DÍA 50 * 1º BAD CT

GRÁFICA DE FUNCIONES RACIONALES

ASÍNTOTAS• ASÍNTOTAS

• Se llaman asíntotas o ramas infinitas de una función racional aquellas rectas con las que la función tiende a coincidir, aproximándose a ellas tanto como queramos, en el infinito.

• Asíntota vertical• Asíntota horizontal• Asíntota oblicua. 0 3 x

Y

1

Max

Mín

• ASÍNTOTAS VERTICALES

• La recta x = a es una asíntota vertical de la función f si:

• Lím f(x) = ± oo• x a• Pueden ser asíntotas verticales todas las rectas x=a, donde “a” no forma

parte del dominio de las funciones racionales.

• EJEMPLO_1

• Sea la función f(x) = 3 / (x – 2) • En x = 2 la función no existe.• Lím f(x) = Lím ( 3 / (x – 2) = 3 / (2-2) = 3 / 0 = oo• x 2 x 2

• x = 2 es una Asíntota Vertical.

• ASÍNTOTAS HORIZONTALES

• La recta y = b es una asíntota horizontal de la función f(x) si:

• Lím f(x) = b• x ± oo

• En la práctica si una función presenta asíntotas verticales y asíntotas horizontales, podemos descartar en la mayoría de los casos que presente asíntotas oblicuas.

• Ejemplo_1

• Sea la función f(x) = 1 / x

• Lím f(x) = Lím 1 / x = 1 / oo = 0• x oo

• La recta y = 0 es una Asíntota Horizontal.

• La función f(x) = k / (x – m) , para cualquier valor real de k y de m, tendría un comportamiento similar a la del ejemplo cuando x ± oo

• ASÍNTOTAS OBLICUAS• • La recta y = m.x + n es una asíntota oblicua de la función f si:• f(x)• Lím ------ = m y Lím [ f(x) – m.x ] = n• x ± oo x x± oo

• En la práctica, siempre que una función racional no presente asíntotas horizontales debemos suponer que existen asíntotas oblicuas.

• Ejemplo_1• • Sea la función: f(x) = (x2 – 3) / x• f(x) x2 – 3 x2 3• m = Lím ------ = Lím -------- = Lím ----- – ---- = 1 – 0 = 1• x oo x x oo x2 x oo x2 x2

• • n = Lím [ f(x) – m.x ] = Lím [(x2 – 3) / x - x = Lím [- 3 / x2 ] = 0

xoo xoo

• La recta y = 1.x + 0 y = x es una asíntota oblicua.

• OTRA FORMA DE HALLAR ASÍNTOTAS OBLICUAS• • Se efectúa la división de polinomios indicada en la función:• f(x) = D(x)/d(x)• Quedando: f(x) = c(x) + r(x)/d(x)• El cociente c(x) resultante es la asíntota oblicua: y = c(x)

• Ejemplo_1• • Sea la función: f(x) = (x2 – 3) / x

• x2 – 3 - 3 • -------- = x + ----- ; y = x es la asíntota oblicua ; - 3 es el resto• x x

• Ejemplo_3• • Sea la función: f(x) = (x2 – 5.x + 3) / (x – 1)

• x2 – 5.x + 3 - 1 • ---------------- = x – 4 + -------- ; y = x – 4 es la asíntota oblicua ; - 1 es el resto• x – 1 x – 1

Gráfica Ejemplo_1• x2 – 3• f(x) = --------• x• Límite por la derecha de 0:

• x2 – 3 – 3 • lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = - oo• x0+ x +0

• pues x vale algo más de 0.

• Límite por la izquierda de 0:

• x2 – 3 – 3• lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = + oo

• x0- x - 0

0 3 x

Y

1

Gráfica Ejemplo_2• x2 + 3• f(x) = --------• x• Límite por la derecha de 0:

• x2 + 3 +3 • lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = + oo• x0+ x +0

• pues x vale algo más de 0.

• Límite por la izquierda de 0:

• x2 + 3 + 3• lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = - oo

• x0- x - 0

0 3 x

Y

Max

Mín

A tener en cuenta

• Puntos importantes a tener en cuenta para representar funciones RACIONALES, y = P(x) / Q(x)

• 1.- Asíntotas verticales.• 2.- Asíntotas horizontales.• 3.- Asíntotas oblicuas.• 4.- Máximos y mínimos relativos.

• Otros apartados auxiliares para conseguir una mayor precisión son:

• 5.- Cortes con los ejes.• 6.- Intervalos de crecimiento y decrecimiento.• 7.- Puntos de inflexión.• 8.- Intervalos de concavidad y convexidad.• 9.- Simetría.• 10.- Periodicidad.• 11.- Tabla de Valores.

EJEMPLO 1

• EJEMPLO_1

• Representar la función:• y = x / (3 – x)

• 1.- Asíntota vertical

• En x = 3 la función no existe.• En x = 3 la función presenta una

asíntota vertical.• Calculamos sus límites laterales:• x 3 • Lím ------------ = ------ = + oo• x 3- 3 – 3- +0 • x 3 • Lím ------------ = ------ = – oo• x 3+ 3 – 3+ – 0

0 3 x

y

• EJEMPLO_1

• Representar la función:• y = x / (3 – x)

• 2.- Asíntota horizontal

• x oo • y = Lím ------------ = ------ =• xoo 3 – x oo

• Indeterminación• Se divide todo entre x• 1 1 • Lím ------------ = ------ = – 1• x oo 3/x – 1 0 – 1

• y= -1 es una asíntota horizontal.

0 3 x

y

-1

• EJEMPLO_1

• Representar la función:• y = x / (3 – x)

• 3.- Asíntota oblicua

• La recta y = m.x + n es una asíntota oblicua de la función:

• f(x) x • m = Lím ------ = lím -------------- = • x oo x x oo x (3 – x)

• 1 1 1• m = Lím -------- = ---------- = ------ = 0 • x oo 3 – x 3 – oo - oo

• Al ser la pendiente m=0, la asíntota es horizontal (ya hallada).

• No hay asíntota oblicua.

0 3 x

y

-1

• Ejemplo_1

• Representar la función y = x / (3 – x)

• 4.- Puntos singulares

• Derivamos la función para hallar los puntos singulares:

• y ‘ = [ 1. (3 – x) – (-1) . x ] / (3 – x)2

• y ‘ = [ 3 – x + x ] / (3 – x)2 = 3 / (3 – x)2

• Igualamos a cero: y ‘ = 0 3 = 0 • Imposible.

• No existen puntos singulares, ni máximo ni mínimo relativo.

• 5- Cortes con los ejes

• Con el eje OY: x=0 y = 0 / 3 = 0 Pc(0,0)• Con el eje OX: y=0 0= x / (3 – x) 0 = x Pc(0,0)

0 3 x

y

-1

Pc(0,0)

• Ejemplo 1:

• Representar la función y = x / (3 – x)

• 6.- Intervalos de crecimiento y decrecimiento:

• Su derivada era y ‘ = 3 / ( 3 – x)2

• Al no haber puntos singulares, x = 3, que es la asíntota vertical, nos delimita los intervalos

• Los intervalos a estudiar son: (-oo, 3) y (3, oo)

• Tomamos un punto cualquiera de cada intervalo:• f ’ (0) = 3 / (3 – 0)2 = 3 / 9 = 1 / 3 > 0 Creciente en (- oo, 3)• f ’ ( 6) = 3 / (3 – 6)2 = 3 / 9 = 1/ 3 > 0 Creciente en (3, + oo)

• Ejemplo 1:

• Representar la función y = x / (3 – x)

• 7.- Puntos de Inflexión:

• Su derivada era y ‘ = 3 / (3 – x)2

• Hallamos la segunda derivada:• y ’’ = [ 0. (3 – x)2 – 3. 2.(3 – x).( - 1)] / (3 – x)4

• y ’’ = [ 6.(3 – x)] / (3 – x)4 = 6 / (3 – x)3

• Igualamos a cero:• 6 / (3 – x)3 = 0 6 = 0 Imposible. No existen puntos de

inflexión.

• No procede comprobar que y’’’ <> 0

• Ejemplo 1:

• Representar la función y = x / (3 – x)

• 8.- Intervalos de concavidad y convexidad:

• Su derivada era y ‘ = 3 / (3 – x)2

• Su segunda derivada era: y ’’ = 6 / (3 – x)3

• Como no hay Puntos de Inflexión, los límites de los intervalos vendrán dados por la asíntota vertical x = 3

• Los intervalos a estudiar son: (- oo, 3) y (3, + oo)

• Tomamos un punto cualquiera de cada intervalo:• f ‘’ (0) = 6 / 33 > 0 Es Cóncava en (- oo, 3)• f ‘’ (6) = 6 / (3 – 6)3 = 6 / (- 33) < 0 Es Convexa en (3, + oo)

Gráfica de la función Ejemplo_1

• Sea la función:• y = x / (3 – x)

• Asíntota vertical: x = 3• Asíntota horizontal: y = - 1• Puntos de corte: • Pc (0, 0), • Máximo: No hay. • Mínimo: No hay.• Creciente en (- oo, 3) y• en (3, +oo)• Punto de Inflexión: No hay.• Es çóncava en (- oo, 3)• Es convexa en (3, + oo)• No presenta simetrías.

0 3 x

y

-1

Pc(0,0)

EJEMPLO 2

• EJEMPLO_2

• Representar la función:• y = (x2 + 3) / (4.x – x2)

• 1.- Asíntotas verticales

• En x = 0 y x = 4 la función no existe al dar cero el numerador.

• x = 0 es una asíntota vertical.• x = 4 es una asíntota vertical.• Calculamos sus límites laterales:• x2 + 3 3 • Lím ------------ = ---------- = - oo• x 0- 4.x – x2 0- – 0- • x2 + 3 3 • Lím ------------ = ---------- = + oo• x 0+ 4.x – x2 0+ – 0+

• Pues en valores muy próximos a 0, 4x es mayor que x2

0 4 x

y

• Calculamos sus límites laterales:• x2 + 3 19 • Lím ------------ = ---------- = + oo• x 4- 4.x – x2 16- – 16-

• x2 + 3 19 • Lím ------------ = ---------- = - oo• x 4+ 4.x – x2 16+ – 16+

• 2.- Asíntota horizontal

• x2 + 3 oo • y =Lím ------------ = ---------- = Indet• x oo 4.x – x2 – 00

• Se divide todo entre x2

• 1 + 3 / x2 1 + 0 • y = Lím ------------- = -------- = – 1• x oo 4 / x - 1 0 – 1

• y= -1 es una asíntota horizontal. •

0 4 x

y

-1

• 3.- Asíntota oblicua

• La recta y = m.x + n es una asíntota oblicua de la función:

• f (x) (x2 + 3) • m = Lím ------ = lím -------------- = • x oo x x oo x (4.x – x2)

• x2 + 3 oo • m = Lím ------------- = ------ = Indet. • x oo 4.x2 – x3 - oo

• m = lím [ 0 + 0 ] / [0 – 1] = 0 / (-1) = 0• x oo• Al ser la pendiente m=0, la asíntota es

horizontal (ya hallada).• No hay asíntota oblicua.

0 4 x

y

-1

• 4.- Puntos singulares

• y = (x2 + 3) / (4.x – x2)

• Derivamos la función para hallar los puntos singulares:• y ‘ = [ 2x. (4.x – x2) – (x2 + 3 ).(4 – 2.x ] / (4.x – x2)2

• y ‘ = [ 8.x2 – 2.x3 – 4.x2 + 2.x3 – 6.x – 12 ] / (4.x – x2)2

• y ‘ = ( 4.x2 – 6.x – 12 ) / (4.x – x2)2

•

• Igualamos a cero: y ‘ = 0 4.x2 – 6.x – 12 = 0 2.x2 – 3.x – 6 = 0• Resolvemos la ecuación:• x = [ 3 +/- √ (9 + 48) ] / 4 = (3 +/- 7,55) / 4 • x = 2,64 y x = - 1,16 son las abscisas de los puntos singulares.

• Calculamos sus ordenadas:

• f(2,64) = (2,642 + 3) / (4.2,64 – 2,642) = 9,97 / 3,59 = 2,77• f(-1,16) = ((-1,16)2 + 3) / (4.(-1,16) – (-1,16)2) = 4,34 / (-5,98) = -0,72

• Los puntos son: (-1,16, -0,72) y (2,64, 2,77)

• 5- Cortes con los ejes

• y = (x2 + 3) / (4.x – x2)

• Con el eje OY:• x=0 No puede haber al ser asíntota

vertical.

• Con el eje OX: • y=0 0 = (x2 + 3) / (4.x – x2)• 0 = x2 + 3 x2 = – 3 No hay

0 4 x

y

-1

• 6.- Intervalos de crecimiento y decrecimiento:

• y = (x2 + 3) / (4.x – x2)• Su derivada era:• y ‘ = ( 4.x2 – 6.x – 12 ) / (4.x – x2)2

• Los puntos singulares y las asíntotas verticales nos delimita los intervalos• Los intervalos a estudiar son:• (- oo, -1,16) , (-1,16, 0) , (0, 2,64) , (2,64, 4) y (4, + oo)

• Tomamos un punto cualquiera de cada intervalo:• f ’ (-2) = ( 4.(-2)2 – 6.(-2) – 12 ) / (4.(-2) – (-2)2)2 = 16/144 > 0 Creciente en (- oo, -1,16)• f ’ (-1) = ( 4.(-1)2 – 6.(-1) – 12 ) / (4.(-1) – (-1)2)2 = -2 / 25 <0 Decreciente en (-1,16, 0)• f ’ (2) = ( 4.22 – 6.2 – 12 ) / (4.2 – 22)2 = - 8 /16 < 0 Decreciente en (0, 2,64)• f ’ (3) = ( 4.32 – 6.3 – 12 ) / (4.3 – 32)2 = 6 / 9 > 0 Creciente en (2,64, + oo)• f ’ (5) = ( 4.52 – 6.5 – 12 ) / (4.5 – 52)2 = 58 / 25 > 0 Creciente en (2,64, + oo)

0 4 x

y

-1

Grá

fica

de la

func

ión

Eje

mpl

o_2

Mín

Máx

Punto de Inflexión

OTROS EJEMPLOSRESUMIDOS

Ejercicios

• Representar gráficamente las seis funciones cuyo dominio ya se ha calculado, hallando el recorrido o imagen de cada una.

• 1. f(x) = x /(x2 + 1)

• Dom f(x) = R

• x y

• -3 -0,3• -2 -0,4• -1 -0,5• 0 0• 1 0,5• 2 0,4• 3 0,3

• Img f(x) = [Mín, Máx] = [- 0,5 , 0,5]

-2 -1 0 1 2 x

y

-1

-

0,5

0,5

1Img f(x)

-2

-

1

1

2

-2 -1 0 1 2 x

• 2.- f(x) = (x + 1) / (x2 – 1)• Dom f(x) = R – {1, -1}

• x y

• -3 -0,25• -2 -0,33• -1 -----• -0,5 -0,66• 0 - 1• 0,5 - 2• 1 -----• 1,5 2 • 2 1• 3 0,5• 4 0,33

• Img f(x) = R – { 0 }

y

• 3.- f(x) = (x2 – 5.x) / (x – 5)

• Dom f(x) = R – {5}

• x y

• -3 -3• -2 -2• -1 -1• 0 0• 1 1• 2 2• 3 3• 4 4• 5 ---• 6 6

• Img f(x) = R – { 5 }

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

y