36 capÍtulo 1 conceptos fundamentales de Álgebra · 2014-07-12 · otros polinomios pueden tener...

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Otros polinomios pueden tener tres variables, por ejemplo x, y, z o bien, parael caso, cualquier número de variables. La adición, sustracción y multipli-cación se realizan usando propiedades de números reales, igual que para poli-nomios con una variable.

El siguiente ejemplo ilustra la división de un polinomio entre unmonomio.

E J E M P L O 4 División de un polinomio entre un monomio

Exprese como un polinomio en x y y:

S O L U C I Ó N

divida cada término entre 2xy

simplifique L

Los productos que se listan en la siguiente tabla se presentan con tal fre-cuencia que merecen especial atención. El lector puede comprobar la validezde cada fórmula por multiplicación. En (2) y (3), usamos ya sea el signo su-perior en ambos lados o el signo inferior en ambos lados. Así, (2) es en reali-dad dos fórmulas:

Del mismo modo, (3) representa dos fórmulas

�x � y�2 � x2 � 2xy � y2 y �x � y�2 � x2 � 2xy � y2

� 3xy2 � 2x2y � 5

6x2y3 � 4x3y2 � 10xy

2xy�

6x2y3

2xy�

4x3y2

2xy�

10xy

2xy

6x2y3 � 4x3y2 � 10xy

2xy

36 C A P Í T U L O 1 C O N C E P T O S F U N D A M E N T A L E S D E Á L G E B R A

Otras ilustraciones de las fórmulas del producto se dan en el siguienteejemplo.

E J E M P L O 5 Uso de fórmulas del producto

Encuentre el producto:

(a) (b) (c) �2a � 5b�3�2c �1

2c�2

�2r 2 � 2s��2r 2 � 2s�

Fórmulas de productos

Fórmula Ejemplos

(1)

(2)

(3)� 8a3 � 36a2 � 54a � 27

�2a � 3�3 � �2a�3 � 3�2a�2�3� � 3�2a��3�2 � �3�3�x � y�3 � x3 � 3x2y � 3xy2 � y3

� 4a2 � 12a � 9�2a � 3�2 � �2a�2 � 2�2a��3� � �3�2�x � y�2 � x2 � 2xy � y2

�2a � 3��2a � 3� � �2a�2 � 32 � 4a2 � 9�x � y��x � y� � x2 � y2

PRODUCTOS, COCIENTES NOTABLES Y FACTORIZACIÓN

1

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S O L U C I Ó N

(a) Usamos la fórmula 1 del producto, con y

(b) Usamos la fórmula 2 del producto, con y

Nótese que la última expresión no es un polinomio.

(c) Usamos la fórmula 3 del producto, con y :

L

Si un polinomio es un producto de otros polinomios, entonces cada poli-nomio del producto es un factor del polinomio original. Factorizar es el pro-ceso de expresar una suma de términos como producto. Por ejemplo, co-mo , los polinomios y son factores de

.La factorización es un proceso importante en matemáticas, puesto que se

puede usar para reducir el estudio de una expresión complicada al estudio devarias expresiones más sencillas. Por ejemplo, las propiedades del polinomio

se pueden determinar al examinar los factores y . Como ve-remos en el capítulo 2, otro importante uso de la factorización está en hallarsoluciones de ecuaciones.

Vamos a estar interesados principalmente en factores no triviales depolinomios, es decir, factores que contengan polinomios de grado positivo. Noobstante, si los coeficientes se restringen a enteros, entonces por lo generaleliminaremos un factor común entero de cada término del polinomio. Porejemplo,

Un polinomio con coeficientes en algún conjunto S de números es primoo irreducible sobre S, si no se puede escribir como producto de dos poli-nomios de grado positivo con coeficientes en S. Un polinomio puede ser irre-ducible sobre un conjunto S pero no sobre otro. Por ejemplo, esirreducible sobre los números racionales, puesto que no se puede expresarcomo producto de dos polinomios de grado positivo que tengan coeficientesracionales. Sin embargo, no es irreducible sobre los números reales, yaque podemos escribir

x2 � 2 � �x � 22��x � 22�.

x2 � 2

x2 � 2

4x2y � 8z3 � 4�x2y � 2z3�.

x � 3x � 3x2 � 9

x2 � 9x � 3x � 3�x � 3��x � 3�x2 � 9 �

� 8a3 � 60a2b � 150ab2 � 125b3

�2a � 5b�3 � �2a�3 � 3�2a�2�5b� � 3�2a��5b�2 � �5b�3

y � 5bx � 2a

� c � 2 �1

c

�2c �1

2c�2

� �2c�2� 2 � 2c �

1

2c� � 1

2c�2

y �1

2c:x � 2c

� 4r4 � s

�2r2 � 2s��2r2 � 2s� � �2r2�2 � �2s�2

y � 2s:x � 2r2

1 . 3 E x p r e s i o n e s a l g e b r a i c a s 37


2

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Del mismo modo, es irreducible sobre los números reales, pero, comoveremos en la sección 2.4, no sobre los números complejos.

Todo polinomio de grado 1 es irreducible.Antes que factoricemos un polinomio, debemos especificar el sistema

numérico (o conjunto) del cual se han de escoger los coeficientes de los fac-tores. En este capítulo usaremos la regla de que si un polinomio tiene coefi-cientes enteros, entonces los factores serán polinomios con coeficientesenteros. Factorizar un polinomio significa expresarlo como producto de poli-nomios irreducibles.

El máximo factor común (mfc) de una expresión es el producto de losfactores que aparecen en cada término, con cada uno de estos factores elevadoal mínimo exponente diferente de cero que aparezca en cualquier término. Alfactorizar polinomios, es aconsejable factorizar primero el mfc, como se ve enla siguiente ilustración.

Polinomios factorizados

Suele ser difícil factorizar polinomios de grado mayor a 2. En casos sen-cillos, pueden ser útiles las siguientes fórmulas para factorizar. Cada fórmulase puede verificar al multiplicar los factores del lado derecho del signo igual.Se puede demostrar que los factores y en la dife-rencia y suma de dos cubos, respectivamente, son irreducibles sobre losnúmeros reales.

x 2 � xy � y2x2 � xy � y2

4x5y � 9x3y3 � x 3y�4x2 � 9y2� � x 3y�2x � 3y��2x � 3y�25x2 � 25x � 150 � 25�x2 � x � 6� � 25�x � 3��x � 2�8x 2 � 4xy � 4x�2x � y�

ax � b

x 2 � 1


I L U S T R A C I Ó N

Fórmulas de factorización

Fórmula Ejemplos

(1) Diferencia de dos cuadrados:

(2) Diferencia de dos cubos:

(3) Suma de dos cubos

� �5a � 1��25a2 � 5a � 1� � �5a � 1��5a�2 � �5a��1� � �1�2�

125a3 � 1 � �5a�3 � �1�3x3 � y3 � �x � y��x2 � xy � y2�

� �2a � 3��4a2 � 6a � 9� � �2a � 3��2a�2 � �2a��3� � �3�2�

8a3 � 27 � �2a�3 � �3�3x3 � y3 � �x � y��x2 � xy � y2�

9a2 � 16 � �3a�2 � �4�2 � �3a � 4��3a � 4�x2 � y2 � �x � y��x � y�

Otras ilustraciones del uso de fórmulas de factorización se dan en los dosejemplos siguientes.


3

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E J E M P L O 6 Diferencia de dos cuadrados

Factorice cada polinomio:

(a) (b) (c)

S O L U C I Ó N

(a) Aplicamos la fórmula de la diferencia de dos cuadrados, con y

(b) Escribimos y y aplicamos dos veces la fórmulade la diferencia de dos cuadrados:

(c) Escribimos y aplicamos la fórmula de la diferencia de doscuadrados:

L

E J E M P L O 7 Suma y diferencia de dos cubos

Factorice cada polinomio:

(a) (b)

S O L U C I Ó N

(a) Aplicamos la fórmula de la suma de dos cubos, con y :

(b) Aplicamos la fórmula de la diferencia de dos cubos, con y:

L � �2c2 � 3d 3��4c4 � 6c2d 3 � 9d 6�

� �2c2 � 3d 3��2c2�2 � �2c2��3d 3� � �3d 3�2�

8c6 � 27d 9 � �2c2�3 � �3d 3�3

y � 3d 3

x � 2c2

� �a � 4b��a2 � 4ab � 16b2�

� �a � 4b��a2 � a�4b� � �4b�2�

a3 � 64b3 � a3 � �4b�3

y � 4bx � a

8c6 � 27d 9a3 � 64b3

� �4x2 � y � 2z��4x2 � y � 2z�

� ��4x2� � � y � 2z��4x2� � � y � 2z��

16x 4 � � y � 2z�2 � �4x2�2 � � y � 2z�2

16x 4 � �4x 2�2

� �9x 2 � y 2��3x � y��3x � y�

� �9x 2 � y2��3x�2 � � y�2�

� �9x 2 � y2��9x2 � y2�

81x4 � y4 � �9x2�2 � � y2�2

y4 � � y2�281x 4 � �9x 2�2

25r 2 � 49s2 � �5r�2 � �7s�2 � �5r � 7s��5r � 7s�

y � 7sx � 5r

16x 4 � � y � 2z�281x 4 � y425r 2 � 49s2



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Una factorización de un trinomio , donde p, q y r son ente-ros, debe ser de la forma

donde a, b, c y d son enteros. Se deduce que

Sólo un número limitado de opciones para a, b, c y d satisfacen estas condi-ciones. Si ninguna de las opciones funciona, entonces es irre-ducible. Tratar las diversas posibilidades, como se describe en el ejemplosiguiente, recibe el nombre de método de prueba y error. Este método tam-bién es aplicable a trinomios de la forma , en cuyo caso lafactorización debe ser de la forma .�ax � by��cx � dy�

px2 � qxy � ry2

px2 � qx � r

ac � p, bd � r, y ad � bc � q.

px2 � qx � r � �ax � b��cx � d�,

px2 � qx � r


TI-83/4 Plus TI-86Podemos comprobar un resultado de factorización al multiplicar la respuesta propuesta ycompararla con la expresión original. Aquí sustituiremos valores para las variables y evalua-remos la expresión original y la respuesta propuesta.

4 4

7 7

3*

64 64 3

4 4

4 4

16 16

*No hay función especial de cubo para la TI-86.

No escoja valores como son 0, 1, o 2 para A y B es demasiado fácil obtener el mismo valorpara la expresión original y la respuesta propuesta. Por ejemplo, si sustituimos 1 por A y 0por B e incorrectamente factorizamos como , ambas expresiones serían igual a 1 y nos confundiríamos al pensar que correctamente habíamos fac-torizado .A3 � 64B3

�A � 4B��A2 � 16B2�A3 � 64B3

ENTER)x 2BALPHAENTER)x 2BALPHA

�BALPHA�AALPHA�BALPHAAALPHA

�x 2AALPHA(�x 2AALPHA(

)BALPHA�AALPHA()BALPHA�AALPHA(

ENTERBALPHAENTER3MATHBALPHA

�AALPHA�3MATHAALPHA

ENTERBSTOALPHAENTERBALPHASTO

:2ndASTO:ALPHAAALPHASTO

Comprobación de un resultado de factorización

�

�

�

�


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E J E M P L O 8 Factorización de un trinomio por prueba y error

Factorice .

S O L U C I Ó N Si escribimos

entonces las siguientes relaciones deben ser verdaderas:

Si suponemos que a y c son ambas positivas, entonces todos los posibles va-lores se dan en la tabla siguiente:

Por tanto, si es factorizable, entonces una de las siguientes igual-dades es verdadera:

A continuación consideramos todos los valores posibles para b y d. Como, éstos son como sigue:

Al intentar varios (posiblemente todos) valores, llegamos a y ;esto es,

Como prueba, el lector debe multiplicar la factorización final para ver si se ob-tuvo el polinomio original. L

El método de prueba y error que se ilustra en el ejemplo 8 puede ser largoy tedioso si los coeficientes de los polinomios son grandes y tienen muchosfactores primos. En la sección 2.3 demostraremos un método de factorizaciónque se puede usar para factorizar cualquier trinomio de la forma parecida a ladel ejemplo 8, cualquiera que sea el tamaño de los coeficientes. Para casossencillos, con frecuencia es posible llegar rápidamente a la selección correcta.

E J E M P L O 9 Factorización de polinomios

Factorice:

(a) (b) 4x 4y � 11x 3y2 � 6x 2y312x2 � 36xy � 27y2

6x 2 � 7x � 3 � �2x � 3��3x � 1�.

d � 1b � �3

bd � �3

6x2 � 7x � 3 � �3x � b��2x � d� 6x2 � 7x � 3 � �2x � b��3x � d� 6x2 � 7x � 3 � �6x � b��x � d� 6x2 � 7x � 3 � �x � b��6x � d�

6x2 � 7x � 3

ac � 6, bd � �3, y ad � bc � �7

6x 2 � 7x � 3 � �ax � b��cx � d�,

6x 2 � 7x � 3


a 1 6 2 3

c 6 1 3 2

b 1 3

d 3 1�1�3

�3�1


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S O L U C I Ó N

(a) Como cada uno de los términos tiene 3 como factor, empezamos por es-cribir

Una factorización de como producto de dos polinomios deprimer grado debe ser de la forma

,

con

Si usamos el método de prueba y error, como en el Ejemplo 8, obtenemos

Entonces,

(b) Como cada uno de los términos tiene x2y como factor, empezamos por es-cribir

Por prueba y error, obtenemos la factorización

L

Si una suma contiene cuatro o más términos, puede ser posible agrupar lostérminos en una forma apropiada y luego hallar una factorización mediante eluso de propiedades distributivas. Esta técnica, llamada factorización poragrupación, se ilustra en el ejemplo siguiente.

E J E M P L O 1 0 Factorización por agrupación

Factorice:

(a) (b)

(c)

S O L U C I Ó N

(a) Agrupamos los primeros dos y los últimos dos términos y luego procede-mos como sigue:

En esta etapa no hemos factorizado la expresión dada porque el lado derechotiene la forma

No obstante, si factorizamos k, entonces

2ck � dk � �2c � d�k � �2c � d��2a � b�.

2ck � dk con k � 2a � b.

� 2c�2a � b� � d�2a � b� 4ac � 2bc � 2ad � bd � �4ac � 2bc� � �2ad � bd�

x 2 � 16y2 � 10x � 25

3x 3 � 2x 2 � 12x � 84ac � 2bc � 2ad � bd

4x 4y � 11x 3y2 � 6x 2y3 � x 2y�4x � 3y��x � 2y�.

4x 4y � 11x 3y2 � 6x 2y3 � x 2y�4x 2 � 11xy � 6y2�.

12x2 � 36xy � 27y2 � 3�4x2 � 12xy � 9y2� � 3�2x � 3y�2.

4x2 � 12xy � 9y2 � �2x � 3y� �2x � 3y� � �2x � 3y�2.

ac � 4, bd � 9, y ad � bc � �12.

4x2 � 12xy � 9y2 � �ax � by��cx � dy�

4x2 � 12xy � 9y2

12x2 � 36xy � 27y2 � 3�4x2 � 12xy � 9y2�.



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Ejer. 1-44: Exprese como polinomio.

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11 �3x � 5��2x2 � 9x � 5�

�3u � 1��u � 2� � 7u�u � 1�

�2u � 3��u � 4� � 4u�u � 2�

�4x � 3y��x � 5y��5x � 7y��3x � 2y�

�3x � 4��2x � 9��2x � 5��3x � 7�

�6x3 � 2x2 � x � 2� � �8x2 � x � 2�

�4x3 � 5x � 3� � �3x3 � 2x2 � 5x � 7�

�7x3 � 2x2 � 11x� � ��3x3 � 2x2 � 5x � 3�

�3x3 � 4x2 � 7x � 1� � �9x3 � 4x2 � 6x�

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19 20

21 22 �5x � 4y��5x � 4y��2x � 3y��2x � 3y�

6x2yz3 � xy2z

xyz

3u3v4 � 2u5v2 � �u2v2�2

u3v2

6a3b3 � 9a2b2 � 3ab4

3ab2

8x2y3 � 10x3y

2x2y

�2x � 1��x2 � 5��x3 � 1�

�x � 1��2x2 � 2��x3 � 5�

�r 2 � 8r � 2��r 2 � 3r � 1�

�t 2 � 2t � 5��3t 2 � t � 2�

�7x � 4��x3 � x2 � 6�


Por lo tanto,

Nótese que si factorizamos como , entonces la última ex-presión es .

(b) Agrupamos los primeros dos y los últimos dos términos y luego procede-mos como sigue:

Por último, usando la fórmula de la diferencia de dos cuadrados para x2 � 4,obtenemos la factorización:

(c) Primero reacomodamos y agrupamos términos, luego aplicamos la fórmu-la de la diferencia de dos cuadrados, como sigue

L � �x � 4y � 5��x � 4y � 5� � ��x � 5� � 4y��x � 5� � 4y� � �x � 5�2 � �4y�2

x2 � 16y2 � 10x � 25 � �x2 � 10x � 25� � 16y2

3x 3 � 2x 2 � 12x � 8 � �x � 2��x � 2��3x � 2�

� �x 2 � 4��3x � 2� � x2�3x � 2� � 4�3x � 2�

3x3 � 2x2 � 12x � 8 � �3x3 � 2x2� � �12x � 8�

�2a � b��2c � d�k�2c � d�2ck � dk

� �2c � d��2a � b�. 4ac � 2bc � 2ad � bd � 2c�2a � b� � d�2a � b�

1.3 E j e r c i c i o s


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43 44

Ejer. 45-102: Factorice el polinomio.

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59 60

61 62

63 64

65 66 50x2 � 45xy � 18y245x2 � 38xy � 8y2

16z2 � 56z � 4925z2 � 30z � 9

9x2 � 24x � 164x2 � 20x � 25

21x2 � 41x � 1012x2 � 29x � 15

12x2 � x � 66x2 � 7x � 20

3x2 � 4x � 2x2 � 3x � 4

7x2 � 10x � 88x2 � 53x � 21

121r3s4 � 77r2s4 � 55r4s315x3y5 � 25x4y2 � 10x6y4

16x5y2 � 8x3y33x2y3 � 9x3y2

10xy � 15xy23a2b2 � 6a2b

4u2 � 2uvrs � 4st

�x � 2y � 3z�2�2x � y � 3z�2

�x2 � x � 1�2�a � b � c�2

�3x � 4y�3�2x � 3y�3

�x � 3y�3�x � 2y�3

�x1/3 � y1/3��x2/3 � x1/3y1/3 � y2/3�

�x1/3 � y1/3��x2/3 � x1/3y1/3 � y2/3�

�2x � 2y�2�2x � 2y�2

�2x � 2y��2x � 2y�

�x � y�2�x � y�2�x � 2�2�x � 2�2

�2x2 � 5y2�2�x2 � 3y2�2

�5x � 4y�2�3x � 2y�2

�x2 � 1��x2 � 16��x2 � 9��x2 � 4�

�3x � y3��3x � y3��x2 � 2y��x2 � 2y� 67 68

69 70

71 72

73 74

75 76

77 78

79 80

81 82

83 84

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101 102

Ejer. 103-104: Los antiguos griegos dieron pruebas geomé-tricas de las fórmulas de factorización para la diferencia dedos cuadrados y la diferencia de dos cubos. Establezca lafórmula para el caso especial descrito.

103 Encuentre las áreas de las regiones I y II de la figura paraestablecer la fórmula de la diferencia de dos cuadradospara el caso especial .x y

4x3 � 4x2 � xx16 � 1

8c6 � 19c3 � 27y6 � 7y3 � 8

y2 � 9 � 6y � 4x2y2 � x 2 � 8y � 16

x2 � 4y2 � 6x � 9x2 � 4x � 4 � 9y2

x 8 � 16a6 � b6

6w8 � 17w4 � 12a3 � a2b � ab2 � b3

x4 � 3x3 � 8x � 24x4 � 2x3 � x � 2

5x3 � 10x2 � 20x � 40

3x3 � 3x2 � 27x � 27

2ay2 � axy � 6xy � 3x2

2ax � 6bx � ay � 3by

x3 � 64125 � 27x3

x6 � 27y3343x3 � y9

216x9 � 125y364x3 � y6

125x3 � 864x3 � 27

64x2 � 36y275x2 � 48y2

4x2 � 9x2 � 25

x3 � 25xx4 � 4x2

9y4 � 121x2z4 � 64w2

81r 2 � 16t 236r 2 � 25t 2



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