6. sistemas cristalinos

Ley de los índices racionales 1/3

La posición de cualquier cara o plano del cristal en el espacio puededesignarse por tres números enteros, si se usan las tres aristas delcristal como ejes coordenados y si los interceptos producidos en estosejes por la cara unidad se usan como unidades de medida.

Si se usan las direcciones de las tres filasde una red que se cortan en un puntodado como los ejes coordenados o dereferencia, I, II, III (o X, Y, Z), cualquiercara del cristal cortará uno, dos o todoslos tres ejes.

I

II

III

Arreglo de ejes de referencia en el espacio adoptado en cristalografía: eleje I, o X, se dirige hacia el observador, el eje II, o Y, se extiende deizquierda a derecha, y el eje III, o Z, por lo general es un eje vertical

La cara a2b3c6, produce tresvalores relacionados unos a otroscomo 2a: 3b: 6c = 2: 3: 6.


Las tres filas de la red OX, OY, yOZ servirán como ejes dereferencia.

I(X)

c4

c3

c2

c1

c7

c6

c5

b1 b3b2

a1

a2

a3

a4

II(Y)

III(Z)

o

La cara unidad a1b1c1, hace unintercepto en cada eje y producetres valores relacionados unos aotros como 1a: 1b: 1C = 1: 1: 1

La cara a1kc3, produce tresvalores relacionados unos aotros como 1a: 1.5b: 3c =1: 1.5: 3.

Trasladando la cara a1kc3 paralela a sí misma encontramos la posicióna2b3c6 en la que la cara pasa a través de nodos en los tres ejes.


Estos seis valores determinan la forma del paralelepípedo de la red:sinaxia (a, b y c) y singonía (, y ).

La cara unidad es el plano diagonal de este paralelepípedo.

Los parámetros lineales interceptados porla cara unidad se denominan unidadesaxiales y tienen los símbolos: a en el ejeI, b en el eje II, y c en el eje III.

Los ángulos entre las filas usadas comoejes de referencia se denominanángulos interaxiales y se designan porlas letras griegas: entre los ejes II y III, entre los ejes I y III, y entre los ejes Iy II.

Sistemas Cristalinos 1/3

Los cristales se dividen en sistemas según la forma del paralelepípedoelemental.

Un sistema cristalino es un grupode clases de simetría cristalinas cuyoscristales tienen similar paralelepípedoelemental de la red.

Existen tres categorías:Baja: Triclínico, Monoclínico, y Ortorrómbico.Intermedia: Trigonal, Tetragonal y HexagonalSuperior: cúbico.

Sistemas Cristalinos 2/3Nomenclatura y notación simbólica de las 32 clases de simetría

Sistema y constantes del paralelepípedo

elemental

Descripción de la clase del Instituto

Fedorov

Fórmula deSimetría

Notación

Schoenflies Hermann-Mauguin

Shubnikov

Triclínico

a b c;

90º

1. Primitiva

2. Central

L1

C

C1

Ci = S2

1

1

1

2

Monoclínico

a b c;

= = 90º; 90º

1. Axial

2. Planar

3. Planaxial

L2

P

L2PC

C2

C1h = C3

C2h

2

m

2/m

2

m

2:m

Ortorrómbico

a b c;

= = = 90º

1. Axial

2. Planar

3. Planaxial

3L2

L22P

3L23PC

D2 = V

C2v

D2h = Vh

222

mm

mmm

2:2

2.m

m.2:m

Tetragonal

a = b c;

= = = 90º

1. Primitiva

2. Axial

3. Central

4. Planar

5. Planaxial

6. Giroido-primitiva

7. Giroido-planar

L4

L44L2

L4PC

L44P

L44L25PC

L24

L242L22P

C4

D4

C4h

C4v

D4h

S4

D2d = Vd

4

422

4/m

4mm

4/mmm

4

42m

4

4:2

4:m

4.m

m.4:m

4

4.m

Sistemas Cristalinos 3/3Nomenclatura y notación simbólica de las 32 clases de simetría

Sistema y constantes del paralelepípedo

elemental

Descripción de la clase del Instituto

Fedorov

Fórmula deSimetría

Notación

Schoenflies Hermann-Mauguin

Shubnikov

Trigonal

a = b c;

= = 90º;

= 120º

a = b = c;

= = 90º

1. Primitiva

2. Axial

3. Planar

4. Central

5. Planaxial

L3

L33L2

L33P

L36C

L363L23PC

C3

D3

C3v

C3i = S6

D3d

3

32

3m

3

3m

3

3:2

3.m

6

6.m

Hexagonal

a = b c;

= = 90º;

= 120º

1. Giroido-primitiva

2. Giroido-planar

3. Primitiva

4. Axial

5. Central

6. Planar

7. Planaxial

L3P

L33L24P

L6

L66L2

L6PC

L66P

L66L27PC

C3h

D3h

C6

D6

C6h

C6v

D6h

6

62m

6

62

6/m

6mm

6mmm

3:m

m.3:m

6

6:2

6:m

6.m

m.6:m

Cúbico

a = b = c;

= = = 90º

1. Primitiva

2. Central

3. Planar

4. Axial

5. Planaxial

3L24L3

3L24L363PC

3L244L36P

3L44L36L2

3L44L366L29PC

T

Th

Td

O

Oh

23

m3

43m

43

m3m

3/2

6/2

3/4

3/4

6/4

Notación SchoenfliesEjemplos

Las clases con ejes de simetría Ln se denotan por Cn. C3 = L3

La adición de un plano de simetría se denota por unaletra subíndice al lado del número del eje:

Si el plano se agrega normal al eje, se usa la letra h C3h = L3P

Si el plano se agrega paralelo al eje, se usa la letra v C3v = L33P

D (Diëder) denota clases con ejes de simetría solamente. D2 = L22L2 = 3L2

D3 = L33L2

Las clases con ejes de rotoreflexión se denotan con laletra S (Spiegelaxe, eje especular).

2

44 LS

Las clases con ejes de rotoreflexión y ejes binarios normales

a ellos se denotan por Dnd. Un subíndice i denota inversiónP2L2LD 22

4d2

Las clases del sistema cúbico se denotan con la letra T(Tetraëder) y O (Oktaëder) añadiendo, según corresponda, los subíndices h y d.

PC3L4L3T 3

6

2

h

Notación Hermann-Mauguin

Los ejes de simetría se denotan por números.

6

Los planos de simetría se indican con la letra m.

Un eje de simetría con un plano normal a él se representapor una fracción.

2/m, 4/m

En los sistemas hexagonal, tetragonal, cúbico y monoclínico, la1ª. parte del símbolo se refiere al eje principal de simetría.

4mm

En el sistema cúbico, la 2ª. y 3ª. parte del símbolo se refieren alos elementos de simetría ternaria y binaria, respectivamente.

El elemento binario puede ser: un eje 432

un plano m34

Los ejes de inversión se denotan por números con trazo.

2, 3, 5

combinación de un eje y un plano m/23m/4En el sistema tetragonal, el 2do. y 3er. símbolo se refieren aelementos de simetrías axial y diagonal.

m24

En el sistema hexagonal, el 2do. y 3er. símbolo se refieren a los elementos de simetría axial y axial alterna

2m6

Notación Shubnikov

Los ejes de simetría se denotan por números que indicanel grado del eje.

4 = L4

Un plano de simetría se denota por la letra m.

m.3:m = L33L24P

La perpendicularidad se denota por dos puntos.

El paralelismo se denota por un punto.

L3P = 3:m

L44L2 = 4:2

L66P = 6.m

Una fracción denota que los ejes no se cortan en ángulo recto.

3/2 = 3L24L3

Cuando el plano corta la direcciónnegativa de un eje, sobre el índicecorrespondiente se coloca el signomenos.

La orientación de los cristales

123

La orientación de un cristal es laselección de la dirección de tres filascomo ejes I, II y III y de una de lascaras como cara unidad.

I

II

III

La ley de los índices racionales permiteusar notaciones muy simples y cómodaspara designar la posición de cada cara delcristal en el espacio.

El método de Miller es más conveniente,ya que no son los parámetros numéricosde Weiss (p, q, r) los que deben tomarse,sino sus recíprocos (h=1/p, k=1/q, l=1/r)que se transforman a números enteros.

Ejemplo: Si el plano producela proporción 2:3:6; setransforma a: 1/2 : 1/3 :1/6= 6/2 : 6/3 : 6/6 = 3:2:1,así los índices de dicha cara sedenotará como (321).

p

q

r

(hkl)

Si la cara es paralela a uno de los los ejes, los parámetros de los ejes soninfinitamente grandes según Weiss; como 1/ = 0, en la notación de Millerel 0 indica paralelismo de la cara con el eje correspondiente.

Examinemos las seis caras del cubo.Las direcciones de tres de susaristas perpendiculares entre si setomarán como ejes I, II, III; por lotanto: ===90°.

La cara unidad debe coincidir con elplano diagonal perpendicular al ejeternario. Por lo tanto la proporciónaxial será: a = b = c.

Si el origen de coordenadas está enel centro del cubo, obtenemos lossiguientes símbolos para sus caras:

La orientación de los cristales

posterior (100)

III

II

I

anterior (100)

derecha (010) izquierda (010)

superior (001) inferior (001)

Orientación de los cristales en los sistemas

Reglas para definir una única orientación:

1. Las direcciones de los ejes de referencia deben estar relacionadas con lasimetría del cristal: ejes de simetría y normales a los planos de simetría

2. Los ejes se orientan de manera que , y sean igual o se aproximen a90°.

3. La cara unidad se elige de manera que a, b y c tengan valoresaproximados aunque no iguales.

4. Si ninguna de las caras del cristal intercepta a todos los ejescristalográficos, se toman dos caras que intercepten a dos ejes cada una:I(X) y II(Y) o II(Y) y III(Z). La primera da la relación a:b y la segunda larelación b:c. Las caras tienen los índices (110) y (011) y se denominancaras de dos unidades.

Los índices de las caras dependen de la orientación elegida. Si tomamosotros ejes y otra cara unidad que intercepte a los tres ejes, obtendremosíndices diferentes para las caras del cristal. Por lo tanto, la elección de losejes y de la cara unidad deben sujetarse a determinadas reglas y debe serúnica para los cristales de una sustancia dada.

Orientación de los cristales según Bravais para los diferentes sistemas

Sistema cúbico

La cara unidad debe interceptar alos tres ejes en segmentos iguales.

Clases: 3L24L3; 3L24L363PC; 3L2

44L36P; 3L44L36L2 y 3L44L366L29PC

Todas las clases cristalinas en este sistematienen tres ejes mutuamenteperpendiculares: 3L4 o 3L2. Estos ejes seusan como ejes I, II y III, sin importar cualesté orientado verticalmente.

I

II

III

En este sistema: a = b = c y = = = 90.

Sistema Tetragonal

Si no hay ejes binarios se sustituyen por lasnormales a dos planos perpendiculares entre sique se intercepten a lo largo del eje III.

L44L25PC

Clases: L4; L44L2; L4PC; L44P; L44L25PC; L24 y L2

42L22P

Todas las clases de este sistema tienen un ejede orden superior L4 o L2

4.

El eje de orden más alto se toma como eje III ylos ejes L2 como ejes I y II.

Cuando no existen tales planos (clases L4, L4PC,y L2

4 ), como ejes I y II se toman las direccionesde dos aristas perpendiculares entre sí y al ejecuaternario, observando la regla que a = b c y===90.

.

La proyección de la cara unidad debe ubicarseen la bisectriz del ángulo formado por los ejesI y II.

III

I

II

En este sistema: a = b c y = = = 90.

Las clases 3L23PC y 3L2 presentan 3 ejes binariosperpendiculares entre si, los cuales se tomancomo ejes I, II y III.

Sistema Ortorrómbico

Como cara unidad se toma la caraoblicua cuya proyección se ubique lomás cerca posible al centro deltriangulo esférico formado en laproyección por los tres ejescoordenados.

Clases: 3L2; L22P y 3L23PC

3L2

En la clase L22P el eje binario se toma como ejevertical III y las normales a 2P como los ejes I yII.

L22P

En este sistema: a b c y = = = 90.

IIIII

I<90

Sistema Monoclínico

En este sistema existe sólo un eje L2 o un plano desimetría P.

El eje L2 o la normal a P se toma como eje II.

Los otros ejes toman las direcciones de las aristas dedos zonas. Se eligen tal que = = 90 y 90.

Clases: L2; P y L2PC

IIL2

I

III

En una S.P., el eje III siempre es vertical y su extremopositivo se encuentra en el centro. El eje I deberáestar en el diámetro vertical del circulo máximo en unpunto distanciado del centro en un ángulo 90, perolo más próximo a éste.

- I

180 -

Cuando 90, el eje I se encuentra en la parteinferior de la esfera, en la parte superior seencuentra el extremo negativo formando un ángulo180 - .

La cara unidad se elige la que tiene el polo máscerca al centro del triangulo esférico formado porlos ejes.

En este sistema: a b c y = = 90°, 90.

Sistema Triclínico

En una S.P., el eje III se proyecta en el centro.

Si , y son menores que 90 los ejes I y IIsalen, respectivamente, por la parte inferior yderecha del círculo máximo.

Si , y son mayores a 90 se usan las salidasdiametralmente opuestas de los extremos negativosde los correspondientes ejes.

Clases: L1 y C

Los ejes de referencia toman las direccionesde las aristas de tres zonas tal que: , y seaproximen a 90.

En este sistema existe sólo un eje L1 o uncentro de simetría C.

III

III

III

III

En este sistema: a b c y 90.

Sistema Trigonal y Hexagonal 1/2

El eje vertical se designa con la cifra IV o laletra Z y corresponde al único eje de más altoorden de cada clase de simetría.Los tres ejes restantes se designan con lascifras I, II y III, o las letras X, Y y U ycorresponden a tres ejes L2. Si no los hay, setoman las normales a los planos verticales desimetría o las direcciones correspondientes detres aristas.El eje II siempre se coloca orientado deizquierda a derecha. Los ejes I y III vandirigidos hacia el observador: el eje I a laizquierda y el eje III a la derecha. Lasdirecciones positivas y negativas se alternande manera que la salida de los ejes vecinos,según el circulo máximo, tengan diferentessignos.

Como ejes de coordenadas se toman cuatrodirecciones.

Clases: L3; L33L2; L33P; L36C y L3

63L23PC

Clases: L3P; L33L24P; L6; L66L2; L6PC; L66P; L66L27PC

En estos sistemas a = b c y = = 90 y = 120. IV

III

II

I

En (2) la cara fundamental será

Los segmentos cortados pueden seriguales:

Sistema Trigonal y Hexagonal 2/2

La cara fundamental no puede cortar a lostres ejes horizontales a la misma distanciadel origen de coordenadas.

IV(Z)

I(X)

II(Y)

III(U)

Al orientar el cristal según los cuatro ejes,la cara fundamental tiene índices diferentesa los corrientes.

IV

I

II

III

(1121)

(1011)

(1121)

(2) en dos ejes alternos: I y II.

(1) en dos ejes consecutivos: I y III

(1011)En (1) la cara fundamental será

Sistemas y constantes geométricas

Fórmula de simetría

Orientación

Regular

a=b=c, ===90

3L44L366L29PC

3L44L36L2

X, Y y Z – 3L4

3L244L36P X, Y y Z – 3L2

4

3L24L363PC

3L24L3

X, Y y Z – 3L2

Tetragonal

a=bc, ===90

L44L25PC

L44L2

Z - L4, X e Y - 2L2

L44P Z - L4, X e Y sonperpendiculares a 2P

L4PC

L4

Z - L4, X e Y son lasdirecciones de dos aristasperpendiculares a L4

L242L22P Z - L2

4 , X e Y - 2L2

L24

Z - L24, X e Y son las

direcciones de dos aristasperpendiculares a L2

4



Orientación

Rómbico

a bc, ===90

3L23PC

3L2

X, Y y Z - 3L2

L22P Z - L2, X e Y sonperpendiculares a 2P

Monoclínico

a bc, ==90

90

L2PC

L2

Y - L2, X e Y son lasdirecciones de dos aristasperpendiculares a L2

P Y es perpendicular a P, X yZ son las direcciones de dosaristas perpendiculares a Y



Orientación

Triclínico

a bc, 90

C

L

X, Y y Z son las direccionesde las aristas de tres zonas

Hexagonal

a=bc, ==90, =120

L66L27PC

L66L2

Z - L6, X, Y y U - 3L2

L66P Z - L6, X, Y y U sonperpendiculares a 3P

L6PC

L6

Z - L6, X, Y y U son lasdirecciones de tres aristasperpendiculares a L6

L33L24P Z - L3, X, Y y U - 3L2

L3P Z - L3, X, Y y U son lasdirecciones de tres aristasperpendiculares a L3



Orientación

Trigonal

a=bc, ==90, =120

L363L23PC

L33L2

Z - L36 X, Y y U - 3L2

Z - L3

L33P Z - L3, X, Y y U sonperpendiculares a los 3P, oparalelos a los 3P yperpendiculares a L3

L36C

L3

Z -+

L36 o L3, X, Y y U son las

direcciones de tres aristasperpendiculares a L3

6 o a L3

6. sistemas cristalinos

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