5. teorema fundamental: formulación y...
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5. TEOREMA FUNDAMENTAL:
Formulación y Demostración
Jorge Eduardo Ortiz Triviño
http:/www.docentes.unal.edu.co/jeortizt/
1
CONTENIDO
1. INTRODUCCIÓN
2. VARIABLES ALEATORIAS
3. TEOREMA FUNDAMENTAL.
4. GENERADORES DE V.A.
5. GENERALIZACIÓN DELTEOREMA
FUNDAMENTAL.
6. GENERADORES DE VECTORES
ALEATORIOS.2
GENERADORES DE
VARIABLES ALEATORIAS
x a b a u 3
3. TEOREMA FUNDAMENTAL
Si Entonces
A. y 1. y
B. 2. XX F x
0,1U U 0,1XF X U
1
X XX F U F x
4
3. TEOREMA FUNDAMENTAL
Si Entonces
A. y 1. y
B. 2. XX F x
0,1U U 0,1XF X U
1
X XX F U F x
Verdadera aleatoriedad
Mundo ArtificialMundo Real
Aleatoriedad ficticia
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Demostración :
1. Sea F una distribucíon contínua en R con
inversa F-1 definida por
2. Se debe mostrar que la estructura
probabilística de es la misma que la de
10,)(:inf)(1
uuxFxuF
X X
1
X XF x P X x P F u x
X U X XP U F x F F x F x 6
Observaciones al teorema :
1. La aleatoriedad ficticia se puede producir
mediante generadores de números
pseudoaleatorios.
2. La expresión se denomina
Función percentil.
3. La variable de estado sintética será la
misma variable de estado real cuando la
aleatoriedad ficticia sea verdadera.
1
XX F U
X
X
7
Observaciones al teorema :
1. En la práctica se emplea :
2. Se dice que la realización de “imita”
o “simula” una realización de .
3. El teorema es general puesto que al
trabajar con la Distribución no restringe a
ninguna variable ni a su naturaleza.
1
Xx F u
x
x
X
X
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Relaciones entre funciones
• Las funciones de densidad, distribución y
percentil tienen la misma información.
Siempre es posible, en teoría, encontrar una
a partir de la otra.
X
f x X
F x
1
Xx F u
GeneradorDeX 9
Interpretación gráfica:
Caso continuo
x
x
f(x)
Dis
trib
ució
n u
niform
e X
F x
1
Xx F u
u
u
1
Xx F u 10
4. GENERADOR VARIABLE
ARTIFICIAL CONTINUA
La fisonomía del algoritmos generador para X
es:
1
_
;
;
;
m
X
Funcion Generador X
INICIO
u Aleatorio
x F u
RETORNAR x
FIN
11
12
Ejemplo 1.- Variable exponencial
La densidad exponencial viene dada por
y por tanto su distribución es
0 exp1
)(
x
xxf
0 exp1)()(
xx
dttfxFx
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Ejemplo 1.- Variable exponencial
Así pues si U~U(0,1) entonces
Esto permite generar números que siguen una
distribución exponencial, si se dispone de
un número que siguen una distribución
uniforme en (0,1), es decir un número
aletorio.
1( ) ln(1 )XX F U U
Ejemplo 1.- Variable exponencial
*
*
;
ln 1 ;
;
Funcion GeneradorExponencial
INICIO
u Aleatorio
x u
RETORNAR x
FIN
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Ejercicio: Distribución triangular
a b c x
f(x)
• Considere la variable aleatoria
que se presenta en la gráfica:
• Determine:
1. Su densidad.
2. Su Distribución.
3. Su media.
4. Su función percentil
5. Diseñe el generador de esa variable.
, ,X Tri a b c
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Ejercicio: Distribución triangular
• Densidad :
• Distribución :
• Media :
2( )
( )( )
2( )( )
( )( )
0,
X
x aa x b
b a c a
c xf x b x c
c b c a
otro
3)(
cbaXE
2
2
0,
( )
( )( )( )
( )1
( )( )
1
X
x a
x aa x b
b a c aF x
c xb x c
c b c a
x c
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Ejercicio: Distribución triangular
Función percentil, Aplicando el teorema fundamental
se obtiene :
0
( )
1 1
b aa b a c a u u
c aX u
b ac c b c a u u
c a
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Ejercicio: Distribución triangular
Generador de
una variable
aleatoria :
,
;
;
1 ;
;
a b GeneradorTriangular a b c
INICIO
u Aleatorio
b aSI u ENTONCES
c a
INICIO
x a b a c a u
FIN
SINO
INICIO
x c c b c a u
FIN
RETORNAR x
FIN
, ,X Tri a b c
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Interpretación gráfica:
Caso discreto
1
0
u
X
F x
X
F x
X
1
i Xx F u 19
20
Ejemplo 2.- Variable Uniforme
discreta
Distribución uniforme discreta en [1,k]. Se
desea generar números enteros entre 1 y k
de tal modo que todos tengan la misma
probabilidad. Para ello:
– Genere U ~ U(0,1).
– Haga X = kU + 1.
Entonces X tiene la distribución deseada. Este
método es más rápido que inversión.
4. GENERADOR
VARIABLE
ARTIFICIAL
DISCRETA
*
1
*
*
_
;
1;
;
1;
;
;
m
X
X i
i
Funcion Generador X
INICIO
u Aleatorio
i
F f x
MIENTRAS F u HACER
INICIO
i i
F F f x
FIN
RETORNAR x
FIN
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Ejemplo: Distribución Binomial
,X Bin n p• Considere la variable aleatoria
diseñe su generador.
• Solución: La densidad binomial está dada por:
( , ) 1n xx
X
nf x n p p p
x
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GENERADOR VARIABLE ARTIFICIAL
BINOMIAL
0,1,2, , , 0,1
;
0;
1 ;
1;
1 ;
;
n
n xx
n Funcion GeneradorBinomial n p
INICIO
u Aleatorio
x
F p
MIENTRAS F u HACER
INICIO
x x
nF F p p
x
FIN
RETORNAR x
FIN
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Ejercicio: Distribución Geométrica
X Geom p• Considere la variable aleatoria
diseñe su generador.
• Solución:
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VARIABLES SINTÉTICAS
TRUNCADAS
• Sea a partir de la cual se desea
simular la variable truncada:
• Claramente,
XX f x
,X a b
Y
X X
f y I xY g y
F b F a
X X
Y
X X
F y F aG y
F b F a
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FUNCIÓN PERCENTIL
TRUNCADA
• Aplicando el teorema fundamental de la
simulación es fácil ver que:
• ¿Cómo queda el simulador para una
variable aleatoria truncada?
* * *
1
X X X Xy F F a F b F a u
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GENERADOR VARIABLE
SINTÉTICA TRUNCADA
* * *
1
, _ ,
;
;
;
;
m
X X X
X
a b Funcion GeneradorTruncada Y a b
INICIO
u Aleatorio
F a F b F a u
y F
RETORNAR y
FIN
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EJEMPLO: GENERADOR
EXPONENCIAL TRUNCADA
, _ ,
;
1 ;
ln 1 ;
;
a a b
a b Funcion ExponencialTruncada Y a b
INICIO
u Aleatorio
e e e u
y
RETORNAR y
FIN
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Dificultades:
1. En ocasiones es difícil (sino imposible)
encontrar analíticamente
2. En ocasiones es difícil (sino imposible)
“despejar” la variable
3. Una solución frecuente, aunque no es la
única posible, esta en emplear técnicas de
métodos numéricos para encontrar esa
información.
4. O (mejor) aplicar otros métodos que
produzcan los resultados esperados.
X
F x
x
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