CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN CON

MATLABCLASE 3

28-MAYO-2014

CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN

• Sean los valores de en cada iteración Respectivamente.• El método de la bisección genera una sucesión de

intervalos tales que constituyen una sucesión creciente y una sucesión decreciente con .

CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN

• Ademas por definición del método en cada iteración

𝑎𝑖 𝑏𝑖

𝑐 𝑖 𝑟

CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN

• Sean longitud del intervalo en la iteración • longitud del intervalo inicial

RECORRIDO DE LAS ITERACIONESIteración Longitud del intervalo

… …

CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN

• Entonces

CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN

• Suponer que se desea que el ultimo valor calculado tenga precisión , entonces si el algoritmo termina cuando , se cumplirá que y será una aproximación para con un error menor que 0.0001.

CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN• Se puede predecir el número de iteraciones que se deben

realizar con el método de la Bisección para obtener la respuesta con una precisión requerida E:• En la iteración • Se desea terminar cuando: • Entonces se debe cumplir • De donde se obtiene:

CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN

• Ejemplo. La ecuación tiene una raíz real en el intervalo . Determine cuantas iteraciones deben realizarse con el método de la bisección para obtener un resultado con precisión

CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN

• El numero de iteraciones que deberán realizarse es:

CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN

• Algoritmo del método de la bisección• Calcular una raíz real de la ecuación con precisión . es

continua en un intervalo tal que tienen signos diferentes.1. Defina , el intervalo inicial y la precisión requerida 2. Calcule el punto central del intervalo:

CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN

3. Si es la raíz y termine.4. Si la raíz se encuentra en el intervalo , sustituya 5. Si la raíz se encuentra en el intervalo sustituya 6. Repita los pasos 2, 3, 4 y 5 hasta que la longitud del

intervalo sea menor que .

CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN

• El ultimo valor calculado estará al menos a una distancia de la raíz.

CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN

• Ejemplo. Calcule una raíz real de en el intervalo con precisión • La función es continua y además , por lo tanto la ecuación

debe contener alguna raíz en el intervalo

CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN

• Cantidad de iteraciones•

• Tabulación de los cálculos para obtener la raíz con el método de Bisección

iteración

inicio 0 2 1 - +

1 1 2 1.5 - +

2 1 1.5 1.25 - +

3 1 1.25 1.125 - +

4 1 1.125 1.0625 - -

5 1.0625 1.125 1.0938 - +

6 1.0625 1.0938 1.0781 - +

7 1.0625 1.0781 1.0703 - -

8 1.0703 1.0781 1.0742

CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN• En la octava iteración

• con error menor que • En la ultima iteración se observa que el intervalo que

contiene a la raíz se ha reducido a , por lo tanto el ultimo valor calculado de debe estar cerca de con una distancia menor que

CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN

• Eficiencia del método de la bisección• Suponer el caso mas desfavorable, en el que esta muy

cerca de uno de los extremos del intervalo • Sean:

𝐸𝑖

𝐸𝑖+1

𝑎𝑖 𝑐 𝑖

𝑎𝑖+1

𝑐 𝑖+1 𝑏𝑖𝑟

CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN

• En cada iteración la magnitud del error se reduce en no mas de la mitad respecto del error en la iteración anterior: . Esta es una relación lineal. Con la notación se puede escribir: . Entonces, el método de la Bisección tiene convergencia lineal o de primer orden.

INSTRUMENTACIÓN COMPUTACIONAL DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN

• Calcular una raíz real de la ecuación es continua en un intervalo tal que tiene signos diferentes.• Para instrumentar el algoritmo de este método se

escribirá una función en MATLAB. El nombre será bisección. Recibirá como parámetros y entregara como aproximación a la raíz.

INSTRUMENTACIÓN COMPUTACIONAL DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN

• Criterio para salir: Terminar cuando la longitud del intervalo sea menor que un valor pequeño especificado como otro parámetro para la función. Entonces el último valor estará aproximadamente a una distancia de la raíz.

INSTRUMENTACIÓN COMPUTACIONAL DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN

• Ejemplo 2: Desde la ventana de comandos de MATLAB, use la función bisección para calcular una raíz real de la ecuación . Suponer que se desea que el error sea menor que 0.0001.

INSTRUMENTACIÓN COMPUTACIONAL DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN

• Otro código para correr el ejemplo 2

INSTRUMENTACIÓN COMPUTACIONAL DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN

• Ejemplo 3: Encontrar las intersecciones en el primer cuadrante de los gráficos de las funciones:

INSTRUMENTACIÓN COMPUTACIONAL DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN

• Primero se grafican las funciones para visualizar las intersecciones

INSTRUMENTACIÓN COMPUTACIONAL DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN

• Las intersecciones son las raíces de la ecuación

• El calculo de las raíces se realiza con el método de la bisección con un error menor a 0.0001