UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA

TRABAJO PRÁCTICO : OBJETIVO 7

ASIGNATURA : INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I

CÓDIGO : 315

ASESOR : Ing. JAIME SOTO

FECHA DE ENTREGA : 8 DE JUNIO DE 2004

ESTUDIANTE : JOSÉ LUIS DURÁN MEJÍAS

CEDULA DE IDENTIDAD : 8.502.826

CENTRO LOCAL : ZULIA (21)

CARRERA : INGENIERÍA DE SISTEMAS (236)

LAPSO : 2004 - 1

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TRABAJO PRÁCTICO (Objetivo No. 7)

ESPECIFICACIONES:

La compañía LAVAZUL fabrica 2 tipos de limpiadores líquidos: BAYRUM y CITRUS. Los productos elaborados deben cumplir con ciertas especificaciones relacionadas con los efectos nocivos sobre los seres vivos y los efectos ambientales que podrían ocasionar los insumos químicos empleados en su fabricación. Estas especificaciones se estiman en unidades y para el caso en cuestión serán denominadas E1 (se refiere a la inocuidad de la sustancia o producto sobre los seres vivos) y E2 (se refiere a la degradación de la sustancia o producto en el medio ambiente).

Todos los productos a elaborar pueden contener en diferentes cantidades las siguientes sustancias: DIXOBIMETOL, AMONITIN Y PROPILOX. A continuación se presentan datos concernientes a los insumos químicos, las unidades que miden la toxicidad y la calidad ambiental, la disponibilidad y los costos:

Sustancias Mínimo Unidades

E1

Máximo Unidades

E2

Disponibilidad diaria

(en galones)

Costo/galón (UM)

DIXOBIMETOL 12 120 2000 500AMONITIN 10 140 2500 450PROPILOX 9 145 1900 300

Igualmente se presentan los niveles de aceptación de E1 y E2, para cada producto, la demanda diaria y el precio de venta de los productos en la siguiente tabla:

Productos Mínimo Unidades

E1

Máximo Unidades

E2

Demanda diaria

Precio/galón (UM)

BAYRUM 12 150 100 800CITRUS 13 145 120 700

Es importante aclarar que se supone que existe linealidad en la determinación de los valores de las dos especificaciones establecidas para las mezclas, en función de los valores existentes en las sustancias o productos.

Sobre la base de esta información, determine las mejores mezclas para obtener los dos productos que permitan a la empresa maximizar las ganancias garantizando la satisfacción de la demanda y el cumplimiento de las especificaciones establecidas. Para ello formule y resuelva el modelo de Programación Lineal adecuado.

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Problema de producción de productos químicos de la compañía: LAVAZUL

1 – Formulación del problema:

1.1 – Descripción de las variables de decisión.

Yij = Cantidad (galones) de productos i elaborados con sustancias j Y11 = Bayrum elaborado con Dixobimetol Y12 = Bayrum elaborado con Amonitin Y13 = Bayrum elaborado con Propilox Y21 = Citrus elaborado con Dixobimetol Y22 = Citrus elaborado con Amonitin Y23 = Citrus elaborado con Propilox

Para convertir o trabajar con este modelo en forma lineal, se hace la siguiente transformación:

Xi = Yij = Cantidad (galones) de productos i elaborados con sustancias j X1 = Y11 = Bayrum elaborado con Dixobimetol X2 = Y12 = Bayrum elaborado con Amonitin X3 = Y13 = Bayrum elaborado con Propilox X4 = Y21 = Citrus elaborado con Dixobimetol X5 = Y22 = Citrus elaborado con Amonitin X6 = Y23 = Citrus elaborado con Propilox

En el programa TORA, usado para resolver este problema, las variables definidas fueron las siguientes:

∑ Xi = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6

1.2 – Formulación del problema:

Las ganancias se calculan mediante el valor en UM del precio de los productos menos el valor en UM del costo de las sustancias con las cuales se elaboran tales productos.

Maximizar Z=(800-500)X1 + (800-450)X2 + (800-300)X3 + (700-500)X4 + (700-450)X5 + (700-300)X6 (UM)

Donde: Haciendo los cálculos previos a la introducción de los datos en el programa TORA, se obtiene la siguiente función objetivo:

Maximizar Z = (300)X1 + (350)X2 + (500)X3 + (200)X4 + (250)X5 + (400)X6 (UM)

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Restricciones:

- De Inocuidad de las sustancias: se relacionan directamente con los efectos nocivos de las sustancias sobre los seres vivos.

1-) X1 + X4 >= 12 (Unidades) Dixobimetol

2-) X2 + X5 >= 10 (Unidades) Amonitin

3-) X3 + X6 >= 9 (Unidades) Propilox

- De Degradación de las sustancias: se relacionan con los efectos ambientales de las sustancias.

4-) X1 + X4 <= 120 (Unidades) Dixobimetol

5-) X2 + X5 <= 140 (Unidades) Amonitin

6-) X3 + X6 <= 145 (Unidades) Propilox

- De Disponibilidad diaria: se refiere a los galones de sustancias disponibles diariamente.

7-) X1 + X4 <= 2000 (Galones) Dixobimetol

8-) X2 + X5 <= 2500 (Galones) Amonitin

9-) X3 + X6 <= 1900 (Galones) Propilox

- De Inocuidad de los productos: se relacionan con los efectos nocivos de los productos sobre los seres vivos.

10-) X1 + X2 + X3 >= 12 (Unidades) Bayrum

11-) X4 + X5 + X6 >= 13 (Unidades) Citrus

- De Degradación de los productos: se relacionan con los efectos ambientales de los productos.

12-) X1 + X2 + X3 <= 150 (Unidades) Bayrum

13-) X4 + X5 + X6 <= 145 (Unidades) Citrus

- De Demanda diaria: se refiere a los galones de productos que se deben producir a diario. 14-) X1 + X2 + X3 >= 100 (Unidades) Bayrum

15-) X4 + X5 + X6 >= 120 (Unidades) Citrus

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- De No Negatividad: Las variables deben ser positivas.

Xi >= 0:

16-) X1 >= 017-) X2 >= 018-) X3 >= 019-) X4 >= 020-) X5 >= 021-) X6 >= 0

Formulación General del problema:

Maximizar Z = (300)X1 + (350)X2 + (500)X3 + (200)X4 + (250)X5 + (400)X6 (UM = Unidades monetarias)

Sujeto a: (Restricciones)

1-) X1 + X4 >= 12 (Unidades) Dixobimetol 2-) X2 + X5 >= 10 (Unidades) Amonitin 3-) X3 + X6 >= 9 (Unidades) Propilox 4-) X1 + X4 <= 120 (Unidades) Dixobimetol 5-) X2 + X5 <= 140 (Unidades) Amonitin 6-) X3 + X6 <= 145 (Unidades) Propilox 7-) X1 + X4 <= 2000 (Galones) Dixobimetol 8-) X2 + X5 <= 2500 (Galones) Amonitin 9-) X3 + X6 <= 1900 (Galones) Propilox 10-) X1 + X2 + X3 >= 12 (Unidades) Bayrum 11-) X4 + X5 + X6 >= 13 (Unidades) Citrus 12-) X1 + X2 + X3 <= 150 (Unidades) Bayrum 13-) X4 + X5 + X6 <= 145 (Unidades) Citrus 14-) X1 + X2 + X3 >= 100 (Unidades) Bayrum 15-) X4 + X5 + X6 >= 120 (Unidades) Citrus 16-) X1 >= 0 17-) X2 >= 0 18-) X3 >= 0 19-) X4 >= 0 20-) X5 >= 0 21-) X6 >= 0

1.3 Cálculo del número de variables y restricciones:

Número de variables: 6

Número de restricciones: 21

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2. Solución del problema:

2.1 Para resolver el problema se utilizó el paquete TORA bajo el archivo DURAN.

│══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════©│DURAN Size: 21 constrs x 6 vars ││──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────││ ││ x1 x2 x3 x4 x5 x6 ││──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────││maximizar 300 350 500 200 250 400 ││──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────││Constraint 1: 1 0 0 1 0 0 >= 12 ││Constraint 2: 0 1 0 0 1 0 >= 10 ││Constraint 3: 0 0 1 0 0 1 >= 9 ││Constraint 4: 1 0 0 1 0 0 <= 120 ││Constraint 5: 0 1 0 0 1 0 <= 140 ││Constraint 6: 0 0 1 0 0 1 <= 145 ││Constraint 7: 1 0 0 1 0 0 <= 2000 ││Constraint 8: 0 1 0 0 1 0 <= 2500 ││Constraint 9: 0 0 1 0 0 1 <= 1900 ││Constraint 10: 1 1 1 0 0 0 >= 12 ││Constraint 11: 0 0 0 1 1 1 >= 13 ││Constraint 12: 1 1 1 0 0 0 <= 150 ││Constraint 13: 0 0 0 1 1 1 <= 145 ││Constraint 14: 1 1 1 0 0 0 >= 100 ││Constraint 15: 0 0 0 1 1 1 >= 120 ││Constraint 16: 1 0 0 0 0 0 >= 0 ││Constraint 17: 0 1 0 0 0 0 >= 0 ││Constraint 18: 0 0 1 0 0 0 >= 0 ││Constraint 19: 0 0 0 1 0 0 >= 0 ││Constraint 20: 0 0 0 0 1 0 >= 0 ││Constraint 21: 0 0 0 0 0 1 >= 0 ││──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────│

ı═════════════════════════════════════════════════════════════════════════════©│DURAN maximizar Final Iteration No: 22 ││─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────││ *** OPTIMUM SOLUTION SUMMARY *** ││ ││Obj value = 109900.000 ==> (Alternative solution detected at x14 ) ││─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────││ Variable Value Obj Coeff Obj Val Contrib ││─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────││ x1 0.0000 300.0000 0.0000 ││ x2 5.0000 350.0000 1750.0000 ││ x3 145.0000 500.0000 72500.0000 ││ x4 12.0000 200.0000 2400.0000 ││ x5 133.0000 250.0000 33250.0000 ││ x6 0.0000 400.0000 0.0000 ││ ││─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────│ ı═════════════════════════════════════════════════════════════════════════════©│DURAN maximizar Final Iteration No: 22 ││─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────││ ***** SENSITIVITY ANALYSIS ***** ││Obj value = 109900.0000 ││Obj Coeffs -- Single Changes ==> (Degenrte/altrntv opt; ranges not unique) ││─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────││ Variable Current Coeff Min Coeff Max Coeff Reduced Cost ││─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────││ x1 300.0000 -infinity 300.0000 0.0000 ││ x2 350.0000 350.0000 350.0000 0.0000 ││ x3 500.0000 500.0000 infinity 0.0000 ││ x4 200.0000 200.0000 250.0000 0.0000 ││ x5 250.0000 250.0000 250.0000 0.0000 ││ x6 400.0000 -infinity 400.0000 0.0000 ││ ││─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────│

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2.2 La solución viene dada por la siguiente tabla (en galones):

Producto Dixobimetol Amonitin Propilox TotalesBayrum 0 5 145 150Citrus 12 133 0 145Totales 12 138 145 300

La solución óptima se obtuvo en cuatro (22) iteraciones. El valor óptimo de la función objetivo es: 109.900,00

3. Análisis de los resultados.

3.1 ¿Cuál es la ganancia máxima (en UM) que percibirá la empresa LAVAZUL?

R) La ganancia máxima es: 109.900,00 UM

3.2 ¿Debe la empresa LAVAZUL las 3 sustancias? Especifique cuánto de cada uno.

R) Sí, ya que los resultados arrojados muestran que hace falta la adquisición de las tres sustancias para maximizar las ganancias; se debe adquirir la siguiente cantidad de galones:

Dixobimetol = 12

Amonitin = 138

Propilox = 145

3.3 Según el plan obtenido, ¿debe la empresa utilizar todas las sustancias en la fabricación de los productos Bayrum y Citrus? ¿Cuáles sobran y en qué cantidad?

R) No necesariamente, porque según el planteamiento del problema la empresa debe producir Bayrum con Amonitin y Propilox, pero sin Dixobimetol. En el caso del Citrus, debe producirlo con Dixobimetol y Amonitin, pero sin usar Propilox. 7 En base a la disponibilidad diaria, se puede apreciar que hay sobrante de las tres sustancias:

Dixobimetol Amonitin Propilox TotalesDisponibilidad 2000 2500 1900 6400Requerido 12 138 145 295Sobrante 1988 2362 1755 6105

3.4 Según el plan óptimo, ¿todos los productos serán elaborados en cantidades exactas para satisfacer la demanda?

R) Los dos productos deben elaborarse en las cantidades indicadas por la solución óptima para satisfacer la demanda y, al mismo tiempo, respetar las especificaciones de las restricciones.

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3.5 ¿Cómo puede demostrar que cada producto cumple con las especificaciones E1 y E2? R) El problema especifica que las unidades E1 y E2 para el producto Bayrum deben estar comprendidas entre 12 y 150, y la tabla óptima muestra que solo se usarán 150 galones de Bayrum, es decir, no sobrepasa el límite. Igualmente, las unidades E1 y E2 para Citrus están en el intervalo 13 y 145, y el plan óptimo muestra que se deben usar 145 galones.

3.6 ¿Cuáles son los valores de las variables duales? ¿Qué representan las variables duales en este problema? R) Las variables duales adquieren los valores de la derecha de la desigualdad de las restricciones; esto significa que hay 15 variables duales (ya que hay 15 restricciones, excluyendo las de no negatividad) con los siguientes valores y planteamiento:

Minimizar: 12Y1 + 10Y2 + 9Y3 + 120Y4 + 140Y5 + 145Y6 + 2000Y7 + 2500Y8 + 1900Y9 + 12Y10 + 13Y11 + 150Y12 + 145Y13 + 100Y14 + 120Y15

3.7 Suponga que la empresa LAVAZUL decide aumentar el precio del producto Citrus a 850 UM, ¿se mantendría óptimo el plan actual?

R) Más que mantenerse óptimo se mejoran las ganancias, porque la tabla resultante, según el paquete TORA, arroja las mismas cantidades de galones para cada sustancia y producto (o para cada variable), y, por su parte, las ganancias aumentarían de de 109.900,00 UM a 131.650,00 UM.

════════════════════════════════════════════════════════©│DURAN maximizar Final Iteration No: 22 │├───────────────────────────────────────────────────────┤│ *** OPTIMUM SOLUTION SUMMARY *** ││ ││Obj value = 131650.000 ==> (Alternative solution detected at x14 ) ││───────────────────────────────────────────────────────││ Variable Value Obj Coeff Obj Val Contrib ││───────────────────────────────────────────────────────││ x1 0.0000 300.0000 0.0000 ││ x2 5.0000 350.0000 1750.0000 ││ x3 145.0000 500.0000 72500.0000 ││ x4 12.0000 350.0000 4200.0000 ││ x5 133.0000 400.0000 53200.0000 ││ x6 0.0000 550.0000 0.0000 ││───────────────────────────────────────────────────────│

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3.8 Suponga que a la empresa le serán suministrados solo 1.400 galones de Dixobimetol, ¿se mantendría óptimo el plan actual?

R) Se mantiene óptima la solución, pero a diferencia de la respuesta anterior (en la pregunta 3.7), no se mejora la ganancia, y se mantiene la cantidad de galones de cada sustancia, como lo refleja la siguiente tabla generada por el paquete Tora con el cambio de 2.000 a 1.400 galonbes de Dixobimetol.

════════════════════════════════════════════════════════©│DURAN maximizar Final Iteration No: 22 │├───────────────────────────────────────────────────────┤│ *** OPTIMUM SOLUTION SUMMARY *** ││ ││Obj value = 109900.000 ==> (Alternative solution detected at x14 ) ││───────────────────────────────────────────────────────││ Variable Value Obj Coeff Obj Val Contrib ││───────────────────────────────────────────────────────││ x1 0.0000 300.0000 0.0000 ││ x2 5.0000 350.0000 1750.0000 ││ x3 145.0000 500.0000 72500.0000 ││ x4 12.0000 350.0000 4200.0000 ││ x5 133.0000 400.0000 53200.0000 ││ x6 0.0000 550.0000 0.0000 ││───────────────────────────────────────────────────────│

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