matemática, estás ahí - i y ii - adrian paenza

7/28/2019 matemtica, ests ah - i y ii - adrian paenza

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M A T EM T ICA E ST S A H ?S o b r e n m e r o s , p e r s o n a j e s , p r o b l e m a s

y c u r io s i d a d e s

por

A DRIN PA E N Z AFacultad de Ciencias Exactas y Naturales

Universidad de Buenos Aires

Coleccin Ciencia que ladra

Dirigida por D IEGO G O L O M B E K

Siglo

veintiuno

editores

Argentina


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Siglo veintiuno editores Argentina s.a.TUCUMN 1621 7 N (C1050AAG), BUENOS AIRES, REPBLICA ARGENTINA

Siglo veintiuno editores, s.a. de c.v.CERRO DEL AGUA 248, DELEGACIN COYOACN, 04310, MXICO, D. F.

Portada de Mariana Nemitz

2005, Siglo XXI Ed itores Argentin a S.A.

ISBN: 987-1220-19-7

Impreso en 4sobre4 S.R.L.

Jos Mrmol 1660, Buenos Aires,

en el m es de d e 2005

Hecho el depsito que marca la ley 11.723

Impreso en Argentina Made in Argentina

Paenza, Adrin

Matem tica... ests ah ? Sobre nmer os, personajes, problemas y curiosi-

dades -1a ed. -Buenos Aires : Siglo XXI Editores Argentina, 2005.

240 p. ; 19x14 cm. (Ciencia que ladra... dirigida por Diego Golombek)

ISBN 987-1220-19-7

1. Matem tica-Enseaza I. TtuloCDD 510.7.

R. Senz Pea 180, (B1876BXD) Bernal,Pcia. de Buenos Aires, Repblica Argentina


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Siglo XXI Editores Argentina S.A.,2005www.sigloxxieditores.com.ar

ESTE LIBRO

(y esta coleccin)

H ay libros que duran un da, y son buenos. Hay otros que du-

ran un ao, y son mejores. Hay los que duran muchos aos, y son

muy buenos. Pero hay los que duran toda la vida: esos son los

imprescindibles. Y este libro es uno de los que duran toda la vi-

da: un cofre del tesoro que, al abrirse, nos inunda de preguntas

y enigmas, de nmeros que de tan grandes son infi ni tos (y distin-tos infinitos), de personajes que uno querra tener enfrente en una

charla de amigos.

Adrin Paenza no slo se pregunta por qu la matemtica tie-

ne mala prensa: se preocupa muy especialmente por acercarnos

a esta bsqueda de patrones y regularidades y logra contagiarnos

su entusiasmo a toda prueba. Preguntn como pocos, Paenza nos

envuelve en un universo en el que reina la ciencia, pero donde

no quedan afuera los amigos, los enigmas, la educacin y las

ancdotas de una vida dedicada a contar y ensear.

Algunos de estos cuentos forman parte de las histori as que el

autor nos regala en el ciclo Cientficos I ndustri a A rgent in a, po-

siblemente la seccin ms esperada por el pblico, que semanaa semana se esmera en resolver problemas de sombreros, rule-

tas o cumpleaos. Pero todas las historias son parte de un uni-

verso amplio y generoso que gracias a este libro incorporar nue-

vos habitantes: el universo de Adrin Paenza.

El li bro nos lleva por estos nuevos paisajes a travs de nume-


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A cerca del autor

Adrin Paenza [email protected]

Naci en Buenos Aires en 1949. Es doctor en Matemticas de la Univer-

sidad de Buenos Aires, en la cual se desempea actualmente como Pro-fesor Asociado del Departamento de Matemtica de la Facultad de Cien-cias Exactas y Naturales. Es, adems, periodista. En la actualidad,conduce el ciclo Cientficos I ndu stria Argentin a. Trabaj en las radiosms importantes del pas y en los cinco canales de aire de la Argenti-na. Fue redactor especial de varias revistas y tiene publicaciones en tresdiarios nacionales: Cl arn, Pgin a/ 12y La N acin.


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Los grandeshombres hablan sobre ideas,los hombres promediohablan sobre cosas,

y los hombres pequeoshablan sobre otros h ombres.1

1 sta es una frase que vi hace muchos aos en el paragolpes trasero de unautomvil en Estados Unidos: Gr eat people talk about ideas, average people talkabout things, small people talk about other people.


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ndice

La mano de la princesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Nmeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Nmeros grandes. Ms sobre nmeros grandes. tomos en el universo. Qu

es un ao luz. Nmeros interesantes. Cmo conseguir un contrato como con-sultor usando un poco de matemtica. Hotel de H ilbert. Repit an conmi go: nose puede dividir por cero! 1 = 2. El problema 3x + 1. Cuntas veces se pue-de doblar un papel? Qu es ms? El 37% de 78 o el 78% de 37? Cartasbinarias. La raz cuadrada de dos es irracional. Suma de cinco nmeros. Unatentado cont ra el teorema fundamental de la aritmtica? Hay in f in i tos n-meros primos. Primos gemelos. Lagunas de primos. El nmero e. Distintos ti-pos de infinit os. Dos segmentos de distin ta longitud, tienen el mismo nme-ro de puntos? Un punto en un segmento. Suma de las inversas de laspotencias de 2 (suma infinita).

Personajes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Por qu uno no entiende algo. Conversacin entre Einstein y Poincar. Fle-ming y Churchill. Los matemticos hacemos razonamientos, no nmeros. Pa-radojas de Bertrand Russell. Biografa de Pitgoras. Carl Friedrich Gauss.Conjetura de Gol dbach. H istoria de Srinivasa Ramanujan. Los modelos ma-temticos de Oscar Bruno. Respuesta de Alan Turing.


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N m e r o s

N m e r o s g r a n d e s

Nmeros grandes? S. Grandes. Difciles de imaginar. Uno

escucha que las deudas externas se manejan en miles de millones

de dlares, que las estrellas en el cielo estn a aos luz de la Tie-

rra, que la molcula de AD N contiene tres mil mil lones de nucle-

tidos, que la superficie del sol tiene una temperatura de seis mil

grados centgrados, etctera. Estoy seguro de que cada uno que es-

t leyendo este prrafo tiene sus propios ejemplos para agregar.

Lo que yo hago frente a estas magnitudes es compararlas,

contrastarlas con algo que me sea ms fcil representar.

En el mundo hay ms de seis mil quinientos millones de

personas. En realidad ya somos (en agosto de 2005) ms de seis

mil trescientos millones. Parece mucho. Pero qu es mucho?

Veamos. Qu diferencia hay entre un milln y mil millones?

(aparte de que el ltimo tiene tres ceros ms). Para ponerlo en

perspectiva, transformmoslos en segundos. Por ejemplo, supon-

gamos que en un pueblo en donde el tiempo slo se mide en se-

gundos, una persona est acusada de haber cometido un delito.

Se enfrentan el fiscal y el abogado defensor delante del juez queinterviene en la causa. El fiscal pide mil millones de segundos

para el reo. El defensor lo tilda de loco y slo est dispuesto

a aceptar un milln de segundos, y slo como un hecho sim-

blico. El juez, acostumbrado a medir el tiempo de esa forma,

sabe que la diferencia es abismal. Entienden las razones?


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Se dan cuenta de que si los objetos que se venden en el ne-gocio no costaran nada, tener o no tener mil pesos poco impor-ta, porque ustedes se podran llevar todo. Con esta idea en lacabeza es que uno podra decir que no ti ene senti dodividir milpesos entre objetos que no cuestan nada. En algn sentido, losestoy invitando a que concluyan conmigo que lo que no tienesenti do es di vi di r por cero.

Ms aun: si se observa la tendencia de lo que acabamos dehacer, pongamos en una li sta la canti dad de artculos que po-demos comprar, en funcin del precio.

Precio por artculo Cantidad a comprar con mil pesos

$ 1.000 1$ 500 2$ 100 10

$ 10 100$ 1 1.000$ 0,1 10.000$ 0,01 100.000

A medida que disminuye el precio, aumenta la cantidad deartculos que podemos comprar siempre con l os mil pesos origina-les. Si siguiramos disminuyendo el precio, la cantidad de la de-recha seguira aumentando pero, si finalmente llegramos a unpunto en donde el valor por artculo es cero, entonces la canti-dad que habra que poner en la columna de la derecha, serainf inito. Dicho de otra manera, nos podramos llevar todo.

M ORALEJA: no se puede dividir por cero.Repit an conmigo: no se puede div idi r por cero! No se pue-

de dividir por cero!

28 A D R I N P A E N Z A



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1 = 2

Supongamos que uno tiene dos nmeros cualesquiera: ay b.

Supongamos, adems, que

a =b

Sganme con este razonamiento. Si multipl ico a ambos miem-

bros por a, se tiene

a2

=ab

Sumemos ahora (a2

2ab) en ambos miembros.

Resulta entonces la siguiente igualdad

a2

+(a2

- 2ab) =ab +(a2

- 2ab)

O sea, agrupando:

2a2

2ab =a2

ab

Sacando factor comn en cada miembro,

2a (a-b) = a (a-b)

Luego, simplificando en ambos lados por (a-b) se tiene:

2a =a.

Ahora, simpl ificamos la ade ambos lados, y se tiene:

2 =1

Dnde est el error? Es que tiene que haber alguno, no?

Quiz ustedes ya se dieron cuenta. Quiz todava no. Les su-

giero que lean detenidamente cada paso y traten de descubrir so-los dnde est el error.

La respuesta, de todas formas, est en la pgina de solucio-

nes.

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Y esos nmeros son los que llamamos dgi tos, que como todoel mundo sabe, supongo, son diez:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9

Supongamos que ahora uno contara solamente con dos dgi-tos: 0 y 1.

Cmo hacer para poder escribir un nmero?Si uno sigue la misma lgica que cuando tiene los diez d-

gitos, primero los usa a todos por separado. Es decir, usa: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Cuando llega hasta aqu, ya no los puede usar a los dgitossolos. Necesita combinarlos. Es decir, necesitamos usar ahorados de l os dgi tos. Y empieza con el 10. Y sigue, 11, 12, 13, 1419 (aqu necesit a empezar con el siguiente dgito), y usa el 20,21, 22, 23 29, 30 etctera hasta que llega al 97, 98, 99.

En este punto, ya agot todas las posibilidades de escribir n-meros que tengan dos dgi to s. Y sirvieron para enumerar los pri-meros cien(porque empezamos con el 0. Hasta el 99, hay jus-to 100).

Y ahora? Necesitamos usar t res dgi to s(y que no empie-cen con cero, porque si no, es como tener dos dgi tospero en for -ma encubierta). Entonces, empezamos con 100, 101, 102 etc-tera. Despus de llegar a los mil, necesitamos cuat ro dgit os. Yas siguiendo. Es decir: cada vez que agotamos todos los posibl esnmeros que podemos escri bi r con un dgito , pasamos a dos.

Cuan do agotamos los de dos, pasamos a los de tres. Y l uego a

lo s de cuat ro. Y as sigui endo.

Cuando uno tiene dos dgitos solamente, digamos el 0 y el1, cmo hacer? Usamos primero los dos dgitos por separado:

0 =01 =1




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Ahora, necesitamos pasar al siguiente caso, o sea, cuando ne-

cesitamos usar dos dgito s(y curiosamente, necesit amos ya usar

dos dgi tospara escribir el nmero dos):

10 =2

11 =3

Aqu, ya agotamos las posibilidades con dos dgitos. Nece-

sitamos usar ms:

100 =4

101 =5

110 =6

111 =7

Y necesitamos uno ms para seguir:

1 000 =8

1 001 =9

1 010 =10

1 011 =11

1 100 =12

1 101 =13

1 110 =14

1 111 =15

Escribo slo un paso ms:

10 000 =1610 001 =17

10 010 =18

10 011 =19

10 100 =20

10 101 =21




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Y por eso, al elegir las cartas, es lo mismo que si estuvieraeligiendo los unos. Las cartas que no le entrega son las car-tas que conti enen los ceros.

Por ltimo, cmo hacer para saber cmo escribir un n-mero cualquiera en forma binaria? Por ejemplo: si yo tengo elnmero 143, cul es la escritura? (es importante aprender a re-solver este problema, porque si no habra que empezar la listanmero por nmero hasta llegar al 143).

Lo que se hace es di vid ir el nmero 143 por 2. Y al resul-tado vol ver a div id irl o por 2. Y seguir a s, hasta el cociente que

se obt enga, sea 0 o 1.

En este caso entonces:

143 =71 . 2 +1

O sea, ac el cociente es 71 y el resto es 1.

Seguimos. Ahora dividimos al 71 por 2.

71 =35 . 2 +1

El cociente, ac, es 35. Y el resto, es 1. Dividimos 35 por 2.

35 =17 . 2 +1 (cociente 17, resto 1)17 =8 . 2 +1 (cociente 8, resto 1)8 =4 . 2 +0 (cociente 4, resto 0)4 =2 . 2 +0 (cociente 2, resto 0)2 =1 . 2 +0 (cociente 1, resto 0)1 =0 . 2 +1 (cociente 0, resto 1)

Y aqu termina la historia. Lo que uno hace es juntar todoslos restos que obtuvo y ponerlos todos juntos, de abajo haciaarriba:

10 001 111




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1 . 27

+0 . 26

+0 . 25

+0 . 24

+1 . 23

+1 . 22

+1 . 21+1 . 2

0=

128 +8 +4 +2 +1 =143

Ahora, les sugiero que practiquen ustedes con otros nme-

ros. Yo voy a poner slo un par de ejemplos ms:

82 =41 . 2 +0

41 =20 . 2 +1

20 =10 . 2 +0

10 = 5 . 2 +0

5 = 2 . 2 +1

2 = 1 . 2 +0

1 = 0 . 2 +1

Luego,

82 = 1 010 010 = 1 . 26

+ 0 . 25

+ 1 . 24

+ 0 . 23

+ 0 . 22

+

1 . 21+ 0 . 2

0= 64 + 16 + 2 (y el nmero lo obtuvimos escribien-

do de abajo arriba, los restos de las divisiones. Insisto en invi-tarlos a hacer las cuentas y convencerse de que esto es cierto (y

mucho ms interesante an es convencerse de que esto es cier-

to independientemente del nmero que elijamos).

Un ltimo ejemplo:

1.357 =678 . 2 +1

678 =339 . 2 +0

339 =169 . 2 +1

169 = 84 . 2 +1

84 = 42 . 2 +0

42 = 21 . 2 +0

21 = 10 . 2 +110 = 5 . 2 +0

5 = 2 . 2 +1

2 = 1 . 2 +0

1 = 0 . 2 +1




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Luego, el nmero que buscamos es:

10 101 001 101

Lo que significa:

1 . 210 +0 . 29 +1 . 28 +0 . 27 +1 . 26 +0 . 25 +0 . 24 +1 . 23 +

1 . 22 +0 . 21 +1 . 20 =1.024 +256 +64 +8 +4 +1 =1.357

La ra z cu adrad a de 2e s u n n m e ro i r ra c io n a l

Cuando Pitgoras y su gente (hayan existido o no) descubri e-ron el famoso teorema (el de Pitgoras, digo), tr opezaron conun problema Supongamos que uno tiene un tringulo rectn-gulo cuyos dos catetos miden uno. (Aqu podramos poner unmetroo un centmetroo una un i dad, para que la abstraccinno sea tan grande).

Entonces, si cada cateto mide uno, la hipotenusa tiene quemedir 2. Este nmero present inmediatamente un problema.Para entenderlo, pongmonos de acuerdo en un par de pun tos:

a) Un nmero xse llama racionalsi resulta ser el cociente en-tre dos nmeros ent eros.

O sea, x= p/q,donde py qson nmeros enteros, y adems debe cumplirse

que q 0.

Ejemplos:

I) 1,5 es un nmero racional, porque 1,5 =3/2II) 7,6666666 es racional porque 7,6666666 =23/3III) 5 es un nmero racional, porque 5 =5/1




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En particular, este lt imo ejemplo sugiere que todo nmero en-

tero es racional . Y este resultado es cierto, ya que cualquier nme-

ro entero se puede escribi r como el cociente entre l mismo y 1.

H asta ese momento, o sea, en el momento en que Pitgoras

demostr su teorema, los ni cos nmeros que se cono can eran

los racion ales. El propsito de este subcaptulo es, justamente,

int roducir el problema con el que tropezaron los pitagricos.

Un paso ms. Para pensar: si un nmero es par, ser verdad

que su cuadrado es par?

Como siempre, hago una pausa (virtual) para dejarlos solos

con su mente (o un lpiz y papel). En todo caso, yo sigo aqu, por-

que no los puedo esperar mucho tiempo, pero ustedes vuelvan

cuando quieran

La respuesta es s. Por qu? Porque si un nmero xes par,

eso significa que xse puede escribir de esta forma:

x =2 . n

(donde nes un nmero entero tambin).

Entonces, si elevamos a xal cuadrado, se tiene:

x2

=4 . n2

=2 (2 . n2)

Y esto significa que x2

es un nmero par tambin.

Ahora, al revs: ser verdad que si x2

es par, entonces x tie-

ne que ser par? Veamos: si x no fuera par, entonces, sera im-

par. En ese caso, x se tendra que escribir as:

x =2k +1

donde k es cualquier nmero natural.

Pero entonces, al elevarlo al cuadrado, no puede ser par t am-

poco, ya que




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Es decir:

56.900+43.099

99.999

Resumiendo todo lo que hicimos, tenemos ahora cin co n-meros de cinco dgit os cada u no . Los tres primeros correspon-den a nmeros que nos dio nuestro interlocutor:

12.345, 73.590 y 56.900

Con el primero, fabriqu la suma total (y escrib detrs delpapel, 212.343) y con l os otros dos, constru otros dos nmerosde ci nco dgit os(en este caso, 26.409 y 43.099), de manera tal degarantizar que la suma con cada uno d 99.999. Ahora, muy tran-

quilo, i nvito al in terlocutor a que haga la suma.Y los invito a ustedesa que la hagan:

12.34573.59056.90026.40943.099212.343

Es decir, uno obti ene el n mero que haba escri to en l a par-te de atrs del papel.

Los pasos son los siguientes:a) Usted primero pide un nmero de cinco dgitos (43.871).b) Luego escribe detrs del papel otro nmero (ahora de seis

dgitos) que resulta de agregarle al anterior un nmero2 al principio y restar dos (243.869).

c) Pide dos nmeros de cinco d gitos ms (35.902 y 71.388).




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d) Agrega rpido dos nmeros que sumen con los dos an-teriores 99.999 (64.097 y 28.611).

e) Invi ta a que la persona que tiene adelante haga la sumaY da!

Ahora bien, por qu da?

sta es la parte ms interesante. Fjense que al nmero ini-cial que la persona nos dio usted le agrega un 2 adelante y le res-ta dos, como si estuviramos sumndole al nmero 200.000 y lue-go le restramos dos. O sea, sera como sumarle (200.000 - 2).

Cuando la persona nos da los otros dos nmeros que com-pletamos hasta que lleguen a sumar 99.999, pensamos que 99.999es exactamente (100.000 - 1). Pero como usted hace esto dos ve-ces, al sumar (100.000 - 1) dos veces, se tiene (200.000 2).

Y eso es exactamente lo que hicimos! Agregarle al nmerooriginal (200.000 2). Por eso da: porque lo que termina hacien-do uno es sumar dos veces (100.000 - 1) o, lo que es lo mismo,

(200.000 - 2).

Un a te n t a d o c o n t ra el t e o re m afu n d a m e n ta l d e la ar itm t ic a ?

El teorema fundamental de la aritmtica dice que todo n-mero entero (diferente de +1, -1 o 0) o bien es primo o bien sepuede descomponer como el producto de nmeros primos.

Ejemplos:

a) 14 =2 . 7

b) 25 =5 . 5c) 18 =2 . 3 . 3

d) 100 =2 . 2 . 5 . 5

e) 11 =11 (ya que 11 es primo)

f) 1.000 =2 . 2 . 2 . 5 . 5 . 5

g) 73 =73 (ya que 73 es primo)




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Este hecho, naturalmente, atenta contra la intuicin, por-que se desprende que un segmento que una la parte externa dela pgina que ustedes estn leyendo con la parte interna, tienela m isma cantid ad de pun tos que un segmento que una la Ciu -

dad d e Buenos Ai res con l a de Tucumn. O un segmento queuna la Tierra con l a Luna.

U n p u n t o e n u n s eg m e n t o

Les propongo el siguiente ejercicio para comprobar su fa-

mili aridad con los grandes nmeros.1) Tomen una hoja y algo con qu escribir.2) Tracen un segmento (hganlo grande, no ahorren papel

justo ahora, aunque el ejemplo funciona igual).3) Pongan el nmero ceroen el extremo izquierdo de su seg-

mento.



C D1 2 3 4

A B1 2 3 4


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4) Pongan el nmero un billn en el extremo derecho.

Es decir, ustedes van a suponer que el segmento que di-

bujaron mide un bi lln. M arquen en el mismo segmen-

to el nmero mil millones. Dnde lo pondran?

La respuesta, en las pginas de soluciones.

Su m a d e la s in v e rs a s d e l as p o t e n c iasd e 2 (s u m a in f i n it a )

Supongamos que dos personas (A y B) estn paradas a dos

metros de distancia, una de otra. Ambas personas van a ser vir-

tuales, en el senti do de que funcionarn como puntos, como los

extremos de un segmento. Este segmento va a tener dos metros

de distancia.

Ahora el seor A va a empezar a caminar hacia B, pero no

lo va a hacer en forma libre, sino que va a seguir las siguientes

instrucciones: cada paso que d va a cubri r exactamente la mi-

tad de la di stanciade lo que le falta recorrer para llegar hasta

B. Es decir, el primer paso que A va a dar ser de un metro(ya

que la distancia que lo separa de B es de dos metros).

Luego el seor A (que ahora esta parado en la mitad del seg-

mento [A,B] va a seguir caminando y su prximo paso va a ser

medio metro (1/ 2 = 0,5) porque la distancia que le falta reco-

rrer hasta llegar a B es justo un metro (y la instruccin para l

es bien precisa: sus pasos son siempre la mi tad del terreno que

le fal ta recorrer).

Una vez que A haya dado ese paso, estar parado en el pun-

to 1,5. Como estar a medio metro de B, su paso siguiente serde 0,25 centmetros (1/4 que es la mitad de 1/2). Y cuando l le-

gue estar a 1,75 de distancia del lugar de origen.

El seor A sigue caminando. Sus prximos pasos van a ser:

1/ 8, 1/ 16, 1/ 32, 1/ 64, 1/ 128, 1/ 256, 1/ 512, 1/ 1024, etctera.

Como ustedes advierten, el seor A no va a ll egar nun ca a




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Personajes

P o r q u u n o n o e n t ie n d e a lg o

Esta breve historia reproduce lo que escribi un amigo nti-

mo que falleci ya hace muchos aos: Ricardo Noriega. Ricar-

do fue un matemtico argentino, fallecido a una edad muy tem-

prana, especialista en geometra diferencial. Trabaj durante

muchos aos con Luis Santal19

y, ms all de sus condiciones

profesionales, fue un t ipo brbaro. Siempre de buen humor, edu-

cado y muy generoso con su tiempo y en la actitud siempre pa-ternal con alumnos y otros colegas. Un gran tipo.

Con l estudi cuando ambos ramos jvenes. En su libro

Clcu lo D iferencial e In tegralescribi sobre una idea que me

subyug siempre: por qu uno no entiende algo? Y por qu

lo entiende despus? Y por qu se lo olvida ms tarde?

Ricardo escribi, y no lo voy a parafrasear porque prefiero

contar mi propia versin:

Muchas veces, cuando uno est leyendo algo de matemti-

ca tropieza con un problema: no entiende lo que ley. Enton-

ces, para, piensa y relee el texto. Y la mayora de las veces, si-

gue sin entender. Uno no avanza. Quiere comprender, pero no

puede. Lee el prrafo nuevamente. Piensa. Y dedica mucho tiem-

19Santal fue uno de los gemetras ms importantes de la histor ia. Naci en

Espaa, pero escapando de la guerra civil espaola, pas la mayor parte de su

vida en la Argenti na. Fue un verdadero maestro y sus contri buciones tanto per-

sonales como profesionales son invalorables.


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ticular, sino que era considerado patrimonio del grupo. Es poreso que es mejor no hablar del trabajo de Pitgoras, sino de lascontribuciones de los pitagricos.

EL TEO REM A D E P I T GORA SH ace muchos aos, Carmen Sessa, mi ami ga y extraordina-

ria referente en cualquier tema que tenga que ver con la matem-tica, me acerc un sobre con varias demostraciones del Teore-ma de Pitgoras. No recuerdo de dnde las haba sacado, peroella estaba entusiasmada al ver cuntas maneras distintas habade comprobar un mismo hecho. Es ms: t iempo despus supe quehay un libro (The Pythagorean Propositi on) que contiene 367pruebas de este teorema y que fue reeditado en 1968.

De todas formas, y volviendo a las pruebas que me habadado Carmen, hubo una que me dej fascinado por su sim-pleza. Mas an: a parti r de ese momento (l tima parte de la d-cada del 80) nunca paro de repeti rl a. Y de disfrutarla. Aqu va:

Se tiene un tr ingulo r ectngulo T, de lados a, by h. (Se lla-ma tringulo rectngulo a un tringulo en el que uno de los n-gulos es de 90 grados, tambin llamado ngulo recto.)

Imaginemos que el tringulo T est hecho pegando treshi los. Supongamos que se le puede cor tar el lado h, y que unopuede estirar los lados ay b.



a

b

h


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Con este nuevo lado, de longitud (a+b), fabricamos dos

cuadrados iguales. Cada lado del cuadrado mide (a+b).

Marcamos en cada cuadrado los lados ay b, de manera tal

de poder dibujar estas figuras:

Ahora, observemos en cada cuadrado cuntas veces apare-

ce el tringulo T (para lo cual hay que marcar en un dibujo los

cuatro tringulos T en cada cuadrado).

Como los cuadrados son iguales, una vez que hemos descu-

bierto los cuatro cuadrados en cada uno de ellos, la superficie que

queda libre en cada uno t ieneque ser la misma.



a b

a

b

a

b

b a

h

h

h

h

a b

a

b

a

b

ba

h

h


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ti cas de un cierto compuesto, slo es necesario especif icarcuan-do la computadora lo requiereuna serie de nmeros que carac-terizan la s propi edades bsicas de los compon entes u ti li zados.

Hasta aqu, las reflexiones de Oscar. Ahora agrego yo: mu-

chas veces, como matemticos, recibimos la pregunta: para qusirve lo que usted hace? Cmo se usa? Gana plata con eso?

Cuando se trata de matemticos que dedican su vida a laproduccin de ciencia con apli caciones ms evidentes o ms di-rectas, las respuestas, como las de Bruno, suelen ser ms cla-ras o ms contundentes. En cambio, cuando esas respuestasprovi enen de cient ficos que dedican su vida a la investigacinbsica o a la vida acadmica, no suelen convencer al interlo-cutor. El ciudadano comn se siente apabullado y calla, perono est seguro de que le hayan contestado lo que pregunt. Noentiende.

Uno de los propsitos de este li bro es acercar a las partes. Mos-trar la belleza que contiene pensar un problema cuya respuesta unoignora. Sobre todo eso: pensar, imaginar caminos, disfrutar de laduda. Y en todo caso, aprender a coexistir con el desconocimien-to, pero siempre con la idea de derrotarlo, de descubrir el veloque esconde la verdad.

R es p u e s t a d e A la n Tu r in g s o b r ed i fe renc ias en t re una m qu inay un a pe rs ona

De acuerdo con lo que le en un D iccionar io de IdeasdeChri s Rohmann, esto fue lo que dijo Al an Turing cuando l e pre-guntaron cmo se poda saber si una mquina era inteligente:

La mqui na es in teli gente si puede pasar este test: poner una

persona a h acerle pregunta s en paralelo a un a mqui na y a otra




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persona, sin que el que pregun te sepa qu in es el qu e da l as res-

puestas.

Si despus de un t iempo el in terrogador n o puede di stin gui r

si l as respu estas prov enan del h umano , ent on ces la mqui na

pod r ser decla radainteligente.




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Probab ilidade s y es t im ac iones

U n p o c o d e c o m b in a t o riay p ro b a b il id a d e s

El nmero de result ados posibles al t irar una moneda es dos.

Obviamente, cara y ceca. Si ahora ti ramos dos mon edasy que-

remos contar el nmero de resultados posibles, tenemos:

Cara-Cara

Cara-Ceca

Ceca-Cara

Ceca-Ceca

Es decir, hay cuatro result ados posibles. Noten la impor tan-

cia del orden, porque si no habra slo tres resu lt ados posib les:

Cara-Cara

Cara-Ceca o Ceca-Cara (que seran el mismo)

Ceca-Ceca

Al tirar tres monedas, los casos posibles si importa el orden

son 23= 8.

En cambio, si no importa el orden slo quedan cuatro ca-

sos. (Los invito a que piensen en cada caso por qu pasa esto;

es ms: los invito a que piensen qu pasara si tirara nmonedas


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cumplan aos el mismo da. Como esto es claramente antiintui-tivo para muchos de los que participen del partido, quizs uste-des puedan ganar alguna apuesta.

M o n e d a c ar g ad a

Cada vez que hay una disputa sobre algo y hay que tomar unadecisin entre dos posibilidades, se suele recurrir a t irar una mo-neda al ai re.

Sin que uno lo explicite en cada oportunidad, est claroque uno acepta (sin comprobar) que la moneda no est car-gada. Es decir: uno supone que la probabilidad de que salga ca-ra o ceca es la misma. Y esta probabil idad es 1/ 2, o la mi tad delas veces.34

Hasta aqu, nada nuevo. Ahora, supongamos que uno tiene

que decidir tambin entre dos posibilidades, y tiene una mone-da, pero, a diferencia del planteo anterior, a uno le dicen que lamoneda est cargad a. No es que tenga dos caras o dos cecas. No.Decir que est cargada es decir que la probabil idad de que sal-ga cara esPmientras que la posibilidad de que salga ceca esQ,pero uno no sabe que P y Q son iguales.

En todo caso, supongamos dos cosas ms:

a) P +Q =1

b) P 0 y Q 0

La parte (a) dice que si bien P y Qno t ienen por qu ser igua-les a 1/2 como en el caso de una moneda comn, la sum a de



34 Quiz la aclaracin respecto de que la moneda no est cargada no hagafalta, ya que cuando uno quiere decidir algo, si ninguno de los dos sabesi est ono cargada, igualalas posibilidades que cada uno tiene.


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las probabil idades da uno. Es decir, o bien sale cara o bien sa-

le ceca. La parte (b) garantiza que la moneda no est cargada

de tal manera que siempre salga cara o siempre salga ceca.

La pregunta es: cmo hacer para poder decidir entre dos al-

ternativas cuando uno t iene una moneda de estas caractersticas?

La respuesta, en la pgina de soluciones.




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P r o b le m a s

Pen s a m ie n to la te ra l

Qu es el pensamiento lateral?

En l a pgina de in ternet de Paul Sloane (http:/ / rec-puzzle-

s.org/ lateral.html), se da la siguiente expli cacin:

A un o le presentan u n problema que no contiene la i nforma-

cin sufi ciente para poder descubri r la soluci n. Para avanzar se

requi ere de un dilogo entre quien l o pl ant ea y qui en lo qu iere

resolver.

En consecuencia, una parte importan te del proceso es hacer

pregunt as. Las tres respuestas posibl es son:s, no o irrelevante.

Cuand o u na lnea de pregunt as se agota, se necesi ta a van -

zar desde otro l ugar, desde una d ireccin comp letamente di stin -

ta . Y aqu es cuandoel pensamiento l ateral hace su presentacin.

Para algun as personas, es frustrante que un probl ema ad-

m it a o tolere la construcci n de diferentes respuestas que su -

peren el acerti jo. Sin embargo, los expertos di cen que u n buenproblema depensamiento lateral es aqul cu ya respu esta es l a

que ti ene ms sent ido , la ms apta y l a ms sati sfactori a. Es ms:

cuan do u no fi nal mente accede a la respuesta se pregunta cmo

no se me ocurri .


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Se da una tabla de nmeros en la que fa l tauno. Puedenustedes decir qu nmero falta y explicar por qu?

54 (117) 36

72 (154) 28

39 (513) 42

18 (?) 71

Se trata no slo de que ustedes puedan decir qu nmeroes el que debera ir en lugar del signo de interrogacin , sinotambin de medir su capacidad de anlisis, para deducir unaley de formacin. Es decir, hay un patrn que subyace detrs dela gestacin de esos nmeros, y se pretende que ustedes lo des-cubran.

La respuesta, en la pgina de soluciones.

C u n t a s v e c e s p o r s e m a n a le g u s t a r aa u n a p e rs o n a c o m e r f u e r a d e s u c a s a

Uno le propone a su interlocutor: cuntas veces por sema-na te gustara comer fuera de tu casa? l ti ene que pensar ese n-mero y no comuni carlo. Es el nmero que nosotros vamos a tra-tar de descubrir.

Vamos a poner en dos columnas aqu abajo una respuesta ge-neral (representada por la letra vque indicar la canti dad de ve-ces que a esa persona le gustar a comer afuera) y t ambin con unejemplo, digamos con el nmero 3.

3 v

Luego le decimos que mult ipl ique por dos el nmero quenos dio.




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6 2v

Luego, le decimos que le sume el nmero 5

11 (2v +5)

Le pedimos que ahora lo mul tipl ique por 50

550 50 (2v+5)=100v +250

Si su cumpleaos ya pas (durante el ao 2005), se le suma1.755

2.305 100v +2.005

Si su cumpleaos an n o pas (durante el ao 2005), se le

suma 1.754

2.304 100v +2.004

Ahora se le pide que reste el ao de nacimiento (digamos quela persona naci en 1949). En el primer caso (el cumpleaos yapas) es

(2.305 - 1.949) =356 100v +56

En el segundo caso, es

(2.304 - 1.949) =355 100v +55

Lo que da en el primer caso es 356. Y uno le pide que lediga ese nmero y entonces le dice lo siguiente: el nmero deveces que te gustara comer afuera por semana es 3 y tu edad es56. En el segundo caso, el resultado es 355. En esta situacin




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se le dice a su interlocutor el nmero de veces que te gusta-ra comer por semana es 3 y tu edad es 55.

Es decir, lo que hace el nmero 100v es justamente multi-plicar el nmero vpor 100, y agregarle luego el nmero 56 o bien55. Es como agregarle el nmero vdelante del nmero que es

el cumpleaos, por lo que queda as:

v56 o bien v55




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Re f lex iones y cur ios idade s

L g ic a c o t i d ia n a

Es muy comn que uno cometa errores de in terpretacin l -gicaen la vida cotidiana. Sganme en estos ejemplos.

1) Supongamos que un seor se encuentra en un ascensorcon dos seori tas y dice, mirando a una de ellas: Usted es muy

bonita.La otra mujer, tiene derecho a sentirse menos boni ta?

2) Si uno encuentra un cartel en un restaurante que dice:prohibido fumar los sbados, tiene derecho uno a suponer queen todos los otros das, salvo el sbado, se puede fumar?

3) ltimo ejemplo, pero siempre con la misma idea. Si enun colegio, un maestro dice: los lunes hay prueba, significa es-to que ningn otro da hay prueba?

Si uno analiza los tres casos, deduceque la otra mujer no

es tan bon it a. Y hace eso porque la afirmacin usted es muy bo-nita, cuando hay otra mujer en la habitacin, induce (equivo-cadamente) a pensar que la otra no lo es. Pero la afirmacin tie-ne como nica destinataria a la primera mujer, y nada se di cede la segun da.

De la misma forma, el hecho de que en el cartel se diga que


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lo tiene como un desafo, es una tarea de los docentes. Y no esslo un problema ut i l i tar io . No abogo por eso tampoco: no pre-tendo que alguien haga una lista de potencial es usospara con-vencer a la audiencia. No. Hablo de la magia de poder pensar,seducir mostrando lo que se ignora, desafiar a la mente.

Eso es lo que no tiene la matemtica: no tiene quin la de-fienda.




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4 . S O LU C I N A LA C O RRES PO N DEN CIAEN TRE LO S N M ERO S

N AT URA L ES Y LO S RA C IO N A LES P O SIT IV OS Y N EG A TIV OS

Al 0 le asignamos el 1

Al 1/1 le asignamos el 2Al -1/1 le asignamos el 3Al 1/2 le asignamos el 4Al -1/2 le asignamos el 5Al 2/1 le asignamos el 6Al -2/1 le asignamos el 7Al 2/2 le asignamos el 8Al -2/2 le asignamos el 9Al 3/1 le asignamos el 10Al -3/1 le asignamos el 11Al 3/2 le asignamos el 12Al -3/2 le asignamos el 13Al 3/3 le asignamos el 14Al -3/3 le asignamos el 15Al 4/1 le asignamos el 16Al -4/1 le asignamos el 17Al 4/2 le asignamos el 18Al -4/2 le asignamos el 19Al 4/3 le asignamos el 20Al -4/3 le asignamos el 21Al 4/4 le asignamos el 22Al -4/4 le asignamos el 23Al 5/1 le asignamos el 24Al -5/1 le asignamos el 25Al 5/2 le asignamos el 26Al -5/2 le asignamos el 27

y assucesivamente.




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5 . S O L U C I N A L P R O B LE M A D E U N P U N T O

E N U N S E GM E NT O

6 . S O L U C I N A L P R O B LE M A D E L A M O N E D A C A R G A D A

Supongamos que la probabilidad de que salga cara esp y laprobabilidad de que salga ceca es q.

Antes de escribir la solucin, analicemos qupasara si tirra-

mos esta moneda al aire dos veces seguidas. Cules son los re-sultados posibles?

1. Cara - Cara2. Cara - Ceca3. Ceca - Cara (*)4. Ceca - Ceca

Es decir, hay cuatro resultados posibles.Cul es la probabilidad de que salga (1) (o sea, cara-cara)? La

probabilidad ser igual ap . p =p2. Por qu? Ya sabemos que laprobabilidad de que salga cara la primera vez esp. Si ahora repe-timos el proceso, la probabilidad de que vuelva a salir cara, siguesiendop.Como estamos tirando la monedados veces seguidas, lasprobabilidades se multiplican y resulta (p . p) =p

2. (**) 44



44En realidad, si todava no se convencieron de este hecho (me refiero a que

hay que multi pli car las probabili dades), piensen en que la probabili dad est de-

finida como el cociente entre los casos favorab lessobre los casos posibl es. Y en

el caso del mi smo evento repetido dos veces, los casos favorablesse calculan en-

tonces,mu lti pli cando l os casos favorables por s mi smos. Y lo mismo sucede con

los casos posibl es, que se obtienen elevando los casos posibl es al cuadrado.

01.000.000.000.000

0

1.000.000.000


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el dimetro de la Tierra o el del Sol, necesita utilizar alguna unidadde medida. En cambio, si slo le importa hablarle de la relacin quehay entre ambos, basta con decirle cul es el cociente entre ambos.

Y este nmero s que es constante, independientemente de la uni-dad que se use para medirlo.

J ustamente, eso es lo que hace el mensaje: Tomar el dime-tro de la Tierra y dividirlo por el dimetro del Sol (1.392.000 kil-metros) (todos los datos son aproximados, obviamente). Ese co-ciente es aproximadamente 0,0092, que es el nmero que apareceen el mensaje (en realidad, el cociente es 0,00911034).

Por otro lado, si uno hace el cociente de los dimetros detodos los otros planetas con el dimetro del Sol, el nico nme-ro que da parecido a sees el de la Tierra. De esa forma, el men-saje es claro: Le est diciendo que lo mandamos desde aqu!

1 9 . S O LU CI N A L P RO BLEM A D EL N M ERO Q UE FA LTA(EN LO S T ES TS D E IN TELIG EN C IA )

El nmero que falta es el 215. Miren los nmeros que hay enla primera fila en la primera y tercera columna: 54 y 36. La sumade los dos exteriores (5 +6) =11. La suma de los dos interiores(4 +3) =7.

De esa forma, se obtuvo el nmero 117: juntando la suma delos dos exteriores con la de los dos interiores.

Pasemos a la siguiente fila y hagamos el mismo ejercicio. Losdos nmeros de la primera y tercera columna son: 72 y 28. Suman-do los dos exteriores (7 +8) =15 y sumando los dos interiores (2+2) =4. Luego, el nmero que va en el centro es 154.

Si uno sigue en la tercera fila, tiene 39 y 42. La suma de losdos exteriores (3 + 2) = 5 y los dos internos (9 + 4) = 13. Por lotanto, el nmero que va en el centro es 513.

Por ltimo, con este patrn, dados los nmeros 18 y 71, los

dos exteriores suman (1 +1) =2. Y los dos centrales (8 +7) =15.Corolario: el nmero que falta es 215.




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Apndice

Colum nas b ina r ia s*

1 33 65 97 129 161 193 225

3 35 67 99 131 163 195 227

5 37 69 101 133 165 197 229

7 39 71 103 135 167 199 231

9 41 73 105 137 169 201 233

11 43 75 107 139 171 203 235

13 45 77 109 141 173 205 237

15 47 79 111 143 175 207 239

17 49 81 113 145 177 209 241

19 51 83 115 147 179 211 243

21 53 85 117 149 181 213 245

23 55 87 119 151 183 215 247

25 57 89 121 153 185 217 249

27 59 91 123 155 187 219 251

29 61 93 125 157 189 221 253

31 63 95 127 159 191 223 255

* Las columnas continan en las pginas siguientes.


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2 34 66 98 130 162 194 226

3 35 67 99 131 163 195 227

6 38 70 102 134 166 198 230

7 39 71 103 135 167 199 231

10 42 74 106 138 170 202 23411 43 75 107 139 171 203 235

14 46 78 110 142 174 206 238

15 47 79 111 143 175 207 239

18 50 82 114 146 178 210 242

19 51 83 115 147 179 211 243

22 54 86 118 150 182 214 246

23 55 87 119 151 183 215 247

26 58 90 122 154 186 218 250

27 59 91 123 155 187 219 251

30 62 94 126 158 190 222 254

31 63 95 127 159 191 223 255

4 36 68 100 132 164 196 228

5 37 69 101 133 165 197 229

6 38 70 102 134 166 198 230

7 39 71 103 135 167 199 231

12 44 76 108 140 172 204 236

13 45 77 109 141 173 205 237

14 46 78 110 142 174 206 238

15 47 79 111 143 175 207 239

20 52 84 116 148 180 212 244

21 53 85 117 149 181 213 245

22 54 86 118 150 182 214 24623 55 87 119 151 183 215 247

28 60 92 124 156 188 220 252

29 61 93 125 157 189 221 253

30 62 94 126 158 190 222 254

31 63 95 127 159 191 223 255




233/474

8 40 72 104 136 168 200 228

9 41 73 105 137 169 201 233

10 42 74 106 138 170 202 234

11 43 75 107 139 171 203 235

12 44 76 108 140 172 204 23613 45 77 109 141 173 205 237

14 46 78 110 142 174 206 238

15 47 79 111 143 175 207 239

24 56 88 120 152 184 216 248

25 57 89 121 153 185 217 249

26 58 90 122 154 186 218 250

27 59 91 123 155 187 219 251

28 60 92 124 156 188 220 252

29 61 93 125 157 189 221 253

30 62 94 126 158 190 222 254

31 63 95 127 159 191 223 255

16 48 80 112 144 176 208 240

17 49 81 113 145 177 209 241

18 50 82 114 146 178 210 242

19 51 83 115 147 179 211 243

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21 53 85 117 149 181 213 245

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32 48 96 112 160 176 224 240

33 49 97 113 161 177 225 241

34 50 98 114 162 178 226 242

35 51 99 115 163 179 227 243

36 52 100 116 164 180 228 24437 53 101 117 165 181 229 245

38 54 102 118 166 182 230 246

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42 58 106 122 170 186 234 250

43 59 107 123 171 187 235 251

44 60 108 124 172 188 236 252

45 61 109 125 173 189 237 253

46 62 110 126 174 190 238 254

47 63 111 127 175 191 239 255

64 80 96 112 160 176 224 240

65 81 97 113 161 177 225 241

66 82 98 114 162 178 226 242

67 83 99 115 163 179 227 243

68 84 100 116 164 180 228 244

69 85 101 117 165 181 229 245

70 86 102 118 166 182 230 246

71 87 103 119 167 183 231 247

72 88 104 120 168 184 232 248

73 89 105 121 169 185 233 249

74 90 106 122 170 186 234 25075 91 107 123 171 187 235 251

76 92 108 124 172 188 236 252

77 93 109 125 173 189 237 253

78 94 110 126 174 190 238 254

79 95 111 127 175 191 239 255



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Dem oliendo pape rs

La trastienda de las publicaciones cientficasCOMPILADO POR DIEGO GOLOMBERK

Un m undo de horm igas ,

DE PATRICIAJ . FOLGARAIT Y ALEJ ANDRO G. FARJ I-BRENER

(segunda edicin)


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Siglo Veintiuno Editores

Portada d e Claudio Puglia y Mariana Nemitz

2006, Siglo XXI Editores Argentina S. A.

ISBN-10: 987-1220-64-2ISB N-13: 978-987-1220-64-9

Impreso en Artes Grficas Delsur

Almirante Solier 2450, Buenos Aires,

en el mes de noviembre de 2006

Hecho el depsito q ue marca la ley 11.723

Impreso en Argentina Made in Argentina

Paenza, Adrin

Matem tica... ests ah ? : sobre nmero s, persona jes, problema s y curiosi-

da des : episodio 2 - 1a ed. - Buenos Aires : Siglo XXI Ed itores Argen tina , 2006.

240 p. : il. ; 19x14 cm. (Ciencia q ue lad ra... d irigida por D iego G olombek)

ISBN 987-1220-64-2

1. Matem tica-Ensea nza . I. Ttulo

CDD 510.7


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ESTE LIBR O(y esta coleccin)

Existe un pas en el que un gato se va y nos deja su sonrisa derecuerdo, y en donde hay reinas de corazones que ordenan cor-tar cabezas sin parar y porque s. Es el pas en que los nmerosjuegan a las escondidas, y los ngulos internos de los tringulossuman bueno, lo que tengan que sumar dependiendo de lageometra que estemos considerando. Desde hace un tiempo y

gracias al pr imer l ibro de esta miniserie no necesitamos pasa-porte para entrar a ese pas y, como en el caso de la tierra delas maravillas, aqu tambin nos gua un matemtico.

En el camino, un milagro inesperado: un libro de divulgacincientfica se convierte en un xito editorial sin precedentesCmo explicarlo? Ser que de pronto al mundo comenzarona interesarle estos temas? Ser porque el autor es un conoci-do profesor y periodista? O ser, simplemente, que es un buenlibro? Por todo eso, Adrin Paenza nos ha acostumbrado consu primer M atemtica Ests ah?a discutir enigmas, a hacer-nos preguntas, a sorprender a otros lectores en el colectivohaciendo cuentas, uniendo puntos o sumergindose en los infi-nitos infinitos.

Para tranquilidad de los fanticos del primer libro, todavaquedan muchas historias por contar, muchos nmeros, perso-

najes, problemas y curiosidades para sorprendernos, y tambin



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paradojas como para pasarse una tarde dando vueltas a las ideas(y aqu es imprescindible recordar una maravillosa paradoja de

almacn: Hoy no se fa, maana s). El resultado es que lamatemtica sigue ah, en un encuentro cercano en el que nue-vamente nos gua Adrin Paenza (aunque, como bien dice elautor, si nos perdemos no es nada grave: la cuestin es ir encon-trando el camino solos). Un gua de lujo que nos invita a supe-rarnos, a jugar, a pensar y a deleitarnos con un conocimiento que,en el fondo, es de todos. Sigamos viajando, entonces. La mate-mtica ataca de nuevo!

Esta coleccin de divulgacin cientfica est escri ta por cien-tficos que creen que ya es hora de asomar la cabeza por fueradel laboratorio y contar las maravillas, grandezas y miserias de laprofesin. Porque de eso se trata: de contar, de compartir unsaber que, si sigue encerrado, puede volverse intil.

Cienci a que ladra no muerde, sl o da seales de quecabalga.

D IEGO GOLOMBEK




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Acerca del autor

Adrin Paenza [email protected]

Naci en Buenos Aires en 1949. Es doctor en Matemticas por la Uni-versidad de Buenos Aires, en la que se desempea actualmente comoprofesor asociado del Departamento de Matemtica de la Facultad deCiencias Exactas y Naturales. Es, adems, periodista. En la actualidadconduce el ciclo Cientfi cos In du stri a A rgent i na. Trabaj en las radiosms importantes del pas y en los cinco canales de aire de la Argenti-na. Fue redactor especial de varias revistas y colaborador en tres dia-rios nacionales: Clarn, Pgin a/ 12y La Nacin. Public en esta misma

coleccin M atemtica Ests ah?, que ya lleva ms de diez ediciones.



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medios de comunicacin. Ellos transformaron un libro de matemtica(nada menos) en un best seller y generaron una campaa gigantesca,impredecible e impagable, que rompi con todos los moldes y ti r abajocualquier precedente: construyeron un xito que entiendo es de ellos.A todos mis colegas, gracias!

A la comunidad matemtica, que tambin entendi esto como unacruzada, y me apabull con ideas, sugerencias, artculos, notas y de esaforma me il umin el camino. Nada de lo que estuvo escri to en el pr i-mer libro ni en lo que aparecer en ste (salvo mis opiniones persona-les) es una novedad para ellos: nada. Sin embargo, la monumental can-

tidad de correos electrnicos, papeles, cartas y conversaciones personalescon los que me ayudaron para la seleccin del material y la forma de pre-sentarlo escapa a mi posibilidad de agradecerles.

A Ernesto Tiffenberg, el director de Pgin a/ 12, quien con osada meinvit a que escribiera la contratapa del diario una vez por semanasobre lo que vos quieras. Muchas de las pginas de este libro, apare-cieron antes en mi querido diario.

A Pablo Coll, Pablo Milrud, Juan Sabia, Teresita Krick, Pablo Mislej,

Ricardo Durn, Ariel Arbiser, Oscar Bruno, Fernando Cukierman, JorgeFiora, Roberto M iatello, Eduardo Cattani, Rodrigo Laje, Matas Graa,Leandro Caniglia, Marcos Dajczer, Ricardo Fraimann, Lucas Monzn,Gustavo Stolovitzky, Pablo Amster, Gabriela Jernimo y Eduardo Dubuc:todos matemticos (menos Gustavo y Rodrigo), todos imprescindiblespara que este libro exista.

A todos mis alumnos, presentes y pasados, por lo que me ensearona lo largo del camino.

A Santiago Segurola, Alejandro Fabbri, Nelson Castro y FernandoPacini.

A todos quienes trabajan en Siglo XXI Editores, en particular a Vio-leta Collado y H ctor Benedetti, por el cuidado extremo que ponen paraprotegerme de mi s propi os errores.

Y por ltimo, a las mismas cuatro personas a quienes les dediquel libro anterior por su conducta tica irreprochable: M arcelo B ielsa,A l berto Kornbli ht t, Vctor H ugo M orales y H oracio Verbi tsky. Ellos

demuestran diariamente, que se puede!




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Los agujeros negros son los lugares del universo

en donde Dios dividi por cero.

STEVEN WRIGHT



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ndice

Prlogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Ensear a pensar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Los nmeros de la matemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Algunas curiosidades matemticasy cmo explicarlas (cuando se puede), 25.

Cmo mult ip l icarsi uno no sabe las tablas?, 29. Cmo d iv id i rsin saberlas tablas de multiplicar?, 35. Monedas en carretilla, 43. La historia de Goo-gle, 48. Los tests de inteligencia, 52. Sudoku, 57. Criba de Eratstenes, 64.Nmeros perfectos, 70. La vida en el infinito. Serie geomtrica y armnica,77. Primos en progresin aritmtica, 84. Luces encendidas, luces apagadasy modelos, 89. Cmo cuenta una computadora? (Nmeros binarios), 94.

Probabilidades, estimaciones, combinaciones

y contradicciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

La prueba que no se puede tomar, 105. Probabilidad de ganar el campeonatomundial para un equipo considerado favorito, 107. H erencia con infini tasmonedas, 109. Desfile y probabilidad, 113. Genoma y ancestros comunes,118. Matrices de Kirkman, 122.

Los problemas de la matemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Hay ms agua en el vino o vino en el agua?, 127. La historia de los cuatro



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sospechosos, 132. Problema de los recipientes de 3 y 5 litros respectivamente,135. Problema de pensamiento lateral (Eminencia), 137. Diez bolsas con diezmonedas, 139. Otro problema de sombreros, 141. Ruleta rusa, 142. Proble-

ma de las doce monedas, 144. Problema del viajante de comercio, 152.

La matemtica es un juego (o no?) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

Teora de Juegos. Estrategia (una defin icin), 161. 600 soldados, el gene-ral y la Teora de Juegos, 163. Dilema del prisionero, 165. La banda de Moe-bius. Un desafo a la intuicin, 168. Problema del tablero de ajedrez, 173.Truelo, 176. El juego del numerito, 178. Nmeros naturales consecutivos,181. Problema de los siete puentes de Knigsberg, 184. Polo Norte, 191. Fix-ture(a la Dubuc), 194. Palndromos, 206. Juego del 15, 213. Tringulo de Pas-cal, 218.

Eplogo. Las reglas del juego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235




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En se a r a p e n s a r

El mundo acadmico se nutre de la circulacin libre deinformacin. Cada uno aporta (literalmente) un granito de

arena, y as se hace cada ladrillo. A veces viene unNewton, un Einstein, un Bohr, un Mendel, y trae l solo

treinta ladrillos, pero en general es as: granito a granito.ANNIMO

M iguel H errera fue un gran matemtico argentino, directorde muchas tesis doctorales, en la Argent ina y tambin en el exte-rior. Lamentablemente, falleci muy joven. H errera se gradu enBuenos Aires y vivi muchos aos en Francia y los Estados Uni-dos, para luego retornar al pas, donde permaneci hasta sumuerte. Quiero aprovechar para contar una ancdota que vivcon l y que me sirvi para toda la vida.

Luego de graduarme como licenciado (a fines de 1969), estu-ve por unos aos fuera de la facultad trabajando exclusivamentecomo periodista. Una noche, en Alemania, ms precisamente enSindelfingen, donde estaba concentrado el seleccionado argen-tino de ftbol, coment con algunos amigos que al regresar al pas

intentara volver a la facultad para saldar una deuda que tena(conmigo): quera doctorarme. Quera volver a estudiar paracompletar una tarea que, sin la tesis, quedara inconclusa. Era ungran desafo, pero vala la pena intentarlo.

Dej por un tiempo mi carrera como periodista y me dedi-qu de lleno a la investigacin y a la docencia en matemtica.Luego de un concurso, obtuve un cargo como ayudante de pri -

mera con dedicacin exclusiva, y eleg como tutor de tesis doc-



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toral a ngel Larotonda, quien haba sido mi director de tesisde licenciatura. Pucho (as le decamos a Larotonda) tena

much simos alumnos que buscaban doctorarse. Entre tantos,recuerdo los nombres de Miguel ngel Lpez, Ricardo Norie-ga, Patricia Fauring, Flora Gutirrez, Nstor Bcari, EduardoAntn, Gustavo Corach y Bibiana Russo.

Doctorarse no era fcil. Requera (y requiere) no slo apro-bar un grupo de materias sino, adems, escribir un trabajo ori-ginaly someterlo al referato de un grupo de matemticos para suevaluacin. La tarea del tutor es esencial en ese proyecto, no slopor la gua que representa, sino porque lo habitual es que sea l(o ella) quien sugiera al aspirante el problema a investigar y, even-tualmente, resolver.

La situacin que se gener con Pucho es que ramosmuchos,y era muy difci l que tuviera tan tos problemas para resolver, y quepudiera comparti rlos con tantos aspirantes. Recuerdo ahora quecada un onecesitaba un probl ema para s. Es decir que cadauno deba trabajar con suproblema. La especialidad era Topo-loga Diferencial. Cursbamos materias juntos, estudibamos jun-tos, pero los problemas no aparecan .

Algo nos motiv a tres de los estudiantes (Bcari, Antn y yo)a querer cambiar de tutor. No se trataba de ofender a Laroton-da, sino de buscar un camino por otro lado. Noriega ya habaoptado por trabajar con el increble Luis Santal y nosotros,

empujados y estimulados por lo que haba hecho Ricardo, deci-dimos cambiar tambin. Pero a quin recurrir? Quin tendraproblemas para compartir? Y en qu reas? Porque, ms allde que alguien quiera y posea problemas para sus estudiantes,tambin importa el tema: no todos son igualmente atractivos, ycada uno tena sus inclinaciones part iculares, sus propios gustos.Sin embargo, estbamos dispuestos a empezarde cero, si logr-

bamos que alguien nos sedujera.




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As fue como apareci en nuestras vidas Miguel Herrera,quien recin haba vuelto al pas despus de pasar algunos aos

como investigador en Francia. Reconocido internacionalmentepor su trabajo en Anlisis Complejo, sus contribuciones habansido altamente festejadas en su rea. M iguel haba formado partedel grupo de matemticos argentinos que emigraron luego delgolpe militar que encabez Juan Carlos Ongana en 1966, y sefue inmediatamente despus de la noche infame de los bastoneslargos. Sin embargo, volvi al pas en otro momento terrible, por-que coincida con otro golpe militar

,esta vez el ms feroz de

nuestra historia, que someti a la Argentina al peor holocaustodel que se tenga memoria.

Pero vuelvo a Herrera: su retorno era una oportunidad paranosotros. Recin haba llegado y todava no tena alumnos. Lofuimos a ver a su flamante oficina y le explicamos nuestra situa-cin. Miguel nos escuch con atencin y, tpico en l, dijo: Ypor qu no se van al exterior? Por qu se quieren quedar accon todo lo que est pasando? Yo puedo recomendarlos a dis-tintas universidades, tanto en Francia como en los Estados Uni-dos. Creo que les conviene irse.

M e parece que fui yo el que le dijo: M iguel, nosotros esta-mos ac y no nos vamos a ir del pas en este momento. Que-remos preguntarte si tens problemas que quieras compartir connosotros, para poder doctorarnos en el futuro. Sabemos muy

poco del tema en el que sos especialista, pero estamos dis-puestos a estudiar. Y en cuanto a tu asesoramiento y tutora,hac de cuenta que somos tres alumnos franceses, que l legamosa tu oficina en la Universidad de Pars y te ofrecemos que seasnuestro director de tesis. Qu nos vas a contestar? Vyansede Pars?.

H errera era el profesor t itular de Anlisis Complejo. Al poco

tiempo, Antn, en su afn de converti rse en crt ico de cine y rbi-

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tro de ftbol (entre otras cosas), decidi bajarse del proyecto,pero Nstor Bcari (a partir de aqu Quiqun, su sobrenom-

bre) y yo fuimos nombrados asistentes de Herrera y jefes de tra-bajos prcticos en la materia que dictaba. Si uno qu iere aprenderal go, ti ene que comprometerse a ensearlose fue nuestro pr i-mer contacto con nuestro director de tesis. Empezamos por elprincipio. La mejor manera de recordar lo que habamos hechocuando tuvimos que cursar Anlisis Complejo (y aprobarla, claro)era tener que ensearla. Y as lo hicimos.

Pero Quiqun y yo queramos saber cul sera el trabajo dela tesis, el problema que deberamos resolver, H errera, pacien-te, nos deca que no estbamos an en condiciones de entenderel enu nciado, y ni hablar de tratar de resolverlo. Pero nosotros,que venamos de la experiencia con Pucho, y nunca logrba-mos que nos diera el problema, qu eramos saber.

Un da, mientras tombamos un caf, Herrera abri un libroescri to por l, nos mostr una frmula y nos dijo: ste es el pri-mer problema para resolver. H ay que generalizar esta frmula.se es el primer trabajo de tesis para alguno de ustedes dos.

Eso sirvi para callarnos por un buen tiempo. En realidad,nos tuvo callados por mucho tiempo. Es que salimos de la ofi-cina donde habamos compartido el caf y nos miramos con Qui-qun, porque no entendamos nada. Despus de haber esperadotanto, de haber cambiado de director, de cambiar de tema, de

especialidad, de todo, tenamos el problema, s pero no enten-damos ni siquiera el enunciado. No sabamos ni entendamoslo que tenamos que hacer.

sa fue una leccin. El objetivo entonces fue hacer lo posi-ble, estudiar todo lo posible para en tender el probl ema. Claro,H errera no nos dejara solos. No slo ramos sus asistentes enla materia para la licenciatura que dictaba sino que, adems,

nos provea de material constantemente. Nos traa papersescri-




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tos por l o por otros especialistas en el tema, y trataba de queempezramos a acostumbrarnos a la terminologa, al lengua-

je, al tipo de soluciones que ya haba para otros problemas simi -lares. En definitiva, empezamos a meternos en el submundo delAnlisis Complejo. Por un lado, dbamos clases y aprenda-mos casi a la par de los alumnos. Resolvamos las prcticas yleamos tanto como podamos sobre el tema. Adems avanz-bamos por otro lado, e bamos acumulando informacin al pasoque l nos indicaba.

Quiqun fue un compaero fabuloso. Dotado de un talentonatural, vea todo mucho antes que yo, y fue una gua imposi-ble de reemplazar. Yo, menos preparado, con menos facilidad,necesitaba de la constancia y la regularidad. Y se era y fue miaporte a nuestro trabajo en conjunto: l pona el talento y la crea-tividad; yo, la constancia y la disciplina. Todos los das, nosencontrbamos a las ocho de la maana. No haba das de fro,ni de lluvia, ni de calor, ni de resaca de la noche anterior: tena-mos que estar a las ocho de la maana sentados en nuestra ofi-cina, listos para trabajar! Para m, que tena auto, era mucho msfcil. Quiqun vena de ms lejos y tomaba uno y, a veces, doscolectivos.

Lo que siempre nos motivaba y nos impulsaba era que a lasocho, cuando recin nos habamos acomodado, alguiengolpea-ba sistemticamente a la puerta. Miguel vena todos los das a

la facultad a ver qu habamos hecho el da anterior: qu difi-cultades habamos encontrado, qu necesitbamos. As cons-truimos una relacin cotidiana que nos sirvi para enfrentarmuchas situaciones complicadas y momentos de dificultad en losque no entendamos, no nos sala nada y no podamos avanzar.Encontrarnos todos los das, siempre, sin excepciones, nos per-miti construir una red entre los tres que nos sir vi de apoyo

en todos esos momentos de frustracin y fastidio.

M A T E M T I C A E S T S A H ? E P I S O D I O 2 21



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El problema estaba ah. Ya no haba que preguntarle msnada a H errera. Era nuestra responsabil idad estudiar, leer, inves-

tigar, preocuparnos para tratar de entender. Con Quiqun siem-pre confiamos en M iguel, y l se gan nuestro reconocimiento nopor la prepotencia de su prestigio, sino por la prepotencia de sutrabajo y su constancia. Miguel estuvo ah todos los das.

Una maana, de las centenares que pasamos juntos, mientrastombamos un caf, nos miramos con Quiqun y recuerdo quenos quedamos callados por un instante. Uno de los dos dijo algoque nos hizo pensar en lo mismo: acabbamos de entender elenunciado! Por primera vez, y a ms de un ao de habrseloescuchado a Miguel, comprendamos lo que tenamos que hacer.De ah en adelante, algo cambi en nuestras vidas: habamosentendido! L o destaco especialmente porque fue un da muy felizpara los dos.

Un par de meses ms tarde, un da cualquiera, sbitamentecremos haber encontrado la solucin a un problema que losmatemticos no podan resolver haca ya siglos. No era posi-ble! Tenamos que estar haciendo algo mal, porque era muy pocoprobable que hubiramos resuelto una situacin que los exper-tos de todo el mundo investigaban desde tanto tiempo atrs. Erams fcil creer (y lo bien que hicimos) que estbamos haciendoalgo mal o entendamos algo en forma equivocada, antes quepensar que pasaramos a la inmorta l idaden el mundo de la

matemtica. Pero no podamos darnos cuenta del error!Nos despedimos esa noche, casi sin poder aguantar hasta el

da siguiente, cuando llegara Miguel. Lo necesitbamos paraque nos explicara dndeestaba nuestro error. Por la maana,Miguel golpe a la puerta como siempre, y nos atropellamospara abri rle. Le expl icamos lo que pasaba y le pedimos que nosdi jera dnde nos estbamos equivocando. Entrecerr los ojos y

sonriente dijo: Muchachos, seguro que est mal. No fue una




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novedad; nosotros sabamos que tena que estar mal. Y comen-z a explicarnos, pero nosotros le refutbamos todo lo que

deca. Escriba en el pizarrn con las ti zas amaril las con las quesiempre nos ensucibamos las manos, pero no haba forma.Peor an: Miguel empez a quedarse callado, a pensar. Y sesent en el sof de una plaza que haba en la oficina. Tom sulibro, el libro que lhaba escrito, ley una y otra vez lo quel haba i nventadoy nos dijo, lo que para m sera una de lasfrases ms iluminadoras de mi vida: No ent i endo. Y se hizoun silencio muy particular.

Cmo? Mi

matemática, estás ahí - i y ii - adrian paenza

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