29 -...
TRANSCRIPT
29
Arte y a rqu i tec tura
Templo Hatshepsut en el Valle de las Reinas, río Nilo. Egipto.
Este fasciculo intenta establecer cierto paralelismo en el tiempoentre el desarrollo de la matemática, las artes y la arquitectura,especialmente en la cultura occidental, destacando, para cada unade estas áreas, hechos fundamentales que tuvieron lugar en losperíodos considerados. La división periódica que presentamos,basada en períodos extensos, responde más a una organización delconocimiento matemático con fines didácticos y de divulgación, yno como usualmente está escrita en los textos especializados encada uno de los aspectos que se desarrollarán.Tal como lo indica Jesús Soto (Venezuela, 1923-2005) al compararla actividad de los científicos con la de los artistas en cuanto a larealidad del universo: “...es la realidad sensible, son dos formas deexplorar, descubrir y explicar el universo, las cuales normalmentemarchan paralelas”.
Expedición a Punt. Mural.Templo Hatshepsut.Egipto.
226 Fascículo 29 • Arte y arquitectura
La m
atem
átic
aEl
art
eLa
arq
uite
ctur
aMatemática, arte y arquitecturaa través del tiempo
Desde la antigüedad hasta la adopción del sistema de numeración decimal en Europa (s. XIII)
De acuerdo con la opinión de algunostextos de historia de la matemática (R.Mankiewicz), el testimonio más anti-guo de cálculo (contar) fue hallado enSwazilandia (África) y data de 35000a.C. El mismo consiste de un huesoperoné que trae marcado 29 hendidurasque se asemejan a "calendarios" utiliza-dos hoy en día en Namibia para marcarel paso del tiempo.
Los sistemas de numeración más anti-guos fueron de tipo aditivo no posi-cional. Los babilonios diseñaron unsistema de numeración posicional debase 60. Fue largo el camino recorri-do hasta adoptar el sistema de nume-ración decimal indo arábigo en la cul-tura occidental. Inicialmente se tienenlos números Kharoshthi (actual Pakis-tán y Afganistán) que aparecen eninscripciones del s. IV a.C. y que teníansímbolos especiales para uno, cuatro,diez y veinte (se construyen aditiva-mente números hasta cien). Gerberto(Francia, ca. 940-1003), quien fue Papaen 999, introdujo los números indoarábigos en Europa. La instalacióndefinitiva de ese sistema de nume-ración decimal se realizó en el s. XIIIy a ello contribuyó el libro Liber Abaci(1202) de Fibonacci, el cual insistió ensu uso.
En este período se edifica la geometría,iniciada con los egipcios y continuadacon los griegos. Destacamos la contri-bución de la escuela pitagórica, y entreéstas el conocido teorema de Pitágoras.Este teorema en casos particulares eraconocido desde antes. Así, en Babilonia(1800-1600 a.C.) se utilizaba la relaciónpitagórica, lo que aparece reflejado enla Tableta Plimpton 322, que permitía laconstrucción de ternas pitagóricas((a,b,c) tales que c2= a2 + b2). Lo másresaltante fue la edificación axiomáticade la geometría, la implantación de lademostración, del método axiomático,siendo la obra más destacada "Los Ele-mentos" de Euclides (s. III a.C.) que setransformó en referencia de la geometríadurante más de 2000 años. El mate-mático más importante de la etapa grie-ga fue Arquímedes (ca. 287-212 a.C.) loque expresa E. T. Bell como sigue:"Durante dos mil años no hubo nadieque pudiera comparársele (...). La mate-mática moderna nació con Arquímedesy murió con él por no menos de dos milaños. Resucitó con Descartes y Newton".
El arte prehistórico no narra, muestra.Muestra la realidad inmediata al serhumano, aquella que el hombre necesitadominar para poder subsistir en unentorno que le es hostil, al que ha deenfrentarse continuamente y de cuyahostilidad él mismo forma parte.
Tableta de barro cocido conuna contabilidad cuneiforme(2400 a.C.).
La forma de las obras de la antigüedadera, mayoritariamente, la consecuenciade un propósito constructivo parahacer posible una actividad y la apa-riencia exterior de los edificios depen-día sobretodo del sistema estructuralque soportaba su cubierta (techo).
Muchas edificaciones griegas, inclu-yendo el Partenón, tomaban la reglade oro para las proporciones en sudiseño y construcción.
El Zubdat al-Tavariq (el tesoro de lahistoria), manuscrito del s. XVI atri-buído a Loqman, trata el aspecto esoté-rico de la cosmología musulmana yfue ilustrado con preciosas miniaturastales como la de arriba y representanel valor artístico de la cultura turco-otomana.
Varias edificaciones árabe como lamezquita, centro religioso, poseíandomos donde se representaba el cielocon sus estrellas y planetas.
El Arte Griego marca un referente parala civilización occidental que perdu-ra hasta nuestros días. Los modelosgriegos de la antigüedad son tenidoscomo clásicos y los cánones escultóri-cos y los estilos arquitectónicos hansido recreados una y otra vez a lo largode la historia de Occidente.
Se incorporan a la pintura temas his-tóricos, personajes, el paisaje imitan-do la naturaleza, y hace su apariciónla “naturaleza muerta” (pintura deanimales muertos, frutas, flores, vasos,en general objetos).El espacio se geometriza, se representala profundidad y se utilizan distintosplanos, se da cierto movimiento a lorepresentado en el cuadro o en laescultura. “La perspectiva científica,el color veneciano, el movimiento y laexpresión se fueron incorporando unotras otro al utillaje del artista, ponién-dolo en condiciones cada vez mejores
para representar bien lo que veía”(E.H. Gombrich).
Fascículo 29 • Arte y arquitectura
La etapa del Renacimiento (s. XV-XVI)
Previo al Renacimiento, s. XIII y XIV,los principales aportes a la matemáticaen Europa lo realizaron Leonardo dePisa, conocido como Fibonacci (Italia,ca. 1180-1250) y el inglés Thomas Bra-wardine (ca. 1290-1349), además deNicolás de Oresme (Francia, ca. 1323-1382) quien efectuó la "representacióngráfica de funciones" y demostró ladivergencia de la serie armónica 1 +1/2 + 1/3 + 1/4 +......
Nicolás Copérnico (1473-1543) propu-so el sistema heliocéntrico dondeplanteó que el universo "gira" alrede-dor del Sol, el cual fué publicado ensu libro De Revolutionibus (1543). Esteprogreso fue completado por Kepler(1571-1630), a inicios del s. XVII (1609),con sus famosas tres leyes sobre elmovimiento de los planetas alrededordel Sol.
El Renacimiento italiano inicia unanueva concepción en Europa. El retor-no al saber clásico se acompaña de undeseo de explorar nuevos estilos, nue-vas ideas y nuevas vías de investiga-ción. La interacción entre el arte y lageometría, en particular la utilizaciónde la perspectiva, ilustra de maneraejemplar esta renovación. El crecimien-to económico de Europa obligó a laformación de personas competentesen cálculo para el manejo de lastransacciones financieras. En estaetapa destacan la resolución de laecuación de grado tres por Cardano(1501-1576), con su obra Ars Magna, yTartaglia (1500-1567), y la de gradocuatro por Ludovico Ferrari (1522-1565). La resolución de esas ecuacionesy la notación algebraica fueron losavances más significativos del álgebra,desde la época de los babilonios, pa-sando por Diofanto de Alejandría (ca.200-284), quien escribió uno de losprincipales trabajos en la historia delálgebra, la Aritmética. El primerestudio de los números imaginarioslo llevó a cabo Bombelli (1526-1573),conocidos hasta el s. XVIII como "nú-meros ficticios o imposibles" y poste-riormente números complejos (Gauss).
“El reto de un pintor es romper conla bidimensionalidad. Eso que logra-ron en su momento los renacentistasitalianos con la perspectiva, ...” comolo expresa Mercedes Pardo. Permane-ce el arte en cuanto a su característicade identidad pero se logra plasmar lastres dimensiones en un l ienzoutilizando la perspectiva, lo que tendrálugar durante el Renacimiento italiano(s XV).
Grabado San Gerónimo en su estu-dio (1514). Albrecht Durer.
El retorno al estilo clásico en la arqui-tectura reposa sobre la obra de VitruvioDe arquitectura y del estudio de cons-trucciones clásicas que se habían mante-nido a través del tiempo como elPartenón.
Tycho Brahe y Rodolfo II. EduardoEnder.
Última Cena. Leonardo Da Vinci.
Artistas del Renacimiento como el ar-quitecto Brunelleschi, el pintor Masa-ccio, el escultor Donatello, los geniosde Leonardo Da Vinci y de MiguelAngel, el pintor Rafael Sanzio, logra-ron transformar la pintura, la esculturay la arquitectura.Del “espacio agregado” se pasó al“espacio sistema” (E. Panofsky), uncambio en la percepción del espacioen cuanto a la pintura.
Copérnico. Jan Matejko.
En el barroco la arquitectura va fre-cuentemente unida al urbanismo. Laciudad se vuelve escenográfica. Elpalacio es el típico edificio de viviendaurbana para las familias poderosas. Elhotel es un tipo de vivienda unifami-liar exenta y rodeada de jardines, bur-guesa. El templo es un sitio de repre-sentación teatral.
La obra maestra del barroco es el"imafronte" de la catedral de Mur-cia, España.
En Roma la arquitectura barroca re-novó ampliamente las áreas cen-trales con una revisión urbanísticamuy importante. La utilización deelementos rectangulares simplificanla estructura pero la profusión de laornamentación le dan un carácterrecargado a toda la edificación. Seincorpora la concepción del paisa-
jismo en parques y jardines.
Fascículo 29 • Arte y arquitectura
La m
atem
átic
aEl
art
eLa
arq
uite
ctur
a
Del siglo XVII al XVIII
Matemática, arte y arquitecturaa través del tiempo
El s. XVIlI es el de la familia Bemoulli(suizos) y el de Euler (Suiza, 1707-1783), la figura dominante de la ma-temática desde 1727, cuando tenía die-ciocho años, hasta 1783. Pero, igual-mente se tiene la publicación de laEnciclopedia consistente de 35 volúme-nes (París, 1751), la obra de Lavoisieren la química y la de Linneo y el condeBuffon en biología. Hacia finales desiglo, Monge escribe la geometría des-criptiva (1795) en donde clarifica losprincipios de esta rama de la geome-tría, la cual venía en sus orígenes re-motos de la perspectiva creada por losartistas y arquitectos del Renacimiento.
El siglo XVII marca el nacimiento dela "matemática moderna" y el s. XVIllel apogeo de la ciencia.En el siglo XVII se consolida la nota-ción algebraica (Descartes y Viète),que es la hoy en día utilizada.
En la historia del mundo occidental, larevolución francesa (1789-1801) signifi-có el tránsito de la sociedad feudal a lacapitalista, basada en una economía demercado. La burguesía, consciente desu papel preponderante en la vida eco-nómica, desplazó del poder a la aris-tocracia y la monarquía absoluta. Estoscambios se reflejaron directamentetanto en el arte como en la arquitecturadel siglo XVIII.
Toma de La Bastilla (1793). CharlesThévenin (Francia, 1764-1838).
Descenso de la cruz (1611-12). PeterPaul Rubens (Alemania, 1577-1648).
La arquitectura barroca se desa-rrolla desde el principio del sigloXVII hasta dos tercios del sigloXVIII. En esta última etapa se de-nomina estilo rococó. Se manifiestaen casi todos los países europeosy en lo que eran por aquel entonceslas colonias de España y Portugalen América.
Durante el s. XVII ocurren progresossignificativos que originaron variasramas de la matemática, entre las quepodemos destacar:· La geometría analítica como fusión
del álgebra y de la geometría (Des-cartes y Fermat), lo que permitiótratar los problemas geométricoscon el uso de números y ecuacionesa través de la utilización de los siste-mas de coordenadas.
· La creación del cálculo infinitesimal(Leibniz y Newton) y la dinámicade Galileo y Newton, conocida co-mo mecánica newtoniana.Esta evolución de la matemática yla física condujo a un cambio en laconcepción del espacio y de suestudio, tal como ocurrió en la pin-tura, la escultura y la arquitectura.
· Las probabilidades y el análisiscombinatorio (Fermat y Pascal).
· La lógica matemática (Leibniz).
El barroco es un movimiento culturalo período del arte que apareció en elaño 1600, aproximadamente, y quellegó hasta el 1750. Se ubica entre losperíodos Manierista y Rococó y lositúan entre el arte del Renacimientoy el neoclásico, en un tiempo en elcual la Iglesia Católica tuvo quereaccionar contra numerosos movi-mientos revolucionarios culturalesque produjeron una nueva ciencia ynuevas formas de religión (Reforma).
Jardines del Palacio de Versailles.Francia.
En el surgimiento del barroco doshechos son decisivos: la afirmaciónde los estados nacionales y la consa-gración de la monarquía absoluta dederecho divino, como forma degobierno en ellos.
Escultura en parque barroco. Italia.
Galería Vittorio Emmanuelle (Mi-lán, Italia, 1865-78).
Esta galería diseñada por GiuseppeMengoni, utilizando cúpulas, techoscurvos y planta en forma de cruz, resu-me los mayores aportes de la burgue-sía del momento al ambiente urbano.
La incorporación del acero, consecuenciade la revolución industrial, combinadocon los cálculos estructurales que incor-poran los aportes matemáticos y físicosde la época, permiten lograr alturas ylongitudes nunca antes imaginadas.La utilización de cónicas, triángulos y
curvas en las estructuras y edifi-caciones le dieron una característicaparticular a estas construcciones.
Fascículo 29 • Arte y arquitectura
La máxima expresión de la arquitecturadel hierro que caracterizan al siglo XIXson las construcciones para las exposi-ciones universales. La torre Eiffel (1889)es una construcción-estructura a partirde elementos prefabricados en serie.Este tipo de construcciones "por piezas"se pueden montar y desmontar, tras-ladar e instalar en otra ubicación.
El siglo XIX
A comienzos del s. XIX empezaron aformularse geometrías diferentes de laeuclidiana, lo que producirá en mate-mática una ruptura epistemológica (unsalto cualitativo). Así, Nikolai Lobat-chevski (1739-1856) publica en 1838 susNuevos fundamentos de la Geometría y en1840 su Teoría de las paralelas. Por suparte, Janos Bolyai (1802-1860) elaborasu Ciencia Absoluta del Espacio conprincipios análogos a los de Lobatchevs-ki. La creación de las geometrías no eu-clidianas produjo un cambio de concep-ción en el pensamiento matemático ylos matemáticos adquirirán mayor liber-tad en cuanto a la creación matemática.
Hechos relevantes en este siglo:• La creación de la lógica simbólica
moderna por George Boole (1815-1864).
• La teoría de "multiplicidades" (espa-cios de más de tres dimensiones) deGeorge Riemann (1826-1866) que, conla sistematización de la geometríarealizada por Félix Klein (1849-1925)en el denominado "Programa Erlan-gen" utilizando la llamada teoría degrupos, constituyó otro salto cualita-tivo en matemática: lo que interesaen una geometría son los invariantes,esto es, lo que permanece en las trans-formaciones geométricas y no única-mente la forma ni la identidad de losentes geométricos.
El romanticismo que caracteriza losinicios de siglo y pasa al realismo deGustave Courbet (1819-1877) y JeanFrançois Millet (1814-1875) de mediadosde siglo. Según Courbet “La pintura nopuede consistir más que en la repre-sentación de las cosas reales y existen-tes: un objeto abstracto, no visible niexistente, no pertenece al campo de lapintura”.
El acantilado de Eterat después de latormenta (1869). G. Courbet.
Haymakers resting (1891). CamilePisarro (1830-1903).
• El genio de E. Galois (1811-1832) creóuna de las teorías más fecundas de lamatemática, la teoría de grupos, quetiene repercusión importante en lafísica y la que permite explicar la sime-tría tan utilizada por los artistas yarquitectos desde tiempos remotos.Ya en 1829 el matemático noruegoNiels H. Abel demostró, de manerageneral, que las ecuaciones de gradoquinto no se pueden resolver utili-zando radicales, y la teoría de grupospermitió dilucidar completamente elproblema de la resolución por radi-cales de las ecuaciones algebraicas.
En la segunda mitad del s. XIX hace suaparición el impresionismo que buscanuevas formas de expresión, despren-diéndose de los temas de inspiraciónnarrativa e histórica y se interesa por larelación entre la luz y los colores. Desta-can C. Monet, E. Degas, ToulouseLautrec, A. Renoir, C. Pisarro y P. Cezan-ne.
Tower bridge (1894). Londres, In-glaterra.
Las recogedoras de heno (Salón 1850).J.F. Millet.
Palacio de Cristal diseñado porJoseph Paxton para la exposiciónde 1851. Londres, Inglaterra.
El acero, el vidrio y el concreto fueronlos materiales que sirvieron de apoyopara lo que luego se denominaríaarquitectura moderna.
Torre Eiffel diseñado por GustaveEiffel para la exposición de 1889.Paris, Francia.
Algunos objetos comienzan a no poderreconocerse pues interesan sus defor-maciones y el color. Ya no hay la identi-dad, ni la copia o imitación de lo que seobserva. Los artistas tienen un gradomayor de libertad con respecto almundo circundante.
El grito (1893). Edvard Munch(1863-1944).
Fascículo 29 • Arte y arquitectura
La m
atem
átic
a • Comienza a delinearse la topologíay en ella se consideran cuerpos ysuperficies distintas de los poliedrosy de los cuerpos redondos (esfera,cilindro, ...). Se trabaja con defor-maciones, como las que se hacencon la plastilina y el caucho, y lo im-portante en esas deformaciones eslo que queda invariante (las propie-dades que no se alteran). Se creanobjetos geométricos con característi-cas bien distintas de las superficiesclásicas, como la banda o cinta deMoebius (que tiene una sola cara),y la botella de Klein. Más que elobjeto en sí, que su forma, lo queinteresa es su naturaleza profunda.
El neoimpresionismo de finales del sigloXIX, cuyos principales exponentes sonG. Seurat y P. Signac, se apoya en lateoría de colores de Chevreul y en lasinvestigaciones de los físicos Helmotzy Maxwell. Los artistas empiezan a inte-resarse más por lo que sienten e imagi-nan en lugar de lo que ven.
En Estados Unidos, a finales de siglo,se empiezan a diseñar y construir edi-ficios que luego se denominarían ras-cacielos.
Guaranty Building Buffalo (NY,EEUU). Proyecto L. Sullivan 1895.
El siglo XIX
• La creación de la teoría de conjuntosde parte de Georg Cantor (1845-1918)y los trabajos de Richard Dedekind(1831-1916) en cuanto a los númerosreales (racionales e irracionales),números utilizados desde la época delos griegos, que son la base del cálculoinfinitesimal de Newton y Leibniz, yde los que no se había formulado unateoría rigurosa. Estos trabajos tuvieronbastante impacto en la matemática.Sin embargo, la propia teoría cantoria-na de conjuntos presentaba algunaslagunas que hacían dudar de lavalidez de ciertos razonamientos, yasí surgieron "conjuntos paradójicos"que dieron base hacia fines del sigloe inicios del s. XX a lo que se deno-minó la crisis de los fundamentos.
Es importante mencionar que al mismotiempo que los matemáticos y losgeómetras descubrían la topología, lospintores por su parte y de manera intui-tiva descubrían el espacio cubista, esdecir, un concepto del espacio emana-do de la pintura de Cézanne: un sistemade representación fundado en el análisisde impresiones visuales puras, peroque en su desarrollo plantean laconstrucción de universos deformablesy variados, sujetos a nociones noeuclidianas pero muy topológicas, ypor lo tanto muy humanas."
Manuel Quintana Castillo (pin-tor venezolano, 1928- ). En"Pintura Topológica", PapelLiterario, Diario El NacionalC/12, 04/11/2000.
La paradoja de Epiménides el cretense:Epiménides afirma: "Todos los cretensesson mentirosos."Otra del mismo tipo es: "Yo miento".
El Neoimpresionismo o Postimpre-sionismo data entre 1885 y 1900, apro-ximadamente. En él se agrupan las másdiversas tendencias, muchas de lascuales desbordan todo intento declasificación cronológica, puesto que engran medida se corresponden configuras concretas: Edvard Munch, VanGogh...
El a
rte
231 Fascículo 29 • Arte y arquitectura
El s. XX conoció una explosión de des-cubrimientos científicos y progresostecnológicos que afectó el conjunto delas ciencias humanas. La matemáticaentra en un período de abstracción:ya no importa tanto la naturaleza delos entes matemáticos sino sus rela-ciones, sus analogías, es decir, su es-tructura.Se crean los espacios abstractos y nue-vas ramas de la matemática hacen suaparición y se desarrollan bastamente,entre otras:• La teoría de fractales creada por
Benoit Mandelbrot quien publicóLa geometría fractal de la naturaleza(1977).
• El desarrollo de la teoría del "caos"y de la complejidad. La teoría dejuegos llevada a cabo por John vonNewman y posteriormente con a-portes significativos de John Nash,lo que le valió el premio Nobel deEconomía en 1994.
El siglo XX
• El advenimiento de la Segunda Gue-rra Mundial dio un impulso a la ma-temática aplicada y la estadística.Con el fin de vencer a las potenciasdel Eje, al nazifascismo, se desarro-llaron los métodos de cálculo, losmodelos matemáticos, la investi-gación de operaciones y la informá-tica. Este desarrollo de la matemá-tica aplicada ha continuado y en-contrado nuevas vertientes.
Señoritas de Avignon. Pablo Picasso(1881-1973).
A inicios del s. XX se tiene la rupturade la geometrización clásica del espa-cio. Emerge el cubismo (1908) y luegotodo el arte abstracto. En menos de 40años se pasó de los impresionistas alos abstractos. W. Kandinski es el pri-mero en realizar un cuadro completa-mente abstracto (1910), sin ningunareferencia figurativa.
La Bauhaus, que significa en alemán"Casa de la construcción", fue utilizadopara denominar la escuela de diseño,arte y arquitectura fundada en 1919por Walter Gropius en Weimar (Ale-mania) y clausurada por las autori-dades prusianas (en manos del partidonazi) en el año 1933.La Bauhaus sentó las bases normativasy patrones de lo que hoy conocemoscomo diseño industrial y gráfico. Sinduda alguna esta escuela estableció losfundamentos académicos sobre loscuales se basaría en gran medida unade las tendencias más predominantesde la nueva arquitectura moderna, incor-porando una nueva estética que abar-caría todos los ámbitos de la vida coti-diana. Simplicidad, industrialización yfuncionalidad caracterizan lo “moder-no”. La utilización de la línea recta y elplano constituyen las herramientabásicas para el diseño de gran parte delsiglo XX.
Acuarela (1910). Wassily Kandinski(1866-1944).
• La presencia de supercomputadorasha permitido el avance en el estudiodel “caos” y de ecuaciones de muyalta complejidad. Existen institucio-nes, como el Santa Fe Institute, en labúsqueda de sistemas de complejidadevolutiva. Las matemáticas continúansiendo tan imprevisibles como la vidamisma.
Ávila virtual. Pedro Morales.
Durante la década de los 80, los prime-ros estudiosos de los fractales comen-zaron a explorar su valor estético.Mientras que la matemática era la herra-mienta, el objetivo era el arte. Al ser lasestructuras fractales el elementomatemático más obvio, los artistasfractales experimentaron con nuevasestructuras, introduciendo centenaresde nuevos tipos de fractales.
Actualmente la arquitectura utiliza losparámetros tecnológicos, formales yfuncionales, sin que ninguno de ellostenga prelación sobre los otros. Losarquitectos en la actualidad se muevenen estos tres ejes dándole énfasis a losque creen convenientes. Muchos hablande posmodernismo pero esto no ha sidodefinido por los especialistas del área.
Propuesta para edificio residencialen Nueva York por parte del arqui-tecto español Santiago Calatrava.
Banda de Moebius. M.C. Escher(1898-1972).
232 Fascículo 29 • Arte y arquitectura
Bibliografía. Biblioteca Salvat de grandes temas (1973). Arte abstracto y arte figurativo. Salvat editores, S.A., Barcelona, España.
Contiene una entrevista a Antoni Tàpies.. Biblioteca Salvat de grandes temas (1975). La pintura en el siglo XX. Salvat Editores, S.A. Barcelona, España. Contiene
una entrevista a Jean Cassou.. Collette, Jean-Paul (2000). Historia de las matemáticas. Siglo veintiuno editores, S.A. de C.V., México. 4a. edición en
español.. Crespo Cabillo, Isabel (2005). Control gráfico de formas y superficies de transición. Tesis doctoral. Universidad Politécnica
de Catalunya, España. http://www.tdx.cesca.es.· Droste, Magdalena (1990). Bauhaus. Taschen Editores. Alemania.. Guédez, Víctor (1994): Comprender el arte contemporáneo. Fundación Polar, Caracas.· Jencks, C. y Baird, G. (1975). El significado de la arquitectura. Blume Ediciones. España.. Mankiewicz, Richard (2000). The Story of Mathematics. Cassel & Co. Londres, Gran Bretaña.. Orellana Chacín, Mauricio (2002). La belleza desde el punto de vista matemático. Comisión de Estudios Interdisciplinarios
de la Universidad Central de Venezuela, año 5, No. 15, 17-72.· Raeburn, Michael (1981). Storia Dell’Architettura in Occidente. Istituto Geografico De Agostini. S.p.A. Novara, Italia.
A continuación presentamos varias construcciones cuyos arquitectosutilizaron muchos elementos geométricos y grandes dosis decomposición artística para su diseño.
Conjunto residencial en Beijing, China.Proyecto: Steven Holl.
Museo Guggenheim de Bilbao, España.Diseño: Paul Gehry.
Casa de la Orquesta Sinfónica de Tenerife,España. Diseño: Santiago Calatrava.
Conjunto Residencial en Montreal, Canada.Proyecto: Moshe Safdie.
Centro Cultural “Le Corbusier” en Zurich,Suiza. Diseño: Le Corbusier.
Entrada del Museo del Louvre de París,Francia. Diseño: Io Ming Pei.