3 f reales elementales

Introducción al Cálculo Infinitesimal. I.T.I. de SISTEMAS.

Funciones reales de una variable real.-

3.- Primeros conceptos, las funciones elementales.

Concepto de función real de una variable real.-

Sea R el conjunto de los números reales, una función real f (x) es una aplicación definida sobre un subconjunto D de R y con valores en R, es decir a cada elemento x de D le corresponde un único valor f(x) de R.

Dominio y recorrido y gráfica de f.-

Sea f una función real de variable real.

El dominio de f, que se representa por D o Dom(f), es el conjunto de números reales x para los cuales f(x) es real.

La imagen o recorrido de f, representada por Im(f) , es el conjunto de números reales y para los que existe x, con y = f(x).

Por ejemplo = ( )f x − x2 x es una función real definida sobre todo R. Como se puede comprobar a cada número real x le corresponde otro también real f(x) que además es único. El dominio de esta función será todo R y su recorrido Im(f) = [

,−14

∞) .

Cuando obtenemos la imagen de un elemento del dominio de f(x) decimos que obtenemos un valor numérico, por ejemplo f(1) = 0 o f(2) = 2.

La gráfica de una función real es una curva plana, formada por todos los puntos de la forma (x,f(x)).

Mirando la gráfica de una función se pueden identificar su dominio e imagen. Si = x a es un punto del dominio, la recta vertical trazada en = x a corta a la gráfica en un único punto. Si = y b es un punto de la imagen, la recta horizontal trazada en = y b

puede cortar a la gráfica en más de un punto.

Para definir esta función en Maple se puede hacer:> restart:with(plots): f:= x -> x^2-x; Valor_numerico=f(5);

print("Grafico de f(x)"); plot(f,-3..4); print("Dominio = R , Recorrido= [-1/4,infinito)");

:= f → x − x2 x = Valor_numerico 20

"Grafico de f(x)"

"Dominio = R , Recorrido= [-1/4,infinito)"

Veamos el gráfico animado de una cúbica.> restart:with(plots): trazado:=proc(f,a,b) local g: g:=unapply(f,x): animate([a+(b-a)*t*s,g(a+(b-a)*t*s),s=0..1],t=0..1,color=magenta,thickness=2,frames=50) end: trazado(x^3-x^2-2*x+6,-6,6);

El gráfico de una función real de una variable real, es una curva plana.

Pero no toda curva plana es la gráfica de una función. Por ejemplo, la siguiente curva, de ecuación = + x2 y2 1, no es la gráfica de ninguna función puesto que en el punto x=0 de su dominioD = [-1,1] tenemos dos de su recorrido f(0) = 1 pero también, f(0) = -1. Si trazo una recta por un punto de su dominio sólo debe cortar a la gráfica en un punto, cosa que hemos visto que aquí no se cumple.

Nota:Lo que es evidente es que la expresión anterior es un circunferencia y que de alguna manera tendremos que tratarla dentro de las funciones, pero eso ya lo veremos más adelante.> restart:plot([1,theta,theta=0..2*Pi],-2..2,-2..2,

coords=polar, color=navy, thickness=2, scaling=constrained);

> ;

Ejemplos.-

1. Una función constante = ( )f x k tiene como dominio todo R y su imagen es un único punto k. (Su gráfica es una recta horizontal situada a altura k.)

2. Para la función = ( )f x + x2 1, el dominio es todo R y la imagen es el intervalo [1,∞).

3. La función raíz cuadrada es = ( )f x x , donde x se define como el único número y, mayor o igual que cero, tal que = y2 x, tiene como dominio [0, ∞) y como imagen este mismo conjunto. Por ejemplo, antes usamos la ecuación de la circunferencia

= + x2 y2 1, si despejamos la y queda: = y2 − 1 x2 de donde, y = + - − 1 x2 , con doble signo, entonces por un lado tenemos = y − 1 x2 e = y − − 1 x2 por otro, que son dos verdaderas

funciones independientes pero simétricas entre sí. Cuando nos encontremos con = y − 1 x2 se refiere exclusivamente a la raíz cuadrada positiva del radicando.

Ejercicios.-

Determina el dominio e imagen (recorrido) de las funciones siguientes:

a) = ( )f x1

− + x2 2 x 1 b) = ( )f x − 1 x2 c)

= ( )f x − 4 x2

x d) = ( )f x − x2 16

e) = ( )f x ( )sin x f) = ( )f x⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟ln

+ x 2 + x 1

g)

= ( )f x( )ln + x 2

− x2 4 h) = ( )f x

− + x2 2 x 1

− x2 9Los resultados los podemos comprobar con Maple.> restart:with(plots): f:= x -> 1/(x^2-2*x+1); print("Grafico de a) f(x)"); plot(f,-infinity..infinity,0..10);

:= f → x1

− + x2 2 x 1"Grafico de a) f(x)"

Función par e impar

Sea f una función real de variable real, diremos que:

f es par si = ( )f −x ( )f x para todo x del dominio de f.

f es impar si = ( )f −x − ( )f x para todo x del dominio de f.

La gráfica de una función par es simétrica respecto del eje OY.

La gráfica de una función impar es simétrica respecto al origen de coordenadas.

Es importante resaltar que una función f(x) puede que ni sea par ni sea impar.

Ejemplos:La función = ( )f x x2 es par y f(x) = cos(x) también.

La función = ( )f x x3 es impar y f(x) = sen(x) también.> restart:with(plots): d1:=plot(x^2,x=-2 .. 2,y=0..2,tickmarks=[0,0],color = red,title="x^2 es PAR",scaling=constrained): d2:=plot( x^3,x=-2 .. 2,y=-2..2,tickmarks=[0,0],title=" x^3 es IMPAR",color = blue,scaling=constrained): d3:=plot(cos(x),x=-Pi ..Pi,tickmarks=[0,0],title=" coseno es PAR",color = green,scaling=constrained): d4:=plot(sin(x),x=-Pi ..Pi,tickmarks=[0,0],title="seno es IMPAR",color = maroon,scaling=constrained): display(array([[d1,d2],[d3,d4]]));

Ejercicios.

Estudia si las siguientes funciones son pares o impares:

a) = ( )f x ( )ln x2 b) = ( )f x( )sin x( )cos x

c) = ( )f x − 5 x2 d) = ( )f x + x4 x2

+ x5 x3

Función periódica.

Sea f(x) una función real de variable real, diremos que es periódica si existe ≠ T 0 tal que = ( )f + x T ( )f x para todo x del dominio de f.

Al mínimo valor de T que verifica la propiedad anterior se le denomina periodo de f.

> restart:with(plots): p1:=plot(sin(x),x=0 .. Pi/2,tickmarks=[0,0],color = red,title="Seno x ",scaling=constrained): p2:=plot(sin(x),x=0 ..6*Pi,tickmarks=[0,0],title=" Seno x",color = blue,scaling=constrained): p3:=plot(cos(x),x=0 ..Pi/2,tickmarks=[0,0],title=" Coseno x",color = green,scaling=constrained): p4:=plot(cos(x),x=0 ..6*Pi,tickmarks=[0,0],title="Coseno x",color = maroon,scaling=constrained): display(array([[p1,p2],[p3,p4]]));

Vamos a ver de forma animada esto de la periodicidad de la función seno, por ejemplo.> restart:with(plots):

trazado:=proc(f,a,b) local g: g:=unapply(f,x): animate([a+(b-a)*t*s,g(a+(b-a)*t*s),s=0..1],t=0..1,color=magenta,thickness=2,tickmarks=[[0,3.14/2,3.14,3*3.14/2,2*3.14],[-1,1]],frames=50) end: trazado(sin(x),0,2*Pi);

> restart:with(plots): g1:=plot(sin(x),x=0..2*Pi,color=magenta,tickmarks=[[0,3.14,2*3.14],[-1,1]]):g2:=plot(sin(x),x=2*Pi..4*Pi,color=blue): g0:=plot(sin(x),x=-2*Pi..0,color=green):display(g1,g2,g0);

Crecimiento y decrecimiento.

Sea f una función real de variable real y sea B un subconjunto de su dominio. Se dice que:

• f es creciente en B si para todo par de puntos de B, x1, x2 con x1

< x2 es ≤ ( )f x1 ( )f x2 .

• f es estrictamente creciente en B si para todo par de puntos de B, x1, x2 con x1< x2 es < ( )f x1 ( )f x2 .

• f es decreciente en B si para todo par de puntos de B, x1, x2 con x1< x2 es ≤ ( )f x2 ( )f x1 .

f es estrictamente decreciente en B si para todo par de puntos de B, x1, x2 con x1< x2 es < ( )f x2 ( )f x1 .

Cuando una función constantemente mantiene el crecimiento/decrecimiento en un intervalo de su dominio, se dice que es Monótona en él.

Valores extremos de una función.

Sea f una función real definida sobre un conjunto D, y sea p un punto de D:

• En x = m hay un mínimo relativo si para todo x de un entorno de m contenido en D es ≤ ( )f m ( )f x .

• En x = M hay un máximo relativo si para todo x de un entorno de M contenido en D es ≤ ( )f x ( )f M .

• En x= a la función f alcanza el valor mínimo absoluto de f en D si para todo x de D es ≤ ( )f a ( )f x .

• En x= b la función f alcanza el valor máximo absoluto de f

en D si para todo x de D es ≤ ( )f x ( )f b .Una función puede presentar en su dominio uno o varios máximos y mínimos relativos o bien puede no presentar ninguno.

El valor máximo o el mínimo absoluto de una función en su dominio, si existe es único, aunque se puede alcanzar en más de un punto.

Función acotada .

Sea f una función real de variable real, diremos que:

f está acotada superiormente en un conjunto D si la imagen f(D) es un subconjunto acotado superiormente de R. Es decir, si existe un número real K tal que ≤ ( )f x K para todo x del conjunto D.

f está acotada inferiormente en un conjunto D si la imagen f(D) es un subconjunto acotado inferiormente de R. Es decir, si existe un número real K tal que ≤ K ( )f x para todo x del conjunto D.

Una función f está acotada en D si lo está superior e inferiormente o, lo que es equivalente, si existe un número K tal que

≤ ( )f x K para x perteneciente a D.

Ejemplos.

1) La función f(x) = Sen(x) est acotada en su dominio R pues siempre será: ≤ ( )sin x 1.

2) La función f(x) = x + x2 1

tambien está acotada ya que puede

observarse que siempre es < x

+ x2 11 , pues sea cual sea el

valor x real siempre el denominador es mayor que el numerador.

3) La función f(x) = 1x no está acotada en su dominio.

> restart:with(plots): plot(x/(x^2+1),x=-infinity..infinity); print(`El ejemplo 2º`); a2:=plot(x/(x^2+1),x=-8..8): a3:=plot(1,x=-8..8,color= magenta): a4:=plot(-1,x=-8..8,color= magenta): display({a2,a3,a4});

El ejemplo 2º

> restart:with(plots): plot(1/x,x=-infinity..infinity); print(`El ejemplo 3º`);

El ejemplo 3º

Ejercicios.

Estudiar si las siguientes funciones están acotadas en los intervalos que se dan.a) = ( )f x − x3 2 x2 en su dominio y en el intervalo [-1,1].

b) = ( )f x1

− x4 2 x3 en el intervalo (0,1], en [1,2) y en [-1,1].

c) = ( )f x − 9 x2

− 1 x2 en su dominio.

d) = ( )f x ( )cos x en ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥,

π4

π3

.

Función inversa.

Una función g es la inversa de la función f si las funciones compuestas gof y fog son la identidad. Es decir, para todo x del dominio de f es = ( )g ( )f x x y si x es del dominio de g es

= ( )f ( )g x x.Denotaremos esta función g por f( )−1

Aviso: No te equivoques: ≠ ( )( )f( )−1 x1

( )f x .

Teorema: Si f(x) es una función inyectiva definida en un conjunto D (es decir ≠ ( )f x ( )f y siempre que x e y sean elementos distintos de D) entonces existe la función inversa g definida sobre la imagen f(D) y con valores en D.

Propiedades.• Si g es la inversa de f, entonces f es la inversa de g.

• Si f es estrictamente monótona (creciente o decreciente) en un conjunto D, entonces podemos garantizar que f es inyectiva y, por tanto que admite inversa en D.

• El dominio de f( )−1 es la imagen de f y la imagen de f( )−1 es el domino de f.

• Una función puede no tener inversa, pero si la tiene dicha inversa es única.

• En la gráfica de la función f( )−1 , el eje OY juega el papel que en la gráfica de f jugaba OX. Por eso ambas gráficas son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante.

Método de cálculo de la función inversa.

Para calcular la inversa de una función f se puede seguir el siguiente procedimiento:

1. Escribir = y ( )f x y despejar x en esta ecuación, así tendremos x en función de y: = x ( )g y .2. Cambiar el nombre de las variables, donde pone x ponemos y y donde pone y ponemos x.

3. Definir el dominio de la inversa como la imagen de f.

4. Comprobar que = ( )( )f( )−1 ( )f x x = ( )( )f f( )−1 x .

Ejemplo.

Sea f(x) = x2es decir = y x2 1) despejo la x: = x y , sólo considero la rama positiva 2) intercambio las variables: = y x .

La inversa buscada es = ( )g x x

Esta que acabamos de hacer es la función inversa del arco x > 0 de y =x2 la función inversa del otro arco será = ( )g x − x

Ejercicio.1. f(x) = ( )ln x y g(x)= ex son ejemplos claros de funciones inversas entre sí.

> plot({exp(x), ln(x),x}, x=-3..4, y=-3..4,scaling=constrained);

Las funciones elementales.-

Son las funciones básicas de las que se componen la mayor parte de las funciones que nos encontraremos.

Funciones exponenciales.Son funciones del tipo f(x) = ax donde a es un número real y positivo, y hay que diferenciar básicamente dos familias: a<1 o a>1. Veamos sus gráficos cuando a>1.> restart:with(plots): f1:=plot((3/2)^x,x=-3 .. 2,tickmarks=[0,0],color = red,title="(3/2)^x ",scaling=constrained): f2:=plot(2^x,x=-3 ..

2,tickmarks=[0,0],title=" 2^x",color = blue,scaling=constrained): f3:=plot(3^x,x=-3 .. 2,tickmarks=[0,0],title=" 3^x",color = green,scaling=constrained): f4:=plot(10^x,x=-3 .. 2,tickmarks=[0,0],title="10^x",color = maroon,scaling=constrained): print("Casos a >1"); display(array([[f1,f2],[f3,f4]]));

"Casos a >1"

Se observa que todas son continuas en todo su dominio R, todas pasan por (0,1), son crecientes y que lo hacen más rpidamente cuanto mayor es la base. Entre ellas está f = expuesto que e = 2,7182.... ya la representamos antes.

Veamos el caso en el que a<1.

> restart:with(plots): f1:=plot((1/3)^x,x=-2 .. 3,color = red,title="(1/3)^x ",scaling=constrained): f2:=plot(1/2^x,x=-2 .. 3,tickmarks=[0,0],title=" (1/2)^x",color = blue,scaling=constrained): f3:=plot(1/5^x,x=-2 .. 3,tickmarks=[0,0],title=" 1/5)^x",color = green,scaling=constrained): f4:=plot(1/10^x,x=-2 .. 3,tickmarks=[0,0],title="(1/10)^x",color = maroon,scaling=constrained): print("Casos a <1"); display(array([[f1,f2],[f3,f4]]));

"Casos a <1"

Todas son continuas en todo su dominio R, todas pasan por (0,1), son decrecientes y que lo hacen más rápidamente cuanto menor es la base.

Función logarítmica.-

Nos vamos a limitar a la función logaritmo neperiano: f = ln(x).Observamos que: D = (0,∞) , que = ( )ln 0 −∞ ( hay que entenderlo como 0 por la derecha ) , que ln(1) = 0, ln(e) =1 y

= ( )ln ∞ ∞

> restart:with(plots): plot(ln(x),x=0.01 .. 6,color = red,title="ln(x) ",scaling=constrained);

Funciones trigonométricas o circulares.

El alumno debe estudiar dominios, recorridos, periodos,

discontinuidades etc.

> restart:with(plots): plot(sin(x),x=-2*Pi .. 2*Pi,tickmarks=[[0,3.14/2,3.14,3*3.14/2,2*3.14],[-1,1]],color = red,title="seno ",scaling=constrained); plot({sin(x),csc(x)},x=-2*Pi .. 2*Pi,y=-3..3,tickmarks=[[0,3.14/2,3.14,3*3.14/2,2*3.14],[-1,1]],title="Los graficos comparados del seno y la cosecante",discont=true,scaling=constrained);

> restart:with(plots): plot(cos(x),x=-2*Pi .. 2*Pi,tickmarks=[[0,3.14/2,3.14,3*3.14/2,2*3.14],[-1,1]],color = gold,title="coseno ",scaling=constrained); plot({cos(x),sec(x)},x=-2*Pi .. 2*Pi,y=-3..3,tickmarks=[[0,3.14/2,3.14,3*3.14/2,2*3.14],[-1,1]],title="Los grficos comparados del coseno y la secante",discont=true,scaling=constrained);

> restart:with(plots): plot(tan(x),x=-2*Pi .. 2*Pi,y=-4..4,tickmarks=[[0,3.14/2,3.14,3*3.14/2,2*3.14],[-1,1]],discont=true,color = red,title="Tangente ",scaling=constrained); plot({tan(x),cot(x)},x=-2*Pi .. 2*Pi,y=-3..3,tickmarks=[[0,3.14/2,3.14,3*3

.14/2,2*3.14],[-1,1]],title="Los grficos comparados de la tangente y la cotangente",discont=true,scaling=constrained);

Funciones circulares inversas.

En ellas, se intercambian dominios con recorridos, de modo que por ejemplo el Arcsen(x) tiene de dominio [-1,1] y de recorrido R, lo que representamos a continuación son los arcos principales,

ahora la periodicidad la tienen sobre el eje de ordenadas.

> restart:with(plots): a1:=plot(arcsin(x),x=-1 .. 1,y=-Pi..Pi,tickmarks=[0,0],color = red,title="Arcoseno ",scaling=constrained): a2:=plot({x,sin(x),arcsin(x)},x=-Pi .. Pi,y=-Pi..Pi,tickmarks=[0,0],color = [black,red,blue],title="Los graficos comparados del seno y el arcsen",discont=true,scaling=constrained): display(array([a1,a2]));

> restart:with(plots): plot(arccos(x),x=-1 .. 1,color = red,title="ArcCos ",scaling=constrained);

> restart:with(plots): plot(arctan(x),x=-2*Pi .. 2*Pi,color = red,title="ArcTan ",discont=true,scaling=constrained);

Funciones hiperbólicas.

Estas funciones tienen nombres semejantes a las circulares pero son muy diferentes a ellas, aunque tienen algunas similitudes, vamos a definirlas:

senh(x) = − ex e( )−x

2 ; cosh(x) =

+ ex e( )−x

2; tanh(x) =

( )senh x( )cosh x

;

cosech(x) = 1( )senh x

; sech(x) = 1( )cosh x

; coth(x) = 1( )tanh x

.

Pero su relación fundamental, es : − ( )cosh x 2 ( )senh x 2= 1 .

> plot(sinh(x),x=-4..4,color = gold,title="Seno hiperbólico "); plot(cosh(x),x=-4..4,color = gold,title="Coseno hiperbólico "); plot(tanh(x),x=-4..4,color = gold,title="Tangente hiperbólica ");

Función valor absoluto.

f(x) = x está definida como -x si ≤ x 0 y x si < 0 x y su gráfica es como sigue:

> restart:with(plots):f:=x->PIECEWISE([-x,x<=0],[x,x>0]);plot(f,-1..1);

:= f → x { −x ≤ x 0x < 0 x

Un ejercicio que ayuda a entender el concepto de valor absoluto es el que sigue:

Representar las funciones: = f1 ( )ln x ; = f2 ( )ln x ; = f3 ( )ln x ; = f4 ( )ln x> restart:with(plots): l1:=plot(ln(x),x=0.01 .. 6,tickmarks=[0,0],color = red,title="ln(x) ",scaling=constrained): l2:=plot(ln(abs(x)),x=-6 .. 6,tickmarks=[0,0],color = blue,title="ln|x| ",scaling=constrained): l3:=plot(abs(ln(x)),x=0 .. 6,tickmarks=[0,0],color = green,title="|ln(x)| ",scaling=constrained): l4:=plot(abs(ln(abs(x))),x=-4 ..

6,tickmarks=[0,0],color = maroon,title="|ln|x|| ",scaling=constrained): display(array([[l1,l2],[l3,l4]]));

Las funciones potenciales.

Son funciones del tipo = f xn como por ejemplo: x2 , x5 , x( )−1 , x( )−2 cuyos gráficos vamos a dibujar.

En primer lugar, vamos a dibujar las del tipo xpar , partimos de la x2y vamos aumentando sus potencias manteniendolas siempre par.

Las gráficas que siguen están animadas.> with(plots): display(plot(x^2,x=-3..3,y=-1..4,color=green),animate(x^(2+2*t),x=-3..3,t=0..3, color=red));

Ahora las de exponente impar.> with(plots): display(plot(x^3,x=-2..2,y=-3..3,color=green),animate(x^(3+2*t),x=-2..2,t=0..3, color=red));

Ahora las de exponentes negativos impares.> with(plots):

display(plot(x^(-1),x=-2..2,y=-3..3,color=green),animate(x^(-1-2*t),x=-2..2,t=0..3, color=red));

Ahora las de exponentes negativos pares.> with(plots):

display(plot(x^(-2),x=-2..2,y=0..3,color=green),animate(x^(-2-2*t),x=-2..2,t=0..3, color=red));

EJERCICIOS.

1.- Calcula el dominio de f(x) = ArcCos( − x2 4).

Sabemos que f(x) = ArcCos(x2-4) <=> Cos (f(x)) = x2-4 y como cos(x) esta definido en [-1,1 ] => -1 <= x^2-4 <= 1<=> -1+4 <= x2 <= 1+4 <=> ≤ 3 x2 y ≤ x2 5.

De ≤ 3 x2 => 3 <= ≤ x − 3 y de ≤ x2 5 => ≤ x 5 ; ≤ − 5 x por lo tanto las soluciones son los valores reales tales que: [− 5,− 3]U[ 3, 5].

2.- Calcula el dominio de f(x)= lg[sen(x)].

Este dominio obtenerlo observando donde sen(x) > 0 <=> x debe pertenecer a ( 0, π )U(2 π, 3 π)U ... U (2 n π, ( ) + 2 n 1 π)U( ,−2 π −π)U...U(

,−2 n π ( )− + 2 n 1 π).

3.- Determina el dominio de = ( )f x xx.

Esta funcion equivale a esta otra: log f(x) = log( xx) = x log x => = ( )f x e[ ]x ( )log x .

por lo tanto la exponencial admite todo R como dominio y solo el logaritmo neperiano nos obliga a tomar valores estrictamente positivos:D = (0, ∞). En cualquier caso, deberemos estudiar el limite por la derecha de x =0, ya que se produce una indeterminacion 0 ∞.

En realidad el dominio sera : [0,∞) como mas adelante demostraremos.

> restart:with(plots):f:= x -> x^x; Valor_en_cero=limit(x^x, x=0, right); print("Grafico de f(x)"); plot(f,-2..3); plot(x^x,x=-2...5,y=-1...+infinity,color = red,title="y=x^x ",scaling=constrained); plot(x^x,x=-2...infinity,y=-1...+infinity,color = red,title="y=x^x ",scaling=constrained);

:= f → x xx

= Valor_en_cero 1"Grafico de f(x)"

>

FIN.

3 f reales elementales

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