7 teoria de residuos
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1
Pure mathematicians do it in theory.
Teoría de ResiduosUNMSM FIEE
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2
Puntos singulares
Un punto singular z 0 de una función f ( z ) es un punto donde
f ( z ) no es analítica.
Singularidad aislada Singularidad no aislada
2)2(1)(−
= z z
z f
2,00 = z
)/sin(/1)( z z f π =
0
,,,1
0
41
31
21
0
=
±±±±=
z
z aisladas
no aislada
-
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Supongamos ue z ! z 0 es una singularidad aislada de f(z) " ue su serie de #aurent$%lida para 0 & ' z z 0' & R es
∑∑ ∞
=
∞
= −+−=
1 00
0)(
)()(k
k k
k
k k
z z b z z a z f
*arte principal
Parte principal (+ecordatorio)
ota -ser$a ue el desarrollo tiene como centro
l t i l ( %lid 0 & 'z z0' & R)
-
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Singularidades aisladas
a" dos tipos de singularidades aisladas polos de orden m "esenciales. n amos casos podemos desarrollar la función f(z) en serie
de #aurent con centro en la singularidad z 0 " la serie con$erger% para0 & ' z z 0' & +.
Si 0 es un polo de orden m:
Si 0 es un singularidad esencial:
m
m
z z
b
z z
b
z z
b z f
)()()(
0
2
0
2
0
1
−++
−+
−+=
+−
+−
+=2
0
2
0
1
)()(
z z
b
z z
b z f
#a serie de #aurent se para en la m5sima potencia negati$a
#a serie de #aurent es infinita en potencias negati$as
l centro 0 es un
t i l
-
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Clasificación de las singularidades aisladas
(i) Si la parte principal es cero, z ! z 0 se denomina
singularidad evitable.(ii) Si la parte principal contiene un n7mero finito de
t5rminos, entonces z ! z 0 se denomina polo. Si el7ltimo coeficiente es bm, m ≥ 1, entonces decimos uees un polo de orden m. Un polo de orden 1 se llama polo simple.
(iii) Si la parte principal contiene infinitos t5rminos, z ! z 0 se denomina singularidad esencial.
-
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9emplos:lasificar la singularidad de la función
z z f 1)( =
#a serie de #aurent con centro z 0! 0 essimplemente el t5rmino 1/ z , $%lida para0 & ' z '& ∞ . z 0! 0 es un polo simple.
1
1
)1(
1)(
3 −+
−=
z z z f
#a serie de #aurent con centro z 0!1 est% formada
simplemente por los dos t5rminos ,
$%lidos para 0 & ' z 1' & ∞. z 0!1 s un polo de orden 3.
3)1(
1
1
1
−+
− z z
:lasificar la singularidad de la función
-
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9emplos
:lasificar la singularidad de la función 4sin<
)( z
z z f =
z 0 ! 0 es un polo de orden 3.0&' z '& ∞
=;=6=3
11sin
-
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>
z ! 0 es una singularidad e$itale.−+−=
=6=3
1sin 42 z z
z
z
...=6=3
1sin 3
2 −+−= z z
z z
z z ! 0 es un polo simple.
...18
)1(
>
1
)1(4
1
)1(2
1
)3()1(
1)(
22 −
−−−
−−
−−=
−−−
= z
z z z z z f
z ! 1 es un polo de orden 2.
9emplos
-
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?
...111
)1(
1)(
432 +++=
−=
z z z z z z f
l punto z ! 0 es una singularidad aislada de f " la serie de#aurent contiene infinitos t5rminos. @iendo el desarrollo,Apodemos decir ue z ! 0 es una singularidad esencialB
...11
)( 2 −−−−−= z z z
z f
ACónde es $%lido el desarrollo anteriorB
s $%lido en para 1 & ' z ' & ∞.D necesitamos el desarrollo para 0 & ' z ' & 1
Conde $emos ue se trata de un polo simple.
-
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CerosCecimos ue z 0 es un cero de f(z) si f ( z 0) ! 0.Una función analítica tiene un cero de orden n en z ! z 0 si
,0)(,...,0)(,0)(,0)( 0)1(
000 ==′′=′= − z f z f z f z f n
0)( pero 0)(
≠ z f n
9emplo la función f ( z ) ! z sin z 2 tiene un cero de orden 3 en z ! 0.
−+−==
−+−=
...=6=3
1sin)(
...=6=3
sin
>432
108
22
z z z z z z f
z z z z
-
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-ser$a ue si las funciones f " g son analíticas en z ! z 0
" f tiene un cero de orden n en z ! z 0 " g ( z 0) ≠ 0,
entonces la función F ( z ) ! g ( z )/ f ( z ) tiene un polo deorden n en z ! z 0.
*or e9emplo
4)2)(6)(1(
62)( −+−
+= z z z
z z F
l denominador tiene ceros de orden 1 en z ! 1 " z ! E6, "
un cero de orden 4 en z = 2. *uesto ue el numerador no se
-
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-
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13
-
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R id
-
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Residuos
l residuo de una función f(z) en z = z 0 es el coeficiente delt5rmino 1/(z-z 0 ) en la eFpansión en serie de #aurent de f(z)el coeficiente b1.
+−+−+−+−+
+−+−+−+=
40
430
320
2
0
1
303
202010
)()()(
)()()()(
z z b
z z b
z z b
z z b
z z a z z a z z aa z f
10 )),((+es)(+es0
b z z f z f z z
≡==
l residuo de f(z) en z = z 0 se denota como
++++−−
=+−
+−
>42
111
23
32
2
2
2
z z
z z
z z
z
11 −=⇒ b
9emplo
P é i t t l id ?
-
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18
¿Porqué es importante el residuo?
*ara f ( z ) analítica dentro de un anillo, tenemos
+−
+−
+−
+−
++−+−+−+=
40
43
0
32
0
2
0
1
3
03
2
02010
)()()(
)()()()(
z z
b
z z
b
z z
b
z z
b z z a z z a z z aa z f
∫ ∫ −+ −=−=C
n
n
C
nn dz z z z f
ibdz
z z z f
ia 101
0
))((2
1,)()(
21
π π
Gsí
12)( ibdz z f C
π =∫ C 0 z os permite calcular integrales ...
n = 1
Ej l
-
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1;
Ejemplo
iibdz z
C
π π 221
11 −==−∫
Hntegrar la función en sentido positi$o para ' z '!2. z −11
2= z
>−−−−
-
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1>
iibdz z
C
π π 221
11 −==−∫
Iomemos como centro z 0!12= z
∞
-
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1?
iibdz z z
z
C
π π 2223
3212
−==+−
+−∫
Ejemplo* Hntegrar la función en sentido positi$o
para z=,/
*or la Jórmula Hntegral de :auc
-
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C is positi$el" oriented circle z . = 1
Hntegrand is anal"tic e$er"K
-
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G#I+GIH@ MI-C
+esidue of f at t
-
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*artial Jraction Fpansion +e$ieK
& & z
z 0
z z
z z
0 z
&z
0 z z
z
z
z
&
z
0
z z
=+−
==−
−=
=−+=−=−=
−+=
−
)2(
2
1
)2(
)2(,2O
-
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C is positi$el" oriented circle z . = 1Hntegrand is anal"tic e$er"K
-
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5. Hallar el residuo de una función compuesta en el
punto donde se verifican las siguientes condiciones:
( )[ ] z f ϕ a z =
P.esresiduosu")( puntoelenorden primerde polountienef función#a
0)("enanalíticaes)(
a
aa z z
ϕ ξ
ϕ ϕ
=
≠′=
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) (2) ...=2
...=2=1
Ia"lor dedesarrolloenanalítica
2
+−
′′+′−=−
+−′′+−′+=
⇒
a z a
aa z a z
a z aa z aa z
a z
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ
( ) ( )
( )
( )[ ] &a
a f
=−
=
ϕ φ
ϕ ξ
ξ φ ξ
Fpresamos la segunda condición
( )[ ] ( )[ ]( ) ( )(1)
a z z z f ϕ ϕ
ϕ φ ϕ −=
-
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26
( )[ ]
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )
( )
(1)en(3)"(2)do+eemplaan
(3) ...=1
Ia"lor dedesarrollo(1))(porenanalítica
+−′′
+=
⇒
a z aa
a z
a z
&
ϕ ϕ φ ϕ φ ϕ φ
ϕ φ
( )[ ] ( )[ ]( ) ( )
( )[ ] ( )( )
( ) ( ) ( )
( )
( )[ ]( )a
&a z z f
a z
a
aa z
a z aa &
a z
z z f
ϕ ϕ
ϕ
ϕ
ϕ ϕ φ
ϕ ϕ
ϕ φ ϕ
′==⇒
⇒
+−′′
+′−
+−′′+=
−=
Q)(+es
...=2
...
- l id i l l i l
-
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28
-ser$emos ue el residuo nos permite calcular integralesde funciones analíticas f ( z ) sore una cur$a cerrada C cuando f ( z ) tiene un punto singular dentro de C .
12)( ibdz z f C
π =∫ C 0 z
donde b1 es el residuo de la serie de #aurent ue representaa f ( z ) alrededor de z 0 en un anillo ue contiene a :.
9emplo
-
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2;
#a serie de #aurent de f ( z ) en 0 & ' z 2 ' & 2
∫ −C
dz z z 4)2(
1
−=
−== ∫ = 18
1
)2(
1
2
1)(+es
41 0
C
dz z z i
b z f π
)2'2'0()2(2
)1(
2
21
1
)2(2
1
)2(
1
4
01
44
-
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2>
¿e dónde viene el nom!re de residuo?
0
0 1
0
0 1
)(1
21)(
21
)()(
2
1
)(2
1)(+es
0
∫ ∑ ∑∫
∫ ∑ ∑
∫
−+−
=
−+−
=≡
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
=
C
n
on n
n
C
n
on
C n nn
o
nn
on
C z z
dz z z
bi
dz z z ai
dz z z
b z z a
i
dz z f i
z f
π π
π
π
para todo n, eFcepto para n = 1, ue $ale
Ce auí el nomre de residuo.
C 0 z
iπ 2
1122
1)(+es
0
bibi
z f z z
==→=
π π
-
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2?
As preciso
-
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30
"órmula para #allar el residuo para un polo simple
Si f ( z ) tiene un polo simple en z 0, la serie de #aurent es
( ) R z z z z
b z z aa z f
-
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j p
allar el residuo de en z !i
4)(
)2(lim
)1)((
)2)((lim
)()(lim)(+es
22
000
i
i z
i z
z i z
i z i z
z f z z z f
i z i z
z z z z
−=+−
=++−−
=
−=
→→
→=
)1)((
2)( 2 ++
−=
z i z
i z z f
:ompro5moslo mediante la serie de #aurent
( )
( )
2
3
3
2
2
222
222
)(2
1)(
18
6
4
11
4
)2(
)(4
)2(
)(3
2
)(21
)2)((
)(2
)2/()(1
1
)2)((
)(2
)(2
1)(2
)(
1)(2
)1)((
2)(
i z i z i z
i
i
i z
i
i z
i
i z
ii z
ii z
ii z ii z
ii z
i z ii z
ii z
i z i z
ii z
z i z
i z z f
−+−−−−
−=
+−−−+−−−
+−=
−+−+−=
−+−+−=
+−+−=
++−=
( )20
-
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32
allar el residuo en los polos de
2
1
2
1lim)2(
1lim)(+es 000 −=−+=−+= →→= z
z
z z
z z z f z z z
z z
z z f
2
1)(
2 −+
=
+−−−−=
++++
−=
−+
−=−+
=18
3
>
3
4
3
2
1
221
2
1
2/1
1
2
1
)2(
1)(
2
2
2 z z
z
z z
z
z
z z
z
z z
z z f
( )20
)2(
4
)2(
2
1
)2(2
3
2
)2(
2
21
)2(2
3)2(
2/)2(1
1
)2(2
3)2(
)2(2
1
)2(
3)2(
)2(
1)(
2
2
2 z z
z
z z
z
z
z z
z
z z
z
z z
z z f
( )220
-
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33
Si f ( z ) tiene un polo de orden 2 en z 0, la serie de #aurent es
20
2
0
1
010 )()()( z z
b
z z
b
z z aa z f −+−++−+=
[ ])()(lim)(+es 2000
z f z z dz
d z f
z z z z −=
→=
201
3
01
2
00
2
0 )()()()()( b z z b z z a z z a z f z z +−++−+−=−
deri$ando otenemos
[ ] 12010020 )(3)(2)()( b z z a z z a z f z z dz
d ++−+−=−
[ ] 120 )()(lim0
b z f z z
dz
d
z z
=−→
Ejemplo
-
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34
allar el residuo de en z !1
[ ]
?
2
)2(
2lim
2lim
)()(lim)(+es
211
20
00
=
+
=
+=
−=
→→
→=
z z
z
dz
d
z f z z dz d z f
z z
z z z z
2)1)(2()(
−+=
z z
z z f
−−
+−−
+−
=
−−+
−−
−+−=
−−+−−
−+−=
−−−−+−
=
−+−+−
=−+
=
>1
)1(2
2;
2
)1(?
2
)1(3
1
3)1(
31
)1(31
)1(1
31)1(
3)1(
311
)1(31)1(
)3/)1((1
1
)1(3
1)1(
)1(3
1
)1(
1)1(
)1)(2()(
2
3222
2
2
222
z
z z
z
z z
z z z
z
z
z z
z
z z
z
z z
z z f
( )310
-
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36
Ejemplo* f ( z ) ! 1/( z 1)2( z 3) tiene un polosimple en z ! 3 " un polo de orden 2 en z ! 1.
ncontrar los residuos
4
1
)3(
1lim
3
1lim)()1(lim)1),((s+e
4
1
)1(
1lim)()3(lim)3),((s+e
21
1
2
1
233
−=−−
=
−=−=
=−
=−=
→
→→
→→
z
z dz
d z f z
dz
d z f
z z f z z f
z
z z
z z
:alcular con C* ' i 2∫+d
z 82
-
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38
:alcular con C* ' z . i= 2.∫ +C dz z 42
∫ =++
C i z f idz
z
z )2,)((s+e2
4
622
π
)2)(2(
82)2(lim2
2 i z i z
z i z
i z +−+−=
→π
)23(2
232 ii
ii += += π π
∫ ze
-
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3;
$aluar donde el contorno C
es el círculo ' z= 2.
∫ +C dz z ze
34 6
i z e z z i
z z
e z dz
d i
z f idz
z z
e
z
z
z
z
C
z
1261;
)6()1;>(lim
)6(lim
=2
12
)0,)((+es2
6
3
2
0
3
3
2
2
0
34
π π
π
π
=+
++=
+=
=
+
→
→
∫
"órmula para el residuo para un polo de cualquier orden
-
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3>
Si f ( z ) tiene un polo de orden m en z 0, la serie de #aurent es
m
m
z z
b
z z
b
z z
b z z aa z f )()()()( 0
2
0
2
0
1010 −++−+−++−+=
[ ])()(lim)=1(
1)(+es 0)1(
)1(
00
z f z z dz
d
m z f m
m
m
z z z z −
−= −
−
→=
m
m
mmmm
b z z b
z z b z z a z z a z f z z
++−+
−++−+−=−−
−+
2
02
1
01
1
01000
)(
)()()()()(
Ceri$amos m1 $eces.:uando z → z 0 otenemos [ ] 10)1(
)1(
)=1()()(lim0
bm z f z z dz
d mm
m
z z −=−−
−
→
Ce otra manera...
-
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3?
Un punto singular aislado z 0 de una función f es
un polo de orden m si " solo si f(z) puede ser escritoen la forma
donde φ (z) es analítica " no cero en z 0 ntonces
m z z
z z f
)(
)()(
0−=
φ
1 si )()(+es 00
===
m z z f z z
φ 2 si )=1(
)()(+es 0
)1(
0
≥−
=−
=m
m
z z f
m
z z
φ "
emostración:m
z z f
)(
)()( =
φ
-
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40/100
40
∑∞
=
−−
−+−−
+
+−+−+=
mn
n
n
m
m
z z n
z z z
m
z
z z
z
z z
z
z z
)(=
)()(
)=1(
)(...
)(=2
)(RR
)(=1
)(R
)()(
0
0
)(
1
0
0
)1(
2
0
0
0
0
0
φ φ
φ φ
φ φ
)=1(
)()(+es 0
)1(
1 0 −
==−
= m
z b z f
mφ ∑
∞
=
−−
−−
−+−
−
+
+−
+−
+−
=
mn
mnnm
mmm
z zn
z
z z
m z
z z
z
z z
z
z z
z z f
)(=
)()=1/()(
...
)(
=2/)(RR
)(
=1/)(R
)(
)()(
0
0)(
0
0)1(
20
0
10
0
0
0
φ φ
φ φ φ
m z z )()(
0−)(⇒
f(z) tiene un polo de orden m en z=z 0
)(⇐Si f(z) tiene un polo de orden m en z=z entonces
-
8/16/2019 7 Teoria de Residuos
41/100
41
Si f(z) tiene un polo de orden m en z=z 0 entoncestiene una representación en serie de #aurent en la
región' z-z 05R*
m
m
n
n
n z z
b
z z
b
z z
b
z z
b z za z f
)()()()()(
0
3
0
3
2
0
2
0
1
0
0 −++
−+
−+
−+−= ∑
∞
=
=≠−
=0
00
cuando
cuando)()()(
z z b
z z z f z z z
m
m
φ
∑∞
=
+−− −+−++−+=
0
01
0101 )()()()(n
nmn
mmmm z za z zb z zbb z φ
-
8/16/2019 7 Teoria de Residuos
42/100
42
-
8/16/2019 7 Teoria de Residuos
43/100
43
-
8/16/2019 7 Teoria de Residuos
44/100
44
-
8/16/2019 7 Teoria de Residuos
45/100
46
emos $isto ue la integral de una función analíticaf (z) sore una cur$a cerrada C cuando f (z) tiene un punto
-
8/16/2019 7 Teoria de Residuos
46/100
48
f ( z ) sore una cur$a cerrada C cuando f ( z ) tiene un puntosingular z 0 dentro de C es
12)( ibdz z f C
π =
∫ C 0 z donde b1 es el residuo
de f ( z ) en z 0
C
l teorema del residuo generalia este
resultado Sea f ( z ) una función analíticadentro " sore un camino cerrado CeFcepto para k puntos singulares dentro deC . ntonces
∑∫ = =
=k
i z z
C
z f idz z f i1
)(+es2)( π
2 z
1 z
3 z k z
$al7a donde( ) ( )∫ −−! z d zz 31
12
-
8/16/2019 7 Teoria de Residuos
47/100
4;
(a) l contorno C es el rect%ngulo definido por 6 = 0, 6= 4, y = E1, y = 1.() l contorno C es el círculo ' z= 2.
( ) ( ) z z 31
[ ])3,)((+es)1,)((+es2)3()1(
12
z f z f idz
z z C +=
−−∫ π
04
1
4
12 =
+−= iπ
(a)
ii
z f idz z z C
24
12
)1,)((+es2)3()1(
1
2
π π
π
−=
−=
=−−∫
()
dem con C* 'z= 2∫ z
dze
-
8/16/2019 7 Teoria de Residuos
48/100
4>
dem con C* ' z= 2.∫ +C dz z z 34 6
i z e z z i
z z
e z dz
d i
z f idz z z
e
z
z
z
z
C
z
1261;
)6()1;>(lim
)6(lim
=2
12
)0,)((+es26
3
2
0
3
3
2
2
0
34
π π
π
π
=+
++=
+=
=+
→
→
∫
-ser$a ue z ! 0 es un polo de orden 3
emostración del teorema del residuo
-
8/16/2019 7 Teoria de Residuos
49/100
4?
+odeemos todos los puntos singularescon los círculos C 1, C 2, … C L .
f ( z ) es analítica en : " auí dentroeFcepto en los L puntos singulares.
*or el teorema integral de :auc
-
8/16/2019 7 Teoria de Residuos
50/100
60
C
z z −2
−+
+−+
=−+
==∫ z z z
z z
z
idz z z
z
z z C
21202
2
+es
2
+es2
2π
32
lim2
+es
21
2lim
2+es
121
020
=+
=−+
−=−
+=
−
+
→=
→=
z
z
z z
z z
z
z z
z
z z
z z
iidz z z
z
C
π π 2)32(22
2 =+−=
−+
⇒ ∫
10
z d eC
z ∫ /3 C* ' z= 1.:alcular
-
8/16/2019 7 Teoria de Residuos
51/100
61
z ! 0 es una singularidad esencial, así ue no nos
ueda m%s remedio ue calcular la serie de #aurentalrededor de z ! 0, ue nos proporciona comoresiduo +es( f , 0) ! 3.
i z f i zdz d eC
z π π 8)0,)((s+e2/3 ==∫
-tra fórmula 7til para calcular el residuo en un polo simple
-
8/16/2019 7 Teoria de Residuos
52/100
62
cuando f ( z ) es una función racional f(z) = p( z )/7( z ) es
)()()(+es
0
0
0 z 7 z p z f
z z ′=
=
)(R)(
...)(=2
)(RR)(R)(
)()(lim
)(
)()(lim)(+es
...)(=2
)(RR
))((R)(
0
0
00
00
0
0
2
0
0
00
0
00
z 7 z p
z z z 7
z 7 z z
z p z z
z 7
z p z z z f
z z
z 7
z z z 7 z 7
z z
z z z z
=
+−+−
−
=−=
+−+−=
→
→=
Cemostración
( )∫ −γ
dz z z 22
1
e%. Calcular &donde ' es el contorno
-
8/16/2019 7 Teoria de Residuos
53/100
63
( )γ
indicado en la figura.
-10
1
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( )( ) e z z e
f
f f f idz z z
z
z z
doble polo z
"imple" polo" z
z
z
2
1
11,+es
1,+es0,+es21,+es21
e
11
2011
simplescerradoscontornosde 7mero
0
1aisladossingulares*untos
1
2
22
=
−
=−
−+−=−
−→=→=
→−=
→=→±=
−=
∫ γ π
()amen
*+,- /$0/1: P23
( )( )
1,+es2
eef
z
−=
−
=
-
8/16/2019 7 Teoria de Residuos
54/100
64
( )( )
( ) ( ) ( )[ ]( )
( )
( ))1(22
2
2
2
12
1
e
11
211
0,+es
211,+es
22
0
22
2
0
2
1
2
!hie
e
idz
z z
z z z e
z e f
z z f
z
z
z
z
z
+=
−−+=
−
=−
−−=′
−=
+
∫
==
=
π π γ
C* ' z= 2.∫ C dz z tan
-
8/16/2019 7 Teoria de Residuos
55/100
66
tan z ! sin z / cos z tiene polos simples en los puntos donde
cos z ! 0 z ! (2n N 1)π/2, n ! 0, ±1, ±2, *ero solamente Eπ/2 " π/2 est%n dentro del círculo
1)2/sin(
)2/sin(
)R(cos
sin
2,)(+es
2
−=−−
−==
−
−= π
π π π z z
z z f
1)2/sin(
)2/sin(2
,)(+es −=−= π π π z f
( ) ( )
+
−=∫
2
,+es
2
,+es2tan π π
π z f z f idz z C
[ ] iidz z C
π π 4112tan −=−−=∫
2. Calcular la integral1
-
8/16/2019 7 Teoria de Residuos
56/100
56
dz z
e
C
z
∫ +1212
Respuesta.
aisladossingulares ptos.03
2
1
= −=
=
z i z
i z
siendo C : |z – i| = 3/2, simple y orientado positiamente.
:deinteriores" 31 z z
+∫ ))((s+e))((s+e2)( zfzfidzzf π
-
8/16/2019 7 Teoria de Residuos
57/100
5!
+=∫ ))((s+e))((s+e2)(
31 z f z f idz z f
C π
z" es un polo simple
eii z f
z i z i z
ei z
z f z
1
2
1
)()(+es
)(11)(
i
12
=Φ=
Φ−=+−=
=
z3 es un punto singular esencial
-
8/16/2019 7 Teoria de Residuos
58/100
5#
10 ,)(
1
=
1
)()(
)(1 11)(
2
0 20
2
1
22
1
2
2
-
8/16/2019 7 Teoria de Residuos
59/100
5)
+=∫ 022)( eiidz z f C π
edz z f
C
π =∫ )(
d4 !tener la solución de la integral
∫
di 2)(3128
-
8/16/2019 7 Teoria de Residuos
60/100
60
donde & orientado en sentido positivo.
∫
−−+
−+
−C
dz i z i z i z
2
2)(31
)(
8
4 =− i z C
Re(z)i4
f analítica dentro " sore :,eFcepto en el punto singularaislado 0!i
( ) ( )( ) 2
2
0
8231
aen tornof de#aurentdeCesarrollo
i z i z i z z f
i z
−+
−+−−=
=
2),+es( 0 == i z f
ii z f idz z f C
π π 4),+es(2)( 0 ==⋅=∫ ()amen
*+,- /%0/5: P23
e4 !tener la solución de la integral
∫n
dz z
()amen
*+,- /%0/5: P23
-
8/16/2019 7 Teoria de Residuos
61/100
61
donde & orientado en sentido positivo.Considérese que n es un entero positivo
∫ +−C
dz z z 2)cos(21 θ
2 = z C π θ
-
8/16/2019 7 Teoria de Residuos
62/100
62
θ ie z −=2
( )θ θ θ
θ
iii
i
ee
e
e z
e z z f −−
=⇒−−= )+es(f,)( 1
( )θ θ
θ
θ
θ
ii
in
i
i
n
ee
e
e z
e z z
z f
−
=⇒
−
−= −−
− )+es(f,)( 2
π θ θ
θ π π
θ θ
θ θ
-
8/16/2019 7 Teoria de Residuos
63/100
63
donde C es la circunferencia & orientada positivamente.2= z
∫ −C dz z
"en z 1
0"1 2ensingulares*untos ==< z z z
)1(1
1
1+es
1 "en
z "en
z z =
⋅
−=!1 polo simple
!0
( )
...1
...=6
1
=3
11
...1
=6
11
=3
11...1
1
1
11
1
1)(
3
3
2
2
63
2
+++
−+−−=
=
−⋅+⋅−⋅+++−=
=
⋅
−−=
⋅
−=
−−
z
!
z
!
z
z z z
z z
z "en z z
"en z
z f
#uego es
-
8/16/2019 7 Teoria de Residuos
64/100
64
( ) 0112
1
1
1
=−=
−∫ "en "enidz z "en z C π
)1(...
=6
1
=3
11+es
0 "en
z −=
−+−−==
D entonces
()amen
S(P7-(89R( /$0/1: P23
1. Calcular la integral &donde C es la( ) ( )∫ ++C
dz z z z
4332
1;
32
3
-
8/16/2019 7 Teoria de Residuos
65/100
65
circunferencia orientada positivamente& utiliando el
concepto de residuo en el infinito.
3= z
( ) ( )
( ) ( )i 8
z f z z z z
z z z
z
z z
z z z
f z
z f
z i 8
z
z
π
π
2
1
11
+es 3121
11
31211
31
21
1
111
11+es2
204332
4332
1>
1?4
3
3
2
1;
22
20
=⇒⇒=
⋅⇒++⋅=
=++
⋅=
+
+
⋅=
⋅
⋅⋅=
=
=
()amen
S(P7-(89R( /$0/1: P23
c& Calcular el alor de la integral:
1
-
8/16/2019 7 Teoria de Residuos
66/100
66
dz
z
∫ Γ )1sin(
1
Respuesta.
positi$o6 Qsin1
)1sin(1
1 positi$oQ
6
1 Q
)1sin(
1
2 ==⇒
⇒==
∫ ∫
∫
Γ
Γ
9C*d999
dz
z
z 9 z :*dz
z
C
siendo * la cura |z| = "/5 con orientaci+n positia.
1+es2
1ππ
+ =∫ id9
-
8/16/2019 7 Teoria de Residuos
67/100
67
22
22
22
22
1,sin
1+es
Q1,sin1+es
0,sin
1+es,
sin
1+es
,sin
+es2sin
π π
π π
π
π π
−= −•
−=
•
+
−+
+
=∫
99
99
9999
99id9
99C
11
sin
142632
===999999
-
8/16/2019 7 Teoria de Residuos
68/100
68
8
10,
sin
1+es
...=6=3
11
...)=6=3
1(...)=6=3
(sin
2
3
32
=
+−+=
−+−−+−
99
9
99
999
9999
99
−=
∫ Γ 2
2
8
12
)1sin(
1
π
π idz
z
1. Calcular la integral
d d l t C l i f i i t d d
dz z
z ;og z iC
∫
−+
1
1
2
1 2
π
2
-
8/16/2019 7 Teoria de Residuos
69/100
69
donde el contorno C es la circunferencia orientada de
forma positiva.
2= z
( )( )
( )[ ] ( )[ ]
( )
( )( )
( )
( ) ( )
( )
( )( )
0020)Hm(
110)+e( principalióndeterminaclaestudiaSe
1
11)Hm(Q
1
11)+e(
1
11
1
1
1
1
1
1logaritmofunciónlaen*rolemas
2
2222
2
22
2
1
=⇒=−⇒=−
-
8/16/2019 7 Teoria de Residuos
70/100
70
2-1 1
( ) ( )[ ] z ;og z ;og z
z
z ;og
z z
z ;og
z z z
f
z
z F
z z
f z
dz z
z ;og z i
8 C
−−+=
=
−
+=
−
+
=
=
=
=
−+=
⇒∃
∫
111
1
11
11
111111)(
0Q11+es11
21
infinitoelenresiduode
conceptoelaplicamosanalítica)es:de(fuera
:dedentrosingulares puntosdeinfinitocon9untoun
4
4
2
22
22
π
( ) ( )( )
Q0)0(
1)(
0en1de"1deserieensdesarrollolos-tengamos 0
+==−+
g
z ;og z g
z z ;og z ;og
( )
Q0)0(
1)(
=−=
h
z ;og z h
-
8/16/2019 7 Teoria de Residuos
71/100
71
( )
( )
( ) ...=3
2
=21
2)0(1
2
)(
1)0(1
1)(
1)0(1
1
)(
Q0)0(
32
3
2
−+−=+
=′′′⇒+=′′′
−=′′⇒+
−=′′
=′⇒+=′
=
z z z z ;og
g z z g
g z
z g
g z z g
g
( )
( )
( ) ...=3
2
=21
2)0(1
2)(
1)0(1
1)(
1)0(1
1
)(
Q0)0(
32
3
2
−−−−=−
−=′′′⇒−
−=′′′
−=′′⇒−
−=′′−=′⇒−−=′
=
z z z z ;og
h z
z h
h z
z h
h z z h
h
( )[ ]3
2
3
2
=3
40)Q(+es
...=3
42...=3
2
=2...=3
2
=2
1)( 3
3232
4
=⇒===
++=
++++−+−=
8 z z F
z z
z z z
z z z z z F
c& Calcular la integral
-
8/16/2019 7 Teoria de Residuos
72/100
!2
∫
C
dz
z
;og π
cos
siendo C : |z| = , orientado en sentido positio.
Respuesta.
C : |z| = - Circun$erencia de centro z = y radio orientada
positiamente.
= z ;og z f
π
cos)(analítica sore C y su e0terior
%apartado &
11
∫
-
8/16/2019 7 Teoria de Residuos
73/100
!3
[ ]22
)(
2
)(cos)(
0,11
+es2)(
z
z g
z
z ;og z F
z z
f z
idz z f 8
z F
C
==
=
== ∫
π
π
g%z& analítica en z = ∑∞
=
=⇒0
)(
=
)0()(
n
nn
z n
g z g
0cos
sin)0( ,0)0(
0=−=′=
= z z
z g g π
π π
⇒≠−=−=′′ 22
2
0)(cos
)0(z
g π π
π
-
8/16/2019 7 Teoria de Residuos
74/100
!
∑∞=
=
+−=3
)(22
0
=
)0(
2)(
)(cos
n
nn
z
z n
g z z g
z
π
π
z = es un polo
de orden 2
⇒+−= ∑∞=
−
3
2)(2
=)0(
2)(
n
nn z n g z F
π z = singularidadeitale de 1%z&
es1%z&, z = 4 = [ ] 00),(+es2 ===⇒ z z F i 8 π
& %3 puntos& Calcular el alor de la integral
1
-
8/16/2019 7 Teoria de Residuos
75/100
!5
dz z z z C ∫ −−+ )4)(?()1(1
24
Respuesta.
=
±=−=
−−+=
simple polo,4
simples polos,3
4ordende polo,1
,)4)(?()1(
1)(
24
z
z
z
z z z z f
siendo C : |z| = 2, orientado positiamente.
γ or el teorema del residuo en el in$inito:
0Q11
+es2)(
∫ fidf π
-
8/16/2019 7 Teoria de Residuos
76/100
!6
C
z=("
z=
z=3z=(3 e%z&
0
020Q
+es2)(
=
=
=∫ z
z z f idz z f
γ π
or el teorema de Caucy(7oursat en
dominios m8ltiplemente cone0os:
∫ ∑ ∫ ∫ =
+=γ
3
1
)()()(i C C
z d z f z d z f dz z f i
C2
C3
C"
);)(8()2(2)(+es2)( 431 −−−== −=∫ i z f i z d z f z C π π
)1)(8()4(
2)(+es2)(
432 −==
=∫ i
z f i z d z f z C
π π
-
8/16/2019 7 Teoria de Residuos
77/100
!!
0
)41)(?1()1(
1+es2)(
)6()6(2)(+es2)(
)1)(8()4(
24
;
2
0
443
2
=
−−+
=
==
=
=
∫
∫
z z z
z
z
i z d z f
i z f i z d z f
z
z C
π
π π
γ
+
+⋅
−=
−−+∫ 6424 6
1
18
1
;
1
28
12
)4)(?()1(
1idz
z z z C π
-
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;>
-
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;?
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>0
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?3
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?4
Residuo logar6tmico
Sea una función f(z) analítica dentro " sore un contorno
-
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?6
f( ) "
cerrado simple :, orientado positi$amente, tal ue no tengaceros sore 5l, pero con posilemente un n7mero finito deceros en su interior. Si z 0 es uno de ellos, entonces es un
punto singular aislado del cociente f
-
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?8
)()()(0
0 z g z z z f m
−=con g() analítica en dic
-
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?;
∑∑∫ == =
==
=
n
k
f k
n
k z z
C
m z f
z f dz
z f
z f
i k 11 )(
)(R+es
)(
)(R
2
1
π
5. Hallar el residuo logar6tmico de la función
i f i
( ) z
z z f
π 2cos1
1)(
2
−+
=
π=z
-
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respecto a la circunferencia π = z
∫ =
−=′
π π
z
p dz z f
z f
i0)(
)(
2
1
:eros de f() ⇒=+ 01 2 z i z
i z
=
−=
2
1
2 ceros simples
*olos de f() ( )
( )
3Q2Q1Q0Q1Q2Q3nciacircunferelaaHnteriores
Q 12cos
02cos1
;864321 ====−=−=−=
Ζ ∈=⇒==−
z z z z z z z
k k z z
z
k π
π
()amen
S(P7-(89R( /$0/1: P23
( ) 02cos1
ue"a,)2cos(1
dedo.lescerosser porf dedo.les polossonIodos
=−
−
π
π
k z
z
-
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99
( )( )
( )( ) 042cos1
02cos1
2 ≠=″
−
=
′
−
π π
π
k
k
z
z
z
z
122;2)(
)(
2
1ntonces
−=⋅−=′
∫ =π π z
dz z f
z f
i
3. Hallar el residuo logar6tmico de la función comple;a
respecto del contorno
!hz z f =)(>= z
′ )(1 zf
-
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100
( ) ( )
∫
∫
=
−
=
=′
⇒
⇒=⇒±±=
<
Ζ ∈+
=⇒++=⇒⇒−=⇒−=⇒=+⇒=
<
=⇒=
−=
>
0
2
>
0
8)(
)(
2
183,2,1,0
aientescorrespondceroslosencuentranse>n
Q2
121202
)1log(2100
>en)(deceroslos:alculamos
0enterafunciónunaes)()(
)(
2
1
z
k
z z z
p
z
p
dz z f
z f
i
k
z
k k i
z k i z
z eee!hz
z z f
!hz z f
dz
z f
z f
i
π
π π
π