4. electrostÁtica en conductores

Problemas 29

4.- Electrostática de materiales conductores

Versión: 10 de enero de 2022

30 Física II

Dpto. Física Aplicada

Problemas 31

• Problema 4.1Una carga puntual q está situada en el centro geométrico de dos cortezas esféricas metálicas

conductoras que contienen a su vez una carga q como se muestra en la �gura. La corteza interiortiene radios a y b > a, la exterior c > b y d > c. Se pide determinar:

1) La distribución de la carga eléctrica en cada corteza esférica.2) El campo y potencial eléctricos en todo punto del espacio.

ELECTROSTÁTICA EN CONDUCTORES

37

PROBLEMA 4.1

Una carga puntual q está situada en el centro de dos cortezas esféricas concéntricas, metálicas, cada

una conteniendo una carga q tal y como se muestra en la figura. La corteza interior tiene radios

interior a y exterior b. La corteza exterior tiene radios interior c y exterior d. Se cumple que b < c.

Se pide determinar:

1) La distribución de carga en cada corteza esférica.

2) El valor del campo y potencial eléctricos en todo punto del espacio. (Nota: Considérese nulo el

potencial para r of ).

Solución

1)

2 2 2 2

2 2 3; ; ;4 4 4 4a b c d

q q q qa b c d

V V V VS S S S

� �

2) Coordenadas esféricas:

r>d: 20 0

1 3 1 3( ) ; ( )4 4r

q qE r u V rr rSH SH

& &

d > r > c: 0

1 3( ) 0; ( )4

qE r V rdSH

&&

c > r > b: 20 0

1 2 1 3 2 2( ) ; ( )4 4r

q q q qE r u V rr d r cSH SH

§ · � �¨ ¸© ¹

& &

b > r > a: 0

1 3 2 2( ) 0; ( )4

q q qE r V rd b cSH

§ · � �¨ ¸© ¹

&&

a > r: 20 0

1 1 3 2 2( ) ; ( )4 4r

q q q q q qE r u V rr d b c r aSH SH

§ · � � � �¨ ¸© ¹

& &

Solución :

1) �a = � q

4⇡a2�b =

2q

4⇡b2�c = � 2q

4⇡c2�d =

3q

4⇡d2

2) Coordenadas esféricas:

r > d E =1

4⇡"o

3q

r2er ; V =

1

4⇡"o

3q

r

d > r > c E = 0 ; V =1

4⇡"o

3q

d

d > r > b E =1

4⇡"o

2q

r2er ; V =

1

4⇡"o

✓3q

d+

2q

r� 2q

c

◆

b > r > a E = 0 ; V =1

4⇡"o

✓3q

d+

2q

b� 2q

c

◆

a > r E =1

4⇡"o

q

r2er ; V =

1

4⇡"o

✓3q

d+

2q

b� 2q

c+

q

r� q

a

◆


32 Física II

• Problema 4.2Entre dos placas metálicas de espesor d con carga+q y�q se introduce una lámina de carga con

densidad super�cial �o y espesor despreciable como muestra la �gura. La distribución de la cargaeléctrica sobre las super�cies metálicas uniforme y su super�cie S �= (a + b)2 muy grande. Sepide:

a) Determinar las densidades de carga sobre las super�cies metálicas �1, �2, �3 y �4 de la �gura.b) Calcular el campo eléctrico en el espacio entre las placas (puntosP yQ de la �gura) empleando

el principio de superposición.c) Veri�car el resultado anterior empleando la ley de Gauss.d) Calcular el potencial eléctrico V (x) en todo punto del espacio, considerando que en x = 0 es

nulo.


39

PROBLEMA 4.3

Una lámina de espesor despreciable cargada con una densidad

superficial de carga ı0 situada en x = 0, se introduce entre dos

placas metálicas de espesor d y cargadas con cargas iguales

pero opuestas: q y -q. El área de cada una de las dos

superficies de las placas puede considerarse muy grande de

valor S.

Despreciando los efectos de borde, es decir, suponiendo que

la distribución de las cargas sobre las superficies de las placas

es uniforme, se pide:

1) Determinar el valor de las densidades de carga ı1, ı2, ı3 y ı4 que aparecen sobre las superficies

metálicas.

2) Utilizando el principio de superposición, calcular el valor del campo eléctrico en el espacio

comprendido entre las placas metálicas (puntos P y Q de la figura). Verifíquese este resultado

aplicando el teorema de Gauss.

3) Calcular el potencial en todo punto del espacio en función de la coordenada x (posición relativa a

a la lámina central), que se toma a potencial nulo.

Solución

1) 0 0 01 4 2 3; ;

2 2 2q qS S

V V VV V V V � � �

2) 32

0 0

( ) ; ( )E P i E Q iVV

H H �

& && &

3) 3

0

( )V x xVH

0 < x < b

3 4

0 0

( ) ( )V x b x b dV VH H

� � � b < x

2

0

( )V x xVH

� -a < x < 0

2 1

0 0

( ) ( ) ( )V x a x a dV VH H

� � � � � x < -a

Solución :

a) �1 = �4 =�o2

; �2 =q

S� �o

2; �3 = � q

S� �o

2

b) E(P ) =�2"o

i ; E(Q) = ��3"o

i

c) 0 < x < b V (x) =�3"o

x

b x d V (x) =�3"o

b

(b+ d) < x V (x) =�3"o

b� �4"o

(x� b� d)

� a < x < 0 V (x) = ��2"o

x

� (a+ d) x �a V (x) =�2"o

a

x < �a V (x) =�2"o

a+�1"o

(x+ a+ d)


Problemas 33

• Problema 4.3


40

PROBLEMA 4.4

Se dispone de tres superficies esféricas metálicas, concéntricas, que denominaremos 1, 2 y 3, de

radios R1, R2 y R3 (R1 < R2 < R3) respectivamente. El campo eléctrico exterior a la tercera corteza es

nulo.

Resuélvanse los siguientes apartados:

1) Si los potenciales eléctricos en cada una de las tres cortezas esféricas 1, 2 y 3 tienen por valor V1,

V2 y V3, respectivamente, se pide calcular la carga contenida en cada una de ellas.

2) En las condiciones del apartado anterior, se conectan eléctricamente la segunda y la tercera

corteza. Determínese:

a) La carga total contenida ahora por el conjunto formado por la segunda y la tercera corteza.

b) ¿Cómo está distribuida esta carga?

c) El valor del campo eléctrico en la región contenida entre la segunda y la tercera corteza.

3) Partiendo del conjunto de las cortezas esféricas en estado neutro (todas ellas sin carga eléctrica),

mediante una batería se aplica una d.d.p. 'VA =V1 -V3 entre la primera y la tercera corteza y se

mantiene la segunda corteza aislada. Calcúlese la capacidad del sistema y la energía que ha sido

necesario suministrar durante el proceso de redistribución de las cargas.

Solución

1) 0 1 21 1 2

2 1

4 ( )R Rq V VR RSH

��

0 3 22 2 1

3 2

4 R Rq V qR RSH

��

3 1 2( )q q q � �

2) 2 3 1( )q q qc c� �

En la corteza 2 ( 3 0qc ).

0E

3) 0

1 3

41 1C

R R

SH

� ; 21 ( )

2e AU C V '

En el sistema de la �gura está formado por tres super�cies me-tálicas esféricas concéntricas de radios R3 > R2 > R1 y espesordespreciable. El campo eléctrico para r > R3 es nulo y se pide:

a) Calcular la carga eléctrica de cada super�cie si valor dedel potencial eléctrico de cada una es V1 = V (R1), V2 =V (R2) y V3 = V (R3) respectivamente.

b) Calcular la capacidad del sistema formado al conectar me-diante un cable conductor la segunda y tercera super�ciepara formar un condensador esférico.

c) Calcular su energía electrostática para diferencia de poten-cial �V = V1 � V3.

Solución :

a) q1 =4⇡"oR1R2

R2 �R1(V2 � V1) ; q2 = �q1 +

4⇡"oR3R2

R3 �R2V2 ; q3 = �(q1 + q2)

b) C =4⇡"oR3R1

R3 �R1

c) Ue =C

2(V1 � V3)

2

• Problema 4.4


42

PROBLEMA 4.6

Un conductor esférico C’, de radio R1 y cargado con una carga neta 2Q, tiene un hueco en su

interior que contiene una carga puntual Q no necesariamente en el centro del conductor. C’ está

rodeado por una distribución superficial esférica de carga concéntrica, de radio R2 y carga total -Q.

Otro conductor C’’ en forma de corteza esférica concéntrica con las anteriores, de radios interior y

exterior R3 y R4 respectivamente, y con carga neta nula, se trae desde el infinito hasta alcanzar la

disposición de la figura. Se pide calcular:

1) El valor del potencial eléctrico en C’ y en C’’ (considérese nulo el potencial para r of ).

2) El trabajo que hay que realizar para que el conductor C’’ alcance la disposición indicada.

Solución

1) 0 1 2 3 4 0 4

3 1 2 2 2( ) ; ( )4 4

Q QV C V CR R R R RSH SH

§ ·c cc � � � ¨ ¸

© ¹

2) 2

0 3 4

1 12eQW U

R R§ ·

� �¨ ¸© ¹SH

Un conductor esférico C 0 de radio R1 y con carga 2Q tieneun hueco en su interior que contiene una carga puntual Q, nonecesariamente en su centro. Está rodeado por una distribuciónsuper�cial de carga de concéntrica de radio R2 y carga �Q deespesor despreciable. Otro conductorC 00 de radiosR3 yR4 y carganeta nula se trae desde el in�nito hasta alcanzar la disposición dela �gura. Se pide calcular:

a) El valor del potencial eléctrico de los conductores C 0 y C 00.b) La energía necesario aportar para que el conductor C 00 al-

cance la disposición indicada.

Solución :

a) VC0 =Q

4⇡"o

✓3

R1� 1

R2� 2

R3+

2

R4

◆; VC00 =

2Q

4⇡"oR4

b) �E = �Ue =Q2

2⇡"o

✓1

R4� 1

R3

◆


34 Física II

• Problema 4.5


43

PROBLEMA 4.7

Dada la red de condensadores de la figura, determínese:

1) La capacidad equivalente entre los puntos A y B.

2) La carga en estado estacionario de cada condensador, si se establece entre A y B una d.d.p. VAB =

10V.

3) La energía electrostática del sistema, en el supuesto del apartado anterior.

DATOS: C1 = C3 = C5 = 5 pF ; C2 = C4 = C6 = 10 pF

Solución

1) CAB = 10 pF

2) Qi = (100 / 3) pC (i=1,…,6)

3) Ue = 0.5 nJ

PROBLEMA 4.8

La red de condensadores de la figura está sometida a una tensión de VAB = 30 V entre A y B.

Hállese en estado estacionario:

1) La capacidad equivalente entre A y B.

2) La energía electrostática del sistema.

3) La carga de los condensadores C6 y C7.

DATOS: C1 = 6 nF; C2 = C3 = C5 = 4 nF; C4 = C8 = 2 nF; C6 = C7 = 1 nF

Solución

1) CAB = 3 nF

2) Ue = 1.35 µJ

3) Q6 = Q7 = 15 nC

Para la red de condensadores de la �gura de pide determinar:

a) La capacidad equivalente entre los puntos A y B.b) La carga en el estado estacionario de cada condensador si

se establece una diferencia de potencial VAB = Vo entredichos puntos.

c) La energía electrostática del sistema en el supuesto del apar-tado anterior.

Solución :

a) CAB =(C1 + C3 + C5) (C2 + C4 + C6)

C1 + C2 + C3 + C4 + C5 + C6

b) Ue =1

2CAB V 2

o


4. electrostÁtica en conductores

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