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Colegio BRYCE - Camaná

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82Ciclo Verano 2009 Colegios Bryce – Joyce – Freud Álgebra

GEOMETRIA, BREVE HISTORIA Y DESARROLLO. DESCRIPCIONES

BASICAS La geometría como palabra tiene dos raíces griegas: geo = tierra y metría = medida; o sea, significa "medida de la tierra". Su origen, unos tres mil años antes de Cristo, se remonta al Medio Oriente, en particular al Antiguo Egipto, en que se necesitaba medir predios agrarios y en la construcción de pirámides y monumentos. Esta concepción geométrica se aceptaba sin demostración, era producto de la práctica.

Estos conocimientos pasaron a los griegos y fue Thales de Mileto quien hace unos 6 siglos antes de Cristo inició la geometría demostrativa. Las propiedades se demuestran por medio de razonamientos y no porque resulten en la práctica. Las demostraciones pasan a ser fundamentales y son la base de la Lógica como leyes del razonamiento.

Euclides fue otro gran matemático griego, del siglo III antes de Cristo, quien en su famosa obra titulada "Los Elementos", recopila, ordena y sistematiza todos los conocimientos de geometría hasta su época y, salvo algunas pequeñas variaciones, son los mismos conocimientos que se siguen enseñando en nuestros días.

Euclides, usando un razonamiento deductivo parte de conceptos básicos primarios no demostrables tales como punto, recta, plano y espacio, que son el punto de partida de sus definiciones, axiomas y postulados. Demuestra teoremas y a su vez, éstos servirán para demostrar otros teoremas. Crea nuevos conocimientos a partir de otros ya existentes por medio de cadenas deductivas de razonamiento lógico. Esta geometría, llamada geometría euclidiana se basa en lo que históricamente se conoce como 5º postulado de Euclides: "por un punto situado fuera de una recta se puede trazar una y sólo una paralela a ella".

Existen otras geometrías que no aceptan dicho postulado euclidiano, sino que aceptan otros principios que dan origen a las llamadas "geometrías no euclidianas", como la creada en el siglo XIX por el ruso Lobachevsky.Como se mencionó, los conceptos básicos primarios punto, recta, plano y espacio no se definen sino que se captan a través de los sentidos. Puede darse modelos físicos para cada uno de ellos. Por ejemplo un punto puede estar representado por la huella que deja sobre un papel la presión de la punta de un alfiler o por una estrella en el firmamento. Una recta está sugerida por un hilo a plomo, un plano está sugerido por la superficie de un lago quieto o bien por la superficie de un espejo. El espacio euclidiano puede considerarse constituido por todos los puntos existentes, o sea, el espacio en que nos movemos.La geometría euclidiana puede dividirse en Geometría Plana y en Geometría del Espacio o estereometría. La plana estudia las figuras contenidas en un plano y la del espacio estudia figuras que no están contenidas en un mismo plano.

Las Pirámides de Egipto, representan construcciones geométricas espaciales en base a triángulos, que son considerados entre las más importantes construcciones históricas mundiales.

39

Es la rama de la geometría elemental que estudia las propiedades de superficies y figuras planas, como el triángulo o el círculo. Esta

parte de la geometría también se conoce como geometría euclídea, en honor al matemático griego Euclides, el primero en estudiarla en

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Colegio BRYCE – Pedregal

Ciclo Verano 2009 Colegios Bryce – Joyce – FreudÁlgebra

Trabajo Práct ico: Investigue y diga los nombres y alturas de las tres pirámides de Egipto.Si es posible haga un gráfico.

GEOMETRÍA ELEMENTOS FUNDAMENTALES DE LA

GEOMETRÍA Los objetos que están en nuestro entorno nos dan la idea intuitiva de cuerpo geométrico, superficie geométrica, línea y punto. Una vez adquiridas estas nociones intuitivas, la mente hace abstracción de los cuerpos materiales que han tomado de base y pasa de lo concreto a lo abstracto. Para la Geometría; el punto, la recta, el plano son elementos fundamentales que no se definen, sólo surgen de la idea partiendo de la realidad y formulando después las propiedades que caracterizan a cada uno de estos elementos.

1.-El Punto.-No se puede definir un punto, solo se tiene la idea de punto geométrico, como por ejemplo la marca de un lápiz al presionar en el papel , la punta de una aguja expresa tan solo una idea y no un objeto real.

Representación gráfica de un Punto

.A N o ta c ió n : P u n to A

2.-La Recta.-El borde de una pizarra el borde de un libro, una cuerda bien estirada nos dan la idea intuitiva de recta geométrica. Una recta tambien es una sucesion infinita de puntos que se extienden en ambos sentidos

Representación gráfica de una Recta

L

N o ta c ió n :

R e c ta : L L

Tambien se le puede denotar con dos letras mayúsculas ubicadas en dos puntos cualesquiera de la recta.

A B

N o ta c ió n :

R e c ta : A B A B

La Semirrecta.-Parte de una recta que tiene un inicio pero no tiene fin. Una semirrecta no contiene al punto de origen.

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Representación gráfica de una Semirrecta

O A

N o ta c ió n :

S e m ire c ta : O A O A

El Rayo.-Es una figura formada por una semirrecta y su punto de origen.

3.-El Plano.-Nos da la idea intuitiva de plano geometrico: la superficie de una mesa, de la pizarra, de las paredes del aula, no existe una definición de plano sólo se tiene la idea.Un plano es ilimitado y no tiene espesor.

Representación gráfica de un Plano

N o ta c ió n :

P la n o H : H

Segmento de Recta

Es una parte de la recta comprendida entre dos puntos, a los cuales se les denomina extremos del segmento.

A B

x

Así, en el gráfico se tiene el segmento de extremos A y B.

Notación: Segmento AB:

Longitud de un Segmento

Expresa el tamaño o medida de un segmento y resulta de la comparación del segmento con otro, que es tomado como unidad (metro).

Por ejemplo si un segmento contiene 3 veces la unidad (metro) entonces dicho segmento tiene una longitud de 3m.

Si la longitud de un segmento no se conoce, ésta convencionalmente se indicará con una letra latina minúscula. Así, del gráfico anterior, x es la longitud del segmento AB; entonces AB = x.

AB: se lee “longitud del segmento AB”

Nota:

La distancia entre dos puntos, es la longitud de segmento que tiene por extremos a dichos puntos.

Sean P1 y P2 dos puntos dados: Si P1P2 = d

P 1

P 2

d

Luego:

d: distancia entre P1 y P2

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

Es aquél punto que pertenece al segmento y que lo divide en dos segmentos parciales de igual longitud.

A B

x

M

x

Si: y AM = MB; entonces M es el punto medio de .

Ejemplos:

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1. En la siguiente gráfica:

A BM8 8

1 6

AB = 16AM = 8MB = 8

Se observa que M pertenece al segmento AB y que además divide al segmento en dos segmentos de igual longitud AM y MB.

Por lo tanto M es punto medio del segmento AB.

2. En la siguiente gráfica:

A B CM

7 11

Si M es punto medio de AC. ¿Cuál es la longitud del segmento AM?

Solución:

Al ser M punto medio del segmento AC, la longitud del segmento AM será la mitad de la longitud del segmento AC, entonces:

AC = 7 + 11 = 18

Luego:

AM = 9

Relación de Segmentos o Razón Geométrica

Es la comparación mediante el cociente de las longitudes de dos segmentos expresados en la misma unidad de medida.

El resultado de dicho cociente es el valor de la razón geométrica.

Ejemplo:

A B C D6 c m 8 c m

Sean: AB = 6cm y CD = 8cm; la razón geométrica

de y es:

De modo que: se lee: “AB es a CD como 3

es a 4”.

Segmentos Proporcionales:

Son dos pares de segmentos que tienen el mismo valor de sus razones geométricas.Ejemplo:Sean AB=6cm, CD=8cm, PQ=15cm y RS=20cm.

(Razón geométrica de y )

(Razón geométrica de y )

Entonces, y son proporcionales a y . Es decir:

NOTA:

La expresión: se puede descomponer de la

siguiente manera: AB = 4k y CD = 7k, siendo “k” una constante de proporcionalidad.

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PROBLEMAS PARA RESOLVER EN CLASE

0 1 0 2

0 40 3

0 5 0 6

0 80 7

A B C

A B

B C

A C

=

=

=

In d ic a r la lo n g itu d d e l se g m e n to A C

7 c m 1 2 c mA B C

A C

B C

A B

=

=

=

In d ic a r la lo n g itu d d e l se g m e n to A B

??

2 3 c m1 4 c m

A B C

A B

B C

A C

=

=

=

E x p re s a r la lo n g itu d d e l se g m e n to A C

x y?

A B C

A C

B C

A B

=

=

=

E x p re s a r la lo n g i tu d d e l se g m e n to A B

?a

b

A B D

A B

B C

C D

=

=

=

C a lc u la r la lo n g itu d d e l s e g m e n to A D

?

C9 7 5

A C

B D

A D

=

=

=

A B D

A C

B C

B D

=

=

=

C a lc u la r la lo n g itu d d e l s e g m e n to A D

1 9

C

A B

C D

A D

=

=

=

2 1

11

A B D

A B

B C

C D

=

=

=

E x p re s a r la lo n g itu d d e l se g m e n to A D

?

Cx y z

A C

B D

A D

=

=

=

A B D

A C

B C

B D

=

=

=

E x p re s a r la lo n g itu d d e l s e g m e n to A D

a

C

A B

C D

A D

=

=

=

c

b

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0 9 1 0

1 211

1 3 1 4

1 61 5

A B CM

1 2 2 2

N

S i: e s p u n to m e d io d e y e s p u n tom e d io d e . H a lla r la lo n g itu d d e l s eg m e n to

.

M A B NB C

M N

?

M N =

S i: e s p u n to m e d io d e , h a lla r la lo n g itu dd e l s e g m en to .

M B CA M

A B CM

11 1 8

?

A M =

A B CM

1 2

D

S i: e s p u n to m e d io d e y e s p u n tom e d io d e . H a lla r la lo n g itu d d e l seg m e n to

.

M A B NC D

M N

?

M N =

N

1 5 1 8

A B CM

2 2

D

S i: e s p u n to m ed io d e y e s p u n tom e d io d e . H a lla r la lo n g itu d d e l se g m e n to

.

M A B NC D

M N

?

M N =

N

2 4

8

A B DC1 2 cm 8 c m 1 6 cm

Te n ie n d o e n cu en ta la s ig u ie n te g rá f ic a :

H a c e r e l c á lc u lo d e la s s ig u ie n te s re la c io n es :

A BB C

B CC D

A BC D

A CB D

A B C

A B C

?

4 0?

E n la s ig u ie n te g rá fic a :

se s a b e q u e : 38

A BB C

. H a lla r la lo n g itu d d e .A B


3 5


A BB C

. H a lla r la lo n g itu d d e .A C

A B C

4 8



A BB C

. H a lla r la lo n g itu d d e y .A B B C


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ÁNGULO Es aquella figura geométrica formada por dos

rayos que tienen el mismo origen.A dichos rayos se les denomina lados y al

origen común vértice del ángulo.

O

A

B

R e g ió n in t er io rd el á n g u lo A O B

Elementos:

Lados: y Vértice: O

Notación: Ángulo AOB: AOB

Medida del ángulo AOB: mAOB

m A O B =

Sistema Sexagesimal

Es un sistema de medición angular cuya unidad de medida es el Grado Sexagesimal (1º), que se obtiene de dividir una vuelta en 360 partes iguales.

Algunos ángulos especiales:

I. SEGÚN SU MEDIDA:

1.. Ángulo nulo: Es el ángulo definido por dos semirectas que coinciden. No barre ninguna porción del plano.

AO B = 0º

2. Ángulo recto: Es el ángulo convexo definido por dos semirectas perpendiculares. ( = 90º)

A

O B3. Ángulo llano: Es cuando las dos semirectas

que lo definen tienen la misma dirección, aunque sentidos opuestos. Barre un semiplano, esto es, la mitad del plano ( = 180º)

180ºA O B .

4. Ángulo completo (de una vuelta):Es el ángulo que abarca todo el plano. ( = 360º).

3 60 º AO B

5. Ángulos agudos: Se llaman a los que son menores que un ángulo recto. ( 0º < < 90º )

O

A

Bº

6. Ángulos obtusos: Se llaman a aquellos ángulos convexos (menores que un ángulo llano) que son mayores que un ángulo recto. ( 90º < < 180º )

O

A

B

º

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7. Angulo Llano ó Rectilíneo: Es aquel ángulo cuyos rayos son opuestos es decir colineales y su medida es 180º.

8. Angulo de una Vuelta: Es aquel ángulo que se genera al girar un rayo, una vuelta completa alrededor de su origen y mide 360º.

II. SEGÚN SU POSICIÓN:1. Ángulos Consecutivos: Dos ángulos son

consecutivos, si tienen el mismo vértice un lado común y los otros lados en regiones distintas del común.

2. Ángulos Adyacentes: Denominado también par lineal, son dos ángulos consecutivos, cuyas medidas suman 180º.

OBSERVACIÓNAlgunos autores dicen que dos ángulos son adyacentes cuando tienen un lado en común solamente.

3. Ángulos opuestos por el vértice:Son dos ángulos cuyos lados forman dos pares de rayos opuestos. Estos ángulos son congruentes.

MEDIDA DE UN ÁNGULO Los ángulos se miden en grado sexagesimales (º), la medida de un ángulo se encuentra usando un instrumento llamado transportador.

60º: sesenta grados sexagesimales

m < AOB = 60º

m < AOB se lee medida del ángulo AOB

Cuando no se conoce la medida de un ángulo, se acostumbra escribir una variable (generalmente una letra griega) en la abertura, para indicar su medida.

m < AOB =

Se lee: medida del ángulo AOB igual a ella

m < MPQ = Se lee: medida del ángulo MPQ igual a beta

Algunas letras del alfabeto griego son:

Símbolo Nombrealfabeta sigma

gamma phitheta omega

pi

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Ejemplo:

Nombre Designación Vértice LadosÁngulo AOB AOB O OA y OB

Empleo del transportador

El transportador es un instrumento que sirve para medir o trazar ángulos.Observa como se mide con el transportador el ángulo BAC de este recuadro.

1.- Se ubica el transportador de modo que su centro coincide con el vértice A del ángulo.

2.- Se hace pasar un lado del ángulo por la medida 0º del transportador.

3.- Se identifica en el transportador el número por el que pasa el otro lado del ángulo. Ese número es la medida del ángulo en grados.

PROBLEMAS DE APLICACIÓN 01. Usando el transportador clasifica cada ángulo

según la medida.

M <AOB = ………. El < AOB es .................

M <BOC = ………. El < BOC es .................

M <COD = ………. El < COD es .................

M <BOD = ………. El < BOD es .................

M <AOC = ………. El < AOC es .................

M <AOD = ………. El < AOD es .................

02. Aplica la propiedad del ángulo llano y del ángulo de una vuelta y completa lo que falta.

- ................................ = 180º

- ................................ = 180º

- ................................ = 180º

- ................................ = 180º

-................................. = 180º

-

03. Mide con un transportador cada uno de los siguientes ángulos y escribe la medida que corresponde en cada caso:

m<MAN= ...................................

m<DEF= .....................................

m<GHI= ......................................m<PQR= ......................................

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m<BAC=......................................

m<MNT= ......................................

04. Usa el transportador para calcular las medidas de los siguientes ángulos.

m < AOB = .................. m < AOC = .................

m< BOC = .................. m < BOD = .................

m<COD = .................. m < BOE = .................

m<DOE = .................. m < AOD = .................

m <COE = .................. m < AOE = .................

05. Mide con el transportador cada uno de los siguientes ángulos y realiza las operaciones que se indican.

m < POQ = ...................

m < QOR = .................

m < POQ + m <QOR = ..................

m < POQ - m <ROS = ..................

m < POQ + m <QOR + m < ROS = ..................

06. Observa los ángulos que forman estas rectas y completa:

Ejemplo:

El CAB es opuesto por el vértice con el DAE

El CAD es opuesto por el vértice con el .............

El HEG es opuesto por el vértice con el …………….

El …….es opuesto por el vértice con el HEL

Ejemplo:

m( CAB) = m( DAE)=30º CAB = DAE

m( HEG)=............... HEG=............

m( BAE)=............... BAE=.............

m( HEI)=................. HEI= ...........

07. Aplicando las propiedades del ángulo llano y de los ángulos opuestos por el vértice, calcula los ángulos que faltan.

01. Aplica la propiedad del ángulo llano y halle el valor de x.

60º x 180ºx 120º

Rpta

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BISECTRIZ DE UN ÁNGULO Definición: Es el radio que partiendo del vértice divide al ángulo en dos ángulos congruentes.

Bisectriz del

OM

Divide al AOB en dos ángulos el ángulo AOM y el ángulo MOB que son congruentes por tener la misma medida “ ”.

Luego: OM

es bisectriz del AOB

Como trazar una bisectriz usando regla y compasPor Ejemplo deseamos trazar la bisectriz del ángulo ABC. Se produce de la siguiente manera:

1er Paso: Ubica la punta del compas en el vértice B y con una abertura que desea, dibuja un marco que cortara a ambos lados en M y N.

2do Paso: Con la punta del compas en M y luego en N, con una misma abertura dibuja 2 arcos que se cortaran en P.

3er Paso: Une el vértice B con el punto P y obtendrá la bisectriz del ABC

PROBLEMAS PARA RESOLVER EN CLASE

01. Si es bisectriz, calcular “x”a)

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Solución:

b)

Solución:

c)

Solución:

d)

Solución:

e)

Solución:

02. Calcular “x” si

a) 10°b) 15°c) 25°d) 30°e) 40°

PROBLEMAS PARA RESOLVER EN CASA

01. Si es bisectriz, calcular “x”

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02. Si es bisectriz, calcular “x”

03. Si es bisectriz del ángulo AOB, calcular el “x”

a) 10°b) 15°c) 20°d) 12°e) 19°

04. Si , hallar

a) 100°b) 110°c) 105°d) 125°e) 135°

05. Calcular “x”, si :

OM Bisec triz de BOC

ON Bisec triz de AOB

a) 30°b) 45°c) 60°d) 75°e) 90°

06. Si es bisectriz del , hallar

a) 90 b) 45

c) d) 2

e)2

AUTOEVALUACIÓN 01. Según el gráfico, calcule la

mAOC+mBOD.

A

O

BC

D

4 1º 3 3º2 2 º

A. 96ºB. 63ºC. 129º

51

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D. 121ºE. 140º

02. Calcule la medida del ángulo BOC.

54 º 26 ºx

A

BC

D

A. 80ºB. 140ºC. 90ºD.110ºE. 100º

03. Según el gráfico, calcule x.

4x3x 2x

A. 25ºB. 20ºC. 35ºD. 30ºE. 40º

04. Según la figura, calcule x.

3x2x

x

A. 10ºB. 5ºC. 15ºD. 20ºE. 30º

05. Según la figura, calcule la mBOD.

A O

BC

D44 º 31 º

x

A. 62ºB. 75ºC. 115ºD. 136ºE. 130º

06. Según el gráfico, calcule x.

5k4k 3k

A

B C

DO

x

A. 15ºB. 135ºC. 105ºD. 120ºE. 108º

07. Según el gráfico, mAOB=40º, mBOC=30º, siendo bisectriz del BOC; calcule la medida del ángulo AOM.

A

B

CO

xM

A. 50ºB. 55ºC. 60ºD. 65ºE. 70º

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08. Según el gráfico, calcule x, si mBOD=40º y

AB

C

DO

x

A. 25ºB. 30ºC. 35ºD. 40ºE. 45º

DIVISORES DEL GRADO

Existen dos métodos para conseguir mayor precisión en la medida de un ángulo: el sistema decimal, que consiste simplemente en obtener decimales del grado, que es el método que utiliza el transportador de ángulos, o el sistema sexagesimal, que consiste en dividir el grado en 60 partes, en 60 minutos (60º) y cada minuto en 60 segundos (60º).

Suma de ángulos en el sistema sexagesimal.

La medida del tiempo, igual que los ángulos, se realiza en el sistema sexagesimal. Analicemos el siguiente problema:Luis es un corredor de maratón que para entrenarse corrió dos días seguidos una maratón. Obtuvo los siguientes registros: el primer día corrió la maratón en 2 h 48’ 35’’; el segundo día, en 2 h 45’ 30’’. ¿Cuánto tiempo corrió Luis en ambos días?Si sumamos por separado las horas, los minutos y los segundos, resulta:

2h48 '35 ''2h45 '30 ''4h93 '65 ''

Pero 65 segundos equivalen a 1 minuto (60 según dos) y 5 segundos, luego la suma se puede escribir así: 4h 94’ 5’’

De la misma forma, 94’ equivalen a 1 hora y 34 minutos. Luego la suma es: 5h34’5’’.Los mismos procedimientos hay que realizar para sumar ángulos.

Para sumar medidas de ángulos:

- Se colocan los sumandos de manera que queden en una misma columna los grados, en otra los minutos y en otra los segundos.

- Se suman los segundos con los segundos, los minutos con los minutos y los grados con los grados.

- Si una vez sumados los segundos son más de 60 se pasan a minutos.

Si una vez sumados los minutos son más de 60 se pasan a grados.

Resta de ángulos en el sistema sexagesimal.

Luis había corrido 2h 48’ 35’’ en la primera carrera, un compañero de Luis corrió la maratón en 3 horas exactamente. ¿Cuál es la diferencia de tiempo entre ambos?.Debemos hacer la siguiente operación:

3h 0 ' 0 ''2h48 '35 ''

igual que en la suma deberíamos restar por separados las horas los minutos y los segundos, pero no podemos hacer las restas 0 – 35 (segundos) ni 0 – 48 (minutos). Para conseguirlo transformamos una hora en 60 minutos y un minuto en 60 segundos. Es decir las 3 horas se convierten en 2h 59’ 60’’

2h59 '60 ''2h48 '35 ''0h11'25 ''

Para restar medidas de ángulos:

- Se colocan los sumandos de manera que queden en una misma columna los grados, en otra los minutos y en otra los segundos

- El número de segundos del minuendo es menor que el número de segundos del sustraendo se resta un minuto a los minutos del sustraendo y se suman sesenta segundos a los segundos de dicho sustraendo.

- Si el número de minutos del minuendo es menor que el número de minutos del sustraendo se resta un grado a los grados del sustraendo y se suman sesenta minutos a los minutos de dicho sustraendo.

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YCE

PED

REGA

L - C

alle

: Yan

ahua

ra J7

- J8

(al c

osta

do d

e Ra

dio

la U

nión

) Tel

éfon

o: 5

8621

7



- Se restan los grados con los grados, los minutos con los minutos y los segundos con los segundos.

PROBLEMAS PARA LA CLASE 01. Efectuar la siguiente suma:

02. Efectuar la siguiente suma:

29º 44 '26 ''12º 25 ' 46 ''

03. Efectuar la siguiente resta:

52º 25 ' 47 ''28º16 '11''


46º 51'32''38º 32'51''


32º 26 '33 ''42º 31'21''


37º15 '31'45º 48 '53 '



54º 21'33º 28 ' 44 ''

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

Dos ángulos se llaman complementarios si suman 90º, (un ángulo recto.)

90º

Por ejemplo, un ángulo de 40º con otro de 50º serán complementarios, debido a que 40º+50º=90º; además se dice que uno es el complemento del otro, es decir, 40º es el complemento de 50º y viceversa.

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B

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CAM

ANÁ

Jirón

Com

ercio

262

– 26

4 – (

a un

a cu

adra

y m

edia

de

la P

laza

de

Arm

as) T

elf.

5720


¿Serán complementarios un ángulo de 26º con otro de 64º? ¿Por qué?____________________________________________________________________________________

De los siguientes pares de ángulos diga quienes son complementarios y quienes no lo son:

a) 37º y 53º ……………………..

b) 22° y 77° ……………………..

c) 57° y 42° …………………….

d) 30° y 60°………………………

e) 16° y 74° …………………………

COMPLEMENTO DE UN ANGULO Es lo que le falta a un ángulo para medir 90°

Si quisiéramos encontrar el complemento de 63º ¿Qué operación tendríamos que realizar? ..... claro una resta.

¿Y cual será dicha resta? Pues a 90º habría que restarle 63º, obteniendo como resultado 27º ; y se dice que el complemento de 63º es 27º

Formula General para hallar el Complemento de cualquier ángulo

C 90

: Se lee : Complemento del Angulo

Nota :

Xx"n"veces

x si :n parC.C.C...C

C si : n impar

Entonces, calcula lo siguiente:

a. Complemento de 72º =

b. Complemento de 13º =

c. Complemento de 38º =

d. Complemento de =

e. Complemento de 2 =

f. Complemento de 62º30’=

g. Complemento de 21º 41'22 '' =

h. Complemento de 52º 43 '17 '' =

i. Complemento de 53º 41’ 23’’=

j. Complemento de 45º 15’’ =

k. Complemento de 47’28’’ =

l. Complemento de 44’’ =

Ángulos Suplementarios

Dos ángulos se llaman suplementarios si sumas 180º, un ángulo llano.

180º

Por ejemplo, un ángulo de 130º con otro de 50º serán suplementarios, debido a que 130º+50º=180º, además se dice que es el suplemento del otro, es decir, 130º es suplemento de 50º y viceversa.

¿Serán suplementarios un ángulo de 123º con otros de 67º? ¿Por qué?____________________________________________________________________________________

Si quisiéramos encontrar el suplemento de 58º ¿Qué operación tendríamos que realizar? ... claro otra resta.

¿Y cual sería dicha resta? Pues a 180º habría que restarle 58º, obteniendo como resultado 122º, y se dice que 58º y 122º son suplementarios.

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L - C

alle

: Yan

ahua

ra J7

- J8

(al c

osta

do d

e Ra

dio

la U

nión

) Tel

éfon

o: 5

8621

7



SUPLEMENTO DE UN ANGULO Es lo que le falta a un ángulo para medir 180°

Si quisiéramos encontrar el Suplemento de 120º ¿Qué operación tendríamos que realizar? ..... claro una resta.

¿Y cual será dicha resta? Pues a 180º habría que restarle 120º, obteniendo como resultado 60º ; y se dice que el Suplemento de 120º es 60º

Formula General para hallar el suplemento de cualquier ángulo.

: Se lee Suplemento del Angulo

Nota :

Xx"n"veces

x si :n parS.S.S...S

S si : n impar

Entonces, calcula lo siguiente:

a. Suplemento de 127º =

b. Suplemento de 46º =

c. Suplemento de 73º =

d. Suplemento de =

e. Suplemento de 3 =

f. Suplemento de 69º30’=

g. Suplemento de 75º 42'56 '' =

h. Suplemento de 123º 35’ 25’’ =

i. Suplemento de 49º 28’ 36’’ =

j. Suplemento de 137º 47’ =

k. Suplemento de 28’ 39’’ =

l. Suplemento de 23’’ =

PROBLEMAS APLICATIVOS SOBRE COMPLEMENTO Y SUPLEMENTO DE UN

ANGULO 01. Calcular el complemento del suplemento de

132º

02. Calcular la mitad de triple del complemento del suplemento del doble de 54º.

03. El suplemento del complemento de un ángulo es igual a 128º. Calcular la medida del ángulo.

04. Si el suplemento de un ángulo más el complemento del mismo ángulo es igual al triple de dicho ángulo; calcular la medida del ángulo.

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B

ryce

CAM

ANÁ

Jirón

Com

ercio

262

– 26

4 – (

a un

a cu

adra

y m

edia

de

la P

laza

de

Arm

as) T

elf.

5720


05. Calcular; el suplemento del complemento de 52º.

06. Calcular el complemento del doble del triple del suplemento del triple del complemento de la mitad del complemento del doble del suplemento de 169º.

07. El complemento del suplemento de un ángulo es igual al suplemento de 144º. Calcular la medida del ángulo.

08. Si la diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo es igual al suplemento del triple de dicho ángulo calcular la medida del ángulo.

AUTOEVALUACION FINAL 01. Hallar el valor de x.

02. Hallar el valor de x.

03. Encontrar “x” si mAOD=100º, mAOC +mBOD=130º

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- J8

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la U

nión

) Tel

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04. Hallar el suplemento del complemento del complemento de 50º

05. ¿Cuánto mide un ángulo, si la diferencia entre el suplemento y su complemento es igual a cuatro veces el ángulo?

06. Hallar el valor de x

07. Hallar el valor de x

EUCLIDES: PADRE DE LA GEOMETRÍA

Euclides de Alejandría fue, sin duda, el matemático más famoso de la antigüedad clásica.

Sobre su vida se sabe muy poco, no hay registros escritos sobre ella, pero se piensa que nació en Grecia alrededor del año 325 a.C. y que murió en la ciudad egipcia de Alejandría en el año 265 a.C.

Fue fundador de la escuela de matemáticas del Museo de Alejandría y se piensa que, probablemente, estudió física, astronomía y matemáticas en la Academia platónica de Atenas.

La impresionante obra de Euclides comprende cientos de trabajos que abarcan prácticamente todos los campos de las matemáticas y muchos de la física de su tiempo. Afortunadamente, varios de ellos han llegado hasta nuestros días; los más importantes son: "Los Elementos" en trece libros; "Los Datos", "La División de las Figuras", "Los Fenómenos" y "La Óptica".

Su obra más importante es "Los Elementos" que es un compendio y una sistematización de toda la geometría que se había desarrollado hasta esa época. Esta obra además de ejercer una enorme influencia en el pensamiento científico y matemático de todas las épocas, determinó la enseñanza de la geometría hasta nuestros días.

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3 - geometria 1ro

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