Funcin ExponencialDefinicin: Es aquella funcin que tiene la variable independiente x en el exponente, y que, por consiguiente es de la forma: F(x) = a x Est definida para todos los nmeros reales x Siendo a > 0 y a diferente de 1 Se entiende que a es diferente de 1, ya que, la funcin F(1) = 1 x es una funcin constante (siempre ser 1) Involucra trminos de la forma: Base constante Potencia variable Es de tipo funcin real, de variable real Ejemplos: F(2) = 3 2 H(8) = 6 8 J(75) = 15 75Caractersticas generales: Son funciones continuas Son siempre cncavas El eje X es una asntota horizontal, esto se debe a que, como fue definido anteriormente a > 0, por lo tanto, nunca llegar a dicha cantidad La funcin existe siempre, para cualquier valor de x En todos los casos, la funcin pasa por un mismo punto, siempre el (0,1) Los valores de y son siempre positivos, para cualquier valor de xDominio: El dominio de la funcin es todo R Se dice que la funcin existe siempre, debido al punto anterior Esto se explica porque, por cada valor que se le asigne a x, siempre tendr una imagen positiva en el eje YRango: El rango de la funcin siempre es (0, ) Esto se explica porque, como se mencion anteriormente, los valores de x son siempre positivos, y, por consiguiente, tomarn, slo, imgenes positivas

Grficas de funciones exponenciales: Para poder graficar este tipo de funciones, es necesario que sea de la forma: F(x) = a x A tiene que ser mayor que cero, y diferente de 1, como se vio anteriormente A continuacin, veremos dos formas que puede tomar la funcin exponencial F(x) = a x cuando a > 1

F(x) = a x cuando 0 < a < 1

Ejemplos: Encuentre la grfica de la funcin exponencial g(x) = 2x + 2 Para realizar esta grfica, se utiliza primero, la grfica de 2^x, y luego, la asntota horizontal se eleva dos casilleros, hacindose y=2, una asntota horizontal

Aplicaciones: Sirve para describir cualquier proceso que evolucione Crecimiento de poblaciones: Se describe con una parbola, grfica de la funcin exponencial Inters de dinero acumulado: Como se mencion en la definicin, es un proceso evolutivo el hablar de ahorros Desintegracin radioactiva: Esto se ve posible, ya que, el proceso desintegracional de las sustancias es constante, y el tiempo es variable, por lo tanto, se grafica con una funcin exponencial

Funcin LogartmicaDefinicin: La funcin logartmica con base a, denotada por loga, est definida por: logax = b ab= x logax es el exponente al que se debe elevar la base a, para obtener x El nmero a tiene que ser positivo, y diferente de cero, si no fuera as, el resultado sera 0 La funcin logartmica es la inversa de la funcin exponencial Ejemplos: Log28 = 3, porque 23 = 8 Log232 = 5, porque 25 = 32 Log100.1 = -1, porque 10-1 = 0.1Caractersticas generales: Es una funcin continua La funcin pasa por el punto (1,0), esto se explica porque es Loga1 = 0 La funcin entonces, corta al eje X en el punto (1,0), y no corta al eje Y Por lo tanto el eje Y se convierte en una asntota vertical Como Logaa = 1, entonces, la funcin tambin pasar siempre por el punto (a,1) Esta funcin puede ser creciente, decreciente, cncava y convexa Creciente si a > 1 Decreciente si 0 < a < 1 Cncava si a > 1 Convexa si 0 < a < 1Dominio: El dominio de la funcin logartmica es todos los nmeros reales positivos, sin incluir al cero No se le incluye porque la funcin no existiraRango: El rango de la funcin logartmica es R Esto se demuestra porque para cada elemento del conjunto de los nmeros reales existe una imagen

Grficas de funciones logartmicas A continuacin, se mostrar la grfica de la funcin logartmica de forma F (x) = logax

En la imagen se puede apreciar la diferencia con la funcin exponencial, tratada anteriormenteEjemplos: Trace la grfica de F (x) = log2x

xlog2x

83

42

21

10

Trace la grfica de: f (x) = log2(x + 2)La funcin mueve su asntota vertical dos nmeros a la izquierda, la nueva asntota vertical es -2xlog2x

-1.5-1

0-1

11

2-2

Aplicaciones: Como se mencion anteriormente, la funcin logartmica es inversa a la, anteriormente mencionada, funcin exponencial, por lo tanto, su aplicacin ser en los mismos campos, pero, cambiando la operacin realizacional que cumple Se usa en las grficas de crecimientos bastante grandes, de poblaciones por ejemplo, pero, cumple la funcin de comprimir la escala, para hacer ms sencilla su representacin Se usa de la misma manera, en el caso de ahorros, la desintegracin de ciertas sustancias, entre otros casos

Funcin TrigonomtricaDefinicin: Es llamada tambin funcin circular Se define por la aplicacin de una razn trigonomtrica a los distintos valores de una variable independiente Siendo t cualquier nmero real, y P (x,y) el punto terminal en la circunferencia unitaria, se define: Sen t = y Cos t = x Tan t = y/x (x es diferente de cero) Csc t = 1/y (y es diferente de cero) Sec t = 1/x (x es diferente de cero) Cot t = x/y (y es diferente de cero)Caractersticas generales: Las funciones seno y coseno son de naturaleza peridica Estas dos funciones son continuas Las funciones seno y tangente son simtricas respecto al eje Y Existen, a su vez las funciones circulares recprocas, cuya funcin es anular la accin de las funciones trigonomtricas, estas son: Arco seno, funcin recproca del seno Arco coseno, funcin recproca del coseno Arco tangente, funcin recproca de la tangenteDominio: En este caso, el dominio es diferente para las distintas funciones trigonomtricas, a continuacin, los dominios: En el caso de seno y coseno de x, el dominio es todos los nmeros reales En el caso de tangente y secante de x, el dominio es todos los nmeros reales que no sean /2 + n , siendo n cualquier entero En el caso de cotangente y cosecante de x, el dominio es todos los nmeros reales que no sean n , siendo n cualquier enteroRango: El rango es distinto para las funciones trigonomtricas, a continuacin se indican: Rango de la funcin seno de x: 1 y 1 Rango de la funcin coseno de x: 1 y 1 Rango de la funcin tangente de x: R Rango de la funcin cotangente de x: R Rango de la funcin secante de x: y 1 oy 1 Rango de la funcin cosecante de x: y 1 oy 1

Grficas: Al igual que los dominios y rangos de las funciones trigonomtricas, las grficas tambin son distintas, a continuacin se detalla cada una: Seno:

Coseno:

Tangente:

Cotangente:

Secante:

Cosecante:

Ejemplos:Tenemos quey, encontrar el valor de secante, cosecante, cotangente, tangente:==

==

==

==Aplicaciones: Las funciones trigonomtricas se utilizan en el estudio de un movimiento oscilante o vibratorio Estas funciones se pueden aplicar, y son muy importantes en fsica, astronoma, cartografa, telecomunicaciones, y muchas otras reas

Funcin HiperblicaDefinicin: Surge su nombre de comparar el rea de una regin semicircular, con un rea limitada por una hiprbola Se llaman as porque de alguna manera tienen que ver con las funciones trigonomtricas, y tienen una estrecha relacin con la hiprbola Al igual que las funciones trigonomtricas, las funciones hiperblicas se definen como 6 funciones diferentes, a continuacin se detallan: Seno hiperblico: senh x = (1/2) (ex- e-x) Coseno hiperblico: cosh x = (1/2) (ex+ e-x) Tangente hiperblica: tanh x = senh x / cosh x Cotangente hiperblica: coth x = 1 / tanh x Secante hiperblica: sech x = 1 / cosh x Cosecante hiperblica: cosech x = 1 / senh xCaractersticas generales: Las funciones seno hiperblico, tangente hiperblica, cotangente hiperblica y cosecante hiperblica son impares, y, por consiguiente, existe simetra en ellas respecto al origen Las funciones restantes, que son, coseno hiperblico y secante hiperblica son funciones pares, y, por lo tanto, son simtricas respecto al eje YDominio: Como se mencion anteriormente, este tipo de funciones tiene una marcada relacin con las funciones trigonomtricas, anteriormente tratadas, y por lo tanto, existe relacin en sus dominios, en el punto en que, a cada una de las funciones hiperblicas le corresponde un dominio distinto de la otra, a continuacin se detallan los dominios: Seno hiperblico: R Coseno hiperblico: R Tangente hiperblica: R Cotangente hiperblica: R {0} Secante hiperblica: R Cosecante hiperblica: R {0}Rango: De la misma manera que sucedi con los dominios, los rangos tambin tienen diferencias respecto unos con otros, a continuacin se detallar cada uno: Seno hiperblico: R Coseno hiperblico: [1, +) Tangente hiperblica: (-1, 1) Cotangente hiperblica: (-, -1) U (1, +) Secante hiperblica: (0, 1] Cosecante hiperblica: R {0}

Grficas: Como sucede con las funciones trigonomtricas, los dominios y los rango de stas, y los dominios y rangos de las funciones hiperblicas, las grficas tienen que ser distintas, a continuacin se detalla cada una de ellas, sus simetras con los eje X y Y en los distintos casos, las asntotas verticales y horizontales, y distintas otras diferencias Seno hiperblico:

Coseno hiperblico:

Tangente hiperblica:

Asntota horizontal: en y = -1 y y =1

Cotangente hiperblica:

Asntota horizontal en y = -1 y y = 1 Asntota vertical en x = 0

Secante hiperblica:

Asntota horizontal en y = 0

Cosecante hiperblica:

Asntota horizontal en y = 0 Asntota vertical en x = 0Ejemplos: Obtener coth 2x , siendo 1 shx= 1/26

Aplicaciones: Las funciones hiperblicas se encuentran presentes en gran cantidad de situaciones como por ejemplo en: Construcciones Astronoma Otras muchas reas