UNIVERSIDAD CATÓLICA DE SANTA MARIA

FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍAS FISICAS Y FORMALES

Cálculo diferencial

Trabajo de cálculo diferencial

DÍA : 07-04-14 HORARIO : 7:15 -8:45

Sección : C

TEMA(S) FUNCIONES TRASCENDENTES

CÓDIGO ALUMNO FIRMA

2014 - 1

Funciones trascendentes

Las funciones trascendentes son igualdades entre dos expresiones matemáticas

en las que aparecen una o más incógnitas relacionadas, su solución no puede

obtenerse empleando solo las herramientas propias del álgebra.

El término trascendente se refiere a que la ecuación o su resolución van más allá

del álgebra; trasciende el álgebra. Una ecuación f(x)=g(x) es trascendente, si 

por lo menos una de las funciones no es algebraica

 Son ejemplos de estas ecuaciones, las exponenciales, logarítmicas,

trigonométricas, hiperbólicas. En general, las ecuaciones trascendentes sólo

pueden resolverse en forma aproximada.

Las soluciones de muchas ecuaciones trascendentes se han obtenido

tradicionalmente (antes de la aparición de los ordenadores) por métodos

numéricos, aproximando la solución mediante iteraciones sucesivas.

En las funciones trascendentes la variable independiente figura como exponente,

o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de

los signos que emplea la trigonometría.

Función exponencial

Las funciones exponenciales son las que tienen la variable como exponente.

Para hacernos una idea clara vamos a analizar por ejemplo, la función

Y= ax

Sea a un número real positivo. La ecuación que a cada número real x le hace

corresponder la potencia ax se llama ecuación exponencial de base a y exponente

x.

Grafica básica

Ejemplo:

Funciones logarítmicas

La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base

a.

Grafica basica

Ejemplo:

Funciones trigonométricas

En el cálculo la covención es que siempre se utiliza la medida en radianes

(excepto cuando se indique lo contrario). Por ejemplo, cuando se usa la

función f(x)=sinx, se supone que sinx significa el seno del ángulo cuya medida en

radianes es x. 

Las funciones trigonométricas asocian a cada número real, x, el valor de la razón

trigonométrica del ángulo cuya medida en radianes es x.

A. Función seno

La función seno asocia a cada número real, x, el valor del seno del ángulo cuya

medida en radianes es x.

Características:

- Dominio: D(f)= R

- Rango: R(f)= [-1,1]

- Puntos de corte con los ejes:

Con el eje x: (/2,0), el corte se repite cada .

Con el eje y: (0,1)

-Simetría: respecto al origen ; ya que, -sen(-x)=sen(x).

-Asíntotas: carece de asíntotas.

f(x) = sen x

B. Función coseno

La función coseno asocia a cada número real, x, el valor del coseno del ángulo

cuya medida en radianes es x.

Características:

- Dominio: D(f)= R

- Rango: R(f)= [-1,1]

- Puntos de corte con los ejes:

Con el eje x: (/2,0), el corte se repite cada .

Con el eje y: (0,1)

-Simetría: par; ya que, cos(-x)=cos(x).

-Asíntotas: carece de asíntotas.

f(x) = cosen x

NOTA: Observe que tanto para la función seno como coseno el dominio

es (−∞, ∞) y el alcance es el intervalo [−1,1]. En estos términos, para todos los

valores de x, se tiene

−1≤sinx≤1

−1≤cosx≤1o, en términos de valores absolutos,

|sinx|≤1 |cosx|≤1

C. Función tangente

La función tangente asocia a cada número real, x, el valor de la tangente del

ángulo cuya medida en radianes es x.

Llamaremos función tangente a aquella que asocia a cada ángulo el valor de la

tangente correspondiente. Su expresión analítica es la siguiente:

f(x) = tg x

D. Función cosecante

Las características fundamentales de la función cosecante son las siguientes:

1) Su dominio es    R - {k·π}   con   k∈Z .

2) Su recorrido es   R - (- 1, 1) .

3) No corta al eje X ni al eje Y.

4) Es impar, es decir, simétrica respecto al origen.

    cosec (- x) = - cosec (x)

5) Tiene asíntotas verticales en los puntos de la forma    x = k·π     con k∈Z .

f(x) = cosec x

E. Función secante

Las características fundamentales de la función secante son las siguientes:

1) Su dominio es    R - {π/2 + k·π}   con   k∈Z .

2) Su rango es   R - (- 1, 1) .

3) No corta al eje X.

    Corta al eje Y en el punto   (0, 1) .

4) Es par, es decir, simétrica respecto al eje Y.

    sec (- x) = sec (x)

5) Tiene asíntotas verticales en los puntos de la forma    x = π/2 + k·π     con k∈Z .

f(x) = sec x

F. Función cotangente

Las características fundamentales de la función cotangente son las siguientes:

1) Su dominio es R - {π + k·π   con   k∈Z} .

2) Es discontinua en los puntos   π + k·π   con   k∈Z .

3) Su rango es   R .

4) Corta al eje X en los puntos   π/2 + k·π   con   k∈Z .

    No corta el eje Y .

5) Es impar, es decir, simétrica respecto al origen.

    cotg (- x) = - cotg (x)

6) Las rectas   y = k·π   con   k∈Z   son asíntotas verticales.

f(x) = cotg x

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES TRASCENDENTES

En general, para la resolución una ecuación trascendente seguiremos los mismos

tres pasos que con las ecuaciones algebraicas., es decir:

Acotación

Separación

Aproximación

Sin embargo, algunas veces nos encontraremos con ecuaciones en las que, por

sus características particulares, nos podamos separar de este esquema y seguir

otros métodos.

1. Acotación

Normalmente, para resolver la ecuación f(x) = 0 utilizaremos como intervalo(s) de

acotación al dominio de f.

2. Separación

A la hora de separar las raíces de una ecuación trascendente f(x) = 0, pueden

ocurrir dos casos:

(a) Conocemos las raíces de la ecuación f '(x) = 0.

(b) No conocemos las raíces de la ecuación f '(x) = 0.

Caso A: Conocidas las raíces de f '(x) = 0

Si conocemos las raíces de f ' (x) = 0, para separar las raíces de la ecuación

f(x) = 0 podemos utilizar el método de Rolle

Hemos de recordar que tenemos que trabajar en intervalos donde la función

sea continua y derivable (salvo quizás en los extremos de los intervalos).

Caso B: No conocidas las raíces de f '(x) = 0

Consideremos la ecuación f(x) = 0. Supongamos que podemos descomponer

la función f(x) como una diferencia de dos funciones, es decir,

f(x) = g(x h(x) . Entonces:

⇔ ⇔

Luego, buscar las raíces de la ecuación f(x) = 0 es equivalente a buscar

las raíces de la ecuación g(x) = h(x) . Y buscar los valores para los cuales

se verifica esta última es buscar los puntos de corte de las curvas y = g(x) e

y = h(x).

Por lo tanto, el método gráfico de separación consiste en dibujar las gráficas

de las curvas y = g(x) e y = h(x) para conocer el número de veces que se

cortan (que coincide con el número de raíces de la ecuación f(x) = 0). Las

gráficas nos proporcionan una estimación inicial del valor de las raíces que

nos permitirá empezar las iteraciones de los métodos de aproximación.

3. Aproximación

Para aproximar las raíces de una ecuación trascendente se pueden emplear tanto

el método de Newton como el método del Punto Fijo.