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Herramientas computacionales para lamatemtica

MATLAB: lgebra Simblica

Vernica Borja Macas

Junio 2012

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MatlabIntroduccin

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MATLAB tiene algunos tipos diferentes de datos, incluidos datosnumricos de precisin doble y sencilla, datos carcter, datoslgicos y datos simblicos, los cuales se almacenan en unavariedad de distintos arreglos.

La capacidad simblica de MATLAB se basa en el softwareMaple, producido por Waterloo Maple. El motor Maple es partede la caja de herramientas simblica.

La caja de herramientas simblicas de MATLAB le permitemanipular expresiones simblicas para simplificarlas, resolverlassimblicamente y evaluarlas numricamente.

Tambin le permite obtener derivadas, integrar y realizarmanipulaciones algebraicas lineales, transformadas de LaPlace ytransformadas de Fourier entre otras cosas.

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Matlablgebra simblica

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La matemtica simblica se usa regularmente en las clases dematemticas, ingeniera y ciencias. Con frecuencia espreferible manipular las ecuaciones simblicamente antes desustituir valores para las variables. Por ejemplo, considere laecuacin

Cuando la observa por primera vez, parece complicada. Sin

embargo, si expande se hace evidente que puede simplificar

2 2

2

2( 3)

6 9

xy

x x

+=

+ +

2 2 2

2 2

2( 3) 2( 6 9)2

6 9 6 9

x x xy

x x x x

+ + += = =

+ + + +

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Matlablgebra simblica

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Al realizar esta simplificacin es posible perder algo deinformacin.

Las capacidades simblicas de MATLAB le permiten realizaresta simplificacin o manipular el numerador y denominador

por separado.

2 2

22(( 3) 3) 0 lo cual est indefinido

( 3) 6( 3) 9 0y

+= =

+ +

para 3 tenemos que:x =

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MatlabCreacin de variables simblicas

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Las variables simblicas simples se pueden crear en dosformas. Por ejemplo, para crear la variable simblica x,escriba o

x=sym('x') o syms x

Ambas tcnicas hacen al carcter 'x' igual a la variablesimblica x.

Se pueden crear variables ms complicadas usando las

variables simblicas existentes, como en la expresiny = 2*(x+3)^2/(x^2+6*x+9)

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MatlabVariables simblicas

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Podemos declarar varias variables en un solo comando:syms a b

Es posible manipular los objetos simblicos como es habitualen matemticas:

>> a+ a + bans =

2*a + b

Tambin es posible crear variables simblicas con valores de

ms de un carcter:

a = sym('alpha')

Nota: En el Symbolic Math Toolbox, pi es una palabrareservada.

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MatlabExpresiones simblicas

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Supongamos que deseamos usar una variablesimblica para representar la razn dorada:>> rho = sym('(1 + sqrt(5))/2');

Ahora podemos realizar las operaciones que deseemos conrho.

>> f = rho^2 - rho 1f =

(5^(1/2)/2 + 1/2)^2 - 5^(1/2)/2 - 3/2 Veamos como estudiar la funcin cuadrtica f = ax2 + bx + c.

Una primera opcin sera definirla como:>> f = sym('a*x^2 + b*x + c'); Pero as no es posible realizar sustituciones, lo adecuado es:

>> syms a b c x>> f = a*x^2 + b*x + c;

1 5

2

+

=

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MatlabMatrices de variables simblicas

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La creacin y manipulacin de matrices de variablessimblicas es anloga a la de matrices numricas, p/e:

Ejemplo:

>> syms a b c;

>> A = [a b c; c a b; b c a]A =

[ a, b, c][ c, a, b]

[ b, c, a]sum(A(1,:))ans =

a + b + c

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MatlabEncontrar variables simblicas en expresiones y matrices

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Para determinar las variables simblicas que estan en unaexpresin se emplea el comando symvar:

Ejemplo:

>> syms a b n t x z;>> f = x^n;>> g = sin(a*t + b);>> symvar(f)ans =

[ n, x]>> symvar(g)ans =

[ a, b, t]

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MatlabNmeros simblicos

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Es posible convertir un nmero en un objeto simblico, p/e:

Ejemplo:

>> a1 = sym('2')>> a2 = sym(2)

>> sqrt(a1)ans =

1.4142a = sqrt(a2)a =

2^(1/2)double(a)ans =

1.4142

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MatlabNmeros simblicos

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Ejemplo:>> sym(2)/sym(5)ans =

2/5>> sym(2/5)ans =

2/5>> 2/5 + 1/3ans =

0.7333>> sym(2/5) + sym(1/3)ans =

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MatlabImpresin de expresiones simblicas

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Las funcin pretty. Imprime en un formato agradable las expresiones:

Ejemplo:

>> syms x>> f = x^3 - 6*x^2 + 11*x - 6;>> g = (x - 1)*(x - 2)*(x - 3);>> h = -6 + (11 + (-6 + x)*x)*x;>> pretty(f)

3 2x - 6 x + 11 x - 6

>> pretty(g);(x - 1) (x - 2) (x - 3)

>> pretty(h);x (x (x - 6) + 11) 6

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MatlabSimplificar de expresiones simblicas

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El Symbolic Math Toolbox pose un conjunto de funcionespara simplificar expresiones simblicas. Veamos la funcinsimplify. Por ejemplo previamente ya habamos realizadooperaciones con la expresin rho:

Ejemplo:>> rho = sym('(1 + sqrt(5))/2');>> f = rho^2 - rho 1f =

(5^(1/2)/2 + 1/2)^2 - 5^(1/2)/2 - 3/2>> simplify(f)ans =

0

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Veamos las funciones expand, factor y horner.

Ejemplo:

>> syms x;>> f=(x^2- 1)*(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)*(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1);>> expand(f)

ans =x^10 1

>> g = x^3 + 6*x^2 + 11*x + 6;>> factor(g)ans =

(x + 3)*(x + 2)*(x + 1)>> h = x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x;>> horner(h)ans =

x*(x*(x*(x*(x + 1) + 1) + 1) + 1)

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Veamos la funcin collect.

Ejemplo:

>> syms x y;>> R1 = collect((exp(x)+x)*(x+2))R1 =

x^2 + (exp(x) + 2)*x + 2*exp(x)

>> R2 = collect((x+y)*(x^2+y^2+1), y)R2 =

y^3 + x*y^2 + (x^2 + 1)*y + x*(x^2 + 1)

>> R3 = collect([(x+1)*(y+1),x+y])R3 =

[ y + x*(y + 1) + 1, x + y]

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La funcin simple trata de reescribir la expresin empleandola menor cantidad de caracteres.

Ejemplo:

>> syms x;

>> f = cos(x)^2 + sin(x)^2;>> f = simple(f)f =

1

>> g = cos(3*acos(x));>> g = simple(g)g =

4*x^3 - 3*x

syms x; f = cos(x) + i*sin(x); simple(f)

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