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4. Métodos de Solución PPL :
Solución Algebraica: METODO SIMPLEX
Primera Parte
Jorge Eduardo Ortiz Triviño
http:/www.docentes.unal.edu.co
En PL un sistema de producción se representa
mediante un modelo o matriz en el que se
incluyen:
• costos e ingresos generados por unidad de
actividad (función objetivo).
• aportes y requerimientos de insumos y
productos por unidad de cada actividad
considerada (coeficientes insumo/producto).
• disponibilidad de recursos, especificaciones
técnicas y empresariales a respetar (RHS).
Modelo General de PL Definición de variables:
Sea xj = #.... ; j = 1, 2, 3....n
Función objetivo:
Max. o Min. z = C1X1 + C2X2 + ... + CjXj + ... + CnXn
Sujeto a restricciones: i = 1, 2, 3, ... , m
a11X1 + a12X2 + ... + a1jXj + ... + a1nXn = b1
a21X1 + a22X2 + ... + a2jXj + ... + a2nXn = b2
· .
· .
ai1X1 + ai2X2 + ... + aijXj + ... + ainXn = bi
· .
· .
am1X1 + am2X2 + ... + amjXj + ... + amnXn = bm
Condiciones de signo para variables: toda xj 0
m = # total de restricciones,
n = # de variables de decisión (originales)
Cj, aij y bi son constantes (o parámetros) dados.
Métodos de Resolución
Método Gráfico
Empleado principalmente para PPL con dos variables de decisión.
Este método se basa en la idea de obtener regiones de soluciones
factibles (RSF), en las cuales se encontraría la combinación de
variables de decisión que optimizan el modelo.
Método Algebraico (SIMPLEX)
Empleado principalmente para PPL con más de dos variables de
decisión. Este método se desarrollo con base en el método gráfico y
corresponde a un sistema heurístico, por lo cual requiere de una
solución inicial factible para empezar a funcionar.
Métodos de ResoluciónGRAFICO
Maximize Z = 400X + 800 X
Where
Z = the monthly profit from Max and Multimax
X = the number of Max produced each month
X = the number of Multimax produced each month
1 2
1
2
3X + 5X 5,000 Fab
X + 4X 3,000 Assy
X ,X 0 Nonnegativity
1 2
1 2
1 2
Sujeto a:
R1)
R2)
R3)
11
1,000
2,000
3,000
1,000 2,000 3,000
X2
X1
A B
C0,0
Fab
X1 X2
0 1,000
1,666.7 0
Assy
X1 X2
0 750
3,000 0
R1
R2
Método de Resolución: Paso 2Obtener la RSF
RSF
11
1,000
2,000
3,000
1,000 2,000 3,000
X2
X1
A B
C0,0
Método de Resolución:
RSF
Premisa: el punto
optimo siempre se
encuentra en uno de
los vértices de la
RSF.
14
1,000
2,000
3,000
1,000 2,000 3,000
X2
X1
A B
C0,0
Optimal Point
Método de Resolución: Paso 3 Encontrar el Punto Optimo (2)
16
RESULTADOSMax Z = 400X + 800 X
Z = 400(715) + 800 (571)
Z = $286,000 + $456,800 =
1 2
$742,800
X1=715
X2=571
Z =742,800.
Métodos de ResoluciónALGEBRAICO SIMPLEX
El método símplex fue desarrollado en 1947 por el Dr. George Dantzig y conjuntamente con el
desarrollo de la computadora hizo posible la solución de problemas grandes planteados con la
técnica matemática de programación lineal.
El algoritmo denominado símplex es la parte medular de este método; el cual se basa en la
solución de un sistema de ecuaciones lineales con el conocido procedimiento de Gauss-Jordan y
apoyado con criterios para el cambio de la solución básica que se resuelve en forma iterativa
hasta que la solución obtenida converge a lo que se conoce como óptimo..
•El conjunto de soluciones factibles para un problema de P.L. es un conjunto convexo.
•La solución óptima del problema de programación lineal , si existe, es un punto extremo
(vértice) del conjunto de soluciones factibles.
•El número máximo de puntos extremos (vértices) por revisar en la búsqueda de la solución
óptima del problema es finito.
Campo de Factibilidad
• Es el conjunto de posibilidades de
producción que cumple con la condición de
respetar todas las restricciones de un
problema de decisión.
• De todas las alternativas técnicamente
factibles, hay una sola que es óptima desde
el punto de vista de la función a optimizar.
• Hay una serie de soluciones subóptimas que
vale la pena explorar.
Tasa Marginal de Sustitución
Técnica
• Es la relación técnica que define el
reemplazo de dos actividades entre sí
manteniendo constante el uso de un
determinado recurso.
Ingreso Marginal
• Es el incremento en el resultado provocado
por el ingreso en la solución de una unidad
adicional de una actividad.
Costo de Oportunidad (Precio
Sombra)• Cuando el objetivo es maximizar el resultado, el
Costo de Oportunidad es el beneficio que se deja
de percibir por no contar con una unidad adicional
de un recurso.
• El Costo de Oportunidad de un recurso se
determina en base al mejor uso alternativo. En
términos económicos, es equivalente al Valor del
Producto Marginal del recurso.
• Los recursos escasos se asignan a aquellas
actividades en las que el valor del producto
marginal de cada recurso sea mayor.
Costo de Oportunidad (cont.)
• El valor de los recursos obtenido de acuerdo al
criterio de VPMg es “interno”, propio de cada
situación evaluada en función de las alternativas
consideradas tanto en sus aspectos de mercado
(costos y precios) como técnicos (funciones de
producción asociadas a cada alternativa), y de la
abundancia o escasez relativa de los recursos
disponibles.
• Por consiguiente, el Costo de Oportunidad Interno
de un recurso puede diferir de su valor de
mercado.
Costo Marginal
• En un problema de maximización, el Costo
Marginal es el incremento en el costo total
resultante de agregar una unidad de
actividad en la solución.
• En PL, el Costo Marginal de una actividad
se calcula valuando los recursos
consumidos por cada actividad según el
Costo de Oportunidad Interno de los
recursos.
Principio de Optimización
(Simplex)• En un problema de maximización, conviene incrementar la
participación de una actividad en el plan en tanto el
Ingreso Marginal sea mayor que el Costo Marginal que se
incurra.
• Se llega a una solución óptima siguiendo un mecanismo
iterativo, en la que cada solución mejora sobre la previa a
partir de incluír actividades que aportan más que lo que
“cuestan”.
• Se llega a una solución óptima cuando no hay sustituciones
factibles que permitan lograr un resultado mayor. Para
todas las actividades incluídas en el óptimo se cumple el
principio:
Ingreso Marginal = Costo Marginal
Costo de Sustitución (Costo
Reducido)
• Indica la diferencia entre el Ingreso Marginal y el
Costo Marginal para cada actividad.
• En una solución óptima, las actividades incluídas
en el plan cumplen con la condición Ingreso
Marginal = Costo Marginal, por lo que el Costo de
Sustitución de las mismas es igual a 0.
• Las actividades no incluídas en el plan tienen un
Costo Marginal mayor que su Ingreso Marginal.
El Costo de Sustitución indica la magnitud de esta
diferencia.
Solución óptima
• Una solución es óptima para una situación
determinada en relación a precios relativos,
funciones de producción, disponibilidad de
recursos y restricciones empresariales
especificadas.
• Cualquier alteración en los supuestos empleados
va a tener un impacto cierto en el resultado
obtenido y eventualmente en el nivel o
composición de las actividades incluídas en la
solución.
Información obtenida• Resultado (óptimo)
• Dimensión de cada actividad en la solución
• Costo de Sustitución de las actividades
• Uso de cada recurso
• Costo de Oportunidad de cada recurso
• Rango de precios dentro del cual no se modifica la
dimensión de las actividades en la solución
(ceteris paribus)
• Rango dentro del cual se mantiene el Costo de
Oportunidad de cada recurso (ceteris paribus)
Soluciones degeneradas
• Cuando en la solución hay menos variables con
valores positivos que cantidad de restricciones, la
solución es degenerada.
• En general la degeneración no es un problema,
pero a veces puede ocurrir que haya soluciones
óptimas alternativas que no son fáciles de
identificar.
• Costos de sustitución igual a 0 o costos de
oportunidad igual a 0 son indicadores de
soluciones degeneradas.
Soluciones fallidas
Solución no factible
• Posibles causas: error en la formulación (p.ej. una
desigualdad con signo equivocado), o problema
con restricciones incompatibles.
Solución no limitada
• El modelo fue formulado de tal modo que la
función objetivo puede aumentar (en un problema
de maximización) o disminuír (en un problema de
minimización) sin límites.
• Posibles causas: falta incluír alguna restricción
esencial o se introdujo algún coeficiente con signo
equivocado.
Métodos de ResoluciónALGEBRAICO SIMPLEX
Forma Estándar de un PPL
La forma estándar pasa por realizar los siguientes cambios:
1º Conversión de desigualdades en igualdades (ecuaciones)
a.- Restricción menor o igual (≤)
Para transformar este tipo de restricción a una ecuación de tipo igualdad se debe aumentar su lado
izquierdo con una variable de “holgura”. Esta representa la cantidad disponible del recurso que
excede al empleo que le dan las actividades.
Ej.
6X1 + 4X2 ≤ 24
F.e
6X1 + 4X2 + h1 = 24 (h1… cantidad no utilizada de recurso)
h1 ≥ 0
Métodos de ResoluciónALGEBRAICO SIMPLEX
b.- Restricción mayor o igual (≥)
Las restricciones de este tipo comúnmente determinan requerimientos mínimos de especificaciones.
En este caso se debe incorporar una variable de superávit que representa el requerimiento mínimo del
lado izquierdo, sobre el requerimiento mínimo del derecho ( cuanto falta para cumplir con lo pedido).
Ej.
X1 + X2 ≥ 800
X1 + X2 - r1 = 800
r1 ≥ 0
Sin embargo la F.E pasa por hacer un ajuste más:
F.E
X1 + X2 - r1 + t1 = 800
r1, t1 ≥ 0
t1 = variable artificial (se necesita para generar la solución inicial del simplex)
Métodos de ResoluciónALGEBRAICO SIMPLEX
d.- Restricción de igualdad (=)
Aquí la estandarización pasa sólo por incorporar una variable artificial.
Ej.
X1 + X2 = 800
X1 + X2 + t1 = 800
t1 ≥ 0
Como las variables artificiales no tienen sentido, es importante que el simplex las deje fuera al
comienzo del procedimiento y esto se logra al penalizar la inclusión de las variables artificiales en la
función objetivo con un coeficiente „M‟ muy grande que para el caso de maximizar es „- M‟ y para el
caso de minimizar es „+ M‟.
Métodos de ResoluciónALGEBRAICO SIMPLEX
2º Cambios de variables
a.- Variables no restringidas
Algunas veces las variables de decisión pueden tomar cualquier valor real.
Xi s.r.s
Cambio de variable
Xi = Ui – Vi
Ui …. Parte positiva de Xi
Vi …. Parte negativa de Xi
Ej.
X1 + X2 ≤ 24
X1 ≥ 0, X2 s.r.s
Luego X2 = U2 – V2
F.E.
X1 + U2 – V2 + h1 = 24
Métodos de ResoluciónALGEBRAICO SIMPLEX
b.- Variables negativas
Algunas veces las variables de decisión pueden tomar negativos.
Xi ≤ 0
Cambio de variable
Yi = – Xi Donde Yi ≥ 0
Ej.
X1 + X2 ≤ 40
X1 ≥ 0, X2 ≤ 0
Luego Y2 = – X2, o bien X2 = - Y2
F.E.
X1 - Y2 + h1 = 40
Métodos de ResoluciónALGEBRAICO SIMPLEX
3º Cambio en criterio de optimización
Muchas veces el objetivo no es maximizar.
MIN (Z)
Cambio de variable: Z* = -Z
MIN Z = MAX ( Z*)
Ej.
MIN [ Z = X1 + X2 ]
Z* = -Z
F.E
MAX [ Z* = -X1 – X2]
Métodos de ResoluciónALGEBRAICO SIMPLEX
EJEMPLO
MIN (Z = 15X1 + 10X2 – 20X3)
S/A
R1) X1+2X2+4X3 ≥ 30
R2) 5X1+5X2+3X3 = 40
R3) X1 + X2 + X3 ≤ 70
R4) X1 s.r.s; X2≤0; X3≥0
Cambios de variable:
Z* = -Z X1=U1-V1 X2=-Y2
Métodos de ResoluciónALGEBRAICO SIMPLEX
Forma Estándar
Z* + 15 U1 - 15 V1 - 10 Y2 - 20 X3 + M t1 + M t2 = 0
U1 - V1 - 2 Y2 + 4 X3 - r1 + t1 = 30
5 U1 - 5 V1 - 25 Y2 + 3 X3 + t2 = 40
U1 - V1 - Y2 + X3 + h1 = 70
Problemas típicos
• Problema del transporte
• Problema de flujo con coste mínimo en red
• Problema de asignación
• Problema de la mochila (knapsack)
• Problema del emparejamiento (matching)
• Problema del recubrimiento (set-covering)
• Problema del empaquetado (set-packing)
• Problema de partición (set-partitioning)
• Problema del coste fijo (fixed-charge)
• Problema del viajante (TSP)
• Problema de rutas óptimas
Problema de la mochila
10,x
bxa
.a.s
xc Max
j
n
1j
jj
n
1j
jj
n objetos
aj: espacio que ocupa el objeto j
cj: valor del objeto j
b: volumen de la mochila
xj: 1 si se escoge el objeto j
Escoger un grupo de productos que maximice el valor
total sin exceder el espacio disponible