SOLUCIN NUMRICA DE ECUACIONES ALGEBRAICAS Y

TRASCENDENTES

MTODO NUMRICO.

Ing. Manuel E. Castaeda Castaeda

Los mtodos numricos son tcnicas o procedimientos desarrollados para resolver problemas cuya solucin analtica es complicada o no puede obtenerse.

Los mtodos numricos utilizan para ello sumas, restas, multiplicaciones, divisiones as como en algunos casos evaluar funciones y derivadas.

Los mtodos numricos son aproximaciones numricos ya que sus resultados son valores cercanos a los reales

CONVERGENCIA Y ESTABILIDAD DE UN MTODO NUMRICO.

Se entiende por convergencia de un mtodo numrico la garanta de que, al realizar un buen nmero de iteraciones, las aproximaciones obtenidas terminan por acercarse cada vez ms al verdadero valor buscado.

CONVERGENCIA Y ESTABILIDAD DE UN MTODO NUMRICO.

En la medida en la que un mtodo numrico requiera de un menor nmero de iteraciones que otro, para acercarse al valor deseado, se dice que tiene una mayor rapidez de convergencia.

Se entiende por estabilidad de un mtodo numrico el nivel de garanta de convergencia, y es que algunos mtodos numricos no siempre convergen y, por el contrario, divergen; esto es, se alejan cada vez ms del resultado deseado.

Es comn encontrar mtodos que convergen rpidamente, pero que son muy inestables y, en contraparte, modelos muy estables, pero de lenta convergencia.

CONVERGENCIA Y ESTABILIDAD DE UN

MTODO NUMRICO.

Un procedimiento numrico es convergente cuando a medida que realicemos iteraciones (repeticin de una serie de instrucciones) para aproximar la raz, los errores (absoluto y relativo) disminuyen.

El mtodo numrico es estable si se aproxima a la raz siguiendo un orden determinado.

fx0 fx1

fx2

fxr

Estable

fx0 fx2

fxr

fx1

Inestable

fx0

fx1

fx2

fxr fx3

Divergente

fx0 fx1

fx2

fxr

fx3

El criterio de terminacin o conclusin de la aplicacin de un mtodo numrico, estar dado por la comparacin del error que se comete en cada iteracin, con el mximo permisible (tolerancia)

e

MTODO DE BISECCIN.

Es un algoritmo de bsqueda de races que trabaja dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raz.

MTODO DE BISECCIN.

Este es uno de los mtodos ms sencillos y de fcil intuicin para resolver ecuaciones en una variable. Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI), el cual establece que toda funcin continua f en un intervalo cerrado [a,b] toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b).

Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo [a,b]. En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos, el valor cero sera un valor intermedio entre f(a) y f(b), por lo que con certeza existe un p en [a,b] que cumple f(p)=0. De esta forma, se asegura la existencia de al menos una solucin de la ecuacin f(a)=0.

MTODO DE BISECCIN.

Sea una funcin f(x)=0, continua en el intervalo [a,b] cuya grfica se ilustra a continuacin:

MTODO DE BISECCIN.

Es decir: f(a) . f(b)

f(a) = f(Xm0) < 0 Xm0 b

f(a) = f(Xm0) > 0 Xm0 a

f(a) = f(Xm0) = 0 Xm0 raz

MTODO DE BISECCIN.

Al definir el nuevo subintervalo [a,b] (de la mitad del tamao del primero) se calcula el nuevo valor de Xm0

Xm1 = (a + b)/2

Xm0

MTODO DE BISECCIN.

Teniendo Xm1 se calcula el error. Si e