2. matematica estas ahi - adrian paenza

7/21/2019 2. Matematica Estas Ahi - Adrian Paenza

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ndice

MATEMTICA ESTS AH?Episodio 2


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MATEMATICA ESTAS

AHI EPISODIO 2Autor: Paenza, Adrian

ISBN: 9871220642112345678Generado con: QualityEboov0.35


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MATEMTICA

ESTS AH?


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Episodio 2

orADRIN PAENZAFacultad de Ciencias Exactas

Naturales Universidad de BuenoAires

Coleccin Ciencia que

adraDirigida por DIEGO GOLOMBEK


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Paenza, Adrin Matemtica

ests ah? : sobre nmeros


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personajes, problemas curiosidades : episodio 2 - 1a ed. Buenos Aires : Siglo XXI EditoreArgentina, 2006. 240 p. : il. ; 19 14 cm. (Ciencia que ladra dirigidapor Diego Golombek)

ISBN 987-1220-64-21. Matemtica-Enseanza. I

Ttulo CDD 510.7

Portada de Claudio Puglia Mariana Nemitz

2006, Siglo XXI Editore

Argentina S. A.ISBN-10: 987-1220-64-2 ISBN-13978-987-1220-64-9

Impreso en Artes Grfica


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Delsur Almirante Solier 2450Buenos Aires, en el mes denoviembre de 2006

Hecho el depsito que marcaa ley 11.723 Impreso en Argentina Made in Argentina

Siglo Veintiuno Editores

ESTE LIBRO (y esta coleccin)Existe un pas en el que ugato se va y nos deja su sonrisa de

recuerdo, y en donde hay reinas decorazones que ordenan cortacabezas sin parar y porque s. Es epas en que los nmeros juegan


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as escondidas, y los ngulonternos de los tringulos sumanbueno, lo que tengan que sumadependiendo de la geometra queestemos considerando. Desde haceun tiempo y gracias al prime

ibro de esta miniserie nonecesitamos pasaporte para entraa ese pas y, como en el caso de la

tierra de las maravillas, aqutambin nos gua un matemtico.

En el camino, un milagro

nesperado: un libro de divulgacicientfica se convierte en un xitoeditorial sin precedentes Cmo

explicarlo? Ser que de pronto a


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mundo comenzaron a interesarleestos temas? Ser porque el autoes un conocido profesor periodista? O ser, simplementeque es un buen libro? Por todo esoAdrin Paenza nos ha

acostumbrado con su primeMatemtica Ests ah?a discutienigmas, a hacernos preguntas,

sorprender a otros lectores en ecolectivo haciendo cuentasuniendo puntos o sumergindose e

os infinitos infinitos.Para tranquilidad de lofanticos del primer libro, todava

quedan muchas historias po


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contar, muchos nmerospersonajes, problemas curiosidades para sorprendernos, tambin paradojas como parapasarse una tarde dando vueltas aas ideas (y aqu es imprescindible

recordar una maravillosa paradojde almacn: Hoy no se famaana s). El resultado es que

a matemtica sigue ah, en uencuentro cercano en el quenuevamente nos gua Adri

Paenza (aunque, como bien dice eautor, si nos perdemos no es nadagrave: la cuestin es i

encontrando el camino solos). U


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gua de lujo que nos invita asuperarnos, a jugar, a pensar y adeleitarnos con un conocimientoque, en el fondo, es de todosSigamos viajando, entonces. Lamatemtica ataca de nuevo!

Esta coleccin de divulgacicientfica est escrita pocientficos que creen que ya e

hora de asomar la cabeza pofuera del laboratorio y contar lamaravillas, grandezas y miseria

de la profesin. Porque de eso setrata: de contar, de compartir usaber que, si sigue encerrado

puede volverse intil.


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Salt, Diego Goldberg, JulioBruetman, Claudio Pustelnik

Hctor Maguregui. A mis amigaAna Mara Dalessio, Nilda

Rozenfeld, Teresa Reins, AliciaDickenstein, Beatriz de Nava

Beatriz Surez, Nora BernrdesKarina Marchesini, Laura

Bracalenti, Etel Novacovsky, Marisa

Gimnez, Mnica Muller, EricaKreiter, Susy Goldberg, Holly Perly Carmen Sessa. A Carlos Griguol

mi amigo del alma. A la memoride los seres queridos que perd enel camino: Guido Peskin, mis ta

Delia, Elena, Miriam y Elenita, m


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primo Ricardo y a la de mientraables compaeros de vida

Len Najnudel y Manny KreiterAcerca del autorAdrin Paenz

[email protected]

Naci en Buenos Aires en 1949Es doctor en Matemticas por laUniversidad de Buenos Aires, en la

que se desempea actualmentecomo profesor asociado deDepartamento de Matemtica de la

Facultad de Ciencias Exactas Naturales. Es, adems, periodistaEn la actualidad conduce el ciclo

Cientficos Industria Argentina


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Trabaj en las radios mmportantes del pas y en los cincocanales de aire de la ArgentinaFue redactor especial de variarevistas y colaborador en trediarios nacionales: Clarn

Pgina/12 y La Nacin. Public eesta misma coleccin MatemticaEsts ah?, que ya lleva ms de

diez ediciones.Agradecimientos

A Diego Golombek, director de

a coleccin Ciencia que ladraPorque es mi amigo y por la pasique pone en cada intercambio que

tenemos. Nadie que yo conozca


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tiene ms entusiasmo que l, quehace en un da lo que a todo emundo le lleva un mes.

A Carlos Daz, el director deSiglo XXI Editores, por la increblegenerosidad que exhibi siempre

conmigo y por su incansable ensaciable curiosidad.

A Claudio Martnez, quien fue

el primero en creer que estahistorias deban ser divulgadas comprometi su esfuerzo y talento

en crear un programa televisivocomo Cientficos Industriargentina para que yo pudiera

hacerlo. Este libro es tambin para


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todos mis compaeros deprograma.

A Ernesto TenembaumMarcelo Zlotogwiazda y GuillermoAlfieri por el estmulo constante el respeto con el que me tratan.

A quienes revisaron el libro, locriticaron, lo discutieron y meayudaron a mejorarlo, y e

particular, mi infinita gratitud ados personas: Carlos DAndrea Gerardo Garbulsky.

A todos los comunicadores, aos periodistas de radio, televisindiarios y revistas, quienes tomaro

el primer libro como propio, lo


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defendieron, lo promovieron fueron felices en cada una de suaudiciones hablando de l. Tododescubrimos algo con el primeepisodio de Matemtica Estah?, pero ellos fueron, sin ningun

duda, los que impulsaron a lagente a que lo compre o lo bajepor Internet. En todo caso, eso no

mostr a todos el poder deperiodismo, el poder de lomedios de comunicacin. Ello

transformaron un libro dematemtica (nada menos) en ubest seller y generaron una

campaa gigantesca, impredecible


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e impagable, que rompi con todoos moldes y tir abajo cualquie

precedente: construyeron un xitoque entiendo es de ellos. A todomis colegas, gracias!

A la comunidad matemtica

que tambin entendi esto comouna cruzada, y me apabull codeas, sugerencias, artculos

notas y de esa forma me iluminel camino. Nada de lo que estuvoescrito en el primer libro ni en lo

que aparecer en ste (salvo miopiniones personales) es unanovedad para ellos: nada. Si

embargo, la monumental cantidad


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de correos electrnicos, papelescartas y conversaciones personalecon los que me ayudaron para lseleccin del material y la formade presentarlo escapa a mposibilidad de agradecerles.

A Ernesto Tiffenberg, edirector de Pgina/12, quien coosada me invit a que escribier

a contratapa del diario una vepor semana sobre lo que voquieras. Muchas de las pginas de

este libro, aparecieron antes emi querido diario.A Pablo Coll, Pablo Milrud

Juan Sabia, Teresita Krick, Pablo


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Mislej, Ricardo Durn, Ariel ArbiseOscar Bruno, Fernando CukiermanJorge Fiora, Roberto MiatelloEduardo Cattani, Rodrigo LajeMatas Graa, Leandro CanigliaMarcos Dajczer, Ricardo Fraimann

Lucas Monzn, Gustavo StolovitzkyPablo Amster, Gabriela Jernimo Eduardo Dubuc: todos matemtico

menos Gustavo y Rodrigo), todomprescindibles para que este libroexista.

A todos mis alumnospresentes y pasados, por lo que meensearon a lo largo del camino.

A Santiago Segurola, Alejandro


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Fabbri, Nelson Castro y FernandoPacini.

A todos quienes trabajan eSiglo XXI Editores, en particular Violeta Collado y Hctor Benedettipor el cuidado extremo que pone

para protegerme de mis propioerrores.

Y por ltimo, a las misma

cuatro personas a quienes ledediqu el libro anterior por sconducta tica irreprochable

Marcelo Bielsa, Alberto KornblihttVctor Hugo Morales y HoracioVerbitsky. Ellos demuestra

diariamente, que se puede!


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Los agujeros negros son los lugaredel universo en donde Dios dividi

por cero. STEVEN WRIGHTndice

Prlogo . . 15

Ensear a pensar 17

Los nmeros de la matemtica

25Algunas curiosidade

matemticas y cmo explicarla

cuando se puede), 25. Cmomultiplicar si uno no sabe latablas?, 29. Cmo dividirsin sabe

as tablas de multiplicar?, 35


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Monedas en carretilla, 43. Lahistoria de Google, 48. Los tests denteligencia, 52. Sudoku, 57. Cribde Eratstenes, 64. Nmeroperfectos, 70. La vida en enfinito. Serie geomtrica

armnica,77. Primos en progresi

aritmtica, 84. Luces encendidas

uces apagadas y modelos, 89Cmo cuenta una computadoraNmeros binarios), 94.

Probabilidades, estimacionescombinaciones y contradicciones . . 105

La prueba que no se puede


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tomar, 105. Probabilidad de ganael campeonato mundial para uequipo considerado favorito, 107Herencia con infinitas monedas109. Desfile y probabilidad, 113Genoma y ancestros comunes,

118. Matrices de Kirkman, 122Los problemas de l

matemtica

127Hay ms agua en el vino o

vino en el agua?, 127. La historia

de los cuatro sospechosos, 132Problema de los recipientes de 3 5 litros respectivamente,

135. Problema de pensamiento


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ateral (Eminencia), 137. Diebolsas con diez monedas, 139. Otroproblema de sombreros, 141Ruleta rusa, 142. Problema de ladoce monedas, 144. Problema deviajante de comercio, 152.

La matemtica es un juego (ono?) . . 161

Teora de Juegos. Estrategia

una definicin), 161. 600 soldadosel general y la Teora de Juegos163. Dilema del prisionero, 165. La

banda de Moebius. Un desafo a lantuicin, 168. Problema detablero de ajedrez, 173. Truelo

176. El juego del numerito, 178


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Nmeros naturales consecutivos,181. Problema de los siete

puentes de Knigsberg, 184. PoloNorte, 191. Fixture (a la Dubuc)194. Palndromos, 206. Juego de15, 213. Tringulo de Pascal, 218.

Eplogo. Las reglas del juego . . 235

Prlogo

La inequitativa distribucin de lariqueza marca una desigualdaciertamente criminal. Unos (pocos

tienen (tenemos) mucho; otro


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muchos) tienen poco. Muchos mtienen casi nada. La sociedad hasido, hasta aqu, ms biendiferente a las desigualdades detodo tipo. Se las describe, s, peroen general el dolor termina e

hacer una suerte de catarsis queparece exculpadora. Bueno, noes as. O no debera serlo. Hasta

aqu, ninguna novedad.La riqueza no slo se mide e

dinero o en poder adquisitivo

tambin se mide en conocimientoo mejor dicho, debera empezapor ah. El acceso a la riqueza

ntelectual es un derecho humano


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slo que casi siempre estsupeditado al frrago de lo urgentenadie puede pretender acceder a

conocimiento si antes no tienesalud, ni trabajo, ni techo, ncomida en su plato). As, todo

tenemos un compromiso moralpelear para que la educacin seapblica, gratuita y obligatoria e

os niveles primario y secundarioLos nios y jvenes tienen que ir aestudiar, y no a trabajar.

Con la matemtica sucedealgo parecido. Es una herramientpoderosa que ensea a pensar

Cuando est bien contada e


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seductora, atractiva, dinmicaAyuda a tomar decisiones educadao, al menos, ms educadasPresenta facetas fascinantes queaparecen escondidas y reducidas un grupo muy pequeo que la

disfruta. Y es hora de hacer algode pelear contra el preconcepto deque la matemtica es aburrida, o

de que es slo para elegidos.Por eso escrib Matemtica

Ests ah? Porque quiero que le

demos una segunda chance. Porquequiero que la sociedad adviertque le estamos escamoteando algo

y que no hay derecho a que eso


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suceda. Hasta aqu, quienecomunicamos la matemtichemos fracasado, no slo en laArgentina sino en casi todo emundo.

Ha llegado la hora de

modificar el mensaje. Obviamenteno soy el primero ni ser el ltimopero quisiera ayudar a abrir e

uego, como lo hice durante mde cuarenta aos con alumnos detodas las edades. La matemtica

presenta problemas y ensea disfrutar de cmo resolverlos, ascomo tambin ensea a disfruta

de no poder resolverlos, pero d


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haberlos pensado, porqueentrena para el futuro, para tenems y mejores herramientasporque ayuda a recorrer caminompensados y a hacernonexorablemente mejores.

Necesitamos, entoncesbrindar a todos esa oportunidadCranme que se la merecen.

Ensear a pensar

El mundo acadmico se nutre de lacirculacin libre de informacin

Cada uno aporta (literalmente) u


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granito de arena, y as se hacecada ladrillo. A veces viene u

Newton, un Einstein, un Bohr, uMendel, y trae l solo treinta

ladrillos, pero en general es asgranito a granito. ANNIMO

Miguel Herrera fue un gramatemtico argentino, director demuchas tesis doctorales, en la

Argentina y tambin en el exteriorLamentablemente, falleci muoven. Herrera se gradu e

Buenos Aires y vivi muchos aoen Francia y los Estados Unidospara luego retornar al pas, donde

permaneci hasta su muerte


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Quiero aprovechar para contar unaancdota que viv con l y que mesirvi para toda la vida.

Luego de graduarme comoicenciado (a fines de 1969), estuvepor unos aos fuera de la facultad

trabajando exclusivamente comoperiodista. Una noche, eAlemania, ms precisamente e

Sindelfingen, donde estabaconcentrado el seleccionadoargentino de ftbol, coment co

algunos amigos que al regresar apas intentara volver a la facultadpara saldar una deuda que tena

conmigo): quera doctorarme


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Quera volver a estudiar parcompletar una tarea que, sin latesis, quedara inconclusa. Era ugran desafo, pero vala la penantentarlo.

Dej por un tiempo mi carrera

como periodista y me dediqu deleno a la investigacin y a la

docencia en matemtica. Luego de

un concurso, obtuve un cargo comoayudante de primera codedicacin exclusiva, y eleg como

tutor de tesis doctoral a ngeLarotonda, quien haba sido mdirector de tesis de licenciatura

Pucho (as le decamos a


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Larotonda) tena muchsimoalumnos que buscaban doctorarseEntre tantos, recuerdo los nombrede Miguel ngel Lpez, RicardoNoriega, Patricia Fauring, FlorGutirrez, Nstor Bcari, Eduardo

Antn, Gustavo Corach y BibianaRusso.

Doctorarse no era fcil

Requera (y requiere) no sloaprobar un grupo de materias sinoadems, escribir un trabajo

originaly someterlo al referato deun grupo de matemticos para sevaluacin. La tarea del tutor e

esencial en ese proyecto, no slo


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por la gua que representa, sinoporque lo habitual es que sea l (oella) quien sugiera al aspirante eproblema a investigar yeventualmente, resolver.

La situacin que se gener co

Pucho es que ramos muchos, y eramuy difcil que tuviera tantoroblemas para resolver, y que

pudiera compartirlos con tantoaspirantes. Recuerdo ahora quecada uno necesitaba un problema

ara s. Es decir que cada unodeba trabajar con suproblema. Laespecialidad era Topologa

Diferencial. Cursbamos materia


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untos, estudibamos juntos, peroos problemas no aparecan.

Algo nos motiv a tres de loestudiantes (Bcari, Antn y yo) querer cambiar de tutor. No setrataba de ofender a Larotonda

sino de buscar un camino por otroado. Noriega ya haba optado po

trabajar con el increble Lui

Santal y nosotros, empujados estimulados por lo que haba hechRicardo, decidimos cambia

tambin. Pero a quin recurrirQuin tendra problemas paracompartir? Y en qu reas

Porque, ms all de que alguie


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quiera y posea problemas para suestudiantes, tambin importa etema: no todos son igualmenteatractivos, y cada uno tena sunclinaciones particulares, supropios gustos. Sin embargo

estbamos dispuestos a empezade cero, si logrbamos que alguienos sedujera.

As fue como apareci en nuestrasvidas Miguel Herrera,

quien recin haba vuelto a

pas despus de pasar algunos aocomo investigador en FranciaReconocido internacionalmente

por su trabajo en Anlisi


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Complejo, sus contribucionehaban sido altamente festejadaen su rea. Miguel haba formadoparte del grupo de matemticoargentinos que emigraron luego degolpe militar que encabez Jua

Carlos Ongana en 1966, y se fuenmediatamente despus de lnoche infame de los bastone

argos. Sin embargo, volvi al paen otro momento terrible, porquecoincida con otro golpe militar

esta vez el ms feroz de nuestrahistoria, que someti a laArgentina al peor holocausto de

que se tenga memoria.


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Pero vuelvo a Herrera: sretorno era una oportunidad paranosotros. Recin haba llegado todava no tena alumnos. Lofuimos a ver a su flamante oficinay le explicamos nuestra situacin

Miguel nos escuch con atencin ytpico en l, dijo: Y por qu no sevan al exterior? Por qu se quiere

quedar ac con todo lo que estpasando? Yo puedo recomendarloa distintas universidades, tanto e

Francia como en los EstadoUnidos. Creo que les convienerse.

Me parece que fui yo el que le


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dijo: Miguel, nosotros estamoac y no nos vamos a ir del pas eeste momento. Queremopreguntarte si tens problemas quequieras compartir con nosotrospara poder doctorarnos en e

futuro. Sabemos muy poco detema en el que sos especialistapero estamos dispuestos a estudiar

Y en cuanto a tu asesoramiento tutora, hac de cuenta que somotres alumnos franceses, que

legamos a tu oficina en laUniversidad de Pars y teofrecemos que seas nuestro

director de tesis. Qu nos vas a


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contestar? Vyanse de Pars?.Herrera era el profesor titula

de Anlisis Complejo. Al pocotiempo, Antn, en su afn deconvertirse en crtico de cine rbitro de ftbol (entre otra

cosas), decidi bajarse deproyecto, pero Nstor Bcari (apartir de aqu Quiqun, s

sobrenombre) y yo fuimonombrados asistentes de Herrera efes de trabajos prcticos en la

materia que dictaba. Si uno quieraprender algo, tiene qucomprometerse a ensearlo se

fue nuestro primer contacto co


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nuestro director de tesisEmpezamos por el principio. Lamejor manera de recordar lo quehabamos hecho cuando tuvimoque cursar Anlisis Complejo (aprobarla, claro) era tener que

ensearla. Y as lo hicimos.Pero Quiqun y yo queramo

saber cul sera el trabajo de la

tesis, el problema que deberamoresolver, Herrera, paciente, nodeca que no estbamos an e

condiciones de entender eenunciado, y ni hablar de tratar deresolverlo. Pero nosotros, que

venamos de la experiencia co


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Pucho, y nunca logrbamos que nodiera el problema, queramosaber.

Un da, mientras tombamoun caf, Herrera abri un libroescrito por l, nos mostr un

frmula y nos dijo: ste es eprimer problema para resolverHay que generalizar esta frmula

se es el primer trabajo de tesipara alguno de ustedes dos.

Eso sirvi para callarnos po

un buen tiempo. En realidad, notuvo callados por mucho tiempoEs que salimos de la oficina donde

habamos compartido el caf y no


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miramos con Quiqun, porque noentendamos nada. Despus dehaber esperado tanto, de habecambiado de director, de cambiade tema, de especialidad, de todotenamos el problema, s pero no

entendamos ni siquiera eenunciado. No sabamos nentendamos lo que tenamos que

hacer.sa fue una leccin. E

objetivo entonces fue hacer lo

posible, estudiar todo lo posiblepara entender el problema. ClaroHerrera no nos dejara solos. No

slo ramos sus asistentes en la


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materia para la licenciatura quedictaba sino que, adems, noprovea de materiaconstantemente. Nos traa paperescritos por l o por otroespecialistas en el tema, y trataba

de que empezramos acostumbrarnos a la terminologaal lenguaje, al tipo de solucione

que ya haba para otros problemasimilares. En definitivaempezamos a meternos en e

submundo del Anlisis ComplejoPor un lado, dbamos clases aprendamos casi a la par de lo

alumnos. Resolvamos las prctica


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y leamos tanto como podamosobre el tema. Ademavanzbamos por otro lado, ebamos acumulando informacin apaso que l nos indicaba.

Quiqun fue un compaero

fabuloso. Dotado de un talentonatural, vea todo mucho anteque yo, y fue una gua imposible d

reemplazar. Yo, menos preparadocon menos facilidad, necesitaba dea constancia y la regularidad. Y

se era y fue mi aporte a nuestrotrabajo en conjunto: l pona etalento y la creatividad; yo, l

constancia y la disciplina. Todos lo


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das, nos encontrbamos a las ochode la maana. No haba das defro, ni de lluvia, ni de calor, ni deresaca de la noche anteriortenamos que estar a las ocho dea maana sentados en nuestr

oficina, listos para trabajar! Param, que tena auto, era mucho mfcil. Quiqun vena de ms lejos

tomaba uno y, a veces, docolectivos.

Lo que siempre nos motivaba

nos impulsaba era que a las ochocuando recin nos habamoacomodado, alguien golpeab

sistemticamente a la puerta


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Miguel vena todos los das a lafacultad a ver qu habamos hechoel da anterior: qu dificultadehabamos encontrado, qunecesitbamos. As construimouna relacin cotidiana que no

sirvi para enfrentar muchasituaciones complicadas momentos de dificultad en los que

no entendamos, no nos sala naday no podamos avanzarEncontrarnos todos los das

siempre, sin excepciones, nopermiti construir una red entreos tres que nos sirvi de apoyo e

todos esos momentos de


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frustracin y fastidio.El problema estaba ah. Ya no

haba que preguntarle ms nada aHerrera. Era nuestrresponsabilidad estudiar, leernvestigar, preocuparnos par

tratar de entender. Con Quiqusiempre confiamos en Miguel, y se gan nuestro reconocimiento no

por la prepotencia de su prestigiosino por la prepotencia de strabajo y su constancia. Migue

estuvo ah todos los das.Una maana, de lacentenares que pasamos juntos

mientras tombamos un caf, no


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miramos con Quiqun y recuerdoque nos quedamos callados por unstante. Uno de los dos dijo algoque nos hizo pensar en lo mismoacabbamos de entender e

enunciado! Por primera vez, y a

ms de un ao de habrseloescuchado a Miguelcomprendamos lo que tenamo

que hacer. De ah en adelante, algocambi en nuestras vidashabamos entendido! Lo destaco

especialmente porque fue un damuy feliz para los dos.Un par de meses ms tarde, u

da cualquiera, sbitamente


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cremos haber encontrado lasolucin a un problema que lomatemticos no podan resolvehaca ya siglos. No era posibleTenamos que estar haciendo algomal, porque era muy poco

probable que hubiramos resueltouna situacin que los expertos detodo el mundo investigaban desde

tanto tiempo atrs. Era ms fcicreer (y lo bien que hicimos) queestbamos haciendo algo mal o

entendamos algo en formaequivocada, antes que pensar quepasaramos a la inmortalidaden e

mundo de la matemtica. Pero no


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podamos darnos cuenta del error!Nos despedimos esa noche

casi sin poder aguantar hasta el dsiguiente, cuando llegara MiguelLo necesitbamos para que noexplicara dnde estaba nuestro

error. Por la maana, Miguegolpe a la puerta como siempre, nos atropellamos para abrirle. Le

explicamos lo que pasaba y lepedimos que nos dijera dnde noestbamos equivocando

Entrecerr los ojos y sonrientedijo: Muchachos, seguro que estmal. No fue una novedad

nosotros sabamos que tena que


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estar mal. Y comenz explicarnos, pero nosotros lerefutbamos todo lo que decaEscriba en el pizarrn con las tizaamarillas con las que siempre noensucibamos las manos, pero no

haba forma. Peor an: Migueempez a quedarse callado, apensar. Y se sent en el sof de una

plaza que haba en la oficinaTom su libro, el libro que lhabescrito, ley una y otra vez lo que

l haba inventado y nos dijo, loque para m sera una de las frasems iluminadoras de mi vida: No

entiendo. Y se hizo un silencio


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muy particular.Cmo? Miguel no entenda

Pero si lo haba escrito l! Cmoera posible que no fuera capaz deentender lo que l mismo habaensado?

Esa fue una leccin que noolvid nunca. Miguel hizo gala deuna seguridad muy particular

muy profunda: poda dudar, aun des mismo. Ninguno de nosotros ibaa dudar de su capacidad. Ninguno

ba a pensar que otro haba escritoo que estaba en su libro. NoMiguel se mostraba como

cualquiera de nosotros falible. Y


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sa fue la leccin. Qu problemahay en no entender? Se habtransformado acaso en una peopersona o en un burro porque noentenda? No, y eso que se daba eujo de decir frente a sus do

alumnos y doctorandos que noentenda lo que l mismo habescrito.

Por supuesto, no hace faltadecir que despus de llevrselo asu oficina, y de dedicarle un par de

das, Miguel encontr el error. NQuiqun ni yo pasamos a la fama, yl nos explic en dnde estbamo

equivocados.


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Con el tiempo nos doctoramospero eso, en este caso, es lo quemenos importa.

Miguel nos haba dado unaeccin de vida, y ni siquiera lo

supo ni se lo propuso. As son lo

grandes.

Los nmeros de lamatemtica

Un matemtico, como un pintor oun poeta, es un hacedor de

patrones. Si sus patrones son m


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permanentes que los de ellos, eporque estn hechos con ideas. U

pintor crea patrones con suformas y colores, un poeta, copalabras Un matemtico, po

otro lado (a diferencia del poeta)

no tiene material para trabajasalvo con sus ideas, y sus patrone

suelen durar mucho ms, ya que

las ideas se gastan menos que lapalabras

G. H. HARDY, A

Mathematicians Apology(1940)Algunas curiosidadematemticas y cmo explicarla

cuando se puede)


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Si uno multiplica 111.111.11por s mismo, es decir, si lo elevaal cuadrado, se obtiene el nmero

12.345.678.987.654.321En realidad, es esperable que

esto pase porque si uno piens

cmo hace para multiplicar donmeros (y lo invito a que lohaga), advierte que multiplic

cada dgito del segundo por todoos dgitosdel primero, y los corre

hacia la izquierda a medida que

avanza.Como los dgitos del segundoson todos nmeros 1, lo que hace

es repetir el primer nmero una


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otra vez, aunque corrindolo a lazquierda en cada oportunidad. Poeso, al sumarlos, encolumnados deesa forma, se obtiene el resultadode ms arriba:

12.345.678.987.654.321

Lo que sigue s es unacuriosidad, y aunque no tengo unaexplicacin para dar, result

simptico.Tome el nmero

1.741.725

Eleve cada dgito a la sptimapotencia y sume los resultados. Edecir:

1

7

+ 7

7

+ 4

7

+ 1

7

+ 7

7

+ 2

7

+ 5

7


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Cunto le dio?Bueno, si tuvo paciencia (o

una calculadora) para hacer lacuenta, el resultado es: 1.741.725.

Ahora, tome un nmero detres dgitos cualquiera. Digamos el

472Construya el nmero que

resulte de escribirlo dos vece

seguidas. En este caso:472.472

Divida ahora por 7. Con lo que

se obtiene: 67.496Divida ese resultado por 11. Se

tiene entonces:


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6.136y a ste divdalo por 13. E

resultado final es472!

Es decir, el nmero originalcon el que empez.

Por qu pas esto? Pasar lomismo con cualquier nmero queuno elija?

Antes de dar las respuestasobserve que en el caminodividimos el nmero por 7, y dio u

resultado exacto. Despus lodividimos por 11, y volvi a dar unmero entero, y finalmente

encontramos un nmero que


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result ser un mltiplo de 13.Ms all de correr a leer po

qu pasa esto siempre cocualquier nmero de tres dgitoque uno elija, le sugiero que piensun poco la solucin. Es mucho m

gratificante pensar uno soloaunque no se llegue al resultadoque buscar cmo lo resolv yo. S

no, qu gracia tiene?SOLUCIN:Lo primero que uno tiene es u

nmero de tres dgitoslammoslo:abc

Luego, haba que repetirlo:


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abcabcEl trmite que sigui fue

dividir ese nmero, primero por 7uego por 11 y finalmente por 13Y en todos los casos obtuvo u

resultado exacto, sin que sobrara

nada!Eso significa que el nmero

abcabctiene que ser mltiplode 7

11 y 13. Es decir que tiene que semltiplo del producto de esos trenmeros.Y justamente, e

producto de esos nmeros es:7 . 11 . 13 = 1.001Por qu pasa, entonces, que

el nmero en cuestin es mltiplo


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de 1.001?Si uno multiplica el nmero

abc por 1.001, qu obtieneRealice la cuenta y despu

contine leyendo.)abc. (1.001) = abcabc

Acaba de descubrir por qupas lo que pas. Si a cualquienmero de tres dgitos (abc) se le

agrega delante el mismo nmeroel resultado (abcabc) es umltiplo de 1.001. Y cuando se

divide el nmero abcabcpor 1.001el resultado que se obtiene eabc.

Porque si un nmero e


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mltiplo de 3 y de 5, por ejemplotiene que ser mltiplo de 15, quees el producto entre 3 y 5. Estosucede y le sugiero que lo piensesolo tambin porque todos lonmeros aqu involucrados so

rimos. Por ejemplo, el nmero 1es mltiplo de 4 y de 6, pero noemltiplo de 24 (producto de 4 y de

6). En el caso en que los nmeroen cuestin sean primos, entoncesel resultado ser cierto.

Debemos advertir que si unomultiplica un nmero de tredgitos por 1.001, obtendr e

mismo nmero repetido dos vece


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consecutivas.No deja de ser una curiosidad,

aunque tiene un argumentoque lo sustenta. Y un poco de

matemtica tambin.Cmo multiplicar si uno no

sabe las tablas?Lo que sigue va en ayuda de

aquellos chicos que se resisten a

aprender de memoria las tablas demultiplicar. Me apuro a decir queos comprendo perfectamente

porque, en principio, cuando a unoe ensean a repetirlas, no lequeda ms remedio que

subordinarse a la autoridad


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del/la maestro/a, pero a esaaltura no est claro (para el niopor qu tiene que hacerlo. Lo quesigue es, entonces, una formaalternativa de multiplicar, quepermite obtener el producto de do

nmeros cualesquiera sin saber latablas. Slo se requiere:

a) saber multiplicar por 2 (o

sea, duplicar);b) saber dividir por 2, yc) saber sumar.

Este mtodo no es nuevo. Etodo caso, lo que podra decir eque est en desuso u olvidado, y

que era la forma en que


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multiplicaban los egipcios y quean hoy se utiliza en mucharegiones de Rusia. Es conocidocomo la multiplicacin paisana. Eugar de explicarlo en general, vo

a ofrecer un ejemplo que ser

suficiente para entenderlo.Supongamos que uno quiere

multiplicar 19 por 136. Entonces

preprese para escribir en docolumnas, una debajo del 19 otra, debajo del 136.

En la columna que encabeza e19, va a dividir por 2olvidndose de si sobra algo o

no. Para empezar, debajo del 1


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hay que poner un 9, porque si bie19 dividido 2 no es exactamente 9uno ignora el resto, que es 1, sigue dividiendo por

2. Es decir que debajo del pone el nmero 4. Luego, vuelve a

dividir por 2 y queda 2, y al volvea dividir por 2, queda 1. Ah para.

Esta columna, entonces, qued

as:19 9 4 2 1Por otro lado, en la otra

columna, la encabezada por el 136en lugar de dividir por 2multiplique por 2 y coloque lo

resultados a la par de la primera


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columna. Es decir:

19 1369 272

4 544

2 1.0881 2.176

Cuando llega al nivel denmero 1 de la columna de lazquierda detenga la duplicaci

en la columna del 136Convengamos en que everdaderamente muy sencillo

Todo lo que hizo fue dividir por


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en la columna de la izquierda multiplicar por 2 en la de laderecha. Ahora, sume slo lonmeros de la columna derechque corresponden a nmerompares de la izquierda. En este

caso:

19 136

9 272

4 544

2 1.0881 2.176

Al sumar slo los compaero


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de los impares, se tiene:136 + 272 + 2.176 = 2.584que es (justamente!) e

producto de 19 por 136.Un ejemplo ms.Multipliquemos ahora 375 po

1.517. Me apuro a decir que da lomismo elegir cualquiera de los donmeros para multiplicarlo o

dividirlo por 2, por lo que sugieropara hacer menor cantidad decuentas, que tomemos el 375 como

cabeza de la columna en la quedividiremos por 2. Se tieneentonces:

375 1.517


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187 3.034

a. 93 6.068 46 12.1323 24.272 11 48.544

b. 5 97.088 2 194.176 388.352

Ahora hay que sumar los de lasegunda columna cuyo

compaeros de la primera columnasean impares:

375 1.517187 3.034

93 6.068


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46 12.136

23 24.272

11 48.5445 97.088

2 194.176

1 388.352

568.875

Y, justamente, 568.875 es eproducto que estbamos buscando

Ahora, lo invito a que piensepor qu funciona este mtodo queno requiere que uno sepa las tablade multiplicar (salvo la del 2


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claro).EXPLICACIN:Cuando uno quiere encontra

a escritura binaria de un nmeroo que debe hacer es dividir e

nmero por 2 reiterada-mente,

anotar los restos que las cuentaarrojan. Por ejemplo:173 = 86. 2 + 1 86 = 43. 2 + 0 43

21. 2 + 1 21 = 10. 2 + 1 10 = 5. +0 5= 2. 2 + 1 2= 1. 2 +0 1= 0. 2

De modo que el nmero 173 seescribir (recorriendo los restos deabajo hacia arriba):

10101101


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Supongamos ahora que unoquiere multiplicar 19 por 136Entonces, lo que hacamos eradividir sucesivamente por 2 enmero 19:

19 = 9. 2 + 1 9 = 4. 2 + 1 4 = 2

2 +0 2 = 1. 2 +0 1 = 0. 2 + 1Es decir que la escritur

binaria del 19 se obtiene

recorriendo de abajo hacia arribos restos; por lo tanto, se tiene el

10011

Por otro lado, esto nos diceque el nmero 19 se escribe as:19 = 1 . 24+ 0 . 2+ 0 . 2+ 1 . 2

+ 1 . 2

0

= (16 + 2 + 1)


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Luego, cuando uno tiene quemultiplicar 19 por 136aprovechamos la escritura ebinariode 19, y anotamos:19 . 136 = 136 . 19 = 136 . (16 + 2 +

1) =

(Y ahora, usando la propiedadistributivade la multiplicacin, setiene:)

= (136 . 16) + (136 . 2) + (136 . 1) =2.176 + 272 + 136 = 2.584

Esto explica por qu funciona

este mtodo para multiplicarEncubiertamente, uno est usandoa escritura binaria de uno de lo

nmeros.


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Veamos el otro ejemplo (375 1.517):

375 = 187. 2 + 1187 = 93. 2 + 193 = 46. 2 + 146 = 23. 2 +0

23 = 11. 2 + 111 = 5. 2 + 15= 2. 2 + 1

2= 1. 2 +01= 0. 2 + 1Luego, la escritura binaria de

375 es: 375 = 101110111Es decir:

375 = 1 . 2

8

+ 0 . 2

7

+ 1 . 2

6

+ 1 . 2

5

+ 1


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24

+ 0 . 2+ 1 . 2+ 1 . 2+ 1 . 20== 256 + 64 + 32 + 16 + 4 + 2 + 1 (*)

Si uno quisiera multiplica1.517 por 375, lo que debe hacer edescomponer el nmero 375, como

est indicado en (*).Luego:

1.517 . 375 = 1.517 . (256 + 64 + 32 16 + 4 + 2 + 1) =

(Usando la propiedad distributivadel producto otra vez:)= (1.517 . 256) + (1.517 . 64)

1.517 . 32) + (1.517 . 16)


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+ (1.517 . 4) + (1.517 . 2) 1.517 . 1)

= 388.352 + 97.088 + 48.544 24.272 + 6.068 + 3.034 + 1.517

que son justamente losumandos que tenamos antes.

En definitiva, la escritura ebinario permite encontrar ladescomposicin de uno de los do

nmeros que queremos multiplicay, al hacerlo, explica cuntas vecehay que duplicarel otro.

Cmo dividir sin saber latablas de multiplicar?Aqu corresponde hacer un

breve introduccin.


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Ni bien decid incluir eartculo anterior (sobre lmultiplicacin sin saber las tablas)me propuse encontrar una maneraque permitiera hacer algo parecidocon la divisin. Es decir: cmo

dividir dos nmeros sin tener queaprender primero las tablas demultiplicar?

Les plante el problema a doexcelentes matemticos amigosPablo Coll y Pablo Milrud

dicindoles que me sentirafrustrado y con la sensacin de quea tarea quedara inconclusa si no

encontraba cmo dividir con esa


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premisa. Ellos pensarondiscutieron, me propusieron unaforma que consideramos entre lotres y que volvi a ser sometida asu anlisis. Quiero presentar aquuna versin muy buena

encontrada por los dos Pablos quienes se merecen todo el crdito, que estoy seguro servir de

estmulo para los docentesquienes podrn mejorarlo, otenerlo como un recurso ms e

sus manos.Debo recalcar que no se tratde olvidarnos de las tablas, sino de

discutir si vale la pena someter


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os alumnos a la tortura virtualde tener que aprender de memoriauna cantidad de nmeros a unaedad en la que podran dedicarleese tiempo y esa energa a otracosas, mientras esperamos que la

maduracin natural les permitdeducir a ellos solos qu son latablas y para qu sirven. Eso s

como uno no puede (o no quiereesperar tanto tiempo paraaprender a dividir y multiplicar

necesita encontrar mtodoalternativos para hacerloSeguramente habr otros mejores

por lo que lo invito a pensarlos


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proponerlos.All voy.Para poder dividir dos nmero

sin tener que saber las tablas demultiplicar hace falta saber sumarrestar y multiplicar por 2. Eso e

todo.Le pido que me teng

confianza porque, si bien a

principio puede parececomplicado, es en realidamuchsimo ms fcil que dividir e

a forma convencional, y aunquesea slo por eso, porque ofrece unamanera alternativa a lo que uno

aprendi en la escuela y se corr


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de lo clsico, vale la penaprestarle atencin.

En lugar de detenerme etodos los tecnicismos querequerira un libro de texto o dematemtica, mostrar alguno

ejemplos con creciente grado dedificultad.

El mtodo consiste en fabrica

cuatro columnas de nmeros partir de los dos nmeros que unotiene como datos.

EJEMPLO 1Para dividir 712 por 31completo en primer lugar la

primera columna y luego la cuarta


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31 1

62 2124 4

248 8

496 16

712

Para obtener la primercolumna, empiezo con el nmeropor el que queremos dividir; e

este caso, el 31. A partir de l, eforma descendente, multiplico po2 en cada paso. Por qu par en e

496? Porque si multiplico el 496 po


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2, obtendra un nmero (992mayor que 712 (el nmero queoriginariamente quera dividir)Por eso, en lugar de poner el 992anoto el 712. Es decir que paragenerar la primera columna, slo

hace falta saber multiplicar por 2 estar atento para terminar eproceso en el paso anterior a

superar nuestro segundo nmero.La cuarta columna se obtiene

gual que la primera, slo que e

ugar de empezar con el 31empiezo con el nmero 1. Como seadvierte, irn apareciendo la

distintas potencias del nmero


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2. Detengo el proceso en emismo lugar en que me detuve ea primera columna. Hasta aqu

todo lo que uno necesita saber emultiplicar por 2.

Cmo se completan las dos

columnas del medio? As:

31 30 1

62 30 2

124 92 4

248 216 8496 216 16

712


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Para realizar este paso, lo quenecesita saber es restar. Empiezode abajo hacia arriba, restando enmero que tenemos para dividiel 712) menos el anteltimo

nmero de la columna uno (496). A

resultado, lo anoto en la columnados, y as aparece el 216. Ahorcomparo el 216 con el 248. Como

no lo podemos restar (porque 21es menor que 248, y slotrabajamos con nmero

positivos), guardamos el 216 en lacolumna tres.Ahora sigo hacia arriba

comparando siempre con la


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primera columna): como 216 emayor que 124, entonces los restoEl resultado (92) va en la segundacolumna. Un paso ms: como 92 emayor que 62, los restonuevamente y obtengo el 30. Otra

vez lo pongo en la segundacolumna. Y aqu, como 30 es menoque 31, no lo puedo restar y lo

vuelvo a anotar en la terceracolumna.

Ya casi llegamos al final. Slo

falta un paso, y convengamos queel proceso hasta ac fue musencillo. Cmo termina? Todo lo

que hay que hacer es sumar lo


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nmeros de la cuarta columna quetengan un compaero en lsegunda. Es decir:

2 + 4 + 16 = 22Y obtenemos el nmero que

estbamos buscando.

El resultado de dividir 712 po31 es 22, y sobra el nmero 30, quefigura en la columna tres, donde

par el proceso.Verifquelo:31 . 22 = 682

Como escrib ms arriba, eresto es 30. Luego:682 + 30 = 712

Y se termin. Resumen: se


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arman cuatro columnas. En laprimera y la cuarta se trata de imultiplicando por 2, empezando ea columna de la izquierda por e

nmero por el que queremodividir, y en la de la derecha, po

el nmero 1.En las columnas del medio se

anotan los resultados de las restas

y cuando se puede restar, enmero se guarda en la columnados. Cuando no se puede restar, se

coloca en la columna tres. Ecociente se obtiene sumando lonmeros de la cuarta columna que

tienen un compaero en la


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segunda. Y el resto es el nmeroque sobra en la columna dos o ea columna tres.

EJEMPLO 2Para dividir 1.354 por 129, escribo

la tabla directamente:

129 64 1

258 64 2

516 322 4

1.032 322 8

1.354

El nmero 322 que figura en la

columna dos result de restar 1.35


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1.032. Como 322 es menor que516, lo tuve que poner en lacolumna tres. Como 322 es mayoque 258, los rest y el resultado64, lo puse en la columna dosComo 64 es menor que 129, lo puse

en la columna tres. Y ah terminde construir la tabla.

Lo nico que falta, entonces

es calcular el cociente y el restoEl cociente lo obtiene sumando lonmeros de la cuarta columna que

tienen un compaero en la segundes decir, cuando no ha quedado uugar vaco). El cociente en este

caso es:


99/669

2 + 8 = 10El resto es el primer nmero

de la columna tres, es decir: 64.Hemos descubierto de esta

manera que, si uno divide 1.35por 129, el cociente es 10 y e

resto, 64. Verifquelo.EJEMPLO 3Ahora dividamos 13.275 por 91

Construyo la tabla como en loejemplos anteriores:

91 80 1182 171 2

364 171 4


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728 171 8

1.456 171 16

2.912 1.627 325.824 1.627 64

11.648 1.627 128

13.275

Con la tabla conseguimosentonces, el cociente y el resto. Ecociente, de sumar los nmeros dea cuarta columna que tengan u

compaero en la columna dos. Edecir:

1 + 16 + 128 = 145

Para determinar el resto


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miramos lo que sobr donde parel proceso. En este caso, el nmero80.

Verificacin:145 . 91 = 13.195

13.195 + 80 = 13.275

LTIMO EJEMPLOQuiero dividir 95.837 po

1.914. Construyo entonces la

siguiente tabla:

1.914 137 1

3.828 137 27.656 3.965 4

15.312 3.965 8


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30.624 3.965 16

61.248 34.589 32

95.837

El nmero 34.589 result de

restar 95.837 menos 61.248. El3.965 result de restar 34.58

menos 30.624. Como 3.965 e

menor que 15.312 y que 7.656, loescrib dos veces en la terceracolumna. Ahora, como 3.965 emayor que 3.828, los puedo res

tar, y obtengo el 137. Como137 es menor que 1.914, lo dejo ea tercera columna. El cociente lo


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consigo sumando los nmeros de lcuarta columna que tienen ucompaero en la segunda. En estecaso:

2 + 16 + 32 = 50El resto es el ltimo nmero

en donde termin el proceso (quepuede figurar en la columna dos oen la tres). En este caso, es 137.

Verificacin:

1.914 . 50 = 95.700

A lo que agrego el resto:95.700 + 137 = 95.837

Y llego a lo que quera


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comprobar.Para terminar, un par de

observaciones:a) No explico aqu por qu

funciona el mtodo porque notendra el espacio adecuado, pero

a aquellos que estn interesadostodo lo que deben hacer es replicao que uno hace cuando efect

cualquier divisin comn. Estemtodo opera de la misma formaque el que uno conoce desde la

escuela primaria, slo que se usaencubiertamente) los nmerobinarios.

b) Ms all de que alguie


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adopte estos mtodos para dividiy/o multiplicar sin tener que sabeas tablas, lo que intento proponees que hay otras maneras dehacerlo. Creo que hay queexplorarlas para que, en definitiva

ensear las operacioneelementales no sea una torturapara nadie.

Monedas en carretillaCuntas veces por da uno

estima algo y no necesariamente

se da cuenta de que lo hace?En realidad, uno vivestimando todo el da, todo e

tiempo. Voy a demostrarlo.


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Cuando alguien sale de scasa, estima cunto dinero tieneque llevar, pensando en el da quetendr por delante. (Claro, eso stienedinero para llevar, y si tienalgn lugar adonde ir. Pero

supongamos que se cumplen amborequisitos.) Adems, estimacuntotiempo antes debe salir de su casa

para llegar adonde debe ir. Estimasi le conviene esperar el ascensoque est tardando ms de la

cuenta, o si le conviene bajar poa escalera. Y estimasi le convienr en colectivo o en taxi, de

acuerdo con el tiempo disponible


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Y estima al cruzar la calle, svienen autos, el tiempo quetardarn en llegar hasta l. Ydecide entonces si cruza o no. Sisaberlo, estar estimando lavelocidad del auto que viene a s

zquierda, y la estar comparandocon su propia velocidad parcruzar. Si va manejando un auto

estimacundo tiene que apretar efreno y cundo acelerar. O estimasi llegar a cruzar el semforo e

verde o en amarillo, o si nocruzar. Tambin estima cuntocigarrillos comprar para el da

cuntos de ellos va a fumar, estima


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cunto va a engordar con lo quecomer, estima a qu funcin decine va a llegar Estima, estimay luego decide.

Creo que estar de acuerdoconmigo en que uno viv

estimando, aunque no lo sepaEstamos entrenados para hacer lacosas en piloto automtico, pero

cuando a uno lo corren un poquitode las estimaciones cotidianastrastabilla. No siempre, claro, pero

a nadie le gusta que lo muevan dea zona en la que se sienteconfortable.

Por ejemplo: supongamos que


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est parado en la vereda cerca deun edificio muy alto, digamos de100 pisos. Supongamos tambique le digo que camioneblindados, de esos que transportacaudales, depositaron en la vereda

suficientes monedas de un pesocomo para que las empiece aapilar en la base del edificio con la

dea de llegar con ellas hasta laterraza.

Ahora, la parte importante: e

a vereda dejaron una carretillaque mide un metro de ancho, poun metro de largo, por un metro d

alto. Es decir que tiene u


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volumen de un metro cbico.Cuntos viajes tendr qu

hacer con la carretilla llena dmonedas, para levantar una pila ocolumna de monedas de un pesolegar hasta la terraza del edificio?

Se trata de estimar cuntoviajes se necesitan. No hace faltahacer un clculo exacto, sino da

una respuesta estimativa.Aqu es donde lo dejo pensa

solo; eventualmente puede usar la

respuesta que figura ms abajopara confirmar lo que pens. Y sbien la tentacin es decir: Ahor

no tengo tiempo, voy a leer la


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solucin, se perder laoportunidad de disfrutar de slopensar. Nadie lo mira y, por otroado, no es interesante podehacer algo con lo que uno entrenael pensamiento, entrena la

ntuicin, sin que haya nada euego ms que el placer d

hacerlo?

Como incentivo, agrego unabreve historia.

Este problema me lo cont

Gerardo Garbulsky, doctor eFsica del MIT y actual director deuna consultora muy importante

radicada en la Argentina. En e


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proceso de buscar gente parcontratar, realiz esta pregunta aunos doscientos aspirantes. Ladistribucin aproximada de larespuestas fue la siguiente:

1 carretilla: 1 persona 1

carretillas: 10 personas 10carretillas: 50 personas

1.000 carretillas: 100 personas

10.000 carretillas: 38 persona

Ms de 10.000 carretillas: persona

SOLUCIN:

La moneda de un peso


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argentino tiene 23 milmetros dedimetro y un espesor de 2,milmetros. Estos datosobviamente, son aproximadospero a los efectos del problemaplanteado son ms que suficientes

Recuerde que no queremos unrespuesta exacta sino unaestimacin.

Entonces, para hacer lacuentas ms fciles, voy a suponeque cada moneda tiene 2

milmetros de dimetro y 2,milmetros de espesor. Veamocuntas monedas entran en la

carretilla (de un metro cbico de


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volumen). Estimemos cuntas sepueden poner en la base (que tieneun metro de largo por uno deancho).

Gerardo establece unadiferencia entre la estimaci

ntuitivay la estimacin calculadaCuando realizaba esta pregunta eas entrevistas, peda a lo

candidatos que primero le dijeracuntos viajes eran necesarios sihacer ningn clculo. As se

obtuvieron las primerarespuestas. Despus les pidi laestimacin cuantitativa, y ah el 9

por ciento de las respuestas fuero


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correctas. Es muy distinto teneeducada la intuicin o secapaz de estimar cantidades. Lasegunda es una capacidad queejercida repetidamente, ayuda agenerar la primera, pero son de

naturaleza muy distinta.

1 moneda 25 mm

4 monedas 100 mm

40 monedas 1.000 mm = 1 metro

Luego, como la base ecuadrada (de un metro por umetro), entran 40 . 40 = 1.60


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monedas. Y como la carretillatiene un metro de altura, y deespesor cada moneda tiene 2,milmetros, veamos cuntamonedas entran a lo alto:

1 moneda 2,5 mm

4 monedas 10 mm 40monedas 1.000 mm = 1 metro

De modo que en la base entra

1.600 monedas, y eso hay quemultiplicarlo por 400 monedas dealtura.

400 . 1.600 = 640.000 monedasHagamos una pausa por unstante.

Acabamos de estimar que e


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cada carretilla de un metro cbicoentran casi 650.000 monedasGuardemos este dato en lamemoria. Falta ahora queestimemoscuntas monedas hacefalta para levantar una columna

que vaya desde la base derascacielos de 100 pisos hasta lterraza.

Estamos parados frente a uedificio de 100 pisos. Podemoestimarque la alturade cada piso

es de 3 metros. Es decir, que urascacielos de 100 pisos tiene unaaltura de unos 300 metros. Tre

cuadras!


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Ahora, estimemos cuntamonedas hacen falta para llegahasta la terraza:

1 moneda 2,5 mm

4 monedas 10 mm40 monedas 100 mm

400 monedas 1.000 mm = 1 metro

Es decir que hacen falta 40monedas para llegar a tener

metro de altura, de modo quepara llegar a 300 metrosmultiplicamos por 400.

RESULTADO: 300 . 400 = 120.00


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monedasMORALEJA: Con una carretilla

alcanza y sobra.Para concluir, veamos un pa

de reflexiones estimuladas pocomentarios del propio Garbulsky

por Eduardo Cattani, otroexcelente matemtico y amigoque trabaja hace muchsimo

tiempo y con singular xito eAmherst, Massachusetts.

Eduardo sugiere que la altura

de la moneda no es un datonecesario para hacer la estimacicuantitativa. Parece raro, pero

sgame en este razonamiento: si se


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sabe que en la base de la carretillentran 1.600 monedas y vamos aapilar monedas hasta que lleguen un metro de altura, al finalizar eproceso tendremos 1.600 columnade un metro.

Luego, cuando saquemos lamonedas de la carretilla pongamos cada pila de un metro

encima de la otra, formaremouna columna de 1.600 metros! Ypara esto, no hizo falta saber cu

era el espesor de cada moneda.Ahora que el problematermin, le propongo pensar qu

aprende uno de l. La intuici


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consiste en tratar de extrapolar laexperiencias acumuladas en la viday usarlas en las nuevas situacioneque se presenten. Estoobviamente, no est mal. Slo quecuando uno tiene que operar e

diferentes escenarios, en donde lovolmenes son enormes, o lacantidades son ms grandes

empieza a deslizarse por caminodesconocidos. Pero, como en todouno se entrena y aprende.

Ah Creo que Gerardo sugirique le dieran el puesto a la nicapersona que dijo que haca falta u

solo viaje.

4


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La historia de GoogleQuiere entrar a trabajar e

Google? Necesita estar preparadopor ejemplo, para resolveproblemas como los que siguen.

La historia, al menos para m

empez en agosto del 2004. Estabaen Boston y al pasar por unaestacin de subte vi un cartel de

publicidad muy grande, de unoquince metros de largo, colgadodel techo de la estaci

correspondiente a la Universidade Harvard. El cartel deca:(primer primo de 10 dgito

consecutivos del desarrollo de


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e).comNada ms. Eso era todolo que

deca el enorme cartelObviamente, me llam muchsimoa atencin, y lo primero que pens

4Gerardo Garbulsky tambi

reflexiona acerca del hecho de quea altura de la moneda no es u

dato necesario para realizar la

estimacin cuantitativa. Poejemplo: a) lo nico necesario esaber el volumen de la torre de

monedas, que obviamente nodepende de la altura de cadamoneda, sino de su dimetro y la

altura del edificio; b) si la


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monedas tuvieran cualquier otraaltura, por ejemplo, 1 metro, dm, 1 cm, la respuesta sera lamisma. De hecho, cuando uno hacea cuenta, la altura de la moneda

se cancela en el mismo clculo

Este aspecto del problema tambies muy interesante, ya que ms dea mitad de los entrevistados trat

de calcular la altura (espesor) dea moneda para determinar la

estimacin cuantitativa. Dicho se

de paso, el espesor de la monedaes muy importante si uno quieresaber cunto dinero hay en la torre

de monedas.


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Siglo Veintiuno Editores

era si se tratara efectivamente deun cartel de publicidad o si alguieestara haciendo una broma o algopor el estilo. Pero no, el carte

tena todas las caractersticas deser una propaganda convencional.

Sin que nadie se sienta

ntimidado, podemos afirmar quecuando uno dice que algo creceexponencialmente, aunque no lo

sepa, involucra al nmero eCuando uno habla de logaritmoshabla del nmero e. Cuando habla

de inters compuesto, habla de


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nmero e. Cuando se refiere a laescala de Richter para mediterremotos, est involucrado enmero e.

Del mismo modo que noacostumbramos a or o a leer que

el nmeropise escribe:pi= 3,14159

el nmero e tambin tiene

nfinitas cifras, y las primeras son:e= 2,718281828

El nmero e es una suerte de

pariente cercano de pi, en esentido de que, como pi, erracional y trascendente.

La historia sigue as: despu


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de ver el cartel (y descubrirlo eotros lugares ms), le comuniqumi hallazgo a mi amigo CarloDAndrea, matemtico egresado dea Universidad de Buenos AireUBA), ahora instalado e

Barcelona luego de su exitoso pasopor Berkeley.

Carlos le traslad la pregunta

a Pablo Mislej, otro matemticoargentino que en ese momentotrabajaba en un banco en Bueno

Aires (y acababa de tener sprimer hijo). Unos das despusPablo me escribi un e-mai

contndome lo que haba


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encontrado. Ni bien vio eproblema, comprendi quenecesitaba encontrar la mayocantidad de decimales que hubierapublicados del nmero e. Yencontr el primer milln de

dgitos de een esta pgina:http://antwrp.gsfc.nasa.gov/htmlt

Esos datos se conocen hace y

muchos aos, ms precisamentedesde 1994. Lo que tuvo que hacePablo fue separar la informaci

en segmentos de diez numeritocada uno, y luego fijarse cul erael primero en formar un nmero

primo. Como se dar cuenta, todo


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esto es imposible de realizar siuna computadora, y siendocapaces de crear un programa queo procese.

La primera tira de 10 dgitoque cumpla con lo pedido era:

7427466391El nmero 7 que aparece e

primer lugar en la tira corresponde

al dgito 99 de la parte decimal denmero e.

Con ese dato, a continuaci

Pablo tuvo que ir a la pgina wehttp://www.7427466391.com y vequ pasaba. Cuando lleg a ese

punto, se encontr con otro


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problema (algo as como Labsqueda del tesoro). Claro quepara llegar a l debi resolver eprimero.

Y lo que Pablo vio fue losiguiente:

f(1) = 7182818284 f(2) 8182845904 f(3) = 8747135266 f(4) 7427466391 f(5) = ___________

En este caso, se trataba decompletar la secuencia. Es decir, apartir de los primeros cuatro

nmeros de la columna de laderecha, haba que descubrir qunmero corresponda al quinto

ugar.


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Pablo me escribi que, con upoco de suerte, advirti que lasuma de los diez dgitos de loprimeros cuatro nmeros dasiempre 49. No slo eso: como yatena los datos sobre el nmero e

su desarrollo, dedujo que loprimeros cuatro nmeros de esacolumna correspondan a cuatro de

as tiras que l ya tena. Es msvio que el primer nmero,

7182818284

corresponda a los primerodiez dgitosdel desarrollo decimadel nmero e.

El segundo:


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8182845904son los dgitos que van de

quinto hasta el decimocuartougar. El tercero:

8747135266corresponde a los dgitos que

van del lugar 23 al 32. Y poltimo, el cuarto:

7427466391

es la tira que involucra a lodgitos 99 al 108 del desarrollo dee. Se dio cuenta, entonces, de que

estaba cerca: necesitaba buscaahora la primera tira de todaas que no haba usado, que

sumara 49 Y la encontr!


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El candidato a ser el quintonmero de la secuencia era el

5966290435que corresponde a los dgito

127 al 136 del desarrollo decimal.Cuando complet la secuencia

y puls enter en su computadoraapareci sbitamente en otrapgina web. sta deca:

http://www.google.com/labjobs/indonde invitaban a enviar e

currculum vitae, que sera tenido

en cuenta por la firma Google paraun futuro contrato, porque quiehubiera ingresado en esa pgin

habra superado los obstculos que


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ellos crean suficientes para podepertenecer a la

5empresa.Los tests de inteligenciaQuiero retomar aqu el tema

de la inteligencia. No slo porquees un asunto apasionantedebatible y del que se sabe mu

poco, sino porque sera interesantediscutir sobre los mtodos que seutilizan comnmente para medirla

De hecho, es curioso que algunapersonas de cuya buena fe notengo por qu dudar (aunque de

acuerdo de algunos desconfo)


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ofrezcan tests para medir algocuya definicin no se conoce. Quse evala entonces?

5Como dato ilustrativo, otroamigo mo y profesor de laFacultad de Ciencias Exacta

UBA), Ricardo Durn, tambiresolvi el problema. Por ahoraPablo sigue trabajando en e

banco, y Ricardo es uno de lomejores profesores que tiene edepartamento de matemtica de

a Facultad y uno de los mejoretipos que conozco.Por ejemplo: le dan una tabla

de nmeros en la quefaltauno y le


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piden que diga qu nmero falta que explique cmo lleg a eseresultado.

54 (117) 36

72 (154) 2839 (513) 42

18 (?) 71

El test, supuestamenteconsiste no slo en que pueda

determinar qu nmero debera ien lugar de los signos denterrogacin, sino tambin e

medir su capacidad de anlisi


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para deducir una ley de formacinEs decir: alguien pens en upatrn que subyace tras lagestacin de esos nmeros, pretende que usted lo descubra.

Si yo fuera usted, parara u

rato y pensara en alguna solucinAqu voy a proponerle unaalternativa, pero, en todo caso

uno puede entretenersebuscndola sola/o.

UNA POTENCIAL SOLUCIN

Uno podra decir que enmero que falta es el 215. Mireos nmeros que integran la

primera fila en la primera


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tercera columna: 54 y 36 . La sumade los dos exteriores (5 + 6) da 11y la suma de los dos interiores (4 3) da 7.

De esa forma, se obtuvo enmero 117: juntando la suma de

os dos exteriores con la de los donteriores.

Pasemos ahora a la siguiente

fila y hagamos el mismo ejercicioLos dos nmeros de la primera y latercera columna son 72 y 28

Sumando los dos exteriores (7 + 8da 15 y sumando los dos interiore2 + 2) da 4. Entonces, el nmero

que va en el centro es 154.


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Si uno sigue en la tercera filatiene 39 y 42. La suma de los doexteriores (3 + 2) da 5 y la de lodos interiores (9 + 4) da 13. Por lotanto, el nmero que va en ecentro es el 513.

Por ltimo, con este patrndados los nmeros 18 y 71, los doexteriores suman (1+ 1) 2, y los do

centrales (8 + 7), 15. Corolario: squien dise pens igual que ustedo que yo) el nmero que falta e

el 215.Me apresuro a decir queninguno de estos mtodos e

iable, ni mucho menos exacto. D


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hecho, habra y en general haynfinitas maneras de encontrar unmero que ocupe el lugar designo de interrogacin. Se trata, etodo caso, de ser capaz de buscael que pensaron los que disearo

el test.OTRO EJEMPLO (MUY

LUSTRATIVO)

Alicia Dickenstein, la brillantematemtica argentina, me invit apensar un poco ms sobre la

personas que producen estos testsCreo que estos IQ [IntelligencQuotient] tests son muy peligroso

me dijo. No son ms que algo


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estndar que puede aprenderse slo miden el aprendizajecuadrado en una direccin. Edecir: no se sabe bien qu miden yalgunas personas, inescrupulosas malintencionadas, se permite

sacar conclusiones sobre lasupuesta inteligencia o no de usujeto. De hecho, en los Estado

Unidos hubo una gran controversisobre este tipo de tests, ya que seusaban para ubicar a lo

afroamericanos en clases mretrasadas con una obvia intencisegregacionista. Lo nico que se

puede comprobar es que hay gente


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que no est entrenada para estetipo de tests. Y nada ms.

Sigo yo: el peligro latente (o notanto) es que cuando a unchico o a un joven se lo

somete a este tipo de problemas

contesta como puede, en generalcon bastante miedo a equivocarseLa sensacin que prima en el que

rinde el test (y en sus padres), eque lo estn juzgando parasiempre. Es que, de hecho, como

supuestamente mide lnteligencia, y salvo que uno lpueda mejorar con el paso de

tiempo (lo que natura non da


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Sala-manca non presta), la idea deque es algo definitivo est siemprepresente. Una sensacin de aliviorecorre a todos, al que rindi etest y a la familia, cuando emplicado contesta lo que pensaro

os que lo prepararon. En todocaso, slo demuestra que es tanteligente como para hacer lo que

ellos esperaban.Si, por el contrario, no

encuentra la respuesta o se

equivoca, se expone a enfrentar lacara circunspecta (y exageroobviamente) de quien llega co

una mala noticia: Lamento


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comunicarle que usted ser uestpidotoda su vida. Dedquese aotra cosa.

Aunque ms no sea por esocualquier test que presuma demedir algo tan indefiniblecomo l

nteligencia, debera ser hecho eforma hipercuidadosa.

Lo que sigue es un ejemplo

que me mand Alicia, que invita aa reflexin. De hecho, le pido queea el test (es una verdadera

pavada) y piense qu respuestadara. Ver que, aun en los casoms obvios, no hay una respuesta

nica. Aqu va:


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Si uno encuentra la siguienteserie de nmeros (agrupados de

la forma que se indica):

1 2 3

4 5 67 8 ?

Qu nmero pondra ereemplazo de los signos denterrogacin?

(Detngase un momento parapensar qu hara usted.)No me diga que no pens o

consider el nmero 9, porque no


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e creo. Claro, se sera epensamiento que Alicia Dickensteidenomina rutinario, o bien: eque responde lo que el quepregunta quiere or. Y esta ltimaafirmacin es muy importante

Porque, qu pasara si le dijeraque la serie se completa as?:

1 2 34 5 6

7 8 2 7

Seguramente pensara queey mal o que hay un error de


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mprenta. No, el ltimo nmero eel 27. Le muestro el patrn quepodra haber buscado quien pensel problema.

Tome el primer nmero elvelo al cuadrado (o sea

multiplquelo por l mismo). Aresultado rstele cuatro veces esegundo, y a lo que obtenga

smele 10. En la primera filaentonces, al elevar 1 al cuadradoobtendr otra vez 1. Ahora le resta

cuatro veces el segundo, es decircuatro veces el nmero 2, y lesuma 10. Resultado: 3.

1 8 + 10 = 3 (que es el terce


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nmero de la primera fila)En la segunda fila, eleve e

primer nmero al cuadrado (4),o sea 4 . 4, con lo que obtiene

16. Le resta cuatro veces esegundo nmero (4 . 5 = 20) y le

suma 10. Resultado: 6.16 20 + 10 = 6

En la tercera fila tendra 7 al

cuadrado (49), menos cuatroveces el segundo (4 . 8 = 32)

ms 10. Resultado: 27!

49 32 + 10 = 27MORALEJA 1: Trate deentrenarse haciendo este tipo de

tests y ver cmo al final le sale


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todos, o casi todos. se ser emomento en que quiz crea que ems inteligente. Lo curioso es quetal vez haya aprendido asometerse mejor al pensamientooficial.

MORALEJA 2: Pretender usar lamatemtica como un testeador dea inteligencia puede producir u

efecto no slo negativo frustrante, sino falso. Aunque mno sea porque no se sabe qu se

mide.SudokuSudoku dijo? Qu es Sudoku

Posiblemente hoy haya mucha


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gente que puede contestar qu eel Sudoku, pero lo que es seguro eque hace dos aos nadie tena ideade que habra de transformarse eel furor en trminos depasatiempo y juegos de lgica. De

hecho, muchsimos diarios revistas, no slo en la Argentinasino en todo el mundo, llenan su

pginas con este juego originadoen Japn, y que tiene atrapada abuena parte de la poblacin que

busca en crucigramasrompecabezas y pasatiempos dediversa ndole una manera de darle

chicle al cerebro para mascar.


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Para aquellos que nuncaescucharon hablar del Sudoku, lareglas son bien simples fcilmente comprensibles.

El Sudoku es como ucrucigrama donde aparece u

cuadrado grande de 9 filas por columnas es decir, 81 casillerosque est dividido a su vez en

subcuadrados de 3 . 3:


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Hay que llenar cadsubcuadrado con los nueve dgitoque van del 1 hasta el 9, es decir

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Eso s: no


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puede aparecer ningn dgitorepetido ni en la misma fila ni lamisma columna del cuadradogrande. sas son las reglas, fciley sencillas.

Como dato adicional, ya

vienen de fbrica algunonmeros ubicados en suposiciones. Todo lo que hay que

hacer es completar las casillarestantes.

Como suele suceder ahora

nternet est repleto devariaciones del juego. Su aparicirompi con los moldes de los viejo

crucigramas o juegos de palabra


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tradicionales, pero lo interesantees que, si bien hay nmeronvolucrados (los dgitos del 1 al repartidos mltiples veces en lacasillas), pocos deben creer queestn usando y haciendo

matemtica cuando resuelven unode los problemas. Ms an: comohay muchsimos maestros

profesores de matemtica del paque andan a la bsqueda de nuevoestmulos para sus estudiantes

creo que el Sudoku permiteformular ciertas preguntas notodas de fcil respuesta que

funcionen como disparadores de u


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trabajo interactivo entre docentey alumnos.

Las que siguen son slo algunade esas preguntas. Eso s: unopuede jugar al Sudoku sin teneque contestar ninguna, y vivi

feliz. Pero tambin es cierto queuno puede hacerse las preguntas ser feliz aun sin encontrar la

respuestas, y ni qu hablar si laencuentra.

EL NOMBRE SUDOKU

De acuerdo con datoextrados de Wikipedia (lenciclopedia gratuita que figura e

nternet), que fueron corroborado


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por otras fuentes, Sudoku provienedel japons Suuji wa dokushin nkagiru, que significa: los dgitotienen que quedar solteros, olibres, y es una marca registradade la editorial japonesa Nikoli Co

Ltd.DESDE CUNDO EXISTE E

SUDOKU?

Hay distintas versiones, peroa ms aceptada es que apareci

por primera vez en una revista e

Japn, en 1984. El Sudoku debetoda su popularidad a WayneGould, un juez que se jubil e

Hong Kong y que luego de conoce


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el juego en Tokio, escribi uprograma de computadora queautomticamente generabadistintos Sudokus con quentretenerse. Luego se dio cuentade que, quizs, haba descubierto

una mina de oro y comenz aofrecerlo a distintos diarioeuropeos. Lo curioso es que reci

en 2004 (hace slo dos aos) uno deos peridicos ms importantes denglaterra, el Times, que se publica

en Londres, acept la propuesta deGould, y su competidor, el nomenos famoso Daily Telegraph, lo

sigui inmediatamente en enero


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del 2005. A partir de ah, exploten el resto del mundo, incluso ea Argentina.

Hoy, el juego causa furor emltiples diarios, revistas y libroespecialmente publicados co

variantes sorprendentes, versionems fciles, otras mcomplicadas, con diferentes grado

de dificultad. Es comn ver genteen los colectivos, trenes estaciones de subte, ensimismada

y pensativa, como ausenteugando con algn ejemplar deSudoku.

LA MATEMTICA


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Como deca, uno puedesentarse y jugar al Sudokuentretenerse con l y nada ms. Yde hecho eso es lo que hace lmayora. Pero, al mismo tiempo, lnvito a pensar algunas posible

preguntas alrededor del Sudoku:a) Cuntos juegos de Sudok

osibleshay? b) Se terminarn e

algn momento? c) Alcanzar parentretener a esta generacin? Oen todo

caso, cundo empezarn repetirse? d) La solucin a la queuno llega (cuando llega a alguna)

es nica?


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e) Cuntos numeritos tieneque venir de fbrica para que larespuesta sea nica? Es decircuntas casillas tienen que estacompletas de entrada, para queuno pueda empezar a jugar co

confianza de que el problematendr una nica solucin?

f) Hay un nmero mnimo d

datos que deben darnos? Y unmero mximo?

g) Hay algn mtodo par

resolverlos?h) Se pueden hacer Sudokude otros tamaos? Cuntos

habr de 4 . 4? Y de 16 . 16?


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i) Se podr inventar Sudokude 7 . 7? Y de 13 . 13? En

todo caso, cuadrados decuntas filas y columnas se pue

den considerar?En fin, hay muchsima

preguntas que uno puedeformularse, y estoy seguro de quemientras usted lea stas, pens e

otras que quiz le interesen msEn realidad, eso es lo nico quemporta.

Con todo, quisiera aportaalgunas respuestas, a las que sepuede acceder en cualquier libro

que se especialice en este


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pasatiempo japons, o bien enternet, o incluso en la famosarevista Scientific American, que lededic una nota de varias pginaen la edicin de junio de 2006.

ALGUNOS DATOS SOBRE E

SUDOKUAntes que nada, voy

proponerle algunas reflexiones.

Suponga que tiene resueltouno de los Sudoku y decidecambiar dos nmeros de posicin

Por ejemplo: cada vez que apareceun nmero 1, lo cambia por un 8. Yal revs lo mismo, es decir, cada

vez que aparece un 8 lo cambia


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por un 1. Obviamente, aunqueparezcan dos juegos distintossern el mismo. Es decir que comouegos son diferentes, pero e

esencia sabremos que uno provienede otro intercambiando un par de

nmeros, por lo que cualquiedificultad que tuviera el primeroo tendr el segundo. Y viceversa.

Ahora bien: si vamos acalcular todos los Sudokus que haya estos dos ltimos los contamo

dos veces o reconocemos que es emismo juego con dos aparienciasdiferentes?

Por otro lado, suponiendo que


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uno tiene resuelto un Sudoku, entercambia (slo por poner uejemplo) las filas uno y trescambia el resultado final? Agregao quita alguna dificultad? Y si unontercambiara la cuarta y la quint

columnas? Vara en algo el planteonicial? Se trata, acaso, de douegos diferentes? Uno puede deci

que s, que son dos juegodiferentes porque las columnaestn cambiadas o los dgitos est

ntercambiados. Aceptemos estarespuesta. En ese caso, el nmerode Sudokus que se puede

encontrar (con ayuda de alguna


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herramientas matemticas y degica y, por supuestocomputadoras rpidas) es:

6.670.903.752.021.072.936.960Ms de 6.670 trillones de

uegos posibles.

En cambio, si uno restringe locasos como el planteado, y noconsidera distintos a los que surge

por ejemplo de intercambiados dgitos, o dos columnas o dofilas, entonces el nmero de juego

posibles se reduce muchsimo:5.472.730.538Un poco menos de 5.50

millones. Con todo, lo interesante


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de este nmero es que, como diceJean-Paul Delahaye en el artculopublicado por Scientific Americanes menor que el nmero depersonas que habitamos la Tierracalculado en ms de

6.300 millones.

Con estos datos creo que estclaro que es difcil que uno puedaconsiderar que se van a acabar lo

uegos en esta generacin. Dehecho, podemos jugar tranquilosin que corramos el riesgo de

descubrir alguna de las posible


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repeticiones.Otra de las pregunta

pendientes se refiere a la unicidaen la respuesta. Qu quiere deciesto? Supongamos que nos dan uuego de Sudoku, que tiene

repartidos ciertos dgitos ealgunas casillas. Por supuesto, nohay garanta de que esa

configuracin tenga solucin, edecir que podramos encontrarnocon algunos datos contradictorios

Pero suponiendo que estn bien, que no hay contradicciones, cmosabemos que la solucin que

encontramos es la nicaposible?


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extremo, si no hubiera ningunohabra muchsimos resultadoposibles. Ni bien se coloca udgito, disminuye la cantidad derespuestas, y al agregar cada vems, se irn restringiendo la

soluciones en forma proporcionalhasta llegar a un nmero de datoquegaranticeuna solucin nica.

Otro problema es el de laminimalidad, es decir, cul es enmero mnimo de datos que

deben figurar para que haya unanica solucin? Hasta hoy eproblema no tiene respuesta. La

conjetura ms aceptada es que


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hacen falta 17. Hay variomatemticos en el mundoensando y discutiendo el caso,

uno de ellos, el irlands GarMcGuire, de la UniversidadNacional de Irlanda (Maynooth)

idera un proyecto que trata deprobar que hay ejemplos de Sudokque con 16 datos garantizan una

solucin nica. Hasta ac, segn mismo reconoci, ha fallado en entento, por lo que el 17 sigue

siendo el nmero aceptado.Existen muchas preguntaabiertas sin respuesta an hoy

y hay varios casos ms sencillo


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que se pueden atacar (con utablero de 4 . 4, por ejemplo). Loque creo interesante es mostracmo un juego inocente y que sloparece un pasatiempo, tienemucha matemtica detrs.

ALGUNAS REFERENCIAS:http://en.wikipedia.org/wiki/http://sudoku.com.au/

http://www.dailysudoku.com/http://www.daily-sudoku.comhttp://www.sudoku.com/howt

Criba de EratstenesEratstenes (257-195 a.C.naci en Cyrene (ahora Libia), e

el norte de frica. Fue el primero


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en calcular, con precisisorprendente para la poca, edimetro de la Tierra (nunca voy aentender por qu se le atribuye aColn el haber descubierto quea Tierra era redonda o esfrica

cuando eso ya se saba desde mde quince siglosatrs).

Por varias dcadas

Eratstenes fue director de lafamosa Biblioteca de AlejandraFue una de las personas m

reconocidas de su tiempo, amentablemente slo unos pocofragmentos de lo que escribi

sobrevivieron hasta nuestros das


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Eratstenes muri en una huelgavoluntaria de hambre, inducido poa ceguera, que lo desesperabaAqu deseo presentar uno de sufamosos desarrollos: la llamadCriba de Eratstenes.

Sabemos que un nmero primopositivo) es aquel nmero entero

que slo es divisible por s mismo

or 1(explcitamente se excluye anmero 1 de la definicin). Lo quehizo Eratstenes fue disear u

algoritmo que le permitieraencontrar todos los nmerorimos.Veamos qu es lo que hizo.

Escribamos los primeros 15


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nmeros:1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 117 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 229 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 441 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 553 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64

65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 777 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 8

89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 10

101 102 103 104 105 106 107 108 10110 111 112 113 114 115 116 117 11119 120 121 122 123 124 125 126 12

128 129 130 131 132 133 134 135 13137 138 139 140 141 142 143 144 14146 147 148 149 15

Eratstenes empez a recorre


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a lista. El 1 no lo considerporque saba que no era primo, demodo que el primer nmero con eque se encontr fue el 2. Lo quehizo entonces fue dejar e

2. matematica estas ahi - adrian paenza

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