FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

DÍA 35 * 1º BAD CT

SIMETRÍAS

• SIMETRÍAS

• Sea la función y = f(x).• • Si se cumple que f(x) = f(-x) Hay SIMETRÍA PAR

• Significa que la función es simétrica respecto al eje de ordenadas , eje Y. O sea que el eje de las y es eje de simetría de la función.

• Si se cumple que f(x) = - f(-x) Hay SIMETRÍA IMPAR

• Significa que la función es simétrica respecto al origen de coordenadas ( 0,0). O sea que lo dibujado en el primer cuadrante es idéntico a lo del tercer cuadrante.

• (Es la simetría respecto a un punto que se vió en 3º ESO)

Ejemplo 1

• SIMETRÍA PAR

• • f(x) = x2 TABLA

x y

-2 4

-1 1

0 0

1 1

2 4

y

• f(x) = x2.• • Veamos si se cumple que;• f(x) = f(-x)

• f(x) = x2

• f(-x) = (-x)2 = x2

Hay SIMETRÍA PAR

• Lo mismo sucedería con:• f(x) = x2 – 3• f(x) = x2 + 5

• Pero no con:• f(x) = x2 – 3.x• f(x) = 2.x – 5

Ejemplo 2

• SIMETRÍA IMPAR• • f(x) = x3

TABLA

x y

-2 - 8

-1 - 1

0 0

1 1

2 8

O

• f(x) = x3.• • Veamos si se cumple que;• f(x) = - f(-x)

• f(x) = x3

• f(-x) = (-x)3 = - x3

• - f(-x) = - (- x3 )= x3

Hay SIMETRÍA IMPAR

• Lo mismo sucedería con:• f(x) = x3 – 3.x• f(x) = x3 + 5.x• Pero no con:• f(x) = x3 + 2.x2

• f(x) = x3 – 5

ACOTACIÓN

• Una función y = f(x) decimos que está acotada inferiormente si existe un número real k tal que para todo x se cumple f(x) ≥ k.

• Al número k se le llama cota inferior.

• Una función y = f(x) decimos que está acotada superiormente si existe un número real k tal que para todo x se cumple f(x) ≤ k.

• Al número k se le llama cota superior.

• Una función y = f(x) decimos que está acotada si lo está superior e inferiormente.

Ejemplo 1 Ejemplo 2

• Sea la función:

• f(x) = x2 – 2

• La función está acotada inferiormente,

• La cota inferior es k=-2

• Pues f(x) ≥ -2

TABLA

x y

-2 2

-1 -1

0 -2

1 -1

2 2

y

x

• Sea la función:

• f(x) = – x2 + 3.x – 2

• La función está acotada superiormente.

• La cota superior es k=0’25

• Pues f(x) ≤ 0’25TABLA

x y

-1 -6

0 -2

1 0

1,5 0,25

2 0

3 -2

y

x

Ejemplo 3 Ejemplo 4

• Sea la función:• f(x) = x3

• La función no está acotada, ni superior ni inferiormente.

TABLA

x y

-2 - 8

-1 - 1

0 0

1 1

2 8

0

• Sea la función:• f(x) = 2 + √ x• • La función está acotada

inferiormente.• La cota inferior es k=2• Pues f(x) ≥ 2

TABLA

x y

-1 ---

0 2

1 3

2 3,41

4 4

• EJEMPLO_5 La electricidad

• La función seno , f(x) = sen x , es una función acotada.• Está acotada inferiormente y su cota inferior vale k= -1• Está acotada superiormente y su cota superior vale k= 1• Por lo que: - 1 ≤ sen x ≤ 1

• En la aplicación práctica de la electricidad, los 220 Voltios que nos llega a los enchufes de nuestros hogares no es el valor absoluto, sino un valor que se llama valor eficaz.

• Así: - 220.√2 ≤ tensión eléctrica ≤ 220.√2

1 311,1269 v

-1 - 311,1269 v

FUNCIONES PERIÓDICAS

• PERIODICIDAD• • Una función y = f(x) decimos que es periódica cuando su forma se

repite a intervalos iguales.

• La longitud del intervalo es lo que llamamos periodo, T.• • Si se cumple que f(x) = f(x + n.T), siendo n un número entero ( 1, 2, 3,

… ) , entonces la función es periódica y de periodo T.

• Ejemplos de funciones periódicas

• Con periodo T = 1 año, podían ser los consumos de agua, luz o gas en una vivienda, aunque sea de forma aproximada.

• No así lo que pagamos mes a mes por dicho consumo, al varias las tarifas casi todos los años.

5mn 10 mn 5 mn 5 mn

• Ejemplo 1 La noria.

5mn 10 mn 5 mn 5 mn

P = 25 mn

• En una atracción de feria la noria de detiene 5 minutos para coger pasajeros.

• Durante otros 10 minutos se velocidad va aumentando.

• Durante otros 5 su velocidad se mantiene alta

• Y por último durante otros 5 minutos su velocidad disminuye hasta pararse.

• Este proceso es periódico, pues se repite cada 25 minutos.

• El periodo es t = 25 mn

P = 25 mn

• EJEMPLO_2 La electricidad

• La función senoidal , f(x) = sen x , nos da en todo momento el valor del seno de un ángulo. Es una de las funciones trigonométricas.

• Es la forma en la cual se transmite la electricidad. En este proceso la forma de onda se repite cada 360º . En Europa, España incluida, el periodo es de 1 / 50 = 0,020 segundos.

• Eso significa que cada segundo se recibe en los hogares, fábricas, etc 50 ciclos completos, 50 ondas senoidales.

• Según lo dicho en la definición:• sen 30º = sen (30+nT)=sen (30+360) = sen (30+720) = sen (30+1080) = Etc

P = 0,02 s P = 0,02 s

Osciloscopio

• El osciloscopio es el aparato eléctrico diseñado para visualizar y medir todo tipo de señales eléctricas.

• Podemos ver cómo la corriente eléctrica que llega a los electrodomésticos, aparatos de imagen y sonido en los hogares, así como la que llega a las diferentes empresas, tiene forma de onda senoidal.

Ángulos • ÁNGULOS Y CUADRANTES

• Todas circunferencia al ser cortada por los ejes de coordenadas , queda dividida en cuatro partes iguales independientemente de la medida del radio. Cada una de dichas partes se llama CUADRANTE y se numeran en sentido antihorario, al igual que los ángulos.

• El 1º Cuadrante iría de 0º a 90º (de 0 a n/2 radianes)• El 2º Cuadrante iría de 90º a 180º (de n/2 a n radianes)• El 3º Cuadrante iría de 180º a 270º (de n a 3n/2 radianes)• y El 4º Cuadrante iría de 270º a 360º (de 3n/2 a 2n radianes)

• A todos los efectos, si un ángulo o suma de ángulos pasara de 360º, se le resta tantas veces 360º como sea necesario.

• Así, tener 370º es como tener 10º, tener 750º es como tener 30º. 

El radian• EL RADIAN

• Un radian será aquel ángulo cuyo ARCO mide IGUAL que el RADIO que lo forma. Esa medida es independiente del valor del radio. Una circunferencia tiene 2.n radianes.

• Un radian valdrá : 360º• 1 rad = ‑‑‑‑‑‑ = 57,29578º• 2.n• SUMA DE ÁNGULOS

• En todo triángulo la suma de sus tres ángulos es siempre de 180º. El inconveniente de esta propiedad es que para conocer un ángulo es necesario saber la medida de los otros dos. Ese inconveniente se salva con la Trigonometría.

• TRIGONOMETRÍA.- Es la parte de las matemáticas que estudia la relación entre los ángulos y los lados de un triángulo.

Trigonometría

•  SENO DE UN ÁNGULO

• Sea el triángulo rectángulo ABC.• La razón entre el cateto AB y la hipotenusa OA se llama:• SENO DEL ÁNGULO µ

• sen µ = AB / OA• µ• Se llama razón trigonométrica.

• Ese valor sólo depende del ángulo, no de la medida del triángulo.

O

A

B

FUNCIÓN SENO

Trigonometría

•  COSENO DE UN ÁNGULO

• Sea el triángulo rectángulo ABC.• La razón entre el cateto OB y la hipotenusa OA se llama:• COSENO DEL ÁNGULO µ

• cos µ = OB / OA• µ• Se llama razón trigonométrica.

• Ese valor sólo depende del ángulo, no de la medida del triángulo.

O

A

B

FUNCIÓN COSENO

Trigonometría

•  TANGENTE DE UN ÁNGULO

• Sea el triángulo rectángulo ABC.• La razón entre el cateto AB y el cateto OB se llama:• TANGENTE DEL ÁNGULO µ

• tg µ = AB / OB• µ• Se llama razón trigonométrica.

• Ese valor sólo depende del ángulo, no de la medida del triángulo.

O

A

B

FUNCIÓN TANGENTE

F. trigonométricas inversas•  ARCOSENO DE UN ÁNGULO

• La función y = arcsen x asocia a cada valor del intervalo [-1, 1] un valor del intervalo [- π/2, π/2], que verifica que sen y = x.

• ARCOCOSENO DE UN ÁNGULO

• La función y = arcos x asocia a cada valor del intervalo [-1, 1] un valor del intervalo [ 0, π], que verifica que cos y = x.

• ARCOTANGENTE DE UN ÁNGULO

• La función y = arctg x asocia a cada valor real un valor del intervalo [- π/2, π/2], que verifica que tg y = x.

• OTRAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

• Son menos empleadas y = arcsec x, y = arccosec x e y = arccotg x

FUNCIÓN ARCSENO

FUNCIÓN ARCOSENO

FUNCIÓN ARCTANGENTE