6 vol.1 estructura del contenido · múltiplos y divisores múltiplos y múltiplos comunes 4...
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1
Estimación de productos y cocientes 20
Números decimales y números enteros
5º grado
5º grado
3er grado
Números y sus operaciones
Figuras
Fracciones
Múltiplos y divisores Múltiplos y múltiplos comunes 4 Divisores y divisores comunes 11 Un breve examen sobre múltiplos 118
3 23Fracciones Comparación de fracciones 24 Suma y resta con fracciones 29 Operaciones con fracciones y decimales 34
Cajas rectangulares
4º grado
Círculos y esferas
4 37Tipos de sólidos Prismas rectangulares y cubos 37 Redes 39 Perpendicularidad y paralelismo de caras y aristas 43 Prismas y cilindros 47 ¿Cuál es la distancia más corta? 51
56
5964
53
67
5 53Volumen Volumen Fórmulas para calcular el volumen Volúmenes grandes Volumen de un prisma El volumen de distintos cuerpos
96
90
94
91
98
92
100
93
6 Medición con otro tipo de unidad 70 Media aritmética 71
74 Midamos usando otro tipo de unidad Velocidad 81 El promedio y la aglomeración en relación con el medio ambiente 88
Tamaño y medida
Volumen
3er grado
División de números decimales
5º grado
1
2
3
1
2
1
2
1
2
3
1
2
3
4
668･････････････････････Repaso(1)
2
Multiplicación y división con fracciones (1)
Multiplicación y división con fracciones (2)
Área aproximada
7
8
9
Razones
Variación proporcional directa
Resumen
10
11
12
6 grado Vol.1 Estructura del Contenido6º grado vol. 2o
¡Estudiemos temas que te interesarán!
･････････････
･･･････････････････
････････････････････････
･････････････････････
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･･･
･･･
･･
･
･･
･･････････････････････
4
32
Haz equipo con uno de tus compañeros y acomoda cuadrados del
mismo tamaño como se muestra en la siguiente figura.Cómojugar
Configuraciones con cuadrados
▲El volumen de agua en la represa de Kurobe es doscientos millones de m3.
El volumen del molde
de pan es 5000 cm3.
▼El volumen de agua de la
piscina es 250 cm3.
▼El volumen de una
goma es 15 cm3.
▲
¡Piensa de manera inversa!
Inicia con el último cuadrado
que colocaste.
54
3 cm
2 cm
0
5 cm
5 cm
10 cm
15 cm
20 cm
10 cm
15 cm
0
Para resolver el problema utiliza tarjetas de 2 cm por
3 cm como se muestra en la página 5.
Alinea las tarjetas de izquierda a derecha y encuentra la relación entre
el número de tarjetas y el ancho del periódico mural.
Múltiplos y múltiplos comunes
Múltiplos
1
① Anota los datos del número de tarjetas y el ancho del periódico mural en
la siguiente tabla.
Número de tarjetas y ancho total
② Encuentra la relación que hay en los números que indican el
ancho de las tarjetas.
Identifica los números que son múltiplos de otro número, como lo hiciste
con la longitud y el número tarjetas.
Número de tarjetas 1 2 3 4 5 6 7 8
Ancho (cm) 3 6 9
Múltiplos y divisores
¿Cómo calculamos
el ancho y el largo
apropiado del
periódico mural?
Queremos hacer un periódico
mural rectangular para
mostrar unos dibujos que
hicimos. ¿Cómo debemos
construirlo para que no
queden huecos entre las
imágenes?
1
76
Acomoda las tarjetas de izquierda a derecha y de abajo para arriba para formar un cuadrado.
Los múltiplos de 3 son los números enteros que se obtienen
al multiplicar por 3, por ejemplo, 3×1, 3×2, 3×3, …
2 Alinea las tarjetas verticalmente, de arriba hacia abajo. Luego encuentra
la relación entre el número de tarjetas y la longitud correspondiente.
3① Completa la tabla y encuentra la relación entre el número de tarjetas y la
longitud.
② ¿De qué número son múltiplos esas longitudes?
① ¿Cuál es la altura de la torre formada
por 6 cajas?
② La altura de la torre cambia cada vez que
agregamos una caja. ¿De qué número son múltiplos las alturas de la torre?
Hagamos una torre con cajas de galletas
de 5 cm de altura.
1
① múltiplos de 8 ② múltiplos de 9
Escribe los primeros 5 múltiplos de los siguientes números.2
Múltiplos comunes
① ¿Cuántos cm miden los lados del cuadrado? Usa la cuadrícula de la pági-
na 5 para encontrar la respuesta.
② Marca con distintos colores los múltiplos de 2 y de 3 en la
siguiente recta numérica.
③ Se puede construir un cuadrado formado por rectángulos cuyo largo y
ancho sean múltiplos de 2 y de 3 respectivamente. Verifica eso usando la
cuadrícula de la página 5.
Si un número es múltiplo de 2 y de 3 se le llama múltiplo
común. El mínimo común múltiplo es el menor de los
múltiplos comunes.
5 cm
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24Múltiplos de 2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24Múltiplos de 3
Número de tarjetas y longitud
Número de tarjetas 1 2 3 4 5 6 7 8
Longitud ( cm) 2 4 6
Colocaremos en la
pared un tapiz de
forma cuadrada hecho
con nuestros dibujos.
Ahora encuentra una fórmula
para la longitud.
El ancho y el largo
deben ser iguales.
98
La idea de Yoshio▼
④ ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 2 y 3?
4 ¿Cómo podemos encontrar el mínimo común múltiplo de 3 y 4?
La idea de Keiko▼
•Escribe en la cinta los múltiplos de 2 arriba de los múltiplos de 3. Los
múltiplos comunes de 2 y 3 están donde quedan alineados los puntos
negros de ambas listas.
Construyamos listas de múltiplos
El mínimo común múltiplo de 3 y 4 es 12.
Todos los múltiplos comunes de 3 y 4 son múltiplos del
mínimo común múltiplo.
5 En la siguiente figura
se muestran cajas
apiladas, las de galletas
miden 6 cm de altura y
las de malvaviscos 8 cm.
① ¿De qué número es múltiplo la altura total de las cajas de galletas?
② ¿De qué número es múltiplo la altura de la pila de cajas de malvaviscos?
③ ¿Qué altura deben tener las dos pilas de cajas para que sean iguales?
¿Cuántas cajas tiene cada pila?
④ Escribe los primeros 3 números en los que la altura de ambas pilas de
cajas es la misma.
Escribe los primeros 4 múltiplos comunes para cada una de las
siguientes parejas de números y encuentra su mínimo común múltiplo.
1
① ( 5 , 2 ) ② ( 3 , 9 ) ③ ( 4 , 6 )
Imagina dos torres hechas con cajas, en la primera torre la altura de cada
caja es 6 cm y en la segunda la altura de cada caja es 9 cm. ¿Cuál es la altura
mínima en la que las torres medirán lo mismo?
2
Anoto los múltiplos de 3 y 4 e identifico los múltiplos comunes.
Múltiplos de 3: 3 , 6 , 9 , 1 2 , 1 5 , 1 8 , 2 1 , 2 4 , …
Múltiplos de 4: 4 , 8 , 1 2 , 1 6 , 2 0 , 2 4 , 2 8 , 3 2 , …
De los múltiplos del 4, identifico los que son divisibles entre 3.
Múltiplos de 4: 4 , 8 , 1 2 , 1 6 , 2 0 , 2 4 , 2 8 , 3 2 , 3 6 , …
Los agujeros
muestran los
múltiplos.
1110
• En la tabla de abajo encerramos en un círculo cada múltiplo de 2.
¿Quedan alineados los múltiplos de 2?
Haz lo mismo para los múltiplos de otros
números.
¿Cómo ordenar los múltiplos? 2 Divisores y divisores comunes
Queremos cubrir con
cuadrados iguales
el marco que está
en la pared sin
dejar huecos.
¿Cómo calculamos
el ancho y largo
apropiados para
este marco?
Divisores
1 Cubre con cuadrados
del mismo tamaño un
rectángulo de 12 x 18 cm.
¿Cuántos cm puede medir
cada lado del cuadrado?
① ¿Cuántos cm pueden medir por lado los cuadrados para acomodarlos
verticalmente sobre una plantilla de 12 cm de largo sin dejar huecos?
B
B
Múltiplos de 3
Múltiplos de Múltiplos de
Marca los
múltiplos
de 3.
Múltiplos de 2
Para empezar trata de imaginar qué longitud
pueden tener los lados de los cuadrados si los
ordenas verticalmente y sin huecos.
18 cm
12 cm
1312
Cuando se ordenan verti-
calmente los cuadrados
en la plantilla de 12 cm
de largo, la longitud de
sus lados puede ser 1cm,
2 cm, 3 cm, 4 cm, 6 cm y
12 cm.
② Divide 12 entre 1, 2, 3, 4, 6, y 12.
Los divisores de 12 son los números enteros entre los que se
puede dividir 12 dejando cero como residuo.
1，2，3，4，6，12 son divisores de 12.
③ ¿Qué observas si se agrupan los divisores de 12 como se muestra a
continuación?
1×12＝12
2 ×6 ＝12
3 ×4 ＝12
En el conjunto de los divisores de un número entero se incluye el 1 y el
número mismo.
④ ¿Cuántos cm pueden medir por lado los cuadrados si los acomodamos
horizontalmente en una plantilla de 18 cm de largo sin dejar huecos?
Cuando se acomodan horizon-
talmente los cuadrados en la
plantilla de 18 cm de largo
sin dejar huecos, la longitud
de sus lados puede ser 1cm,
2cm, 3cm, 6cm, 9cm y 18cm.
1，2，3，6，9 y 18 son los divisores de 18.
Divisores comunes
⑤ ¿Cuántos cm pueden medir por lado los cuadrados si se colocan
vertical y horizontalmente sin dejar huecos?
Verticalmente…… (cm)
Horizontalmente… (cm)
Se llaman divisores comunes de 12 y 18 los números que
son divisores tanto de 12 como de 18.
El máximo común divisor es el mayor de los divisores
comunes.
Los divisores comunes de 12 y 18 son 1, 2, 3 y 6.
⑥ ¿Cuál es el máximo común divisor de 12 y 18?
Encuentra todos los divisores de 6, 8 y 36.
Escribe todos los divisores comunes de 8 y 36.
1
2
1 2 3 4 6
1 2 3 6 9 18
12
4 cm3 cm1 cm 2 cm
12 cm
4 cm3 cm1 cm 2 cm
18 cm
3 cm
3 cm
2 cm2 cm
1 cm1 cm
Trata de pronosticar qué longitud
tendrán los lados de distintos
cuadrados si los acomodamos
en la plantilla sin dejar huecos.
Recuerda que en un
cuadrado el largo y el
ancho miden lo mismo.
Se incluye el cuadrado de
18 cm por lado porque se
alinearon horizontalmente.
1514
Piensa en los divisores de 18.
Encuentra los divisores comunes y el máximo común divisor de las
siguientes parejas de números.
La idea de Yoshio ▼
2 Veamos cómo puedes encontrar los divisores comunes de 18 y 24.
El máximo común divisor de 18 y 24 es 6.24÷1＝24
24÷2＝12
3
① (8, 16) ② (15, 20) ③ (12, 42) ④ (13, 9)
Observa que en la pareja (13, 9) sólo hay un divisor común.
¿Entre cuántos alumnos podemos repartir equitativamente 8
lápices y 12 cuadernos?
Relación entre múltiplos y divisores
4
① Construye rectángulos usando 18 tarjetas cuadradas para encontrar los
divisores de 18.
② ¿18 es múltiplo de los divisores que encontraste en ①?
•3 y 6 son divisores de 18
•18 es múltiplo de 3 y 6
•2 y son divisores de 18
•18 es múltiplo de y 9.
Anoto los divisores de 18 y 24 para identificar los divisores comunes.
Divisores de 18 1, 2, 3, 6, 9, 18
Divisores de 24 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
La idea de Keiko▼
Hago una lista de los divisores de 18 e identifico cuáles de ellos son
divisores de 24.
Divisores de 18 1, 2, 3, 6, 9, 18
•Algunos números como 2, 3, 5 y 7 sólo son divisibles entre 1 y
entre sí mismos. Busca ese tipo de números en la siguiente lista.
Divide entre 2, 3, 4, … para encontrarlos
Números que sólo son divisibles entre 1 y sí mismos
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
32 33 34 35 36 37 38 39 40 41
1716
① Identifica en la tabla los múltiplos de 3 y anótalos.
② Identifica en la tabla los múltiplos de 7 y anótalos.
③ Identifica en la tabla los múltiplos comunes de 3 y 7 y anótalos.
④ Identifica en la tabla los divisores de 28 y anótalos.
⑤ Identifica en la tabla los divisores de 32 y anótalos.
⑥ Identifica en la tabla los divisores comunes de 28 y 32 y anótalos.
Escribe los primeros 3 múltiplos comunes de las siguientes parejas de números
e identifica su mínimo común múltiplo.
Anota todos los divisores comunes de las siguientes parejas de números e
identifica su máximo común divisor.
Vamos a trabajar con los números del 1 al 50.1
páginas 13~14
páginas 7~8
① (3, 6) ② (8, 10) ③ (5, 15)
① (6, 12) ② (18, 20) ③ (32, 42)
Escribe 3 múltiplos de los siguientes números y ordénalos de menor a
mayor; encuentra también todos sus divisores.
Ir a la página 90
① 16 ② 13 ③ 24
Para las siguientes parejas de números escribe 3 múltiplos comunes de
menor a mayor y encuentra su mínimo común múltiplo.
① (3, 5) ② (12, 18) ③ (10, 20)
Anota todos los divisores comunes de las siguientes parejas de
números y encuentra su máximo común divisor.
① (9, 15) ② (4, 11) ③ (12, 24)
De la estación salen un tren y un autobús cada 12 y 8 minutos respecti-
vamente. A las 9 de la mañana coincide la salida de ambos transportes.
¿A qué hora volverán a salir juntos un tren y un autobús?
Toma una hoja de papel cuadriculado de 30 cm de ancho y 12 cm de
largo y recorta cuadrados del mismo tamaño de tal forma que no te sobre
papel. ¿Cuántos cm por lado puede medir el cuadrado más
grande?¿Cuántos cuadrados de ese tamaño puedes recortar?
Los números como el 2, el 3 y el 5 sólo pueden dividirse entre
1 y entre sí mismos. Encuentra el mayor número menor que 100
para el cual se cumple esta condición.
6
2 3 4 5 6 7 8 9 10
12 13 14 15 16 17 18 19 20
22 23 24 25 26 27 28 29 30
32
1
11
21
31 33 34 35 36 37 38 39 40
4241 43 44 45 46 47 48 49 50
páginas 4~7, 11~13
・Encontrar múltiplos comunes y el mínimo común múltiplo.
・Encontrar múltiplos y divisores.
・Resolver problemas usando múltiplos comunes o divisores comunes.
・Resolver problemas usando múltiplos comunes o divisores comunes.
・Entender que algunos números pueden dividirse sólo entre 1 y sí mismos.
・Encontrar divisores comunes y el máximo común divisor.
2
3
5
4
3
2
1
■ Ir a la página 18
Múltiplos de 21
① ¿10, 20 y 100 son múltiplos de 2? ¿Por qué?
② ¿34 y 35 son múltiplos de 2?
¿Por qué?
Si el último dígito es ,
el número es un múltiplo de 2.
Múltiplos de 42
① ¿100 es un múltiplo de 4? ¿Por qué?
② ¿136 y 137 son múltiplos de 4? ¿Por qué?
Si los dos últimos dígitos de un número son múltiplos de ,
el número es un múltiplo de 4.
Múltiplos de 53
¿20, 25 y 26 son múltiplos de 5?¿Por qué?
Múltiplos de 94
① Encuentra los mayores múltiplos de 9 que puedas restar de 10 y de 100. ¿Cuál es
la diferencia cuando esos múltiplos de 9 se restan de 10 y de 100?
② ¿234 es un múltiplo de 9?
Encuentra los mayores múltiplos
de 9 que puedas restar de 200,
30 y 4.
¿Cuál es la diferencia cuando
restas esos múltiplos de 9 de
200, 30 y 4?
¿La suma de esas diferencias es un múltiplo de 9?
③ Si la suma de los dígitos de un número es un múltiplo de 9, se cumple que ese
número es un múltiplo de 9. Trata de explicar por qué.
10
9 Múltiplo de 9
Diferencia 1
100
99 Múltiplo de 9
Diferencia 1
30 4
Diferencia 2
Diferencia 3
Diferencia 4
200
Si � ÷ ( ) es entero
con residuo cero,
� es un múltiplo de ( ).
1918
Un breve examen
sobre múltiplos
2120
Un elefante africano pesa 6350 Kg y
Yushiko 38 Kg.
¿Cuántas veces el peso de Yushiko es
igual al peso del elefante?
La escuela organizó un paseo al
que asistieron 315 estudiantes que
pagaron 190 yenes por su boleto
de tren para trasladarse al lugar.
¿cuánto se pagó aproximadamente
por los pasajes de tren?
190×315
2
② Encuentra el resultado de 6350÷38 con tu calculadora y compáralo
con la estimación que hiciste.
Aproximadamente, ¿cuántas veces
es la altura de la Torre de Tokio com-
parada con la de la Estatua de la
Libertad de Nueva York?
Estima el valor de los siguientes
cocientes y compara el resultado con
tu calculadora.
1
2
① 37960÷78
② 90135÷892 333 m 46 m
÷10 ÷10
1
① Para calcular el costo aproximado redondea el costo del boleto
de 190 a 00 y el número de estudiantes de 315 a 00.
② Estima el producto con los números redondeados:
190×315→200×300
③ Usa una calculadora para ver qué tan acertado es el resultado de
esta estimación.
① 498×706 ② 2130×587
Estima el resultado de las siguientes multiplicaciones.
① Redondea el divisor y el dividendo al valor posicional del primer dígito
y estima el cociente.
6000 ÷40
6350 ÷38
600 ÷ 4
× 3 1 5 �1 9 0
Estimación de productos y cocientes
2322
Escribe las equivalencias entre fracciones que se indican. Usa la siguiente
imagen para responder.
1
① 2 ＝ ＝3
② 1 ＝4
③ 3 ＝5
④ 5 ＝ ＝ ＝10
＝
Tres alumnos hicieron sándwiches de distintas formas.
¿Cuál de ellos tiene más pan?
Las rebanadas de pan son del mismo tamaño en todos los casos.
El sándwich de Yasuo▼
Dividí una rebanada en 4
partes iguales y utilicé 2.
El sándwich de Hiroshi▼
Dividí una rebanada de pan
en 3 partes iguales y usé 2.
El sándwich de Akiko ▼
Dividí una rebanada en 4
partes iguales y usé 3.
Si una rebanada de pan es 1 unidad, la cantidad de pan en el
sándwich de Yasuo puede expresarse como . Expresa la cantidad
de pan en los sándwiches de Hiroshi y Akiko usando fracciones.
Yasuo: de rebanada Hiroshi: de rebanada2
4
2
4
Akiko: de rebanada
3 Fracciones
2524
•Toma una hoja de papel y haz dobleces para expresar y como
fracciones con el mismo denominador.
Comparemos fracciones doblando papel
1 Comparación de fracciones
Comparemos fracciones con diferentes denominadores.
Piensa cómo comparar y .2
3
3
4
① Expresa de distintas formas con fracciones equivalentes.
Expresa en términos de sextos, novenos y doceavos.
¿Cuál es la relación entre los numeradores y denominadores de
fracciones equivalentes?
Obtenemos fracciones equivalentes si multiplicamos o
dividimos el numerador y el denominador por un mismo
número.
② Expresa en términos de , y .
③ Compara y expresándolos como fracciones con el mismo
denominador.
④ Observa el sándwich de la página 23, ¿cuál tiene más pan?
2 ＝3
3 ＝4
▲＝ ▲×■
●×■●
▲＝ ▲÷■
●÷■●，
Doblar en 3.
Doblar en 3.Doblar en 4.
Doblar en 4.
＝23 ＝34
112
2
3
2
3
1
12
1
16
3
4
1
8
8
3×4×
3
4 ＝ ＝
12
3×4×
3
4 ＝ ＝
16
3×4×
3
4 ＝ ＝
2
3
3
4
2
3
3
4
y pueden compararse
porque los denominadores son
iguales.
2
4
3
4
¿Cómo podemos comparar
y ?2
3
3
4
1
Una fracción puede expresarse
de diferentes maneras multiplicando
por el mismo número el numerador
y el denominador.
Ambas piezas de papel
están dobladas en 12
partes iguales.
2726
Común denominador
2 Compara y . Para ello construye fracciones equivalentes que
tengan igual denominador. ¿Qué denominadores puedes utilizar para
compararlas? Identifica y marca cada uno de ellos.
Puedes comparar fracciones con denominadores diferentes
si las transformas en fracciones que tengan el mismo
denominador.
3 Compara y . Utiliza fracciones equivalentes que tengan el mismo
denominador. Nota que los denominadores 21 y 42 son múltiplos de 3 y 7.
Los denominadores 21 y 42 son ambos múltiplos de 3 y 7.
Encontremos un común denominador
4 Encuentra fracciones equivalentes a y con el mismo denominador.
5 Transforma estas fracciones a fracciones equivalentes y compáralas.
③ y El mínimo común múltiplo de 4 y 6 es .
2
21
3
42
3
4
4
5
5
6
7
8
4
7
2
3 ＝ ＝ 21 42
4
7 ＝ ＝
Así lo hizo Kenta ▼
Multipliqué los dos denominadores
para obtener un común
denominador.
Así lo hizo Yuko▼
Elegí el 24 como común denomi-
nador porque es el mínimo común
múltiplo de 6 y 8.
5 ＝ ＝6
5×6×
40
48
7 ＝ ＝8
7×8×
42
48
5 ＝ ＝6
5×6×
20
24
7 ＝ ＝8
7×8×
21
24
Es conveniente elegir el mínimo común múltiplo como denominador
común, es decir, el menor de los denominadores comunes.
3×4×
3
4 ＝ ＝ 5×6×
5
6 ＝ ＝
5
6
3
4
① y El mínimo común múltiplo de 4 y 7 es .
1×4×
1
4 ＝ ＝ 2×7×
2
7 ＝ ＝
2
7
1
4
② y El mínimo común múltiplo de 3 y 9 es .
1×3×
1
3 ＝ ＝
2
9
1
3
6
8
3
4
8
10
9
12
12
15
12
16
16
20
15
20
20
25
18
24
24
30
21
28
28
35
24
32
32
40
27
36
36
45
30
40
40
50
4
5
……
……
Encontrar “un común denominador” significa trans-
formar fracciones con denominadores diferentes en
fracciones equivalentes con el mismo denominador.
2928
Los envases de la figura tienen y litro de leche respectivamente.
Si se vierte el contenido de ambos en un solo envase, ¿cuántos litros de
leche hay?
1
Simplificación de fracciones
6 Encuentra la fracción equivalente que tenga el menor
numerador y el menor denominador.
Simplificar una fracción significa dividir el numerador
y denominador entre un divisor común para hacerla
más simple.
7 Explica el procedimiento que usaron estos alumnos para simpli-
ficar la fracción .
Decimos que hemos simplificado una fracción cuando obtenemos el
numerador y el denominador más pequeños.
Si divides el numerador y el denominador entre su
máximo común divisor, como lo hizo la niña de la
sección de la página anterior, simplificarás la
fracción en un sólo paso.
Obtén fracciones equivalentes con un común denominador para comparar
estas parejas de fracciones.
1
Simplifica al máximo las siguientes fracciones.2
2 Suma y resta con fracciones
① Imagina cómo calcular la respuesta.
Piensa cómo sumar fracciones con diferentes denominadores.
12
18
①
①
③ ④
2
3
4
5
8
10
16
20② 3
21
18
24
， ② 1
2
3
8， ③ 5
6
8
9， ④ 5
8，7
12
1
3
1
2
？＋13�
12�
1
3
1
2＋
Yo puedo hacer,
y , pero ....1
3
1
3
¿Qué estrategia puedes usar?
7
( ( ( () ) ) )
30 31
② Observa la figura de abajo para explicar cómo calcular + .
Puedes sumar fracciones con
denominadores diferentes si
obtienes fracciones equivalentes
con un denominador común.
2 Descubre cómo calcular .
Si simplificas las
fracciones, trata de
hacerlo tanto como te
sea posible.
3 Busca cómo sumar las siguientes fracciones.
4 ¿Cuál es la diferencia entre y de litro de jugo?
① Obtén un denominador común y verifica cuál es mayor. Escribe la
expresión para conocer la diferencia.
② Analiza cómo hacer la siguiente resta:
5
6 6
1
3 ＝＋ ＋
＝
＝
3
4
5
8
5
8
3
4 ＝
3
4
5
8 ＝－ －
＝
1
63 6
1
2 ＝＋
1
3
1
2�
＋
＝
④ 6
7
3
4－ ⑤ 5
8
1
4－ ⑥ 3
4
7
10－
③ 11
12
1
4＋① 3
8
7
10＋ ② 4
5
13
15＋① 2
3
1
4＋ ③ 2
5
1
6＋② 1
2
1
5＋
⑥ 1
4
3
20＋⑤ 5
12
1
3＋④ 1
2
1
10＋
3
10
1
6 ＝＋
3
10
1
6＋
＋
＝
＝
¿Cómo cambiarlos a frac-
ciones con el mismo
denominador?
Yo no puedo calcular la
respuesta porque los denomi-
nadores son diferentes.
Si usas el mismo denominador
sólo tienes que sumar los
numeradores para sumar las
fracciones
Cuando la respuesta
es mayor que 1 es
más fácil leerla si la
expresas como un
número mixto.
Todo lo que se necesitas es
obtener un denominador
común.
3332
Encuentra cómo calcular .
Puedes restar fracciones con denominadores diferentes
si obtienes fracciones equivalentes que tengan un
denominador común.
5 Encuentra cómo calcular .
Obtén un denominador común y compara las siguientes parejas
de fracciones.
página 28
páginas 26~27
Simplifica tanto como sea posible las siguientes fracciones.
Realiza las siguientes sumas y restas.
Masahiro tiene m de cinta e Hiroko tiene m de cinta.
① ¿Quién tiene más cinta? ¿Cuántos metros más tiene?
② ¿Cuánto miden las dos cintas juntas?
Revisa la operación ¿El cálculo es correcto? ¿Por qué?.5
páginas 29~32
páginas 29~32
páginas 29-31
②①
①
③
①
⑥
④ ⑤
2
7
1
4
2
3
1
2
21
28
11
12
16
24
75
100
， ② 3
4
5
7， ③ 1
6， ④ 4
9，
＋
⑤ 7
9
1
6－
＋ ＝
② 3
5
4
7＋ ③ 1
4
5
6＋
⑦ 8
7
3
4－7
8－
④ 5
61
3＋
⑧ 5
3
3
4－
④ 8
7
7
8－
① 2
3
1
6－
⑤ 7
6
3
4－ ⑥ 22
15
2
3－
③ 7
15
3
10－② 2
5
1
15－
4
8
6
9
5
18
5
12
34
4
5
1
3
2
5
3
8
3
10
5
6
67
5
5
6
3
10
5
6 ＝－ －
＝
＝
7
5
5
6 ＝－ －
＝
－
－
¿Qué diferencia hay
entre este caso y el de
la sección ?4
El procedimiento es el
mismo para fracciones
mayores que 1.
4
3
2
1
( ) ( ) ( ) ( )
3534
① Encuentra el resultado transformando la
fracción a un número decimal.
＝0.1666……
Coloca en el el número correcto para encontrar una fracción equivalente.
Ir a la página 91
②①
Simplifica las siguientes fracciones a su expresión más simple.
Encuentra un común denominador para las siguientes fracciones y compáralas.
Realiza las siguientes operaciones.
Tenemos dos recipientes: uno con litros de leche, y el otro con de litro
de leche.
① ¿Cuál de los dos recipientes tiene más leche? ¿Cuántos litros más?
② ¿Cuántos litros de leche hay en total?
Elige 4 números entre el 3, 4, 5, 6 y 7 y anótalos en los siguientes recuadros.
A continuación realiza la operación que se indica y escribe el resultado.
¿Con cuál combinación de números obtienes el resultado mayor?
Yo transformé la fracción en
número decimal y luego comparé.
La idea de Miho ▼
Yo cambié el número decimal a
fracción y luego comparé.
Es conveniente hacer las operaciones con fracciones y
decimales expresando el decimal como fracción.
Cuál tiene más, ¿un recipiente con de litro de chocolate o un
recipiente con 0.7 litros
de leche. ¿Cuántos litros más?
Busca cómo calcular 0.2＋ .
② Calcula la respuesta expresando el decimal como fracción.
Chocolate l3
5leche 0.7 l
La idea de Takahiro ▼
②①
①
③
① ②
④ ⑤
1
5
1
4
1
4
2
5
5
10
1
12
5
18
24
32
30
42
45
100
， ② 2
3
1
6， ③ 5
6
7
9， ④ 4
9
3
7，
＋ 2
3＋ ④③ 4
9－
＋
3
4
5
7－
3
4
5
6
1
3
3
6＝ ＝
6
8
2
5
4
15＝ ＝
1
2
210
3
5
1
5
O O
0.2＝ ＝ 1
6
1
5＝＋ ＋ ＝
1
6
1
6
3
5＝ 3÷5＝
0.7－0.6＝
0.7＝ ， ＝
＝－
6
10
7
10
6
10
3
5
No puedo com-
parar fracciones y
decimales.
No puede
dividirse.
¿Cómo puedo
hacerlo?
・Encontrar fracciones equivalentes.
・Comprender la simplificación de fracciones.
・Comparar fracciones.
・Sumar y restar fracciones con denominadores diferentes.
・Usar sumas y restas con fracciones para resolver problemas.
・Construir expresiones con un propósito dado.
Operaciones con fracciones y decimales
6
5
4
3
2
1
■ Ir a la página 94
1 l 1 l
3736
Escribe el nombre de las partes de una caja.
Observa la caja de la siguiente
figura y responde.
2
①¿Qué tipo de cuadrilátero es la cara
ⓐ?
② ¿Cuántas aristas hay?
③ ¿Cuántos vértices hay?
Recolecta cajas de distintas formas y tamaños. Observa la forma de sus caras
para clasificar las cajas en grupos.
Prismas rectangulares y cubos
1 Kaori organizó las cajas de esta forma:
① ¿En qué se basó Kaori para formar los grupos?
Los cajas de la figura de arriba son cuerpos geométricos limitados por
superficies planas o curvas.
Observa la forma de las cajas y piensa cómo construirlas.
4 Tipos de sólidos
En tercer grado, estudiamos los
términos cara, vértice y aristas.
En los cuadriláteros, hemos estudiado el
cuadrado, rectángulo, paralelogramo,
rombo y trapecio.
1
1
3938
La figura de la derecha es un prisma rectangular.
Un cuerpo limitado por rectángulos, cuadrados, o ambos, se
llama prisma rectangular.
Al cuerpo limitado por cuadrados se le llama cubo.
2 Completa la siguiente tabla con los números y términos
que faltan.
Prisma rectangular Cubo
Caras
Rectángulos o cuadrados
Aristas
Vertices
Forma
Número
Longitud
Número
Número
Redes
Desarrollos planos de prismas rectangulares y cubos
1
① Abre y desdobla el prisma a lo largo de sus aristas.
② Arma la figura.
A la figura que se forma al cortar una caja por sus aristas y colocarla
sobre un plano se le llama desarrollo plano de la caja.
La superficie plana que forma la cara de un prisma rectangular
o de un cubo es un ejemplo de un plano.
Dos caras de un prisma o de un cubo están en planos que son
paralelos o son perpendiculares
cara cara
vértices
aristasaristasprisma rectangular cubo
2
4140
③ ¿Con cuáles de los siguientes desarrollos planos se puede formar un prisma
rectangular?
2 Arma la figura que se forma con el siguiente desarrollo plano.
① Colorea la cara opuesta a
la que forman los puntos
BGJM.
② Identifica y marca los
puntos que se superponen
con el punto L.
③ Colorea la arista que se
superpone a la arista HI.
3 Construye una caja igual al prisma
rectangular que se muestra a la derecha.
① Termina los trazos del desarrollo plano.
② Copia el desarrollo plano en una hoja de papel y ármalo.
A
B L
N
MCD
E F G
H
J K
I
1cm
1cm
5cm 5cm2cm
ⓐ
ⓑ ⓒ
4342
4 Dibuja un desarrollo plano con el que se pueda armar un
cubo con aristas de 5 cm.
② Diseña diferentes desarrollos planos con los que se pueda armar un cubo.
Perpendicularidad y paralelismo de caras y aristas
Caras perpendiculares y caras paralelas
1 Remueve la tapa de un prisma
rectangular y coloca escuadras en
las caras interiores.
2 Ahora coloca una escuadra
sobre las caras exteriores del cubo
para medir los ángulos rectos.
Las caras adyacentes de un cubo y de un prisma
rectangular son perpendiculares.
3 Observa la posición de las caras de una caja rectangular como la que
se muestra abajo.
① ¿Qué caras son perpendiculares?
② ¿Cuáles no lo son?
Las caras que no se intersectan, como ⓑ y ⓓ,ⓔ y ⓒ,
son caras paralelas.
¿Se puede armar un cubo con
desarrollos planos diferentes?
①¿Con cuáles de los siguientes desarrollos planos se puede armar un cubo?
3
ⓒⓑⓐ
4544
4 Identifica los pares de caras paralelas
en el prisma rectangular de la derecha.
5 Observa el siguiente prisma rectangular.
① ¿Qué aristas son perpendiculares a la
arista AB?
② ¿Qué aristas son paralelas a la arista AB?
6 Identifica el paralelismo y la perpendicularidad de las caras de
un cubo.
7 Coloca verticalmente un lápiz sobre el escritorio.
8 La figura de la derecha es un
prisma rectangular.
① Observa la arista BF,
¿es perpendicular a la cara EFGH?
② Observa la figura e identifica las
aristas perpendiculares a EFGH.
Identifica las aristas
perpendiculares al
piso del salón de
clases.
A
E G
C
D
B H
F
A
E G
C
D
B H
F
A
E
F
G
C
D
B HA
B
C
E
F
G
H
D
Considera este salón de clases.
① ¿Qué cara es paralela al piso
del salón?
②¿Qué caras son
perpendiculares al
piso del salón?
Caras y aristas perpendiculares
El lápiz en la imagen ⓑ es perpendicular a la cubierta del escritorio.
46 47
Dibuja un prisma rectangular de tal modo que puedas ver todas
sus caras.
Bosquejo
9
Un bosquejo es la representación
de una figura en la que puedes
ver todas sus partes, las aristas
paralelas mantienen su
propiedad en el dibujo.
Las dimensiones de un prisma rectangular son ancho, largo y alto
Podemos observarlas en 3 aristas que se unen en un
mismo vértice.
El tamaño de un cubo se determina por el largo de
una de sus aristas.
Prismas y cilindros
1 Observa que los siguientes cuerpos se construyen a partir de dos
caras paralelas.
① ¿Qué forma tienen las caras coloreadas en cada uno de ellos? Compara
la forma y el tamaño de esas caras.
② ¿Qué forma tienen las caras que no están coloreadas?¿Cuántas de esas
caras tiene cada cuerpo?
③ ¿Qué caras son perpendiculares?
A los cuerpos como ⓐ, ⓑ, ⓒ y ⓓse les llama prismas.
Las caras paralelas de un prisma que
tienen el mismo tamaño y forma, se
llaman bases.
Las caras rectangulares que unen las
bases de un prisma se llaman caras laterales.
Cuando las bases son triángulos se forma un prisma triangular;
cuando son cuadriláteros se forma un prisma cuadrangular; cuando
es un pentágono se forma un prisma pentagonal y así sucesivamente.
Los cubos son casos particulares de prismas.
altolargo
ancho
¿Desde que ángulo puedes
ver más caras de un prisma?
¿Cómo puedes
ver todas las
caras?
Traza las aristas que no
se pueden ver usando
líneas punteadas.
arista arista
arista
base
vértices
base
aristas
cara lateral
4
4948
④ ¿Cómo se llaman los cuerpos ⓐ, ⓑ, ⓒ y ⓓ de la página anterior?
⑤ Completa la siguiente tabla anotando el número de vértices,
aristas y caras de los prismas que se indican.
Prisma triangular
Número de vértices 3×2＝6
3×2＋3＝9
2＋3＝5
Número de aristas
Número de caras
Prisma cuadrangular
Prisma pentagonal
Prismahexagonal
2 Observa los siguientes cuerpos.
① ¿Qué forma tiene la cara que lo limita?
② Compara la forma y el tamaño de las caras paralelas.
El cuerpo que se muestra a
la derecha se llama cilindro.
Sus caras paralelas tienen la misma
forma y tamaño, las cuales se llaman
bases. La cara curva se llama cara
lateral.
La cara lateral del cilindro es
una superficie curva.
Repasemos las principales características de los prismas rectangulares y los cubos.
página 38① Los prismas rectangulares se clasifican de acuerdo a la
forma de sus .
② Un prisma rectangular posee caras de forma
o una combinación de rectángulos y cuadrados.
Las caras de los cubos son .
③ Los prismas rectangulares y los cubos
tienen aristas y vértices.
① ¿Cuál es el nombre del prisma de la derecha?
② ¿Qué tipo de figuras son las caras ⓑ, ⓒ y ⓓ?
③ ¿Cuáles caras son perpendiculares a la cara ⓑ.
Dibuja un desarrollo plano para armar el
prisma rectangular de la derecha.
Recorta en una hoja de papel las figuras que se indican y construye un prisma
rectangular. ¿Cuántas figuras de cada una necesitas?
Observa el siguiente prisma.4
página 41
páginas 39~40
páginas 47~48
5 cm3 cm
3 cm
4 cm
4 cm
6 cm
4 cm
6 cm
2 cm
2 cm
4 cm
Estos números
sugieren algunas
reglas, ¿cierto?
base
base
caralateral
3
2
1
5150
Observa el siguiente prisma rectangular.
・Entender la relación entre las aristas y entre caras y aristas.
■ Ir a la página 51
① ¿Qué aristas son perpendiculares a la arista AE?
② ¿Qué aristas son paralelas a la arista AE?
③ ¿Cuál de las caras es paralela a la cara ABCD?
④ ¿Qué aristas son perpendiculares a la cara ?
Dibuja los desarrollos planos para construir los siguientes cubos y prismas
rectangulares.
・Dibujar desarrollos planos de cubos y prismas rectangulares.
① Un cubo cuyas aristas miden 4 cm.
② Un prisma rectangular con 6 cm de largo,
4 cm de ancho y 2 cm de alto.
Añade las caras faltantes para completar los siguientes desarrollos planos.
・Diseñar diferentes desarrollos planos.
3
• Una hormiga debe recorrer el prisma de la siguiente figura desde el vértice A
hasta el vértice G para comerse la galleta.
¿Cuál es la distancia más corta?
① Verifica que la línea que
une a A con G es la más
corta.
② ¿En dónde cruza la línea
AG la arista BG?
• Si ahora la hormiga parte desde el vértice E y cruza las aristas AB y BC hacia
el vértice G, ¿cuál es la ruta más corta?
Dibuja un desarrollo plano para verificar tu respuesta.
• Dibuja un desarrollo plano para construir el prisma rectangular de arriba.
A
E
F
G
C
D
H
B
4 cm4 cm
4 cm
4 cm6 cm2 cm
E
4
4
12
A B
D
C
G
H
F
cm
cmcm
E H
AE H
F G
D
B C
F G
E H
① ②
Ir a la página 96
Yo creo que la ruta más corta
es de A a B y luego de B a G
siguiendo la diagonal.
La hormiga puede ir de A a C
siguiendo la diagonal y luego de C
a G. Pero la distancia es la misma
que la idea de Hiroshi.
¿Hay una ruta más corta?
¿Cuál es la distancia
más corta?
2
1
5352
¿Cómo se mide el área?
El área se expresa usando unidades .
¿Cómo se mide el volumen de agua en un recipiente?
Las unidades y se usan para medir el volumen.
¿Cómo se mide el peso?2
Las unidades y se usan para medir el peso.
Preparemos una gelatina.
Volumen
1 Preparamos dos porciones de gelatina como los que se muestran a continuación.
Veamos cómo comparar, expresar y calcular el volumen de cuerpos geométricos.
4cm3cm
2cm
3cm3cm
3cm
① Piensa cómo puedes comparar el volumen de ambas porciones.
5 VolumeVolumeVolumeVolumeVolumeVolumeVolumeVolumeVolumeVolumeVolumeVolumeVolumeVolumeVolumeVolumeVolumen
2l
¿Podemos medir
el volumen de un
sólido?
1
3
1
2 cm
3 cm
3 cm
3 cm3 cm
4 cm
5554
Yo los pongo juntos y corto la parte extra para compararlos.
La idea de Yoko ▼
Yo corto secciones de 1 cm y cuento el número de cubos con aristas de 1 cm.
La idea de Mayumi ▼
Yo construí cuerpos de la misma forma con cubitos de 1 cm por lado.
Comparé su tamaño contando el número de bloques.
② Cuenta el número de cubos de gelatina de 1 cm por lado o cuenta el
número de bloques para comparar el volumen de cada cuerpo.
tiene cubos de gelatina
tiene cubos de gelatina
tiene cubos de gelatina
2 ¿Cuántos cubitos de 1 cm por lado se necesitan para construir el cubo y
el prisma rectangular que se muestran a continuación?
3 Construye diferentes cuerpos utilizando 12 cubitos de 1 cm por lado.
Nota que todos ellos tienen el mismo volumen.
La expresión numérica del tamaño de un cuerpo, como el
de la gelatina y el de los bloques, es la “medida del volumen”.
La idea de Satoshi ▼
2 cm2 cm
2 cm
2 cm2 cm
1 cm
2 cm3 cm
2 cm
① ② ③
3 cm3 cm
2 cm
4 cm4 cm
4 cm
5756
③ ¿Cuántos cubos de 1 cm3 hay? ¿Cuántos centímetros cúbicos son?
Nota que el número de cubos de 1 cm3 en el largo es igual al largo del cuerpo,
el número de cubos de 1 cm3 de ancho es equivalente al ancho del cuerpo y la
altura corresponde al número de cubos de 1 cm3 apilados.
Calcula el volumen de los siguientes prismas rectangulares.
Imagina cómo calcular el volumen de
un prisma rectangular.
Un cubo cuyas aristas miden 1 cm es una unidad de volumen. El volumen de un
cuerpo es el número de cubos que lo conforman.
Al volumen de un cubo con aristas de 1 cm se le llama
“un centímetro cúbico” y se escribe 1cm3.
El cm3 es una unidad de volumen.
4 Calcula el volumen de los siguientes cuerpos.
1
① ¿Cuántos cubos de 1 cm3 hay en la
primera capa?
② ¿Cuántas capas hay?
2 3 4× × ＝ (cm3)
largo ancho altura volumen
2 3 4× × ＝
El volumen de un prisma rectangular se calcula con una
fórmula que relaciona el largo, el ancho y la altura.
Volumen de un prisma rectangular＝largo×ancho×altura
2
Cubos de largo
Cubos deancho
Cubos de alto
Total de cubos
8 cm4 cm
5 cm10 cm3 cm
3 cm
8 cm
5.4 cm 2.5 cm
① ②
① ② ③2 cm3 cm
4 cm
capa 1
capa 2
capa 3
capa 4
Fórmulas para calcular el volumen
1 cm 1 cm
1 cm
¿Qué necesitamos
para calcular el volumen
de un cuerpo?
2
2 cm
4 cm8 cm
5 cm
5 cm5 cm
5958
Calcula el volumen de este cubo.3
① ¿Cuántos cubos de 1 cm3 caben en
este cubo?
② ¿Cuántos cm3 mide su volumen?
En un cubo, el largo, ancho y la altura son iguales, por
esto su volumen puede calcularse usando esta fórmula:
Volumen del cubo＝ (arista)x(arista)x(arista)
① ②
Encuentra el volumen del prisma rectangular y el cubo que se muestran a continuación.
Localiza a tu alrededor un prisma rectangular y un cubo y calcula su
volumen.
Construye una caja cuyo volumen sea igual a 200 cm3
1 Piensa cómo calcular el volumen del prisma
rectangular de la derecha.
① ¿Cuántos cubos de 1 metro por lado
hay en ese prisma?
② ¿Cuántos metros cúbicos hay en el prisma rectangular del inciso anterior?
Al volumen de un cubo con aristas
de 1 metro de largo se le llama metro
cúbico y se escribe 1 m3.
① Si alineamos cubos de 1 cm3 sobre
la base, ¿cuántos cubos hay a lo largo
y ancho?
② ¿Cuántas capas hay?
③ ¿Cuántos cubos de 1 cm3 hay en total?
¿Cuántos centímetros cúbicos son?
100 100 100× × ＝
2 Veamos cuántos centímetros cúbicos
equivalen a un metro cúbico.
3 cm3 cm
3 cm
2 m2 m 3 m
1 m
1 m1 m
1cm1cm1cm
capa 4capa 3capa 2capa 1
1 m
1 m
1 m
1m3＝1,000 000cm3
�Diseña distintas cajas cuyo
volumen sea 200 cm3.
3 Volúmenes grandes
1 m＝100 cm
largo volumenancho altura
1
2
6160
3 Calcula el volumen del
siguiente prisma rectangular.
① Imagina cómo calcular la
respuesta.
② ¿Cuántos metros cúbicos mide
el volumen de este prisma?
¿A cuántos centímetros cúbicos
equivale su volumen?
Calcula el volumen de este
prisma rectangular.
2
•¿Cuántos niños caben en una
caja de 1 m3 ?
La capacidad de 1m3
4 Observa la relación que hay entre cantidad de agua y el volumen.
① ¿Cuántos cm3 caben en un
recipiente de 1 l?
② 1 l = 1000 ml¿Cuántos cm3 es 1 ml?
③ ¿Cuántos litros de agua
caben en un tanque de 1 m3?
1 l cm3＝
1 ml cm3＝
1 m3 cm3＝
l＝
5 Imagina cómo calcular el volumen
del siguiente cuerpo.
¿Qué puedes hacer para
calcular el área del cuerpo
con esta forma ?
¿Cuántos metros cúbicos mide el
volumen de este prisma rectangular?
¿A cuántos centímetros cúbicos equivale
su volumen?
2 m
3 m50 cm
2 m20 cm20 cm
1 m3 m0.5 m
1 m1 m10 cm
1 cm 1 cm
1 cm 1 cm
10 cm10 cm
1 m
1 m
3
3
8 cm 5 cm
5 cm
3 cm7 cm
1
6cm
6cm6cm
5cm
2cm2cm
6362
Yo lo separé en 2 prismas
rectangulares.
5×3×7＋5×5×4
＝105＋100
＝205 Respuesta: 205 cm3
La idea de Yuko ▼
Yo resté el prisma rectangular pequeño
al prisma rectangular grande.
8×5×7－5×5×3
＝280－75
＝205 Respuesta: 205 cm3
6 Moldeamos un elefante con la plastilina de un prisma rectangular
y un cubo. Calcula el volumen del elefante.
Calcula el volumen de los siguientes cuerpos.
¿Cuál es el volumen en m3 del cubo y el prisma rectangular que se muestran
a continuación?
páginas 57~58
páginas 59~60
¿Cuál es el volumen en cm3 y m3 de 400l de agua?
Calcula el volumen del siguiente cuerpo.4
páginas 61~62
La idea de Akira ▼
página 61
12 cm
7cm6 cm
9 cm
9 cm9 cm
60 cm
6 cm
3 cm
4 m
4 m
4 m
6 cm 4 cm
3 cm6 cm8 cm
3 cm
5 cm
5 cm5 cm
4 cm
7 cm
5 cm
5 cm
3 cm5 cm
8 cm
7 cm
① ②
① ②
3
2
1
6564
Volumen de un prisma
1 Considera el prisma rectangular
que se muestra a continuación.
① Escribe la fórmula para calcular el
volumen de un prisma rectangular.
② La base de este prisma rectangular es un
rectángulo. ¿Qué parte del prisma se
expresa con la multiplicación largo x ancho
en la fórmula del inciso anterior?
× ×
largo ancho alto× ×
de base
El volumen de cualquier prisma puede calcularse con
la expresión:
2 Calcula el volumen del prisma que se
muestra a continuación. Considera que
la base es un triángulo rectángulo.
Como el volumen es la mitad del prisma
rectangular se tiene que:
(3×4×8)÷2
＝96÷2
＝48 Respuesta: 48cm3
La base del prisma triangular es un triángulo
rectángulo por lo que el volumen puede
calcularse así:
área de la base × altura
＝(4×3÷2)×8
＝6×8
＝48 Respuesta: 48cm3
La idea de Mami ▼
3 Considera el siguiente cuerpo
como un prisma para calcular
su volumen.
La idea de Hisashi ▼
7cm 8 cm
5 cm
5 cm3 cm
altura
base
base
8 cm
3 cm4 cm
altura
base
base
8 cm
3 cm4 cm
Volumen de un prisma＝área de la base × altura
largo ancho altura
Puedes hacer un
prisma rectangular
apilando hojas de
papel.
Puedes imaginar este
cuerpo como un prisma que
tiene una base formada
como esta: .
6766
Calcula el volumen de los siguientes cuerpos.
・Utilizar una fórmula para el cálculo del volumen.
Ir a la página 92
Calcula el volumen de los siguientes cuerpos.
・Encontrar distintas formas para calcular el volumen.
Calcula el volumen del prisma
rectangular que se forma a partir de
este desarrollo plano.
・Calcular el volumen a partir del desarrollo plano de un
cuerpo.
¿Con cuántas cubetas de agua
puedes llenar el depósito que
se muestra?
・Expresar el volumen con diferentes
unidades.
•Todos los cuerpos tienen volumen. ¿Cómo podemos encontrar el volumen de un
cuerpo que no sea un cubo o un prisma rectangular?
Podemos calcular el volumen de un objeto irregular, por ejemplo, una piedra.
La colocamos en agua, la altura del agua se incrementará debido al volumen de la
piedra. Veamos esto a continuación.
• Mide el volumen de tu cuerpo usando la tina de baño o un estanque.
12 cm
9 cm5 cm
5 m
5 m5 m
3 cm3 cm
4 cm 4 cm
9 cm 5 cm5 m5 m
2 m
1 m1 m
2 cm
2 cm
2 cm
① ②
③ ④1cmmás altomarca
1 litro
10cm10cm
60cm
20cm30cm
El volumen de
distintos cuerpos
4
3
2
1
Ir a la página 67 ■ Ir a la página 98
① ¿Qué caras son perpendiculares a la cara ⓐ?
¿Qué cara es paralela a la cara ⓐ?
② ¿Qué aristas son perpendiculares a la arista AB?
¿Qué aristas son paralelas a la arista AB?
6968
Encuentra los 3 primeros múltiplos comunes y el mínimo común múltiplo de los
siguientes pares de números.
① ( 9 , 12 ) ② ( 15 , 5 ) ③ ( 7 , 11 )
Encuentra todos los divisores y el máximo común divisor de las siguientes
parejas de números.
① ( 6 , 15 ) ② ( 14 , 28 ) ③ ( 16 , 9 )
Para una actividad es necesario dividir al grupo en equipos del mismo
tamaño. Si hacemos grupos de 6 o 7 alumnos, tres de ellos se quedan sin equipo.
Se sabe también que hay menos de 50 alumnos.
¿Cuántos alumnos hay?
Reduce las siguientes fracciones a su mínima expresión.
Transforma las parejas de fracciones en fracciones equivalentes con
común denominador.
Realiza las siguientes sumas y restas.
②①
①
③
②① ③
④ ⑤
Observa el siguiente prisma rectangular y responde a las preguntas.
Dibuja el desarrollo plano para el cubo que se muestra
a continuación.
Calcula el volumen de cada uno de los 4 cuerpos que se muestran a continuación.9 5
A
H
D
G
F
B
E
C
3cm
3cm3cm
3cm
4cm8cm
2cm
2cm2cm
8cm
6cm
9cm4cm
3cm 3cm
3cm3cm
3cm3cm
3cm9cm
9cm
10cm
①②
③ ④
1
3
3
7
4
9
2
3
8
12
5
12
7
15
12
16
5
12
30
45
20
48
36
60
( ), ② 5
8
2
7( ), ③ ( ),
＋ 3
5
3
4＋ 5
6＋
⑤④ ⑥4
5
2
3
13
10－ 5
6
7
9－ 4
5－
6
5
4
3
2
1
7
8
1
1
1
3
3
3
4
4
7170
Cada mañana los alumnos de 6º grado leen un libro. Hiromi y Kenji escogieron el
mismo título, sin embargo, Hiromi leyó durante cinco días y Kenji cuatro días
porque faltó un día a la escuela. Compara el número de páginas que lee cada uno
de ellos por día.
Páginas leídas por Hiromi
Páginas leídas por Kenji
Día Primer día Segundo día Tercer día Cuarto día Quinto día Total
Número de páginas 5 7 3 4 6 25
Día Primer día Segundo día Tercer día Cuarto día Total
Número de páginas 8 5 5 6 24
Media aritmética
1 Si ambos hubieran leído el mismo número de páginas por día,
¿cuántas páginas leería cada uno por día?
① ¿Cuántas páginas leyó Hiromi por día?
② ¿Cuántas páginas leyó Kenji por día?
③ ¿Quién leyó más páginas por día?
(páginas)8
6
4
2
0 Primer día
Segundo día
Tercer día
Cuarto día
Quinto día
8
6
4
2
0
（páginas）Prim
er día
Segundo día
Tercer día
Cuarto día
Quinto día
8
6
4
2
0
（páginas）
Primer día
Segundo día
Tercer día
Cuarto día
8
6
4
2
0
（páginas）
Primer día
Segundo día
Tercer día
Cuarto día
Medición con otro tipo de unidad
El número de días de lectura y el
total de páginas son diferentes.
¿Cómo se puede calcular el número
de páginas que leen por día?
1
7372
La siguiente tabla muestra el número de libros que leyeron 5 alumnos
en el grupo de Tadashi durante agosto.
¿Cuántos libros en promedio lee cada alumno?
Al proceso en el cual se representan diferentes cantidades por una sola se
le llama “promediar”
② Reflexiona cómo calcular el promedio.
2 Observa los siguientes envases con jugo.
① Vamos a promediar la cantidad de jugo
para que cada uno de los envases contenga
la misma cantidad.2 1 5
( 4＋2＋1＋5 ) ÷ 4 ＝
Para calcular el promedio dividimos la cantidad total de jugo entre
los 4 envases.
Al resultado que se obtiene al promediar números o canti-
dades se le llama media aritmética.
En el caso del jugo tenemos:
Puedes calcular el promedio si conoces la cantidad
total y el número de objetos.
La media aritmética puede incluir decimales. La parte decimal aparente-
mente no tiene sentido, como ocurre con el número de libros, pero da infor-
mación importante
Términos
平 均
Libros leídos por alumno
3 ¿Cuál de las siguientes gallinas pone los huevos más pesados?
Encuentra el peso promedio en cada caso y compáralos.
4
La idea de Kumiko ▼ La idea de Yasuo ▼
De los recipientes que contienen
mayor cantidad de jugo,
extraigo parte de éste y lo
paso a los que tienen menos.
Vierto todo el jugo en otro recipiente y
después reparto equitativamente el jugo
entre los recipientes pequeños.
número deenvases
Jugo en los 4 envases promedio de jugo por envase
Promedio＝total de jugo÷número de envases
Nombre Tadashi Yutaka Kenta Sayaka Yuko
Número de libros 4 3 0 5 2
56g 58g 56g 61g 54g 57g
57g 53g 60g 58g 56g 53g 55g
Significa emparejarSignifica
plano
En japonés “media aritmética” es 平均..
① ¿En cuál de las fotografías hay más aglomeración?
•en o en →
• o →
• o →
7574
Cuando el número de tapetes es el mismo, la fotografía con
alumnos es la que tiene más aglomeración.
Cuando se tiene el mismo número de alumnos, la fotografía con
tapetes es la más aglomerada.
② Veamos cuántos alumnos están sobre cada tapete.
Midamos usando otro tipo de unidad
1 Las fotografías ⓐ, ⓑ y ⓒ muestran a un conjunto de alumnos parados sobre unostapetes. ¿En cuál de las ilustraciones ⓐ,ⓑy ⓒ se presenta la mayor aglomeración dealumnos por tapete?
2 tapetes, 12 alumnos
3 tapetes, 12 alumnos
3 tapetes, 15 alumnos
Piensa cómo medir la aglomeración de alumnos
2 tapetes, 12 alumnos
3 tapetes, 12 alumnos
3 tapetes, 15 alumnos
¿Qué tal si promediamos
respecto al número de
tapetes?
El número de tapetes y alumnos
es distinto en cada caso.
2
ⓐ
ⓐ
ⓑ ⓑ
ⓑ
ⓐ
ⓒ
ⓒ
ⓒ
ⓐ
ⓑ
ⓒ
ⓐ ⓑ ⓒ
7776
③ El área de cada tapete es 1m2. ¿Cuántos alumnos hay por metro cuadrado?
12 ÷ 2 ＝
12 ÷ 3 ＝
15 ÷ 3 ＝
La aglomeración se expresa mediante la razón de dos
cantidades: el número de alumnos y el área.
Para el área se utilizan unidades como el m2 o el Km2.
Cuando se agrupan personas de forma desordenada el
número de ellas por m2 permite medir la aglomeración.
En un arenero de 8 m2 se encuentran jugando 10 niños. En otro arenero de
13 m2, hay 13 niños jugando. ¿En cuál de ellos hay una aglomeración mayor?
En un tren de 7 vagones viajan 1,260 pasajeros mientras que en el de 8
vagones viajan 1,850 pasajeros.
¿En cuál hay mayor aglomeración?
1
2
Número deniños
Área Número de niños por m2
2 La tabla de la derecha muestra la
población y el área de las ciudades
del Este y el Centro Oeste.
Calcula cuántos habitantes
hay por Km2 para ver en cuál de
ellas está más aglomerada la
población.
Población y área
Población
(habitantes)Área (Km2)
Centro Oeste 22,100 17
Ciudad
del Este273,600 72
Al número de habitantes por Km2 se le llama densidad
de población y con ese valor se puede medir la
aglomeración en una ciudad o municipio.
Calcula la densidad de población de
cada una de las siguientes prefecturas,
redondea el resultado al primer
decimal.
Fukuoka4,971 Km2
5,001,592
Hiroshima8,477 Km2
2,870,542
Niigata12,582 Km2
2,463,740
Hokkaido83,453 Km2
5,662,856
Tokyo2,187 Km2
11,996,460
Kagoshima9,187 Km2
1,775,636
Kochi7,105 Km2
813,237
Kagawa1,876 Km2
1,031,185
Kumamoto7,404 Km2
1,866,553
Aomori9,606 Km2
1,487,451Osaka1,893 Km2
8,643,677
Shizuoka7,779 Km2
3,769,776
Okinawa2,271 Km2
1,353,212
Población en 2003
¿Cuál es la densidad
de población donde
tú vives?
ⓐ
ⓑ
ⓒ
7978
3 Los alumnos cultivaron papas
en el huerto escolar y lograron cosechar
43.2 Kg de la parcela de 6 m2 y
62.1 Kg de la parcela de 9 m2.
¿Cuál parcela es más productiva?
Compara con los valores del peso de
las papas por m2.
4
Peso (Kg) ? 43.2
Área (m2) 1 6
Peso (Kg) ? 62.1
Área (m2) 1 9
Peso (g) 20 ?
Longitud (m) 1 15
Peso (g) 20 340
Longitud (m) 1 ?
0
0
1
43.2 （Kg）
0
0
1
62.1 （Kg）
PesoÁrea
PesoÁrea
0
0
1 10 (cuadernos）
1200 （yenes）Costo
Número decuadernos
0
0
1 8 (cuadernos）
1040 （yenes）Costo
Número decuadernos
5 En la tlapalería hay dos tipos de rollos de alambre; uno de ellos mide
6 m y pesa 390 g y el otro mide
8 m y pesa 480 g.
¿Cuál de esos alambres es más
pesado?
Compara el peso por metro
de alambre.
0
0
1
PesoLongitud
0
0
1
PesoLongitud
A indicadores como la densidad de población, cosecha por m2,
costo por ejemplar, entro otros, se les llama medida por unidad.
6 Imagina un alambre que pesa 20 g por metro y responde a las
siguientes preguntas.
① ¿Cuánto pesa un rollo de ese alambre que mide 15 m de largo?
② Si recortamos un segmento de ese alambre y su peso es de 340g,
¿cuántos metros mide ese segmento?
Peso Total peso por 1m longitud＝ ×
0
0
1
20Peso
Longitud
0
0
1
20Peso
Longitud
En la papelería puedes comprar un paquete de 10 cuadernos
por 1,200 yenes o un paquete de
8 cuadernos por 1,040 yenes.
¿Cuál de los paquetes es más caro?
Compara el costo por cuaderno.
Un equipo de alumnos construyó modelos a escala de autos solares y quieren
conocer a qué velocidad pueden desplazarse.
Para investigarlo, se dividieron en dos grupos. Uno de ellos midió el tiempo que
necesita el vehículo para trasladarse cierta distancia y el otro registró la distancia
que recorrió el auto en un tiempo determinado.
8180
7 Una máquina puede bombear 240l de agua en 8 minutos y una segunda
máquina puede bombear 300 l de agua en 12 minutos.
¿Cuál de esas máquinas bombea más agua por minuto?
8 Las fotocopiadoras ⓐ de la papelería pueden
reproducir 300 hojas en 4 minutos y la ⓑ380 hojas en 5 minutos.
① ¿Cuál de las fotocopiadoras es más rápida?
② ¿Cuántas hojas puede reproducir la
copiadora ⓐ en 7 minutos?
③ ¿En cuántos minutos puede la
fotocopiadora ⓑ producir 1,140 copias?
Si un pequeño tractor puede arar 900m2 de tierra en 3 horas, ¿cuántos m2
puede arar en 8 horas?
0
0
1 8 (minutos）
Volumen deagua
Tiempo0
0
1 12 (minutos）
Volumen deagua
Tiempo
Número de hojas
Minutos
Número de hojas
Minutos
0
0
1
（hojas）
（minutos）
Número dehojas
Tiempo
3 Velocidad
Cómo medir la velocidad
Piensa cómo puedes decidir cuál de los autos es el más rápido.
Si la distancia es la misma,
el auto que la recorre en el
menor tiempo es el más
rápido.
Si el tiempo de recorrido es
el mismo, el auto que cubre
la mayor distancia es el
más rápido.
Si la distancia y tiempo son
diferentes para cada vehículo,
¿cómo puedo comparar su
velocidad?
¿Por qué no las comparamos
como lo hicimos para medir
la aglomeración en los
tapetes?
8382
En la siguiente tabla se registraron las distancias y el tiempo de
recorrido de los autos solares.
① ¿Qué auto es el más rápido?
Compara la velocidad de
los autos solares.
•Entre ⓐ y ⓑ. es más rapido.
•Entre ⓑ y ⓒ. es más rapido.
•Entre ⓐ y ⓒ. es más rapido.
La velocidad se puede comparar si el tiempo es el mismo o si la distancia es la misma.
1
Mismo tiempo Misma distancia
El tiempo que cada auto tardó en recorrer la distancia.
② Calcula cuántos metros por minuto recorrió cada auto y compara la velocidad.
③ Calcula cuánto tiempo tardan en recorrer 1 m y compara su velocidad.
Si comparamos la velocidad con los tiempos de recorrido de los autos por unidad de
distancia, el menor tiempo es el del más rápido.
Si comparamos la velocidad con las distancias que recorrieron por unidad de tiempo,
la mayor distancia es la del más rápido.
La velocidad se mide como la distancia recorrida por unidad
de tiempo.
2 El tren bala Hikari recorre los
553 Km entre Tokio y Shin-
Osaka en 3 horas.
El tren Toki recorre los 334 Km
entre Tokio y Niigata en
2 horas.
② ¿A cuántos Km por hora viaja el tren Toki?
① ¿Cuál de esos trenes es
más rápido?
La velocidad se puede expresar de distintas formas dependiendo
de la unidad de tiempo. La velocidad se mide por unidad:
Velocidad por hora: se expresa en términos de la distancia
recorrida en una hora.
Velocidad por minuto: se expresa en términos de la distancia
recorrida en un minuto.
Velocidad por segundo: se expresa en términos de la distancia
recorrida en un segundo.
Una persona recorrió 50 metros en 8 segundos y otra 60 metros en 10 segundos.
¿Quién es más rápido? Compara la velocidad expresándola en metros por segundo.
Una persona caminó 432 m en 6 minutos y otra 280 m en 4 minutos. ¿Quién es más
rápido? Compara su velocidad expresándola en metros por minuto.
1
2
Velocidad＝distancia÷tiempoDistancia y tiempo
Auto Distancia (m) Tiempo(min)
30 4
30 5
40 5
La distancia que recorrió cada auto en 1 minuto.
8584
Si una bicicleta recorre 400 metros por segundo, ¿cuántos minutos
tarda en recorrer 2,400 metros?
3 Un maratonista recorrió
36 Km en 2 horas.
① ¿Cuántos Km por hora recorrió?
② ¿Cuántos metros por minuto
recorrió?
③ ¿Cuántos metros por segundo
recorrió?
Analiza los casos ⓐ, ⓑ y ⓒ para identificar cuál es el más rápido.
ⓐ Un auto que viaja a 30 Km por hora.
ⓑ Una bicicleta que recorre 510 metros por minuto.
ⓒ Un corredor de 100 m planos recorre 10 metros por segundo.
•Mide el tiempo que necesitas para caminar 50 m y calcula tu velocidad por
segundo, por minuto y por hora.
Velocidad al caminar
por segundopor 60 segundos
por minuto
por 60 minutos
por hora
Calculemos la distancia y el tiempo
4 Piensa en un auto que circula a 40 Km por hora.
① ¿Cuántos Km recorre en 2 horas?
② ¿Cuántos Km recorre en 3 horas?
0
0
1 2 (horas）
36 （Km）DistanciaTiempo
0
0
1 2 3 ( horas）
40DistanciaTiempo
Distancia＝velocidad×tiempo
Tiempo＝distancia÷velocidad
5
Si se tarda minutos en recorrer la distancia, podemos calcular la respuesta de esta manera:
Responde las siguientes preguntas acerca de una persona que
camina 80 metros por minuto.
① ¿Cuántos metros recorre en 5 minutos?
② ¿Cuántos minutos tarda en recorrer 2,000 metros?
Distancia velocidad tiempo＝ ×2400 400＝ ×
2400 400＝ ÷
0
0
1 （minutos）
2400（C）400DistanciaTiempo
velocidad por
segundo
velocidad por
minuto
velocidad por
hora
×60
÷60
Distancia (Km) 40 ？ ？
Tiempo(horas) 1 2 3
Distancia (m) 400 2400
Tiempo (minutos) 1 ？
Maratón Oume (Ciudad de Oume, Tokio)
¡Haz un diagrama
para resolver
esto!
Es útil promediar
la velocidad a la
que caminas.
×60
÷60
(m)
8786
En la papelería hay dos tipos de cajas de lápices de colores, la primera tiene
12 lápices y cuesta 600 yenes; la segunda tiene 8 lápices y cuesta 440 yenes.
¿Qué caja es más cara?
Una huerta de 180 m2 produce 432 Kg de naranjas.
¿Cuántos Kg de naranjas produce por m2
Un automóvil que circula a una velocidad de 48 Km por hora demora
4 minutos en atravesar un túnel.
① ¿Cuántos metros por minuto
equivalen a 48 Km por hora?
② ¿Cuántos metros mide de
largo el túnel?
La siguiente tabla muestra el número de latas vacías que recolectó Masako en cinco
días. ¿Cuántas latas recolectó por día en promedio?
¿En cuál de los trenes ⓐ y ⓑ van más
aglomerados los pasajeros?
ⓐ 1,080 pasajeros en 6 vagones
ⓑ 1,640 pasajeros en 8 vagones
2
página 72
página 78
página 78
páginas 74~77
En la ciudad donde vive Yoshiko habitan alrededor de 39,000 personas en una
área de aproximadamente 50 Km2. Calcula la densidad de población de esa ciudad.
・Entender cómo calcular la densidad de población.
El tren ⓐ viaja a 1.8 Km por minuto y el tren ⓑ a 100 Km por hora. ¿Cuál
tren es más rápido? ・Entender el cambio de unidades, por minuto y por hora.
Un tifón se movió a una velocidad de 25 Km por hora.
① ¿Cuántos Km se desplaza en 12 horas?
② Considerando la misma velocidad,
¿cuántas horas tardará en trasladarse
400 Km?
Takashi se propuso leer 25 páginas de un libro por día. Leyó un promedio de
23 páginas durante 6 días, de domingo a viernes. ¿Cuántas páginas debe leer el
sábado para cumplir su propósito?
Se obtuvo la siguiente información de los alumnos del sexto grado durante un concurso
de barra fija en la escuela de Masao.
A partir de la tabla, calcula el promedio de dominadas que hizo un alumno considerando a
todos los alumnos del sexto grado.
5
Número de dominadas 0 1 8 9 10
Número de alumnos 3 0 4 6 1
2 3 4 5 6
2 4 5 16 9
7
10
Número de latas
Número de dominadas y número de alumnos de sexto grado
páginas 82~83
■ Ir a la página 93
Día Uno Dos Tres Cuatro Cinco
Número de latas 6 7 5 8 8
・Entender la expresión promedio = total : número de eventos
・Entender la media aritmética como unidad de medición.
・Entender la relación: distancia = velocidad x tiempo.
5
4
3
1
4
3
2
1
■ Ir a la página 88 ■ Ir a la página 100
En Japón la población no es ajena a los cambios que provoca el calentamiento
global, como la elevación del nivel del mar y la reducción en la producción de
alimentos. Una de las causas del calentamiento global son los altos índices de
bióxido de carbono en el ambiente.
Analicemos cuánto bióxido de carbono se genera
en Japón por persona.
1
Generación de bióxido de carbono anual y población
Producción de bióxido de carbono por habitante en diferentes países (1996）
AñoBióxido de carbono
(por diez mil Kg)
Población
(por diez mil)
Producción de bióxido
de carbono por persona
2000 36,610,000 12,693
1960 6,960,000 9,430
1970 22,200,000 10,467
1980 27,270,000 11,706
1990 30,860,000 12,361
Estados UnidosRusiaJapónFrancia
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000（M）
ChinaIndia
Secretos del mínimo común múltiplo y del máximo común divisor
Descifrando un código secreto
¿Cómo es una caja de 1,000 cm3?
El juego de la velocidad
Suma y resta con números mixtos
Construyamos cubos y rellenémoslos
Construyamos la caja con capacidad máxima
¿Cuántas monedas hay? 6
8988
El promedio y la
aglomeración en relación
con el medio ambiente.
La siguiente tabla muestra la producción de bióxido de carbono por habitante
en diferentes países. ¿Qué conclusiones obtienes de esto?
2
6
1
3
5
3
4
5
Secretos del mínimo común múltiplo
y del máximo común divisor
① Anota tus conclusiones.
② A partir de tus conclusiones calcula el mínimo común múltiplo y el máximo
común divisor para las siguientes parejas de números.
•Encuentra el mínimo común múltiplo ⓒ y el máximo común divisor de los
números ⓐ y ⓑ como se muestra en el ejemplo.
(18, 27) (21, 28) (18, 32)
Descifrando un código secreto
•Relaciona el resultado de las siguientes sumas y restas con el código en las tarjetas.
Debes completar todos los cuadros para ver el mensaje.
•Guarda tu código secreto y pídele a tus compañeros que intenten descifrarlo.
1 ＋ ＝1
42
A
1 ＋ ＝1
32
C
1 ＋ ＝1
54
E
1 ＋ ＝1
64
G
1 － ＝1
63
B
1 － ＝1
43
D
1 － ＝1
65
F
1 － ＝1
86
H
A B C D E F G H
8
15
1
6 i
x
1
30
512 i
1
12
9
20 e1
24 o4
9 r 5
6 s
3
4
× Mínimo comúnmúltiplo
Máximocomún divisor
6 9 54 18 3
4 8
7 14
5 20
12 16
4 6
3 5
9 12
10 30
8 24
9 36
14 28
13 11
28 30
32 42
Código secreto
¡Este es el mensaje!
Secreto
Tarjetas de respuestas
r t m
9190
Probablemente
necesites una
columna extra.
Si me desplazo horas a Km por hora, la distancia recorrida es .
La velocidad al desplazarse Km en hora (s) es Km por hora.
El tiempo de recorrido cuando se desplaza Km a una velocidad
de Km por hora es horas.
¿Cómo es una caja de 1,000 cm3?
① Calcula el volumen de los siguientes cuerpos.
② Busca a tu alrededor cuerpos cuyo volumen sea aproximadamente 1,000 cm3 y
registra sus medidas en una tabla como la que se muestra a continuación.
Comparte tu tabla con tus compañeros.
•Observa a tu alrededor e identifica
cajas cuya capacidad sea aproxi-
madamente de 1,000 cm3.
El juego de la velocidad
③ Calcula la distancia que te mueves usando la velocidad por hora
y el tiempo que obtuviste al tirar los dados.
④ Marca la distancia que recorres sobre el tablero de juego.
Gana el primer jugador que llega a la meta en el Km 40.
•¡A jugar!
10 cm
10 cm10 cm
1,000 cm3
0 10 20 30
SalidaMeta
B
B
B
B
B
B
BB
B
B
B
B
B
B
B
❶ ❷
❸
(Redondea al décimo más cercano)
① Decidan quién inicia con “piedra-papel-tijera”
② El jugador lanza el dado cuatro veces.
Calcula la velocidad usando los dígitos de los primeros dos lanzamientos
(❶, ❷) y el tiempo de recorrido con los dígitos de los siguientes
lanzamientos (❸, ❹).
Reglas
9392
❹
Largo Ancho Alto VolumenNombre
Diccionario 19 cm 14 cm 4 cm 1064 cm3
●
●
▲
▲
cm
cmcm cm
cm
cmcm
cm
cmcm
cm
cm
cm
cm
cm
La idea de Yoshie ▼
Cambié las fracciones mixtas a
fracciones impropias:
Después hice el cálculo:
Por último reduje la respuesta a los términos más simples:
① Escribe una expresión matemática para obtener la respuesta.
② Piensa cómo realizar los cálculos.
1 Si almacenamos Kg de papel en una caja que pesa Kg,
¿cuál es el peso del papel y la caja juntos?
112 1
2
3
La idea de Hisashi ▼
Cambié las fracciones mixtas a
fracciones impropias:
Después calculé la suma:
Por último cambié a fracción mixta .
11＋1
2
2
3＝
2＋
3＝
6＋
6＝
6
11
2＝ ，
21
2
3＝
3
6 6＝
11－2
2
5
6＝
2－
6＝
6－
6＝
6
21
2＝ ，
21
5
6＝
6
6＝
2 Haz las siguientes sumas.
①
②
31＋1
8
1
2
21＋1
3
3
4
La idea de Masayo ▼
Sumé los números enteros y las
fracciones propias por separado.
11 ＝＋1
2
2
31
61＋
6
3 En casa de la familia Midori había un garrafón con litros de jugo naranja.
Durante la semana se consumió litros de jugo. ¿Cuánto jugo queda en el garrafón?
① Escribe una expresión matemática para encontrar el resultado.
② Piensa cómo hacer los cálculos.
21
2
15
6
La idea de Akira ▼
Hice las operaciones con números
enteros y las fracciones por separado.
por lo que expresé el 2 como 1+1 en la fracción:
Encontré que no puede restar de
11－2
2
5
6
5
6
3
6
31－2
6
5
6
31＝2
6
9
6
91 ＝－1
6
5
6
＝
4 Haz las siguientes restas.
①
②
31－2
4
1
6
11－3
3
3
4
6＝
6＝ 6
＝
9594
Intenta resolver las
operaciones que aún
no has logrado
hacer.
Marca con un ✔ las
operaciones que
puedes resolver.
Suma y resta con números mixtosSuma y resta con números mixtos
3 cm 7 cm
5 cm
Construyamos cubos y rellenémoslos
10 cm30 cm
10 cm
Apila prismas rectangulares del mismo
tamaño para construir un cubo.
¿Puedes hacerlo?
1 Apila bloques como los que se muestran a
continuación y construye un cubo.
① Completa la siguiente tabla con múltiplos del
largo, ancho y alto del bloque.
② Anota 3 múltiplos comunes del
largo, ancho y alto.
③ ¿Cuántos cm puede medir la arista más pequeña del cubo?
2 Construye un cubo usando los siguientes bloques.
¿Cuántos cmmide la arista del cubo más pequeño que se puede construir?
Este prisma rectangular está lleno de
cubos.
¿Puedes calcular qué tamaño deben tener los
cubos para rellenar por completo con ellos
cualquier prisma rectangular?
3 Vamos a llenar la caja que se
muestra a continuación con cubos,
sin dejar huecos.
¿Cuántos cm deben medir las
aristas del cubo?
① Encuentra los divisores del largo, ancho y alto de la caja.
② Anota todos los divisores comunes del largo, ancho y alto.
③ ¿Cuántos cm miden las aristas del cubo de mayor tamaño con el que
puedes rellenar la caja sin dejar huecos? ¿Cuántos cubos de este tamaño
se necesitan?
4 Intenta llenar con cubos los prismas rectangulares que se muestran a continuación
y encuentra el largo máximo que puede medir la arista de los cubos para rellenar cada
prisma sin dejar huecos. ¿Cuántos cubos de ese tamaño se necesitan?
Divisores de 12（ ）Divisores de 18（ ）Divisores de 6 （ ）
2 cm6 cm
4 cm
5 cm 7 cm
3 cm
12 cm 18 cm6 cm
24 cm 36 cm
12 cm
10 cm 30 cm10 cm
Alto (cm)
2 4Largo (cm)
6 12Ancho (cm)
4 8
② ③①
9796
Los múltiplos comunes
representan posibles longi-
tudes de los lados del cubo.
②①
El divisor común
determina la longitud de
las aristas del cubo.
Construyamos cubos y rellenémoslos
Construyamos la caja con capacidad máxima
① Si la altura de la caja es 3 cm, ¿cuántos cm mide de largo y ancho?
¿De cuantos cm3 es el volumen de la caja?
② Si varía el alto de la caja de 0.5 cm a 1 cm, 1.5 cm, 2 cm y
así sucesivamente; ¿cuánto cambia su largo, su ancho y su
volumen? Completa la siguiente tabla.
③ Expresa la relación entre la altura de la caja y su volumen
en un gráfico de líneas.
④ ¿Cuántos cm mide el alto de la caja cuando la gráfica muestra el mayor
volumen?
Alto (cm) 0.5 1 4.5 5
Volumen (cm3) 60.5 100
1.5 2 2.5 3 3.5 4
Largo (cm) 11 10 9 8
Ancho (cm) 11 10 9
150
100
50
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
Volumen
Altura
Construye una caja sin tapa
a partir de un cuadrado cuyos
lados miden 12 cm.
Dibuja en una hoja de papel
los desarrollos planos que se
muestran en la siguiente figura
y arma dos cajas.
9998
¿Qué volumen se obtiene
cuando la altura es 1.99
cm y 2.01 cm?
Construyamos la caja con capacidad máxima
(cm2)
(cm)
¿Cuántas monedas hay?
El número de monedas en cada
celda de la tabla de multiplicar es
igual al resultado de la multiplicación
a que corresponde.
¿Cuál es el número total de monedas?
La idea de Koichi ▼
Total del renglón del 1: 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45
Total del renglón del 2: 2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋16＋18＝90
Total del renglón del 3: 3＋6＋9＋12＋15＋18＋21＋24＋27＝135
Noté que la suma total de cada renglón es múltiplo de 45 .Tenemos 45 grupos de
45 monedas del renglón del 1 al del 9, entonces tenemos 45x45＝2,025 monedas.
La idea de Masumi▼
La media aritmética del renglón del 1 es:
(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)÷9＝5
Por lo anterior podemos reemplazar la respuesta con el valor de la media
aritmética, como se observa en la tabla de multiplicación del ①. Después podemos
calcular la media aritmética para las otras columnas como sigue:
(5＋10＋15＋20＋25＋30＋35＋40＋45)÷9＝25
El resultado de la media aritmética para todos los productos de la tabla de
multiplicación es 25, como se indica en la tabla ②. Como hay 81 grupos de 25
monedas, la respuesta es 25x81=2,025
Intenta calcular el número de monedas
con otras estrategias.
………
Respuestas en la tabla de multiplicar
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 4 6 8 10 12 14 16 18
3 6 9 12 15 18 21 24 27
4 8 12 16 20 24 28 32 36
5 10 15 20 25 30 35 40 45
6 12 18 24 30 36 42 48 54
7 14 21 28 35 42 49 56 63
8 16 24 32 40 48 56 64 72
9 18 27 36 45 54 63 72 81
5 5 5 5 5 5 5 5 510 10 10 10 10 10 10 10 1015 15 15 15 15 15 15 15 1520 20 20 20 20 20 20 20 2025 25 25 25 25 25 25 25 2530 30 30 30 30 30 30 30 3035 35 35 35 35 35 35 35 3540 40 40 40 40 40 40 40 4045 45 45 45 45 45 45 45 45
25 25 25 25 25 25 25 25 2525 25 25 25 25 25 25 25 2525 25 25 25 25 25 25 25 2525 25 25 25 25 25 25 25 2525 25 25 25 25 25 25 25 2525 25 25 25 25 25 25 25 2525 25 25 25 25 25 25 25 2525 25 25 25 25 25 25 25 2525 25 25 25 25 25 25 25 25
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 4 6 8 10 12 14 16 18
3 6 9 12 15 18 21 24 27
4 8 12 16 20 24 28 32 36
5 10 15 20 25 30 35 40 45
6 12 18 24 30 36 42 48 54
7 14 21 28 35 42 49 56 63
8 16 24 32 40 48 56 64 72
9 18 27 36 45 54 63 72 81
Yo quiero
intentar con
grupos de 9
números
como éstos.
① Media del número de monedas para cada renglón. ② Media del número de monedas para todos los renglones.
101100
¿Eso significa que necesito
sumar todos los productos que
muestra la tabla de multiplicar?
Podemos encontrar la
respuesta si sumamos
1＋2＋3＋4＋5＋…
¡Eso toma mucho
tiempo!
¿Hay una forma
más fácil?
¿Cuántas monedas hay?
103102
①
( , )
( , )
①
③
②
③
3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，33，36，39，42，45，48
7，14，21，28，35，42，49
1，2，4，7，14，28
1，2，4，8，16，32
1，2，4
504cm3
64m3
400000cm3，0.4m3
216cm3
729cm3
10.8cm3
Múltiplos comunes…6，12，18
cara
cara
prisma triangular
área
arista vértice
rectángulo 12 8
Mínimo común múltiplo…6
Múltiplos comunes…40，80，120
Mínimo común múltiplo…40
Múltiplos comunes…15，30，45
Mínimo común múltiplo…15
21，42
①
Divisores comunes…1，2，3，6
， ，
Máximo común divisor…6
Divisores comunes…1，2
Máximo común divisor…2
Divisores comunes…1，2
Máximo común divisor…2
Fracciones grandes
①
②
②
②
③
Múltiplos comunes…36，72，108
Mínimo común múltiplo…36
Múltiplos comunes…15，30，45
Mínimo común múltiplo…15
Múltiplos comunes…77，154，231
Mínimo común múltiplo…77
①
②
①
②
③
①②
③12，8③
②
② ③①
rectángulo, cuadrado
cubo con 4cm aristas…6 de
prisma rectangular con 2cm，4cm y
6cm aristas…2 de ，2 de ， 2 de
prisma rectangular con 2cm，4cm y
4cm aristas…2 de ，4 de
prisma rectangular con 4cm，4cm y
6cm aristas…2 de ，4 de
①
②①②①
④⑤⑥
，
① 23
34
12
34
23
34
23
76
49
46
，12
28
69
24 ，3
6 ，48
② ③
⑤
⑤ ⑥ ⑦ ⑧
④
① ② ③ ④
23
35
49
69
34
23
12
54
⑤
① ② ③
①
②
③
④
① ② ③ ④
③ ④
1528
4135
1312
1118
124
1128
1112
3120
518
512
6
① ② ③
④ ⑤ ⑥
①
②
La cinta de Hiroko es mayor por m.
m
rectángulo
…Cara perpendicular
， ， ，cara paralela…
aristas paralelas…DC，HG，EF
aristas perpendiculares…
AD，BC，AE，BF
el segundo tipo
6.8 latas
rectángulo
rectángulo
l，dl (ml)
Kg, g
( , )
96cm3
336cm3
8cm3
540cm3
2.4 Kg
②①
800 m por minuto
3,200 m②①
④③
Respuestas Respuestas
Página 16 Página 36
Página 49
Página 52
Página 86
Páginas 68~69
Página 63
Página 22
Página 33
120
3556
2560
1621
1656
2860
2720
215
118
45 alumnos
Divisor común…1
Máximo común divisor…1
③
Divisores comunes…1，2，7，14
Máximo común divisor…14
②
Divisores comunes…1，3
Máximo común divisor…3
①
1
2
3
1
2
3
4
1
3
4
1
2
4
1
1
2
1
2
3
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
3
9
7
104