paenza, adrian - matematica, estas ahi episodio 3,14

Siglo XXI Editores Argentina S.A.

MATEMTICA ESTS AH?Episodio 3,14

por

ADRIN PAENZAFacultad de Ciencias Exactas y Naturales

Universidad de Buenos Aires

Coleccin Ciencia que ladraDirigida por DIEGO GOLOMBEK

ESTE LIBRO (y esta coleccin)

Y se va la tercera Entrar nuevamente en el universo Paenza esun viaje de ida y, adems, adictivo. Por eso, y porque sobraban ideas,enigmas, problemas e invitaciones a pensar, sale este nuevo libro deAdrin, tan fascinante como los primeros Matemtica Ests ah?y Matemtica Ests ah? Episodio 2. Nuevamente, el autor nosabre la puerta para ir a pensar (y, por qu no, a jugar), una nueva puer-ta de entrada a la matemtica, esa musa que tantas veces se nos pre-senta esquiva y dscola.

Quiero contarles aqu algo de mi experiencia como primer lec-tor de algunos de estos textos, de la tarea de ir sondolos juntos enforma de libro. Leer a Adrin es ms bien escucharlo, sentir las pau-sas, las comas, las inflexiones. Efectivamente: les aseguro que el textoinicial es an ms oral, con multitudes de negritas, bastardillas,maysculas, signos admirables y preguntones. Es como tener al autoren un caf leyndonos o, mejor todava, contndonos, frente a unpizarrn cada una de las frases, cada uno de los misterios.

En algn lado de esa comunicacin se produce un milagro, y tan-tos lectores-oyentes convierten dos libros de matemtica en un xitoincreble. Ser que el autor es cara conocida en estas costas? Si esas, difcil explicar el suceso del libro en Espaa y Mxico, o su pr-xima publicacin en Brasil, Portugal, Repblica Checa, Alemania eItalia. Ser que queda bien mostrar en la oficina o el colectivo queuno lee matemtica? Mmmm tampoco: la gente se guarda el textocomo un tesoro y, por si fuera poco, lo puede bajar gratis de Inter-net. En definitiva: es un misterio maravilloso, que despierta las ganas

Siglo XXI Editores Argentina S.A. Siglo XXI Editores Argentina S.A.

Portada de Mariana Nemitz

2007, Siglo XXI Editores Argentina S. A.

ISBN 978-987-629-017-3

Impreso en Artes Grficas DelsurAlmirante Solier 2450, Buenos Aires,en el mes de octubre de 2007

Hecho el depsito que marca la ley 11.723Impreso en Argentina Made in Argentina

Paenza, AdrinMatemtica... ests ah? episodio 3,14 - 1a ed. - Buenos Aires : Siglo XXI

Editores Argentina, 2007.240 p. ; 19x14 cm. (Ciencia que ladra... dirigida por Diego Golombek)

ISBN 978-987-629-017-3

1. Matemtica. I. TtuloCDD 510a

Siglo XXI editores Argentina s.a.Tucumn 1621 7 (c1050aag), Buenos Aires, Argentina

Siglo XXI editores, s.a. de c.v.Cerro del agua 248, Delegacin Coyoacn, 04310, Mxico, D.F.

Siglo XXI de Espaa editores, s.aPrncipe de Vergara 78, 2 (28006) Madrid, Espaa.

6 A D R I N P A E N Z A


Este libro es para mis padres, Fruma y Ernesto. Una vez ms, mi gratitud eterna. Todo lo que haga en la vida

estar siempre dedicado a ellos primero.A mi hermana Laura y su compaero Daniel.

A todos mis sobrinos.

A mis amigos Miguel Davidson, Leonardo Peskin, Miguel ngel Fernndez, Hctor Maguregui, Cristian Czubara, Eric Perle, Lawrence Kreiter, Kevin Bryson, Alejandro Fabbri,

Vctor Marchesini, Luis Bonini, Fernando Pacini, Santiago Segurola, Carlos Aimar, Marcelo Araujo, Marcos Salt, Diego Goldberg,

Julio Bruetman, Gabriel Cavallo, Eduardo Bertoni, Antonio Laregina,Woody Gonzlez, Gary Crotts y Claudio Pustelnik.

A mis amigas Ana Mara Dalessio, Nilda Rozenfeld, Teresa Reins, Alicia Dickenstein, Beatriz de Nava, Beatriz Surez,

Nora Bernrdez, Carina Marchesini, Laura Bracalenti, Etel Novacovsky, Marisa Gimenez, Mnica Muller, rica Kreiter,

Susy Goldberg, Holly Perle, Marisa Pombo y Carmen Sessa.

A la memoria de mis seres queridos que perd en el camino: GuidoPeskin; mis tas Delia, Elena, Miriam y Elenita;

mi primo Ricardo, y a la de mis entraables compaeros de vida,Noem Cuo, Len Najnudel y Manny Kreiter.

de saber, de preguntar, de ser un poco ms racionales en la vida detodos los das, que buena falta nos hace.

Tal vez sin saberlo, con sus historias Paenza nos trae otro rega-lo. Existe una tribu en el Amazonas, los pirah, que es la favorita delos lingistas: entre otras curiosidades, no tienen palabras ni con-ceptos para los nmeros. El asunto es que su lenguaje es tambin limi-tado en el sentido de que no tiene referencias temporales: entre lospirah no slo faltan los nmeros, sino que tampoco hay ayer nimaana. Quiz sea, entonces, que Adrin nos brinda, junto con suspreguntas, sus problemas y sus nmeros la posibilidad de una histo-ria, y de un futuro. Casi nada.

Esta coleccin de divulgacin cientfica est escrita por cientfi-cos que creen que ya es hora de asomar la cabeza por fuera del labo-ratorio y contar las maravillas, grandezas y miserias de la profesin.Porque de eso se trata: de contar, de compartir un saber que, si sigueencerrado, puede volverse intil.

Ciencia que ladra... no muerde, slo da seales de que cabalga.

DIEGO GOLOMBEK

Agradecimientos

A Diego Golombek y Carlos Daz. Ellos dos son los grandes impul-sores de que esta serie de libros de matemtica nada menos haya sidopublicada. Diego tuvo la idea y Carlos se dej seducir. Los dos merecenel mayor crdito.

A mis alumnos. Muchos de ellos reconocern los problemas, los girosy los dichos que us para contarlos. Varios ya me lo hicieron notar enlos volmenes anteriores. Ellos fueron parte interactiva en distintosmomentos de mi carrera docente y me ensearon a entender mejor cadaenunciado y solucin. Y porque me ensearon a ensear.

A quienes leyeron apasionadamente el manuscrito, y me ayudarona mejorarlo, muy especialmente Carlos DAndrea y Gerardo Garbulsky,quienes invirtieron infinito tiempo y paciencia. El rigor con el que ambosanalizaron y criticaron cada uno de los problemas de cada uno de lostres tomos fue invalorable para m.

A Alicia Dickenstein, Eduardo Cattani, Teresita Krick, Pablo Milrud,Pablo Coll, Cristian Czubara, Gabriela Jernimo, Matas Graa, PabloAmster, Pablo Mislej, Juan Sabia, Gustavo Stolovitzky, Lucas Monzn,Ariel Arbiser, Juan Carlos Pedraza, Rodrigo Laje y Gerardo Garbulsky, porlas ideas con las que colaboraron en toda este serie, varias de ellas publi-cadas ac.

A Claudio Martnez, porque adems de amigo personal es un gustoencarar con l cualquier proyecto profesional.

A Alicia Dickenstein, Eduardo Dubuc, Carmen Sessa, Nstor Bca-

Acerca del autor

Adrin Paenza [email protected]

Naci en Buenos Aires en 1949. Es doctor en Matemticas por la Uni-versidad de Buenos Aires, en la que se desempea actualmente como pro-fesor asociado del Departamento de Matemtica de la Facultad de Cien-cias Exactas y Naturales. Es, adems, periodista. En la actualidad conduceel ciclo Cientficos Industria Argentina. Trabaj en las radios ms impor-tantes del pas y en los cinco canales de aire de la Argentina. Fue redac-tor especial de varias revistas y colaborador en tres diarios nacionales:Clarn, Pgina/12 y La Nacin. Public en esta misma coleccin Mate-mtica Ests ah? y Matemtica Ests ah? Episodio 2.


ri, Miguel Herrera, Oscar Bruno, Jorge Fiora, Ricardo Durn, RicardoNoriega, Pablo Caldern, Leandro Caniglia, Luis Santal, ngel Laro-tonda, Baldomero Rubio Segovia y Enzo Gentile, porque con ellos apren-d matemtica.

A Guillermo Alfieri, Jorge Guinzburg, Lalo Mir, Tristn Bauer, Ernes-to Tenembaum y Marcelo Zlotogwiazda, por la generosidad y el afecto conque me tratan.

A Ernesto Tiffenberg por atreverse a publicar semanalmente en unasuerte de salto al vaco estas columnas de matemtica en la contrata-pa de Pgina/12.

Una vez ms, mi gratitud para todos los comunicadores de los dis-tintos medios que promovieron los libros anteriores y formaron parte(sin saberlo ni proponrselo) en una suerte de cruzada en pro de la mate-mtica.

A toda la comunidad matemtica, que desde los lugares ms impen-sados piensa por m (y lo bien que hace). Muchos encontrarn en estetomo las ideas que me dieron.

A Violeta Collado y Hctor Benedetti por la proteccin que me ofre-cen con cada uno de los libros.

A mis compaeros de la Editorial Siglo XXI, de El Oso Producciones,del Canal Encuentro y de Canal 7, de Pgina/12 y de la empresa de gra-bacin Non-Stop, por el calor que me brindan.

A Oriol Castanys y Joaqun Palau, ambos directores de RBA Librosen Espaa, por el afecto con que me abrigaron en mi visita a Madrid y porlo que hicieron por m y por los libros en Europa.

Y (como siempre) a Marcelo Bielsa, Nelson Castro, Alberto Korn-blihtt, Vctor Hugo Morales y Horacio Verbitsky, por su postura tica enla vida. Concerlos y tratarlos me hace mejor persona.


Me llev diez aos tener xito

de la noche a la maana.

WOODY ALLEN

La inspiracin existe, pero cuando pasa

te tiene que encontrar trabajando

(o habr pasado justamente

porque te vio trabajando?).


ndice

Prlogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Ya se sabe todo en matemtica? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

La matemtica tiene sus problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Dos pintores y una pieza, 25. Da lo mismo subir que bajar un 40%?, 25. Pro-blema de los seis fsforos, 26. Cmo hacer para pesar diez kilos con unabalanza desbalanceada?, 26. Los tres recipientes con dos tipos de monedas quetienen las etiquetas cambiadas, 27. Las cuatro mujeres y el puente, 27. Proble-ma de las 10 monedas, 28. Cuatro interruptores, 29. Problema de las ochomonedas, 30. Problema de la barra de chocolate, 30. Un cambio en la ruti-na, 31. Dos tas y dos colectivos, 33. Ocho nmeros conectados, 35. Proble-mas de Fermi, 36. Otro problema de Fermi, 37. Problema de la montaa, 38.Ocho reinas, 39. El cronmetro y las infinitas monedas, 40. Las hormigas y Ali-cia, 42. Dos preguntas (en una), 43. El acolchado cuadrado, 44. Siempre haypuntos antipodales en la Tierra que tienen la misma temperatura?, 45. Ramode rosas de distintos colores, 49.

Nmeros y matemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Menos por menos es ms Seguro?, 51. Es verdad que 0,99999 = 1?, 55.Patrones y bellezas matemticos, 55. Velocidad del crecimiento del pelo, 57.Combinatoria y reproductor de CD, 57. Una curiosidad ms sobre los infini-tos (y el cuidado que hay que tener con ellos), 60. Don Quijote de la Man-cha, 62. Ms sobre el infinito. La Paradoja de Tristram Shandy, 66. Suma de


los primeros n nmeros naturales, 66. Suma de nmeros impares, 71. La Leyde Benford, 72. Tirar 200 veces una moneda, 78. Frmulas para obtener nme-ros primos, 79. Ternas pitagricas, 87. Un desafo, 94. Un nmero primo p yladrillos de (m x n), 97. Problema de Brocard (un problema abierto), 99.

Juegos y matemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Teora de juegos. Estrategia (una definicin), 101. La matemtica y la niaque no saba jugar al ajedrez, 108. Estrategia para ganar siempre, 109. Miran-da, Gardner y el partido de tenis, 110. Divisin justa, 111. Juego de la vida, 114.Transitividad y los tres dados de colores, 119. Cmo adivinar un nmero?,124. Ternas consecutivas en una ruleta, 127. Tripos, 128. Nim, 134.

Reflexiones y curiosidades matemticas . . . . . . . . . . . . . . . . 147

Los matemticos y las vacas, 147. Nias en la playa, 148. Una manera grficade multiplicar, 149. Sophie Germain, 154. Estimar y errar, 158. El perro lla-mado Fido y la paradoja de Bertrand Russell, 159. Paradoja de Allais, 161.Qu es la inteligencia?, 163. Paradoja de las papas, 167. Clave pblica, 167.

La educacin de los jvenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181


Prlogo

Viernes 7 de enero de 2005. Suena el telfono de mi casa enChicago. Es Diego Golombek desde Buenos Aires.

Adrin me dice. Como sabs, estoy dirigiendo una coleccinde libros que sirven para difundir la ciencia. Quiero publicar textos noacartonados, que acerquen la ciencia a la gente. No tens ganas deescribir un volumen sobre matemtica?

Me qued callado por un momento que Diego entendi comovacilacin y arremeti nuevamente:

Mir: alcanzara con que escribas las historias que conts alfinal de cada uno de los programas se refera a Cientficos Indus-tria Argentina.

Diego le dije, eso no le va a interesar a nadie un visionarioyo, evidentemente.

No importa. Eso dejalo por mi cuenta. No me contestes ahora.Pensalo y nos hablamos el lunes.

Obviamente, el dilogo fue ms largo y no lo recuerdo con pre-cisin, pero de lo que s estoy seguro es de que conceptualmen-te fue as.

Y me qued pensando: si habamos hecho dos aos consecuti-vos de programas en Canal 7, a 52 por ao, eran 104 historias. Tenien-do en cuenta que slo habamos repetido un programa (el de Alber-to Kornblihtt hablando de biologa) y no se haban emitido los dos quecorrespondan a los respectivos fines de ao (2003 y 2004), tena alre-


nientes. Dnde quers que aparezca? En qu pgina de Internet?En la de la editorial?

No tengo problema de que lo incluyan ah tambin, pero quie-ro que figure en la pgina del Departamento de Matemtica de laFacultad de Ciencias Exactas y Naturales. Yo soy profesor ah, y sien-to que us el tiempo que me paga la facultad para escribir el libro.

Slo quiero pedirte algo. No lo cuelgues de Internet hasta quepubliquemos el libro. Yo s que tens el material listo, pero hagmoslosimultneamente.

Y as fue. Pero la historia no termina ah; hay ms. Carlos me acer-c el texto del contrato que tena preparado y me dijo:

Leelo y fijate en qu partes no ests de acuerdo. Cambi lo quequieras y tramelo cuando puedas. Yo lo voy a firmar ni bien lo ten-gas listo.

Un momento dije yo. Qu pasa si no ests de acuerdo conlas modificaciones que yo haga?

No importa. Yo voy a firmar el contrato de cualquier manera,cambies lo que cambies.

Me qued perplejo. Por segunda vez. La primera fue cuando Car-los acept tan rpido que el libro figurara en Internet, sin condiciones.

Obviamente, despus de lo que haba escuchado no me iba a lle-var el contrato; no deba (ni quera) leerlo.

Aqu est, entonces le dije. Dnde tengo que firmar?No lo vas a leer? me pregunt l.No. Si vos ests dispuesto a firmar cualquier cosa que yo corri-

ja, entonces yo estoy dispuesto a firmar cualquier cosa que figure aqu.Sin leer.

Carlos se sonri y desde ese momento se transform en uno demis mejores amigos.

sta es la historia que precede al primer libro. Hoy, usted tiene ensus manos el tercero de esta saga. Y Carlos, aunque usted no lo puedacreer, ya me propuso que escriba un cuarto.

Eso s, ninguno de nosotros pudo imaginar lo que iba a pasar.De hecho, la editorial imprimi 3.000 (tres mil) ejemplares como pri-mera edicin del tomo 1. En cambio, imprimi 40.000 (cuarenta mil)

M A T E M T I C A E S T S A H ? E P I S O D I O 3 , 1 4 17

dedor de 100 historias. Si escriba dos historias por da, en 50 das ter-minara y tendra un libro!

Lunes 10 de enero del 2005.Diego. Soy Adrin esta vez, llam yo.Qu tal? Lo pensaste?S, lo voy a hacer.Brbaro, teneme informado y cont conmigo para lo que te haga

falta.No necesito hablar con la gente de la editorial?No te preocupes. Eso lo arreglo yo.

Durante ese fin de semana, haba hablado con Claudio Mart-nez, Alicia Dickenstein, Alberto Kornblihtt y Vctor Hugo Morales.Cada uno me impuls a que lo hiciera.

No tard cincuenta das, sino ms del doble. Yo no lo saba, peropor ms que haba contado por televisin casi todas las historias quefiguran en el primer volumen de MatemticaEsts ah?, una cosaera haberlas hablado, y otra, muy diferente, era escribirlas. Pero lo hice.

Lleg el momento de la firma del contrato. Hasta ah, nunca habahablado de dinero, ni con Diego ni con ninguna otra persona. Toda-va no conoca a Carlos Daz, el director de Siglo XXI. Nos senta-mos en su oficina de la calle Tucumn y luego de las charlas trivia-les de presentacin, le dije que tena que hacerle un pedido.

Adelante me dijoQuiero que el libro se pueda bajar por Internet.Por supuesto me interrumpi.S agregu yo, pero quiero que se pueda bajar gratuitamente.

Quiero que el libro sea accesible para todos.Carlos me mir a los ojos e hizo silencio. Diego, que no saba lo

que yo iba a decir, haca ruido con los nudillos de los dedos contrala mesa. El tiempo no transcurra. Pareca que estbamos en una pel-cula en la que alguien haba apretado el botn de pausa.

De acuerdo me dijo Carlos. No hay problema. Es algo quenunca pens que un autor me propondra, pero no le veo inconve-



figura en alguno de estos libros, es porque a m me interesy me gust. No podra seducirla/o con algo que a m no mehubiera cautivado.

Este tercer tomo podra ser, en realidad, el primero o el segun-do. Las historias y los problemas son intercambiables. Con todo, quie-ro enfatizar algo: toda persona que sepa leer y escribir (y pensar) esten condiciones de enfrentar todas y cada una de las secciones y/o pro-blemas que presenta el libro. No importa la edad, no importa la expe-riencia: slo hay tener ganas de pensar.

Obviamente, los problemas tienen distintos grados de dificultad.Pero mi experiencia me indica que lo que a algunas personas lesresulta difcil, a otras les puede parecer obvio. Y viceversa. La mate-mtica est diseminada a lo largo del libro en cada cuento, en cadaproblema, en cada historia. Usted puede empezar por donde quie-ra, yo slo le voy a dar un consejo (si me puedo permitir semejan-te cosa): divirtase, disfrtelo, aun cuando alguna propuesta no lesalga. El hecho de que no pueda resolver un problema no significanada. Al contrario: aproveche para tenerlo en la cabeza, para entre-tenerse cuando tenga tiempo. Es como tener un buen libro espe-rando en casa, o una buena pelcula que uno quiere ver, o una buenacomida que uno quiere comer. De eso se trata. De poder aprendera disfrutarlo.

Por ltimo, una reflexin. Algo tiene que haber cambiado en lasociedad. Me explico: hace casi veinte aos, en febrero de 1988, elperiodista (y amigo personal) Carlos Ulanovsky era uno de los jefesde editoriales del diario Clarn. Me llam y me propuso lo siguiente:Adrin, por qu no escribs por qu habra que estudiar matemti-ca? Escrib sobre para qu sirve, para qu te sirvi a vos Conven-ceme de que me estoy perdiendo algo.

Lo hice. La nota sali publicada el mircoles 3 de febrero de 1988.Ulanovsky la titul: En defensa de las Matemticas. Sali en las dospginas centrales del diario, y empezaba as: Matemtica.. ests ah?(igual que el ttulo de los libros, casi una premonicin). No. Me estoyponiendo las preguntas.


de la primera edicin del tomo 2. O sea, yo no saba lo que iba a pasar,pero ellos tampoco.

Estos libros no tienen (casi) material indito. Muy pocas cosas sonideas mas. La mayor parte est expuesta en mltiples lugares en laliteratura dedicada a la matemtica desde hace siglos. En todo caso,lo que s me pertenece son:

a) Mis opiniones, que obviamente son personales. Son discuti-bles, como cualquier opinin. Lo nico que puedo decir esque escrib lo que pienso despus de ms de cuarenta aos decomunicar matemtica. No me autoriza ni mucho menosa tener razn. Slo me autoriza a tener una opinin. No pien-so ahora lo mismo que hace veinte aos, pero hace veinteaos no haba escrito estos libros.

b) La seleccin de los problemas. No tengo ninguna razn enparticular para decir por qu s a algunos y por qu no (porahora) a otros (como el caso de los nmeros de Fibonacci, porponer un ejemplo). Son decisiones anrquicas, que esperopoder corregir con el tiempo. En todo caso, escribo sobre loque me gusta, me atrapa y me hace/hizo pensar. A eso lo invi-to: a que piense.

c) La forma de la comunicacin. Si bien la gran mayora de lostextos son conocidos desde hace muchsimos aos (en algu-nos casos siglos), los escrib de acuerdo con lo que creo quees una buena manera para que se entiendan. Me peleo muchocon lo que escribo y no siempre gano, pero lo intento. Esos: si usted no entiende algo de alguno de los problemas queva a leer, es siempre mi culpa. Significa que en algn lugaryo tampoco entend. No puede ser que usted lea algo (con-tando por supuesto con que le est prestando atencin altexto) y no lo comprenda. Algo hice mal yo.

d) Tambin son mas las ancdotas e historias de vida. De hecho,son el corazn del libro. Yo no soy un locutor que vende unproducto sin importarle si es bueno o malo. Si hay algo que



Por qu cuento esta historia? Porque la nota pas inadvertidaen el diario ms importante del pas. Y si alguien la advirti, yo no meenter. Contena varios de los ejemplos que figuran en los dos pri-meros tomos de esta coleccin. Pero no me llam Carlos al dasiguiente para decirme que quienes dirigan el diario queran queempezara a escribir con regularidad sobre esos temas, ni me dijo queninguna persona hubiera llamado al diario para pedir ms. No meofreci un contrato como columnista.

Es decir que, si hubiera sabido que los libros iban a tener unarespuesta como la que ustedes dieron a los dos primeros tomos, loshabra escrito hace veinte aos. Y no lo hice. Porque no saba. Msan: todava hoy, no lo creo.

Eso s: gracias.


Ya se sabe todo en matemtica?

Es curioso, pero es tal la desconexin entre la sociedad y la mate-mtica que la mayora de la gente piensa (con razn, porque sos sonlos elementos con los que cuenta) que la matemtica est toda inven-tada o que es algo cuadrado que uno va, estudia, y no aplica, salvoen contadsimas ocasiones (suma, resta, divisin y multiplicacinincluidas).

Sin embargo, no slo no es as, sino que la matemtica anda porla vida como la mayora de las ciencias: sabiendo algunas cosas(pocas), e ignorando otras (muchas). El siguiente recorrido no pre-tende ser exhaustivo ni mucho menos original. Ms an: aparece encasi todos los prlogos de libros dedicados a la difusin de la mate-mtica. Pero, si lo que usted lleg a cursar hasta completar (con suer-te) fue el colegio secundario, lo invito a que reflexione sobre lo queva a leer (si es que no se aburri ya).

Se trata de una historia que quiero empezar as: Los chicos quese gradan hoy del colegio secundario, aun aquellos que tienen unaslida formacin en lgebra, geometra y trigonometra, estn casi 400(cuatrocientos) aos atrasados con respecto a lo que es la matemti-ca de punta hoy. Es decir: aprenden lo que se saba ya hace cuatro-cientos aos. Por eso, la mayora de las cosas resultan aburridas einexplicables. Peor an: de difcil aplicacin.

Sin embargo, estoy convencido de que uno puede aspirar a ms.Sgame en este recorrido apresurado sobre lo que pas en los lti-mos siglos.


durante muchsimo tiempo. Se produjo tambin la enfticairrupcin de las Probabilidades y estadsticas, muy ligadas ala teora de conjuntos, las funciones que se llaman mediblesy las teoras de integracin.

5) Los ltimos dos matemticos universalistas fueron Gauss yPoincar. Es que hace un siglo era posible imaginar que unextraordinario matemtico pudiera manejar todo lo que sesaba de su especialidad en el mundo. Pero eso hoy no puedepasar. Otra vez, no slo es improbable, sino casi imposible.La cantidad de matemticos en el mundo se ha multiplica-do por miles. Ms an: se publican tambin miles de revis-tas de variadas especialidades en ms de 100 idiomas. El volu-men del conocimiento ha llegado a lmites para el asombro.Se estima que se producen ms de 200.000 nuevas teoremaspor ao, lo cual significa unos 600 teoremas nuevos por da!

6) El 24 de mayo del ao 2000, en el College de Francia, enPars, el Clay Mathematics Institute, que tiene su base enCambridge, Massachusetts, hizo algo parecido a lo que pro-dujo Hilbert cien aos antes: eligi siete problemas sin solu-cin an y los llam Millenium Prize Problems (los Premiosa los problemas del milenio). La idea fue publicitar los pro-blemas y ofrecer un milln de dlares a quien pudiera resol-ver alguno de ellos. Justamente, sos son los problemas quehoy estn en la frontera del conocimiento.

7) Hace muy poco, en agosto de 2006, el ruso Grigori Yakov-levich Perelman sorprendi al mundo cuando anunci quehaba resuelto la famosa Conjetura de Poincar. Perelman seneg a retirar su premio, sin embargo, la comunidad mate-mtica le confiri la medalla Fields (equivalente al PremioNobel). Perelman tambin se neg a retirar este premio y enla actualidad se encuentra recluido en su ciudad de origen,San Petersburgo, en Rusia.


1) La matemtica del siglo XVII produce un quiebre esencial: laaparicin del clculo, con el aporte casi simultneo de dos cien-tficos que se odiaron mientras vivieron. Me refiero al inglsIsaac Newton y al alemn Gottfried Leibniz. Ms all de lasdisputas personales, ambos coinventaron la nocin de lmitey, con ello, floreci el clculo y/o el anlisis. Esto signific eldesarrollo de la fsica matemtica, de la teora de la relatividad,la mecnica cuntica y del conocimiento de la naturalezade la materia.

2) Luego Georg Cantor con su teora sobre los conjuntos infi-nitos irrumpe sobre el final del siglo XIX y contina hasta prin-cipios del siglo pasado, creando en algn sentido un parasopara la investigacin en matemtica. Cantor termin pocomenos que loco y vilipendiado por una comunidad que nolo comprendi.

Aqu, una pausa: en general, en los programas de matemtica delos colegios secundarios, las teoras de Newton-Leibniz, de Cantor, losaportes de Gauss, Fermat y Euler no se estudian. se es un pecado quenecesitamos corregir. Y lo antes posible.

3) Con el advenimiento del siglo XX, justo en el ao 1900, DavidHilbert enuncia en Pars, en el marco del Congreso Interna-cional de Matemtica, los 23 problemas ms importantes dela matemtica que an no tenan solucin.1 Con esto desafi almundo matemtico, obviamente e invit a la comunidadcientfica a arremangarse y tratar de producir resultados.Hilbert dijo: Tenemos que saber y vamos a saber. Estas pala-bras son las que estn escritas en su tumba en Gttingen.

4) Nuevas ramas, como la topologa, nacieron de la geometray del anlisis, y dominaron la investigacin en matemtica



1 Fueron los problemas ms importantes para Hilbert. Algunos se resolvieronfcilmente al poco tiempo, y obviamente varios adquirieron celebridad por habersido formulados por l en ese congreso.

Quin dijo que se saba todo? El solo hecho de que acepte-mos esto como posible demuestra qu lejos estamos del contacto conla matemtica real, la que investiga porque no sabe, la que es curio-sa y atractiva, la que es seductora y til. La que hay que mostrar, laque hay que sugerir. Y creo que ya es hora de empezar.


La matemtica tiene sus problemas

Dos pintores y una pieza2

En una casa hay una habitacin grande que hay que pintar. Unpintor, llammoslo A, tarda 4 horas en pintarla solo. El otro, a quienllamaremos B, tarda 2 horas.

Cunto tardaran si los dos se pusieran a pintarla juntos?(Antes de avanzar: la respuesta no es 3 horas.)

Da lo mismo subir que bajar un 40%?

Algunas preguntas sobre porcentajes.

1. Si uno empieza con un nmero cualquiera, digamos 100, y lequita el 40%, y al resultado lo incrementa un 40%, se llegaotra vez a 100?

2. Al revs ahora: si uno empieza con el nmero 100, le agregaun 40%, y al resultado le descuenta ahora un 40%, se llegaotra vez a 100?

3. Las respuestas que dio para las dos preguntas anteriores, depen-dieron de que empezara con el nmero 100, o habra dado lomismo si hubiera empezado con cualquier otro nmero?


2 Las respuestas a los problemas las encontrar en el captulo Soluciones (pp. 181-237).

Supongamos que tiene que pesar exactamente diez kilos de az-car. Para lograrlo, se tienen dos pesas de cinco kilos cada una, y unabalanza con dos platillos.

La dificultad reside en que la balanza est desbalanceada. Estosignifica que, sin que haya ningn peso en ninguno de los dos plati-llos, hay uno que est ms arriba que el otro.

Cmo hacer?

Los tres recipientes con dos tipos demonedas que tienen las etiquetas cambiadas

Supongamos que tiene tres recipientes iguales que contienenmonedas. Y no se puede ver lo que hay en el interior de cada uno.

Lo que s se puede ver es que en la parte de afuera de cada reci-piente hay pegada una etiqueta.

Una dice: Monedas de 10 centavos.Otra dice: Monedas de 5 centavos.Y la tercera dice: Mezcla.Un seor que pas por el lugar antes que usted, despeg todas

las etiquetas que haba y las puso, a propsito, en recipientes que nocorrespondan. Alcanza con elegir una sola moneda de un solo reci-piente para tener suficiente informacin para reordenar las etiquetasy poner cada una en el lugar que le corresponde?

Las cuatro mujeres y el puente

El problema que sigue se inscribe entre los llamados de pensa-miento lateral. En realidad, son problemas sencillos de enunciar, perocuya solucin aparece como resbaladiza. Lo curioso es que no bienuno la encuentra no puede entender cmo no se le ocurri antes. Yla dificultad consiste en que uno empuja para ir en una direccin(aunque no lo advierte) que luego resulta equivocada (cosa que unotampoco advierte). Crame que vale la pena pensarlo.


4. Y las respuestas que dio para las dos primeras preguntas,dependieron de que fuera un 40%, o habra dado lo mismocon cualquier otro porcentaje?

5. Si uno incrementa un nmero en el 100% y luego descuenta el100%, se tiene el mismo nmero con el que empez? Y al revs,si uno descuenta el 100% y luego lo aumenta, qu obtiene?

Problema de los seis fsforos

Se tienen seis fsforos iguales. Es posible construir con ellos cua-tro tringulos equilteros cuyos lados sean iguales al largo del fsforo?

Nota 1: No conteste rpido si no se le ocurre la solucin. Piense.

Nota 2: Tringulo equiltero quiere decir que tiene los tres ladosiguales. De hecho, equi = igual, ltero = lado. En este caso, ladosiguales y, adems, de igual longitud que la del fsforo.

Cmo hacer para pesar diez kilos con una balanza desbalanceada?3

Mucha gente cree que tiene mala suerte y lo expresa de distintasmaneras. Por ejemplo: El da que llueva sopa, yo voy a estar con untenedor en la mano. O algo equivalente. El hecho es que si Murphyviviera, dira que uno siempre tiene un destornillador cuando nece-sita un martillo (o al revs). Pero con el tiempo y con paciencia, alfinal, nos ingeniamos para salir del paso.

Es posible que usted nunca tenga que enfrentar el problema queviene a continuacin. Sin embargo, estoy seguro de que, el haber pen-sado en cmo resolverlo, lo ayudar a tener una llave extra en su arse-nal, que uno nunca sabe cundo necesitar utilizar.



3 Este problema fue publicado por A. K. Peters en 2004, en el libro Puzzles 101.

Si se puede, exhiba una forma de hacerlo. Si no se puede, expli-que por qu.

Cuatro interruptores

Hace un tiempo present un problema que involucra lo que sellama el pensamiento lateral. Por las caractersticas que tena, lollam Problema de los tres interruptores. Obviamente no es algo queinvent (ni mucho menos), pero me pareci que, de todos los queconoca al respecto, se era el ms atractivo. De hecho, en varias char-las que tuve con grupos de jvenes de distintas edades y tambin congente dedicada a la docencia y divulgacin de la matemtica, recib departe de todos muy buenos comentarios.

Ahora quiero contar una ancdota e incorporar un grado de difi-cultad ms al problema de los interruptores. El da que apareci enla contratapa del diario Pgina/12 el problema de los tres interrup-tores, se me acerc Fernando Kornblit, un matemtico argentino quetrabaja en el INTI, y me dijo: Adrin, muy interesante el problemade los interruptores, pero estuve pensando que tambin tiene solucinsi en lugar de tres interruptores hubiera cuatro.

Le ped que nos dejara pensar un rato, y eso es lo que le estoy pro-poniendo ac: que lo piense tambin. Slo para refrescar las ideas,recuerdo el problema original que apareci publicado en Matemti-ca Ests ah? (Episodio 1):

Se tiene una habitacin vaca, salvo porque hay colgada desde eltecho una bombita de luz. El interruptor que activa la luz se encuen-tra en la parte exterior de la pieza. Es ms: no slo hay un interrup-tor, sino que hay tres iguales, indistinguibles. Uno sabe que slo unade las llaves activa la luz (y que la luz funciona, naturalmente). El problema consiste en lo siguiente: la puerta de la habitacin estcerrada. Uno tiene el tiempo que quiera para jugar con los inte-rruptores. Puede hacer cualquier combinacin que quiera con ellos,pero puede entrar en la pieza slo una vez. En el momento de salir,uno debe estar en condiciones de poder decir: sta es la llave que


El problema que sigue requiere planificar una estrategia. No esdifcil, pero tampoco trivial. Eso s: no tiene trampas. Es un ejerciciomuy conocido en el mundo de los que juegan a planificar e inventarcaminos donde, en apariencia, no los hay. Y tiene el atractivo extra deque permite entrenar al cerebro. Ac va:

Hay cuatro mujeres que necesitan cruzar un puente. Las cuatroempiezan del mismo lado del puente. Slo tienen 17 (diecisiete) minu-tos para llegar al otro lado. Es de noche y slo tienen una linterna. Nopueden cruzar ms de dos de ellas al mismo tiempo, y cada vez quehay una (o dos) que cruzan el puente, necesitan llevar la linterna.Siempre.

La linterna tiene que ser transportada por cada grupo que cruzaen cualquier direccin. No se puede arrojar de una costa hasta laotra. Eso s: como las mujeres caminan a velocidades diferentes, cuan-do dos de ellas viajan juntas por el puente, lo hacen a la velocidadde la que va ms lento.

Los datos que faltan son los siguientes:

Mujer 1: tarda 1 (un) minuto en cruzarMujer 2: tarda 2 (dos) minutos en cruzarMujer 3: tarda 5 (cinco) minutos en cruzarMujer 4: tarda 10 (diez) minutos en cruzar

Por ejemplo, si las mujeres 1 y 3 cruzaran de un lado al otro, tar-daran 5 minutos en hacer el recorrido. Luego, si la mujer 3 retornacon la linterna, en total habrn usado 10 minutos en cubrir el trayecto.

Con estos elementos, qu estrategia tienen que usar las muje-res para poder pasar todas en 17 minutosde un lado del ro al otro?

Problema de las 10 monedas

Se tienen 10 monedas arriba de una mesa.Es posible distribuirlas en cinco segmentos, de manera tal que

queden exactamente cuatro en cada uno de ellos?



(como muestra la figura). Es decir, en total, si uno partiera la barra,tendra 200 (doscientos) trozos de chocolate iguales.

La pregunta es: cul es el nmero mnimo de divisiones que hayque hacer para obtener los 200 bloquecitos?

Detalle: no importa el orden, ni el tamao. Slo se pregunta cules la forma ms eficiente de cortar el chocolate (se supone que unocorta por el lugar donde figuran las divisiones).

El problema en s mismo parece irrelevante. De hecho, lo pare-ce porque lo es. Pero lo que no resulta irrelevante es advertir que, enla bsqueda de la solucin, uno tuvo que imaginar diferentes situa-ciones. Quiz no le sirvieron para este ejemplo en particular, pero soncaminos por los que uno, o bien ya anduvo, o bien los acaba de gene-rar en su cerebro. Cmo sabemos, o mejor dicho, cmo sabe ustedque no va a utilizar en algn momento algo de lo que acaba de pen-sar? Ms an: cmo sabe que algo que hoy tuvo que descartar nole va a servir maana para algo que hoy no puede imaginar? Tenereste tipo de problemas permite entrenar el cerebro y estimular la ima-ginacin. Nada ms. Nada menos.

Un cambio en la rutina

El siguiente problema fue seleccionado por Martin Gardner4

como uno de los que ms le gustaron por su sencillez y profundidad.


activa la luz. Los tres interruptores son iguales y estn los tres en lamisma posicin: la de apagado.A los efectos de aclarar an ms: mientras la puerta est cerrada y unoest afuera, puede entretenerse con los interruptores tanto como quie-ra. Pero habr un momento en que decidir entrar en la pieza. No hayproblema. Uno lo hace. Pero cuando sale, tiene que poder contestar lapregunta de cul de los tres interruptores es el que activa la lamparita.Una vez ms, el problema no esconde trampas. No es que se vea pordebajo de la puerta, ni que haya una ventana que da al exterior yque le permita ver qu es lo que pasa adentro, nada de eso. El pro-blema se puede resolver sin golpes bajos.

Hasta ac, el problema conocido. El agregado entonces es: si enlugar de haber tres interruptores, hay cuatro, se puede encontrar lasolucin tambin entrando en la pieza una sola vez?

Ahora, otra vez (afortunadamente) le toca a usted.

Problema de las ocho monedas

El siguiente problema invita, una vez ms, a pensar un rato. Lo quepuedo decir es que hay una solucin, que no es muy complicada, peroque requiere analizar y evaluar las distintas posibilidades. Y para eso hacefalta un poco de concentracin. Nada ms. Nada menos. Ac va.

Se tienen ocho monedas en apariencia iguales, aunque se sabe queuna de ellas es ms liviana que las otras siete. Adems, hay una balan-za con dos platillos y lo nico que se puede hacer con ellos es ponermonedas a uno y otro lado, y pesar solamente dos veces. Luego deesas dos pesadas, se supone que uno tiene que estar en condicionesde poder decir cul es la moneda diferente (ms liviana).

Problema de la barra de chocolate

Supongamos que le doy una barra de chocolate que tiene formade rectngulo. Esta barra tiene divisiones: 10 a lo largo y 20 a lo ancho



4 Vale la pena recordar que Martin Gardner naci en 1914 en Tulsa, Oklaho-ma, Estados Unidos, y es uno de los ms prolficos y brillantes escritores y difuso-res de la matemtica creativa que conoci el siglo XX.Su actividad se prolonga an

d) nunca aparece nada extrao en el camino, ni semforos quedilaten o aceleren el trnsito, etctera.

Puede usted determinar cunto tiempo camin el marido cuan-do ella lo encontr?

Hasta aqu el planteo. Un par de reflexiones antes de pasar a lasolucin.

Como se da cuenta, el problema en s mismo es una verdaderapavada. La belleza consiste en que no hay que utilizar ninguna herra-mienta sofisticada, ni ningn recurso extraordinario. Slo hay quepensar, y para eso, usted decide cundo y cmo lo hace. Lo nicoque le pido es que me crea que vale la pena.

Dicho esto, me queda un par de observaciones ms. Luego de pen-sarlo un rato, uno empieza a sospechar que al problema le faltan datos.Por ejemplo, que falta saber:

a) la velocidad a la que caminaba el marido;b) la velocidad a la que manejaba la mujer;c) la distancia entre el domicilio y la estacin.

Y seguramente habr ms cosas que usted pens que me olvidde poner aqu. No. No se necesita ms nada. O sea, siga sola/o conlo que tiene, que es suficiente. La nica concesin que me tiene quehacer es aceptar que las condiciones son ideales, en el sentido deque el hombre no pierde tiempo cuando sube al auto, que el autogira en forma instantnea para ir de una direccin a la otra, que lamujer sale siempre a la misma hora para buscar al marido, etctera.

Dos tas y dos colectivos

El ejercicio que sigue casi genera un problema familiar. De hecho,es antiintuitivo y, si uno no lo piensa bien, supone que hay algo quefunciona muy mal o que hay trampa. Sin embargo, es una cuestinde lgica.


Despus de leerlo, y eventualmente resolverlo, quedarn algunas re-flexiones, pero la ms importante tendra que ser: cuntas veces enla vida cotidiana creemos estar ante un problema que, o bien no tienesolucin, o bien creemos que nos faltan datos para resolverlo?

ste es un magnfico ejemplo para poner a prueba, no el inge-nio (cuya definicin me resulta muy resbaladiza), sino la capacidadpara pensar desde otro lugar. Ahora, basta de generalidades. Acva el planteo.

Un comerciante viaja a su trabajo todos los das usando el mismotren, que sale de la misma estacin y que tiene los mismos horarios,tanto de ida como de vuelta. Para colaborar con l, su mujer lo llevaa la maana hasta la estacin y luego lo pasa a buscar a las 5 de la tardecon su coche, de manera tal de ahorrarle un viaje en colectivo.

Para el problema, lo importante es que la mujer lo encuentra todoslos das a la misma hora, a las 5 de la tarde, y juntos viajan a su casa.

Un da, el marido termina su trabajo ms temprano y toma unviaje previo que lo deposita en la estacin a las 4 de la tarde (en lugarde las 5, como es habitual). Como el da est muy lindo, en vez dellamar a la mujer para contarle lo que hizo, decide empezar a cami-nar por la calle que usa ella para ir a buscarlo. Se encuentran en eltrayecto, como l haba previsto. El marido se sube al auto y jun-tos vuelven a su domicilio, al que llegan 10 minutos antes que lohabitual.

Si uno supone la situacin ideal (e irreal tambin) de que:

a) la mujer viaja siempre a la misma velocidad;b) sale siempre a la misma hora de la casa para ir a buscar a su

compaero;c) el hombre se sube al auto en forma instantnea y sin perder

tiempo;



hoy, a punto de cumplir los noventa y tres aos. Las columnas que escribi duran-te veinticinco aos en la revista Scientific American se transformaron en un clsi-co de la literatura dedicada a este campo. Es considerado por una abrumadoramayora, el verdadero gur de la especialidad.

el colectivo azul lo deja pasar y espera el rojo, o Juan no cumple consu palabra y sale siempre a la misma hora. No. No hay trampas, nohay trucos. Es sencillamente un problema que se resuelve usando unpoco de lgica. Y un papel, lapicera en mano y tiempo.5

Ocho nmeros conectados

Se tiene el siguiente dibujo:

El objetivo del problema es distribuir los primeros ocho nme-ros (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8) en los crculos indicados en el dibujo, demanera tal de que no haya ningn par de nmeros consecutivos uni-dos por un segmento. Se podr? O no?

Muchas veces en la vida cotidiana uno tiene un problema pero nosabe si tiene solucin. Lo que tiene, entonces, es un problema pararesolver, pero adems, y mucho ms importante, uno no sabe si el pro-blema tiene solucin. Lo cual representa otro problema.

Es muy comn en los colegios que a uno le planteen un proble-ma, pero le advierten que tiene solucin, o se infiere del contexto. Nin-gn profesor o maestro pone en una prueba ejercicios para resolver


Un muchacho, llammoslo Juan, vive sobre una avenida de doblemano. Juan tiene dos tas. Saliendo de su casa, una ta vive a la izquier-da y la otra, hacia la derecha. Ambas viven bastante lejos: para ir ala casa de cualquiera de ellas Juan tiene que tomar un colectivo.

Juan quiere mucho a ambas tas, y las quiere por igual, y ellas asu vez quieren que l las vaya a visitar seguido. Por suerte (para Juan)hay dos lneas de colectivos que pasan justo por la casa de l y tie-nen paradas exactamente frente a su puerta. Sin embargo, las lneasvan en direcciones contrarias. La lnea roja va hacia la derecha, mien-tras que la azul, hacia la izquierda.

Las dos lneas pasan por la casa de Juan exactamente cada 10minutos. Nunca se atrasan. Siempre, cada 10 minutos un colectivorojo y otro azul. Claro, los colectivos no tienen por qu pasar a lamisma hora. Puede ser el caso de que el azul pase a la hora en punto,a las y 10, y 20, y 30, y 40 e y 50, mientras que el rojo pasaa las y 5, y 15, y 25, y 35, y 45 e y 55. Pero el hecho es quelos colectivos nunca llegan fuera de hora.

Con esta distribucin de los colectivos Juan quiere ser equitati-vo con sus tas y les propone lo siguiente:

Hagamos una cosa les dice. Cuando yo vaya a visitar a algu-na de ustedes, voy a salir a la calle y esperar el primer colectivo quevenga. Si es rojo, lo tomo y visito a la que vive a la derecha, y si es azul,visito a la otra ta.

Las tas escuchan atentas, y hasta aqu no ven nada raro ni lesparece mal la propuesta. Juan agrega:

Eso s. No voy a salir a esperar el colectivo siempre a la mismahora. Voy a salir a una hora aleatoria (o sea, a cualquier hora queme venga bien) y tomo el primer colectivo que pase.

Las tas asintieron, demostrando su conformidad con el acuerdo.Sin embargo, con el paso del tiempo, Juan visitaba mucho ms

a una ta que a la otra. Ante el reclamo de la ta menos visitada, Juanasegur enfticamente que l cumpla con lo pactado.

El problema consiste en explicar por qu sucede esto, sin suponerque hay alguna trampa, del estilo Juan no poda cruzar la calle cuan-do vena el colectivo que iba para, o Juan minti y cuando viene



5 Este problema me lo envi Maxi Combina, estudiante de Ciencias de laComputacin en la Universidad Nacional de Crdoba. Luego de acordar con l,me tom la libertad de hacerle algunas modificaciones (pequeas, por cierto) yagregarle la solucin.

Obviamente, nadie aspira a que, frente a esta pregunta, el inter-locutor conteste con un nmero exacto. Sin embargo, s se pretendeque quien responda no diga 50 si son 10.000, pero tampoco que diga10.000 si son 50. Se trata entonces, por un lado, de estimar una res-puesta, pero an ms importante, el proceso que involucra.

El ejemplo que me ocupa ac es el siguiente. Supongamos quese va a jugar un partido de ftbol en la cancha de River (para elegirun estadio grande, en el que entran aproximadamente 70.000 perso-nas, pero el ejemplo se puede adaptar a cualquier pas o a cualquierciudad o cualquier equipo). Supongamos adems que el estadio va aestar repleto de gente. Si uno trajera suficientes pelotas de ftbol (infla-das) y las distribuyera por el campo de juego (sin encimarlas) hastaocuparlo por completo, alcanzarn para que al finalizar el partido sele pueda entregar una pelota a cada espectador?

Una vez planteado el problema, lo dejo para que consiga los datosque le hagan falta, ya sean las dimensiones de una pelota as como lasde una cancha de ftbol. Pero, ms all de los datos que le pudieranfaltar, no se olvide de que se trata de una estimacin.

Algo ms antes de pensar el problema: se anima a dar una res-puesta aun antes de hacer ninguna cuenta? Qu le parece que vaa pasar? Alcanzarn o no?

Otro problema de Fermi

Con la misma idea de las pelotas en una cancha de ftbol, supon-gamos ahora que ponemos cada pelota dentro de una caja cbica (endonde entra casi exactamente una pelota), y luego ubicamos estascajas en un camin, de manera tal que cada camin puede transpor-tar 20 contenedores de un metro cbico cada uno. Cuntos camio-nes hacen falta para transportar todas las pelotas?

Como antes, se trata de una estimacin. No se pretende una res-puesta perfecta.

* * *


cuya solucin no conozca. Muy diferente muy diferente es nosaber si cuando uno busca y no encuentra es porque no existe o por-que intent mal, o no tuvo suerte, o eligi el camino equivocado.

La tentacin que tengo es, entonces, plantear el problema de arri-ba y preguntar si tiene solucin o no. Claro, en caso de que alguiendiga que no tiene solucin, tendr que demostrarlo. Es decir, no alcan-zar con que diga que intent mucho tiempo y no la encontr. Eso noprueba nada. O en todo caso, s. Prueba que usted intent mucho. Peronada ms. Podra venir otra persona y resolverlo. En cambio, si ustedpudiera probar que el problema no tiene solucin, entonces ser indis-tinto el tiempo que uno le dedique, o la persona de que se trate. Noexistira solucin y, por lo tanto, no se la podra encontrar.

Por otro lado, si uno dice que tiene solucin, debera poder exhi-birla. O, en todo caso, demostrar que sabemos que tiene solucin ofre-ciendo argumentos.

Lo dejo (por un rato) con la pregunta. Y me llevo la respuesta parael final.

Problemas de Fermi

Se llaman as los problemas que involucran alguna estimacinpara poder llegar a la respuesta. Deben su nombre a Enrico Fermi,premio Nobel de Fsica.6 No se pretende que uno conteste con exac-titud, ni con precisin extrema. Se trata de estimar un nmero. Haymuchos ejemplos muy conocidos y slo elijo uno entre ellos: cun-tos afinadores de piano hay en la ciudad de Boston?



6 Enrico Fermi fue un fsico italiano que vivi entre 1901 y 1954. Sus contri-buciones ms importantes fueron en el campo de la fsica nuclear y la teora cun-tica: le entregaron el Premio Nobel de Fsica por su contribucin al desarrollo dela energa nuclear. Sin embargo, no bien recibi el premio, Fermi fue forzado a dejarItalia y se convirti en un activo investigador en la Universidad de Chicago.

Actualmente, uno de los laboratorios de fsica ms importantes del mundo llevael nombre de Fermi Lab (cerca de Chicago).

Fermi fue miembro del equipo que se conoci con el nombre de Proyecto Man-hattan, y que desarroll la bomba atmica en Los lamos, Nuevo Mxico.

que 24 horas ms tarde el seor estar en la cumbre. O sea, a la media-noche del lunes seguro que lleg a lo ms alto.

Ahora bien: una vez arriba, se queda un tiempo all (no importacunto), digamos seis das, y exactamente a la medianoche del siguien-te domingo, o sea las cero hora del lunes, comienza el descenso. Igualque antes, no importa de qu forma camina hacia abajo (por la nicaruta que existe) y, como la semana anterior, si para para descansar,o subir un poco En definitiva, es libre de hacer lo que quiera. Pero,lo que s se sabe, una vez ms, es que a la medianoche del lunes, 24horas ms tarde, ya estar abajo.

El problema consiste en lo siguiente: probar que existe al menosun lugar en donde el hombre estuvo a la misma hora, tanto al subircomo al bajar.

Lo planteo de otra forma. Convnzase de que no importa cmohaya hecho para subir o para bajar, tiene que haber al menos un lugaren el camino que une la base con la cima, por la que el seor pas enel mismo horario tanto a la ida como a la vuelta.

Por ejemplo, si el seor recorriera la mitad del trayecto en 12horas, eso significara que a las 12 del medioda estar en el mismolugar al subir que al bajar. Obviamente, esto es solo un ejemplo, ya quecomo el hombre tiene total libertad para la ida como para la vuelta,no tiene por qu recorrer la mitad del trayecto en 12 horas.

Ocho reinas

El problema de las ocho reinas consiste en saber si es posibleubicar en un tablero de ajedrez ocho reinas (no importa el color,naturalmente), de manera tal que ninguna de ellas pueda atacar alas restantes.

Una reina, en el ajedrez, gobierna lo que sucede en la fila y lacolumna en las que est ubicada, adems de las diagonales.

Algunas de las preguntas que surgen son:

a) Es posible encontrar una configuracin de manera tal queninguna pueda atacar a ninguna?


Las preguntas que uno puede formularse con la idea de entrenarseson muchsimas y, por supuesto, depender de la creatividad de cadauno para cuestionar o de la habilidad para buscar en Internet o enlos libros sobre el tema.7 Propongo aqu algunas:

1) Si usted pusiera billetes de 2 pesos en una columna, hasta quepudiera alcanzar la deuda externa argentina, cun alta leparece que sera esa pila de billetes? Cunto le parece quepesara? Cul sera la presin sobre el piso en el que se apoya?

2) Cuntos pelos tiene usted en la cabeza? A qu velocidadcree que crece el cabello en un humano? Cuntas clulas leparece que tiene nuestro organismo?

3) Cuntos cuadros cree que tiene un dibujito animado de WaltDisney?

4) Cuntos kilmetros habr de carreteras en la Argentina?Cul ser el volumen de todos los lagos?

Problema de la montaa

El siguiente problema es ciertamente fascinante. Si uno lo quie-re abordar en forma directa, creo que se enfrentar con mltiplescomplicaciones. En cambio, si puede ingenirselas para pensarlodesde otros ngulos, es un problema no slo sencillo sino verdade-ramente fcil.

Aqu va: una persona est al pie de una montaa. La montaatiene un solo camino hacia la cumbre. El seor decide escalarla ysale a las cero hora del da lunes (o sea, a la medianoche del domin-go). No importa la velocidad a la que asciende ni lo que hace en el tra-yecto (incluso puede parar o bajar, si quiere), pero lo que se sabe es



7 Algunas fuentes consultadas son: http://www.physics.umd.edu/perg/fermi/fermi.htm#General; http://mathforum.org/workshops/sum96/interdisc/sheila3.html;http://www.soinc.org/events/fermiq/fermiguide.htm; http://www.vendian.org/envelope/dir0/fermi_questions.html; http://www.physics.odu.edu/~weinstei/wag.html

tiempo, estos casos suelen activar una catarata de respuestas contra-dictorias, de debates internos que muestran, una vez ms, la riquezade nuestro intelecto, al que no siempre aprovechamos ni entrenamos.

Le propongo, entonces, pensar lo siguiente: supongamos queusted tiene infinitas monedas. (S, ya s: infinitas monedas NO HAY,pero ste es un problema que requiere estirar la imaginacin hastaese lugar se anima?) Supongamos que en una habitacin est ustedcon un amigo y que entre los dos tienen infinitas monedas. Comolas monedas son todas iguales (digamos de 1 peso), ustedes les pusie-ron un nmero a cada una y las ordenaron en forma creciente (osea, primero la nmero 1, luego la 2, la 3, etc.). Adems, en la habi-tacin hay:

a) una caja enorme (en donde uno de ustedes va a empezar acolocarlas), y

b) un cronmetro.

El proceso que va a empezar ahora es el siguiente: yo hago arran-car el cronmetro, que empieza en la posicin 0 y dar una vueltahasta llegar a cubrir 60 segundos (1 minuto). Usted tiene 30 segun-dos para colocar en la caja las monedas numeradas del 1 al 10. Unavez hecho esto, su amigo retira la moneda que lleva el nmero 1.Ahora, les quedan slo 30 segundos en el reloj y nos empezamos aapurar. En la mitad del tiempo que les queda, o sea, en los siguien-tes 15 segundos, usted coloca en la caja las monedas del 11 al 20 y,rpidamente, su amigo retira de la caja la moneda que lleva el nme-ro 2. Ahora quedan 15 segundos antes de que se cumpla el minuto. Enla mitad de ese tiempo (o sea, 7 segundos y medio), usted tiene quecolocar en la caja las monedas numeradas del 21 al 30, y su amigo reti-rar de la caja la moneda nmero 3.

Y as contina el proceso indefinidamente: usted usa la mitaddel tiempo que queda hasta completar el minuto para ir colocandodiez monedas por vez en la caja, y su amigo va retirando (en formaordenada) una por vez. Por ejemplo, y para ratificar que entendimosel proceso, en el prximo paso, en la mitad del tiempo que queda


b) Si existe tal configuracin, cuntas hay?c) Hay algn mtodo para construir configuraciones?

Este problema fue planteado originariamente a fines del siglo XIXpor Max Bezzel, un ajedrecista de la poca, y fue abordado por much-simos matemticos, entre otros, por Gauss, Gunther y Glaisher. Antesde avanzar, lo invito a que piense sola/o si tiene o no solucin.

Pero ms an. Supongamos por un momento que usted es capazde encontrar alguna. Qu sucedera si rota el tablero 90 grados?(Piense la respuesta.) Sigo yo: no estara encontrando una nuevasolucin? Ahora que le suger que se poda rotar 90 grados, qu otrosmovimientos podra hacer para obtener otros resultados? Por supues-to, rotar 90 grados es uno de ellos, pero rotar 180 y 270, tambin. Yno termina ah. Supongamos que usted hiciera reflejar en un espejouna solucin, no encontrara otra? Ser alguna de las anteriores?Y si rota la nueva que obtiene as? Cuntos resultados esencial-mente distintos se encontrarn con ese mecanismo?

A todas estas operaciones (rotaciones y reflexiones), los mate-mticos las llamamos operaciones de simetra. En definitiva, es razo-nable pensar que, si uno tiene dos soluciones pero puede llegar empe-zando en una y, luego de rotar y/o reflejar, llegar a la otra, entoncesse trata en esencia de la misma solucin.

Vuelvo a las preguntas iniciales: cuntas soluciones posibles hay,genuinamente diferentes?8

El cronmetro y las infinitas monedas

La mejor manera de desafiar la intuicin, provocar al cerebro,entrar en conflicto con la lgica, es plantear un problema que involucreal infinito. O mejor dicho, que involucre a conjuntos infinitos. Al mismo



8 Hay numerosa literatura escrita para este problema. En Internet, hay algunossitios atractivos:

http://en.wikipedia.org/wiki/Eight_queens_puzzle http://bridges.canterbury.ac.nz/features/eight.html

Hechas estas observaciones, paso a formular las preguntas:

a) Si en los bordes de la barra no hay nada que las detenga, esdecir que cada vez que una de las hormigas llega a cualquie-ra de los bordes se cae, entonces: cunto tiempo tiene quetranscurrir, desde el momento en que empiezan a caminar, paraestar seguros de que se cayeron todas?

b) Si, en cambio, en cada uno de los bordes del palo hay unamadera, de manera tal que, cada vez que una hormiga chocacontra esa pared, da la vuelta y camina en la direccin con-traria, es posible hacer una distribucin de las 100 hormigasrestantes para garantizar que Alicia, que empieza en el mediode la barra, al cabo de un minuto termina otra vez en elmedio de la barra?

c) Pregunta extra: cuntas distribuciones posibles se puedenencontrar de las 100 hormigas para que Alicia termine, despusdel minuto, otra vez en el medio de la barra?

Dos preguntas (en una)

PREGUNTA 1Supongamos que usted tiene un tablero de ajedrez, el clsico de

8 x 8 cuadraditos. Cuntos cuadrados se pueden formar usando loslados de esos cuadrados?

Por ejemplo, un cuadrado a considerar es todo el tablero, que esel nico que hay de 8 x 8. Pero hay otros La pregunta es cuntos.

PREGUNTA 2Ahora, enfrentemos el caso ms general. Si en lugar de conside-

rar un tablero de ajedrez de 8 x 8, tuviramos un tablero cuadradode n x n, donde n es un nmero natural cualquiera. En este caso:cuntos cuadrados se podran construir?


(3 segundos y tres cuarto) usted coloca en la caja las monedas nume-radas del 31 al 40 y su amigo retira la moneda nmero 4.

Creo que se entiende el procedimiento. En cada paso, usamos lamitad del tiempo que nos queda para ir colocando, sucesivamentey en forma ordenada, 10 monedas y sacando tambin en formaconsecutiva la moneda con el nmero ms chico. Obviamente, amedida que va avanzando el cronmetro y se va acercando a cum-plir con el minuto pautado, tenemos que apurarnos cada vez ms.La idea es ir reduciendo el tiempo a la mitad para colocar 10 mone-das y retirar 1.

La pregunta que tengo para hacer es la siguiente: una vez termi-nado el tiempo (o sea, cuando expiraron los 60 segundos), cuntasmonedas hay en la caja?

Las hormigas y Alicia9

En una barra de un metro de longitud hay 100 hormigas anni-mas (en el sentido de que son indistinguibles unas de otras). Ade-ms, hay una hormiga diferente, que llamamos Alicia. Ella es la hor-miga nmero 101 del problema. Para distinguirla an ms, Alicia estparada exactamente en la mitad de la barra. Todas las hormigas cami-nan a la misma velocidad: un metro por minuto (incluida Alicia). Algu-nas caminan para un lado y otras, para el otro. Pero la regla que siguenes la siguiente: cuando dos hormigas chocan, ambas dan la vuelta ysalen caminando en el sentido contrario al que traan.

Por supuesto, antes de plantear un par de preguntas posibles, meadelanto a decir que todo es ficticio y que haremos de cuenta que lashormigas no tienen espesor y que cada una ocupa un solo punto de labarra sobre la que est caminando. Es decir, son condiciones ideales.

Inicialmente, todas las hormigas estn quietas, pero van a salircaminando en alguna direccin, todas al mismo tiempo.



9 Estos problemas me los cont Matas Graa, profesor del Departamento deMatemtica de Exactas (UBA), quien es adems amigo personal.

Figura 2

Vuelvo al problema original: el objetivo es encontrar el mnimonmero de cuadrados en los que se pueda partir el acolchado grande de13 x 13. Obviamente, se excluye el caso 13 x 13, ya que, si no, habrauno solo: el original! Pinselo y luego, en todo caso, verifique qu solu-cin encontr. Si me permite, le hago una sugerencia: empiece comohice yo, con acolchados de 3 x 3 (hasta que se convenza bien del ejem-plo), luego siga con acolchados de 4 x 4, de 5 x 5, etc., hasta quedesarrolle una intuicin de qu es lo que habra que hacer. No empie-ce directamente con el de 13 x 13, porque es ms complicado.

Siempre hay puntos antipodales en laTierra que tienen la misma temperatura?

Desafo: yo le aseguro que siempre hay dos puntos en el planeta(Tierra) ubicados exactamente en las antpodas, en donde la tempe-ratura es exactamente igual. Cmo se puede demostrar esto?

Como siempre, la idea es que piense por su cuenta y trate de plan-tearse el problema primero; leerlo, meditar sobre l, reflexionar sobresi se entiende o no, y luego, pensar en alguna potencial solucin. Ah,y no encontrarla no significa nada, como tampoco significa nadaencontrarla. Eso s: todo el recorrido s significa y mucho.

DEMOSTRACINLe propongo que construyamos juntos dos puntos antipodales, es

decir, dos puntos que estn en lados opuestos de la Tierra (si bien qui-zs oy que Buenos Aires y Tokio son antipodales, en realidad, si unose fija en un mapa, se va a dar cuenta de que no es exactamente as).


El acolchado cuadrado

Este problema fue propuesto por Henry Dudeney en 1917. Vamos a suponer que usted tiene un acolchado que forma un cua-

drado y que est compuesto por 169 cuadraditos (figura 1).

Figura 1

Uno podra pensar este acolchado como un gran cuadrado de13 x 13. O tambin, como un acolchado compuesto por 169 cuadra-ditos. Pero el objetivo es encontrar la menor cantidad de cuadradosposibles en los que se pueda partir el cuadrado grande (es decir, detamao estrictamente menor que 13 x 13), y exhibir las formas en lasque se puede armar nuevamente. Por ejemplo: supongamos que unotiene un cuadrado de 3 x 3. Por supuesto, podra partirlo en cuadradi-tos de 1 x 1 y tendra nueve de esos cuadrados. Pero esa particin esmala, en el sentido de que uno puede encontrar una mejor. Por ejem-plo, tomar un cuadrado de 2 x 2 y luego cinco cuadraditos de 1 x 1(como se ve en la figura 2). Eso da un total de seis cuadraditos.



Listo, se termin el problema: hemos encontrado los puntos quebuscbamos.

Ahora, supongamos que no fuera as. Es decir, la temperatura enlos dos puntos no es la misma. Entonces, en uno de los dos la tem-peratura es mayor. Digamos que en A es mayor que en B (o sea, queen A hace ms calor que en B), y lo denomino as:

A > B

Esto tambin puede expresarse de otra forma, diciendo que ladiferencia de temperaturas entre ambos puntos es positiva. Es decirque, si uno resta la temperatura de los dos lugares, obtiene un nme-ro positivo.

(A B) > 0

Para fijar las ideas (aunque no sea necesario), supongamos que enA hay 35 grados de temperatura y en B, 20.Entonces la diferencia detemperaturas entre ambos puntos es de 15 grados (35 20 = 15).

Qu estar pasando al mismo tiempo en los otros puntos anti-podales que estn sobre el ecuador? Quiero probar que hay al menosun par de puntos antipodales que en ese momento tienen la mismatemperatura.

Imaginariamente, supongamos que uno hace girar el palito quetiene en una punta a A y en la otra a B. Le recuerdo que el palitopasa siempre por el centro de la Tierra, y tiene las dos puntas apo-yadas en el ecuador. Ahora, volvamos a pensar en la diferencia delas temperaturas entre los dos puntos finales del palito. Qu puedepasar con esa diferencia de temperatura entre esos dos puntos? Sabe-mos que (A B) > 0 (en realidad, en el ejemplo que estbamos con-siderando la diferencia de temperaturas era de 15 grados). Al mover-nos y estudiar los cambios de temperatura en los extremos del palito,la diferencia puede seguir siendo positiva, o puede pasar a ser nega-tiva, o incluso puede valer cero.


No importa. Lo que quiero es que nos pongamos de acuerdo sobrecmo construir dos puntos que s estn en las antpodas.

Supongamos que usted est mirando la Tierra, y ve los parale-los y los meridianos. Fjese en el ecuador (o sea, el ms grande detodos los paralelos).10 Tome un punto cualquiera all. Imagine quelo pincha con un palito que atraviesa la Tierra en forma horizontal(suponiendo que est sosteniendo la esfera con el polo norte arri-ba y el polo sur abajo), y lo hace aparecer del otro lado. All, al salir,vuelve a encontrar otro punto del ecuador. Ese otro punto, est jus-tamente en las antpodas (tambin llamados puntos antipodales).

(Como se advierte hay, adems, una cantidad infinita de paresantipodales. Es decir, para cada punto que elija sobre el ecuador, delotro lado existe el punto antipodal al que eligi.)

Voy a llamar a esos dos puntos A y B:

Qu podra pasar con respecto a las temperaturas en ambos pun-tos? Si en esos dos lugares la temperatura fuera igual, o sea, si

A = B



10 En realidad, sirve cualquier crculo mximo. Imagine a la Tierra como si fuerauna pelota de tenis. Tngala en la mano, hacindole una marca en el equivalente delpolo norte y otra en el que sera, imaginariamente, el polo sur. Si ahora coloca unabanda elstica o un pioln que enrolle a la pelota de tenis y que pase por esas dos mar-cas, eso es un crculo mximo. Claro, usted puede hacer girar la pelotita, y tomarlade otra forma. Entonces, habr dos nuevos polos norte y sur. Como se ve, habr nue-vos crculos mximos que son los crculos que pasan por esas dos nuevas marcas.En definitiva, lo que se observa es que hay infinitos crculos mximos, y son aque-llos que sirven para envolver a la Tierra (o a la pelotita de tenis) pero que tienen lamayor longitud posible. sos son los crculos mximos.

A B

Ramo de rosas de distintos colores

Veamos ahora dos tipos diferentes de problemas con los que unose encuentra en la matemtica.

Una categora de problemas la conforman aquellos de los cualesuno sabe (de alguna forma) que tienen solucin, y el objetivo es tra-tar de encontrarla.

Otra categora muy diferente la integran aquellos de los cua-les uno ignora si tienen solucin o no. Por supuesto, el problema seresuelve, o bien mostrando que la supuesta solucin no puede exis-tir, o bien demostrando que existe y, eventualmente, encontrndola.Una cosa es tropezarse con un problema sabiendo que tiene una solu-cin (la dificultad reside en que uno sea capaz de encontrarla) y otramuy distinta tener un problema delante y no saber si se puede resol-ver siquiera. La vida cotidiana, justamente, est repleta de estas lti-mas situaciones. En general, las primeras aparecen en los momentosen los que uno estudia o se entrena, pero cuando aparece un proble-ma en la vida real, por lo general no viene con un aviso de que la solu-cin existe. De ah que la aventura del descubrimiento sea tan apa-sionante.

Veamos un ejemplo:

Un florista le entreg a un seor un ramo de flores que contenarosas de distintos colores: rojas, azules y blancas. Pas un par dedas y el seor, como no haba pagado, volvi al local y pregunt cun-to deba, teniendo en cuenta que cada color de rosa tena un preciodiferente.

El florista haba perdido el papel en donde haba anotado todoslos datos, pero recordaba algunos. En principio, saba que haba pues-to al menos dos rosas de cada color. Y adems, poda afirmar que:

a) Haba 100 rosas si uno sumaba las rojas y las blancas; b) haba 53 rosas si uno sumaba las blancas y las azules, y c) si uno sumaba las azules y las rojas, haba estrictamente menos

que 53 flores.


Analicemos cada caso.

a) Si al detenernos en otro par de puntos (ambos antipodales) ladiferencia es cero, entonces all hemos encontrado lo que que-ramos: las temperaturas en ambos puntos es la misma.

b) Ahora lo invito a pensar conmigo. Si cuando nos detenemos ladiferencia entre las temperaturas de los dos puntos dej de serpositiva y pas a ser negativa, eso significa que en algnmomento del proceso tuvo que haber pasado por cero! Y esoes lo que queremos. En ese instante hemos encontrado los dospuntos antipodales con temperaturas iguales.11

c) Puede ser que siempre se mantenga la diferencia de tempe-raturas positiva? No, la respuesta es no, ya que si diramos unavuelta de 180 grados con el palito, y llegramos con el puntoA hasta el B (y a su vez, el B llegara a ser A), esa diferenciaahora tendra que cambiar, y pasara a ser negativa (en el ejem-plo que eleg, la diferencia es de 15 grados). Luego, en algnmomento, esa diferencia tuvo que haber sido nula. Y eso eslo que buscamos.

Eso demuestra que inexorablemente siempre hay sobre la Tierrados puntos antipodales en donde la temperatura es la misma. Y paraeso, hace falta usar matemtica. De hecho, el teorema que se usa seconoce con el nombre de Teorema del valor intermedio para funcio-nes continuas, y la temperatura es una funcin continua.



11 Piense que la temperatura vara continuamente al movernos. Por ejemplo:si usted est parado en la puerta de su casa y all la temperatura es de 20 grados,y su hermana, que vive a 10 cuadras, est tambin parada en la puerta de la casade ella, pero all la temperatura es de 18 grados, entonces, en algn lugar entre sucasa y la de su hermana la temperatura tiene que ser de 19 grados, y 19 y medio tam-bin. Y 18 grados 3 dcimas tambin. (Entiende por qu?) Es decir, la temperaturano puede saltar de un lugar a otro. Al ir caminando, la temperatura ir variando ypara pasar de 20 a 18, tendr que recorrer todas las posibles temperaturas inter-medias. Esto es lo que quise decir cuando escrib que la temperatura vara conti-nuamente, o sea, no pega saltos.

Es posible con estos datos decidir cuntas flores haba de cadacolor?

La respuesta la va a encontrar en el apartado de las soluciones,pero quiero hacer antes una observacin. Obviamente, ste no es unejemplo de la vida cotidiana. No se me escapa que, si un florista pier-de un papel en donde tena anotado las particularidades del ramo,es muy poco probable que recuerde datos, como pasa en este casoPero vale la pena pensarlo porque uno, al final, se acostumbra a reco-rrer ciertos caminos, y cuando los necesita porque aparecen en algu-na otra situacin de la vida, sabe que tiene el recurso de usar estaherramienta tan potente, como es la de poder pensar. Y de eso se trata.


Nmeros y matemtica

Menos por menos es ms Seguro?

Una de las verdades que nos ensean en la escuela o en el cole-gio es que

Menos por menos es ms.

Uno anota. Piensa. No entiende. Vuelve a pensar. Sigue sin enten-der. Mira al compaero de al lado. l tampoco entiende. Y de pron-to se oye a la maestra o el profesor, que otra vez nos taladran con:

Menos por menos es ms.

Uno tiene varias alternativas frente a esto. La ms probable es quebloquee la mente, deje el cuerpo en el lugar, escriba como un aut-mata, pero en realidad ya nada ms de lo que se oiga o se lea en esahabitacin va a convocar su atencin, al menos por un rato.

Qu dijo? dice uno preocupado.Dijo algo as como que menos por menos, es ms contesta

el compaero del banco de al lado.No entiendo contesta el primero.Yo tampoco dice el otro, pero al menos ste pudo repetir lo que

haba odo.Entonces uno levanta la vista y ve en el pizarrn escrito:


testar: Voy a estar a 120 kilmetros de ac. ste sera un ejemplode que ms por ms, es ms. O sea, aunque uno no escriba los sm-bolos (+) adelante, es como si estuviera diciendo:

(+40) (+3) = (+120)

Uno representa los 40 kilmetros por hora, con (+40) y lo que vaa pasar dentro de 3 horas, con (+3). Multiplica y tiene (+120), o sea,uno estar 120 kilmetros ms adelante de donde est ahora.

En una figura se ve as:

Si ahora, en lugar de ir a 40 kilmetros por hora hacia adelante,empezara a manejar su auto marcha atrs a la misma velocidad (o sea,a 40 kilmetros por hora pero hacia atrs), podra preguntarle: dndeva a estar dentro de 3 horas?

(40) (+3) = (120)

Otra vez, si uno quiere representar en smbolos que est yendomarcha atrs, lo que hace es escribir

(40)

Por otro lado, como uno quiere saber, otra vez, qu va a pasardentro de 3 horas, usa el nmero (+3) para representarlo.

En una figura se ve as:


Ejemplos:

(3) (2) = 6(7) (3) = 21

(15) (1) = 15

Y un poco ms abajo, uno advierte con horror que incluso se apli-ca a fracciones!

(1/2) (6) = 3(9) (2/3) = 6

(2/5) (3/4) = 3/10

El pizarrn escupe nmeros, smbolos, igualdades, letras que invi-tan a abandonar todo y escapar. De qu habla esta persona? Perouno no tiene ms remedio que aceptar. En la escuela o el colegio,acepta porque en general no se ensea con espritu crtico (con lasexcepciones correspondientes), sin embargo aqu cabe preguntarseinmediatamente: por qu?

De todas formas, el tiempo pasa, y uno termina aceptando el axio-ma (o lo que parece como un axioma o verdad absoluta) de que menospor menos es ms, porque:

a) no le queda ms remedio,b) no se contrapone con nada de lo que uno ya sabe,c) uno nunca necesit usarlo en la vida cotidiana, d) cierto o falso, no me afecta, y, por ltimo,e) no me interesa

Mi idea es tratar de encontrar alguna explicacin de por qu escierto que menos por menos tiene que ser ms.

CASO 1Supongamos que est manejando su auto a 40 kilmetros por

hora. Si le preguntara dnde va a estar dentro de 3 horas, usted con-



0 40 80 120

120 80 40 0

Es verdad que 0,99999 = 1?13

Est claro que

x = 0,9999 (*)

es un nmero real. Por otro lado, el nmero 1 tambin es un nme-ro real. Qu relacin hay entre ambos? Veamos.

Multiplicando (*) por 10 de ambos lados, se tiene:

10x = 9,99999 x = 0,99999 y ahora, resto

9x = 9

Luego, dividiendo por 9 en ambos trminos, se tiene:

x = 1 (**)

Comparando (*) con (**), se concluye que

0,99999 = 1

Lo que esto sugiere es que el nmero 1 admite dos escrituras dis-tintas, pero, obviamente, es un solo nmero.

La invitacin al lector es que trate de descubrir que ste no es elnico caso dentro del conjunto de nmeros reales, sino que sucedecon infinitos otros casos. Puede dar algunos ejemplos?

Patrones y bellezas matemticos

La matemtica ofrece (tambin) muchas curiosidades, entre lasque se encuentran ciertas simetras y patrones de extraa belleza.


Es decir, si uno maneja el auto hacia atrs a 40 kilmetros porhora, dentro de 3 horas va a estar 120 kilmetros atrs del lugar delque parti. Esto corresponde espero que se entienda con el ejemploa que menos por ms es menos.

Ahora bien, lleguemos entonces a la ltima pregunta (que le pidoque lea con cuidado y, sobre todo, que piense sola/o la respuesta).

Si usted viene como recin, manejando su auto a 40 kilmetrosmarcha atrs y yo, en lugar de preguntarle dnde va a estar dentrode 3 horas, le preguntara, dnde estaba hace 3 horas? Usted, qucontestara? (Por favor, ms all de responder, trate de convencer-se de que me entendi la pregunta). Ahora sigo yo: la respuesta es queuno estaba ms adelante! Ms an: estaba 120 kilmetros ms ade-lante de donde est ahora.

Si sigo usando los smbolos de ms arriba, tengo que escribir:

(40) (3) = 120

Es decir, escribo (40) porque estoy yendo marcha atrs, y escri-bo (3) porque pregunto qu pas hace 3 horas. Y como se advierte,uno, hace 3 horas estaba 120 kilmetros ms adelante del puntodonde est ahora. Y eso explica en este caso por qu menos pormenos es ms.

En el dibujo es:

Luego, en este caso, se ve que menos por menos es ms!12



12 Esta forma de representar grficamente que menos por menos es ms mela cont el doctor Baldomero Rubio Segovia, uno de mis grandes amigos de la viday uno de los mejores matemticos que dio Espaa, ex decano de la UniversidadComplutense de Madrid, y actual profesor en esa casa de estudios.

0 40 80 120

13 Entendemos por 0,99999 al nmero racional que resulta de escribir un0 y luego infinitos nmeros 9 despus de la coma.

1 1 = 1 11 11 = 121

111 111 = 12.321 1.111 1.111 = 1.234.321

11.111 11.111 = 123.454.321 111.111 111.111 = 12.345.654.321

1.111.111 1.111.111 = 1.234.567.654.321 11.111.111 11.111.111 = 123.456.787.654.321

111.111.111 111.111.111 = 12.345.678.987.654.321

Velocidad del crecimiento del pelo

Piense en la ltima vez que se cort el pelo. Hace cunto fue?Cunto ms largo tiene el pelo ahora? En mi caso personal, me locort hace un mes y ahora (despus de haberlo medido, aunque ustedno lo crea) el pelo est 1,5 centmetros ms largo. Con esta informa-cin, usted puede estimar la velocidad de crecimiento diario (apro-ximada, claro est). Quiere hacer la cuenta sola/solo?

En todo caso, ac va la solucin: como en treinta das creci1,5 centmetros, o sea 15 milmetros, cada da, en promedio, el pelocreci medio milmetro. Es decir, el pelo de una persona normal creceen forma aproximada, claro 1 centmetro cada tres semanas.

Combinatoria y reproductor de CD

Supongamos que tiene un reproductor de CD que viene con unbotn que permite programar el orden en el que va a escuchar lascanciones. Es decir, en lugar de reproducirlas tal como vienen gra-badas, las reproduce en el orden que usted elige, hasta agotarlas todas.Por ejemplo, supongamos que inserta un CD con 10 canciones. Ustedpodra seleccionar:

3-7-10-1-9-5-8-6-4-2 o 10-9-8-7-6-5-4-3-2-1,

por poner slo dos casos.


Est todo ordenado y slo lo descubrimos? O lo inventamosnosotros?

Aqu van algunos ejemplos.14

1 8 + 1 = 9 12 8 + 2 = 98

123 8 + 3 = 9871.234 8 + 4 = 9.876

12.345 8 + 5 = 98.765123.456 8 + 6 = 987.654

1.234.567 8 + 7 = 9.876.54312.345.678 8 + 8 = 98.765.432

123.456.789 8 + 9 = 987.654.321

1 9 + 2 = 1112 9 + 3 = 111

123 9 + 4 = 1.1111234 9 + 5 = 11.111

12.345 9 + 6 = 111.111123.456 9 + 7 = 1.111.111

1.234.567 9 + 8 = 11.111.11112.345.678 9 + 9 = 111.111.111

123.456.789 9 +10 = 1.111.111.111

9 9 + 7 = 88 98 9 + 6 = 888

987 9 + 5 = 8.888 9.876 9 + 4 = 88.888

98.765 9 + 3 = 888.888 987.654 9 + 2 = 8.888.888

9.876.543 9 + 1 = 88.888.888 98.765.432 9 + 0 = 888.888.888



14 Todos los ejemplos fueron enviados por Cristian Czubara, en el afn queponen todos por compartir lo que saben y les gusta.

1423, 1432, 2413, 2431, 3412 y 3421

O sea, otras seis formas. Ya se habr dado cuenta de lo que hay que seguir haciendo (si no,

pinselo solo/a hasta advertir cmo seguir). Ahora, intercalemos el nmero 4 en la tercera posicin de la

lista (*). Se tiene entonces lo siguiente:

1243, 1342, 2143, 2341, 3142 y 3241

Y por ltimo, ubicamos el nmero 4 al final de todos los miem-bros de la lista (*):

1234, 1324, 2134, 2314, 3124 y 3214

Y se termin. Es decir, hemos agotado todas las posibilidades. Alnmero 4 lo hemos ubicado en todos los lugares y, como vimos, setrat de reproducir la lista original (*) cuatro veces. Y como habaen total seis elementos en la lista (*), al multiplicarlo por 4, tenemos24 posibilidades.

4123, 4132, 4213, 4231, 4312 y 43211423, 1432, 2413, 2431, 3412 y 3421 (**)1243, 1342, 2143, 2341, 3142 y 32411234, 1324, 2134, 2314, 3124 y 3214

Si ahora apareciera un quinto nmero, lo que habra que hacer esintercalar el nmero 5 en todas las posiciones de la lista (**), por loque obtendramos 5 veces la lista de 24 que ya tenamos. O sea,24 x 5 = 120 maneras.

Si consideramos que

con 3 nmeros hay 3 2 = 6 formas,con 4 nmeros, 4 3 2 = 24 formas,con 5 nmeros, 5 4 3 2 = 120 formas, etc


Ahora, planteo un problema: si a usted le gustara mucho su CDy decidiera programar un ordenamiento diferente cada da, hastaagotar todos los posibles rdenes, cuntos das tardara en reco-rrerlos todos? Es decir, cuntos das tendrn que pasar para que nole quede ms remedio que repetir alguno anterior?

Usted puede, naturalmente, ir ms abajo y leer la respuesta. Perose privar del placer de pensar el problema (y por otro lado, dndeest la gracia?). El planteo es muy sencillo, y muy posible comosituacin de la vida real. El resultado es notable y no necesariamen-te esperable.

Antes de pasar a la solucin, lo invito a que pensemos algo jun-tos. Si tuviera los nmeros 1, 2 y 3, de cuntas formas los puede orde-nar? Piense una manera de contar sin necesidad de escribir todaslas formas. La lista completa sera:

123, 132, 213, 231, 312, 321 (*)

O sea que uno descubre que son seis formas. Pero esto es muyfcil, porque son pocos nmeros. Por ejemplo, si tuviera diez nme-ros o veinte (por poner un ejemplo) se hara mucho ms tedioso escri-bir todos los casos y lo ms probable es que uno termine equivocn-dose porque son muchos casos a considerar. La idea es buscar algunaforma que permita contar sin tener que hacer una lista. Por ejemplo,aprovechando los datos que acabo de escribir en (*) pensemos jun-tos cmo hacer si hubiera cuatro nmeros en lugar de tres. Podramosponer al nmero 4 delante de los seis elementos de la lista (*). Ten-dramos entonces esta nueva lista:

4123, 4132, 4213, 4231, 4312 y 4321

Lo nico que hice fue agregar el nmero 4 al principio de cadaintegrante de la lista (*). Vuelvo a tener 6 formas. Esto no agota todaslas posibilidades. Lo que tenemos que hacer ahora es intercalar elnmero 4 en el segundo lugar de cada integrante de la lista (*). En esecaso, queda:



b) Por otro lado, agrupemos los nmeros de la derecha en (*) deotra forma (y sgame en el razonamiento):

A = 1 + (1 + 1) + (1 + 1) + (1 + 1) + (1 + 1) + (**)

Lo que hice fue agrupar los trminos de manera diferente y us:

1 + 1 = + (1 + 1)

Ahora, cada parntesis en (**) suma 0 otra vez, y por lo tanto,se tiene el siguiente resultado:

A = 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 1

Luego, A = 1

Por ltimo, vuelvo a la ecuacin (*) y agrupo los trminos de otraforma.

A = 1 (1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 ) (***)

(Es decir, agrupo todos los trminos a partir del segundo, y elsigno menos que figura adelante del parntesis garantiza que todos lostrminos que quedan adentro aparezcan con el mismo signo quetenan al comienzo.)

Luego, si uno mira lo que queda dentro del parntesis en (***),advierte que queda exactamente A otra vez. Es decir, en (***) setiene:

A = 1 A

O sea, pasando A del segundo miembro al primero, se tiene:

2A = 1


Uno puede inferir que con 10 nmeros habr:

10 9 8 7 6 5 4 3 2 = 3.628.800 formas

Visto de esta manera, le ayuda a resolver el problema original?Es decir, el problema del reproductor de CD?

Una curiosidad ms sobre los infinitos (y el cuidado que hay que tener con ellos)

Supongamos que uno tiene una suma infinita de nmeros, expre-sada de la siguiente forma:

A = 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 (*)

Es decir: se suma 1, y luego se resta 1, sin detenerse nunca. Porsupuesto, si usted se est cuestionando en este momento qu quieredecir el nmero A, crame que la/lo entiendo. Yo tampoco s lo quequiere decir. Pero, en todo caso, si existiera, fjese qu cosas curio-sas que pasaran.

a) Agrupemos los nmeros de la derecha en (*) de la siguienteforma:

A = (1 1) + (1 1) + (1 1) + (1 1) + (1 1) +

En este caso, el nmero A debera ser 0, ya que todos los parn-tesis suman 0. Luego se tendra:

A = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 +

Y por lo tanto A = 0 sera la conclusin.



el nmero 0, y en otro punto, en el extremo derecho, est marcado elnmero 1. Est claro que el punto medio, donde figura el nmero 50,representa una distancia desde la punta izquierda de 50 centmetros,o lo que es lo mismo, 0,50 metro (1/2 metro). De la misma forma, si unomidiera 1/3 = 0,3333 centmetros desde la izquierda, encontrara otropunto del metro en cuestin que corresponder a una tercera parte dela vara que estamos usando. Como se advierte, lo que estoy tratandode hacer es describir lo obvio: a cada punto del metro o varilla quehubiramos elegido, le corresponde un nmero. Ese nmero, lo quemarca, es la distancia al 0. De esta forma, estamos tranquilos en cuan-to a que hemos logrado hacer una doble asignacin, entre los nme-ros que son mayores que 0 y menores que 1, y los puntos de la vara.

Ahora es cuando se pone interesante. Vamos a ponerle un nme-ro a cada letra del alfabeto, y lo vamos a hacer en orden. Es decir:

A la letra a le corresponde el nmero 01 A la letra b le corresponde el nmero 02A la letra c le corresponde el nmero 03

A la letra r le corresponde el nmero 19A la letra s le corresponde el nmero 20,

y para terminar, a la letra z le corresponde el nmero 27. Al final, agre-gamos un nmero para que represente un lugar en blanco, o un espa-cio. A ste le asignamos el nmero 28.

La tablita completa es la siguiente:

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Za

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Veamos algn ejemplo: si quisiera escribir la palabra libro, usandolas asignaciones que acabo de establecer, se tiene el siguiente nmero:

0,1209021916

M A T E M T I C A E S T S

paenza, adrian - matematica, estas ahi episodio 3,14

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