ˆ3 2 5i j k 3,2,5D

2 ˆˆ ˆ5 8i j k 5,1,8E

x

z

y

5

1 5

-3

A

E

C

D

B

Recta

la recta dada por ˆˆ ˆ( ) (1 2 ) (3 ) (2 3 )r t t i t j t k

4

FUNCIÓN VECTORIAL

Cualquier función de la forma ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ), ( )r t f t i g t j h t k f t g t h t

se

conoce como función vectorial, con f, g y h como funciones reales del

parámetro t. ( se conocen como las funciones componentes de ( )r t

)

En el plano, la función vectorial es ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ), ( )r t f t i g t j f t g t

.

En el ejemplo anterior, tanto f como g y h son funciones lineales de t por ésto la grafica de ( )r t

es una recta. Podemos usar una función vectorial para trazar una

curva y además describir su trayectoria (cómo se dibuja cuando t crece). En otro ejemplo.

Sea la función vectorial 2ˆ ˆ( )r t ti t j

.

Si ( ), ( )x f t y g t entonces 2, x t y t y por lo

tanto 2y x . Que es la ecuación de una parábola

en el plano xy. Algunos de los vectores:

ˆ ˆ( 2) 2 4r i j

, ˆ ˆ( 1)r i j

, (0) 0r

,

ˆ ˆ(1)r i j

, ˆ ˆ(2) 2 4r i j

.

La curva representada por 2ˆ ˆ( )r t ti t j

:

¿Cómo sería la curva 2ˆ ˆ( )r t ti t j

? Encontremos

algunos vectores: ˆ ˆ( 2) 2 4r i j

, ˆ ˆ( 1)r i j

, (0) 0r

, ˆ ˆ(1)r i j

,

ˆ ˆ(2) 2 4r i j

. Pasa por los mismos puntos que la

curva de la función anterior ¿Qué cambió? Cambia el sentido del trazo, ahora es de derecha a izquierda conforme t crece.

2ˆ ˆ( )r t ti t j

Para la curva definida por la función ( ) cos ,sen r t t t

con 0 2t donde

( ) cosx t t . ( ) sen y t t . Sumemos los cuadrados de cada función componente de

( )r t

: 2 2 2 2cos 1 1t sen t x y . La gráfica es

de un círculo de radio 1 centrado en el origen.

0 0 cos0,sen 0 1,0r r

, 1

3 1,

6 2 2r r

2

2 2,

4 2 2r r

, 3

1 3,

3 2 2r r

, 4 0,1

2r r

5

2 1 3,

3 2 2r r

, 6

3 2 2,

4 2 2r r

....

1

1

x

y

r(-2) r(2)

1

1

x

y

r(2)r(-2)

x

y

r1

r3

r2

r5

r6

r7

1r0-1 r8

1

r4

círculo unitarior(t)=<cos t, sen t>

5

( ) cos2 ,3sen 2 ,r t t t t

es la función de una curva en el espacio. Calculemos

algunos de sus puntos para 0 2t . ( en incrementos de 12

rad)

t cos2x t 3sen 2y t z t

0 1.00 0.00 0.00

0.262 0.87 1.50 0.26

0.524 0.50 2.60 0.52

0.785 0.00 3.00 0.79

1.047 -0.50 2.60 1.05

1.309 -0.87 1.50 1.31

1.571 -1.00 0.00 1.57

1.833 -0.87 -1.50 1.83

2.094 -0.50 -2.60 2.09

2.356 0.00 -3.00 2.36

2.618 0.50 -2.60 2.62

2.880 0.87 -1.50 2.88

3.142 1.00 0.00 3.14

Cuando t crece de 0 a 2, la curva describe una hélice haciendo dos espirales alrededor de un cilindro elíptico, la ecuación del cilindro la podemos obtener tomando las primeras dos funciones componentes de r

: cos2x t e 3 sen 2y t ,

de donde 2 2

2 2cos 2 2 11 9

x yt sen t ó

2 2

11 9

x y

Dominio de una función vectorial

El dominio de una función vectorial es la intersección de los dominios de sus

funciones componentes. Por ejemplo, el dominio de 21 ˆ ˆ( ) 41

r t i t jt

son los

valores reales que se encuentran en el intervalo 2,2 , excepto cuando 1t .

El domino de la función 2

1 ˆˆ ˆ( ) ln( 1) 4 14

tr t t i j t k

t

es la intersección de los

dominios de ( ) ln( 1)f t t , 2

1( )

4

tg t

t

y

( ) 4 1h t t donde ( 1, )fD , 2,2gD

y 1/ 4,hD , o sea que 1/ 4,2 2,rD . -1-2 21/4

DfDg

Dh

t

0

Dr

6

Operaciones con funciones vectoriales

Sean 1 1 1 1

ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )r t f t i g t j h t k

y 2 2 2 2

ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )r t f t i g t j h t k

funciones

vectoriales y un escalar:

Suma: 1 2 1 2 1 2 1 2ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r t r t f t f t i g t g t j h t h t k

Diferencia: 1 2 1 2 1 2 1 2ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r t r t f t f t i g t g t j h t h t k

Múltiplo escalar: 1 1 1 1ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )r t f t i g t j h t k

Producto escalar: 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r t r t f t f t g t g t h t h t

Producto vectorial:

1 2 1 2 2 1 1 2 2 1

1 2 2 1

ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

r t r t g t h t g t h t i f t h t f t h t j

f t g t f t g t k

Límites y Continuidad

El límite de una función vectorial ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )r t f t i g t j h t k

cuando t a existe

solo sí existen los limites en f, g y h cuando t a .

ˆˆ ˆlim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( )t a t a t a t a

r t f t i g t j h t k

Una función vectorial ( )r t

es continua en el punto donde t a siempre y cuando

el lim ( )t a

r t

exista. ( )r t

es continua en el intervalo I si ( )r t

es continua en cada

uno de los puntos del intervalo. Ejemplo: Determinar el intervalo ( o intervalos) en que la funciön vectorial

2

1 ˆˆ ˆ( ) ln( 1) 4 14

tr t t i j t k

t

es continua.

Solución:

El dominio de es 1/ 4,2 2,rD , es decir que t puede tomar valores

mayores o iguales a ¼ excepto el 2. Probemos los límites con t= ¼ , t= 2 y t=3:

21/4 1/4 1/4 1/4

1 5 20ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆlim ( ) lim ln( 1) lim lim 4 1 ln 04 4 63

ˆ ˆ0.223 0.317 si existe el límite

t t t t

tr t t i j t k i j k

t

i j

22 2 2 2

1 3ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆlim ( ) lim ln( 1) lim lim 4 1 ln 3 74 0

no existe el límite

t t t t

tr t t i j t k i j k

t

23 3 3 3

1 4ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆlim ( ) lim ln( 1) lim lim 4 1 ln 4 114 5

ˆˆ ˆ1.386 0.8 3.317 si existe el límite

t t t t

tr t t i j t k i j k

t

i j k

La función es continua en todo el dominio de r

, o sea que es continua en el intervalo 1/ 4 2t y en el intervalo 2.t

7

Derivación de funciones vectoriales

Para derivar una función vectorial basta con derivar cada una de sus funciones componentes.

Definición: la derivada de una función vectorial r

se difine como

0

( ) ( )( ) lim

t

r t t r tr t

t

, siempre que el límite exista.

Para ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )r t f t i g t j h t k

con f,g y h funciones derivables de t, entonces

0 0

0 0 0

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) lim lim

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆˆ ˆ lim lim lim

t t

t t t

f t t i g t t j h t t k f t i g t j h t kr t t r tr t

t t

f t t f t g t t g t h t t h ti j k

t t t

ˆˆ ˆ ( ) ( ) ( )f t i g t j h t k

Otras formas de notación para la derivada: ( ) ( ) ( )t

d drr t D r D r t r t

dt dt

Ejemplo:

sean las funciones 2ˆ ˆ( ) 3 2 1r t t i t j

y 2 ˆˆ ˆ( ) 2cos( ) 2 sen( ) ts t at i at j e k , hallar

sus derivadas. Solución: derivamos cada funcion componente

1ˆ ˆ( ) 62 1

r t ti jt

y 2 ˆˆ ˆ( ) 2 sen( ) 2 cos( ) 2 ts t a at i a at j e k

Propiedades de la derivada de funciones vectoriales

Sean r

y s

funciones vectoriales de t, f una función derivable de t y un

escalar.

1. ( ) ( )tD r t r t

derivada de un múltiplo escalar

2. ( ) ( ) ( ) ( )tD r t s t r t s t

derivada de una suma/resta

3. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tD f t r t f t r t f t r t

derivada de un producto

4. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tD r t s t r t s t r t s t

derivada del producto escalar

5. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tD r t s t r t s t r t s t

derivada del producto vectorial

6. ( ( )) ( ( )) ( )tD r f t r f t f t

regla de la cadena

7. si ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )r t f t i g t j h t k

entonces 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )r t f t g t h t

8. ( ) ( )

( )( )

t

r t r tD r t

r t

derivada de la norma de r

9. Si ( ) ( )r t r t constante

entonces ( ) ( ) 0r t r t

.

8

Ejemplos:

Sean las funciones vectoriales 2 ˆˆ ˆ( ) 5r t t i t j tk

y 2 3 ˆˆ ˆ( ) 2s t ti t j kt

, hallar:

a. ( )r t

b. ( )s t

c. 2 ( ) ( )tD r t s t

d. 2( 3) ( )tD t r t

e. ( ) ( )tD r t s t

f. ( ) ( )tD r t s t

g. ( )r t

Solución:

a. 1 ˆˆ ˆ( ) 2 5

2r t ti j k

t

b. 2

3 ˆˆ ˆ( ) 2 2s t i tj kt

c. 2

1 3 ˆˆ ˆ2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 4 2 2 10tD r t s t r t s t t i t j ktt

d. 2 2( 3) ( ) ( 3) ( ) 2 ( )tD t r t t r t t r t

2

2 2 3 21 5 3ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( 3)(2 5 ) 2 5 4 6 15 12 2

tt ti j k t t i t j tk t t i j t k

t t

e. 2 2

2

3 1 3ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) 5 2 2 2 5 22

tD r t s t t i t j tk i tj k ti j k ti t j kt tt

2 32 2 215 15 5

2 2 4 622

t tt t t t t

t tt

f. 2

22

ˆˆ ˆˆˆ ˆ

1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 2 5

23

2 2 32

t

i j ki j k

D r t s t r t s t r t s t t t t tt

tt tt

t

2 3 2 3

3 3

2 3

3

3 3ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ10 10 3 2 2 5 10 6 22

3 ˆˆ ˆ15 20 3 3 42

t i t j t t k t i t j t t kt t

t i t j t t kt

g. 3

21 1 16 100 1ˆˆ ˆ( ) 2 5 4 254 42

t tr t ti j k t

t tt

9

Integración de funciones vectoriales

Al igual que en el caso de la derivación, para integrar una función vectorial solo es necesario integrar cada una de sus funciones componentes.

Definición: sea ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )r t f t i g t j h t k

una funcion vectorial con , y f g h

continuas en el intervalo cerrado [a,b], la integral indefinida de ( )r t

es

ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )r t dt f t dt i g t dt j h t dt k

mientras que la integral definida en el intervalo cerrado [a,b] de ( )r t

es

ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

b b b b

a a a a

r t dt f t dt i g t dt j h t dt k

Cuando integramos ( )r t

en una integral indefinida obtenemos una constante de

integración C

, que es un vector constante y nos sirve para diferenciar una

familia de funciones vectoriales ( )R t C

( las primitivas de ( )r t

) tal que

( ) ( )R t r t

ó ( ) ( )r t dt R t C

.

1 2 3

1 2 3

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

r t dt f t dt i g t dt j h t dt k F t C i G t C j H t C k

F t i G t j H t k C i C j C k R t C

Ejemplo: integrar la función vectorial 1 ˆˆ ˆ( ) 2 5

2r t ti j k

t

Solución: 1

21 ˆˆ ˆ( ) (2 ) 52

r t dt t dt i t dt j dt k

1

2 221 2 3

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) 5 5r t dt t C i t C j t C k t i t j tk C

Ejemplo: integrar la función vectorial 2 3 ˆˆ ˆ( ) 3 4r t t i tj tk

para 1 2t

Solución: 2 2 2 2 1

2 3

1 1 1 1

ˆˆ ˆ( ) 3 4r t dt t dt i tdt j t dt k

32 22 2

3 2 3 4

1 1 11

3 2 2 13 ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) 2 9 64 4

r t dt t i t j t k i j k

Si conocemos la condición inicial de la función vectorial ( )r t

podemos aislar una

de las primitivas de la familia de funciones que constituyen la integral definida de

( ) ( )R t r t

tal que ( ) ( )r t R t dt

10

Ejemplo: hallar la primitiva de 22 ˆˆ ˆ( ) 6 1 3R t i t j kt

sabiendo que ( ) ( )R t r t

y que ˆˆ ˆ(0) 5 3r i j k

Solución: 1 3

2 324 ˆˆ ˆ( ) ( ) 2 6 1 3 2 3

3

tr t R t dt t dt t dt dt i t t j tk C

Si cuando 0t , ˆˆ ˆ(0) 0 0 0 5 3r i j k C i j k

entonces ˆˆ ˆ5 3C i j k

, por lo

tanto 3 3

3 34 4ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) 2 3 5 2 3 3 13 3

t tr t i t t j tk C i t t j t k

es la

primitiva de ( )r t

que cumple con la condición inicial.

DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN

Consideremos que la función vectorial ( )r t

indica la posición de un cuerpo que

se mueve a lo largo de una curva en el plano o el espacio en un tiempo t. Esta

posición la relacionamos con un punto ,x y en el plano ó , ,x y z en el espacio

donde las coordenadas x, y, z dependen, a su vez, del tiempo t, tal que ( )x x t ,

( )y y t y ( )z z t de manera que la posición del cuerpo esta dada por la

función ˆ ˆ( ) ( ) ( )r t x t i y t j

en el plano

ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )r t x t i y t j z t k

en el espacio

Como sabemos, la velocidad promedio es la razón de cambio de posición del cuerpo en un intervalo de tiempo. Sea r

el cambio de posición y t el intervalo

de manera que ( )r r t t r t

Velocidad promedio ( ) ( )

m

r t t r tv

t

Conforme hacemos que el intervalo de t

sea más corto 0t , la velocidad

promedio se irá acercando al valor que tiene la velocidad en el instante t (velocidad instantanea).

Vector velocidad: 0

( ) ( )( ) lim

t

r t t r tv t

t

,

si existe el límite.

De la sección anterior vimos que la derivada de ( )r t

es 0

( ) ( )( ) lim

t

r t t r tr t

t

,

por lo tanto la velocidad es igual a la derivada de la función posición

ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )v t r t x t i y t j

en el plano

ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( )v t r t x t i y t j z t k

en el espacio

y

x

r(t)P

r(t) Q

r(t+t)

r

Vector velocidad

11

En la figura podemos notar que el vector velocidad es tangente a la curva ( )r t

en

el punto P. La magnitud de v

representa la rapidez con la que se mueve el

objeto en el tiempo en el que está en la posición P. La velocidad es un vector mientras que la rapidez es un escalar. De manera análoga que como lo hicimos con la velocidad, la aceleración es la razón de cambio de las velocidades con respecto del tiempo transcurrido. Sea

v

el cambio de velocidad en el intervalo t tal que ( )v v t t v t

, la

aceleración en el punto P está dada por 0

( ) ( )( ) ( )lim

t

v t t v ta t v t

t

.

Definición de velocidad, aceleración y rapidez

Sean x, y y z funciónes derivables de t y ˆ ˆ( ) ( ) ( )r t x t i y t j

la función posición en

el plano ó ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )r t x t i y t j z t k

en el espacio, definimos las funciones

velocidad ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) (plano)

ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (espacio)

v t r t x t i y t j

v t r t x t i y t j z t k

aceleración ˆ ˆ( ) ( ) ´ ( ) ´ ( ) ´ ( ) (plano)

ˆˆ ˆ( ) ( ) ´ ( ) ´ ( ) ´ ( ) ´ ( ) (espacio)

a t v t r t x t i y t j

a t v t r t x t i y t j z t k

rapidez

2 2

2 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) (plano)

( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) (espacio)

v t r t x t y t

v t r t x t y t z t

caída libre de un “puerco”

Ejemplo: Una partícula se mueve siguiendo una trayectoria marcada por la

función 3

2 ˆˆ ˆ( ) 2 3 2 1 53

tr t t i t j t k

.

Hallar velocidad, aceleración y rapidez para 1,0,1,3t .

Solución:

Velocidad: 2 ˆˆ ˆ( ) ( ) 3 2 10v t r t i t j tk

Aceleración: ˆˆ( ) ( ) ´ ( ) 2 10a t v t r t tj k

Rapidez: 22 22 4 2( ) 3 2 10 104 13v t t t t t

t ( )v t

( )a t

( )v t

-1 ˆˆ ˆ3 3 10i j k ˆˆ2 10j k 118 10.86

0 ˆ ˆ3 2i j ˆ10k 13 3.6

1 ˆˆ ˆ3 3 10i j k ˆˆ2 10j k 118 10.86

3 ˆˆ ˆ3 11 30i j k ˆˆ6 10j k 1030 32.09

-10

-5

0

5

0

10

20

-5

0

5

-10

-5

0

5

0

10

20

12

Ejemplo: Una partícula se mueve siguiendo una trayectoria marcada por la

función ˆ ˆ( ) 3cos2 3sen 2r t t i t j

para 0 t .

Hallar velocidad, aceleración y rapidez para

30, , , , , ,

6 4 3 2 4t

.

Solución:

Velocidad: ˆ ˆ( ) ( ) 6sen 2 6cos2v t r t t i t j

Aceleración: ˆ ˆ( ) ( ) 12cos2 12sen 2a t v t t i t j

Rapidez: 2 2 2( ) 6 2 cos 2 6v t sen t t

Trayectoria

t ( )v t

( )a t

( )v t

0 ˆ6 j ˆ12i 6

/ 6 ˆ ˆ3 3 3i j ˆ ˆ6 6 3i j 6

/ 4 ˆ6i ˆ12 j 6

/ 3 ˆ ˆ3 3 3i j ˆ ˆ6 6 3i j 6

/ 2 ˆ6 j ˆ12i 6

3 / 4 ˆ6i ˆ12 j 6

ˆ6 j ˆ12i 6

Vectores posición y velocidad .

Ejemplo: Dibuje la trayectoria de una partícula se mueve a lo largo de una curva

plana con función 2ˆ ˆ( ) 2 3 3 4r t t i t t j

y trace los vectores velocidad y

aceleración para para 1, 0.5, 2, 3 y 4t .

Solución: derivamos para obtener las funciones velocidad y aceleración

ˆ ˆ( ) ( ) 2 4 2v t r t i t j

y ˆ( ) ( ) ´ ( ) 2a t v t r t j

, evaluamos:

t ( )r t

( )v t

( )a t

Vectores posición , velocidad y acleración

-1 ˆ ˆ5 2i j ˆ ˆ2 6i j ˆ2 j

0.5 ˆ ˆ2 4.75i j ˆ ˆ2 3i j ˆ2 j

2 ˆ ˆ7i j ˆ2i ˆ2 j

3 ˆ ˆ3 6i j ˆ ˆ2 2i j ˆ2 j

4 ˆ ˆ5 3i j ˆ ˆ2 4i j ˆ2 j

Notese que la aceleración es constante y hacia abajo, de manera que, conforme la partícula se mueve hacia el vértice de la parábola, la velocidad va decreciendo en magnitud y crece de nuevo

conforme se aleja del vértice.

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

1

1

r(0)

r(/6)

r()

r(/3)

r(/2)

r(3/2)

v(0)

v(/6)

v(/4)

v(/3)

r(/4)

v(3/2)

v(/2)

1

1

-2 3 5

r(0.5)

r(3)

r(4)

-5

r(-1)

4

v(-1)

8

v(0.5)v(2)

r(2)

v(3)

-1

v(4)

Trayectoria r(t)

1

-4

5

a(-1)

a

a

a

a

x

y

13

En el ejemplo anterior, podemos deducir la fórmula de la parábola que describe

el movimiento usando las ecuaciones paramétricas 2( ) 2 3, ( ) 3 4x t t y t t t

despejando t de la primera y sustituyendo en la segunda:

3

2

xt

23 3

3 42 2

x xy

ecuación:

24 2 27y x x

Movimiento de proyectiles – Tiro parabólico

Se denomina movimiento parabólico al realizado

por un objeto cuya trayectoria describe una parábola. Se corresponde con la trayectoria ideal de un proyectil que se mueve en un medio que no ofrece resistencia al avance y que está sujeto a un campo gravitatorio uniforme. También es posible demostrar que puede ser analizado como la composición de dos movimientos rectilíneos, un movimiento rectilíneo uniforme horizontal y movimiento rectilíneo uniformemente acelerado vertical.

Supongamos ahora que se lanza un proyectil desde una posición 0 0,x y

en un ángulo de elevación y con una velocidad inicial con magnitud 0v .

Consideremos la trayectoria del proyectil en un plano vertical xy donde el suelo está a la altura del eje x.

Despreciando fricción, velocidad del viento, etc. Consideremos la acción de la gravedad como la única fuerza, despues del impulso inicial, que actúa sobre el proyectil. La fuerza de la gravedad sobre el

proyectil es F mg j

que, de acuerdo a la 2ª. Ley de Newton que estipula que

F ma

, tenemos entonces que la aceleración del proyectil es igual a ˆ a g j

( g = 32.2 pie/s2 = 9.81 m/s2).

Sea ˆ( ) a t g j

la función vectorial de la aceleración del proyectil , la

función que describe su velocidad la encontramos integrando

1ˆ ˆ( ) ( ) v t a t dt g dt j gt j C

donde 1C

es un vector que representa una velocidad constante. De las

condiciones iniciales tenemos que 0v

es la velocidad cuando 0t , o sea que

0 1 1ˆ(0) (0)v v g j C C

,

1

1

v0

v

v

v

a

a

a

y0

altura inicial

v0 - ve lo c i d a d i n i c i a l

14

La velocidad del proyectil es 0

ˆ( ) v t gt j v

.

Siendo y 0v la dirección y magnitud de

0v

, podemos describirla por sus

componentes 0 0 0

ˆ ˆcos sen v v i v j

e incluirla en la función de la velocidad

0 0ˆ ˆ( ) cos sen v t v i v gt j

Note que la componente horizontal 0 cosv es constante ( no depende de t) mientras

que la componente vertical es lineal y decreciente con respecto a t ( va desacelerando ).

Para describir la trayectoria del proyectil necesitamos conocer su posición

( )r t

la cual obtenemos integrando la función velocidad

0 0

2

0 0 2

ˆ ˆ( ) ( ) cos sen

1ˆ ˆcos sen 2

r t v t dt v dt i v gt dt j

v t i v t gt j C

con 2C

como un vector de posición constante. Si la posición inicial del

proyectil es 0 0 0ˆ ˆr x i y j

, cuando 0t entonces

2

0 0 0 2 2

1ˆ ˆ(0) (0)cos (0) sen (0) 2

r r v i v g j C C

La función posición del proyectil en cualquier tiempo t es

2

0 0 0 0

1ˆ ˆ( ) cos sen 2

r t x v t i y v t gt j

La componente horizontal es lineal en t mientras que la componente vertical es cuadrática, lo cual explica la trayectoria parabólica.

Ejemplo: Un atleta lanza una jabalina que inicia su recorrido desde una

altura de 6 pies, con una velocidad inicial de 80 pies/s en un ángulo de 40. ¿Qué altura alcanzará la jabalina?.

Si la marca mínima para calificar a la siguiente ronda es de 200 pies. ¿Alcanzara el atleta la marca con este lanzamiento? Solución: Tomamos la punta de la jabalina como la partícula que viaja siguiendo la trayectoria ( )r t

que describe

la parábola. La velocidad con la que viaja tiene dos componentes, una horizontal

0( ) cosxv t v , constante y otra vertical 0( ) senyv t v gt que nos indica que la

40o

6´

15

rapidez con la que sube va disminuyendo hasta llegar a cero (cuando alcanza la máxima altura). Podemos calcular el instante en que llega a su punto máximo

resolviendo la ecuación 0( ) sen 0yv t v gt para t.

0

2

80 pies/s sen40sen 1.607 seg.

32 pies/s

vt

g

Sustituyendo en la componente vertical de la trayectoria: 2

0 0

1( ) sen

2yr t y v t gt

obtenemos la altura en ese instante: Altura máxima:

221

(1.607) 6 pies 80 pie/s (1.607 s) sen 40 32 pie/s 1.607 s 47.317 pies2

yr

Situando el origen en el suelo justo debajo de la punta de la jabalina al instante en el que inicia el recorrido. Para saber su posición con respecto al origen al momento en que alcanza la altura máxima, sustituimos 1.607 seg.t en

2

0 0 0 0

1ˆ ˆ( ) cos sen 2

r t x v t i y v t gt j

, donde 0 0x y 0 6y

232ˆ ˆ ˆ ˆ(1.607) 0 80 1.607 cos 40 6 80 1.607 sen 40 1.607 98.5 47.317

2r i j i j

Cuando alcanza su máxima altura la jabalina ha recorrido horizontalmente 98.5 pies. Alcance máximo Para calcular el punto en el que la punta de la jabalina toca el suelo usamos la componente vertical de la trayectoria. Igualándola a cero y resolviendo para t:

2

0 0

1 sen 0

2y v t gt - La altura en ese tiempo es cero

26 80 sen 16 0t t - resolvemos y tomamos el valor positivo de t 1.607 st

El alcance máximo es 0 0 cos 0 80 1.607 cos40 203.87 piesxr x v t .

Por lo tanto el lanzamiento supera la marca requerida.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210

Grafica de la trayectoria de la jabalina en Excel

(Categoría varonil - Record mundial 98.48 m (323.3 ft), Record Olímpico 90.17 m (296 ft)).

16

Ejemplo: Un cañón dispara un proyectil con una velocidad inicial de 150 m/s y lo dirige a un blanco situado sobre una loma de 30 m de alto y a 450 m de distancia horizontal (como se muestra en la figura). Calcule el ángulo de disparo

para que el proyectil impacte en el blanco.

Solución: Si queremos dar en el blanco, el proyectil

deberá estar en la posición ˆ ˆ( ) 450 30r t i j

en un cierto instante, o sea que

2

0 0 0 0

1ˆ ˆ ˆ ˆ( ) cos sen 450 302

r t x v t i y v t gt j i j

2

0 0 0 0

11 cos 450 2 sen 30

2x v t y v t gt , despejamos t en la

ecuación 1, la sustituimos en la ecuación 2 y resolvemos para :

2

2

450 3 1: 0 150 cos 450

150cos cos

3 1 3 2 : 0 150 sen 9.8 30 450 tan 44.1sec 30

cos 2 cos

de t t

en

Utilizamos la identidad trigonométrica 2 2sec tan 1 para obtener la ecuación

de segundo grado: 2 2450tan 44.1 tan 1 30 44.1tan 450tan 74.1 0

De donde 1

2

0.1674 9.5tan

10.036 84.3

existen 2 ángulos que resuelven el problema.

El tiempo que tarda el proyectil para 1 9.5 es 3

3.04175 cos9.5

t s

2ˆ ˆ ˆ ˆ(3.04175) 150 3.04175 cos9.5 150 3.04175 sen 9.5 4.9 3.04175 450 30r i j i j

30 m

450 m

angulo = 9.5

0

10

20

30

40

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

17

El tiempo que tarda el proyectil para 2 84.3 es

330.259

cos84.3t s

2

ˆ(30.259) 150 30.259 cos84.3

ˆ ˆ ˆ150 30.259 sen 84.3 4.9 30.259 450 30

r i

j i j

Vectores tangentes y vectores normales

Cuando ( )r t

representa un movimiento de una partícula en el tiempo, el

vector velocidad ( )v t

apunta en la dirección del movimiento y es tangente a la

trayectoria, como ya lo vimos e la sección anterior.

Esta característica la podemos trasladar a cualquier curva suave ( )r t

donde no necesariamente t represente el tiempo. La derivada ( )r t

es el vector

tangente a la curva.

Ejemplo: Determine la ecuación de las rectas tangente y normal a la curva C

representada por la función vectorial 2ˆ ˆ( ) 2 1 1r t t i t j

en el punto que

corresponde a 2t .

Solución: La curva dada por ( )r t

es una parábola, que pasa por (3,5)P cuando

2t . La derivada de ( )r t

es ˆ ˆ( ) 2 2r t i tj

, entonces ˆ ˆ ˆ ˆ(2) 2 2 2 2 4r i j i j

es un vector tangente a la curva C en el punto P.

La recta tangente a C en P es paralela al

vector ˆ ˆ(2) 2 4r i j

o sea que

3 2

5 2 3 2 1 05 4

x sy x x y

y s

la ecuación de la recta tangente es

2 1 0x y . ( la pendiente es 2Tm )

Para la recta normal, la pendiente es 1 1

2N

T

mm

, la ecuación entonces es

1

5 3 2 5 1 3 2 13 02

y x y x x y .

angulo = 84.3

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

0 100 200 300 400 500

18

Vector tangente unitario.

Definición: Sea C una curva suave representada por la función vectorial ( )r t

en

un intervalo abierto I. El vector tangente unitario ( )T t

en t, se define como

( )( ) , ( ) 0

( )

r tT t r t

r t

Ejemplo: Hallar el vector tangente unitario a la curva C dada por

2

2 1 ˆˆ ˆ( ) 2 12

tr t t i t j k

en el punto que corresponde a 1t .

Solución: La derivada de ( )r t

es ˆˆ ˆ( ) 2 2r t i tj tk

22 2 2( ) 2 2 4 5r t t t t

el vector tangente unitario es 2

( ) 1 ˆˆ ˆ( ) 2 2( ) 4 5

r tT t i tj tk

r t t

para 1t

El vector tangente unitario es

2

(1) 1 ˆˆ ˆ(1) 2 2 1 1(1) 4 5 1

2 2 1 ˆˆ ˆ3 3 3

rT i j k

r

i j k

El punto de la curva cuando 1t es (1,1,1)P

Ejemplo: Hallar los vectores unitarios tangentes a la curva dada por la función ˆˆ ˆ( ) cos sen r t t i t j t k

en los puntos correspondientes a 0, / 2 y t rad.

Encuentre tambien un conjunto de ecuaciones paramétricas para cada recta tangente a la curva en esos puntos.

Solución: La derivada de ( )r t

es ˆˆ ˆ( ) sen cosr t ti tj k

2 2 2 2( ) sen cos 1 sen cos 1 2r t t t t t

19

el vector tangente unitario es ( ) 1 ˆˆ ˆ( ) sen cos( ) 2

r tT t ti tj k

r t

vector tangente unitario

en 0t

(0) 1 2 2 2ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ(0) sen 0 cos0 0 1(0) 2 2 22

rT i j k i j k j k

r

en / 2t

( / 2) 1 2 2 2ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( / 2) cos( / 2) 02 ( / 2) 2 2 22

rT sen i j k i j k i k

r

en t

( ) 1 2 2 2ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) cos( ) 0 1( ) 2 2 22

rT sen i j k i j k j k

r

Rectas tangentes

en 0

(cos0,sen 0,0) (1,0,0)

2 2(0) 0, , , 2 0, 2, 2

2 2

ecuaciones paramétricas:

1, 2 , 2

t

P P

T u T

x y t z t

en / 2

(cos / 2 ,sen / 2 , / 2) (0,1, / 2)

2 2( / 2) ,0, , 2 2,0, 2

2 2

ecuaciones paramétricas

2 , 1, / 2 2

t

P P

T u T

x t y z t

en

(cos ,sen , ) ( 1,0, )

2 2( ) 0, , , 2 0, 2, 2

2 2

ecuaciones paramétricas:

1, 2 , 2

t

P P

T u T

x y t z t

Rectas tangentes a

la hélice

20

Vector normal principal unitario.

En el plano, hay dos vectores ortogonales al

vector tangente ( )T t

, uno que apunta hacia

adentro de la curva y otro hacia afuera. En el espacio, existen infinidad de vectores

ortogonales a ( )T t

, uno de ellos es el vector normal principal que se obtiene

mediante la derivada del vector T

(ya sabemos que si ( ) ( )r t r t constante

entonces

( ) ( ) 0r t r t

y como ( ) ( ) 1T t T t

entonces ( ) ( ) 0 ( ) y ( ) son ortogonales.T t T t T t T t

)

Si normalizamos a ( )T t

obtendremos el vector normal principal unitario ( )N t

Definición: Sea C una curva suave representada por la función vectorial ( )r t

en

un intervalo abierto I con ( )T t

como vector tangente unitario. Si ( ) 0T t

, el

vector normal principal unitario en t se define como

( )( )

( )

T tN t

T t

, si ( ) 0T t .

Ejemplo: Hallar el vector tangente unitario y el vector normal principal a la curva

C dada por 2ˆ ˆ( ) 2 1r t ti t j

en el punto que corresponde a 1t .

Solución: La derivada de ( )r t

es ˆ ˆ( ) 2 2r t i tj

22 2 2( ) 2 2 4 4 2 1r t t t t

el vector tangente unitario es 2 2

ˆ ˆ( ) 1 ˆ ˆ( ) 2 2( ) 2 1 1

r t i tjT t i tj

r t t t

para 1t el vector tangente unitario es

2

ˆ ˆ1(1) 2 2ˆ ˆ(1)(1) 2 21 1

i jrT i j

r

La derivada de ( )T t

es

22 2

2

2 3 32 2

ˆ ˆ 2ˆ1 ˆ ˆ ˆ1 ˆ ˆ2 1

( )1

1 1

i tj tt j

t j ti t j ti jtT t

tt t

2 2

232

1 1( ) 1

11

T t tt

t

T(t)2 vectores ortogonales a T en

el plano

21

el vector normal principal es

2

3 22

ˆ ˆ( ) 1 ˆ ˆ( )( ) 11

T t t ti jN t ti j

T t tt

para 1t el vector normal principal es

2

ˆ ˆ(1) (1) 2 2ˆ ˆ(1)2 2(1) 1 1

T i jN i j

T

Ejemplo: Hallar los vectores tangente unitario y normal principal a la curva C

dada por ˆ ˆ( ) 2cos 2sen r t ti tj

en los puntos donde 0, , , , ,6 4 3 2

t

.

Solución: ˆ ˆ( ) 2sen 2cosr t ti tj

2 2 2( ) 2 cos 2r t sen t t

el vector tangente unitario es ( ) 1 ˆ ˆ ˆ ˆ( ) 2sen 2cos sen cos( ) 2

r tT t ti tj ti tj

r t

ˆ ˆ( ) cos sen T t ti tj

2 2

( ) cos sen 1T t t t

el vector normal principal es ˆ ˆ( ) cos sen ˆ ˆ( ) cos sen 1( )

T t ti tjN t ti tj

T t

t

( )

ˆ ˆ2cos 2sen

r t

ti tj

( )

ˆ ˆsen cos

T t

ti tj

( )

ˆ ˆcos sen

N t

ti tj

r(t)-1 1

-1

N(t)

T(t)

x

y

1

t=0

t=/6

t=/4

t=/3

t=/2

t=

0 ˆ2i j i

/ 6 ˆ ˆ3 i j ˆ ˆ(1 / 2) 3 / 2i j ˆ ˆ( 3 / 2) 1/ 2i j

/ 4 ˆ ˆ2 2 i j ˆ ˆ( 2 / 2) 2 / 2i j ˆ ˆ( 2 / 2) 2 / 2i j

/ 3 ˆ ˆ3 i j ˆ ˆ( 3 / 2) 1/ 2i j ˆ ˆ(1 / 2) 3 / 2i j

/ 2 ˆ2 j i j todos los vectores normales apuntan hacia el centro del círculo

ˆ2i j i

01

1

-1

2-2

3C

T(t)N(t)

22

Ejemplo: Hallar los vectores tangente unitario y normal principal a la curva C

dada por ˆˆ ˆ( ) 2cos 2sen 2r t ti tj tk

en los puntos donde 0, , ,4 2

t

.

Solución: ˆˆ ˆ´( ) 2sen 2cos 2r t ti tj k

2 2 2´( ) 2 cos 1 2 2r t sen t t

vector tangente unitario: ´( ) 1 1ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) 2sen 2cos 2 sen cos´( ) 2 2 2

r tT t ti tj k ti tj k

r t

1 ˆ ˆ´( ) cos sen 2

T t ti tj

2 21 1 2

´( ) cos sen 22 2

T t t t

vector normal principal: 1 ˆ ˆcos sen

´( ) 2 ˆ ˆ( ) cos sen 1´( )

2

ti tjT t

N t ti tjT t

t ˆˆ ˆ( ) 2cos 2sen 2r t ti tj tk

2 ˆˆ ˆ( ) sen cos2

T t ti tj k

ˆ ˆ( ) cos sen N t ti tj

0 ˆ2i 2 2 ˆˆ

2 2j k

i

/ 4 ˆˆ ˆ2 2 2

i j k

1 1 2 ˆˆ ˆ2 2 2

i j k 2 2ˆ ˆ2 2

i j

/ 2 ˆˆ2 j k 2 2 ˆˆ

2 2i k

j

ˆˆ2 2i k 2 2 ˆˆ

2 2j k

i

z

y

x

2

2

2r(t)

T(t)

N(t)

t=0

t=/4

t/2

t

Los vectores normales principales de la helice

apuntan al eje z

23

Vector aceleración – componentes tangencial y normal

Como hemos observado en algunos de los ejemplos anteriores, el vector velocidad y el vector aceleración no siempre son ortogonales. En el caso del

movimiento circular dado por ˆ ˆ( ) 2cos 2sen r t ti tj

, velocidad y la aceleración

son ortogonales y la rapidez es constante 2 2 2( ) 2 cos 2v t sen t t

, esto se da

debido a que la, el vector aceleración no contribuye en nada en la dirección de la velocidad. Recordemos que si ( ) ( )v t v t constante

entonces ( ) ( ) 0v t v t

.

En el problema del movimiento parabólico 2ˆ ˆ( ) 2 3 3 4r t t i t t j

vemos que la aceleración siempre es vertical ( y constante ) ˆ( ) 2a t j

, mientras

que la velocidad va variando su dirección el ángulo entre ambas va cambiando.

La rapidez del movimiento es variable 22 2 2( ) 2 2 4 4 2 1v t t t t

el

vector aceleración actúa en dirección del movimiento ( positivamente, aumen-tando la velocidad o en forma negativa disminuyéndola).

r(t)-1 1

-1

N(t)

T(t)

x

y

1

t=0

t=/6

t=/4

t=/3

t=/2

t=

1

1

-2 3 5

r(0.5)

r(3)

r(4)

-5

r(-1)

4

v(-1)

8

v(0.5)v(2)

r(2)

v(3)

-1

v(4)

Trayectoria r(t)

1

-4

5

a(-1)

a

a

a

a

x

y

ˆ ˆ( ) 2cos 2sen r t ti tj 2ˆ ˆ( ) 2 3 3 4r t t i t t j

Si velocidad y aceleración no son perpendiculares entonces podemos expresar al vector aceleración como la suma de 2 vectores componentes ortogonales, uno en dirección del movimiento, paralelo a la velocidad, y por lo

tanto al vector tangente unitario ( )T t

. La otra componente sería paralela al

vector normal principal ( )N t

.

Teorema: Si ( )r t

es el vector posición de una curva suave C y existe el

vector ( )N t

, entonces el vector aceleración ( ) "( )a t r t

se encuentra en el plano

determinado por ( )T t

y ( )N t

.

Las proyecciones de ( )a t

sobre los

vectores ( )T t

y ( )N t

son las componentes

tangencial y normal de la eceleración.

Proy TTa a T

y Proy TN

a a N

r(t)T(t)

T(t)N(t)

N(t)

a(t)

a(t)

aT

aN

24

Componentes tangencial y normal de la aceleración

Las proyecciones de la aceleración en dirección de los vectores ( )T t

y

( )N t

son los vectores componentes de la aceleración:

Proy TTa a T T a T

y Proy NN

a a N N a N

.

El vector tangente unitario ´

´

r vT

r v

, de donde v v T

, la aceleración

es la derivada de la velocidad, o sea:

´

´

´ ´

´ ´ ´

´

t t

TNt t T

T N

a v D v T D v T v T

TD v T v T D v T v T N

T

a a T a N

componente tangencial: T t

a va a T D v

v

componente normal: 2 2´N T

a va a N v T a a

v

Ejemplo: Un objeto se mueve a lo largo de la trayectoria determinada por la

función vectorial 3ˆ ˆ( ) ( )r t ti t t j

. Calcule su posición, velocidad, rapidez,

aceleración, ( )T t

, ( )N t

, Ta y Na al instante 1t .

Solución: Posición: 3ˆ ˆ ˆ(1) 1 (1 1)r i j i

Velocidad: 2ˆ ˆ( ) ( ) (3 1)v t r t i t j

; ˆ ˆ ˆ ˆ(1) (3 1) 2v i j i j

Rapidez: 2 2 4 2( ) 1 (3 1) 9 6 2v t t t t

; 2(1) 1 (2) 5v

Vector tangente unitario: 2

4 2

ˆ ˆ( ) (3 1)( )

( ) 9 6 2

v t i t jT t

v t t t

;

1 5ˆ ˆ ˆ ˆ(1) 2 255

T i j i j

Vector normal principal:2

*

4 2

ˆ ˆ( ) (3 1)( )

( ) 9 6 2

T t t i jN t

T t t t

; 1 5ˆ ˆ ˆ ˆ(1) 2 2

55N i j i j

* según el signo de t: - sí t es positivo y + si t es negativo

25

Aceleración: ˆ( ) ( ) 6a t v t tj

; ˆ(1) 6a j

Componente tangencial:

2 2

2 22 2

ˆ ˆ6 3 1 6 3 1

3 1 1 3 1 1T

tj i t j t ta a T

t t

Componente normal:

2

2 22 2

ˆ ˆ6 3 1 6

3 1 1 3 1 1N

tj t i j ta a N

t t

Aceleracion:

2 2 2

2 2 2 22 2 2 2

2

2 2

2 22 2

ˆ ˆ ˆ ˆ6 3 1 (3 1) 6 (3 1)( ) ( ) ( )

3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1

6 3 1 6ˆ ˆ ˆ ˆ(3 1) (3 1)3 1 1 3 1 1

T N

t t i t j t t i ja t a T t a N t

t t t t

t t ti t j t i j

t t

en 1t 5 12 5ˆ ˆ6 2

5 5Ta a T j i j

;

5 6 5ˆ ˆ6 25 5

Na a N j i j

ˆ ˆ ˆ ˆ12 2 6 2 12 6ˆ ˆ ˆ ˆ(1) (1) (1) 2 2

5 55 5 5 5T N

i j i ja a T a N i j i j

Ejemplo: Un objeto se mueve a lo largo de la trayectoria determinada por la

función vectorial ˆˆ ˆ( ) cos sen r t t i t j t k

. Calcule su posición, velocidad,

rapidez, aceleración, Ta y Na al instante 2

t

.

Solución:

Posición: ˆ ˆˆ ˆ ˆcos sen 2 2 2 2 2

r i j k j k

Velocidad: ˆˆ ˆ( ) ´( ) sen cosv t r t ti tj k

; ˆˆ2

v i k

x

y

1-1

a(t)

v(t)

aN

aT

N(t) T(t)

26

Rapidez: 2 2( ) sen cos 1 2v t t t

( la rapidez es constante )

Aceleración: ˆ ˆ( ) "( ) cos sen a t r t t i t j

; ˆ ˆ ˆcos sen 2 2 2

a i j j

Componentes de la aceleración:

ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sen sen cos cos sen sen cos0

2 2T

t i t j ti tj ka v t t t ta

v

( cuando la rapidez es constante los vectores ( )v t

y ( )a t

son ortogonales, 0v a

, la

aceleración no contribuye en nada con el incremento/decremento de la velocidad, 0Ta )

2 2

ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆcos sen sen cos sen cos

2 2

sen cos 1 21

2 2

N

t i t j ti tj k ti tj ka va

v

t t

LONGITUD DE ARCO Y CURVATURA

Supongamos que la función ˆˆ ˆ( ) ( )r t x t i y t j z t k

representa la trayectoria

que sigue un cuerpo en el espacio. En un instante determinado t=a sabremos la posición del móvil mediante el vector ( )r a

ó en t=b su nueva posición ( )r b

.

¿Qué pasa si lo que deseamos conocer es la distancia que recorrió desde el punto ( )r a

hasta ( )r b

siguiendo la trayectoria ( )r t

?

Si el recorrido se efectuara en línea recta no habría mucho problema, solo tenemos que calcular la distancia entre los

dos puntos: 2 2 2

D x b x a y b y a z b z a

Pero sobre una trayectoria curva no es así de directo, más, si no sabemos que tantos recovecos tuvo que realizar el cuerpo para llegar de un

punto a otro.

Si partimos la curva en varios segmentos y calculamos la lon-gitud de cada uno como si fueran rectos, tendríamos una aproximación a la longitud de la curva - entre más segmentos mejor la aproximación.

y

z

x

r(a)

r(b)

r´(a)

r(t)

D

y

z

x

r(a)

r(b)r´(a)

r(t)

y

z

x

r(a)

r(b)r´(a)

r(t)

Podemos aproximar la curva mendiante pequeños segmentos de recta

27

Longitud de arco

Tenemos la curva con función ˆˆ ˆ( ) ( )r t x t i y t j z t k

, y queremos saber la

longitud de arco de la curva desde el punto correspondiente a t=a hasta el punto donde t=b.

Tomemos un pedacito de la curva desde ( )r t

a

( )r t t

cuya longitud llamaremos s . Si t es

muy pequeño entonces asumiremos que s se

comportará más como un segmento de recta.

En una recta, la distancia recorrida es igual a la rapidez multiplicada por el intervalo de tiempo.

2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )s r t t x t y t z t t

Si sumamos todos estos pequeños intervalos tendremos una aproximación a la longitud de la curva:

2 2 2

( ) ( ) ( )S s x t y t z t t

incrementando el número de intervalos infinitamente hace que 0t , toma-

mos el límite para obtener la fórmula de longitud de arco de la curva.

2 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )b b b

a a aS x t y t z t dt r t dt v t dt

Ejemplo: Calcule la longitud de arco de la curva representada por la función

( ) 2cos ,2sen r t t t

desde 0t hasta t .

Solución:

( ) ( ) 2sen ,2cosv t r t t t

,

2 2 2 2( ) 2sen 2cos 4 sen cos 2v t t t t t

longitud de arco 00

( ) 2 2 2b

aS v t dt dt t

y

z

x

r(t)

r´(t)

r(t+

Podemos aproximar la curva mendiante pequeños segmentos de recta

s

Dt)

r(t)

x

y

-1 1

1

-1

arco

t=0t=

28

Ejemplo 2: Calcule la longitud de arco de la curva representada por la función

2ˆ ˆ( ) 2 1r t ti t j

desde 1t hasta 2t .

Solución:

ˆ( ) ( ) 4v t r t i tj

,

2 2( ) 1 4 1 16v t t t

longitud de arco

22

2 2 2

11

1( ) 1 16 4 1 16 ln 1 16 4

8

1 17 165 ln 65 8 ln 17 4 10.7327

8 2 8

b

aS v t dt t dt t t t t

Ejemplo 3: Calcule la longitud de arco de la curva representada por la función

( ) cos ,sen ,r t t t t

desde 0t hasta 4t .

Solución:

( ) ( ) sen ,cos ,1v t r t t t

,

2 2 2( ) sen cos 1 1 1 2v t t t

longitud de arco

44

0 0( ) 2 2 4 2 17.77

b

aS v t dt dt t

Definición: Sea C una curva suave dada por ( )r t

en un intervalo cerrado ,a b .

Para a t b , la función longitud de arco viene dada por

2 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )t t

a as t r u du x u y u z u du

la función longitud de arco es no-negativa. Mide la distancia

sobre C desde el punto inicial , ,x a y a z a hasta el

punto , ,x t y t z t . La variable s se denomina

parámetro longitud de arco.

z

x

y

a

t

b

C

t =

t =

29

Curvatura

Curvatura es la medida de que tan rápido se comba o tuerce una curva. Por ejemplo, círculos pequeños se comban más rápido que círculos más grandes.

Definición: sea C una curva suave dada por ( )r t

.

La curvatura de C en t está definida como

3

´ ( ) "( )

´ ´

T t r t r tK

r t r t

Si usamos el parámetro longitud de arco s

para definir la función que describe la curva C, ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )r s x s i y s j z s k

(espacio), entonces la curvatura estaría definida como la

razón de cambio del vector tangente unitario con respecto a s. Tal que

La curvatura de C en s: ( )dT

K T sds

Ejemplo: Calcule la curvatura de un círculo de radio R.

Solución:

Tomemos un círculo con centro en el origen y radio R dado por la función ˆ ˆ( ) cos sen r t R ti R tj

, con ˆ ˆ( ) sen cosr t R ti R tj

.

2 2 2 2 2( ) sen cosr t R t R t R R

ˆ ˆcos sen ( ) ˆ ˆ( ) cos sen ( )

R ti tjr tT t ti tj

r t R

;

ˆ ˆ( ) sen cosT t ti tj

2 2( ) cos 1T t sen t t

la curvatura del círculo de radio R es

´ 1

´

T tK

Rr t

B

A

menor curvatura

mayor curvatura

z

x

y

a

t

b

C

t =

t =

R

R

Radio grandeCurvatura pequeña

Radio chicoCurvatura grande

K=1/R

30

Si en lugar de tomar el parámetro t lo hacemos con la longitud de arco s, donde

2 2

0 0 0( ) sen( ) cos( )

t t t

s t r u du R u R u du R du Rt

Tenemos que si s Rt entonces s

tR

, por lo tanto si parametrizamos la

ecuación del círculo en función de la longitud de arco s obtenemos la función:

ˆ ˆ( ) cos sens s

r s R i R jR R

donde ˆ ˆ( ) sen coss s

r s i jR R

y 2 2( ) sen cos 1s s

r sR R

( ) ˆ ˆ( ) sen cos( )

r s s sT s i j

r s R R

1 ˆ ˆ( ) cos sens s

T s i jR R R

curvatura: 2 2

2 21 1 1 1( ) cos sen cos sen

dT s s s sK T s

ds R R R R R R R R

Ejemplo 2: Calcule la curvatura de la curva C dada por 2 2( ) , 2 ,r t t t t en

1, 0, 0.5 y 2t t t t

Solución: Tenemos que

3

( ) "( )

´

r t r tK

r t

donde ( ) 1, 4 ,2r t t t

2 2 2( ) 1 16 4 1 20r t t t t

, "( ) 0, 4,2r t

( ) "( ) 0, 2, 4r t r t

, ( ) "( ) 4 16 2 5r t r t

sustituimos en

3 32

( ) "( ) 2 5

´ 1 20

r t r tK t

r t t

.

3 32

2 5 2 51 0.0465

211 20( 1)

K t

32

2 5 10 1

11 20(0)

K t

3 32

2 5 2 50.5 0.3043

61 20(0.5)

K t

3 32

2 5 2 52 0.0061

811 20(2)

K t