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4. La difracción escalar y soluciones de propagación
Tal vez la tarea más fundamental asociado con óptica de Fourier es describir
la evolución de un campo óptico que se propaga desde una ubicación a otra.
El fenómeno de difracción subyace en el comportamiento de las ondas que
se propagan. Extensa teoría desarrollada para la difracción proporciona la
base para el modelado de propagación óptica computacional. Este capítulo
es esencialmente un resumen de la teoría de difracción escalar con una lista
de las expresiones utilizadas comúnmente en la actualidad para describir la
difracción óptica de luz monocromática. La presentación sigue de cerca el
desarrollo de difracción por Goodman. Más detalles se pueden encontrar en
esa referencia, así como en otras. En este capítulo se establece el escenario
para los métodos informáticos de simulación de propagación óptica que se
describe en el capítulo 5.
4.1 La difracción escalar
La difracción se refiere al comportamiento de una onda óptica cuando se
limita su extensión lateral; por ejemplo, por una abertura. Se explica el hecho
de que los rayos de luz no siguen trayectorias rectilíneas estrictamente
cuando la onda es distribuida en sus fronteras. En nuestra experiencia
cotidiana rara vez notamos los efectos de difracción de la luz. Los efectos de
reflexión (de un espejo), o refracción (debido a una lente) son mucho más
evidente. De hecho, los efectos de difracción se vuelven más evidentes
cuando el tamaño de confinamiento es del orden de la longitud de onda de la
radiación. Sin embargo, la difracción juega un papel en muchas aplicaciones
ópticas y es una consideración crítica para aplicaciones que implican alta
resolución, tales como imágenes astronómicas, o en grandes distancias de
propagación tales como el radar láser, y en aplicaciones que involucran
estructuras pequeñas tales como en los procesos de fotolitografía.
El comportamiento de la propagación de una onda óptica se rige
fundamentalmente por las ecuaciones de Maxwell. En general, existe
acoplamiento entre las componentes (Ex, Ey, Ez) del campo eléctrico E y las
del campo magnético H con componentes (Hx, Hy, Hz) de la onda . También
hay acoplamiento entre los componentes individuales del campo eléctrico,
así como entre las componentes magnéticas. Sin embargo, considerando una
onda que se propaga en un medio dieléctrico que es lineal (pueden resumirse
como magnitudes de campo desde fuentes separadas), isotrópico
(independiente de la polarización de la onda, es decir, las direcciones de E y
H), homogénea (la permitividad del medio es independiente de la posición),
no dispersivo (la permitividad es independiente de la longitud de onda), y no
magnético (la permeabilidad magnética es igual a la permeabilidad de vacío).
En este caso, las expresiones de vectores de Maxwell desacoplado, y el
comportamiento de cada componente de los campos eléctricos o magnéticos
pueden ser expresadas de forma independiente de los otros componentes.
La difracción escalar se refiere al comportamiento de la propagación de la luz
en esta situación ideal.
La larga lista de supuestos para el medio sugiere un régimen de aplicación
bastante limitado para la teoría de difracción escalar. Sin embargo, la
difracción escalar claramente se puede utilizar para describir la propagación
en el espacio libre óptico (FOE), que se refiere a la transmisión a través del
espacio o de la atmósfera y abarca un gran número de aplicaciones
interesantes como lidar, proyección de imagen, y las comunicaciones por
láser. Además, para muchos problemas que afectan a los medios de
propagación menos benigno, las soluciones escalares pueden proporcionar
una aproximación razonable de los principales efectos de la propagación y
establecer una base para la comparación con los resultados completos del
vector. Todos los desarrollos y aplicaciones de este documento presuponen
difracción escalar.
4.2 Campos monocromáticos e irradiación
Algunos de los términos y definiciones relacionados con campos ópticos son
necesarios en este momento. Un monocromático (de una sola frecuencia)
campo escalar de propagación en medio anisotrópico se puede expresar
como
, cos 2 (4.1)u P t A P vt P
donde A (P) es la amplitud y ϕ (P) es la fase en una posición P en el espacio
(x, y, z de coordenadas) y v es la frecuencia temporal. Esta expresión modela
la propagación de un campo óptico (eléctrico) transversal de una sola
polarización.
Luz monocromática proporciona la base para nuestros enfoques analíticos y
de simulación computacional aproximado por la teoría de la difracción. Una
verdadera fuente de luz monocromática es también coherente. La
coherencia se refiere a la correlación de la fase del campo óptico en dos
puntos diferentes en el campo separados por el tiempo y / o espacio y que
permite la formación de interferencia en un sentido promediada en el
tiempo. Aunque algunos láseres pueden producir radiación casi
monocromática, luz monocromática se puede lograr verdaderamente. Pero,
como se analiza en los Capítulos 7 y 9, la extensión de los resultados
monocromáticos a la radiación policromática, así como la radiación
parcialmente coherente e incoherente, puede ser sencillo en muchos casos
útiles (... afortunadamente!).
Para dar un ejemplo, una forma específica de la ecuación. (4.1)
correspondiente a una onda plana que se propaga en la dirección z sería
z, cos 2 , (4.2)u t A vt kz
donde el número de onda k se define como
2 / (4.3)k
y donde λ es la longitud de onda en vacío. Además, v = c / λ, donde c es la
velocidad de la luz en el vacío. Esta onda no tiene dependencia de x e y y,
por lo tanto, se interpreta como que se extiende infinitamente en estas
direcciones.
Si el campo de la ecuación. (4.1) se propaga en un medio lineal (que se
supone para la difracción escalar), la frecuencia temporal del campo
resultante se mantendrá sin cambios; Por lo tanto, no es necesario llevar
explícitamente el término temporal. Además, la sustitución de una forma
fasorial compleja para la función coseno proporciona un resultado válido de
propagación y ayuda en la manipulación matemática. Estos cambios
conducen a una función que describe simplemente la distribución espacial
del campo asi:
exp (4.4)U P A P i P
Esta forma de fasor complejo del campo óptico se utiliza extensamente en
nuestros desarrollos analíticos y de simulación. A modo de ejemplo, la forma
fasorial de la ecuación (4.2) es
exp (4.5)U z A ikz
Las descripciones de las ecuaciones. (4.1) y (4.4) están relacionados por
, Re exp 2 , (4.6)u P t U P i vt
donde Re indica la parte real y el fasor complejo exp (- j2πv t) se introduce
para el componente temporal del campo. Para perfeccionar la ecuación.
(4.4), la dependencia explícita de la posición z se puede quitar, donde se
supone que z es la dirección fundamental de propagación. Así,
1 1 1. , exp , , (4.7)U x y A x y i x y
Indica el campo en el plano x-y localizado en alguna posición "1" en el eje z.
Actualmente no existen detectores que pueden seguir las extremadamente
oscilaciones de alta frecuencia (> 1014 Hz) del campo eléctrico óptico. En
lugar de ello, los detectores ópticos responden a la magnitud al cuadrado
promediado en el tiempo del campo. Por lo tanto, una cantidad considerable
de interés es la irradiancia, que se define aquí como
2
1 1 1, . . . (4.8)I x y U x y U x y U x y
Irradiancia es un término radiométrico para el flujo (vatios) por unidad de
área que cae en el plano de observación. Es una cantidad de densidad de
potencia que en otras referencias de óptica de Fourier y láser se denomina
"intensidad". La expresión (4.8) representa en realidad un acceso directo
para la determinación de la magnitud al cuadrado promediada en el tiempo
del campo y es válido cuando el campo está modelado por una fasor
complejo.
En una nota teneduría de libros, dado que A1(x, y) es la amplitud del campo
eléctrico, con unidades típicas de voltios / m, a continuación, para obtener el
valor de la irradiación correspondiente con las unidades de vatios / m2 el lado
derecho de la ecuación. (4.8) tiene que ser multiplicada por la constante 1 /
(2η) donde η es la impedancia característica del medio (η = 377Ω, para el
vacío). Puesto que somos los más interesados en la forma espacial relativa
del campo, esta constante se suele caer en nuestras discusiones.
4.3 Longitud del camino óptica y la Representación de la fase del campo
El índice de refracción n de un medio es la relación de la velocidad de la luz
en el vacío a la velocidad en el medio. Por ejemplo, un vidrio típico utilizado
para la luz visible puede tener un índice de aproximadamente 1,6. Para luz
que se propaga una distancia d en un medio de índice n, la longitud del
camino óptico (OPL) se define como
(4.9)OPL nd
La OPL multiplicada por el número de onda k se muestra en la fase de la
exponencial compleja utilizada para modelar el campo óptico. Piense en k
como el "conversor" entre la distancia abarcada por una longitud de onda y
2π rad de la fase. Por ejemplo, en la expresión de onda plana de la ecuación.
(4.2), z es la OPL, donde se supone que la propagación se da en el vacío; Por
lo tanto, n = 1. El término kz da el número de radianes en la fase sinusoidales
que el campo ha progresado a lo largo de esta distancia. Exponenciales
complejas y Sinusoidales son entidades que tienen módulo 2π; Por lo tanto,
sólo la fase relativa entre 0 y 2π tiene significado. Si la onda plana se propaga
a una distancia d a través de una pieza de vidrio con el índice n, entonces la
OPL es como se indica en la ecuación. (4.9), y la representación del campo
fasorial es
exp (4.10)U d A iknd
En efecto, la longitud de onda se acorta a λ / n en el vidrio. Hay otras
variaciones de este tema; por ejemplo, exp ikr , donde r es una distancia
radial en el vacío.
Formas de fasores asociados con el campo óptico también puede ser una
función de las posiciones transversales x e y; por ejemplo,
2 2exp (4.11)2
ki x y
z
Esto se conoce como un término "chirp" (ver Apéndice A) e indica un cambio
de fase del campo con el cuadrado de la posición transversal. Este tipo de
término aparece en una variedad de situaciones de modelamiento,
contrayendo o expandiendo un campo óptico. Un ejemplo del perfil 1D de la
fase de la ecuación. (4.11) se representa en la Fig. 4.1.
Figura 4.1 : Perfil de fase en el eje x de la función chirp de la ecuación. (4.11).
Un concepto importante es la salida y el retraso de fase. El fasor temporal
exp 2i vt definido en la ecuación. (4,6) indica que la fase del campo óptico
se hace más negativa cuando el tiempo avanza. Por lo tanto, decimos que la
fase en el centro del perfil en la Fig. 4.1 lleva el resto de la función ya que
tiene el valor "más negativo". Cuanto más lejos del centro, más la fase se
retrasa. Interpretamos la fase como una representación de un frente de
onda óptica, el centro de la cresta de la onda en la Fig. 4.1 lleva los bordes, y
la onda se puede imaginar "propagándose hacia baja" en la Fig. 4.1. Además
interpretación física de la fase óptica se discute en la Sección 5.3.
4.4 Soluciones Analítica de difracción 4.4.1 I Solución: Rayleigh-Sommerfeld Consideremos la propagación de la luz monocromática de un plano 2D (plano
fuente) indicado por las variables de las coordenadas y (Fig. 4.2). En el
plano fuente, un área define la extensión de una fuente o una abertura
iluminada. La distribución de campo en el plano fuente está dada por 1 ,U
, y el campo 2 ,U x y en un plano de observación distante puede predecirse
utilizando la primera solución de difracción de Rayleigh-Sommerfeld
12
2 1 2
12
exp, , (4.12)
ikrzU x y U d d
i r
Aquí, λ es la longitud de onda óptica; k es el número de onda, que es igual a
2π / λ para el espacio libre; z es la distancia entre los centros de la fuente y la
observación en los sistemas de coordenadas; y 12r es la distancia entre una
posición en el plano fuente y una posición en el plano de observación. y
son las variables de integración ,y los límites integrales corresponden al área
de la fuente ∑ . Con la fuente y la posición de observación definidos en
planos paralelos, la distancia 12r es,
2 22
12 (4.13)r z x y
La expresión (4.12) es una afirmación del principio de Huygens-Fresnel. Este
principio supone que la fuente actúa como una colección infinita de fuentes
puntuales ficticias, cada una produce una onda esférica asociado con el
actual campo de fuente en cualquier posición , . Las contribuciones de
estas ondas esféricas se suman en la posición de observación (x, y), lo que
permite la interferencia. La extensión de las ecuaciones. (4.12) y (4.13) en las
geometrías no plana es directa; por ejemplo, que implica una función más
complicada para r, pero la geometría plana es más comúnmente encontrada,
y este es nuestro enfoque aquí.
Figura 4.2 . Geometría de la propagación entre los planos paralelos de la fuente y la
observación
La expresión (4.12) es, en general, una superposición integral, pero con las
áreas de la fuente y observación definidas en planos paralelos, se convierte
en una integral de convolución, que puede ser escrito como
2 1, , , (4.14)U x y U h x y d d
donde la forma general de la respuesta de impulso de Rayleigh-Sommerfeld
es
2
exp, (4.15)
ikrzh x y
i r
y
2 2 2 (4.16)r z x y
Aplicando el teorema de convolución de Fourier, la ec(4.14) la podemos
escribir como
1
2 1, , , (4.17)U x y U x y h x y
Por esta convolución interpretamos que las variables de la fuente y del
plano de observación están simplemente re-etiquetadas como x e y. Una
expresión equivalente a la ecuación. (4.17) es
1
2 1, , , (4.18)x yU x y U x y H f f
donde H es la función de transferencia de Rayleigh-Sommerfeld dado por
22
f , f exp 1 (4.19)x y x yH ikz f f
Estrictamente hablando, 2 2 1/x yf f debe ser satisfecha para la
propagación de las componentes del campo. Un análisis de espectro angular
se utiliza a menudo para derivar la ecuación. (4,19).
La expresión de Rayleigh-Sommerfeld es la solución más precisa de difracción
considerada en este libro. Aparte de la suposición de difracción escalar, esta
solución sólo requiere que r >>λ , la distancia entre la fuente y la posición de
observación, sea mucho mayor que una longitud de onda.
4.4.2 La aproximación de Fresnel
En la raíz cuadrada de la relación de distancia de la ecuación. (4.13) o (4.16)
se puede realizar difícil manipulaciones analíticas en la solución de Rayleigh-
Sommerfeld y añadir el tiempo de ejecución para una simulación
computacional. Mediante la introducción de aproximaciones para estos
términos, se desarrolló una forma de difracción escalar más conveniente.
Considere la expansión binomial
2 21 11 1 ... (4.20)
2 8b b b
donde b es un número menor que 1, entonces expandiendo la Eq. (4.13) y
manteniendo a los dos primeros términos obtenemos
2 2
12
1 11 (4.21)
2 2
x yr z
z z
Esta aproximación se aplica al término de distancia en la fase de la
exponencial de la ecuación. (4.12), que equivale a suponer una onda de
radiación parabólica en lugar de una onda esférica para las fuentes de puntos
ficticios. Por otra parte, usando la aproximación 12r z en el denominador
de la ecuación. (4.12) llegamos a la expresión de difracción de Fresnel:
2 2
2 1, , exp (4.22)2
ikze kU x y U i x y d d
i z z
Esta expresión es también una convolución de la forma de la ecuación. (4.14),
donde la respuesta de impulso es
2 2, exp (4.23)2
ikze ikh x y x y
i z z
y la función de transferencia es
2 2, exp (4.24)ikz
x y x yH f f e i z f f
Las expresiones en las ecuaciones. (4.17) y (4.18) son más aplicables en este
caso, para el cálculo de los resultados de difracción.
Otra forma útil de la expresión de difracción de Fresnel se obtiene moviendo
el término de fase cuadrática que es una función de x e y fuera de las
integrales:
2 2
2
2 2
1
exp, exp
2
2, exp exp (4.25)
2
ikz kU x y i x y
i z z
kU i i x y d d
z z
Junto con la amplitud y la chirp factores multiplicativos de en frente, esta
expresión es nuevamente una transformada de Fourier del campo fuente en
función de la chirp, donde se utilizan las siguientes sustituciones de variables
de frecuencia para la transformación:
, . (4.26)x y
f fz z
La precisión de la expresión de Fresnel en el modelado de difracción escalar a
cortas distancias, padece como consecuencia de las aproximaciones
involucradas. Al permitir un cambio de fase máximo de 1 rad [debido a la
caída de los términos b2 / 8 y por encima de la serie de la ecuación. (4.20)],
derivamos la siguiente condición:
2
2 23
max
, (4.27)4
z x y
donde la notación "max" indica el valor máximo que es de interés para una
geometría plana entre la fuente y la observación dada.
El criterio de la ecuación. (4.27) proporciona una condición bien definida,
donde la aproximación de Fresnel se puede aplicar con poca pérdida de
exactitud. Sin embargo, para los campos en el plano Fuente con poca
variación espacial, tales como una simple abertura retro- iluminada por una
onda plana, la aproximación de Fresnel puede proporcionar una alta
precisión incluso cuando la ecuación. (4.27) se viola. Un criterio más flexible
es el número de Fresnel, que se utiliza comúnmente para determinar cuando
la expresión de Fresnel se puede aplicar. El número de Fresnel está dada por
2
, (4.28)F
wN
z
donde w es la anchura media de una abertura cuadrada en el plano Fuente, o
el radio de la abertura circular, y z es la distancia al plano de observación. Si
NF es menor que ≈ 1 para un escenario dado, entonces, se acepta
comúnmente que el plano de observación está en la región de Fresnel, donde
las aproximaciones de Fresnel, por lo general, conducen a resultados útiles.
Sin embargo, para los campos "relativamente suaves" sobre la abertura de
Fuente, la expresión de Fresnel puede ser aplicado hasta incluso el número
de Fresnel de 20 o 30. En un contexto de la óptica geométrica, la expresión
de Fresnel describe la difracción bajo el supuesto paraxial, donde sólo los
rayos que hacen un ángulo pequeño (< ~ 0,1 rad) con relación al eje óptico se
consideran.
4.4.3 La aproximación de Fraunhofer
La difracción de Fraunhofer, que se refiere a los patrones de difracción en un
régimen que se conoce comúnmente como el "campo lejano", se llega
matemáticamente multiplicando el campo inicial dentro de la integral de la
ecuación. (4.25) mediante la aproximación del término chirp como unidad. El
supuesto involucrado es
2 2
, (4.29)2
kz
y resulta en la expresión de difracción de Fraunhofer:
2 2
2
1
exp, exp
2
2, exp (4.30)
ikz kU x y i x y
i z z
U i x y d dz
La condición de la ecuación. (4.29), típicamente, requiere distancias de
propagación muy grandes en relación con el tamaño de la fuente de apoyo.
Sin embargo, una forma del patrón de Fraunhofer también aparece en el
análisis de propagación con la participación de lentes. La expresión de
difracción de Fraunhofer es una herramienta poderosa y encuentra uso en
muchas aplicaciones, tales como propagación del haz láser, análisis de
imágenes, y la espectroscopia.
Junto con los factores multiplicativos del frente, la expresión de Fraunhofer
puede ser reconocida simplemente como una transformada de Fourier del
campo de origen con las sustituciones de variables
, . (4.31)x y
f fz z
La expresión de Fraunhofer no puede ser escrita como una integral de
convolución, así que no hay función de respuesta o de transferencia de
impulso. Pero, ya que es una versión a escala de la transformada de Fourier
del campo inicial, puede ser relativamente fácil de calcular, y como con la
expresión de Fresnel, la aproximación de Fraunhofer se utiliza a menudo con
éxito en situaciones donde la Eq. (4.29) no se cumple. Para las estructuras de
fuentes simples como una abertura iluminada por una onda plana, el
resultado de Fraunhofer puede ser útil incluso cuando la Ec. (4.29) se viola
por más de un factor de 10, particularmente si la cantidad principal de
interés es el patrón de radiación en el plano receptor. Utilizando el número
de Fresnel NF, el requisito comúnmente aceptado para la región de
Fraunhofer es NF << 1.
4.5 Ejemplo de difracción de Fraunhofer
Es extremadamente difícil (o “imposible”) encontrar soluciones de difracción
de forma cerrada utilizando la expresión de Rayleigh-Sommerfeld para la
mayoría de las aberturas. La expresión de Fresnel es más manejable, pero las
soluciones siguen siendo complicada incluso para los casos simples, tales
como una abertura rectangular iluminada por un plano wave. Así, cálculos
con Fresnel o Rayleigh -Sommerfeld se dejan para la computadora en el
siguiente capítulo. Analíticamente es más fácil el análisis de difracción de
Fraunhofer y, para nuestros propósitos, sirve como un control sobre algunos
de los resultados de la computadora.
Considere una abertura circular iluminada por una onda plano de amplitud
unitaria. El campo complejo inmediatamente más allá del plano de apertura
es
2 2
1 , . (4.32)U cirw
Para encontrar el campo de la difracción de Fraunhofer, la transformada de
Fourier se toma como
2 2
12
12 2
2, . (4.33)
J w f fU w
w f f
Luego, con las sustituciones en la ecuación. (4.31), y la aplicación de los
términos principales de amplitud y fase de la ecuación. (4.30), el campo se
encuentra con
2 2
12 2 2
22 2
2exp
, exp (4.34)2
2
wJ x y
ikz k zU x y i x y w
wi z zx y
z
La irradiancia, usando la Ec. (4.8), es
2
2 22
2 1
22 2
2
, (4.35)
2
wJ x y
w zI x y
wzx y
z
Algunos de los términos w / λz podría ser cancelados, pero la simetría de esta
forma es útil para la programación.
Vamos a ejercer MATLAB para visualizar este patrón de irradiancia.
Supongamos que w = 1 mm y λ = 0,633 μm (longitud de onda láser de He-
Ne). La restricción del número de Fresnel requiere w2 / λz <0,1 ó z> 10w2 / λ,
lo que conduce a la z> 15,8 m. Vamos a utilizar z = 50 m.
Ahora bien, para elegir algunos parámetros de malla. Un buen tamaño de
visualización de la función es que la longitud del lado de la matriz sea quizá
cinco veces más ancho que el lóbulo central del patrón. La función de Bessel
J1 tiene un primer cero cuando el argumento es igual a 1.22π. Si y = 0,
entonces el primer cero en el patrón se produce cuando
2 1,22 . (4.36)w
xz
Resolviendo para x obtenemos la mitad de la anchura central del lóbulo y
con el doble de este resultado obtenemos el ancho total del lóbulo central
1,22 . (4.37)lobo
zD
w
Vamos a elegir L = 5 x 1.22λz / w ≈ 0,2 m.
Ahora un poco de código. Es útil hacer una primera función que se encarga
de la relación de la función de Bessel. En un nuevo archivo-M (llamado "mal
de ojo") entre lo siguiente:
1 function[out]=jinc(x);
2 %
3 % jinc function
4 %
5 % J1(2*pi*x)/x
6 % divide by zero fix
7 %
8 % locate non-zero elements of x
9 mask=(x~=0);
10 % initialize output with pi (value for x=0)
11 out=pi*ones(size(x));
12 % compute output values for all other x
13 out(mask)=besselj(1,2*pi*x(mask))./(x(mask));
14 end
Esta función evalúa J1(2πx) / x. Un condición de enfoque de
enmascaramiento se utiliza para evitar la división por cero cuando x = 0. El
código de enmascaramiento puede parecer una manera indirecta de hacer
las cosas, sino que permite la entrada x como un vector o una matriz. En la
línea 9, la máscara matriz recoge la dimensión de X y toma un valor de 1 para
cualquier elemento donde x es distinto de cero (~ = significa ≠). En la línea 11,
la salida(out) se inicializa con la dimensión de x, ones llena la matriz con 1s, y
π es el valor de la función para x = 0. A continuación, se aplica la indexación
lógica de salida (mask) y x (mask) para evaluar la función de todos los
elementos en los que la máscara es 1. Esto deja el valor de π para x = 0. La
bessellJ (1, ...) es la función de Bessel de primera especie , el orden 1 llamada
por MATLAB .
Al igual que con las funciones sinc, hay varias definiciones en la literatura
para funciones "Jinc", y este libro pueden ser el único que utiliza esta
variación particular. Así que ten cuidado, no todas las funciones Jinc son las
mismas. Ahora, para el patrón de Fraunhofer. Nombre este archivo
"fraun_circ":
1 %fraun_circ - Fraunhofer irradiance plot
2
3 L=0.2; %side length (m)
4 M=250; %# samples
5 dx=L/M; %sample interval
6 x=-L/2:dx:L/2-dx; y=x; %coords
7 [X,Y]=meshgrid(x,y);
8
9 w=1e-3; %x half-width
10 lambda=0.633e-6;%wavelength
11 z=50; %prop distance
12 k=2*pi/lambda; %wavenumber
13 lz=lambda*z;
14
15 %irradiance
16 I2=(w^2/lz)^2.*(jinc(w/lz*sqrt(X.^2+Y.^2))).^2;
17
18 figure(1) %irradiance image
19 imagesc(x,y,nthroot(I2,3));
20 xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)');
21 colormap('gray');
22 axis square;
23 axis xy;
24
25 figure(2) %x-axis profile
26 plot(x,I2(M/2+1,:));
27 xlabel('x(m)'); ylabel('Irradiance');
Figura 4.3 irradiancia de Fraunhofer (a) patrón de imagen y (b) el perfil en el eje x para una abertura
circular. Esto se conoce como el patrón de Airy.
Aquí hay algunos comentarios en esta rutina con los números de línea
asociados:
(a) Línea 6: El subíndice 2 se deja fuera en los nombres de las coordenadas
por simplicidad.
(b) Línea 9: La notación científica se puede hacer de varias maneras: e-3 y 10
^ - 3 que significan lo mismo. No utilice el símbolo ^ en la e notación
exponencial!
(c) Línea 16: se llama la función Jinc.
(d) Línea 19: 3ª raíz se utiliza para llevar a cabo los "anillos" en la pantalla de
imagen.
La ejecución del script produce los resultados en la Fig. 4.3. El patrón de
Fraunhofer de una abertura circular se conoce comúnmente como el patrón
de Airy. El núcleo central de este modelo, cuya anchura es dada en la
ecuación. (4.37), es conocido como el disco de Airy.