35 campos vectoriales

CALCULO VECTORIAL

ROSA ÑIQUE ALVAREZ 1

CAMPOS VECTORIALES

En R2 y R3

CÁLCULO VECTORIAL

CAPÍTULO IV

Rosa Ñique Alvarez 2

Campo de velocidad del flujo de un fluido


Campo vectorial del flujo de aire



Campo de fuerza gravitacional

xx

xF 3)( GMm−=

La fuerza de atracciónejercida sobre unapartícula de masa mlocalizada en x = (x, y, z)por una partícula de masaM localizada en (0,0,0)viene dada por:

G constante gravitatoriaRosa Ñique Alvarez 6

CAMPO VECTORIAL EN R2

Notación : F (x, y) en R2

jiF ),(),(),( yxQyxPyx +=

( )),(,),(),( yxQyxPyx =F

Sean P y Q funciones de dos variables x e y , definidas en una región plana R.

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CALCULO VECTORIAL



( )senxyyx ,),( =F

(x,y) F(x,y)

(0,0) (0,0)

…….. ……….

1,

4π

22,1

2,

2π

( )1,2


( )senxyyx ,),( =F

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

campo2C4


CAMPO VECTORIAL EN R3

Notación : F (x, y, z) en R3

kjiF )(),,(),,(),,( zy,x,RzyxQzyxPzyx ++=

( )),,(,),,(,),,(),,( zyxRzyxQzyxPzyx =F

Sean P, Q y R funciones de tres variables x , y, z , definidas en una región Q del espacio.


kjiF xyzyx +−= 2),,(

-3-2

-10

12

-3

-2

-1

0

1-3

-2

-1

0

1

2

XY

Z

EJEMPLO3


kjiF4

),,( zzx

zyzyx +−=


kjiF xzyzyx ++=),,(

-2-1

01

2

-2-1

0

1

2-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

campo3NC3




CALCULO VECTORIAL



CAMPO GRADIENTE EN R2

ji ),(),(),(

),(

yxfyxfyxf

yxfz

yx +=∇

=

El vector gradiente siempre es perpendicular alas curvas de nivel f (x, y) = c.



Notación

ffgrad ∇=


EJEMPLO 1 f (x, y) = x2y - y3

( ) ji 22 32),( yxxyyxf −+=∇

ji ),(),(),( yxfyxfyxf yx +=∇

El campo vectorial grad f es perpendicular a las curvas de nivel de f (x, y) = c


-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

( ) ji 22 32),( yxxyyxf −+=∇f (x, y) = x2y - y3 ;

CampGrad

Rosa Ñique Alvarez


cwzyxf

zyxfzyxfzyxfzyxf

zyxfw

zyx

=∇

++=∇

=

niveldesuperficielaalarperpendicuvector:),,(

),,(),,(),,(),,(

),,(

kji

17 Rosa Ñique Alvarez

EJEMPLO 2 Calcular el campo gradiente (vectores normales) a la superficie de nivel

18

( ) 0:22

=− +− yxexzS




CALCULO VECTORIAL


Rosa Ñique Alvarez

Solución

( ) ( ) ( ) kji ++−=∇ +−+− 2222

212),,( 2 yxyx xyeexzyxf

19

kji ),,(),,(),,(),,( zyxfzyxfzyxfzyxf zyx ++=∇

( ) 0:22

=− +− yxexzS


( ) ( ) ( ) kji ++−=∇ +−+− 2222

212),,( 2 yxyx xyeexzyxf

NormalesSuperficie-2.5

-2-1.5

-1-0.5

00.5

11.5

2

-2.5-2

-1.5

-1-0.5

0

0.51

1.5

2

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

X

VECTORES NORMALES A SUPERFICIE

Y

Z

( ) 0:22

=− +− yxexzSVectores normales a S

MATLAB


GRAFICA DE CAMPOS VECTORIALES

COMANDOS DE MATLAB


[X,Y]=meshgrid(x,y) Define las variables x e y de la función z=f(x,y) enforma matricial.

[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z) Define las variables x , y ,z de la funciónw=f(x,y,z) en forma matricial.

quiver(x,y,u,v) Grafica los vectores de componentes (u,v) en lospuntos (x,y).

quiver3(x,y,z,u,v,w) Grafica los vectores de componentes (u,v,w) enlos puntos (x,y,z).

[Fx,Fy,Fz]=gradient(z,h1,h2) Retorna las 3 componentes del vector gradientede z=f(x,y), donde hi es el parámetro queespecifica el espacio para cada variable.

[Rx,Ry,Rz]=curl(x,y,z,u,v,w) Retorna las 3 componentes del vector rotacionaldel campo vectorial (u,v,w) en el punto (x,y,z).

COMANDOS DE MATLAB


divergence(x,y,u,v) Determina la divergencia de un campo vectorialen R2

divergence(x,y,,z,u,v,w) Determina la divergencia de un campo vectorialen R3

[Nx,Ny,Nz]=surfnorm(X,Y,Z) Retorna las 3 componentes de los vectoresnormales a la superficie definida por (x,y,z).


%campo2C5clear; clc; clf reset[x,y]=meshgrid(-6:1.4:6,-6:1.4:6);B=plot(x,y,'or');set(B,'lineWidth',2)xlabel('X','Fontsize',15)ylabel('Y','Fontsize',15)title('CAMPO VECTORIAL','Fontsize',17)grid onhold onpauseu=log(1+y^2);v=log(1+x^2);A=quiver(x,y,u,v,'b');set(A,'lineWidth',1.5)

( ))1ln(,)1ln(),( 22 xyyx ++=FEJEMPLO




CALCULO VECTORIAL



( ))1ln(,)1ln(),( 22 xyyx ++=F

campo2C5

-6 -4 -2 0 2 4 6 8-6

-4

-2

0

2

4

6

8

X

Y

CAMPO VECTORIAL


( )22 ,,),,( zxyzyx −=F

%campo3NC4clear; clc; clf reset[x,y,z]=meshgrid(-1:1:1,-1:1:1,-1:1:1);u= -y.*y;v=x;w=z.*z;%grafica los vectores (u,v,w)A=quiver3(x,y,z,u,v,w);set(A,'lineWidth',1.5)xlabel('X','Fontsize',15)ylabel('Y','Fontsize',15)zlabel('Z','Fontsize',15)title('CAMPO VECTORIAL ','Fontsize',20)

EJEMPLO


-2

-1

0

1

2

-2

-10

1

2-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

X

CAMPO VECTORIAL

Y

Z

( )22 ,,),,( zxyzyx −=F

campo3NC4

EJEMPLO


( ) 0:22

=− +− yxexzS

Grafique los vectores normales a la siguiente superficie


%NormalesSuperficie[X,Y]=meshgrid(-2:0.3:2,-2:0.3:2);%grafica la superficie de nivelZ=X.*exp(-X.^2-Y.^2);surfl(X,Y,Z),shading interp,colormap(pink)xlabel('X','Fontsize',15)ylabel('Y','Fontsize',15)zlabel('Z','Fontsize',15)title('VECTORES NORMALES A SUPERFICIE','Fontsize',17)pausehold on%grafica los vectores normales a la superficie[U,V,W]=surfnorm(X,Y,Z);B=quiver3(X,Y,Z,U,V,W,0.5);set(B,'lineWidth',1.5);

( ) 0:22

=− +− yxexzS

Rosa Ñique Alvarez 30NormalesSuperficie-2.5

-2-1.5

-1-0.5

00.5

11.5

22.5

-3

-2

-1

0

1

2

3-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

X

VECTORES NORMALES A SUPERFICIE

Y

Z

( ) 0:22

=− +− yxexzS




CALCULO VECTORIAL



CAMPOS VECTORIALES

CONSERVATIVO

f∇=FNO

CONSERVATIVO

f∇≠F


OPERADOR NABLA

yx ∂∂

+∂∂

=∇ ji


CAMPO VECTORIAL CONSERVATIVO

Un campo vectorial F se llama campo vectorialconservativo si es el gradiente de alguna funciónescalar f, es decir, si existe una función f tal que

En ese caso, f se llama función potencial de F.

f∇=F


CRITERIO DE CAMPO VECTORIAL CONSERVATIVO EN R2

Supongamos que P y Q tienen primerasderivadas parciales continuas en un disco abiertoD. El campo vectorial dado por

Es conservativo si y solo si


DtodoenyP

xQ

∂∂

=∂∂


EJEMPLO 3Campo vectorial F ( x, y) = ( 2 x y, x2 )

-3 -2 -1 0 1 2 3-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

campo2C2


Solución

yPxx

xQ

xyxQyxyxP

∂∂

===∂∂

==

22

),(;2),( 2

El campo vectorial F ( x, y) = ( 2 x y, x2 ) es conservativo porque




CALCULO VECTORIAL



Cálculo de la función potencial del campo vectorial conservativo F ( x, y) = ( 2 x y, x2 )

( )

∂∂

∂∂

=

∇=

yf

xfxyx

yxfyx,

,,2

),()(

2

F


Cálculo de la función potencial del campo vectorial conservativo F ( x, y) = ( 2 x y, x2 )

( )

2

2

2

,,2

xyfyx

xf

yf

xfxyx

=∂∂

∧=∂∂

∂∂

∂∂

=


Función potencial

del campo vectorial

Kyxyxf += 2),(

( )2,2),( xxyyx =F

Solución


EJEMPLO 4Campo vectorial F (x, y) = ( x2 , - x y ) no es conservativo

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

campo2NC1


Solución

El campo vectorial F (x, y) = ( x2 , - x y ) no es conservativo porque

yPy

xQ

yxyxQxyxP

∂∂

=≠−=∂∂

−==

0

),(;),( 2


ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIALEl rotacional de

es un campo vectorial en R3 y existen todas lasderivadas parciales de P, Q, R, entonces elrotacional de F es el campo vectorial en R3 definidopor


kjiF

∂∂−

∂∂+

∂∂−

∂∂+

∂∂−

∂∂=

yP

xQ

xR

zP

zQ

yRrot




CALCULO VECTORIAL



OPERADOR NABLA

zyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ kji


PRODUCTO VECTORIAL

RQPzyx ∂

∂∂∂

∂∂=∇

kji

Fx



NOTACION

FF x∇=rot

RQPzyx

rot∂∂

∂∂

∂∂=

kji

F

EJEMPLO 5


kjiF 22),,( zxyzyx ++−=

Determine el rotacional del siguiente campo de velocidades


SOLUCIÓN

22 zxyzyx

rot

−∂∂

∂∂

∂∂

=

kji

F



SOLUCIÓN

22 zxyzyx

rot

−∂∂

∂∂

∂∂

=

kji

F


kj-iF

∂∂

+∂∂

+

∂∂

+∂∂

∂∂

−∂∂

=y

yxx

zy

xz

zx

yzrot

2222




CALCULO VECTORIAL



SOLUCIÓN kjiF 22),,( zxyzyx ++−=

kj-iF

∂∂

+∂∂

+

∂∂

+∂∂

∂∂

−∂∂

=y

yxx

zy

xz

zx

yzrot

2222

( )kF yrot 21+=


kjiF 22),,( zxyzyx ++−= ( )kF yrot 21+=

-1.5

-1-0.5

0

0.5

1

1.5

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

X

CAMPO VECTORIAL Y SU ROTACIONAL

Y

Z

Campo VectorialRotacional

campo3NC4


Un dispositivo de paletas,se inserta en un fluido quefluye, entonces elrotacional del campo develocidades F es la medidade la tendencia del fluido agirar el dispositivo entorno a su eje vertical. Sirot F = 0 , entonces elflujo del fluido se dice queserá irrotacional, lo cualsignifica que no tieneremolinos que podríancausar el giro de laspaletas


FLUJO IRROTACIONAL FLUJO ROTACIONAL

FLUJO DE FLUIDO IRROTACIONAL Y ROTACIONAL

0=)(Frot 0≠)(Frot


CRITERIO DE CAMPO VECTORIAL CONSERVATIVO EN R3

Supongamos que P, Q, y R tienen primerasderivadas parciales continuas en una esfera abiertaD del espacio. El campo vectorial

es conservativo si y sólo si rot F (x, y, z) = 0



EJEMPLO 5

El campo vectorial

es conservativo porque

kjiF )()2()2(),,( yxyxyxzxyxzyzyx +++++=

0=Frot




CALCULO VECTORIAL



campo3C8


1

1.5

2

2.5

1

1.5

2

2.5

3

3.51

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

X

CAMPO VECTORIAL Y LA CURVA

Y

Z


Cálculo de la función potencial del campo vectorial conservativo

[ ]

)()2()2(

,,)(),2(,)2(

),,()(

yxyxzfyxzx

yfyxzy

xf

zf

yf

xfyxxyyxzxyxzy

zyxfzy,x,

+=∂∂

∧+=∂∂

∧+=∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=+++

∇=F


Función potencial

del campo vectorial

Kzyxzyxzyxf ++= 22),,(


Solución


EJEMPLO 6

El campo vectorial

no es conservativo

kjiFyxz

zxy

zyxzyx 8),,( ++=

0≠Frot

Nota: F no existe en los planos cartesianos


kjiFyxz

zxy

zyxzyx 8),,( ++=

campo3NC7

0.51

1.52

2.53

3.54

4.5

0.5

11.5

22.5

33.5

4

4.51

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

X

CAMPO VECTORIAL

Y

Z

Solución


xyz

xzy

yzx

zyxrot

8∂∂

∂∂

∂∂=

kji

F

kjiF

−+

−+

−=

zxy

zyx

yzx

yxz

xyz

xzyrot 222222

88




CALCULO VECTORIAL


Solución


kjiF

−+

−+

−=

zxy

zyx

yzx

yxz

xyz

xzyrot 222222

88

kjiFyxz

zxy

zyxzyx 8),,( ++=

Campo vectorial

Campo vectorial


kjiFyxz

zxy

zyxzyx 8),,( ++= kjiF

−+

−+

−=

zxy

zyx

yzx

yxz

xyz

xzyrot 222222

88

0

1

2

3

4

5

0.5

11.5

2

2.53

3.54

4.50

1

2

3

4

5

X

CAMPO VECTORIAL Y SU ROTACIONAL

Y

Z

Campo VectorialRotacional

campo3NC7


DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL EN R2

La divergencia de

es


yQ

xP

yxyxdiv ∂∂

+∂∂

=⋅∇= ),(),( FF


DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL EN R3

La divergencia de

es


zR

yQ

xP

zyxdiv

zyxzyxdiv

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

⋅∇=

),,(

),,(),,(

F

FF


DIV F > 0 DIV F < 0

EN P HAY UNA FUENTE

EN P HAY UN SUMIDERO

La divergencia de un campo de velocidades F cerca de un punto P (x, y, z) es el flujo por unidad de volumen

Propiedades


0Si1. =Fdiv

Se dice que F es un campo vectorial libre de divergencia.

0(.2 =F)rotdiv




CALCULO VECTORIAL


EJEMPLO 7


Calcule la divergencia en (2, 1, -1) del campo vectorial

kjiF yxzxzyxzyx 2223),,( ++=

003),,(

),,(

22 ++=

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

zyxzyxdivzR

yQ

xPzyxdiv

F

F

Solución


kjiF yxzxzyxzyx 2223),,( ++=

12)1,1,2(

3),,( 22

−=−

=

F

F

div

zyxzyxdiv

SUMIDERO

Gráfica del campo vectorial alrededor del punto (2,1,-1)


campo3Div




35 campos vectoriales

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