5. clases de simetrías cristalinas

Clases de simetrías Cristalinas

Lic. Carlos Quiñones Monteverde

CLASE DE SIMETRÍA CRISTALINA 1/2

Una clase de simetría cristalina es una combinaciónde operaciones de simetría en las que se handerivado todos los elementos de simetríaresultantes.

Todos los cristales cuya forma exterior tenga unasimetría de un mismo tipo constituyen una clase.

Las clases de simetría cristalinas tienendenominaciones definidas y notaciones que difierende unos autores a otros.

Las clases de simetría cristalinas han sido deducidas por diferentes autores:

Hessel Fedorov Gadolin

Bravais Curie Wulff

P

L2

P

Ejemplo: L22P

Ejemplo: L22P es la clase Planar del sistema Ortorrómbico y se denotacomo:

C2V (Schoenflies); mm (Hermann-Mauguin) y 2.m ( Shubnikov)

CLASE DE SIMETRÍA CRISTALINA 2/2

Para describir la deducción de Gadolin tomaremos en cuenta lossiguientes elementos de simetría para los cristales:

Plano de simetría: P

Ejes de simetría: L1, L2, L3, L4 y L6

Ejes de rotoreflexión: L12= C, L2

4 y L36

Centro de simetría: C

Para deducir todas las posibles combinaciones de los elementos desimetría consideraremos dos grupos:

Grupo A: incluirá las clases de simetría cristalinas en las que despuésde derivar los elementos de simetría existirá un sólo eje de simetría delmás alto orden.

Ejemplos: L22P, L33L2, L66L27PC, L242L22P.

Grupo B: incluirá las clases de simetría cristalinas que tengan variosejes de simetría de la forma Ln (n>2).

Ejemplos: 3L44L36L2, 4L33L23PC.

CLASES DE SIMETRÍAS DEL GRUPO A 1/4

Primera serie:

Si toda la simetría del cristal consiste de un solo eje de simetría de cualquierorden de la forma Ln, entonces en los cristales se podrán encontrar lassiguientes clases de simetrías: L1, L2, L3, L4 y L6.

Segunda serie:

Si se adiciona un eje binario L2 perpendicular al ejeLn, la acción de este eje dará lugar a la aparición deotros ejes L2, según el valor de n. Se tendrán lassiguientes clases de simetrías: L1L2 = L2, L22L2 = 3L2,L33L2, L44L2 y L66L2.

L3

L2

L2

L2

Ejemplo: eje L3

Clase: L33L2

Observar que un eje binario L2 que corte al eje Ln enángulo oblicuo, trasladará al eje Ln a una nuevaposición, obteniéndose 2Ln, lo que contradice lacondición establecida.

Ln

Ln

L2


Tercera serie:

Si se adiciona un plano de simetría P perpendicularal eje Ln, se podrán encontrar las siguientes clasesde simetrías: L1P = P, L2PC, L3P, L4PC y L6PC.

Cuarta serie:

Si se adiciona un plano de simetría P paralelo al ejeLn, la acción de este eje dará lugar a la aparición den – 1 planos más, según el valor de n. Se tendrán lassiguientes clases de simetrías: L1P = P, L22P, L33P,L44P y L66P.

Ejemplo: eje L3

Clase: L33P

Ln

L3

Quinta serie:

Si se adicionan simultáneamente dos planos desimetría P uno perpendicular y otro paralelo al eje Ln,esto dará lugar a la aparición de n ejes binarios L2.Se tendrán las siguientes clases de simetrías: L1L22P= L22P, 3L23PC, L33L24P, L44L25PC y L66L27PC.

L2

L24


Ejemplo: eje L2

L2

L2

L2

c

Clase: 3L23PC

Sexta serie:

Si la simetría del cristal consiste sólo de un ejede rotoreflexión Ln

2n, aparece un centro desimetría C si n es impar, entonces se podránencontrar las siguientes clases de simetrías: L1

2

= C, L24 y L3

6C.

Sétima serie:

Si se adiciona un eje binario L2 perpendicular aleje de rotoreflexión Ln

2n, se obtienen n planosverticales. Se tendrán las siguientes clases desimetrías: L1

2L2P = L2PC, L2

42L22P y L363L23PC.

L2

Ejemplo: eje L24

Clase: L242L22P

NºFórmula General

Simetrías

n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 6

1 Ln L1 L2 L3 L4 L6

2 LnnL2 L1L2 = L2 (*) L22L2 = 3L2 L33L2 L44L2 L66L2

3 LnP(C) L1P = P L2PC L3P L4PC L6PC

4 LnnPI I L1P = P (*) L22P L33P L44P L66P

5 LnnL2(n+1)P(C)L1L22P =

L22P (*)

L22L23PC =

3L23PCL33L24P L44L25PC L66L27PC

6 Ln2n(C) L1

2 = C L24 L3

6C

7 Ln2nnL2nP(C)

L12L

2P =

L2PC (*)L2

42L22P L363L23PC


El grupo A contiene 27 clases de simetría cristalina diferentes.

L3

L3

¿Es un número finito el número deejes resultantes de la combinación deejes de simetría de más alto orden?

CLASES DE SIMETRÍAS DEL GRUPO B 1/9

L3

L3

L4

L4L4

La aparición de cada uno de los nuevosejes es seguida por un númerointerminable de nuevos ejes. ¿Se puededetener la aparición de los nuevosejes? ¿Si es así, cómo?

El número de ejes crece infinitamente yllegamos a la simetría de una esferaLPC, o los nuevos ejes resultantescoinciden con los deducidos y así elnúmero de ejes será finito.

De otra forma: asumiremos que el problema ya se ha resuelto, y que enbase a dos ejes de orden mayor a 2, hemos obtenido un número finito deejes de simetría que se cortan en un cierto punto. ¿Cómo determinamos sunúmero, orden, y posible disposición en el espacio?

Tracemos una esfera cuyo centro seubica en el punto de intersección delos ejes que corte a los ejes enpuntos.

Si trazamos un plano diametral através de cada par de puntos, toda lasuperficie esférica quedará dividida entriángulos esféricos.

Consideremos un número finito de ejes de orden mayor a 2.


Como cada eje es la intersección dedos planos de simetría, el ánguloentre los planos será la mitad delángulo elemental de rotación del eje.

Se puede determinar el valor de los ángulos posibles de estos triángulos.

Los ejes pueden ser: L6, L4, L3 y L2 y la mitad de los ángulos elementales derotación de estos ejes serán: 30º, 45º, 60º y 90º, respectivamente.


Como la suma (S) de los ángulos de un triángulo esférico: 180º <S <540º:

Las combinaciones de los ángulos de un triángulo esférico a través de cuyosdos vértices deben pasar los ejes de simetría del más alto orden:

L6 + L6 + L2

30º + 30º + 90º = 150º

L6 + L4 + L2

30º + 45º + 90º = 165ºL6 + L3 + L2

30º + 60º + 90º = 180º

L4 + L4 + L2

45º + 45º + 90º = 180º

L4 + L3 + L2

45º + 60º + 90º = 195ºL3 + L3 + L2

60º + 60º + 90º = 210º

• Un eje L6 no puede pasar a través de cualquier ángulo de un triánguloesférico; es decir, no puede estar presente en las simetrías del grupo B.

• Los triángulos esféricos posibles son aquellos donde S = 195º y 210º. Losejes L4, L3 y L2 ó los ejes L3, L3 y L2 pasan por sus vértices.


L3

L2 L4

54º 44’ 8”

45º

35º 15’ 52”

En el primer triángulo tendremos:

Clase de simetría: 3L44L36L2

Proyección estereográfica:


En la proyección esférica:

Correspondencia con los ejes desimetría L2, L3 y L4 de un cristalcúbico.

Clase de simetría: 3L44L36L2


Clase de simetría: 3L44L36L29PCClase de simetría: 3L44L36L2

Si a la clase de simetría 3L44L36L2, se adiciona un plano de simetría de

manera que no origine nuevos ejes, se obtiene la clase de simetría:

3L44L36L29PC.



70º 3l’ 44”

54º 44’ 8”

L3

L3

L2

En el segundo triángulo tendremos:

54º 44’ 8”

Clase de simetría: 3L24L3


Clase de simetría: 3L24L36P

Si a la clase de simetría 3L24L3, se adiciona un plano de simetría que pase

por los ejes L3 y L2, se obtiene la clase de simetría: 3L24L36P

Clase de simetría: 3L24L3



Si a la clase de simetría 3L24L3, se adiciona un plano de simetría que pase

sólo por los ejes L2, se obtiene la clase de simetría: 3L24L33PC.

Proyección estereográficaRepresentación de los elementos de simetría

Ejercicio 1

(a) Representar los elementos desimetría de la clase 3L24L3 paraun cristal que pertenece alsistema cúbico.

(b) ¿A qué grupo pertenece estaclase de simetría?

Solución (a)

L3L2

L2

L2

L3L3

L3

Solución (b)

Grupo B

(a) Representar los elementosde simetría de la claseL33L24P para un cristalque pertenece al sistemahexagonal.

(b) ¿A qué grupo perteneceesta clase de simetría?

Ejercicio 2

L3

L2

L2

L2

Solución (a)

Solución (b)

Grupo A

El piritoedro de la Figura es un sólido cristalinolimitado por caras pentagonales con una arista A demayor longitud que las cuatro aristas similares C.Considerando la simetría del cristal, identificar yrepresentar todos sus elementos de simetríaindicando la fórmula de la clase de simetríacristalina.

Ejercicio 3

L2

Solución

Se identifican:

L2

L2

3 ejes binarios L2

L3

L3L3

L34 ejes ternarios L3

2 planos verticales P

1 plano horizontal PC1 centro de simetría C

Fórmula de la clase de simetría:

3L24L33PC

El piritoedro es un sólido cristalino quepertenece a la clase de simetría cristalina3L24L33PC, cuyos elementos de simetríason mostrados en la Figura. Representargráficamente estos elementos de simetríaen una proyección estereográfica (001)que contenga, además, las caras delcristal.

Ejercicio 4

SoluciónMirando a lo largo del eje L2 (eje I), en ladirección del observador, obtenemos laproyección estereográfica que se muestra.

3 ejes binarios L2

4 ejes ternarios L3

2 planos verticales P1 plano horizontal P

L2

L2

L2

L3

L3L3

L3

C

1 centro de simetría C

Se identifican:

(001)

L2

L2

L2

L3L3

L3 L3

P

P

P

C

polos (102) y (102)_

(102)

(102)_

polos (210) y (210)_

_

(210) (210)

Determinar la medida de los lados del triánguloesférico mostrado en la porción de proyecciónestereográfica de la Figura.

Ejercicio 5

45º

60º90º

a

b

c

B(L4)

C(L3)

A(L2)

Solución

De la Ley de los cosenos tenemos:

acossenCsenBCcosBcosAcos

5773502,03

3

2

3

2

2

2

1

2

20

º60senº45sen

º60cosº45cosº90cos

CsenBsen

CcosBcosAcosacos

"08'44º54º7356,54LLa 34

707106,02

2

12

2

02

2

2

1

º90senº45sen


AsenBsen

AcosBcosCcosccos

º45LLc 24

8164965,03

2

2

31

2

10

2

2

º60senº90sen


CsenAsen

CcosAcosBcosbcos

"52'15º35º2644,35LLb 32

ccosAsenBsenAcosBcosCcos

bcosCsenAsenCcosAcosBcos

5. clases de simetrías cristalinas

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