5 líneas de espera

5/6/2018 5 Líneas de espera - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/5-lineas-de-espera 1/24

5 Líneas de espera.

5.1 introducción

5.1.1 Definiciones, características y suposiciones.

El problema es determinar que capacidad o tasa de servicio proporciona el

balance correcto. Esto no es sencillo, ya que el cliente no llega a un horario fijo,

es decir, no se sabe con exactitud en que momento llegarán los clientes. También

el tiempo de servicio no tiene un horario fijo.

Definición.

Una Cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos

matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares o sistemas

de colas. Los modelos sirven para encontrar el comportamiento de estado estable,

como la longitud promedio de la línea y el tiempo de espera promedio para unsistema dado. Esta información, junto con los costos pertinentes, se usa,

entonces, para determinar la capacidad de servicio apropiada.

Costos de los sistemas de colas.

Un sistema de colas puede dividirse en sus dos componentes de mayor

importancia, la cola y la instalación de servicio . Las llegadas son las unidades que

entran en el sistema para recibir el servicio. Siempre se unen primero a la cola; si

no hay línea de espera se dice que la cola esta vacía . De la cola, las llegadas van

a la instalación de servicio de acuerdo con la disciplina de la cola, es decir, de

acuerdo con la regla para decidir cuál de las llegadas se sirve después. El primero

en llegar primero en ser servido es una regla común, pero podría servir con

prioridades o siguiendo alguna otra regla. Una vez que se completa el servicio, las

llegadas se convierten en salidas.

Ambas componentes del sistema tienen costos asociados que deben de

considerarse.

Costo de Espera.



Esperar significa desperdicio de algún recurso activo que bien se puede

aprovechar en otra cosa y esta dado por :

Costo total de espera = CwL

Donde Cw = costo de espera por hora (en dólares) por llegada por unidad de

tiempo y L= longitud promedio de la línea.

Costo de Servicio.

Este en la mayoría se trata de comprar varias instalaciones de servicio , en estos

casos solo se ocupan los costos comparativos o diferenciales.

Sistema de costo mínimo.

Aquí hay que tomar en cuenta que para tasas bajas de servicio, se experimenta

largas colas y costos de espera muy altos. Conforme aumenta el servicio

disminuyen los costos de espera, pero aumenta el costo de servicio y el costo totaldisminuye, sin embargo , finalmente se llega a un punto de disminución en el

rendimiento. Entonces el propósito es encontrar el balance adecuado para que el

costo total sea el mínimo.

Estructuras típicas.

Las llegadas pueden ser personas, cartas, carros, incendios, ensambles

intermedios en una fábrica, etc. En la siguiente tabla se muestran algunos

ejemplos de varios sistemas de colas.

Ejemplos de sistemas de colas



Situación Llegadas Cola Mecanismo de

Servicio

Aeropuerto Aviones Aviones en

carreteo

Pista

Aeropuerto Pasajeros Sala de espera Avión

Depto de bomberos Alarmas de

incendio

Incendios Depto. De

Bomberos.

Compañía

telefónica

Números

marcados

Llamadas Conmutador

Lavado de carros Autos Autos sucios Mecanismo de

lavado

La corte Casos Casos atrasados JuezPanadería Clientes Clientes con

números

Vendedor

Carga de camiones Camiones Camiones en

espera

Muelle de carga

Oficina de correos Cartas Buzón Empleados por

correos

Crucero Autos Autos en línea Crucero

Fábrica Subensamble Inventario en

proceso

Estación de trabajo.

Cartas de negocios Notas de dictado Cartas para

mecanografiar

Secretaria

Reproducción Pedidos Trabajos Copiadoras

Hospital Pacientes Personas

enfermas

Hospital

Permitiendo que varíen el número de colas y el número de servidores, pueden

hacerse los diagramas de los cuatro tipos de sistemas de la siguiente figura. Cada

línea de espera individual y cada servidor individual se muestra por separado.



El primer sistema que se muestra en la figura, se llama un sistema de un

servidor y una cola o puede describir un lavado de carros automático o un muelle

de descarga de un solo lugar. El segundo, una línea con múltiples servidores, es

típico de una peluquería o una panadería en donde los clientes toman un número

al entrar y se les sirve cuando llega el turno. El tercer sistema, aquél en que cada

servidor tiene una línea de separada, es característico de los bancos y las tiendas

de autoservicio. El cuarto sistema, es una línea con servidores en serie, puede

describir una fábrica.



OTROOOOOO

La SELECCIÓN del modelo para analizar una línea de espera, sea analítico o por simulación, está determinado principalmente por las distribuciones de los tiempos de llegada ylos tiempo de servicio. En la practica estas distribuciones se determinan observando las líneasde espera durante su operación y registrando los datos correspondientes. Entonces: ¿cuándoobservar el sistema?, y ¿ Cómo registrar los datos?. ¿CUANDO OBSERVAR?

Se observa el sistema cuando esta funcionando "normalmente", esto cada una de sus partes esta maniobrando. Para un investigador "conservador" será correcto observar y recopilar los datos durante los "periodos de mayor actividad", que corresponde a los momentos decongestión en los sistemas de colas; por lo que el sistema debe diseñarse para tomar en cuentaesas condiciones extremas: Mayores tasas de llegadas(mayor número de clientes o productos/unidad de tiempo).Otra alternativa para observar, es simplemente cuando el sistema está en su"comportamiento o fase estable": Tiempo de espera similar por cada cliente o productoCualquier sistema de colas pasa por 2 fases básicas: La fase transitoria y la fase estable.En el curso, se resolverán sólo casos en condiciones estables.¿CÓMO REGISTRAR LOS DATOS?

La recolección de datos relativos a llegadas y salidas se puede efectuar utilizandouno de dos métodos:Método 1.- Medir el tiempo entre llegadas (o salidas) sucesivas para determinar los tiempos entrearribos (o servicio). Se busca analizar las distribuciones de los tiempos entre arribos o serviciosMétodo 2.- Contar el número de llegadas ( o salidas) durante una unidad de tiempo seleccionada(por ejemplo, una hora). Se busca analizar las distribuciones del número de llegadas o salidas.Para la recolección de datos se pueden usar : Un cronómetro o un dispositivo de registroautomático(cuando las llegadas ocurren a una tasa alta)La información deberá resumirse en una forma adecuada para luego determinar la



distribución asociada: Elaboración de un histograma de frecuencias, gráfica de la distribuciónempírica, prueba de bondad de ajuste. El tiempo está asociado a la distribución exponencial y elTiempode EsperaNúmero deClientes FASETRANSITORIA FASEESTABLE



número de llegadas a la Poisson. Si no es así, puede ser necesario buscar otros métodos deanálisis para completar el estudio: La simulación es muy adecuada para investigar situaciones de"mal comportamiento" en filas que no se pueden analizar por medio de los modelos teóricosestándar de líneas de espera.Indicadores para Evaluar el Rendimiento de un Sistema de ColasW



WqO O O O O O O OLqLRELACIONADOS CON EL TIEMPO :W o Ws = Tiempo promedio en el sistemaWq = Tiempo promedio de espera (en cola)RELACIONADOS CON EL NUMERO DE CLIENTES :L o Ls = Número promedio de clientes en el sistemaLq = Número promedio de clientes en la colaPw = Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar(ningún cajero vacío)Pn = Probabilidad de que existan “n” clientes en el sisteman = 0, 1, 2, 3.......Po = Probabilidad de que no hayan clientes en el sistemaPd = Probabilidad de negación de servicio , o probabilidad de que un cliente quellega no pueda entrar al sistema debido que la “cola está llena”RELACIONES ENTRE LAS MEDIDAS :

Si= Número promedio de llegadas por unidad de tiempo (tasa de llegadas)= Número promedio de clientes atendidos por unidad de tiempo en un canal(tasa de servicio)Se cumple :a) Ws = Wq + 1 /Tiempo Tiempo TiempoPromedio = promedio + promedioen el sistema de espera de servicio



b) Ls =



. Ws# Promedio # Promedio Tiempo promediode clientes = de llegadas en el sistemaen el sistema por unidad de tiempoc) Lq =

. Wq# Promedio # Promedio Tiempo promediode clientes = de llegadas en la colaen la cola por unidad de tiempoALGUNOS MODELOS DE LINEAS DE ESPERASe estudiaran principalmente modelos con procesos de markov; cada modelo se describecon notación extendida de Kendall. Los servidores son en paralelo. Las formulas para cada casose obtienen a partir las probabilidades de estado estable de tener "n" clientes en el sistema. Estas probabilidades, entonces, se usan para desarrollar las medidas de desempeño del modelo de líneade espera.Bibliografía : Mathur y Solow (pg. 710 y ss)Taha Hamdy (pg. 655)CASO 1 : M / M / 1, o mas específicamente M/M/1 : DG//Algunas características : Población de clientes infinita, llegadas de clientes probabilísticasegún Poisson; una línea de espera y un solo servidor o canal de atención con tiempo de servicioexponencial.Supuesto: Condición Estable; cuando, osea la tasa de servicio promedio es mayor que la tasa de llegadas promedio.(Sigue Fórmula y/o Medidas de rendimiento......)

CASO 2 : M / M / c o mas específicamente M/M/c : DG//

Algunas características : Población de clientes infinita, llegadas de clientes probabilística segúnPoisson; una línea de espera; “c” servidores idénticos(con tiempo de servicio y tiempo entrellegadas probabilístico y exponencial)Supuesto: Condición Estable; cuando c, osea la tasa de servicio promedio esmayor que la tasa de llegadas promedio.(Sigue Fórmula y/o Medidas de rendimiento......)

CASO 3 : M / M / c o mas específicamente M/M/1 : DG / N /La única diferencia entre este modelo y el M/M/1 : DG //(Sigue Fórmula y/o Medidas de rendimiento......)



Aplicaciones de Teoría de Colas“Únicamente si determina que el modelo de aproximación es válido, entonces deberá



considerar la instrumentación de las decisiones, basándose en las medidas de rendimientoobtenidas con el modelo”.Para sistemas mas complejos y variantes a los casos 1 o 3. Cuando por ejemplo ya no secumple FCFS, o mas de una fila, etc. Podría ser que los clientes llegan en lotes, clientes que piden mas de un servicio, clientes que renuncian a la cola o que se cambian de cola; la alternativaes usar “Simulación”.APLICACIÓN EN BANCOREPORTES DE SERVIMATIC: Banco de Crédito del Perú (BCP)Evaluación de los Reportes diarios por promotorREPORTE DIARIO CONSOLIDADO POR OFICINATipo deClienteNivel deAtenciónUsuariosTotal F.T.MTiempo

PromedioEsperaTiempoPromedioAtenciónTransaccionesVIPClienteNo ClienteEspecialInterno

94.12 %78.69 %86.73 %------------34 2244 52211 281 -----0 -----00: 02:05

00:07:4300:09:4400:0000:0000:02:2800:02:0500:02:1901:06



00:008549047210Total49000:08:1000:02:121048Calificación del Día : DeficienteREPORTE DIARIO CONSOLIDADO POR OFICINA Tipo deClienteNivel deAtención

UsuariosTotal F.T.MTiempoPromedioEsperaTiempoPromedioAtenciónTransaccionesVIPCliente

No ClienteEspecialInterno96.43 %99.34 %100.00%------------- 28 1152 1209 02 -----0 -----00: 01:0600: 02:2300: 04:0800:0000:0000:02:3500:02:39



00:02:2602:2400:004729543720Total39100:03:1200:02:31781Calificación del Día : Satisfactorio



REPORTE DIARIO CONSOLIDADO POR OFICINATipo deCliente



Nivel deAtenciónUsuariosTotal F.T.MTiempoPromedioEsperaTiempoPromedioAtenciónTransaccionesVIPClienteNo ClienteEspecialInterno100.00 %

93.30 %98.45 %------------- 32 0224 15194 30 -----0 -----00: 01:18

00:04:1600:07:3600:0000:0000:02:5800:02:4200:02:2700:0000:0066494435

00Total45000:05:2900:02:36995Calificación del Día : Regular



El Resumen de Agencia indica que :- Se atendió 32 clientes VIP, en un tiempo menor de 6 min (c/u). Se dice que el nivel deatención fue del 100% y la FTM es 0. Los 32 clientes realizarón 66 transacciones.- Se atendió 224 clientes en un nivel del 93.3% (antes de 24 min), y los demás (15 clientes)fueron atendidos en mas de 24 minutos.- Se atendió 194 No clientes, quienes realizaron 435 transacciones (pago de celular, AFP,Sunat, Luz, etc).- La calificación del día resulta de la comparación : Nivel de atención vs. FTM(fuera deltiempo máximo)EjerciciosModelo de un servidor y una cola (M/M/1) Fórmulas (Caso 1 o M/M/1; escritas en pizarra) Ejemplo : (Un supermercado )

Supóngase un supermercado grande con muchas cajas de salida, en donde los clientes llegan paraque les marquen su cuenta con una tasa de 90 por hora y que hay 10 cajas en operación. Si hay poco intercambio entre las líneas, puede tratarse este problema como 10 sistemas separados deuna sola línea, cada uno con una llegada de 9 clientes por hora. Para una tasa de servicio de 12 por hora y considerando M/M/1, evalúe el sistema.Solución:Interpretación de resultados: El cliente promedio espera 15 minutos antes de ser servido. En promedio, hay un poco más de dos clientes en la línea o tres en el sistema. El proceso completolleva un promedio de 20 minutos. La caja está ocupada el 75 % del tiempo. Y finalmente, el 32% del tiempo habrá cuatro personas o más en el sistema ( o tres o más esperando en la cola).Modelo con servidores múltiples (M/M/c)

Supóngase que las llegadas son Poisson, los tiempos de servicio son exponenciales, hay una solalínea, varios servidores y una cola infinita que opera con la disciplina de primero en llegar primero en ser servido(PEPS).



Fórmulas (Caso 2 o M/M/c; escritas en pizarra)Para dos o tres servidores pueden combinarse y simplificar las dos ecuaciones (pizarra)Ejemplo: Considérese la biblioteca de una universidad cuyo personal está tratando de decidir cuántascopiadoras o fotocopiadoras debe de instalar para uso de los estudiantes. Se ha escogido unequipo particular que puede hacer hasta 10 copias por minuto. No se sabe cuál es el costo deespera para un estudiante, pero se piensa que no deben tener que esperar más de dos minutos en promedio. Si el número promedio de copias que se hacen por usuario es cinco, ¿cuántascopiadoras se deben instalar?.

¿Cuál es la tasa de servicio? Si el número promedio de copias es cinco y la copiadora puedehacer hasta 10 copias por minuto, entonces pueden servirse en promedio hasta dos estudiantes por minuto. Pero, en esto no se toma en cuenta el tiempo para pagar, cambiar originales, para queun estudiante desocupe y otro comience a copiar. Supóngase que se permite un 70 % del tiempo para estas actividades. Entonces la tasa de servicio neta baja a 0.6 estudiantes por minuto.Además se supone que los periodos pico de copiado tienen una tasa de llegada de 60 estudiantes por hora, o 1 por minuto.COSTOS EN LOS SISTEMAS DE COLASUn sistema de colas puede dividirse en sus dos componentes de mayor importancia , la cola y lainstalación de servicio . Lasllegadas son las unidades que entran en el sistema para recibir elservicio. Siempre se unen primero a la cola ; si no hay línea de espera se dice que la cola esta

vacía . De la cola, las llegadas van a la instalación de servicio de acuerdo con la disciplina de lacola, es decir, de acuerdo con la regla para decidir cuál de las llegadas se sirve después. El primero en llegar primero en ser servido es una regla común, pero podría servir con prioridades osiguiendo alguna otra regla. Una vez que se completa el servicio, las llegadas se convierten en salidas. Ambos componentes del sistema tienen costos asociados que deben de considerarse.



SISTEMA DE COSTO MÍNIMO La selección de un modelo adecuado de líneas de espera, sólo puede darnos "medidas dedesempeño" que describen el comportamiento del sistema analizado. En la investigación deoperaciones, nos interesará desarrollar "modelos de decisión" que minimicen los costos totalesasociados con la operación de líneas de espera.

Nivel óptimo de servicio Tasa o nivel de servicio En general, un modelo de costos en líneas de espera busca equilibrar: Los costos deespera contra los costos de incrementar el nivel de servicioConforme crece el nivel de servicio, los costos de este también crecen y disminuye eltiempo de espera de los clientes. El nivel de servicio "óptimo" se presenta cuando la suma de losdos costos es un mínimo.Se supone que para tasas bajas de servicio, se experimenta largas colas y costos de esperamuy altos . Conforme aumenta el servicio disminuyen los costos de espera, pero aumenta elcosto de servicio y el costo total disminuye , sin embargo , finalmente se llega a un punto dedisminución en el rendimiento. Entonces el propósito es encontrar el balance adecuado para queel costo total sea el mínimo.

Costo de Espera, o Costo de clientes en espera por unidad de tiempoEsperar significa desperdicio de algún recurso activo que bien se puede aprovechar en otra cosay esta dado por :Costo total de espera = Cw * LDonde Cw = costo de espera (en u.m.) por llegada por unidad de tiempo y L= longitud promediode la línea en el sistema.Costo total

Nivel deservicio óptimo



Costo de operación dela instalación deservicio por unidad detiempoCosto de clientesen espera por unidad de tiempoCostos

Costo de Servicio, o Costo de operación de la instalación de servicio por unidad de tiempoCosto total de servicio = Cs * CDonde Cs = costo por servidor (en u.m.) por llegada por unidad de tiempo y C= Número deservidores o cajeros.Costo total del sistema : Costo de espera mas costo de servicio = CwL + Cs CMODELO DE COSTOSLos modelos de costos, básicamente equilibran los dos tipos siguientes de costos en conflicto:1.- Costo de ofrecer servicio, desde el punto de vista del servidor 2.- Costo que resulta de la demora en el ofrecimiento del servicio, desde el punto de vista delclienteA continuación se desarrollan 02 modelos de costos: Modelo de tasa optima de servicio (c =1)y modelo del número óptimo de servidores en paralelo(c1)MODELO DE LA TASA OPTIMA DE SERVICIO ()Considerando un solo servidor con una tasa de llegadas,, conocida; se desea determinar la tasaóptima de servicio

asociada a un modelo de costo apropiado.Sean CEO () = Costo estimado de operar la instalación / unidad de tiempo, dadaCEE () = Costo estimado de espera / unidad de tiempoSe busca determinar el valor deque minimiza la suma de dichos costos. Las fórmula para CEOy CEE como funciones dedependen de la situación analizada. Pueden ser o no relacioneslineales, también pueden ser continuas o discretas, dependiendo de la característica deMODELO DEL NUMERO OPTIMO DE SERVIDORES ( c )Ampliando el modelo anterior para determinar el número óptimo de servidores en paralelo, sesigue que el número de servidores " c" que minimiza está dado por:CET ( c ) = CEO ( c ) + CEE ( c )El valor óptimo de " c " debe satisfacer la siguientes condiciones necesarias:CET ( c -1)CET ( c ) y CET (c + 1)CET (c )Y siendo : (ver pag. 14)CEO ( c ) = C1 c

http://www.elprisma.com/apuntes/ingenieria_industrial/teoriadecolaslineasdeespera/default3.asp

http://www.elprisma.com/apuntes/ingenieria_industrial/teoriadecolaslineasdeespera/default2.asp#pageTable

http://www.elprisma.com/apuntes/ingenieria_industrial/teoriadecolaslineasdeespera/default.asp



CEE ( c ) = C2 Ls ( c)Donde : c = número de servidores en paraleloC1 = Costo por servidor adicional por unidad de tiempoC2 = Costo por tiempo unitario de espera por cliente



Ls (c ) = número esperado de clientes en el sistema, dado cAplicando las condiciones necesarias, se obtiene:Ls (c ) - Ls (c + 1)C1Ls (c -1 ) - Ls (c )C2El valor de C1/C2 indica dónde deberá comenzar la búsqueda para el " c" óptimo No todos los modelos de líneas de espera se pueden optimizar usando modelos de costos.Se puede usar también modelos de decisión basándose en "niveles de aceptación", tal como se presenta a continuación.MODELO DEL NIVEL DE ACEPTACIONSi en muchas situaciones será difícil estimar costos, se puede usar el modelo del nivel deaceptación. Este modelo analiza las características de la operación del sistema para decidir sobrelos valores óptimos de los parámetros del diseño. El nivel o los limites de aceptación lo define eldecisor, en base a su conocimiento y experiencia en el sistema y buscando equilibrar las medidasconflictivas de la instalación.Así en el modelo de servidores múltiples donde se requiere determinar el valor óptimo

del número de servidores " c ", se buscará equilibrar las dos medidas conflictivas que son:a)Tiempo promedio de espera en el sistema : W s b)Porcentaje X de tiempo inactivo de los servidoresSe pueden establecer los niveles (limites superiores:,) de aceptación, expresadosmatemáticamente como :Wsy X

Reemplazando las formulas para hallar Ws y X según sea el caso; se puede resolver gráficamente : Se localiza el valor de "c" dentro del nivel aceptable.Intervalo aceptable de cWsX" c "

5 líneas de espera

Documents