SOLUCIÓN NUMÉRICA DE

ECUACIONES ALGEBRAICAS Y

TRASCENDENTES

• EL PROBLEMA DE OBTENER LOS CEROS O RAÍCES DE

UNA ECUACIÓN ALGEBRAICA O TRASCENDENTE, ES

UNO DE LOS REQUERIDOS MAS FRECUENTEMENTE,

DEBIDO A ELLO EL NÚMERO DE MÉTODOS PARA

RESOLVER ESTE PROBLEMA ES EXTENSO Y VARIADO,

LOS HAY PARA PARA RAÍCES REALES, COMPLEJAS,

COMBINADOS, PARA CONOCER UNA O TODAS LAS

RAÍCES.

ACTUALMENTE, DADO EL DESARROLLO DE LAS COMPUTADORAS, ÁQUELLOS

MÉTODOS QUE SEAN MAS EFICIENTES Y SUSCEPTIBLES DE AUTOMATIZARSE SON LOS

QUE PARA EL ANÁLISIS NUMÉRICO PRESENTAN MAYOR UTILIDAD, TAL ES EL CASO DE

LOS MÉTODOS ITERATIVOS O MÉTODOS DE APROXIMACIONES SUCESIVAS.

TRATANDOSE DE ECUACIONES ALGEBRAICAS SE TIENEN MÉTODOS EXACTOS PARA

RESOLVER LAS ECUACIONES DE SEGUNDO Y TERCER GRADO, PARA LOS DE CUARTO

GRADO EXISTE EL MÉTODO DE BROWN Y PARA GRADOS SUPERIORES NO EXISTEN

MÉTODOS DE LOS LLAMADOS “EXACTOS”.

PARA LAS ECUACIONES TRASCENDENTES, FUERA DE LAS TRIGONOMÉTRICAS O

COMBINACIONES FÁCILES DE ELLAS Y ALGUNAS OTRAS ES FÁCIL ENCONTRAR SUS

RAÍCES, LAS DEMÁS SOLO PUEDEN RESOLVERSE POR MÉTODOS DE APROXIMACIONES

SUCESIVAS.

CARACTERÍSTICAS DE LOS MÉTODOS DE APROXIMACIONES SUCESIVAS

SE ENTIENDE POR MÉTODO DE APROXIMACIONES

SUCESIVAS ÁQUEL, QUE A PARTIR DEL CONOCIMIENTO

APROXIMADO DE UNA RAÍZ O CERO DE UNA FUNCIÓN,

NOS ACERCA O SATISFACE APROXIMADAMENTE A LA

SOLUCIÓN, MEDIANTE LA APLICACIÓN REPETIDA DE

UNA ECUACIÓN, LLAMADA DE RECURRENCIA, QUE ES

LA QUE DEFINE AL MÉTODO.

• LAS CARACTERÍSTICAS SON LAS SIGUIENTES:

A) REQUIEREN DE UN VALOR APROXIMADO A SUSOLUCIÓN.(VALOR INICIAL = )

B) SE MEJORA EL VALOR INICIAL APLICANDO SUECUACIÓN DE RECURRENCIA TANTAS VECES COMOSE REQUIERA.

C) NO SON “EXACTOS”

0x

• METODO DE BISECCIÓN

• SEA UNA FUNCIÓN F(X) = 0, CONTÍNUA, DE VALORES

REALES, ALGEBRAICA O TRASCENDENTE, DE LA CUAL

SE DESEA CONOCER UN CIERTO VALOR

TAL QUE SE CUMPLA QUE

0)( F

• EL MÉTODO ESTABLECE QUE SI F(x) ES

CONTÍNUA, EN UN INTERVALO (a,b)

• Y SE CUMPLE QUE F(a) * F(b) < 0 EXISTIRÁ

ENTONCES UN VALOR TAL QUE ;

ADEMÁS SI SE CUMPLE

• POR EL TEOREMA DE ROLLE ESTE VALOR ES

ÚNICO EN (a,b).

0)(' F

0)( F

EL MÉTODO PROPONE:

1) DETERMINAR COMO

2) VALUAR LA FUNCIÓN EN

3) SI AL CALCULAR F( ) RESULTA DIFERENTE DE CERO IMPLICA QUE NO ES

RAÍZ.

4) LA SEGUNDA APROXIMACIÓN SE CALCULA POR LA MEDIA DE O

TOMANDO ÁQUEL EN CUYOS EXTREMOS LA FUNCIÓN TENGA SIGNOS

OPUESTOS Y SE REPITE A PARTIR DE EL PASO 3.

5) LA APLICACIÓN SE TERMINA CUANDO TANTO EL ERROR ABSOLUTO COMO EL

RELATIVO SON MENORES O IGUALES A LA TOLERANCIA PRESTABLECIDA DE

ANTEMANO.

2

ba

0x

0x

0x

0, xa

bx ,0

n

xn lim

Y SE CUMPLE QUE

EJEMPLO 1

OBTENGA LA RAÍZ CUADRADA

DE10, UTILIZANDO EL MÉTODO DE

BISECCIÓN, PARA UNA TOLERANCIA

MENOR O IGUAL A 0.007

EJEMPLO 2.

ENCUENTRE UNA RAÍZ DE LA ECUACIÓN

𝒆(𝒙−𝟏) - 1.5x= 𝟎

PARA UNA TOLERANCIA MENOR O IGUAL 0.005

• MÉTODO DE LA REGLA FALSA

•

• (FALSA POSICIÓN, REGULA FALSI)

• CONSIDEREMOS UNA FUNCIÓN F(x) = 0, CONTÍNUA EN UN INTERVALO (a , b)

TAL QUE SE CUMPLA QUE F( ) = 0.

• ESTE MÉTODO ES UNA ALTERNATIVA AL MÉTODO DE BISECCIÓN BASADA EN

UNA VISUALIZACIÓN GRÁFICA.

• CONSISTE EN UNIR CON UNA LÍNEA RECTA LOS VALORES DE LA FUNCIÓN (DEL

INTERVALO (a,b)) TAL COMO SE MUESTRA A CONTINUACIÓN.

• DE LA FIGURA, POR TRIÁNGULOS SEMEJANTES NOS QUEDA :

• EL MÉTODO TERMINA DE APLICARSE CUANDO LOS ERRORES

ABSOLUTO Y RELATIVO SON MENORES O IGUALES A LA TOLERANCIA

PRESTABLECIDA DE ANTEMANO.

• LOS VALORES EN LA APLICACIÓN DE ESTE MÉTODO SE SELECIONAN

IGUAL QUE EN BISECCIÓN, DONDE LA FUNCIÓN CAMBIA DE SIGNO,

ESTO CON EL FIN DE GARANTIZAR LA CONVERGENCIA.

• UNA VARIANTE DEL MÉTODO DE LA REGLA FALSA ES EL DE LA

SECANTE, EL CUÁL NO GARANTIZA LA CONVERGENCIA, YA QUE LOS

VALORES DE APLICACIÓN SE SELECIONAN ENTRE LOS DOS ÚLTIMOS

CALCULADOS.

• EJEMPLO 1.

• Encuentre una raíz de

cos(x) – x + 1 =0

• Para una tolerancia ≤ 0.005

• EJEMPLO 2.

• Un juguete didáctico está formado por varioscubos, el más grande es de 𝟑. 𝟓𝟔 𝐜𝐦 de lado,no se conocen las dimensiones del máspequeño, pero se sabe que su área totalmenos su volumen es igual al perímetro deuna de sus caras más cinco. Utilizando elmétodo de la secante determine la longitudde las aristas del cubo pequeño.

• MÉTODO DE PUNTO FIJO.• Puntos fijos de una función, es el concepto que nos permitirá entender el

problema de encontrar una raíz de una función por el método de puntofijo.

• Se dice que un punto fijo “a” pertenece a una función si se cumple quea= G(a), es decir si la imagen de “a” coincide con “a”.

• La interpretación geométrica nos dice que el punto fijo es el punto decorte de dos curvas, una recta a 45°, y=x, y la curva y=G(x), como semuestra en la figura.

• El método consiste en modificar la función f(x) encontrar una funciónG(x), dicha modificación puede ser de diferentes maneras, sumando arestando la variable independiente, agregando otra función, despejando lavariable independiente, etc.

• La mas usual, por su facilidad es agregar a la variable independiente a ambos lados de la función.

• Sea una función

f(x) = 0 (1)

• algebraica o trascendente de valores reales, continua en un intervalo [a,b] y sea “x=a” una raíz de esa función, es decir

• f(a) = 0 (2)

• Agregando una “x” a ambos lados de (1)

• f(x) + x = x (3)

• Queda definida la función

• G(x) = x + f(x) (4)

• Sustituyendo (4) en (3)

• x = G(x) (5)

• Sustituyendo x = a en la expresión (5)

• a = G(a) (6)

• Por lo que este método consiste en sustituir un valor aproximado 𝑥0 de laraíz en el segundo miembro de (5), si se cumple (6) ese valor será raíz,como esto no sucede casi nunca, se considera como una aproximación

• Y se puede escribir

• 𝑥0 ≠ G(𝑥0)

• o

• 𝑥1 = G(𝑥0)

• En donde 𝑥1 se considera como un nuevo valor aproximado a la raízbuscada, si cumple con la tolerancia será raíz, en caso contrario se repiteel proceso para encontrar la sucesión 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛+1.

• La ecuación de recurrencia nos queda:

• 𝑥𝑛+1 = 𝐺(𝑥)𝑛 para n=0,1,2,3,…,n+1

• A medida que n crece 𝑥𝑛 tiende a la raíz “a” se dice que el métodoconverge.

EJEMPLO 1.

• DADA LA FUNCIÓN •

• 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 0.5

• ENCUENTRE UNA RAÍZ, PARA UNA TOLERANCIA ≤ A 0.001

• Para saber si el punto fijo seleccionado va a tener la convergencia a la raíz buscada regresemos a la interpretación geométrica del método, y en las siguientes figuras vamos a observar el comportamiento de la función G(x)

• Para las diferente pendientes que pueda tomar.

• De acuerdo a las gráficas mostradas se desprende que se tendrá convergencia cuando │ G’(x)│≤ 1.

• EJEMPLO 2.• Dada la función

• 2*sin(x) - X= 0

• Para una tolerancia ≤ 0.001

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON.

(método de las tangentes)

SEA UNA FUNCIÓN F(X) = 0, CONTÍNUA EN UN INTERVALO

(a, b), CON DERIVADAS , SE PUEDE DESARROLLAR EN

SERIE DE TAYLOR PARA OBTENR EL VALOR DE

ALREDEDOR DEL PUNTO .1nxnx

• EXISTIRÁ UN CIERTO VALOR EN EL INTERVALO

• (𝑥𝑛, 𝑥𝑛+1)

•

• TOMANDO LOS DOS PRIMEROS TÉRMINOS DE LA SERIE, SE TIENE

...!2

))(´́ (

!1

))((́)()( 11

1

nnnnnnnn

xxxfxxxfxfxf

),( 1nn xx

))((́)()( 11 nnnnn xxxfxfxf

• SI ES EL VALOR BUSCADO, ENTONCES:

• EN SU INTERSECCIÓN CON EL EJE “X” SE TENDRÁ:

• LA ECUACIÓN ANTERIOR DEFINE AL MÉTODO.

)( 1nx

1 nx

))((́)(0 1 nnnn xxxfxf

)(́

)(1

n

nnn

xf

xfxx

• MÉTODO DE LAS TANGENTES

• UNA FORMA GRÁFICA DE OBTENER LA ECUACIÓN DE

RECURRENCIA ES LA SIGUIENTE.

• CONSIDEREMOS UNA FUNCIÓN F(x)=0 CONTÍNUA EN

UN INTERVALO (a,b).

•

• EJEMPLO 1.

• Aplique el Método de Newton-Raphson, paraencontrar una raíz, si existe, de la siguiente ecuación:

•

• 𝟐𝒔𝒆𝒏 𝒙 − 𝒙 = −𝟏𝟎

• Para una tolerancia menor o igual a 0.001

EJEMPLO 2.Obtenga la solución del siguiente problema utilizandomantisa de 4 dígitos

Área= 10 𝑚2 x=?

TAREA 2.

1. Encuentre una intersección, para t ≤ 0.007, por los métodos de bisección,secante y regla falsa, de las funciones

𝑦 = 𝑒𝑥 y y = 3x

2. Encuentre una raíz para t ≤ 0.003, por los métodos de aproximacionessucesivas y newton-raphson para la siguiente ecuación

𝒚 = 𝒆−𝒙- x

haga una tabla comparativa de los resultados, en ambos casos.