adrian paenza - matematíca ¿estas ahí

8/14/2019 Adrian Paenza - Matematca Estas Ah

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ESTE LIBRO(y esta coleccin)

Ha y libros que duran un da, y son bueno s. Hay otros que du-ran un ao, y son mejores. Ha y los que duran muchos a os, y sonmuy buenos. Pero hay los que duran toda la vida: esos son losimprescindibles. Y este libro es uno de los que d uran toda la vi-da: un cofre del tesoro que, al abrirse, nos inunda de preguntas

y enigmas, de n meros qu e de tan grandes son infinitos (y distin-tos infinitos), de personajes que un o querra tener enfrente en un acharla de amigos.

Adrin Paenza no slo se pregunta p or qu la matemtica tie-ne mala prensa: se preocupa muy especialmente por acercarnosa esta bsqueda d e patron es y regularidades y logra contagiarnossu entusiasmo a toda prueba. Preguntn como poco s, Paenza no senvuelve en un universo en el que reina la ciencia, pero dondeno quedan afuera los amigos, los enigmas, la educacin y lasancdotas de un a vida dedicada a contar y ensear.

Alguno s de estos cuentos forman pa rte de las historias que el

autor nos regala en el ciclo Cientficos Ind ustria A rgentina, po-siblemente la seccin ms esperada por el pblico, que semanaa semana se esmera en resolver problemas de sombreros, rule-tas o cumpleaos. Pero todas las historias son parte de un uni-verso amplio y generoso qu e gracias a este libro incorporar nue-vos habitantes: el universo de Adrin Paenza.

El libro n os lleva por estos nuevos paisajes a travs de nume-

siglo veintiuno editores siglo veintiuno editores

Siglo veintiuno editores Argentina s.a.TUCUMN 1621 7 N (C1050AAG), BUENOS AIRES, REPBLICA ARGENTINA

Siglo veintiuno editores, s.a. de c.v.CERRO DEL AGUA 248, DELEGACIN COYOACN, 04310, MXICO, D. F.

Siglo veintiuno de Espaa editores, s.a.PRNCIPE DE VERGARA 78, 2 (28006) MADRID

Portada de Mariana Nemitz

2005, Siglo XXI Editore s Argen tina S.A.

ISBN: 987-1220-19-7

Impre so en Artes Grficas Delsur

Alte. Solier 2450, Avellaneda,

en el mes de noviembre de 2005

Hecho el depsito que marca la ley 11.723

Impreso en Argentina Made in Argentina

Paenza, Adrin

Matemtica... ests ah? Sobre n mero s, personajes, prob lemas y curiosi-dades - 1a ed., 3a reimp. - Buen os Aires : Siglo XXI Editores Argentina, 2005.

240 p. ; 19x14 cm. (Ciencia que ladra... dirigida por Diego Golombek)

ISBN 987-1220-19-7

1. Matemtica-Enseaza I. Ttulo

CDD 510.7.

R. Senz Pea 180, (B1876BXD) Bernal,

Pcia. de Buenos Aires, Repblica Argentina


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Dedico este libro a mis padres, Ernesto y Fruma,a quienes les debo todo.

A mi querida hermana Laura. A mis sobrinos: Lorena, Alejandro, Mximo, Paula, Ignacio,

Brenda, Miguelito, Sabina, Viviana, Soledad, Mara Jos, Valentn,Gabriel, Max, Jason, W hitney, Ama nda

Jonathan , Meagan y Chad.A Carlos Griguol.

Y a la mem oria de mis tas Elena, Miriam y Delia,as como a las de Gu ido Peskin, Len Najnu del, Manny Kreiter

y Noem Cuo.

Agradecimientos

A Diego Golombek : sin l, no ha bra libro.A Claudio Martnez: porque fue el primero que insisti para que

contara estas historias por televisin y me estimul para qu e lo hiciera.A mis alumnos: de ellos aprend a ensear y entend lo que era

aprend er. A mis amigos, porque s, porque son mis amigos, me quiereny eso es lo nico que me importa.

A Carmen Sessa, Alicia Dickenstein, Miguel Herrera, BaldomeroRubio Segovia, Eduardo Dubuc, Carlos D Andrea, Cristian Czubara, En-

zo G entile, ngel Larotonda y Luis Santal.A quienes leyeron el man uscrito (bueno, no tan m anuscrito) y lo ata-

caron trata ndo d e salvarlo pero n o s si lo lograron: Gerardo Garbulsky,Alicia Dickenstein y Carlos DAndrea.

A Marcelo Bielsa, Alberto Kornblihtt, Vctor Hu go Morales y Ho ra-cio Verbitsky, por su p ostura tica en la vida. Gracias a ellos soy una me-

jor persona .

rosos ejemplos con diverso grado de dificultad. As, hay curio-sidades que podrn ser ledas con el mayor deleite y comodidady tambin otros captulos que desafan al lector a razonamien-tos audaces y demostraciones que a veces se les presentan a losmismsimos estudian tes de ciencias (algunas de las secciones in-cluyen temas de las mismas materias que Paenza dicta en la Fa-

cultad de Ciencias Exactas y Naturales de la UBA). Entonces,mientras nos maravillamos con las aventuras de Paenza en el pasde las matem ticas, podremo s tambin, como lectores, jugar a serestudiantes de ciencias frente a la pizarra de lgebra o de An-lisis Matemtico.

Matemtica Ests ah? Tal vez se est poniendo las pre-guntas, pero lo qu e es seguro es que s, est a la vuelta d e la es-quina, en nuestra vida cotidiana y esperando a que la descubra-mos. He aqu una inmejorable gua para lanzarnos a explorar.

Esta coleccin d e divulgacin cientfica est escrita por cien-tficos que creen que ya es hora de asomar la cabeza por fueradel laboratorio y co ntar las maravillas, grandezas y miserias de laprofesin. Porque d e eso se trata: de contar, de compa rtir un sa-ber que, si sigue en cerrado, pu ede volverse intil.

Ciencia que ladra no muerde, slo da seales de que ca-balga.

Diego Golombek

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Lo s grandes hombres hablan sobre ideas,los hombres promedio hablan sobre cosas,

y los hombres pequeoshablan sobre otros hombres.

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Acerca del autor

Adrin Paenza [email protected]

Naci en Buenos Aires en 1949. Es doctor en Matemticas de la Univer-sidad de Buenos Aires, en donde se desempea como Profesor Asocia-do del Departamento de Matemtica de la Facultad de Ciencias Exac-tas y Naturales. Es, adems, periodista. En la actualidad, conduce el ciclotelevisivo Cientficos Industria Argentina. Trabaj en las radios ms im-portantes del pas y en los cinco canales de aire de la Argentina. Fueredactor especial de varias revistas y colabora con tres diarios naciona-les: Clarn , Pgina/12 yLa Nacin .


1 sta es una frase que vi hace muchos aos en el paragolpes trasero de unautomvil en Estados Unidos: Great people talk about ideas, average people talkabout things, small people talk about other people.


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ndice

La mano de la princesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Nmeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Nmeros grandes. Ms sobre nmeros grandes. tomos en el un iverso. Qu

es un ao luz. Nmeros interesantes. Cmo conseguir un contrato como con-sultor usando un poco de matemtica. Hotel de Hilbert. Repitan conmigo: nose puede dividir por cero! 1 = 2. El problema 3x + 1. Cuntas veces se pue-de doblar un papel? Qu es ms? El 37% de 78 o el 78% de 37? Cartasbinarias. La raz cuadrada d e dos es irracional. Suma de cinco n meros. Unatentado contra el teorema fundamental de la aritmtica? Hay infinitos n -meros primos. Primos gemelos. Lagunas de primos. El nmero e. Distintos ti-pos de infinitos. Dos segmentos de distinta longitud, tienen el mismo nme-ro de puntos? Un punto en un segmento. Suma de las inversas de laspotencias de 2 (suma infinita).

Personajes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Por qu un o no entiende algo. Conversacin entre Einstein y Poincar. Fle-ming y Churchill. Los matemticos hacemos razonamientos, no nmeros. Pa-radojas de Bertrand Russell. Biografa de Pitgoras. Carl Friedrich G auss.Conjetura de Goldbach. H istoria de Srinivasa Ramanujan. Los modelos ma-temticos de O scar Bruno. Respuesta de Alan Turing.



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La m ano de la pr incesa

Cada vez que tengo que dar u na charla de m atemtica parapblico no matemtico, elijo una forma de empezar. Y es siem-pre la m isma. Pido p ermiso, y leo un texto que escribi PabloAmster, el excelente matemtico, msico, experto en kabbalahy, adems, una extraordinaria persona.

Esta historia la utiliz Pablo en un cu rso de matem tica quedio para un grupo de estudiantes d e Bellas Artes en la Capital Fe-deral. Se trata de un texto maravilloso que quiero (con la anuen -cia de l) compartir con ustedes.

Aqu va. El ttulo es: La man o de la princesa.

Una conocida serie checa de dibujos animados cuenta, ensucesivos captulos, la historia de u na princesa cuya man o esdisputada por un gran nmero de pretendientes.

stos deben convencerla: distintos episodios muestran losintentos de seduccin qu e despliega cada uno de ellos, de los

ms variados e imaginativos. As, empleando diferentes recursos, algunos ms sencillos

y otros verdaderamente m agnficos, uno tras otro pasan los pre-tendientes pero nadie logra conmover, siquiera un poco, a la

princesa.Recuerdo por ejemplo a uno de ellos mostrando una lluvia

de luces y estrellas; a otro, efectuando u n m ajestuoso vuelo y lle-

Probabi lidades y estim aciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Un poco de combinatoria y probabilidades. Encuesta con pregunta prohi-bida. Cmo estimar el nmero de peces en el agua. El problema del palo-mar o Pigeon Hole. Afinadores de piano (en Boston). Aldea global. Paten-tes de los autos. Cunta sangre hay en el mundo? Cun tas personas tieneque haber en un a pieza para saber que la probabilidad de que dos cumplan

aos el mismo da sea mayor que un medio? Moneda cargada.

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

Pensamiento lateral. Problema de los tres interruptores. 128 participantesen un torneo de tenis. Problema de las tres personas en un bar y pagan con30 pesos una cuenta de 25. Antepasados comunes. Problema de Monty Hall.Sentido Comn (bocas de tormenta). El acertijo de Einstein. Problema de lasvelas. Sombreros (parte 1). Sombreros (parte 2). Sobre cmo mejorar una es-trategia. Mensaje interplanetario. Qu nmero falta? Acertijo sobre cun-tas veces le gustara a una p ersona comer fuera de su casa.

Reflexiones y curiosidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

Lgica cotidiana. Diferencia entre un m atemtico y un bilogo. El proble-ma de los Cuatro Colores. Santa Claus. Cmo construir un ngulo recto. Al-fabetos del siglo XXI . Cirujanos y maestros del siglo XXI . Sobre monos y ba-nanas. Q u es la matemtica? Universidad de Cambridge. Teclado qwerty.La excepcin que confirma la regla. Preguntas que le hacen a un m atemti-co. Votaciones. Jura tica. Cmo tomar u n examen . Nios prodigio. Histo-ria de los cinco minutos y los cinco aos. Por qu escrib este libro?

Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

Apndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231



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te curso, quizs se sorprenderan ahora como se sorprendieroncon el final de la historia anterior: vamos a hablar (o estamoshablando) de m atemtica.

En efecto, hablar de matemtica no es solamente demostrarel teorema de Pitgoras: es, adems, hablar del amor y contarhistorias de princesas. Tambin en la matemtica hay belleza.

Como dijo el poeta Fernando Pessoa: El binomio de Newtones tan hermoso como la Venus de Milo; lo que pasa es que muypoca gente se da cuenta.

Muy poca gente se da cuenta Por eso el cuento de la prin-cesa; porque el problema, com o adivina el ltimo de los preten-dientes, es que Lo ms interesante que hay en este pas, no selo ve (Henri Michaux, El pas de la magia).

Muchas veces me sent en el lugar de los primeros galanes. As, siempre me esforc por exponer las cuestiones matemti-cas ms bellas, pero la mayora de las veces, debo reconocerlo,mis apasionados intentos no tuvieron la respuesta esperada.

Trato esta vez d e acercarme a l galn hu milde d el ltimo ca-ptulo. De la matem tica, segn W hitehead la creacin m s ori-ginal del ingenio h um ano, hay b astante para decir. Por eso es-te curso. Slo que hoy prefiero tambin yo mirar las cosas deesa otra manera , y empezar contando un cuento

Esta presentacin de Pablo Amster apunta directamente alcorazn de este libro. La idea es poder recorrer varias historias,pensar libremente, imaginar con osada y parar cuando uno lle-

ga a algo que lo entusiasma. Pero buscar esos pun tos. No slo es-perar que lleguen. Estas lneas tienen ese propsito: entusiasmar-los, conm overlos, enam orarlos, sea con la matemtica o con un ahistoria que no conocan. Espero lograrlo.

MATEMTICA ESTS AH? 15

nando el espacio con sus movimientos. Nada. Al fin de cadacaptulo aparece el rostro de la princesa, el cual nu nca d eja vergesto algun o.

El episodio que cierra la serie nos proporciona el impensa-do final: en contraste con las maravillas ofrecidas por sus an-tecesores, el ltimo de los pretendientes extrae con humildad

de su capa un par de anteojos, que da a probar a la princesa:sta se los pone, sonre y le brinda su mano.

***

La historia, ms all de las posibles interpretaciones, es muyatractiva, y cada episodio por separado resulta d e un a gran be-lleza. Sin embargo, slo la resolucin final nos da la sen sacinde que todo cierra adecuadamente.

En efecto: hay u n interesante m anejo de la tensin, que nos ha-ce pensar, en cierto punto, qu e nada conformar a la princesa.

Con el paso de los episodios y por consiguiente, el agota-miento cada vez mayor de los artilugios de seduccin, nos eno-

jamo s con esta princesa insaciable. Qu cosa tan extraordina-ria es la que est esperando? Hasta que, de pronto, aparece eldato que descono camos: la princesa no se emocionaba an te lasmaravillas ofrecidas, pues n o pod a verlas.

As que se era el problema. Claro. Si el cuento mencionaraeste hecho un poco antes, el final no nos sorprendera. Podramosadmirar igualmente la belleza de las imgenes, pero encontra-ramos algo tontos a estos galanes y sus mltiples intentos de

seduccin, ya que nosotros sabramos qu e la princesa es m iope.No lo sabem os: nuestra idea es que la falla est en los pre-

tendientes, que ofrecen, al parecer, dema siado poco. Lo que h a-ce el ltimo, ya enterado del fracaso de los otros, es cambiar elenfoque del asunto. Mirar al problema de otra manera.

De no saber ya ustedes [Pablo se refiere aqu a los estudian-tes de Bellas Artes que eran sus interlocutores] de qu trata es-

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N m e r o s

N m e r o s g r a n d e s

N meros grand es? S. Gran des. Difciles de imaginar. Unoescucha que las deudas externas se manejan en miles de millonesde dlares, que las estrellas en el cielo estn a aos luz de la Tie-rra, que la molcula de ADN contiene tres mil millones de nucle-tidos, que la superficie del sol tiene una temperatura de seis milgrados centgrados, etctera. Estoy seguro de que cada uno que es-

t leyendo este prrafo tiene sus propios ejemplos para agregar.Lo que yo h ago frente a estas magnitudes es compararlas,

contrastarlas con algo que me sea ms fcil representar.En el mundo hay ms de seis mil quinientos millones de

personas. En realidad ya somos (en a gosto de 2005) ms de seismil trescientos millones. Parece mucho. Pero qu es mucho ?Veamos. Q u diferencia hay entre un milln y mil millones?(aparte de qu e el ltimo tiene tres ceros ms). Para ponerlo enperspectiva, transformmo slos en segundos. Por ejemplo, supon -gamos que en un pueblo en donde el tiempo slo se mide en se-

gundos, una persona est acusada de h aber cometido un delito.Se enfrentan el fiscal y el abogado d efensor delante del juez queinterviene en la causa. El fiscal pide mil millones de segundo spara el reo. El defensor lo tilda de loco y slo est dispuestoa aceptar un milln d e segundo s, y slo como un hecho sim-blico. El juez, acostumbrado a medir el tiempo de esa forma,sabe que la diferencia es abismal. Entienden las razones?



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quisiera verla, se tendra que sentar en el cine por 23.333.333 ho-ras, o sea 972.222 das, lo que significan un os 2.663 a os. Y esto su-cedera siempre que decidamos no dormir, comer ni hacer ningu-na otra cosa en la vida. Sugiero que nos distribuyamos para verlay despus nos encontremos para con tarnos lo mejor.

M s s o b r e n m e ro s g r a n d es :peso de un tab le ro d e a jed rez

Otro ejemplo ms para este boletn. Hay un o muy cono ci-do p or toda persona qu e quiere ejemplificar el crecimiento ex-ponencial y maravillar a sus interlocutores advirtiendo cmolos nmeros crecen en forma bueno, justamente, en forma ex-

ponencial.El caso tpico es el de los granitos de arroz con los que el Rey

de un con dado quera premiar a un sbdito que le haba hechoun favor y le haba salvado la vida. Cuando ste le dice que lonico que quiere es que ponga en un tablero de ajedrez un gra-nito de arroz en el primer cuadrado, dos en el segundo, cuatro enel tercero, ocho en el cuarto, diecisis en el quinto, treinta y dos enel sexto, y as, duplicando cada vez h asta recorrer todo s los cua-draditos del tablero, el Rey descubre que n o alcanzan los grani-tos de arroz de todo su reino (ni los de todos los reinos de los al-rededores) para poder satisfacer la demanda de su salvador.

Vamos a actua lizar un p oco el ejemplo. Supon gamos que enlugar de granitos de arroz po nemos pepitas de oro, de un gra-

mo cada una. Obviamente, si el Rey se haba tropezado con unadificultad terminal en el caso de los granitos de arroz, mu chopeor le ira con las pepitas de oro. Pero la pregunta que quierohacer es o tra: si el Rey hubiera pod ido satisfacer lo que le pedan,cunto pesara el tablero de ajedrez? Es decir, suponiendo quese pudiera poner en el tablero la cantidad de pepitas de oro queel sbdito le haba indicado, c mo levantaran el tablero? Y,


Pinsenlo as: un m illn de segundos son ap roximadamen-te once das y medio. En cam bio, mil millones de segund os sig-nifican casi 32 aos!

Este ejemplo muestra que, en general, nosotros no tenemosidea de lo que representan los nmeros, aun en nuestra vida co-tidiana. Volvamos al tema de los habitantes de la Tierra. Si so-

mos seis mil millones, y pusieran fotos de to dos en un libro, demanera que las hojas fueran de una dcima de milmetro de es-pesor, colocando diez personas por pgina y utilizando las doscaras de la hoja el libro tendra, 30 kilmetros de alto! Ade-ms, si una persona estuviera muy vida por mirar fotos, y tar-dara un segundo por pgina para recorrer las diez que hay all,y le dedicara 16 horas diarias, le llevara 28 aos y medio mi-rarlas todas. Con todo, cuando llegara al final, en el ao 2033,el libro ya habra aumentado de tamao, porque ya seramosdos mil millones de person as ms, y el libro ten dra otros d iez ki-lmetros ms de espesor.

Pensemos ahora cunto lugar nos h ara falta para poder po -nernos a todos juntos. El estado de Texas (el de mayor superfi-cie en los Estados Unidos, exceptuando Alaska) podra albergara toda la poblacin mundial. S. Texas tiene una superficie ha-bitable de aproximadamente 420.000 kilmetros cuadrados. Lue-go, nosotros, los hum anos, podram os juntarno s en Texas y tenercada un o una p arcela de 70 metros cuadrados para vivir. N o es-t mal, no?

Ahora pongmonos en fila, ocupando cada persona un a bal-dosa de 30 cen tmetros cuadrados. En este caso la humanidad

entera formara una cola de m s de 1.680.000 kilmetros. Esonos permitira dar 42 veces la vuelta al globo por el Ecuador.Qu pasara si todos nos quisiramos transformar en artistas

de cine y filmramos una pelcula con nosotros como estrellas? Sicada persona apareciera nada ms que 15 segundos (o sea, un po-co meno s de siete metros de celuloide por hum ano), se necesitaranunos 40 millones de kilmetros de negativo! Adems, si alguien

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Qu es un ao luz?

Un a o luz es una med ida de distancia y no de tiempo. Mi-de la distancia que la luz tarda un a o en recorrer. Para po-ner en perspectiva esto, digamos que la velocidad d e la luz esde 300.000 kilmetros por segundo. El resultado de multipli-

car este nmero por 60 (para transformarlo en minutos) es18.000.000 km po r minuto . Luego, nuevamente multiplicadopor 60, lo transforma en 1.080.000.000 kilmetros por hora (milochenta millones de k ilmetros por hora). Multiplicado por 2 4resulta que la luz viaj 25.920.000.000 (25 mil millones de ki-lmetros en un da).

Finalmente, multiplicado por 365 das, un ao luz (o sea, ladistancia que la luz viaja por ao) es de (aproximadamente)9.460.000.000.000 (casi n ueve billones y medio) de kilmetros.

De manera tal que cada vez que les pregunten cunto es unao luz, ustedes, convencidos, digan que es una manera de me-dir una distancia (grande, pero distancia al fin) y que es de casinueve billones y medio d e kilmetros. Es lejos, vean.

N m e ro s i n t e re s a n t e s

Voy a probar ah ora que todos los nm eros naturales son n -m eros interesantes . Claro, la primera pregun ta que surge es: qu quiere decir que un nmero sea interesante? Vamos a d ecir que unnmero lo es cuando tiene algn atractivo, algo que lo distinga, al-

go que merezca destacarlo de los otros, que tenga algn bo rde oalguna particularidad. Creo que todos entendemos ahora lo quequiero decir con interesante. Ahora, la demostracin.

El nmero uno es interesante porque es el primero de to-dos. Lo distingue enton ces el hecho de ser el ms chico de to-dos los nmeros naturales.

El nmero d os es interesante por varias razones: es el primer


adems, si pudiera ir ponindo se en el bolsillo una pepita po r se-gundo, cunto tardara?

Como h ay 64 cuadraditos en el tablero de ajedrez, se tendranun trilln de pep itas de oro! Seguro qu e aqu los nmer os vuel-ven a ser confusos, porque uno no tiene la ms vaga idea de loque significa un trilln de ningn objeto. Comparmoslo en-

tonces con algo que nos sea ms familiar. Si como dijimos an-tes, cada una de las pepitas pesa slo un gramo, la pregunta es:cunto es un trilln de gramos ?

Esto representa un billn de ton eladas. Igual es un pro blema,porque quin tuvo alguna vez un billn d e algo? Este peso se-ra equivalente a tener cuatro mil millones de Boeing 777 con440 pasajeros a bordo, su tripulacin y combustible para viajar20 hora s! Y aun as, si bien avanzam os un poco , uno pod ra pre-guntarse cunto es cuatro mil millones de algo.

Y cunto tiempo tarda ra uno en p onerse las pepitas de oroen el bolsillo, si uno pudiera hacerlo a una velocidad sper rpi-da de un a pepita po r segundo? Tardara, nuevamente, un trillnde segundos! Pero cunto es un trilln de segundos? Cmo me-dirlo con algo que n os resulte familiar? Por ejemplo, basta pen-sar que n os llevara ms de cien m il millones de aos. No s us-tedes, pero yo tengo previsto ha cer otras cosas con mi tiempo.

t o m o s e n e l u n i v e rs o

Slo como u na cu riosidad y a efectos de mostrar otro n-

mero enorme, piensen que en el universo se estima que hay 2

300

tomo s. Si 210

es aproximadamente 103, entonces, 2

300es apro-

ximadamente 1090

. Y escrib todo esto pa ra pod er decir entoncesque en el Universo hay tantos tomos como po ner el nmero unoseguido de noven ta ceros.

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nmeros naturales, o sea, enteros positivos tiene que tener unprimer elemento. Es decir, un n mero que sea el menor de to-dos los que estn en la bolsa.

Pero entonces, el supuesto primer nmero no interesante setransforma en interesante. El hecho que lo distingue es que serael primero de todos los nmeros no interesantes, una razn ms

que suficiente p ara d eclararlo interesante. No les parece? El error,entonces, provino de haber pensado que haba nmeros no inte-resantes. No es as. Esa bolsa (la de los nmeros no interesantes)no puede contener elementos, porque si los tiene, alguno tiene queser el primero, con lo que pasara a ser interesante un nmeroque por estar en la bolsa debera ser no interesante.

MORALEJA: Todo n mero natu ral ES interesante.

C m o c o n s e g u ir u n c o n t ra t o c o m oconsu l to r usando un po co de ma tem t ica

Uno puede h acerse pasar por adivino o por una persona muyentrenada en predecir el futuro o aventurar lo que va a pasar enla Bolsa de Valores: basta con aprovechar la rapidez con la quecrecen las potencias de un nmero.

ste es un ejemplo muy interesante. Supongamos que te-nemos una base de datos de 128.000 personas. (Por las du-das, no crean que son ta ntas, ya que la mayora de las gran-des empresas las tienen, las compran o las averiguan). De todasformas, para lo que quiero invitarlos a pensar, podramos em-

pezar con un n mero ms chico, e igualmente el efecto sera elmismo.Supongamo s que uno elige alguna accin o algn commo-

dity cuyo precio co tice en la Bolsa. Digamos, para fijar las ideas,que uno elige el precio del oro. Supongamos tambin que us-tedes se sientan frente a su computadora un domingo por la tar-de. Buscan la base de d atos que tienen y seleccionan las direc-


nmero par, es el primer nmero primo.2

Creo que con estosdos argumentos ya podemos distinguirlo.

El nmero tres tambin es interesante, porque es el primernmero impar que es primo (por elegir una razn de las muchasque habra).

El nmero cuatro es interesante porque es una potencia de dos.

El nmero cinco es interesante porque es un nmero primo.Y de aqu en adelante deberamos ponerno s de acuerdo en quecuando un n mero es primo, ya tiene una caracterstica fuerteque lo distingue y lo podramos considerar interesante sin bus-car otros argumentos.

Sigamos un po co ms.El nmero seis es interesante porque es el primer n mero

compuesto (o sea, no es un nm ero primo) qu e no sea una po-tencia de dos. Recuerde que el primer nm ero compuesto queapareci es el cuatro, pero es una potencia de dos.

El nmero siete es interesante, y no h ace falta argumentarms porque es primo.Y as podramos seguir. Lo que quiero probar con ustedes

es que:Dado un nmero entero positivo cualquiera siempre

siempre hay algo que lo tran sforma en interesante o atracti-vo o distinguible.

Cmo hacer para p robar esto con todos los nm eros, si soninfinitos? Supo ngamos que n o fuera as. Enton ces, eso quiere de-cir que hay nmeros que llamaremos no interesantes. A esos n-meros los ponemos en u na bolsa (y supondremos que esta bol-

sa no est vaca). Es decir, tenemos una bolsa llena de nmerosno interesantes. Vamos a ver que esto nos lleva a una contra-diccin. Esa bolsa como todos los n meros que c ontien e son

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2 Como se ver ms adelante, los nmeros primos son aqu ellos que slo sondivisibles por uno y por s mismos.


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personas a las que les fueron diciendo, da por da, durante diezdas, lo que pasara con el precio del oro.

Si alguno de ustedes pidiera a estas personas que lo contra-taran como consultor pagndole, digamos, mil dlares por ao(no lo quiero poner por mes, porque tengo cierto pudor an)n o creen qu e contrataran sus servicios? Recuerden que uste-

de s acertaron siempre por diez das con secutivos.Con esta idea, empezando con una base de datos o bien ms

grande o ms chica, o parand o antes en el envo de correos elec-trnicos, ustedes se pueden fabricar su propio grupo de person asque crean en ustedes o que crean sus predicciones. Y ganar di-nero en el intento.

3

Hot e l de H i lbe r t

Los conjuntos infinitos tienen siempre un costado a tracti-

vo: atentan contra la intuicin. Supongamos que h ubiera un n-mero infinito de personas en el mundo. Y supongamos tambinque hay un hotel, en una ciudad, que contiene infinitas habita-ciones. Estas habitaciones estn numeradas, y a cada una le co-rresponde un nmero natural. As entonces, la primera lleva elnmero 1, la segunda el 2, la tercera el 3, etctera. Es decir: enla puerta de cada habitacin h ay una placa con un n mero, quesirve de identificacin.

Ahora, supongamos que todas las habitaciones estn o cupa-


ciones electrnicas de todas las persona s que all figuran. En -tonces, a la mitad de ellas (64.000) les envan un mail dicin-doles que el precio del oro va a subir al da siguiente (lunes).Y a la otra mitad les envan un mail dicindoles lo contrario:que el precio del oro va a bajar. (Por razones que qu edarn msclaras a medida que avance con el ejemplo, excluiremos los

casos en los que el oro permanece con el precio constante enla apertura y el cierre.)

Cuand o llega el lunes, al finalizar el da, el precio d el oro obien subi o bien ba j. Si subi, hay 64.000 personas que ha -brn recibido un mail de ustedes dicindoles que subira.

Claro, qu importan cia tendra. Ha ber acertado un da lo quepasara con el oro tiene poca relevancia. Pero sigamos con laidea: el lunes a la noche, de las 64.000 personas que haban re-cibido su primer mail dicindoles que el precio del oro subira,ustedes seleccionan la mitad (32.000) y les dicen que el martesvolver a subir. Y a la otra mitad, los otros 32.000, les envanun mail dicindoles que va a bajar.

Llegado el ma rtes por la noch e, ustedes estn seguros de qu ehay 32.000 para los cuales ustedes no slo acertaron lo del mar-tes, sino que ya haban acertado el lunes. Ahora repitan el pro-ceso. Al dividir por la mitad, a 16.000 les dicen que va a subir yal resto, los otros 16.000, que va a bajar. Resultado, el mirco-les ustedes tienen 16.000 personas a las que les avisaron el lunes,el martes y el mircoles lo que pasara con el precio del oro. Yacertaron las tres veces (para este grupo).

Reptanlo u na vez ms. Al finalizar el jueves, ustedes tienen

8.000 para los que acertaron cuatro veces. Y el viernes por la n o-che, tienen 4.000. Piensen bien: el viernes por la n oche, ustedestienen 4.000 personas que los vieron acertar todos los das co nlo que pasara con el precio del oro, sin fallar nunca. Claro queel proceso podran seguirlo a la semana siguiente, y podran te-ner dos mil al siguiente lunes, mil al martes y, si queremos esti-rarlo an ms, el mircoles de la segunda semana, tendrn 500

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3 Exclu adrede el caso en que el p recio del oro perman ece igual en la aper-tura y en el cierre, porque para el ejemplo es irrelevante. Ustedes podran deciren sus mensajes a algunos que el precio del oro subir o permanecer constan-te, y al otro grupo que bajar o perm anecer constante. Si el precio del oro que-da quieto, repiten el proceso sin dividir por dos. Es como hacer de cuenta queese da no existi. Y por otro lado, si ustedes pueden conseguir una base de da-tos ms grande que 128.000, sigan adelante. Tendrn ms clientes a los diez das.


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temente del nmero de personas que aparezcan buscando unapieza para dormir?

d) Y si llegaran infinitas personas? Qu pasara en esecaso?

Las soluciones las pueden buscar en el apndice.

R e p i t a n c o n m i g o : n o s e p u e d e d i v id i r p o r c e r o !

Imaginen que entran en un negocio en donde toda la mer-cadera que se pued e compra r cuesta mil pesos. Y ustedes entranjustamente con esa cantidad: mil pesos. Si yo les preguntara:cu ntos artculos pueden co mprar? , creo que la respuesta es ob-via: uno solo. Si en cambio en el negocio todos los objetos va-lieran 500 pesos, entonces, con los mil pesos que trajeron podrancomprar, ahora, dos objetos.

Esperen. No crean que enloquec (estaba loco de antes). S-ganme en el razon amiento. Si ahora los objetos que vende el ne-gocio costaran slo un peso cada un o, ustedes podran comp rar,con los mil pesos, exactamente mil artculos.

Como se apr ecia, a medida que disminuye el precio, aumen-ta la cantidad de objetos que ustedes pueden adquirir. Siguien-do con la misma idea, si ahora los artculos costaran diez cen-tavos, ustedes podran comprar diez mil. Y si costaran uncentavo, sus mil pesos alcanzaran para adquirir cien mil.

O sea, a medida que los artculos son cada vez ms baratos,se pueden comp rar ms unidades. En todo caso, el nmero deunidades aumenta tanto como uno quiera, siempre y cuando un ologre que los productos sean cada vez de menor valor.

Ahora bien: y si los objetos fueran gratuitos? Es decir:y si no costaran nada? cun tos se pueden l levar? Piensenun poco.


das y slo por una persona. En un momento determinado, llegaal hotel un seor con cara de muy cansado. Es tarde en la nochey todo lo que este hombre espera es terminar rpido con el pape-lero para irse a descansar. Cuando el empleado de la recepcinle dice: lamentablemente n o tenemo s ninguna h abitacin dispo-nible ya que todas las habitaciones estn ocupadas, el recin lle-

gado no lo puede creer. Y le pregunta:Pero c mo No tienen u stedes infinitas habitaciones?S respo nd e el e mplea do del h otel.Entonces, cmo me dice que no le quedan h abitaciones

disponibles?Y s, seo r. Estn tod as ocu pad as.Vea. Lo que m e est con testan do n o tiene sen tido. Si us-

ted no tiene la solucin al problema, lo ayudo yo.Y aqu conviene que ustedes piensen la respuesta. Puede ser

correcta la respuesta del conserje no hay ms lugar, si el ho-tel tiene infinitas habitaciones? Se les ocurre alguna solucin?

Aqu va:Vea con tinu el pa sajero. Llame al se or de la h abita-

cin que tiene el nm ero 1 y dgale que pase a la que tiene el 2.A la persona que est en la habitacin 2, que vaya a la del 3. Ala del 3, que pase a la del 4. Y as siguiendo. De esta forma, todapersona seguir teniendo una habitacin, que no compartir connadie (tal como era an tes), pero con la diferencia de que ah ora que-dar un a habitacin libre: la nmero 1.

El conserje lo mir incrdulo, pero com prend i lo que le de-ca el pasajero. Y el problema se solucion.

Ahora bien, algunos problemas ms:a) Si en lugar de llegar un pasajero, llegan dos, qu suce-de? Tiene solucin el problema?

b) Y si en lugar de dos, llegan cien?c) Cmo se puede resolver el problema si llegan n pasaje-

ros inesperadamente durante la noche (donde n es un nmerocualquiera). Siempre tiene solucin el problema independien-

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1 = 2

Supongamos que un o tiene dos nmeros cualesquiera: a y b.Supongamos, adems, que

a = b

Sganme con este razon amiento. Si multiplico a ambos miem-bros por a, se tiene

a2 = ab

Sumemos ahora (a2

2ab) en ambos miembros.Resulta enton ces la siguiente igualdad

a2 + (a2 - 2ab) = ab + (a2 - 2ab)

O sea, agrupando:

2a2 2ab = a2 ab

Sacando factor comn en cada miembro,

2a (a-b) = a (a-b)

Luego, simplificando en ambos lados por (a-b) se tiene:

2a = a.

Ahora, simplificamos la a de ambos lados, y se tiene:

2 = 1

D nde est el error? Es que tiene que h aber alguno, n o?

Qu iz ustedes ya se dieron cuen ta. Quiz toda va no. Les su-giero que lean detenidam ente cada pa so y traten de descubrir so-los dnde est el error.

La respuesta, de todas formas, est en la p gina de solucio-nes.


Se dan cuenta de que si los objetos que se venden en el ne-gocio no costaran nada, tener o no tener mil pesos poco impor-ta, porque ustedes se podran llevar todo. Con esta idea en lacabeza es que uno podra decir que no tiene sentido dividir milpesos entre objetos que no cu estan n ada. En algn sentido, losestoy invitando a que concluyan conmigo que lo que no tiene

sentido es dividir por cero.Ms aun: si se observa la tendencia de lo que acabamos de

hacer, pongamos en una lista la cantidad de artculos que po-demos comprar, en funcin del precio.

Precio por art culo Cantidad a comprar con mil pesos

$ 1.000 1$ 500 2$ 100 10$ 10 100

$ 1 1.000$ 0,1 10.000$ 0,01 100.000

A medida que disminuye el precio, aumenta la cantidad deartculos que podemos com prar siempre con los m il pesos origina-les. Si siguiramos d isminuyendo el precio, la cantidad de la de-recha seguira aumentando pero, si finalmente llegramos a unpunto en donde el valor por artculo es cero , entonces la canti-dad que h abra que poner en la columna de la derecha, sera

infinito. Dicho de otra m anera, nos pod ramos llevar todo.MORALEJA: no se puede dividir por cero.Repitan con migo: no se puede d ividir por cero ! No se p ue-

de dividir por cero!

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Los invito aho ra a que elijamos cualquier otro n mero pa-ra empezar, digamos el 24. La sucesin que se tiene es:

{24, 12, 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1}

Si ahora empezamos con el 100, se sigue:

{100, 50, 25, 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52,26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1}

Como se alcanza a ver, todas las sucesiones que eleg termi-nan en el nmero 1.

En realidad, aunque n o lo dije antes, al llegar al nmero 1el proceso se detiene, porque si uno siguiera, entrara en un la-

zo o crculo, ya que del 1 pasa ra al 4, del 4 al 2 y del 2 otra vezal 1. Por eso es que cuando al construir la sucesin llegamos alnmero 1, detenemos el proceso.

Ha sta hoy, agosto de 20 05, en todos los ejemplos con ocidos

siempre se termina la sucesin en el nmero 1. Pero no se tie-ne ninguna demostracin que pruebe que el resultado es vlidopara cualquier nmero con el que comencemos el ejercicio.

Este problema se conoce con el nombre de problema 3x+ 1, o tambin como el Problema de Collatz, o Problema deSyracusa, o Problema de Kaku tani o Algoritmo d e H asse oProblema de Ulam. Como ven, tiene muchos n ombres pero n in-guna solucin. Es una buena oportun idad para empezar. Con to-do, permtanme intercalar algo aqu: es muy poco probable queuna persona lega tenga las herramientas suficientes para re-

solverlo. Se estima que h ay slo veinte persona s en el mu ndocapaces de atacarlo. Pero como escrib en alguna o tra partede este mismo libro, eso no significa que alguno de ustedes, enalgn lugar del planeta, por mayor o menor entrenamiento ma-temtico que tengan, est impedido para que se le ocurra unaidea que nadie tuvo antes y el problema quede resuelto por unapersona que no pertenezca a ese privilegiado grupo de veinte.


E l p rob lem a 3x + 1

Les propongo un ejercicio para que hagamos juntos. Natu-ralmente, ni yo estoy aqu para acompaarlos (aqu significadonde estn ustedes ahora leyendo este libro) ni ustedes estnconmigo aqu (aqu es donde estoy yo, sentado frente a mi com-

putadora escribiendo estas lneas). De todas formas, digresinaparte, sganme en este razonamiento.

Vamos a con struir juntos un a sucesin de nm eros naturales(enteros po sitivos). La regla es la siguiente: empezamos p or un ocualquiera. Digamos, a manera de ejemplo, que elegimos el n-mero 7. se va a ser el primer elemento de nuestra sucesin.

Para generar el segund o elemento, h acemos lo siguiente: si elque elegimos primero es par, lo dividimos por dos. En cambio,si es impar, lo multiplicamos por 3 y le sumamos 1. En nuestroejemplo, al haber elegido el 7, como no es par, tenemos que mul-tiplicarlo por 3 y sumarle 1. Es decir, se obtiene el nmero 22,

ya que 3 x 7 = 21 y sumando uno, queda 22.Tenemos en tonces los primeros dos elementos de nu estra su-

cesin: {7, 22}.Para generar el tercer elemento de la sucesin, como el 22

es un nmero par, lo dividimos por dos, y obtenemos 11. Aho-ra tenemos {7, 22, 11}.

Como 11 es impar, la regla dice: multiplquelo por 3 y s-mele 1. O sea, 34. Se tiene {7, 22, 11, 34}.

Luego, como 34 es par, el prximo elemento de la sucesines 17. Y el siguiente es 52. Luego 26. Y despus 13. Y sigue 40.

Luego 2 0. (ha sta ac ten emos {7, 22, 11, 34 , 17, 52, 26, 13, 4 0, 20})y seguimos dividiendo por dos los pares y multiplicando por 3y sumando 1 a los impares:

{7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1}

Y en el nmero 1, paramos.

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mitad) tendramos la siguiente situacin, despus de diez do-bleces:

210

(esto significa multiplicar el nmero 2 diez veces por smismo) = 1.024 milsimas de cm = 1 cm aproximadamente.

Q u dice esto? Q ue si uno doblara el papel 10 (diez) ve-ces, obtendramos un grosor de un poco ms de un centmetro.

Supon gamos que seguimos doblan do el papel, siempre po r la mi-tad. Qu pasara entonces?

Si lo doblramos 17 veces, tendramos un grosor de2

17= 131.072 milsimas de cm = un poco ms de un metro.

Si pudiramos doblarlo 27 veces, se tendra:2

27= 134.217.728 milsimas de cm, o sea un poco ms de

1.342 metro s! O sea, casi un kilmetro y med io!Vale la pena detenerse un instante: doblando un papel, aun tan

finito como el papel de Biblia, slo veintisiete veces, tendramosun papel que casi alcanzara el kilmetro y medio de espesor.

Qu es m s?El 37% de 78 o e l 78% d e 37?

En general una idea es ms importante que u na cuen ta. Es de-cir, atacar un problema usando la fuerza bruta, no siempre esaconsejable. Por ejemplo, en el caso de que a uno le preguntaran:qu nmero es mayor: el 37% de 78 o el 78% de 37?

Claro, uno puede hacer el clculo y averiguar el resultado, pe-ro de lo que se trata es de poder decidirlo sin hacer cuentas. La

idea reside en advertir que para calcular el 37% de 78, uno tieneque multiplicar 37 por 78 y luego dividir por 100. No hagan lacuenta. No h ace falta.

De la misma forma, si uno quiere calcular el 78% de 37, loque tiene que hacer es m ultiplicar 78 por 37 y luego dividir por 100.

Como se advierte, es la misma cuen ta, ya que la multiplicacines conmutativa. Como u sted escuch decir muchas veces, el orden


Este problema que acaban d e leer se inscribe dentro de una lar-

ga lista que la m atemtica tiene sin resolver an. Es fcil aceptar es-

to en otras ciencias. Por ejemplo, la medicina no sabe an cm o re-

solver algunas variedades de cncer o del Alzheimer, por poner un

par de ejemplos. La fsica no tiene an una teora que integre lo

macro con lo micro , ni conoce todas las partculas elementales. La

biologa no cono ce an cm o funcionan todos los genes ni cun-tos son. En fin, estoy seguro de que usted puede agregar muchsi-

mos ejemplos ms. La matem tica, deca, tiene su propia lista.

Cuntas veces se puede doblar un papel?

Supongamos que uno tuviera una hoja de papel bien finita,como las que se usan habitualmente para imprimir la Biblia. Esms, en algunas partes del mundo este papel se conoce como elpapel de Biblia. En realidad, parece un papel de seda .

Para fijar las ideas, digamos que tiene un grosor de 1 mil-sima de centmetro.

O sea, 10-3

cm = 0,001 cmSupongamos tambin que uno tiene una hoja grande de ese

papel, como si fuera la hoja de un diario.Ahora, empecemos a doblarlo por la mitad.Cuntas veces creen ustedes que podran doblarlo? Y ten-

go otra pregunta : si lo pudieran d oblar y doblar tanta s veces co-mo quisieran, digamos unas treinta veces, cul creen que serael grosor del papel que tendran en la mano entonces?

Antes de seguir leyendo, les sugiero que piensen un rato larespuesta y sigan despus (si les parece).Volvamos al planteo ento nces. Luego de doblarlo una vez,

tendramos un papel de un grosor de 2 milsimas de centme-tro. Si lo do blramos una vez ms, sera de 4 milsimas de cen -tmetro. Cada doblez que hacem os a la hoja, se duplica el gro-sor. Y si seguimos doblndolo una y otra vez (siempre por la

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A propsito, los roman os ignoraban al cero. La d ificultad pa-ra hacer c lculos se puede resum ir en algo que escribi Juan En -rquez en As the Future Catches You : trate de multiplicar 436por 618 en nmeros romanos, y despus me cuenta.

Ahora bien. Cuando uno escribe el nmero

2.735.896

en realidad, est abreviando o simplificando la siguiente ope-racin:

(a) 2.000.000 + 700.000 + 30.000 + 5.000 + 800 + 90 + 6.

Claro: uno no se da cuenta de que est haciendo esto (ninecesita hacerlo). Pero en realidad, la notacin es un acuerdoque hacemos originalmente para abreviar todo lo que escribi-mos en la fila (a).

Puesto de otra manera, sera como escribir:

(b) 2 .106 + 7 .105 + 3 .104 + 5 .103 + 8.102 + 9 .101 + 6 .100,

con la convencin de que el nmero 100

= 1

Es lo que estudibamos en la escuela primaria y que la maes-tra no s enseaba como las unidades d e milln, las centena s demil, las decenas de mil, las unidades de mil, las centenas,las decenas y las unidades, as, a secas. Uno n unca ms u ti-

liz esa nomenclatura ni le hizo falta tampoco.Lo curioso es que para poder escribir los nmeros de la for-ma en la que los escribimos, necesitamos decir, por ejemplo,cuntas decenas de mil, cuntas unidades de mil, cuntas cen-tenas, etctera.

Para eso, necesitamos los nmero s que en la ecuacin (b),puse en letras negritas y con un tamao un poco ms grande.


de los factores no a ltera el produ cto. Es decir, indepen dientemen-te de cu l sea el resultado (que al final es 28,86), da lo mismo cual-quiera de los dos. Es decir, los nmeros son iguales.

Car tas b inar ias

Piensen en el siguiente hecho: no importa si ustedes ha-blan ingls, alemn, francs, portugus, dan s, sueco Si unoescribe

153 + 278 = 431

toda person a que viva en Inglaterra o Estados Unidos, o Ale-mania o Francia o Portugal o Brasil o Dinamarca (por poner al-gunos ejemplos de pases en donde se h ablen idiomas distintos),entienden.

Esto quiere decir: el lenguaje de los n meros es ms u ni-versal que el de los diferentes idiomas. Lo trasciende. Es que noshemos puesto de acuerdo (aun sin saberlo) en que los nmerosson sagrados. Bueno, no ta nto, pero lo que quiero d ecir es quehay ciertas convenciones (los nm eros obviamente son una con-vencin) que trascienden los acuerdos que hicimos alguna vezpara comun icarnos.

Europa tard ms de cuatrocientos aos en adoptar la nu-meracin arbiga (o sea, los nmeros que usamos hoy) y cam-biar lo que se usaba hasta entonces (los nmeros romanos).El primero que los introdujo en Europa fue el famoso Fibo-nacci, hacia 1220. Fibonacci, cuyo padre italiano lo haba lle-vado de nio a l norte de frica, entendi claramente la nece-sidad de u sar otra num eracin ms apropiada. Pero si bien n oquedaban du das de las ventajas que la nueva numeracin ten-dra, los mercaderes de la poca se ocuparon de evitar el pro-greso que les impedira a ellos hacer tramp a en las cuent as.

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Ahora, necesitamos pasar al siguiente caso, o sea, cuan do n e-cesitamos usar dos d gitos (y curiosamente, necesitamos ya usardos dgitos para escribir el nmero dos):

10 = 211 = 3

Aqu, ya agotamos las posibilidades con dos dgitos. Nece-sitamos usar ms:

100 = 4101 = 5110 = 6111 = 7

Y necesitamos uno ms para seguir:

1 000 = 81 001 = 91 010 = 101 011 = 111 100 = 121 101 = 131 110 = 141 111 = 15

Escribo slo un paso ms:

10 000 = 1610 001 = 1710 010 = 1810 011 = 1910 100 = 2010 101 = 21


Y esos nmeros son los que llamamos dgitos, que como todoel mundo sabe, supongo, son diez:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9

Supongamos que ahora uno contara solamente con dos d gi-

tos: 0 y 1.Cmo hacer para poder escribir un nmero?Si uno sigue la misma lgica que cuando tiene los diez d-

gitos, primero los usa a todos por separado. Es decir, usa: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Cuando llega hasta aqu, ya no los puede usar a los dgitossolos. Necesita combinarlos. Es decir, necesitamos u sar ah orados de los dgitos. Y empieza co n el 10 . Y sigue, 11, 12, 13, 1419 (aqu necesita emp ezar con el siguiente dgito), y usa el 20,21, 22, 23 29, 30 etctera hasta que llega al 97, 98, 99.En este punto , ya agot todas las posibilidades de escribir n-

meros que tengan dos d gitos. Y sirvieron para enum erar los pri-meros cien (porque empezamos con el 0. Hasta el 99, hay jus-to 100).

Y ahora? Necesitamos usar tres dgitos (y que no empie-cen con cero, porque si no, es como tener dos dgitos pero en for-ma encu bierta). Entonces, empezamos con 100, 101, 102 etc-tera. Despus de llegar a los mil, necesitamos cuatro dgitos. Yas siguiendo. Es decir: cada vez qu e agotamo s todos los posiblesnmeros que podemos escribir con un dgito, pasamos a dos.Cuando agotamos los de dos, pasamos a los de tres. Y luego alos de cuatro. Y as siguiendo.

Cuando uno tiene dos dgitos solamente, digamos el 0 y el1, cmo hacer? Usamos primero los dos dgitos por separado:

0 = 01 = 1

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lo los dgitos 0 y 1 que mu ltiplican a las poten cias de dos, pue-den pasar slo dos cosas: o que esa potencia esto que no estinvolucrada en la escritura del nmero.

Por ejemplo, en la escritura del nmero 6 (110), las poten-cias que estn involucradas son 2

2y 2

1ya que 2

0que antecede

a 21

dice que esa potencia no aparece.

Justamente, ste es el secreto que permite resolver el en ig-ma de las cartas binarias que aparecen en el apn dice del libro.Es decir: uno le pide a un a persona que elija un nmero cualquie-ra entre 0 y 255. Y le pide tambin que no se lo diga: que slolo piense. Le da entonces las cartas binarias que acompaan allibro. Y le dice: en cules de estas cartas figura el n mero queelegiste?.

La persona va mirando en cada carta y selecciona lo que lepidieron. Por ejemplo, si eligi el nm ero 170 entrega las cartasque en el tope superior izquierdo tienen los siguientes n meros:128, 32, 8 y 2.

Si uno suma estos nmero s, obtiene el nmero 170. Y lo con -sigue sin que la persona le h ubiera confiado el n mero. Es laforma de descubrirlo!

Por qu funciona el mtodo? Porque la persona, al elegir lascartas en donde figura el nmero, le est diciendo a uno (sinque ellos sepan, claro) en dn de estn los unos en la escritura bi-naria del nmero que eligieron.

Por eso, si la persona qu e eligi menta lmente el nm ero 170, tu-viera que escribir el nmero en notacin binaria, habra escrito:

10 101 010

o lo que es lo mismo:

10 101 010 = 1 . 27 + 0 . 26 + 1 . 25 + 0 . 24 + 1 . 23 + 0 . 22 +1 . 21 + 0 . 20 = 170


10 110 = 2210 111 = 2311 000 = 2411 001 = 2511 010 = 2611 011 = 27

11 100 = 2811 101 = 2911 110 = 3011 111 = 31

Y aqu los dejo a ustedes solos. Pero lo que queda claro esque para poder llegar al 32, hace falta agregar un dgito ms yusar el 100.000.

Lo notable es que con slo dos dgitos es posible escribircualquier nm ero. Los nmeros estn ah ora escritos en poten-cias de 2, de la misma forma en qu e antes estaban escritos en po-

tencias de 10.Veamo s algunos ejemplos:

a) 111 = 1 . 22 + 1 . 21 + 1 . 20 = 7b) 1 010 = 1 . 23 + 0 . 22 +1 . 21 + 0 . 20 = 10c) 1 100 = 1 . 23 + 1 . 22 + 0 . 21 + 0 . 20 = 12d) 110 101= 1 . 25 + 1 . 24 + 0 . 23 + 1 . 22 + 0 . 21 + 1 . 20 = 53e) 10 101 010 = 1 . 27 + 0 . 26 + 1 . 25 + 0 . 24 + 1 . 23 + 0 . 22 +

1 . 21 + 0 . 20 = 170

(Un dato interesante es que todo n mero partermina en ce-ro, y todo nmero impartermina en uno).

Creo que a esta altura est claro qu hace uno para descu-brir de qu nmero se trata en la escritura decimal, cuandouno lo tiene escrito en forma binaria (se llama binaria, por-que se usan slo dos dgitos: 0 y 1).

Lo que importa tambin es advertir que como uno usa s-

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1 . 27 + 0 . 26 + 0 . 25 + 0 . 24 + 1 . 23 + 1 . 22 + 1 . 21+ 1 . 20 =128 + 8 + 4 + 2 + 1 = 143

Ahora, les sugiero que practiquen ustedes con otros nme-ros. Yo voy a poner slo un par de ejemplos ms:

82 = 41 . 2 + 041 = 20 . 2 + 120 = 10 . 2 + 010 = 5 . 2 + 05 = 2 . 2 + 12 = 1 . 2 + 01 = 0 . 2 + 1

Luego,82 = 1 010 010 = 1 . 2

6+ 0 . 2

5+ 1 . 2

4+ 0 . 2

3+ 0 . 2

2+

1 . 21+ 0 . 2

0= 64 + 1 6 + 2 (y el nm ero lo obtuvimos escribien-

do de abajo arriba, los restos de las divisiones. Insisto en invi-

tarlos a hacer las cuentas y convencerse de que esto es cierto (ymucho ms interesante an es convencerse de que esto es cier-to independientemente del nmero que elijamos).

Un ltimo ejemplo:

1.357 = 678 . 2 + 1678 = 339 . 2 + 0339 = 169 . 2 + 1169 = 84 . 2 + 1

84 = 42 . 2 + 042 = 21 . 2 + 021 = 10 . 2 + 110 = 5 . 2 + 05 = 2 . 2 + 12 = 1 . 2 + 01 = 0 . 2 + 1


Y por eso, al elegir las cartas, es lo mismo que si estuvieraeligiendo los unos. Las cartas q ue no le entrega son las car-tas que contienen los ceros.

Por ltimo, cmo hacer para saber cmo escribir un n-mero cualquiera en forma binaria? Por ejemplo: si yo tengo elnmero 143, cul es la escritura? (es importante aprender a re-

solver este problema, porque si no h abra que emp ezar la listanmero por nmero hasta llegar al 143).Lo que se hace es dividir el nmero 143 por 2. Y al resul-

tado vo lver a dividirlo por 2. Y seguir as, hasta el cociente quese obtenga, sea 0 o 1.

En este caso entonces:

143 = 71 . 2 + 1

O sea, ac el cociente es 71 y el resto es 1.Seguimos. Ahora dividimos al 71 por 2.

71 = 35 . 2 + 1

El cociente, ac, es 35. Y el resto, es 1. Dividimos 35 p or 2.

35 = 17 . 2 + 1 (cociente 17, resto 1)17 = 8 . 2 + 1 (cociente 8, resto 1)8 = 4 . 2 + 0 (cociente 4, resto 0)4 = 2 . 2 + 0 (cociente 2, resto 0)2 = 1 . 2 + 0 (cociente 1, resto 0)1 = 0 . 2 + 1 (cociente 0, resto 1)

Y aqu termina la historia. Lo que uno ha ce es junta r todoslos restos que obtuvo y ponerlos todos juntos, de abajo haciaarriba:

10 001 111

40 ADRI N PAENZA



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En particular, este ltimo ejemplo sugiere que todo nm ero en-tero es racional. Y este resultado es cierto, ya que cualquier n me-ro entero se puede escribir como el cociente entre l mismo y 1.

Hasta ese momento, o sea, en el momento en que Pitgorasdemostr su teorema, los nicos nmeros que se conocan eranlos racionales. El propsito de este subcaptulo es, justamente,

introducir el problema con el que tropezaron los pitagricos.Un paso m s. Para pensar: si un n mero es par, ser verdadque su cuadrado es par?

Como siempre, hago una pausa (virtual) para dejarlos soloscon su m ente (o un lpiz y papel). En todo caso, yo sigo aqu, por-que no los puedo esperar mucho tiempo, pero ustedes vuelvancuando quieran

La respuesta es s. Por qu? Porque si un nmero x es par,eso significa que x se puede escribir de esta forma:

x = 2 . n

(donde n es un nm ero entero tambin).Entonces, si elevamos a x al cuadrado, se tiene:

x2 = 4 . n2 = 2 (2 . n2)

Y esto significa que x2

es un nmero par tambin.Ahora, al revs: ser verdad que si x

2es par, entonces x tie-

ne qu e ser par? Veamos: si x no fuera par, enton ces, sera im-par. En ese ca so, x se tendra qu e escribir as:

x = 2k + 1

donde k es cualquier nmero natural.Pero enton ces, al elevarlo al cuadrado , no pu ede ser par tam-

poco, ya que


Luego, el nmero que buscamos es:

10 101 001 101

Lo que significa:

1 . 210 + 0 . 29 + 1 . 28 + 0 . 27 + 1 . 26 + 0 . 25 + 0 . 24 + 1 . 23 +

1 . 22 + 0 . 21 + 1 . 20 = 1.024 + 256 + 64 + 8 + 4 + 1 = 1.357

La ra z cu adrada d e 2e s u n n m e ro i r ra c io n a l

Cuand o Pitgoras y su gente (hayan existido o no) d escubrie-ron el famoso teorema (el de Pitgoras, digo), tropezaron conun problema Supongamos que uno tiene u n tringulo rectn-gulo cuyos do s catetos miden u no. (Aqu podramos pon er u n

metro o un centmetro o una unidad, para que la abstraccinno sea tan grande).Entonces, si cada cateto mide uno, la hipotenusa* tiene que

medir 2. Este nmero present inmediatamente un p roblema.Para entenderlo, pongmonos de acuerdo en un par de puntos:

a) Un nmero x se llama racional si resulta ser el cociente en-tre dos n m eros enteros.

O sea,x = p/q,donde p y q son nmeros enteros, y adems debe cumplirse

que q 0.Ejemplos:

I) 1,5 es un n mero racional, porqu e 1,5 = 3/2II) 7,6666666 es racional porque 7,6666666 = 23/3III) 5 es un nmero racional, porque 5 = 5/1

42 ADRI N PAENZA


* Se llama hipotenusa de un tringulo rectngulo, al lado de mayor longitud.A los otros dos lados se los llama catetos.


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2 . q2 = p2 (* )

Luego, la ecuacin (*) dice que el nmero p2

es un nmeropar (ya que se escribe como el producto de 2 porun entero).

Como vimos un poco ms arriba, si el nmero p2

es par, esporque el propio nmero p es un nmero par. Entonces, el n-

mero p, como es un nmero par, se puede escribir as:

p = 2k

Al elevarlo al cua drado , se tiene:

p2 = 4k2

Reemplazando en la ecuacin (*), se tiene:

2q2 = p2 = 4k2

y simplificando por 2 en ambos lados,

q2 = 2k2

Por lo tanto, el nmero q2

es par tambin. Pero ya vimosque si q2 es par, es porque el nmero q es par. Y en ese caso,juntan do lo que h emos demostrado, resultara que tanto p co-mo q seran pares. Y eso no es posible, porque habamos su-puesto qu e si fuera as, los ha bramos simplificado.

MORALEJA: el nm ero 2 no es racional. Y eso abri un cam-po nuevo, inexplorado y muy fructfero: el de los nmeros irra-cionales. Juntos, los racionales y los irracionales compon en elconjunto de n meros reales. Son todos los nmeros que n ece-sitamos para medir en n uestra vida cotidiana. (Nota: no todos losnm eros irracionales son ta n fciles defabricarcomo 2. En rea-lidad, si bien 2 y son ambos nmeros irracionales, son esen-


x2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 4m + 1(en donde llam m = k2 + k).

Luego, si x2 = 4m + 1, entonces x 2 es un nmero impar.

LA MORALEJA es que si el cuadrado de un nmero es par, esporque el nmero ya era par.

Con todos estos datos, ahora estamos en condiciones deabordar el problema que se les plante a los pitagricos. Serverdad que el nmero 2 es racional tambin? Insisto: piensenque, en aquel momen to, los n icos nm eros que se conocan eranlos racionales. Por lo tanto, era natural que uno tratara de pro-barque cualquier nmero con el que tropezaba fuera racional.Es decir: si en esa poca los nicos nm eros que se conocan eranlos racionales, era razonable que trataran de encontrarle unaescritura como p/q a cualquier nmero nuevo que apareciera.

Supon gamos, entonces (como hicieron los griegos) que 2 esun n mero racional. Si es as, enton ces, tienen que existir dos n -

meros enteros p y q, de manera tal que

2= (p/q).

Al escribir (p/q), suponemo s ya que h emos simplificado losfactores comunes que pueda n tener p y q. En particular, supo-nemos que ambos no son pares, ya que si lo fueran, simplifica-ramos la fraccin y eliminaramos el factor dos tanto en el nu-merador como en el denominador. O sea: podemos suponer queo bien p o bien q no son pares.

Luego, elevando al cuadrado ambos miembros, tenemos:

2 = (p/q)2 = p2/q2

y si ahora pasamos multiplicando el denominador del se-gundo miembro al primer miembro, se tiene:

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73.590

Entonces, ya tenemos dos nm eros que van a formar parte denuestra suma. El original, 12.345 y este segundo nm ero 73.590.

Para seguir, les pido otro n mero de cinco dgitos. Por ejemplo

43.099

Entonces, tenemos ya tres nmeros de cinco dgitos cadauno, que sern tres de los cinco sumandos:

12.34573.59043.099

Una vez llegado a este punto, rpidamente anoto encolum-nados otros dos nmeros:

26.409y56.900

D e dnde saqu estos nmeros?Hice as: teniendo en cuenta el 73.590, agrego abajo lo que

hace falta para que sume 99.999. O sea, abajo del nmero 7 unnmero 2, abajo del 3, un 6. Abajo del 5 un 4, abajo del 9 un 0y abajo del 0, un 9.

73.590

+ 26.40999.999

De la misma forma, teniendo en cuenta el otro nmero queme dieron, 43.099, el nmero que hay que poner es el que ha-ga falta para que la suma d otra vez 99.999. En este caso, elnmero ser 56.900.


cialmente bien distintos por razones que escapan al objetivo deeste libro. El primero, 2, pertenece al conjunto de los nme-ros algebraicos, mientras que pertenece al de los nmerostrascendentes).

S u m a d e c in c o n m e ro sCada vez que estoy con un grupo de jvenes (y no tan jvenes)

y los quiero sorprend er con un juego con nmeros, siempre utili-zo el siguiente. Voy a hacerlo aqu con un ejemplo, pero despusvamos a analizar cmo hacerlo en general y por qu funciona.

Les pido a mis interlocutores que me den u n n mero de cin-co dgitos. Digamos 12.345 (aunque los invito a que ustedes,mientras leen, hagan otro ejemplo al mismo tiempo). Entoncesanoto 12.345 y les digo que en la parte de atrs del papel (o enotro pap el), voy a anotar el resultado d e una suma. Natural-

mente, las personas se ven sorprendidas porque no entiendende qu suma les estoy hablando si hasta ac slo me han da-do un nmero.

Les digo que tengan paciencia, y que lo que yo voy a haceres anotar (como queda dicho en la parte de atrs del papel) otronmero que va a ser el resultado de una suma, cuyos sumandosan no conocemos, salvo uno: el 12.345.

En la parte de atrs anoto el siguiente nmero:

212.343

Ustedes se preguntarn por qu anoto ese nmero. Se tratade agregar un 2 al principio del nmero y restarle dos al final.

Por ejemplo, si haban elegido 3 4.710, el nmero que ano ta-rn detrs ser 23.4708. Una vez hecho esto, pido n uevamente alinterlocutor que me d otro n mero. Como ejemplo, digamos

46 ADRI N PAENZA


9


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d) Agrega rpido dos nmeros que sumen con los dos an-teriores 99.999 (64.097 y 28 .611).

e) Invita a que la persona qu e tiene adelante haga la sumaY da!

Ahora bien, por qu da?sta es la parte ms interesante. Fjense que al nmero ini-

cial que la persona n os dio usted le agrega un 2 a delante y le res-ta do s, como si estuviramos sumn dole al nm ero 200.000 y lue-go le restramos dos. O sea, sera como sumarle (200.000 - 2).

Cuando la persona n os da los otros dos nmeros que com-pletamos hasta que lleguen a sumar 99.999, pensamos que 9 9.999es exactamente (100.000 - 1). Pero como usted hace esto dos ve-ces, al sumar (100.000 - 1) dos veces, se tiene (200.000 2).

Y eso es exactamen te lo que h icimos! Agregarle al nmerooriginal (200.000 2). Por eso da: porque lo que termina hacien-do uno es sumar dos veces (100.000 - 1) o, lo que es lo mismo,(200.000 - 2).

Un a ten tado con t ra e l t eo remafundamen ta l de l a a r i tm t i ca?

El teorema fundamental de la aritmtica dice que todo n -mero entero (diferente de +1, -1 o 0) o bien es primo o bien sepuede descomponer como el producto de nmeros primos.

Ejemplos:

a) 14 = 2 . 7b) 25 = 5 . 5c) 18 = 2 . 3 . 3d) 100 = 2 . 2 . 5 . 5e) 11 = 11 (ya que 11 es primo)f) 1.000 = 2 . 2 . 2 . 5 . 5 . 5g) 73 = 73 (ya que 73 es primo)


Es decir:

56.900+ 43.099

99.999

Resumiendo todo lo que hicimos, tenemos ahora cinco n-meros de cinco dgitos cada uno. Los tres primeros correspon-den a nmeros que n os dio nuestro interlocutor:

12.345, 73.590 y 56.900

Con el primero, fabriqu la suma total (y escrib detrs delpapel, 212.343) y con los otros dos, construotros dos nmerosde cinco d gitos (en este caso, 26.409 y 43.099), de manera tal degarantizar que la suma con cada uno d 99.999. Ahora, muy tran-quilo, invito al interlocutor a que haga la suma .

Y los invito a ustedes a que la hagan:

12.34573.59056.90026.40943.099212.343

Es decir, un o obtiene el n mero que hab a escrito en la par-te de atrs del papel.

Los pasos son los siguientes:a) Usted primero pide un nm ero de cinco d gitos (43.871).b) Luego escribe detrs del papel otro n mero (aho ra de seis

dgitos) que resulta de agregarle al anterior un nmero2 al principio y restar dos (243.869).

c) Pide dos n meros de cinco dgitos ms (35.902 y 71.388).

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M E ? 510


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nmero tiene siempre por lo menos dos divisores: s mismo y 1.(Un nmero es divisorde otro , si lo divide exactamente. O sea,si al dividir uno por otro, no tiene resto o lo que es lo mismo:el resto es cero.)

Por ejemplo:

El 2 es divisib le por 1 y por s mismo (el 2),El 3 es divisib le por 1 y por s mismo (el 3),El 4 es divisib le por 1, por 2 y por s mi smo (el 4),El 5 es divisib le por 1 y por s mismo (el 5),El 6 es divisib le por 1, por 2, por 3 y por s mism o (el 6),El 7 es divisib le por 1 y por s mismo (el 7),El 8 es divisib le por 1, por 2, por 4 y por s mism o (el 8),El 9 es divisib le por 1, por 3 y por s mi smo (el 9),El 10 es divisibl e por 1, por 2, por 5 y por s mismo (el 10).

Uno podra seguir con esta lista indefinidamente. Con todo,

revisando lo que pasa con los primeros naturales, uno d etecta unpatrn: todos son divisibles por el 1 y por s mismos. Puede qu etengan ms divisores, pero siempre tienen por lo menos dos.Quiero agregar aqu un p ar de ejemplos ms, para invitarlo a p en-sar en una definicin. Observen:

El 11 es divi sible solamente por 1 y po r s mismo.El 13 es divisible solamente por 1 y por s mismo .El 17 es divisible solamente por 1 y por s mismo .El 19 es divi sible solamente por 1 y po r s mismo.El 23 es divisible solam ente por 1 y por s mism o.El 29 es divisible solam ente por 1 y por s mism o.El 31 es divisible solam ente por 1 y por s mism o.

Advierten un patrn en todos estos ejemplos? Qu les su-giere que el 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 , 31 ten gan nicamen-te dos divisores mientras que el resto de los n meros tengan ms


Es ms: el teorema dice que la descomposicin en primoses nica, salvo el orden en que se escriben (algo as como queel orden d e los factores no altera el producto ). Sin emb argo, ten-go algo para proponer. Observen el nmero 1.001, que se pue-de escribir de estas dos maneras:

1.001 = 7 . 143

y tambin

1.001 = 11 . 91

Qu es lo que funciona mal? Es que acaso falla el teo-rema?

La respuesta se encuentra en la pgina de soluciones.

In f i n i t o s n m e ro s p r i m o s

Ya sabemos lo que son los nmeros primos. Sin embargo,conviene recordar un pasaje de la obra El bu rgus gentilhom-bre, de Molire, en el que el protagonista, cuando se le pregun-ta si sabe algo en particular, contesta: Haced como si no lo su-piera y explicdmelo. As que para partir de un conocimientocomn, comenzaremos por algunas definiciones.

En este captulo, vamos a usar slo los nmeros naturales(o enteros positivos). No quiero dar aqu una definicin riguro-sa, pero s ponern os de acuerdo acerca de qu n meros estoy ha-blando:

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6,, 100, 101, 102,,}

Excluyamos al nmero 1 de las consideraciones que siguen,pero como u stedes pueden comp robar fcilmente, cualquier otro

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MATEMTICA ESTS AH? 5352 A P


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d) H ay alguna frmula que produzca primos?e) Cmo estn distribuidos?f) Si bien un o sabe que no puede haber primos consecutivos,

salvo el 2 y el 3, cuntos n meros consecutivos podemos en-contrar sin que aparezca ningn primo?

g) Qu es una laguna de primos?

h) Qu son los primos gemelos? (la respuesta estar en elcaptulo siguiente).

En este libro slo me propongo responder algunas, pero lomejor que podra pasar es que quien est leyendo estas notassienta la suficiente curiosidad como para po nerse a pen sar al-gunas de las respuestas o bien a buscar en los diferentes librosdel rea (Teora de N meros) qu es lo que se sabe de ellos al dade hoy y qu problemas permanecen abiertos.

El objetivo es exhibir ahora una prueba de que los nmerosprimos son infinitos. Es decir, que la lista no termina n unca. Su-

pongamos que no fuera as. O sea, supongamos que al tratar delistarlos, se agotan en a lgn momen to.

Los llamaremos entonces

p1, p2, p3, p4, p5,, pn

de manera tal que ya estn ordenados en forma creciente.

p1< p2 < p3 < p4 < p5


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p1, p2, p3, p4, p5, , pn

enton ces, alguno de ellos, digamos el p k tiene que dividirlo.O lo que es lo mismo, N tiene que ser mltiplo de pk.

Esto quiere decir que

N

= pk . A

Ahora, como el nmero (p1 . p2 . p 3 . p4 . p5 p n) es tam-bin mltiplo de pk, llegaramos a la conclusin de que tanto Ncomo (N 1) son m ltiplos de pk. Y eso es imposible. Dos nm e-ros consecutivos no pueden ser nunca mltiplos de un mismo n-mero (salvo del uno).

Ahora miremos en un ejemplo cmo sera esta demostracin.Supongamos que la lista de primos (que suponemos es finita) fue-ra la siguiente:

2 < 3 < 5 < 7 < 11 < 13 < 17 < 19

O sea, estaramos suponiendo que 19 es el primo ms gran-de que se puede encontrar. En ese caso, fabricamos el siguientenmero N:

N = 2 . 3 . 5 . 7 . 11 . 13 . 17 . 19 + 1 = 9.699.691

Por otro lado, el nmero

(2 . 3 . 5 . 7 . 11 . 13 . 17 . 19) = 9.699.690 = N 1.

El nmero N = 9.699.691 no podra ser primo, porque esta-mos suponiendo que el ms grande de todo s es el nmero 19. Lue-go, este nmero N tiene que ser divisible por un primo. Ahorabien, este primo debera ser uno de los que conocemos: 2, 3, 5,7, 11, 13, 17 y/ o 19. Elijamos uno cualquiera p ara p oder seguir con


que sea el ms grande de todos. Es decir: si uno tiene un con-junto finito de nmeros, uno de ellos tiene que ser el ms gran-de de todos. No podramos decir lo mismo si el conjunto fuerainfinito, pero en este caso, como estam os suponiendo que hay s-lo finitos primos, uno de ellos tiene que ser el mayor, el ms gran-de. A ese nmero lo llamamos p n.

Vamos a fabricar ahora un nmero que llamaremos N.

N = (p1 . p2 . p3 . p4 . p5 pn ) + 14

Por ejemplo, si todos los nmeros primos fueran:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,

entonces, el nuevo nmero N sera:

2 . 3 . 5 . 7 . 11 . 13 . 17 . 19 + 1 = 9.699.691

Ahora bien. Como este nmero N es mayor que el ms gran-de de todos los primos,5 es decir, es mayor que pn, entonces, nopuede ser un n mero primo (ya que hemos supuesto que pn esel mayorde todos).

Luego, como N no p uede ser primo, tiene que ser divisiblepor un primo.

6Por lo tanto, como todos los primos son

54 ADRI N PAENZA


4 Al smbolo . lo usaremos para representar multiplicacin o producto.5 Para convencerse de esto, observe que N > pn 2 + 1, y esto es suficiente pa-

ra lo que queremos probar.6 En realidad, hara falta una demostracin de este hecho, pensemos que si

un nmero no es primo es porque tiene ms divisores que uno y l mismo. Este di-visor que tiene es un n mero men or que el nmero y m ayor que uno. Si este di-visor es primo, el problema est resuelto. Si en cambio este divisor no es primo,repetimos el proceso. Y como cada vez vamos obteniendo divisores cada vez mschicos, llegar un momento (y esto es lo que prueba una demostracin ms for-mal) en que el proceso se agote. Y ese nmero al cual uno llega es el nm ero pri-mo que estamos buscando.

MATEMTICA ESTS AH? 5756 ADRI N PAENZA


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Ms pares de primos gemelos:

{29, 31}, {41, 43}, {59, 61}, {71, 73}, {101, 103}, {107, 109}, {137,139}, {149, 151}, {179, 181}, {191, 193}, {197, 199}, {227, 229}, {239,241}, {281, 283}

La conjetura es que hayinfinitos primos gemelos.

Pero has-ta hoy, agosto de 2005, todava no se sabe si es cierto.El par de primos gemelos ms grande que se cono ce hasta

hoy es

(33.218.925) . 2169.690 1

y

(33.218.925) . 2169.690 + 1

Son nmeros que tienen 51.090 dgitos y fueron descubier-tos en el ao 2002. Hay mu chsimo m aterial escrito sobre este te-ma, pero an hoy la conjetura de la infinitud de primos geme-los sigue sin solucin.

L ag u n a s d e p r i m o s

Uno de los problemas ms interesantes de la matemtica estratar de descubrir un patrn en la distribucin de los nmerosprimos.

Es decir: ya sabemos que son infinitos. Ya vimos tambin quson los primos gemelos. Miremos ahora los primeros cien n-meros naturales. En este grupo hay 25 que son primos (apare-cen en bastardilla). Es fcil encon trar tres n meros consecuti-vos que no sean primos : 20, 21, 22. Hay ms en la lista, perono importa. Busquemos ahora una tira de cuatro nmeros con-


el argumento (aun que ustedes, si quieren, comprueben que es fal-so ninguno de ellos divide a N). Supongamos que 7 es el n-mero que d ivide a N.

7Por otro lado, el nmero (N 1) es obvia-

mente mltiplo de 7 tambin.Entonces tend ramos dos nm eros consecutivos, (N 1) y

N, que seran ambos mltiplos de 7, lo que es imposible. Por lo

tanto, esto demuestra que es falso suponer que hay un nmeroprimo que es mayor que todos8

y concluye la demostracin.

P r i m o s g e m e l o s

Sabemos que no p uede ha ber primos consecutivos, salvo el par{2, 3}. Esto resulta obvio si uno piensa que en cualquier par denmeros consecutivos, uno de ellos ser par. Y el nico primo pares el 2. Luego, el nico par de primos consecutivos es el {2, 3}.

Ahora bien: si bien uno sabe que n o va a encon trar primos

consecutivos, qu pasa si uno se saltea uno? Es decir, h ay dosimpares consecutivos que sean primos? Por ejemplo, los pares{3, 5}, {5, 7}, {11, 1 3}, {17, 19} son pr imo s, y son do s imp are s co n-secutivos.

Justamente, se llama primos gemelos a dos nmeros primosque difieren en dos un idades, como en los ejemplos que acaba-mos de ver. O sea, son de la forma {p, p+2}.

El primero en llamarlos primos gemelos fue Paul Stackel(1892-1919), tal como aparece en la bibliografa que public Tiet-ze en 1965.

56 ADRI N PAENZA


7 Haber elegido el nmero 7 como divisor del nmero N es slo para poderinvitarlos a pensar cm o es el argumento que se usa, pero claramente h ubiera fun-cionado con cualquier otro.

8Esto que hemos hecho suponiendo que 19 era el primo ms grande fue slo co-

mo un ejemplo que debera servir para entender el razonamiento general que est ex-

puesto ms arriba, en donde el nmero primo p n es el que hace el papel del 19.



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10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1= 3.628.800

Como se ve, el factorial va aumentando muy rpidamente.

En general,

n! = n . (n-1) . (n-2) . (n-3) 4 . 3 . 2 . 1

Aunque parezca que esta definicin es arbitraria y no se en-tienda mu y claramente su utilidad, definir el factorial de un n-mero es una n ecesidad para atacar cualquier problema de com-binatoria, o sea, cualquier problema que involucre contar . Pero,una vez ms, eso escapa al objeto de este libro.

Ahora bien: es bueno notar (e importante que ustedes lopiensen) que el factorial de un nm ero n es, en realidad, un ml -tiplo de n y de todos los nmeros que lo preceden.

Es decir:

3! = 3 . 2, es un m ltip lo de 3 y de 24! = 4 . 3 . 2, es un m ltip lo de 4, como de 3, como de 25! = 5 . 4 . 3 . 2 = es un mltiplo de 5, de 4, de 3 y de 2.

Luego,

n! es un mltiplo de n, (n-1), (n-2), (n-3),, 4, 3 y de 2.

Una ltima cosa antes de ata car el problema de las tiras

de nmeros compuestos o no primos. Si dos nmeros son pa-res, su suma es par. O sea, si dos nmeros son mltiplos de 2,la suma tambin. Si dos nmeros son mltiplos de 3, la sumatambin. Si dos nmeros son m ltiplos de 4, la suma tambin.Descubren la idea general?

Si dos nmeros son m ltiplos de k, entonces la suma es tam-


secutivos que no sean primos: 24, 25, 26, 27 sirven (aunque to-dava est el 28 pa ra agregar a la lista). Y as siguiendo, uno pue-de encon trar tiras de nmeros (con secutivos) de manera tal quesean no primos o compu estos.

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,12, 13, 14,15, 16, 17, 18, 19, 20,21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37,38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54,55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71,72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88,89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100.

La pregunta es: las tiras, pueden tener cualquier longitud?Es decir: si yo quiero encontrar d iez nmeros con secutivos talque ninguno sea primo, la podr encontrar? Y si quiero en-contrar cien seguidos, todos compuestos? Y mil?

Lo que quiero tratar de contestar es que, en verdad, uno p ue-

de fabricarse tiras de nmeros consecutivos tan grande comouno quiera, de manera que ninguno de ellos sea un nmero pri-m o. Este hecho es bastante singular, teniendo en cuenta que elnmero de primos es infinito. Sin emb argo, veamos cmo ha-cer para demostrarlo.

Primero, quiero dar aqu una notacin que es muy til y muy usa-

da en matemtica: se llama factorial de un nmero n, y se escribe

n!, al producto de todos los n meros menores o iguales que n .

Por ejemplo:

1! = 1 (y se lee, el factorial de 1 es igual a 1)

2! = 2 . 1 = 2 (el factorial de 2 es igu al a 2)3! = 3 . 2 . 1 = 6 (el factorial de 3 es igu al a 6)4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 245! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 1206! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720

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En definitiva, los tres nmero s que aparecen en (*) son con-secutivos y ninguno de los tres puede ser primo, porque el prime-ro es mltiplo de 2, el segundo de 3 y el tercero de 4.

Con la misma idea, construyamos ahora diez nmeros con-secutivos que no sean primos, o bien construyamos diez nme-ro s consecutivos que sean compuestos.

Entonces procedemos as:

11! + 2 (es ml tiplo de 2)11! + 3 (es ml tiplo de 3)11! + 4 (es ml tiplo de 4)11! + 5 (es ml tiplo de 5)11! + 6 (es ml tiplo de 6)11! + 7 (es ml tiplo de 7)11! + 8 (es ml tiplo de 8)11! + 9 (es ml tiplo de 9)11! + 10 (es mltiplo de 10)

11! + 11 (es mlt ipl o de 11)Estos diez nmeros son consecutivos y compuestos. Luego,

cumplen con lo pedido. Si ahora yo les pidiera que ustedes fa-bricaran cien nmeros consecutivos compuestos, lo pod ran ha-cer? Yo estoy seguro de qu e s, siguiendo la idea de los do s ejem-plos anteriores.

9

En general, si uno tiene que fabricar n nmeros consecutivoscompuestos, hace lo siguiente:

bin mltiplo de k (para cualquier k) (les propon go que haganustedes la demo stracin, que es m uy fcil).

Resumo:a) el factorial de n (o sea, n!) es mltiplo del nmero n y de

todos los nmeros menores que n;b) si dos nmeros son mltiplos de k, entonces la suma

tambin.

Con estos dos datos, vamos a la carga.Como en trenamiento, voy a hacer algunos ejemplos con la

idea de que quien est leyendo esto sienta que puede conjetu-rar la forma de hacerlo en general.

Busquemos, sin necesidad de mirar en la tabla de los pri-mos y no primo s o comp uestos, tres nmero s compuestos con-secutivos:

4! + 2

4! + 3 (* )4! + 4

Estos tres nmeros son consecutivos. Ahora descubramosque, adems, son compuestos. Miremos el primero: 4! + 2. El pri-mer suman do, 4! es mltiplo de 2 (po r la parte a). Por el otrolado, el segund o suman do, 2, es obviamente mltiplo de 2. Lue-go, por la parte b), la suma de los dos nmeros (4! + 2) es ml-tiplo de 2.

El nmero 4! + 3 est compuesto de dos sumandos. El pri-mero, 4!, por la parte a), es mltiplo de 3. Y el segundo suman-

do, 3, es tambin mltiplo de 3. Por la parte b) entonces, la su-ma (4! + 3) es mltiplo de 3.

El nmero 4! + 4 est compuesto tambin por dos suman dos.El primero, 4! por la pa rte a), es mltiplo de 4. Y el segundo su-mando, 4, es tambin mltiplo de 4. Por la parte b) entonces, lasuma (4! + 4) es mltiplo de 4.

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9 Ayuda: el primero sera, por ejemplo, 101! + 2. Luego, 101! + 3, 101! + 4,, 101!+ 99, 101! + 100 y 101! + 101. Por supuesto, stos son nmeros consecutivos. Cun-tos son? Hagan la prueba y avergenlo. Adems, son todos compuestos o no pri-mosya que el primero es m ltiplo de 2, el segundo es m ltiplo de 3, el tercero esmltiplo de 4 y as siguiendo. El ltimo es m ltiplo de 101.



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be que el banco se funde antes de empezar y que el ejemplo es-t cond enad o al fracaso. Pero igualmente, sganme qu e es intere-sante.

Capital: 1 pesoInters: 100% anual

Si uno ha ce la inversin en el ban co y se va a su casa, cu n-to dinero tiene cuando vuelve justo al ao ? Claro, como el in-ters es del 100%, al ao el seor tiene dos pesos: uno que co-rresponde a su capital y otro que es producto del inters que lepag el banco. Hasta ac, todo claro:

Capital al cabo de un ao: 2 pesos

Supongamos ahora que el seor decide poner su dinero noa un ao, sino slo a seis meses. El inters (a lo largo de todo

este ejemplo) permanecer constante: siempre ser de un 100%.Al cabo de seis meses entonces, el seor cunto dinero tiene?Est claro que tiene 1,5 pesos?

Esto es porque el capital permanece intocable: sigue sien-do un peso. En cambio, como el inters es del 100% pero s-lo dej el dinero invertido la mitad d el ao, le corresponde uninters de la mitad de lo qu e invirti y, por eso, le correspon-den $ 0,50 de inters. Es decir, su nu evo capital es de $ 1,5.

Si ahora el seor decide reinvertir su nuevo capital en el mis-mo banco, con el mism o inters (100%) y por otros seis meses demanera de llegar nuevamente al ao como antes, cunto dine-

ro tiene ahora?

Nuevo capital: 1,5Inters: 100% anual

Plazo que lo deposita: 6 meses

(n+1)! + 2(n+1)! + 3(n+1)! + 4(n+1)! + 5(n+1)! + n(n+1)! + (n+1)

Estos nmeros son n (y les pido que los cuenten, hganmecaso, porque no los veo muy convencidos) y son consecuti-vos; adems, el primero es m ltiplo d e 2, el siguiente de 3, el si-guiente de 4, y as siguiendo, h asta el ltimo qu e es m ltiplo de(n+1).

Es decir, esta lista cumple con lo que queramos: hemos en-contrado n nm eros consecutivos compu estos.

MORALEJA: esto demu estra que si uno em pieza a trabajar connmeros grandes, muy grandes, aparecen muchos muchos (y no

hay error de imprenta son mucho s en serio) nmeros compues-tos. Pero, a la vez, esto dice que se pueden encon trar lagunasde primos. O sea, una laguna es un segmento de los nmerosnaturales en don de no hay ningn primo.

Creo que despus de la explicacin de m s arriba, ustedes es-tn en condiciones de aceptar cualquier desafo de encontrar la-gunas (tan grandes como les sean propuestas).

E l nmero e

Quiero plantear aqu un problema que tiene que ver con po-ner dinero en un banco que rinda u n determinado inters.

Para ha cer la exposicin m s clara, voy a tomar u n ejemplo.Vamos a suponer que una persona tiene un capital de un peso.Y vamos a suponer tambin que el inters que le pagan anua l-mente p or ese peso es del 100%. Ya s con este inters, uno sa-




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(1+1/3) + 1/3 (1+1/3) = (1+1/3)(1+1/3) = (1+1/3)2

(Esto sucede porque a los cuatro meses el capital es de(1+1/ 3) y al cabo de otros cuatro m eses, tendr el capital ms u ntercio de ese capital. La cuenta que sigue despus, (1+1/3)

2, se

obtiene de sacar factor comn (1+1/3) en el trmino de la iz-quierda en la ecuacin.

Ahora bien: cuando el seor invierte (1+1/3)2

por otros cua-tro meses, al llegar justo al fin del ao, el seor tendr el capi-tal (1+1/ 3)

2m s (1/3) de ese capital. O sea:

(1+1/3)2 + 1/3(1+1/3)2 = (1+1/3)2(1+1/3) = (1+1/3)3 =2,37037037

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Como seguramente advierten, ahora nos queda la tentacinde hacerlo no slo cada cuatro meses, sino cada tres meses. Los

invito a que hagan la cuenta ustedes, pero el resultado lo escri-bo yo. Al cabo de un ao, el seor tendr:

(1 + 1/4)4 = 2,44140.625

Si lo hiciera cada dos meses, tendra que reinvertir su dine-ro seis veces en el ao:

(1 + 1/6)6 = 2,521626372

Si lo hiciera una vez por m es, reinvertira doce veces por ao

Al finalizar el ao, el seor tiene

1,5 + 1/2 (1,5) = 2,25

Por qu? Porque el capital que tena a los 6 meses inicia-les, no se toca: $ 1,5. El nuevo inters que cobra es de la mitaddel capital, porque el dinero lo pone a un inters del 100% pe-ro slo por seis meses. Por eso, tiene 1/2 (1,5) = 0,75 como n ue-vo dinero que le aporta el banco como prod ucto de los intere-ses devengados.

MORALEJA: al seor le conviene (siempre que el ban co se lopermita) depositar el dinero primero a seis meses y luego reno-var el plazo fijo a otros seis meses. Si comparamos con lo quele hubiera tocado en el primer caso, al finalizar el ao tena dospesos. En cambio, reinvirtiendo en la mitad, al cabo de 36 5 dastiene $ 2,25.

Supongamos ah ora que el seor coloca el mismo peso que te-

na originalmente, pero ah ora por cuatro meses. Al cabo de esoscuatro meses, reinvierte el dinero, pero por otros cuatro meses. Yfinalmen te, hace una ltima reinversin (siempre con el mismo ca-pital) hasta concluir en el ao. Cu nto dinero tiene ah ora?

Yo s que ustedes pueden seguir leyendo en esta misma pgi-na y encontrar la solucin, pero siempre es d eseable que los lec-tores hagan un mnimo esfuerzo (si as lo desean) de pensar solos.

De todas maneras, aqu va. Veamos si se entiende.Al principio del ao el seor tiene:

1

A los cuatro meses (o sea, transcurrido 1/3 del ao) tiene:

(1 + 1/3)

A los siguientes cuatro meses (ocho desde el comienzo) tiene:


10 A partir de aho

adrian paenza - matematíca ¿estas ahí

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