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7 Funciones y gráficas

208Unidades didácticas Matemáticas 2.º ESO

La unidad inicia el estudio de las funciones y sus gráficas. En el anterior curso, los alumnos solo estudiaron la relación que hay entre dos magnitudes directamente proporcionales y su representación gráfica.

Comenzamos la unidad recordando cómo se representan los puntos en el plano para, posteriormente, relacionarlo con la idea de fun-ción, siendo una de las formas de expresar una función.

A partir de este primer epígrafe, la unidad se centra en el estudio de las diferentes caracteristacas de la gráfica de una función. Comienza con el estudio del domio y del recorrido. En el caso del dominio, también se estudia mediante la expresión algebraica de la función. La unidad con-tinúa mostrando cómo se hallan los puntos de cortes con los ejes y finaliza con el estudio de la continuidad, el crecimiento y el decrecimiento, y la determinación de los máximos y mínimos. El último epígrafe se dedica al análisis global de las gráficas de las funciones.

La metodología debe permitir a los alumnos el desarrollo y adquisición de la competencia matemática y también del resto de competencias clave. Por esta razón, se presentan en la unidad secciones en las que cobra importancia el trabajo de dichas competencias.

Comunicación lingüística (CL)Tiene especial importancia en las secciones Matemáticas vivas y Funciones en los medios de comunicación.

Competencia digital (CD)Se integra a lo largo de la unidad haciendo partícipes a los alumnos de las ventajas que tiene recurrir a los medios informáticos.

Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT)Se desarrolla a lo largo de toda la unidad y especialmente en la sección Matemáticas vivas donde, partiendo de un contexto real relacionado con la energía eólica, los alumnos profundizarán en las aplicaciones de las funciones y las gráficas.

Competencias sociales y cívicas (CSC)Está presente en varias actividades que permitirán razonar sobre la realidad social. Debe destacarse la sección Trabajo cooperativo.

Competencia aprender a aprender (CAA)En toda la unidad se considera la necesidad de potenciar en los alumnos su espíritu crítico potenciando el pensamiento creativo. La puesta en común de los distintos trabajos constituye una ocasión para la integración de conocimientos adquiridos por distintas vías así como para el análisis y la comparación de distintas formas de abordar un mismo objetivo.

Competencia sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (CSIEE)La unidad contiene un gran número de problemas y la resolución de los mismos contribuye a fomentar la autonomía e iniciativa personal, porque se utilizan para planificar estrategias, asumir retos y contribuyen a convivir con la incertidumbre, controlando al mismo tiempo los procesos de toma de decisiones.

Se desarrolla especialmente en varias de las últimas actividades de cada sección (Investiga o Desafío).

El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de tres semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos, ya que hay que tener en cuenta el tiempo necesario para la exposición de los trabajos.

ObjetivosLos objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son:

❚❚ Conocer y manejar el sistema de coordenadas cartesianas.

❚❚ Reconocer funciones expresadas en sus diferentes formas y contextos.

❚❚ Comprender el concepto de dominio, recorrido, puntos de corte con los ejes, crecimiento máximos y mínimos de una función.

❚❚ Interpretar gráficas.

❚❚ Realizar una tarea de trabajo cooperativo utilizando funciones y gráficas.

FUNCIONES Y GRÁFICAS7

209

7Funciones y gráficas

Unidades didácticas Matemáticas 2.º ESO

Atención a la diversidadCon el fin de atender los distintos ritmos de aprendizaje de los alumnos, se proponen, algunas actividades de refuerzo y de ampliación que podrán utilizarse como alternativa o complemento a las que figuran en el libro del alumno. Se establecen actividades diferenciadas a modo de fichas de trabajo que pueden servir como adaptación curricular para los casos en que fuera necesario.

Material complementarioEn el material complementario Comprende y resuelve problemas se proponen actividades para trabajar la comprensión y la resolución de problemas relacionadas con el estudio de las funciones y gráficas.

Por otra parte, el material complementario Practica+ cuenta con un repaso de los contenidos y procedimientos estudiados sobre las funciones y gráficas, y se proponen nuevas actividades para repasar y afianzar dichos contenidos.

Además, para ayudar a los alumnos a comprender y practicar conceptos relacionados con las funciones y gráficas, pueden acceder a las lec-ciones 1093, 1159 y 1183 de la web www.mismates.es.

P R O G R A M A C I Ó N D E L A U N I D A D

Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluablesRelación de

actividades del libro del alumno

Competencias clave

Coordenadas cartesianasGráficas cartesianas

1. Conocer, manejar e interpretar el sistema de coordenadas cartesianas.

1.1. Localiza puntos en el plano a partir de sus coordenadas y nombra puntos del plano escribiendo sus coordenadas.

1-538-40

CMCTCDCLCSCCAACSIEE

Concepto de función

2. Comprender el concepto de función. Reconocer, interpretar y analizar las gráficas funcionales.

2.1. Reconoce si una gráfica representa o no una función.

2.2. Interpreta una gráfica y la analiza, reconociendo sus propiedades más características.

7-1243-45F29-1241, 42, 46

CMCTCLCSCCAACSIEE

Gráficas de funciones

3. Manejar las distintas formas de presentar una función: lenguaje habitual, tabla numérica, gráfica y ecuación, pasando de unas formas a otras y eligiendo la mejor de ellas en función del contexto.

3.1. Pasa de unas formas de representación de una función a otras y elige la más adecuada en función del contexto.

13-1947-50, 54F1

CMCTCDCLCSCCAACSIEE

Dominio y recorrido. Puntos de cortePuntos de corte con los ejes

4. Identificar en una función el dominio y el recorrido.

5. Determinar, en la función, los puntos de corte con los ejes tanto gráfica como analíticamente.

4.1. Identifica el dominio y el recorrido de una función interpretándolos dentro de un contexto.

5.1. Calcula e interpreta adecuadamente los puntos de corte con los ejes.

20-22, 2451

22, 2339, 51

CMCTCLCSCCAACSIEE

Continuidad. CrecimientoCrecimiento y decrecimiento

6. Reconocer cuándo una función es continua.

7. Identificar los puntos de disconitnuidad de una función.

8. Reconocer cuándo una función es creciente y cuándo es decreciente.

9. Identificar los máximos y los mínimos de una función.

6.1. Decide cuándo una función es continua a partir de un enunciado o una gráfica.

7.1. Reconoce los puntos de discontinuidad de una función y comprende su aparición.

8.1. Distingue cuándo una función es creciente o decreciente en un intervalo.8.2. Comprende el comportamiento de una función según sea creciente o decreciente.

9.1. Reconoce los máximos y los mínimos de una función y su relación con el crecimiento o el decrecimiento de la misma.

25-27

25, 2852

27, 285327, 2954, 56

27-3053, 56

CMCTCLCSCCAACSIEE

Interpretación de gráficas

10. Describir, a partir de una gráfica, las características de una función.

11. Analizar gráficas que representan fenómenos del entorno cotidiano y formular conjeturas.

10.1. Interpreta el comportamiento de una función dada gráficamente.

11.1. Asocia enunciados de problemas contextualizados a gráficas.

31-33, 3757-60

34-3747-49, 55, 57-59Matemáticas vivas

CMCTCLCSCCAACSIEE


MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDAD

AvanzaSimetrías

Funciones en los medios de comunicación

PARA EL PROFESOR

MATERIAL COMPLEMENTARIO

PARA EL ALUMNO

Actividades de RefuerzoActividades de Ampliación

Propuesta de Evaluación APropuesta de Evaluación B

Matemáticas en el día a díaContenido WEB. Funciones matemáticas

2. Concepto de función

5. Continuidad. Crecimiento • Crecimiento y decrecimiento

6. Interpretación de gráficas

4. Dominio y recorrido. Puntos de corte

• Puntos de corte con los ejes

1. Coordenadas cartesianas • Gráficas cartesianas GeoGebra. Coordenadas cartesianas

3. Gráficas de funciones Vídeo. Tabla de valores (calculadora)GeoGebra. Representación gráfica

MisMates.esLecciones 1093, 1159 y 1183 de la web mismates.es

Practica+

Adaptación curricular

Comprende y resuelve problemas

Presentación de la unidad Ideas previasRepasa lo que sabes

210


¿Qué tienes que saber? • Puntos en el plano • Función. Gráficas de funciones • Dominio, recorrido y puntos de corte • Continuidad. Crecimiento y

decrecimiento

Actividades interactivasActividades finales

Matemáticas vivasEnergía eólica • Estudio sobre energía eólica y

parques eólicos

Trabajo cooperativoTarea cuya estrategia es Situación problema, Adaptación del Laboratorio de Innovación Educativa del colegio Ártica a partir de Ferreiro Gravié

211



Sugerencias didácticas

La unidad comienza haciendo referencia al uso de la funcio-nes en un medio tan tecnológico como lo es la Fórmula 1.

Podemos hacer referencia a la imagen curiosa de los inge-nieros analizando el comportamiento de numerosas grá-ficas de funciones durante las carreras. Estas funciones, relacionan el tiempo de carrera, con los numerosos datos que aportan los diferentes sensores que hay repartidos por el coche. Sin estas gráficas, los equipos estarían perdidos a la hora de tomar importantes decisiones durante la carrera.

Contenido WEB. FUNCIONES MATEMÁTICAS

En la sección Matemáticas en el día a día se introduce un recurso TIC para complementar la página de inicio con información rela-tiva a la unidad.

En este caso, se explica la diferencia entre gráficos estadísticos o el uso de gráficos en informática y las representaciones gráficas de funciones matemáticas. Puede utilizarse para motivar a los alum-nos antes de comenzar a trabajar la unidad, ya que es sencillo que identifiquen el uso de gráficos en su vida cotidiana, o como am-pliación para aquellos alumnos que muestren un interés especial.

133

FUNCIONES Y GRÁFICAS

REPASA LO QUE SABES1. Dibuja en tu cuaderno una recta numérica horizontal y marca

en ella los siguientes números.

a) 4 b) −2 c) 6 d) −1 e) −5 f) 3

2. Traza ahora una recta numérica vertical con los números positivos por encima del 0 y los negativos por debajo. Marca en ella los números del ejercicio anterior.

3. Escribe en lenguaje algebraico las siguientes frases.

a) El triple de un número más 2.

b) El doble del cuadrado de un número.

c) El triple del cuadrado de un número menos su doble.

4. Halla el valor numérico de cada expresión algebraica para los valores de x indicados.

a) x2 − 3x + 1 para x = 2 b) 2

x + 1 para x = 1 y x = −3

El uso de las gráficas en los deportes está totalmente extendido. Pero posiblemente sea en la Fórmula 1, uno de los deportes más «científicos», en donde se hace un mayor uso del estudio de las gráficas de funciones. Desde la aparición de la telemetría, el equipo puede establecer en cada momento la relación que existe entre el tiempo que lleva en carrera el coche y numerosas magnitudes relacionadas con el estado del vehículo, como la temperatura del motor, la presión del aceite o la de los neumáticos, la velocidad…

ma2e24

Las funciones matemáticas y sus representaciones gráficas se utilizan actualmente en ámbitos muy variados, pero no debemos confundirlas con las funciones informáticas o los gráficos que representan datos de cualquier tipo.

Matemáticas en el día a día ][

El uso de las gráficas en los deportes está totalmente extendido. Pero posiblemente sea en la Fórmula 1, uno de los deportes más «científicos», en donde se hace un mayor uso del estudio de las gráficas de funciones. Desde la aparición de la telemetría, el equipo puede establecer en cada momento la relación que existe entre el tiempo que lleva en carrera el coche y numerosas magnitudes relacionadas con el estado del vehículo, como la temperatura del motor, la presión del aceite o la de los neumáticos, la velocidad…

IDEAS PREVIAS

❚ Rectas numéricas.

❚ Expresiones

algebraicas.

❚ Valor numérico

de una expresión

algebraica.

7

Repasa lo que sabesSoluciones de las actividades

1. Dibuja en tu cuaderno una recta numérica horizontal y marca en ella los siguientes números.

a) 4 b) −2 c) 6 d) −1 e) −5 f) 3

1 20• •• ••

1– 4 53 7 86•

7 6 4 35 2––––––

e) b) d) f) a) c)

2. Traza ahora una recta numérica vertical con los números positivos por encima del 0 y los negativos por debajo. Marca en ella los números del ejercicio anterior.

Comprobar que los alumnos dibujan la misma recta de la actividad anterior pero con orientación vertical.

3. Escribe en lenguaje algebraico las siguientes frases.

a) El triple de un número más 2.

b) El doble del cuadrado de un número.

c) El triple del cuadrado de un número menos su doble.

a) 3x + 2 b) 2x2 c) 3x2 − 2x

4. Halla el valor numérico de cada expresión algebraica para los valores de x indicados.

a) x2 − 3x + 1 para x = 2 b) 2

x + 1 para x = 1 y x = −3

a) 22 − 3 ⋅ 2 + 1 = 4 − 6 + 1 = −1 b) Para x = 1 → 2

1+ 1=2

2= 1

Para x = −3 → 2

−3 + 1=

2

−2= −1



Soluciones de las actividades1 Representa en el plano los siguientes puntos e indica en qué cuadrante se encuentran.

a) A(3, 2) c) C(0, −7) e) E(4, 0) g) G(3, −4)

b) B(4, −5) d) D(−1, −5) f) F(−3, 1) h) H(−3, 0)

O 1

1

Y

X

•

•

A

B

C•

D

••

••

•E

F

G

H

❚❚ El punto A está en el primer cuadrante.

❚❚ El punto F está en el segundo cuadrante.

❚❚ El punto D está en el tercer cuadrante.

❚❚ Los puntos B y G están en el cuarto cuadrante.

❚❚ Los puntos E, H y C están en los ejes.


Las coordenas cartesianas ya son conocidas por los alum-nos, solo es necesario repasar este contenido.

Suele ser de gran ayuda apoyarse en el juego de los barqui-tos a la hora de recordar cómo se posicionan puntos en el plano.

Las gráficas cartesianas son necesarias a la hora de introdu-cir las funciones. Hay que hacer hincapié en que una gráfica cartesiana tan solo sitúa puntos en un plano.

GeoGebra. COORDENADAS CARTESIANAS

Este recurso puede utilizarse en clase para complementar la expli-cación de esta página. Moviendo los deslizadores llamados absci-sa y ordenada puede obtenerse la posición de un punto respecto a los ejes de coordenadas.

También puede servir para que los alumnos realicen o comprue-ben los dos primeros ejercicios de la página de actividades.

1. Coordenadas cartesianas

135

7Actividades7 Funciones y gráficas

134

Representa en el plano los siguientes puntos e indica en qué cuadrante se encuentran.a) A(3, 2) c) C(0, −7) e) E(4, 0) g) G(3, −4)b) B(4, −5) d) D(−1, −5) f) F(−3, 1) h) H(−3, 0)

Escribe las coordenadas de los siguientes puntos.

1

2

1. COORDENADAS CARTESIANAS

Laura ha quedado con dos amigas en su ciudad, pero se han confundido y cada una está en un lugar diferente. Si tomamos como referencia los puntos cardinales y como origen su ubicación, podemos orientarla hasta los puntos en los que están sus amigas.

❚ Para llegar hasta Ana, debe ir 1 calle hacia el este y 2 hacia el norte.

❚ Para llegar hasta Marta, debe moverse 3 calles hacia el oeste y 2 hacia el sur.

Si queremos situar puntos en el plano, utilizamos dos rectas numéricas perpendiculares llamadas ejes de coordenadas que se cortan en un punto, en el que situamos el origen. A la hora de indicar una posición, utilizamos un par de números ordenados, x e y, llamados coordenadas. El primero de ellos es la abscisa, y el segundo, la ordenada.

Aprenderás a… ● Representar e identificar puntos en el plano.

● Construir e interpretar gráficas cartesianas.

❚ La recta numérica horizontal se llama eje X o eje de abscisas, y la vertical, eje Y o eje de ordenadas.

❚ Para identificar un punto del plano, utilizamos una letra mayúscula seguida de las dos coordenadas entre paréntesis: A(3, 2)

Lenguaje matemático

Los puntos A, B y C representados en este sistema de coordenadas son los vértices de un rombo. Copia el gráfico en tu cuaderno y completa la figura. a) ¿Cuáles son las coordenadas del vértice que

falta? b) ¿A qué cuadrante pertenece?

Esta tabla muestra la estatura de un bebé los 12 primeros meses de vida.

Mes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Estatura (cm) 50 51 52 54 57 60 62 63 66 70 73 76

Realiza una gráfica cartesiana con estos datos.

Representa en una gráfica cartesiana la edad y la estatura, en m, del siguiente grupo de alumnos.

3

4

5

Investiga

El nombre de coordenadas cartesianas es debido al filósofo y matemático francés René Descartes, ya que fue él quien introdujo este concepto.Busca información acerca de su vida y sus logros como matemático y redacta una pequeña biografía sobre él.

6

Observa que los ejes de coordenadas dividen el plano en cuatro partes, denominados cuadrantes.

Las coordenadas cartesianas de un punto son un par de números ordenados que determinan su posición en el plano.

Gráficas cartesianas

La tabla muestra el número de horas y de unidades que han estudiado cinco compañeros de clase.

Ángela Míriam Andrés Mario

N.º de horas 2 3 5 3

N.º de unidades 3 2 3 5

Podemos expresar gráficamente esta información representando en el eje X el número de horas y en el eje Y el de unidades, para asociar a cada alumno con un punto del plano.

❚ Ángela: (2, 3) ❚ Andrés: (5, 3)

❚ Míriam: (3, 2) ❚ Mario: (3, 5)

Una gráfica cartesiana está formada por un conjunto de puntos representados en unos ejes de coordenadas.

ma2e25

SEGUNDO CUADRANTEOrdenada positiva

(−2, 3)

Abscisa negativa

PRIMER CUADRANTEOrdenada positiva

(3, 2)

Abscisa positiva

TERCER CUADRANTEOrdenada negativa

(−3, −1)

Abscisa negativa

CUARTO CUADRANTEOrdenada negativa

(2, −2)

Abscisa positiva

•

O 1

1

Unidades

Ángela

N.º de horas

•

••

Mario

Andrés

Míriam

•

•

•

•

•

•

• •

O 1

1

X

Y

A

BC

D F

E

GH

•

O 1

1

Y

X

••

A

B

C

En tu vida diaria

Es posible que hayas oído

la célebre frase:

Pienso, luego existo

Esta frase la dijo Descartes

y con ella sentó las bases

del conocimiento.

213



2 Escribe las coordenadas de los siguientes puntos.

•

•

•

•

•

•

• •

O 1

1

X

Y

A

BC

D F

E

GH

A(−8, 4) B(0, −2) C(−5, −1) D(0, 6) E(7, 4) F(13, 6) G(5, −3) H(−11, −3)3 Los puntos A, B y C representados en este sistema de coordenadas son los vértices de un

rombo. Copia el gráfico en tu cuaderno y completa la figura.

a) ¿Cuáles son las coordenadas del vértice que falta?

b) ¿A qué cuadrante pertenece?

Comprobar que los alumnos completan correctamente la figura como indicamos en la gráfica.

a) D(1, 2)

b) Primer cuadrante.4 Esta tabla muestra la estatura de un bebé los 12 primeros meses de vida.

Mes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Estatura (cm) 50 51 52 54 57 60 62 63 66 70 73 76

Realiza una gráfica cartesiana con estos datos.

O 1

50

Y

X

••

•

• •••

5560657075

••

••

•

5 Representa en una gráfica cartesiana la edad y la estatura, en m, del siguiente grupo de alumnos.

•

O 10

Y

X

••

1,56•

•

• •1,601,641,681,72

1,52

1,76

12 14

Investiga6 El nombre de coordenadas cartesianas es debido al filósofo y matemático francés René Descartes, ya que fue él quien

introdujo este concepto.

Busca información acerca de su vida y sus logros como matemático y redacta una pequeña biografía sobre él.

Respuesta abierta.

•

O 1

1

Y

X

••

A

B

C

•D(1, 2)



Soluciones de las actividades7 Justifica cuáles de las siguientes gráficas que relacionan dos magnitudes son funciones y cuáles no lo son.

O 1

1

X

Y

O 1

1

X

Y

O 1

1

X

Y

La primera gráfica es función: para cualquier valor de x, existe un único valor de y.

La segunda gráfica no es función: por ejemplo, en x = −1 y toma los valores 0, 1 y 2.

La tercera gráfica no es función: por ejemplo, en x = −4 y toma los valores 0 y 4.


Adquirir la idea de función es una tarea compleja para los alumnos. Es conveniente dedicar el tiempo necesario para conseguir que los alumnos comprendan este concepto. Puede resultar útil hacer una similitud entre una función y una máquina en la que entra un valor y lo transforma en otro valor.

Hay que insistir en la necesidad de que, para que la relación entre magnitudes sea función, la imagen de cada valor debe ser única. Pero esto no significa que dos valores de la variable independiente no puedan tener la misma imagen o que no puedan existir valores de la variable independiente sin imagen.

2. Concepto de función

137


136

Justifica cuáles de las siguientes gráficas que relacionan dos magnitudes son funciones y cuáles no lo son.

O 1

1

X

Y

O 1

1

X

Y

O 1

1

X

Y

Piensa y razona si estas relaciones entre magnitudes son funciones.a) A cada edad le corresponde una estatura.b) A cada estatura le corresponde un número de calzado.c) A cada velocidad de un coche le corresponde un consumo de combustible.

Dada la relación entre dos magnitudes descrita por el siguiente enunciado: a cada valor de una magnitud se le asocia su opuesto:a) Justifica que se trata de una función.b) Calcula el valor de la variable dependiente cuando la variable independiente

toma el valor 4.c) Halla la imagen cuando la variable independiente es −4.

Dada la relación entre las magnitudes número de fotocopias y precio expresada en la siguiente tabla:

N.º de fotocopias 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Precio (€) 0,05 0,10 0,15 0,20 0,24 0,28 0,32 0,35 0,38 0,41

a) Justifica que se trata de una función.b) Calcula la imagen si la variable independiente es 6.c) Determina el valor de la variable independiente cuando la variable

dependiente toma el valor 0,35.

Dada la relación entre las magnitudes tiempo de viaje y distancia al punto de partida expresada en la gráfica:a) Justifica que se trata de una

función.b) ¿A qué distancia del origen se

encuentra alguien que hace ese recorrido cuando han pasado 20 min?

c) ¿Cuánto tiempo ha pasado si esa persona está a 40 km del origen?

7

8

9

10

11

2. CONCEPTO DE FUNCIÓN

Observa las diferentes formas de expresar una relación entre dos magnitudes. ¿Qué tienen en común?

Aprenderás a… ● Comprender relaciones expresadas mediante enunciados, gráficas, tablas o fórmulas.

● Identificar funciones.

De la variable dependiente, y, también decimos que es la imagen de x.


En todas las relaciones anteriores podemos comprobar que a cada valor de la primera magnitud, variable independiente, le corresponde un solo valor de la segunda, variable dependiente.

❚ A cada número de kilos de manzanas le corresponde un único precio. ❚ A cada número de camisas le corresponde un único precio. ❚ A cada hora del día le corresponde una única temperatura. ❚ A cada longitud del lado de un cuadrado le corresponde una única área.

Una función es una relación entre dos magnitudes tal que a cada valor de la primera magnitud, variable independiente, le corresponde un solo valor de la segunda magnitud, variable dependiente.

Presta atención

Para hallar la imagen de x en una gráfica:

1 Trazamos una recta perpendicular al eje de abscisas que pase por x.

2 Marcamos el punto donde esta recta corta a la gráfica.

3 Trazamos una recta horizontal por ese punto. La imagen es el valor donde dicha recta corta al eje Y.

•

O 1

1

X

Y

Investiga

La catenaria es uno de esos aspectos matemáticos con el que nos cruzamos sin darnos cuenta. Según la RAE es una curva formada por una cadena, cuerda o cosa semejante suspendida entre dos puntos no situados en la misma vertical.¿Es esta curva una función? ¿En qué lugares puedes encontrar catenarias?

12

Presta atención

} Indica si las siguientes relaciones entre dos magnitudes son funciones. Justifica la respuesta.

a) Los kilos de naranjas y el número de naranjas que hay en cada uno.

b) c)

Solucióna) No es función, ya que la imagen para 2 kg, por ejemplo, no es única,

pues, dependiendo del tamaño, puede haber 4, 5… naranjas.b) Es función, dado que el doble de

un número es único para cada valor que demos a la variable independiente.

c) No es función, ya que, para x = 4, la variable dependiente toma dos valores, 1 y 3.

Número Su doble

2 4

3 6

4 8

5 10

EJERCICIO RESUELTO

O

1

1

Y

X

O

1

1

Y

X

•

•

(4, 3)

(4, 1)

O 5

10

Tiempo (min)

Distancia (km)

O 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

5101520

Hora del día

T

215



8 Piensa y razona si estas relaciones entre magnitudes son funciones.

a) A cada edad le corresponde una estatura.

b) A cada estatura le corresponde un número de calzado.

c) A cada velocidad de un coche le corresponde un consumo de combustible.

a) No es función, ya que una edad puede tener asociadas varias estaturas.

b) No es función, pues una estatura puede tener asociadas varios números de calzado.

c) Es función, porque cada velocidad de un coche tiene asociada un consumo de combustible.9 Dada la relación entre dos magnitudes descrita por el siguiente enunciado: a cada valor de una magnitud se le asocia su

opuesto:

a) Justifica que se trata de una función.

b) Calcula el valor de la variable dependiente cuando la variable independiente toma el valor 4.

c) Halla la imagen cuando la variable independiente es −4.

a) Es función, porque cada número tiene un solo opuesto.

b) Si x = 4 entonces y = −4.

c) Si x = −4 entonces y = 4.10 Dada la relación entre las magnitudes número de fotocopias y precio expresada en la siguiente tabla:

N.º de fotocopias 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Precio (€) 0,05 0,10 0,15 0,20 0,24 0,28 0,32 0,35 0,38 0,41


b) Calcula la imagen si la variable independiente es 6.

c) Determina el valor de la variable independiente cuando la variable dependiente toma el valor 0,35.

a) Es función, porque cada número de fotocopias tiene asociado un único precio.

b) Si se hacen 6 fotocopias el precio es 0,28 €.

c) Si se pagan 0,35 €, se hacen 8 fotocopias.11 Dada la relación entre las magnitudes tiempo de viaje y distancia al punto

de partida expresada en la gráfica:


b) ¿A qué distancia del origen se encuentra alguien que hace ese recorrido cuando han pasado 20 min?

c) ¿Cuánto tiempo ha pasado si esa persona está a 40 km del origen?

a) Es una función, porque cada tiempo tiene asociado una sola distancia.

b) A una distancia de 30 km.

c) Han pasado 40 min.

Investiga12 La catenaria es uno de esos aspectos matemáticos con el que nos cruzamos sin darnos

cuenta. Según la RAE es una curva formada por una cadena, cuerda o cosa semejante suspendida entre dos puntos no situados en la misma vertical.

¿Es esta curva una función? ¿En qué lugares puedes encontrar catenarias?

Sí, esta curva es una función.

Se pueden encontrar catenarias, por ejemplo, en los cables eléctricos que llevan la corriente en las vías de tren. De hecho estas estructuras se conocen como catenarias precisamente por la forma geométrica que toman los cables.

O 5

10

Tiempo (min)

Distancia (km)



Soluciones de las actividades13 Una empresa ofrece a un comercial un sueldo fijo de 700 € y una comisión que depende

del número de artículos vendidos, tal y como muestra la tabla.

N.º de artículos 1 2 3 4 5 6

Comisión (€) 50 110 180 220 300 390

Representa la gráfica de la función que relaciona las ventas realizadas con el sueldo que recibe el comercial.


Vídeo. TABLA DE VALORES (CALCULADORA)

En el vídeo se muestra cómo utilizar la calculadora para introducir la función del ejercicio resuelto y obtener la tabla de valores co-rrespondiente, eligiendo el valor inicial, el valor final y el paso de un valor al siguiente.

Puede reproducirse en clase para explicar cómo usar la calculado-ra para hallar la tabla de valores de una función o como recurso para que los alumnos investiguen el manejo de su calculadora.

GeoGebra. REPRESENTACIÓN GRÁFICA

En el recurso se muestra la representación gráfica de la función propuesta en el ejercicio resuelto. Para representar la función se utiliza el programa GeoGebra indicando los pasos a realizar por el alumno en el cuaderno. Se puede reproducir en clase como apo-yo a la explicación de la página anterior o como recurso para que los alumnos repasen el procedimiento para representar funciones. El recurso puede utilizarse pulsando sobre la barra de navegación para ver paso a paso la representación, o activando el botón Re-produce de modo que la representación se realizará automática-mente sin necesidad de interacción.

3. Gráficas de funciones

•

O 1

Y

X

•

800

•

•

•

•

850900950

1 000

750

1 050

139


138

Una empresa ofrece a un comercial un sueldo fijo de 700 € y una comisión que depende del número de artículos vendidos, tal y como muestra la tabla.

N.º de artículos 1 2 3 4 5 6

Comisión (€) 50 110 180 220 300 390

Representa la gráfica de la función que relaciona las ventas realizadas con el sueldo que recibe el comercial.

Rosa se está preparando una infusión y quiere saber cómo varía la temperatura de su bebida desde que la pone al fuego hasta que se la toma pasados 10 min.

Para ello, anota la temperatura cada minuto, y estos son los resultados obtenidos:

t (min) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

T (ºC) 24 45 90 95 97 85 72 65 45 32

Representa la gráfica de la función que relaciona el tiempo, t, y la temperatura, T, de la infusión.

El siguiente gráfico muestra la evolución de la altura de una planta a lo largo del tiempo.

a) Escribe estos datos en una tabla que relacione el tiempo de vida y la altura de la planta.

b) Representa gráficamente esta función.

Juan empieza la ascensión a un monte de 1 800 m. Cada media hora anota en su altímetro la altura sobre el nivel del mar a la que se encuentr y obtiene esta tabla:

T (min) 0 30 60 90 120 150

A (m) 750 1 050 1 300 1 550 1 675 1 800

Construye la gráfica correspondiente.

13

14

15

16

Representa las gráficas de las funciones dadas por las siguientes expresiones algebraicas.

a) y = −x + 2 c) y =x

2+ 1

b) y = 3x − 2 d) y =x − 4

2

Javier quiere representar la relación entre la longitud del lado de un cuadrado y su área.a) Escribe la expresión algebraica de esta

función.b) Construye una tabla con las imágenes de los

cuadrados cuyo lado mide 1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cm y 5 cm.

c) Representa la gráfica de esta función.

17

18

3. GRÁFICAS DE FUNCIONES

❚ María tiene gripe, y su doctora le ha advertido que a última hora de la tarde puede tener algo de fiebre. Para comprobarlo, se toma la temperatura cada hora y apunta los datos en una tabla.

Hora 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Temperatura (ºC) 36,1 36,2 36,6 37,2 37,7 37,9 39 38,7 38,5

Se trata de una función porque, cada hora, María tiene una sola temperatura.

Para interpretar mejor los datos decide representarlos en el plano:

1 Traza los ejes de coordenadas y representa los puntos que identifican la temperatura que tiene cada hora.

2 Los une ya que en todo momento ha tenido una temperatura intermedia.

Aprenderás a… ● Expresar mediante gráficas relaciones que son una función.

Si algunos de los ejes de una gráfica cartesiana no empieza en 1, se puede romper la escala trazando al principio del eje la marca .

O 1

1

X

Y


Así, a partir de una tabla de valores se obtiene la gráfica de la función.

❚ En la churrería del barrio de Juan tienen una tabla para mostrar el precio de los churros según la cantidad comprada.

N.º de churros 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Precio (€) 0,35 0,70 1 1,30 1,60 1,90 2,10 2,30 2,40 2,50

Se trata de una función porque a cada número de churros le corresponde un único precio. Juan cree que con una gráfica se observaría mejor la evolución del precio según la cantidad comprada.

••

••

•• •

• • •

O 1

1

N.º de churros

Precio (€)

En este caso, no se pueden unir los puntos porque no tienen sentido los valores intermedios; solo podemos comprar un número entero de churros.

Para representar la gráfica de una función a partir de una tabla:

1 Se identifican la variable independiente y la variable dependiente.

2 Se representan en el plano los pares de valores de la tabla.

3 Si tiene sentido, se unen los puntos y se obtiene una línea que es la gráfica de la función. Si no tiene sentido, la gráfica de la función es el conjunto de puntos aislados.

} Dibuja la gráfica de la función y = 2x − 1.

SoluciónHallamos las imágenes de dos valores de la variable independiente. Por ejemplo:x = −2 → f(−2) = 2 · (−2) − 1 = −4 − 1 = −5x = 1 → f(1) = 2 · 1 − 1 = 2 − 1 = 1Análogamente, calculamos otras imágenes, construimos una tabla de valores y representamos los puntos.

En este caso tiene sentido unirlos porque es posible hallar el doble de cualquier número.

EJERCICIO RESUELTO

ma2e26

ma2e27

DESAFÍOGonzalo tiene una cuerda de 20 cm atada por los extremos y quiere hacer un rectángulo como muestra la foto. Representa la función que relaciona el lado del rectángulo con su área.

19

• ••

••

•

• ••

O 4 6

36

37

Hora del día

T (ºC)

38

8 10 12

• ••

••

•

• ••

38

O 4

36

37

Hora del día

T (ºC)

6 8 10 12

217



14 Rosa se está preparando una infusión y quiere saber cómo varía la temperatura de su be-bida desde que la pone al fuego hasta que se la toma pasados 10 min. Para ello, anota la temperatura cada minuto, y estos son los resultados obtenidos:

t (min) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

T (ºC) 24 45 90 95 97 85 72 65 45 32

Representa la gráfica de la función que relaciona el tiempo, t, y la temperatura, T, de la infusión.

15 El siguiente gráfico muestra la evolución de la altura de una planta a lo largo del tiempo.

a) Escribe estos datos en una tabla que relacione el tiempo de vida y la altura de la planta.

b) Representa gráficamente esta función.

a) Algunas alturas son aproximadas. b)

Tiempo (meses) 0 1 2 3 4 5 6

Altura (cm) 0 0 3 9 18 30 40

16 Juan empieza la ascensión a un monte de 1 800 m. Cada media hora anota en su altímetro la altura sobre el nivel del mar a la que se encuentra y obtiene esta tabla:

T (min) 0 30 60 90 120 150

A (m) 750 1 050 1 300 1 550 1 675 1 800

Construye la gráfica correspondiente.

•

••

•• •

O 30 60 90 120 150

500

1000

1500

2000

Tiempo (min)

Altura (m)

•

•

•• •

•

••

•

•

O 1

10

Temp. (ºC)

Tiempo (min)

• ••

•

•

•

•

O 1 2 3 4 5 6

10

20

30

40

Tiempo (meses)

Altura (cm)



17 Representa las gráficas de las funciones dadas por las siguientes expresiones algebraicas.

a) y = −x + 2 b) y = 3x − 2 c) y =x

2+ 1 d) y =

x − 4

2

a) x = 0 → y = 2 b) x = 0 → y = −2 c) x = 0 → y = 1 d) x = 0 → y = −2

x = 2 → y = 0 x = 2 → y = 4 x = 2 → y = 2 x = 2 → y = −1

•

•O 1

1

X

Y

•

•

O 1

1

X

Y

••

O 1

1

X

Y

••

O 1

1

X

Y

18 Javier quiere representar la relación entre la longitud del lado de un cuadrado y su área.

a) Escribe la expresión algebraica de esta función.

b) Construye una tabla con las imágenes de los cuadrados cuyo lado mide 1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cm y 5 cm.

c) Representa la gráfica de esta función.

a) y = x2 c) b) Lado (cm) 1 2 3 4 5

Área (cm2) 1 4 9 16 25

Desafío19 Gonzalo tiene una cuerda de 20 cm atada por los extremos y quiere hacer un

rectángulo como muestra la foto. Representa la función que relaciona el lado del rectángulo con su área.

Si llamamos x a la base del rectángulo, la altura será:

h =20− 2x

2= 10− x

Como el área del rectángulo es: A = b ⋅ h; entonces, la expresión algebraica es:

y = x ⋅ (10 − x) = 10x − x2

La gráfica de la expresión algebraica es la siguiente:

•

•

•

•

•

O 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

30

Lado (cm)

Área (cm²)

O 2

5

X

y = – x² + 10x

Y

219



Soluciones de las actividades20 Indica el dominio y el recorrido de las siguientes funciones.

a)

O 1

1

X

Y c)

O 1

1

X

Y e)

O 1

1

X

Y

b)

O 1

1

X

Y d)

O 1

1

X

Y f)

O 1

1

X

Y


El dominio de una función no suele crear problemas a los alumnos. A la hora de calcular el dominio, los alumnos pue-den imaginar rectas perpendiculares al eje X: solo si cortan a la gráfica, el punto por el que corta al eje X sí estará en el dominio.

El recorrido suele crear más dificultades. Para hallarlo, los alumnos pueden girar la gráfica y proceder como en el cál-culo del dominio. Para averiguar los puntos de corte con los ejes, recordar a los alumnos que hay que dar el valor 0 a la variable contraria al eje en cuestión.

4. Dominio y recorrido. Puntos de corte

141


140

Indica el dominio y el recorrido de las siguientes funciones.a)

O 1

1

X

Y c)

O 1

1

X

Y e)

O 1

1

X

Y

b)

O 1

1

X

Y d)

O 1

1

X

Y f)

O 1

1

X

Y

Indica el dominio y el recorrido de estas funciones.a) La hora del día y la temperatura en una ciudad de España en agosto.b) La hora del día y la temperatura en un pueblo de alta montaña en enero.

Escribe el dominio, el recorrido y los puntos de corte de estas funciones.a)

O 1

1

X

Y c)

O–1

1

X

Y

b)

O 1

1

Y

X

d)

O

1

1 X

Y

Halla los puntos de corte de las siguientes funciones dadas por su expresión algebraica.a) f(x) = x − 3 b) f(x) = 3x + 9 c) f(x) = x2 + 3x + 2

20

21

22

23

4. DOMINIO Y RECORRIDO. PUNTOS DE CORTE

Para el buen funcionamiento de una máquina, su temperatura debe estar controlada en todo momento: no puede pasar de 20 ºC ni bajar de 10 ºC. Javier es el encargado de supervisar el funcionamiento diario de esta máquina y durante la jornada de ayer obtuvo la siguiente gráfica de la temperatura:

Aprenderás a… ● Identificar el dominio y el recorrido de una función.

● Hallar e interpretar los puntos de corte de la gráfica de una función con los ejes de coordenadas.

En una gráfica representamos con cuando a un valor de x le corresponde el valor de y; si no le corresponde, utilizamos .

••

O 1

1

X

Y

La imagen de x = 1 es y = 2:

f(1) = 2


Después de analizar la gráfica, sospecha que se produjo un fallo entre las 12 h y las 14 h, ya que en ese intervalo de tiempo no se registró ningún dato.

Hay registro de temperaturas entre las 0 h y las 12 h y entre las 14 h y las 24 h, incluidas estas horas. Estos valores forman el dominio de la función.

Al comprobar la temperatura, observa que los datos varían entre los 10 ºC y los 20 ºC. Este conjunto de valores constituye el recorrido de la función.

❚ El dominio de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente.

❚ El recorrido de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente.

Puntos de corte con los ejes

Una consultora ha construido la gráfica de la función que relaciona los beneficios, en miles de euros, de una empresa a medida que avanza el año. ¿Qué beneficios tiene al principio del año? ¿Hay algún momento en el que no tenga beneficios?

O 20

1

Bene

ficio

s

Día del año

❚ Para ver cuáles son los beneficios al principio del año, tenemos que conocer la imagen de 0, es decir, el punto de corte de la gráfica con el eje Y.

f(0) = 3 → Los beneficios a principio de año son 3 000 €.

❚ Para determinar si la empresa dejó de tener beneficios en algún momento, debemos conocer los puntos en los que la función corta al eje X, esto es, hemos de averiguar para qué valores de x se tiene que f(x) = 0.

f(160) = 0 y f(200) = 0 → Los beneficios son 0 cuando pasan 160 o 200 días.

❚ Los puntos de corte con el eje X, o eje de abscisas, son los puntos de la forma (x, 0) que cumplen que f(x) = 0.

❚ Los puntos de corte con el eje Y, o eje de ordenadas, son los puntos de la forma (0, y), donde y = f(0).

Presta atención

❚ La coordenada y de todos los puntos que están sobre el eje X es igual a 0.

❚ La coordenada x de todos los puntos que están sobre el eje Y es igual a 0.

O X

Y

C(0, y)

••

•

•D(0, y)–

A(x, 0)B( x, 0)–

DESAFÍOIndica el dominio de estas funciones dadas por su expresión algebraica.

a) y = x + 5 b) y =1

x + 5 c) y = x + 5

24

Presta atención

La gráfica de una función puede cortar al eje X en varios puntos. Sin embargo, si corta al eje Y, solo lo hace en un punto. Si le cortara en más de uno, no sería una función, ya que al 0 le corresponderían varias imágenes.

O 2

5

X

Y



a) Dominio: desde −3 hasta +∞. Recorrido: desde −2 hasta 3.

b), e) y f) Dominio: desde −∞ hasta +∞. Recorrido: desde −∞ hasta ∞.

c) Dominio: desde −∞ hasta +∞. Recorrido: desde −∞ hasta 5.

d) Dominio: desde −∞ hasta +∞. Recorrido: 2.21 Indica el dominio y el recorrido de estas funciones.

a) La hora del día y la temperatura en una ciudad de España en agosto.

b) La hora del día y la temperatura en un pueblo de alta montaña en enero.

a) El dominio es desde 0 hasta 24 horas, y el recorrido podría ser desde 20 ºC hasta 40 ºC.

b) El dominio es desde 0 hasta 24 horas, y el recorrido podría ser desde −15 ºC hasta −2 ºC.22 Escribe el dominio, el recorrido y los puntos de corte de estas funciones.

a)

O 1

1

X

Y c)

O–1

1

X

Y

b)

O 1

1

Y

X

d)

O

1

1 X

Y

a) Dominio: desde −∞ hasta +∞. Recorrido: desde −∞ hasta +∞.

Puntos de corte con el eje X: (1, 0), (3, 0), (7, 0) y (10, 0); con el eje Y: (0, 2)

b) Dominio: desde −5 hasta −3 y desde 3 hasta 5. Recorrido: desde −4 hasta 4.

Puntos de corte con el eje X: (−3,9; 0) y (4,1; 0); con el eje Y: no existe

c) Dominio: desde −∞ hasta 0. Recorrido: desde −0,8 hasta 4.

Puntos de corte con el eje X: (−12, 0), (−8, 0), (−6, 0), (−2, 0) y (0, 0); con el eje Y: (0, 0)

d) Dominio: desde −∞ hasta +∞. Recorrido: desde −4 hasta +∞.

Puntos de corte con el eje X: (−6, 0), (−2, 0) y (3, 0); con el eje Y: (0, −4)23 Halla los puntos de corte de las siguientes funciones dadas por su expresión algebraica.

a) f(x) = x − 3 b) f(x) = 3x + 9 c) f(x) = x2 + 3x + 2

a) Eje Y (x = 0) → f(0) = −3→ (0, −3) b) Eje Y (x = 0) → f(0) = 9 → (0, 9) c) Eje Y (x = 0) → f(0) = 2 → (0, 2)

Eje X (y = 0) → → x = 3 → (3, 0) Eje X (y = 0) → x = −3 → (−3, 0) Eje X: y = 0→ (−1, 0), (−2, 0)

Desafío24 Indica el dominio de estas funciones dadas por su expresión algebraica.

a) y = x + 5 b) y =1

x + 5 c) y = x + 5

a) Desde −∞ hasta +∞. b) Desde −∞ hasta +∞, menos x = −5. c) Desde −5 hasta +∞.

221



Soluciones de las actividades25 Decide si las siguientes funciones son continuas y, en caso contrario, indica los puntos de discontinuidad.

a)

•

•

• •

O 1

1

X

Y c)

O 1

1

X

Y

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

b)

O 1

1

X

Y d)

O 1

1

X

Y


La forma más sencilla de comprobar si una función es con-tinua es observar si se puede dibujar su gráfica sin levantar el instrumento de dibujo del papel o soporte donde esté di-bujada. En los puntos en los que supuestamente se levanta el instrumento de dibujo, la función no es continua.

A la hora de estudiar el crecimiento y decrecimiento de una función, el mayor problema que puede surgir es la obliga-toriedad de estudiarlo de izquierda a derecha, es decir, de −∞ hasta +∞.

5. Continuidad. Crecimiento

143


142

5. CONTINUIDAD. CRECIMIENTO

Sergio y Miguel se disponen a llenar un depósito de 50 L para el riego de un pequeño huerto urbano que tienen en su terraza. Sergio utiliza una goma de riego conectada a un grifo, y Juan, un cubo de 5 L.

Las siguientes gráficas muestran la relación entre el tiempo que pasa desde que comienzan a llenar el depósito y el agua que contiene.

Con la goma de riego Con los cubos

O 1

10

Tiempo (min)

Litros

•• •

•

O 1

10

Tiempo (min)

Litros

• ••

•• •

••

•

Como se ve, la primera gráfica no presenta saltos, se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel. Se trata de una función continua.

Sin embargo, la segunda presenta saltos, no es posible dibujarla sin levantar el lápiz del papel. Decimos que esta función presenta puntos de discontinuidad.

Una función es continua si su gráfica no presenta saltos o interrupciones.

Los puntos en los que la gráfica de la función presenta saltos o interrupciones se llaman puntos de discontinuidad.

Crecimiento y decrecimiento

Mario se ha descargado una aplicación en su móvil para controlar sus rutas en bicicleta. Esta app muestra la gráfica de una función que relaciona la longitud y la altitud de la ruta.

Al acabar una de sus rutas, Mario hace el siguiente análisis:

❚ Desde el kilómetro 0 hasta el kilómetro 5, la carretera asciende.

❚ Desde el kilómetro 5 hasta el kilómetro 20, la carretera desciende.

❚ Desde el kilómetro 20 hasta el kilómetro 25, la carretera asciende de nuevo.

En los tramos en los que asciende decimos que la función es creciente, mientras que, en aquellos otros en los que desciende, es decreciente. Además, en el punto (5, 300), la función presenta un máximo y en (20, 100), un mínimo.

❚ Una función es creciente en un tramo si, al aumentar los valores de la variable independiente, se incrementan también los de la variable dependiente.

❚ Una función es decreciente si, al aumentar los valores de la variable independiente, los de la variable dependiente disminuyen.

❚ Una función continua tiene un máximo en un punto cuando pasa de ser creciente a ser decreciente en dicho punto, y tiene un mínimo cuando pasa de ser decreciente a ser creciente.

Aprenderás a… ● Determinar la continuidad de una función.

● Indicar los puntos de discontinuidad.

● Reconocer en una función el crecimiento y el decrecimiento, los puntos máximos y los mínimos.

Presta atención

•

•

Cre

cient

e

Decreciente Creciente

Máximo

Mínimo

X

Y

O

Decide si las siguientes funciones son continuas y, en caso contrario, indica los puntos de discontinuidad.a)

•

•

• •

O 1

1

X

Y

b)

O 1

1

X

Y

c)

O 1

1

X

Y

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

d)

O 1

1

X

Y

Justifica si estas funciones son continuas o no.a) El tiempo que pasa desde el nacimiento de un

bebé y su estatura.b) El número de artículos vendidos en una tienda y

los ingresos que tiene.c) La altura sobre el nivel de mar de una ciudad y

su temperatura.

Dibuja la gráfica de una función continua en cada caso.a) Siempre es decreciente.b) Tiene un máximo en el punto (2, 3) y un mínimo

en el punto (0, 0).c) Tiene dos máximos y un mínimo.

25

26

27

Indica los tramos de crecimiento y decrecimiento, así como los máximos y mínimos, de las funciones representadas.

a)

O 1

1

X

Y

b)

O 1

1

X

Y

c)

O 1

1

X

Y

d)

••

O 1

1

X

Y

Una tarde de tormenta de verano se recoge la variación de temperatura, en °C, que se ha registrado en la ciudad.

15 16 17 18 19 20 21 Hora

15

T

161718

a) ¿A qué hora se alcanza el máximo? ¿Y el mínimo?

b) ¿Cuál es la temperatura máxima y la temperatura mínima?

28

29

DESAFÍOHalla el producto máximo que se puede dar entre dos números naturales cuya suma sea 10. ¿Y si los números suman 20? ¿Y si suman 100?

30



a) La función no es continua en x = −3 y x = 2.

b) La función es continua.

c) La función no es continua en todos los múltiplos de 3, positivos y negativos.

d) La función es continua.26 Justifica si estas funciones son continuas o no.

a) El tiempo que pasa desde el nacimiento de un bebé y su estatura.

b) El número de artículos vendidos en una tienda y los ingresos que tiene.

c) La altura sobre el nivel de mar de una ciudad y su temperatura.

a) Es continua, no se producen saltos en la estatura cuando aumenta el tiempo.

b) No es continua porque se producen saltos en los ingresos cada vez que se vende un artículo.

c) Es continua, en la altura no se producen saltos cuando la temperatura aumenta.27 Dibuja la gráfica de una función continua en cada caso.

a) Siempre es decreciente.

b) Tiene un máximo en el punto (2, 3) y un mínimo en el punto (0, 0).

c) Tiene dos máximos y un mínimo.

Respuesta abierta, por ejemplo:

a)

O 1

1

X

Y

b)

O 1

1

X

Y

c)

O 1

1

X

Y

223



28 Indica los tramos de crecimiento y decrecimiento, así como los máximos y mínimos, de las funciones representadas.

a)

O 1

1

X

Y c)

O 1

1

X

Y

b)

O 1

1

X

Y d)

••

O 1

1

X

Y

a) La función crece desde −8 hasta −7, desde −5 hasta −2, desde 1 hasta 4 y desde 7 hasta +∞.

La función decrece desde −∞ hasta −8, desde −7 hasta −5, desde −2 hasta 1 y desde 4 hasta 7.

b) La función crece desde −8 hasta −5 y desde −1 hasta 1.

La función decrece desde −∞ hasta −8, desde −5 hasta −1 y desde 1 hasta +∞.

c) La función crece desde −6 hasta −4 y desde 1 hasta +∞.

La función decrece desde −∞ hasta −6 y desde −4 hasta 1.

d) La función crece desde −4 hasta 6.

La función decrece desde −∞ hasta −4 y desde 6 hasta +∞.29 Una tarde de tormenta de verano se recoge la variación de temperatura, en ºC, que se ha registrado en la ciudad.

15 16 17 18 19 20 21 Hora

15

T

161718

a) ¿A qué hora se alcanza el máximo? ¿Y el mínimo?

b) ¿Cuál es la temperatura máxima y la temperatura mínima?

a) A las 16:45, aproximadamente. Sobre las 19:20, aproximadamente.

b) La máxima 18,1 ºC y la mínima 15,8 ºC, aproximadamente.

Desafío30 Halla el producto máximo que se puede dar entre dos números naturales cuya suma sea 10. ¿Y si los números suman 20?

¿Y si suman 100?

Llamamos x e y a los dos números, luego x + y = 10 → y = 10 − x.

Buscamos el máximo del producto, x ⋅ y, que con la condición previa es x(10 − x).

Representando la función 10x − x2 vemos que corta el eje X en x = 0 y x = 10, alcan-zando su punto máximo justamente en el centro.

Cambiando el valor 10 por 20 o por 100 no cambia la forma de la gráfica, si no solo su tamaño, pero en todos los casos el máximo se encuentra en el punto medio.

El producto máximo siempre se encuentra cuando los dos número son iguales.

Para sumar 10 → 5 ⋅ 5 = 25 Para sumar 20 → 10 ⋅ 10 = 100

Para sumar 100 → 50 ⋅ 50 = 2 500 O 2

5

X

y = – x² + 10x

Y



Soluciones de las actividades31 La gráfica muestra la velocidad, en km/h, de un coche en un viaje por una autopista.

1

15

O X

Y

Realiza un análisis de la gráfica de la función.

❚❚ La variable independiente es tiempo que dura el viaje en horas y la dependiente, velocidad del coche.

❚❚ Dominio: Desde el momento de partida (0 horas) hasta el fin del viaje (2 horas y media).

❚❚ Recorrido: Desde una velocidad nula (0 km/h) hasta 135 km/h.

❚❚ Puntos de corte con el eje X: (0, 0) y (2,5; 0)

❚❚ Punto de corte con el eje Y: (0, 0)


La interpretación de gráficas cierra la unidad y, para reali-zarla, se necesita un conocimiento de todos los aspectos tratados en anteriores epígrafes.

Es importante que los alumnos establezcan un orden a la hora de estudiar las características de la función.

Una vez estudiadas todas las características, es necesario que se haga un análisis global de toda la función relacio-nando todos los datos obtenidos con la relación entre las magnitudes estudiadas.

Es importante comprobar que los resultados tienen sentido.

6. Interpretación de gráficas

145


144

La gráfica muestra la velocidad, en km/h, de un coche en un viaje por una autopista.

1

15

O X

Y

Realiza un análisis de la gráfica de la función.

El depósito de un coche tiene una capacidad de 50 L. La gráfica muestra los litros que tiene el depósito durante un viaje de una duración de 8 h.

•

•

•

•

• •

O 1

5

Y

X

Interpreta esta gráfica analizando todas sus características.

Esta gráfica muestra la distancia al punto de partida de un autobús que realiza un trayecto circular en sus 8 h de recorrido.

O 1

2

Y

X

Interpreta la gráfica de esta función.

31

32

33

Se ha realizado una carrera de 100 metros lisos en la que han participado cuatro corredores. El análisis de un comentarista deportivo ha sido:

❚ Corredor 1. Salió muy rápido, pero poco a poco fue perdiendo fuerzas, para llegar a la meta totalmente desfondado.

❚ Corredor 2. Salió el más lento, pero, conforme transcurría la prueba, fue aumentando la velocidad, para llegar el primero.

❚ Corredor 3. Tuvo una salida rápida, pero a los 20 m tropezó y cayó al suelo. Al cabo de unos segundos continuó, pero ya mucho más lento, y acabó llegando el último.

❚ Corredor 4. Mantuvo una velocidad constante hasta los últimos 25 m, momento a partir del cual fue mucho más rápido. Llego en segundo lugar.

Representa en una gráfica esta situación.

El perfil de una piscina es el siguiente:

Si se está llenando con un caudal constante, dibuja la gráfica de la función que relaciona el tiempo transcurrido y la altura que alcanza el agua.

La noria de la figura gira con una velocidad constante. Da una vuelta cada 2 min, se detiene durante 30 s, vuelve a dar otra vuelta, y así sucesivamente. Dibuja la gráfica de la función que relaciona el tiempo que pasa y la altura a la que está la cesta marcada en la figura.

34

35

36

6. INTERPRETACIÓN DE GRÁFICAS

Para estudiar el nivel de ruido de una ciudad, el Ayuntamiento coloca un aparato que mide los decibelios en una de sus calles. Pasado un día lo recogen y reflejan los datos en la siguiente gráfica.

O 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

20

40

60

80

Hora del día

Dec

ibel

ios

Para interpretar los datos, vamos a estudiar todas las características de la gráfica.

❚ Variable independiente: la hora del día.

❚ Variable dependiente: los decibelios de ruido.

❚ Dominio: desde las 0 h hasta la 24 h, ambas incluidas.

❚ Recorrido: desde los 20 dB hasta los 60 dB, ambos incluidos.

❚ Puntos de corte con el eje X: no corta al eje X.

❚ Punto de corte con el eje Y: a las 0 h hay un ruido de 35 dB.

❚ Continuidad: la función es continua, no presenta saltos ni interrupciones.

❚ Crecimiento: la función crece desde las 6 h hasta las 12 h y desde las 16 h hasta las 19 h.

❚ Decrecimiento: la función decrece desde las 0 h hasta las 6 h de la mañana, desde las 12 h hasta las 16 h y desde las 19 h hasta las 24 h.

❚ Máximos: alcanza un máximo a las 12 h con 60 dB y otro a las 19 h con 55 dB.

❚ Mínimos: presenta un mínimo a las 6 h con 20 dB y otro a las 16 h con 35 dB.

Aprenderás a… ● Describir con el lenguaje apropiado las características de una función analizando su gráfica.

● Analizar situaciones reales y construir sus gráficas asociadas.

Presta atención

Cuando interpretamos la gráfica de una función, estudiamos la gráfica de izquierda a derecha.

DESAFÍORelaciona cada botella con la gráfica que relaciona la altura de su capacidad con el tiempo de llenado.37

} Andrea y Pedro van a montar en una montaña rusa que tiene el siguiente perfil.

Representa, aproximadamente la gráfica que relaciona el tiempo, en s, y la velocidad, en m/s, a la que se van a mover.

SoluciónLa gráfica debe empezar con una velocidad constante hasta que llega a la cima de la montaña rusa. Cada bajada de la montaña rusa tiene que coincidir con una gráfi ca creciente, y cada subida, con una función decreciente. Las cimas de la montaña rusa coinciden con mínimos en la velocidad, y los valles, con máximos.

EJERCICIO RESUELTO

O 5

4

T

V

225



❚❚ Continuidad: La función es continua, no presenta saltos ni interrupciones.

❚❚ Crecimiento: La función crece desde las 0 horas hasta los 15 minutos, desde los 45 minutos hasta la hora y media, desde las 2 horas hasta las dos horas y cuarto.

❚❚ Decrecimiento: La función decrece desde los 15 minutos hasta los 45 minutos, desde la hora y media hasta las 2 horas, y desde las 2 horas y 20 minutos aproximadamente hasta las 2 horas y media.

❚❚ Máximos y mínimos: Hay dos máximos: a los 15 minutos y a la hora y media. Hay dos mínimos: a los 45 minutos y a las 2 horas.

32 El depósito de un coche tiene una capacidad de 50 L. La gráfica muestra los litros que tiene el depósito durante un viaje de una duración de 8 h.

•

•

•

•

• •

O 1

5

Y

X

Interpreta esta gráfica analizando todas sus características.

❚❚ La variable independiente es tiempo de viaje en horas y la dependiente, capacidad del depósito en litros.

❚❚ Dominio: Desde el momento de partida (0 horas) hasta el fin del viaje (8 horas).

❚❚ Recorrido: Desde los 5 L sin incluir, hasta los 50 L.

❚❚ Puntos de corte con el eje X: No hay.


❚❚ Continuidad: La función no es continua, presenta saltos e interrupciones.

❚❚ Decrecimiento: La función es siempre decreciente.33 Esta gráfica muestra la distancia al punto de partida de un autobús que realiza un trayecto circular en sus 8 h de recorrido.

O 1

2

Y

X

Interpreta la gráfica de esta función.

❚❚ La variable independiente es tiempo de viaje en horas y la dependiente, distancia al punto de partida.

❚❚ Dominio: Desde el momento de partida (0 horas) hasta el fin del viaje (8 horas).

❚❚ Recorrido: Desde los 0 km hasta los 16 km.

❚❚ Puntos de corte con el eje X: (0, 0), (1,5; 0), (3, 0), (6,5; 0) y (8, 0)

❚❚ Los puntos de la gráfica que se encuentran entre x = 4,5 y x = 5 también cortan al eje X.



❚❚ Crecimiento: Es creciente en los primeros 30 minutos y desde los 40 minutos aproximadamente hasta completar la hora. Este patrón se repite 5 veces.

❚❚ Decrecimiento: Es decreciente desde los primeros 30 minutos hasta los 40 minutos aproximadamente, y desde la hora hasta la hora y media. Este patrón se repite 5 veces. La función es constante desde las 4,5 horas hasta las 5 horas.



34 Se ha realizado una carrera de 100 metros lisos en la que han participado cuatro corredores. El análisis de un comentarista deportivo ha sido:

❚❚ Corredor 1. Salió muy rápido, pero poco a poco fue perdiendo fuerzas, para llegar a la meta totalmente desfondado.

❚❚ Corredor 2. Salió el más lento, pero, conforme transcurría la prueba, fue aumentando la velocidad, para llegar el pri-mero.

❚❚ Corredor 3. Tuvo una salida rápida, pero a los 20 m tropezó y cayó al suelo. Al cabo de unos segundos continuó, pero ya mucho más lento, y acabó llegando el último.

❚❚ Corredor 4. Mantuvo una velocidad constante hasta los últimos 25 m, momento a partir del cual fue mucho más rápi-do. Llegó en segundo lugar.

Representa en un gráfica esta situación.

35 El perfil de una piscina es el siguiente:

Si se está llenando con un caudal constante, dibuja la grá-fica de la función que relaciona el tiempo transcurrido y la altura que alcanza el agua.

O 1

0,25

Tiempo (h)

Altura (m)

1

36 La noria de la figura gira con una velocidad constante. Da una vuelta cada 2 min, se de-tiene durante 30 s, vuelve a dar otra vuelta, y así sucesivamente. Dibuja la gráfica de la función que relaciona el tiempo que pasa y la altura a la que está la cesta marcada en la figura.

O 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1

Tiempo (min)

Altura (m)

Desafío37 Relaciona cada botella con la gráfica que relaciona la altura

de su capacidad con el tiempo de llenado.

El bote verde con la gráfica II, el bote rojo con la gráfica III y el bote azul con la gráfica I.

O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

25

50

75

100

X

Y

Corredor 1Corredor 2Corredor 3Corredor 4

227




En esta sección se destacan los procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido tras estudiar esta unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de:

❚❚ Representar puntos en el plano.

❚❚ Reconocer funciones e identificar gráficas de funciones.

❚❚ Estudiar el dominio, recorrido, puntos de corte, continuidad, crecimiento, decrecimineto, máximos y mínimos de una fun-ción.

Actividades finalesSoluciones de las actividades38 Representa en un sistema de coordenadas los siguientes puntos. ¿A qué cuadrante pertenece cada uno?

A(−4 ,1) B(5, 2) C(−2, −3) D(2, 4) E(6, −2) F(−3, −4) G(−2, 1) H(4, −1)

A(−4 ,1) → Segundo cuadrante

B(5, 2) → Primer cuadrante

C(−2, −3) → Tercer cuadrante

D(2, 4) → Primer cuadrante

E(6, −2) → Cuarto cuadrante

F(−3, −4) → Tercer cuadrante

G(−2, 1) → Segundo cuadrante

H(4, −1) → Cuarto cuadrante

¿Qué tienes que saber?

146 147

¿QUÉ7 tienes que saber? Actividades Finales 7

Identifica qué gráfica corresponde a una función.

a)

O 1

1

X

Y b)

O 1

1

X

Y

La gráfica del apartado a) corresponde a una función porque cada valor de x tiene asociado una sola imagen. Sin embargo, la gráfica del apartado b) no es función, ya que para x = −1, por ejemplo, tiene asociadas varias imágenes: y = −2, y = −1 e y = 2.

Función. Gráficas de funcionesTen en cuenta

Una función es una relación entre dos magnitudes tal que a cada valor de la primera magnitud, variable independiente, le corresponde un solo valor de la segunda magnitud, variable dependiente, también llamada imagen.

Coordenadas cartesianas

Representa en un sistema de coordenadas los siguientes puntos. ¿A qué cuadrante pertenece cada uno?A(−4 ,1) E(6, −2)B(5, 2) F(−3, −4)C(−2, −3) G(−2, 1)D(2, 4) H(4, −1)

Indica sobre qué eje se encuentran estos puntos.A(0 ,2) E(0, −1)B(0, −3) F(0, 4)C(−4, 0) G(−2, 0)D(10, 0) H(14, 0)

Escribe las coordenadas de estos puntos.

••

•

O 1

1

X

Y

•

•

•

•A B

C

D

EF

G

En la siguiente gráfica se ha representado la edad y la estatura, en cm, de un grupo de jóvenes.

•

•

••

O 10

150

X

Y

160

170

11 12 13 14 15

••

•

•

••

a) ¿Qué edad tiene el de mayor estatura?b) ¿Cuánto mide el más bajo?c) ¿Cuántos jóvenes hay que midan 160 cm?d) ¿Cuántos jóvenes hay con 15 años de edad?

Una librería tiene una oferta en la venta de libros con los siguientes precios:

N.º de libros 1 2 3 4 5

Precio (€) 10 19 27 35 40

Representa estos datos en una gráfica cartesiana.

38

39

40

41

42

Funciones

Indica si las siguiente gráficas representan o no una función. Justifica la respuesta.a)

O 1

1

X

Y c)

O 1

1

X

Y

b)

O 1

1

X

Y d)

O 1

1

X

Y

Justifica si la siguiente tabla de valores puede corresponder o no a una función:

x 1 3 5 1 4 6

y 2 2 3 3 4 4

Indica si las relaciones propuestas entre dos magnitudes pueden ser funciones. Justifica tu respuesta.a) La hora del día y la temperatura.b) El peso de una mochila y el número de libros.c) El precio de una compra y el número de kilos

de manzanas.d) La estatura de una persona y su talla de camisa.

Halla la imagen cuando la variable independiente toma el valor 5 en las siguientes funciones.a) x 1 2 3 4 5 6

y 3 2 4 3 2 1

b) A cada número le corresponde su doble.c) y = x2 − 4 d)

O 1

1

X

Y

e) A cada número le corresponde su triple.f) y = x + 2

43

44

45

46

Representa los siguientes puntos en el plano.

A(5, −1) C(5, 3) E(−4, 2)

B(−1, −2) D(0, 1) F(3, 0)

Puntos en el planoTen en cuenta

Las coordenadas cartesianas de un punto son un par de números ordenados que determinan su posición en el plano.

abscisa ordenada

(x, y)

O 1

1

X

Y

••

AB

C

DE

F

•

•

•

•

Determina el dominio, el recorrido y los puntos de corte con los ejes de esta función.

❚ Dominio: Los números mayores o iguales que −5 y menores que 3.

❚ Recorrido: Los números mayores o iguales que −4 y menores o iguales que 4.

❚ Puntos de corte con el eje de abscisas: (−4, 0), (0, 0) y (2, 0)

❚ Punto de corte con el eje de ordenadas: (0, 0)

Dominio, recorrido y puntos de corteTen en cuenta

❚ El dominio es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente.

❚ El recorrido es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente.

❚ Los puntos de corte con el eje de X son de la forma (x, 0), y el punto de corte con el eje de Y, de la forma (0, y).

•

•

O 1

1

X

Y

Indica el crecimiento y decrecimiento de esta función, determina los máximos y mínimos y decide si es continua.

❚ Creciente: desde −∞ hasta −4, desde −2 hasta 0 y desde 4 hasta +∞.

❚ Decreciente: desde −4 hasta −2 y desde 0 hasta 4.

❚ Máximos: (−4, 2) y (0, 4)

❚ Mínimos: (−2, −2) y (4, −3)

La función es continua.

Continuidad. Crecimiento y decrecimientoTen en cuenta

Una función es continua si no presenta saltos.

Una función puede ser:

❚ Creciente: si aumenta la variable x, se incrementa la variable y.

❚ Decreciente: si aumenta la variable x, disminuye la variable y.

Una función alcanza un máximo si cambia de creciente a decreciente y un mínimo si cambia de decreciente a creciente.

O 1

1

X

Y

•

•

•

O 1

1

X

Y

••

•

•

AB

C

D

E

F

G

•H



39 Indica sobre qué eje se encuentran estos puntos.

A(0, 2) B(0, −3) C(−4, 0) D(10, 0) E(0, −1) F(0, 4) G(−2, 0) H(14, 0)

A: Eje Y B: Eje Y C: Eje X D: Eje X E: Eje Y F: Eje Y G: Eje X H: Eje X 40 Escribe las coordenadas de estos puntos.

A(−6 ,3) E(3, −4)

B(0, 3) F(−3, −3)

C(8, 4) G(−9, 0)

D(7, 0)

41 En la siguiente gráfica se ha representado la edad y la estatura, en cm, de un grupo de jóvenes.

•

•

••

O 10

150

X

Y

160

170

11 12 13 14 15

••

•

•

••

a) ¿Qué edad tiene el de mayor estatura?

b) ¿Cuánto mide el más bajo?

c) ¿Cuántos jóvenes hay que midan 160 cm?

d) ¿Cuántos jóvenes hay con 15 años de edad?

a) 15 años

b) 150 cm

c) 3 jóvenes

d) 2 jóvenes42 Una librería tiene una oferta en la venta de libros con los siguientes precios:

N.º de libros 1 2 3 4 5

Precio (€) 10 19 27 35 40

Representa estos datos en una gráfica cartesiana.

•

O 1

5

N.º de libros

Prec

io (€

)

•

•

•

•

••

•

O 1

1

X

Y

•

•

•

•A B

C

D

EF

G

229



43 Indica si las siguientes gráficas representan o no una función. Justifica la respuesta.

a)

O 1

1

X

Y b)

O 1

1

X

Y c)

O 1

1

X

Y d)

O 1

1

X

Y

Son funciones los apartados b) y c), ya que para cada valor de x hay un único valor de y asociado.

Los apartados a) y d) no son funciones porque, por ejemplo, si x = 0 su imagen tiene asociados más de un valor para y. 44 Justifica si la siguiente tabla de valores puede corresponder o no a una función:

x 1 3 5 1 4 6

y 2 2 3 3 4 4

Los datos de la tabla no corresponden a una función porque para x = 1 hay asociados dos valores de y.45 Indica si las relaciones propuestas entre dos magnitudes pueden ser funciones. Justifica tu respuesta.

a) La hora del día y la temperatura.

b) El peso de una mochila y el número de libros.

c) El precio de una compra y el número de kilos de manzanas.

d) La estatura de una persona y su talla de camisa.

a) Es función, cada hora del día tiene una sola temperatura.

b) No es función, una mochila con el mismo peso puede tener diferentes cantidades de libros.

c) Es función, cada precio corresponde a un único peso de manzanas.

d) No es función, con una misma altura puedes llevar dos tallas diferentes de camisa.46 Halla la imagen cuando la variable independiente toma el valor 5 en las siguientes funciones.

a) x 1 2 3 4 5 6

y 3 2 4 3 2 1

b) A cada número le corresponde su doble.

c) y = x2 − 4

d)

O 1

1

X

Y

e) A cada número le corresponde su triple.

f) y = x + 2

a) y = 2

b) y = 10

c) 21

d) 3

e) 15

f) 7



47 Un parking cobra a sus clientes la estancia de la siguiente forma: si el vehículo está aparcado 15 min, hay que pagar 50 cent, pero, si pasa un solo segundo de ese tiempo, el importe se eleva a 1 €, y así por cada tramo de 15 min de esta-cionamiento.

Realiza una gráfica que relacione el tiempo de estancia en el parking con el precio que hay que pagar.

O 5

1

Tiempo (min)

Prec

io (€

)

•

••

•2

48 Adrián está probando un dron que le han regalado por su cumpleaños.

En la pantalla del mando a distancia aparece la altura a la que se encuentra el aparato, y esta información se actualiza cada 15 s. Los datos están reflejados en la siguiente tabla:

Tiempo (s) 15 30 45 60 75 90 105 120

Altura (m) 6 18 15 25 27 12 20 0

Dibuja una gráfica que relacione el tiempo y la altura del dron en los 2 min que ha estado volando.

149

Actividades Finales 7

148


Un parking cobra a sus clientes la estancia de la siguiente forma: si el vehículo está aparcado 15 min, hay pagar 50 CENT, pero, si pasa un solo segundo de ese tiempo, el importe se eleva a 1 €, y así por cada tramo de 15 min de estacionamiento.Realiza una gráfica que relacione el tiempo de estancia en el parking con el precio que hay que pagar.

Adrián está probando un dron que le han regalado por su cumpleaños.

En la pantalla del mando a distancia aparece la altura a la que se encuentra el aparato, y esta información se actualiza cada 15 s. Los datos están reflejados en la siguiente tabla:

Tiempo (s) 15 30 45 60 75 90 105 120

Altura (m) 6 18 15 25 27 12 20 0

Dibuja una gráfica que relacione el tiempo y la altura del dron en los 2 min que ha estado volando.

Eva y Nuria están jugando con números de forma que una dice un número y la otra contesta su imagen basándose en una función que conoce cada una. En las tablas aparecen los números y las imágenes del juego.

Evax 1 5 −2 −4 0

f(x) 4 12 −2 −6 2

Nuriax 3 −5 4 0 1

f(x) 8 −16 11 −1 2

Representa la función asociada a cada tabla y encuentra su expresión algebraica.

Dibuja las gráficas de las siguientes funciones dadas por su expresión algebraica.a) f(x) = −3x + 2 c) f(x) = x2 − 1

b) f(x) = x2 d) f(x) = x + 4

2

47

48

49

50

La evolución del agua embalsada durante las últimas semanas viene reflejada en la tabla:

Semana 1 2 3 4 5 6 7 8

Hm3 190 195 210 200 195 180 172 170

Representa los datos en una gráfica y analiza el crecimiento y el decrecimiento de esta función.

La siguiente tabla muestra las temperaturas de una localidad a lo largo de un día. Indica:

a) Si la relación entre la hora y la temperatura es una función.

b) Cuál es el dominio y el recorrido.

c) Qué significado tiene el punto de corte con el eje de ordenadas.

d) Si se trata de una función continua. Justifica la respuesta

e) Si corta la gráfica de la función el eje de abscisas. Justifica la respuesta.

f) A qué hora se midió la temperatura máxima y la mínima.

Un huerto dispone de un depósito para el riego que se abastece de un pozo. La gráfica muestra la relación que hay entre la hora del día y los litros de agua que contiene el depósito. Analiza el crecimiento y decrecimiento de la función. ¿En qué puntos presenta máximos o mínimos?

3 6 9 12 15 18 21 X

400

800

1200

Y

O

Javier ha instalado un termostato para la calefacción, de forma que la enciende cuando la temperatura baja de 16 ºC y la apaga al llegar a 19 ºC. A la vista de la gráfica que muestra la temperatura en casa de Javier hoy, ¿funciona el termostato? Justifica la respuesta.

3 6 9 12 15 18 21

12

16

20

Y

XO

54

55

56

57

Características de las funciones

Estudia el dominio, el recorrido y los puntos de corte de las siguientes funciones.a)

O 1

1

X

Y

b) •

••

O 1

1

X

Y

•

Indica los puntos de discontinuidad de estas funciones, si los tienen.a)

•

•

•

•

O 1

1

X

Y b)

O 1

1

X

Y

Indica los tramos donde cada una de las funciones crece y decrece, así como los máximos y los mínimos.a)

O 1

1

X

Y

b)

O 1

1

X

Y

51

52

53

Un grupo de amigos van a realizar una ruta en bici de montaña por unos montes cercanos. El perfil de la etapa es el siguiente:

2 6 10 14 18 22 26 30

400

800

1200

O X

Y

Realiza un análisis completo de la ruta.

Ana sale a dar un paseo por su ciudad, en la gráfica aparece el tiempo, en h, que lleva fuera de casa y la distancia, en km, a la que se encuentra de ella.

1 2 2,4 2,8

0,51

1,52

2,53

O X

Y

Realiza un análisis completo del recorrido.

Realiza un análisis completo de las siguientes gráficas de funciones.a)

O 1

1

X

Y

b)

•

•

•

O 1

1

X

Y

c)

O 1

1

X

Y

58

59

60

Hora T (ºC)

0 2

2 1

4 −2

6 −5

8 −1

10 2

12 5

14 7

16 8

18 6

20 3

24 1

•

••

• •

•

•

•O 50 100

5101520

Tiempo (s)

Altura (m)

231



49 Eva y Nuria están jugando con números de forma que una dice un número y la otra contesta su imagen basándose en una función que conoce cada una. En las tablas aparecen los números y las imágenes del juego.

Evax 1 5 −2 −4 0

f(x) 4 12 −2 −6 2

Nuriax 3 −5 4 0 1

f(x) 8 −16 11 −1 2

Representa la función asociada a cada tabla y encuentra su expresión algebraica.

Eva: y = 2x + 2

•

•

O 1

1

X

Y

Nuria: y = 3x − 1

•

•

O 2

2

X

Y

50 Dibuja las gráficas de las siguientes funciones dadas por su expresión algebraica.

a) f(x) = −3x + 2 b) f(x) = x2 c) f(x) = x2 − 1 d) f(x) = x + 4

2

a)

•

•

O 2

1

X

Y c)

O 1

1

X

Y

b)

O 1

1

X

Y d) •

•

O 1

1

X

Y



51 Estudia el dominio, el recorrido y los puntos de corte de las siguientes funciones.

a)

O 1

1

X

Y b) •

••

O 1

1

X

Y

•

a) Dominio: Desde −∞ hasta +∞ Recorrido: Desde −3 hasta +∞ Puntos de corte con el eje X: (−5, 0), (3, 0), (5, 0), (7, 0) y (9, 0)

Punto de corte con el eje Y: (0, 5)

b) Dominio: Desde −7, incluido, hasta 9, sin incluir

Recorrido: Desde −4 hasta 4

Puntos de corte con el eje X: (−2, 0) y (6,5; 0)

Punto de corte con el eje Y: (0, −4)52 Indica los puntos de discontinuidad de estas funciones, si los tienen.

a)

•

•

•

•

O 1

1

X

Y b)

O 1

1

X

Y

a) No es continua en x = −2 y x = 1.

b) La función es continua.53 Indica los tramos donde cada una de las funciones crece y decrece, así como los máximos y los mínimos.

a)

O 1

1

X

Y b)

O 1

1

X

Y

a) La función decrece desde −6 hasta −2, desde 0 hasta 2, desde 3 hasta 6 y desde 7 hasta +∞.

La función crece desde −∞ hasta −6, desde −2 hasta 0, desde 2 hasta 3 y desde 6 hasta 7.

b) La función decrece desde −2 hasta 2 y desde 5 hasta +∞.

La función crece desde −∞ hasta −2 y desde 2 hasta 5.

233



54 La evolución del agua embalsada durante las últimas semanas viene reflejada en la tabla:

Semana 1 2 3 4 5 6 7 8

Hm3 190 195 210 200 195 180 172 170

Representa los datos en una gráfica y analiza el crecimiento y el decrecimiento de esta función.

••

••

•

•• •

O 1 2 3 4 5 6 7

170180190200210220

X

Y La función crece desde la primera semana hasta la semana 3 y después decrece hasta la semana 8.

55 La siguiente tabla muestra las temperaturas de una localidad a lo largo de un día. Indica:

Hora T (ºC)

0 2

2 1

4 −2

6 −5

8 −1

10 2

12 5

14 7

16 8

18 6

20 3

24 1

56 Un huerto dispone de un depósito para el riego que se abastece de un pozo. La gráfica muestra la relación que hay entre la hora del día y los litros de agua que contiene el depósito. Analiza el crecimiento y decrecimiento de la función. ¿En qué puntos presenta máximos o mínimos?

3 6 9 12 15 18 21 X

400

800

1200

Y

O

La función crece desde las 0 horas hasta la 9 horas y desde la 15 horas hasta las 16,5 horas.

La función decrece desde las 9 horas hasta las 15 horas y desde las 16,5 horas hasta las 24 horas.

Presenta dos máximos, uno a las 9 horas y otro a las 16,5 horas, y un mínimo a las 15 horas.

a) Si la relación entre la hora y la temperatura es una función.

b) Cuál es el dominio y el recorrido.

c) Qué significado tiene el punto de corte con el eje de ordenadas.

d) Si se trata de una función continua. Justifica la respuesta.

e) Si corta la gráfica de la función el eje de abscisas. Justifica la respuesta.

f) A qué hora se midió la temperatura máxima y la mínima.

a) Sí es función, porque para cada hora hay una única temperatura.

b) Dominio: desde las 0 hasta las 24 horas.

Recorrido: desde −5 ºC hasta 8 ºC.

c) Significa que son las 0 horas.

d) Sí es una función continua, pues en todo momento hay una temperatura.

e) La temperatura cruza los 0 ºC.

f) La temperatura mínima se produce a las 6 horas y la máxima a las 16 horas.



57 Javier ha instalado un termostato para la calefacción, de forma que la enciende cuando la temperatura baja de 16 ºC y la apaga al llegar a 19 ºC. A la vista de la gráfica que muestra la temperatura en casa de Javier hoy, ¿funciona el termostato? Justifica la respuesta.

3 6 9 12 15 18 21

12

16

20

Y

XO

No funciona el encendido automático. Desde las 09:00 hasta las 18:30 la temperatura está por debajo de los 16 ºC, llegando hasta los 12 ºC, pero sí el apagado pues no supera los 20 ºC.

58 Un grupo de amigos van a realizar una ruta en bici de montaña por unos montes cercanos. El perfil de la etapa es el si-guiente:

2 6 10 14 18 22 26 30

400

800

1200

O X

Y Realiza un análisis completo de la ruta.

❚❚ La variable independiente es la distancia recorrida y la dependiente, la altura a la que se encuentra.

❚❚ Dominio: Desde los 0 km hasta los 30 km.

❚❚ Recorrido: Desde los 200 m hasta los 1 000 m.

❚❚ Puntos de corte con los ejes: Corta al eje Y en (0, 400) y no corta al eje X.


❚❚ Crecimiento: La función crece desde el kilómetro 0 hasta el 8 y desde el 18 al 22.

❚❚ Decrecimiento: La función decrece desde el kilómetro 8 hasta el 18 y desde el 22 hasta el 30.

❚❚ Máximos y mínimos: Hay dos máximos, en el kilómetro 8 y en el 22; y un mínimo, en el kilómetro 18.59 Ana sale a dar un paseo por su ciudad. En la gráfica aparece el tiempo, en h, que lleva fuera de casa y la distancia, en km,

a la que se encuentra de ella.

1 2 2,4 2,8

0,51

1,52

2,53

O X

Y Realiza un análisis completo del recorrido.

❚❚ La variable independiente es el tiempo que lleva fuera de casa y la dependiente, la distancia a la que se encuentra de ella.

❚❚ Dominio: Desde las 0 horas hasta las 2,8 horas.

❚❚ Recorrido: Desde los 0 kilómetros hasta los 2,5 kilómetros.

❚❚ Puntos de corte con el eje X: (0, 0) y (2,8; 0).

❚❚ Puntos de corte con el eje Y: (0, 0)


❚❚ Crecimiento: La función crece desde las 0 horas hasta las 1,4 horas.

❚❚ Decrecimiento: La función decrece desde las 1,4 horas hasta las 2,8 horas.

❚❚ Máximos: Hay un máximo a las 1,4 horas.

235



❚❚ Mínimos: No hay.60 Realiza un análisis completo de las siguientes gráficas de funciones.

a)

O 1

1

X

Y c)

O 1

1

X

Y

b)

•

•

•

O 1

1

X

Y

a) ❚❚ Dominio: Desde −∞ hasta +∞❚❚ Recorrido: Desde −3 hasta +∞❚❚ Puntos de corte con el eje X: (−6, 0), (0, 0), (6, 0) y (9, 0)



❚❚ Crecimiento: La función crece desde −6 hasta −3, desde 0 hasta 2 y desde 8 hasta +∞.

❚❚ Decrecimiento: La función decrece desde −∞ hasta −6, desde −3 hasta 0 y desde 2 hasta 8.

❚❚ Máximos: Hay dos máximos, uno en x = −3 y otro en x = 2.

❚❚ Mínimos: Hay tres mínimos, uno en x = −6, en x = 0 y en x = 8.

b) ❚❚ Dominio: Desde −8 hasta −1 y desde 0 hasta +∞❚❚ Recorrido: Desde −∞ hasta 2

❚❚ Puntos de corte con el eje X: (−7, 0), (−5, 0), (−2, 0), (1, 0) y (5, 0)


❚❚ Continuidad: La función no es continua, presenta saltos.

❚❚ Crecimiento: La función crece desde −6 hasta −3 y desde 3 hasta 5.

❚❚ Decrecimiento: La función decrece desde −8 hasta −6, desde −3 hasta −1, desde 0 hasta 3 y desde 5 hasta +∞.

❚❚ Máximos: Hay dos máximos, uno en x = −3 y otro en x = 5.

❚❚ Mínimos: Hay dos mínimos, en x = −6 y en x = 3.

c) ❚❚ Dominio: Desde −∞ hasta +∞❚❚ Recorrido: Desde −∞ hasta +∞❚❚ Puntos de corte con el eje X: (−7, 0), (−4, 0), (−2, 0), (2, 0) y (6, 0)



❚❚ Crecimiento: La función crece desde −∞ hasta −6, desde −3 hasta 0,5 y desde 4 hasta +∞.

❚❚ Decrecimiento: La función decrece desde −6 hasta −3 y desde 0,5 hasta 4.

❚❚ Máximos: Hay dos máximos, uno en x = −6 y otro en x = 0,5.

❚❚ Mínimos: Hay dos mínimos, uno en x = −3 y en x = 4.



Matemáticas vivas. Energía eólica


En esta sección trabajamos de un modo más concreto las competencias, en particular la competencia matemática. Se presenta una situación cotidiana, la energía eólica, en la que intervienen funciones y gráficas.

En la resolución de diferentes actividades de comprensión, relación y reflexión, los alumnos desarrollarán algunas de las com-petencias matemáticas evaluadas por el estudio PISA: Resuelve, Piensa y razona, Utiliza el lenguaje matemático, Argumenta, Comunica y Representa.

Para finalizar la sección se incluye el apartado Trabajo cooperativo donde se propone una tarea cuya estrategia cooperativa es Situación problema, Adaptación del Laboratorio de Innovación Educativa del colegio Ártica a partir de Ferreiro Gravié.

Los alumnos realizarán un informe sobre la producción de energía eólica en España. Investigarán sobre las ventajas y desven-tajas de los minigeneradores eólicos, además de marcar en un mapa los parques eólicos de su comunidad autónoma.

¿Cómo se realizará la tarea? Cada alumno dedicará unos minutos a buscar una posible solución. A continuación, discutirán en pequeños grupos las distintas soluciones y buscarán una respuesta común. Un alumno de cada grupo explicará su respuesta a petición del profesor.

Soluciones de las actividades

La energía eólica es la que se obtiene del viento a través de unos grandes molinos de viento llamados aerogeneradores.

Un aerogenerador empieza a funcionar cuando el viento alcanza una velocidad de 4 m/s y llega a la máxima producción de electricidad con un viento de unos 12 a 14 m/s. Si el viento es muy fuerte, por ejemplo de 25 m/s, los aerogeneradores se paran por cuestiones de seguridad.

7 MATEMÁTICAS VIVAS 7Energía eólica

150 151

La energía eólica es la que se obtiene del viento a través de unos grandes molinos de viento llamado aerogeneradores.

Un aerogenerador empieza a funcionar cuando el viento alcanza una velocidad de 4 m/s y llega a la máxima producción de electricidad con un viento de unos 12 a 14 m/s. Si el viento es muy fuerte, por ejemplo de 25 m/s, los aerogeneradores se paran por cuestiones de seguridad.

RELACIONA

Observa la gráfica del apartado anterior y a partir de ella responde a estas preguntas.

a. ¿Se detiene en algún momento la producción de energía por la poca intensidad del viento? ¿Entre qué horas se produce este parón en la producción de energía?

ARGUMENTA

b. ¿Supera el viento una velocidad de 24m/s? ¿Cuánto tiempo está por encima de esta velocidad?

c. La máxima producción se da con un viento de entre 12 m/s y 14 m/s; ¿cuántas horas están produciendo a máxima potencia los aerogeneradores?

d. Indica los períodos en los que aumenta la velocidad del viento y los períodos en los que disminuye.

COMUNICA

e. Identifica las horas en las que el viento empieza a perder velocidad.

REPRESENTA

f. Señala las horas en las que el viento empieza a ganar intensidad.

2

COMPRENDE

La siguiente función muestra la evolución del viento a lo largo de un día.

2

2

X

Y

O

a. ¿Cuál es la velocidad del viento a las 4 h de la mañana? ¿Y a las 7 h?la mañana? ¿Y a las 7 h?

RESUELVE

b. ¿A qué horas alcanza el viento una velocidad de 14 m/s?

c. ¿Se llega a superar una velocidad mayor que 26 m/s?

d. ¿Se para el viento en algún momento?

e. ¿A qué hora se produce la velocidad máxima del viento? ¿Y la mínima?

1

REFLEXIONA

Se está proyectando instalar un parque eólico, pero se duda entre tres zonas con bastante viento. Los estudios realizados se reflejan en las siguientes gráficas, que muestran la velocidad del viento a lo largo de un día.

Zona 1 Zona 2 Zona 3

2

2

X

Y

O 2

2

X

Y

O 2

2

X

Y

O

¿Qué zona elegiría para construir el parque eólico?

En el parque eólico se ha decidido instalar aerogeneradores de un potencia nominal 3 000 kW, que es la potencia que genera la máquina cuando opera al máximo.

1

5

X

Y

O

¿Cuánto tiempo está el generador a máximo rendimiento? ¿Y funcionando por debajo del 50 % de su potencia?por debajo del 50 % de su potencia?

UTILIZA EL LENGUAJE MATEMÁTICO

Jesús tiene pensado instalar un aerogenerador de minienergía eólica para el abastecimiento de su casa. A fin de asegurarse de su rendimiento, mide la velocidad del viento a diferentes horas durante varios días y construye la siguiente gráfica.

Si la franja de mayor rendimiento se encuentra con un viento de entre 8 m/s y 12 m/s, ¿en qué porcentaje de tiempo se encuentra funcionando a pleno rendimiento el aerogenerador?

3

ARGUMENTA

4

5

TRABAJO

COOPERATIVOTAREA

Realizad un informe sobre la producción de energía eólica en España. Para ello, señalad en un mapa de vuestra comunidad autónoma los

parques eólicos que encontréis e investigad sobre las ventajas e inconvenientes de los

minigeneradores eólicos.

O 6

2

X

Y

del viento? ¿Y la mínima?

UTILIZA EL LENGUAJE MATEMÁTICO

¿Se llega a superar una velocidad mayor

PIENSA Y RAZONA

237



Comprende1 La siguiente función muestra la evolución del viento a lo largo de un día.

2

2

X

Y

O

a) ¿Cuál es la velocidad del viento a las 4 h de la mañana? ¿Y a las 7 h?

b) ¿A qué horas alcanza el viento una velocidad de 14 m/s?

c) ¿Se llega a superar una velocidad mayor que 26 m/s?

d) ¿Se para el viento en algún momento?

e) ¿A qué hora se produce la velocidad máxima del viento? ¿Y la mínima?

Se muestra la hora del día en el eje X y la velocidad del viento en m/s en el Y.

a) La velocidad a las 4 h de la mañana es de 4 m/s y a las 7 h es de 12 m/s.

b) El viento alcanza una velocidad de 14 m/s a las 9 h y a las 15 h.

c) No, no llega a superar los 26 m/s.

d) No se para, en ningún momento llega a 0 m/s.

e) La máxima velocidad se produce a las 13 h y la mínima a las 2 h.

Relaciona2 Observa la gráfica del apartado anterior y a partir de ella responde a estas preguntas.

a) ¿Se detiene en algún momento la producción de energía por la poca intensidad del viento? ¿Entre qué horas se pro-duce este parón en la producción de energía?

b) ¿Supera el viento una velocidad de 24 m/s? ¿Cuánto tiempo está por encima de esta velocidad?

c) La máxima producción se da con un viento de entre 12 m/s y 14 m/s; ¿cuántas horas están produciendo a máxima potencia los aerogeneradores?

d) Indica los períodos en los que aumenta la velocidad del viento y los períodos en los que disminuye.

e) Identifica las horas en las que el viento empieza a perder velocidad.

f) Señala las horas en las que el viento empieza a ganar intensidad.

a) Sí, entre la 1 h y las 3 h.

b) Sí, algo menos de 2 horas.

c) Están 6 horas produciendo a máxima potencia.

d) Aumenta: De las 2 h a las 13 h y desde las 22 h a las 23 h.

Disminuye: Desde las 0 h a las 2 h, desde las 13 h a las 22 h y desde las 23 h a las 24 h.

e) A las 13 h y a las 23 h.

f) A las 2 h y a las 22 h.

Reflexiona3 Se está proyectando instalar un parque eólico, pero se duda entre tres zonas con bastante viento. Los estudios realizados

se reflejan en las siguientes gráficas, que muestran la velocidad del viento a lo largo de un día.Zona 1 Zona 2 Zona 3

2

2

X

Y

O 2

2

X

Y

O 2

2

X

Y

O

¿Qué zona elegiría para construir el parque eólico?

El de la zona 1. Los otros dos están más tiempo sin producción máxima.



4 En el parque eólico se ha decidido instalar aerogeneradores de una potencia nominal de 3 000 kW, que es la potencia que genera la máquina cuando opera al máximo.

1

5

X

Y

O

¿Cuánto tiempo está el generador a máximo rendimiento? ¿Y funcionando por debajo del 50 % de su potencia?

La gráfica muestra en el eje X el tiempo que está el generador funcionando, y en el eje Y, la potencia nominal en cientos de kW.

El generador está a máximo rendimiento solo 6 horas.

Está por debajo del 50% cuando su potencia es inferior a los 1 500 kW/h; esto ocurre durante 5 horas.5 Jesús tiene pensado instalar un aerogenerador de minienergía eólica para el abastecimiento de su casa. A fin de asegurar-

se de su rendimiento, mide la velocidad del viento a diferentes horas durante varios días y construye la siguiente gráfica.

O 6

2

X

Y

Si la franja de mayor rendimiento se encuentra con un viento de entre 8 m/s y 12 m/s, ¿en qué porcentaje de tiempo se encuentra funcionando a pleno rendimiento el aerogenerador?

g) Funciona a pleno rendimiento 42 horas de las 72 horas de las que está funcionando, luego funciona un 42

72 = 0,583,

es decir, un 58,3 %.

Trabajo cooperativo

Respuesta abierta.

TAREA

Realizad un informe sobre la producción de energía eólica en España. Para ello, señalad en un mapa de vuestra comunidad autónoma los

parques eólicos que encontréis e investigad sobre las ventajas e inconvenientes de los

minigeneradores eólicos.

239



152


Observa las gráfi cas de las siguientes funciones.

O 1

1

X

Y

•

• •

•O 1

1

X

Y

❚ Una función tiene simetría par si es simétrica con respecto al eje de ordenadas. Se tiene que: f(−x) = f(x)

O 1

1

X

Y

•

• •

•

O 1

1

X

Y

❚ Una función tiene simetría impar si es simétrica con respecto al origen. Se tiene que: f(−x) = −f(x)

AVANZA Simetrías

A1. Copia y completa la siguiente función para que tenga simetría par.

O 1

1

X

Y

A2. Decide si estas funciones tienen simetría par.

a) f(x) = 3x − 1 b) f(x) = x2 + 4

A3. Copia y completa la siguiente función para que tenga simetría impar.

O 1

1

X

Y

A4. Decide si estas funciones tienen simetría impar.

a) f(x) = x + 1 b) f(x) = x3 + 2x

Los valores opuestos tienen la misma imagen.

f(4) = 5 = f(−4)

f(2) = −1 = f(−2)

Los valores opuestos tienen imágenes opuestas.

f(3) = −2 = −f(−3)

f(4) = 1 = −f(−4)

FUNCIONES EN LOS MEDIOS DE COMUNICACIÓN Para muchas de las funciones que aparecen en la prensa o en Internet no es posible encontrar expresión algebraica porque es imposible predecir los resultados futuros. Estas gráficas se construyen de forma experimental. Un ejemplo muy típico aparece en la sección de economía de cualquier periódico al mostrar la evolución de los valores de bolsa a lo largo del tiempo.

F1. En la sección del tiempo de cualquier periódico o página web suelen aparecer gráficas que relacionan la temperatura con la hora del día. ¿Puedes encontrar la expresión algebraica de funciones de este tipo?

F2. Revisa diferentes páginas de la prensa y analiza qué funciones aparecen en ellas. Después, clasifícalas en dos grupos: aquellas funciones que tienen expresión algebraica y las que no la tienen.

jul 03 ene 05 jul 06 ene 08 ene 11

Gráfico histórico del IBEX 35

jul 09


En la sección Avanza de esta unidad se introduce el estudio de las simetrías de una función mediante el estudio de su gráfica o de su expresión algebraica. Su aplicación se traba-jará con mayor profundidad en cursos superiores.


A1. Copia y completa la siguiente función para que tenga simetría par.

Comprobar que los alumnos completan la gráfica de este modo:

O 1

1

X

Y

A2. Decide si estas funciones tienen simetría par.

a) f(x) = 3x − 1 b) f(x) = x2 + 4

a) f(x) = 3x − 1 → f(−x) = 3 ⋅ (−x) − 1 = −3x − 1

Como f(x) ≠ f(−x), la función no es par.

b) f(x) = x2 + 4 → f(−x) = (−x)2 + 4 = x2 + 4

Como f(x) = f(−x), la función es par.A3. Copia y completa la siguiente función para que tenga simetría impar.

Comprobar que los alumnos completan la gráfica de este modo:

O 1

1

X

Y

A4. Decide si estas funciones tienen simetría impar. a) f(x) = x + 1 b) f(x) = x3 + 2x

a) f(−x) = −x + 1; −f(x) = −x − 1 b) f(−x) = (−x)3 + 2(−x) = −x3 − 2x = −f(x)

Como f(x) ≠ −f(−x) la función no es impar. Como f(−x) = −f(x) la función es impar.

Funciones en los medios de comunicaciónSugerencias didácticas

Para finalizar la unidad se trabajan las funciones en las que existe una dependencia estadística, ya que la relación se ha cons-truido de forma experimental. Este tipo de funciones suele ser muy utilizada en distintos medios de comunicación.


F1. En la sección del tiempo de cualquier periódico o página web suelen aparecer gráficas que relacionan la temperatura con la hora del día. ¿Puedes encontrar la expresión algebraica de funciones de este tipo?

Sí es una función, pero no tiene una expresión algebraica conocida.

F2. Revisa diferentes páginas de la prensa y analiza qué funciones aparecen en ellas. Después, clasifícalas en dos grupos: aquellas funciones que tienen expresión algebraica y las que no la tienen.

Repuesta abierta.

Avanza. Simetrías



1. Representa en el plano los siguientes puntos.

A(−4, 0) B(0, 2) C(−6, −1) D(4, 4)

¿Están alineados estos puntos?

Los puntos sí están alineados.

2. Indica cuáles de las siguientes relaciones entre las magnitudes A y B son funciones.

a) Cada valor de la magnitud A le corresponde el doble de la magnitud B.

b)

O 1

1

A

B

a) Es función porque el doble de cada valor de la magnitud A es único.

b) No es función. Por ejemplo, el valor 4 de la magnitud A tiene asociados varios valores de la magnitud B.

c) Es función porque todos los valores de la magnitud A tienen asociado un único valor de la magnitud B.

3. Una fuente tiene un grifo con un caudal que varía a lo largo del día. La siguiente tabla relaciona el tiempo que está echan-do agua y los litros vertidos en un estanque. Representa esta relación.

N.º de horas 5 10 20 30 35 45 60

N.º de litros 50 100 150 200 250 300 400

4. Estudia el dominio, el recorrido y la continuidad de la siguiente gráfica de una función.

Dominio: Desde −∞ hasta 4

Recorrido: Desde −3 hasta +∞

Continuidad: La función es continua.

5. Indica los tramos de crecimiento y decrecimiento de la función representada por su gráfica.

Decrecimiento: Desde −∞ hasta −4 y desde −1 hasta 1

Crecimiento: Desde −4 hasta −1 y desde 1 hasta +∞

PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA A

O 1

1

X•

•

•

•Y

c) A 2 5 7 10

B 10 3 10 3

••

••

••

•

O 10 20 30 40 50

100

200

300

Horas

Litros

O 1

1

X

Y

O 1

1

X

Y

241



1. Esta tabla muestra la relación entre el tiempo de estancia en un gran almacén y el dinero que se gastan los visitantes:

Tiempo de estancia (min) 35 15 5 25 40 10 20

Dinero gastado (€) 0 55 75 40 80 80 50

a) Representa los puntos sobre el plano. b) Indica se trata de una función.

a)

O 5

Y

X

•

••

•

•

•

10•

b) No es una función, puesto que a un mismo tiempo se le pueden asociar diferentes gastos.

2. Dada la función: A cada número le corresponde la mitad menos 1.

a) Representa la función. b) Escribe su expresión algebraica.

a) x y b) y =

x

2−1

0 −1

2 0

4 1

3. En una granja venden las docenas de huevos a 1,20 €. Representa la grafica de la función que relaciona el número de huevos comprados y el precio pagado.

•

O 6

Y

X

••

•1,20

4. Realiza la gráfica de una función que tenga un solo máximo y un solo mínimo, de forma que el valor del máximo sea menor que el valor del mínimo.

La función tiene que ser no continua para poder realizar la gráfica con estas con-diciones.

5. Realiza un estudio completo de la siguiente gráfica de función.

Dominio y recorrido: Desde −∞ hasta +∞.

Continuidad: La función no es continua en −1.

Decrecimiento: Desde −∞ hasta −3 y desde 2 hasta +∞

Crecimiento: Desde −3 hasta 2

Máximos y mínimos: Tiene un máximo en 2 y un mínimo en −3.

Corte con el eje X: (−3, 0), (−1, 0) y (4, 0)

Corte con el eje Y: (0, 1)

PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA B

•

•

O 1

1

X

Y

•

•

O 1

1

X

Y

O 2

1

X•

••

Y

7 funciones y grá cas 7 funciones y grÁficas · ... y se proponen nuevas actividades para ... en...

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