2 electrostática en el vacío 2 -...

Electromagnetismo 2018

2 – Electrostática en el vacío 2

Electromagnetismo 2018 Plan de la clase:

Electrostática en el vacío 2 1 – Conductores y dieléctricos. Introducción 2 – Campo electrostático en conductores 3 – Puesta a tierra 4 – Problemas de potencial 5 – Laplace. Separación de variables 6 – Laplace. Método de imágenes

2

Electrostática en el vacío 2 1 – Conductores y dieléctricos. Introducción conductores: existen portadores de carga libres que se mueven sin esfuerzo ante cualquier campo eléctrico aplicado. Transportan corriente eléctrica.

dieléctricos o aisladores: las partículas cargadas están fuertemente unidas entre sí y un campo aplicado sólo puede desplazarlas levemente de sus posiciones de equilibrio (o sea, sin campo). No transportan corriente eléctrica. Se vuelven conductores para campos intensos que producen ruptura dieléctrica.

Campo electrostático en conductores

• El campo electrostático es nulo dentro del conductor.

Como dentro del conductor hay partículas cargadas libres, si hubiera campo estas partículas se moverían y la situación no sería electrostática:

dentro del conductor.

• No existe densidad de carga volumétrica en el interior de un conductor. Como el campo dentro del conductor es cero:

dentro del conductor.

Estas dos propiedades llevan a que la presencia de un campo en la región donde se halla un cuerpo conductor (cargado o descargado) haga que rápidamente las partículas cargadas de su interior se distribuyan sobre su superficie.

( ) 0E r

0( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0 E r E r r r

Electrostática en el vacío 2 2 – Campo electrostático en conductores • Las líneas de campo electrostático exteriores son normales a las super-

ficies conductoras.

El campo exterior sobre la superficie del conductor se puede descomponer en una componente normal y otra tangencial a la superficie. La componente tangencial produciría fuerzas y movimiento en las partículas cargadas en la superficie del conductor. Como esto no es posible en una situación electrostática, la componente tangencial debe ser nula. No hay restricción sobre la componente normal debido a que las partículas cargadas no pueden atravesar la superficie (para campos no demasiado intensos) por la existencia de una barrera de potencial entre el sólido y su ambiente.

• Como las líneas de campo son perpendiculares a la superficie del conduc-tor en todo punto, la superficie de un cuerpo conductor es una superficie equipotencial.

• Como además en todo el interior del conductor no hay campo, no hay diferencia de potencial entre dos pares de puntos cualesquiera del conductor. Todo el cuerpo conductor es un volumen equipotencial.

Electrostática en el vacío 2 Campo electrostático en conductores

• Carga inducida. La redistribución de las cargas sobre la superficie de un conductor frente a un campo aplicado es un caso de inducción electros-tática.

• La distribución de carga superficial es proporcional punto a punto al valor del campo eléctrico en ese punto:

• El módulo del campo sobre la superficie de cuerpos conductores depen-de del radio de curvatura local, siendo más intenso en las puntas (menor radio de curvatura).

3 – Puesta a tierra Noción de tierra o masa: un conductor con una capacidad infinita de transfe-rencia de carga, al que adjudicamos la referencia del potencial. Sea un cuerpo conductor cargado con carga Q y cuyo potencial es Φ. Al “conectar” a tierra este conductor, casi instantáneamente queda a potencial cero y su carga se modifica para reflejar esta nueva condición.

0ˆ( ) ( ) ( ) r E r n r

Electrostática en el vacío 2 Puesta a tierra

Se esquematiza la tierra como un cuerpo de interfase plana que está a potencial cero. Un cuerpo conductor que no se halla en contacto con ningún otro cuerpo ni con la tierra (hablamos entonces de un cuerpo aislado) tiene una carga Q y un potencial (respecto de la referencia, que es la tierra).

Si conectamos a este cuerpo conductor con la tierra (la conexión significa el contacto directo o a través de un conductor intermedio –en la figura un alambre), su potencial se convierte en el de tierra. A la derecha se presenta el símbolo convencional de conexión a tierra.

Cuál es la nueva carga que presenta el conductor, ahora “a tierra”?

• Si no existen otras fuentes de campo, el conductor se descarga (Q’ = 0).

• Si existen otras fuentes de campo, habrá eventualmente líneas de campo que nacen o mueren en la superficie del conductor. La nueva distribución de carga en el conductor debe llevar a que su potencial sea cero.

Electrostática en el vacío 2 4 – Problemas de potencial La forma diferencial de la ley de Gauss en el vacío lleva a la ecuación de Poisson:

Para puntos del espacio donde no hay carga, vale la ecuación de Laplace:

Estas ecuaciones diferenciales tienen infinitas soluciones. La aplicación a un problema concreto requiere utilizar condiciones de contorno que permiten llegar a una solución única para el problema.

Hablaremos entonces de un problema de potencial, en el cual tenemos un recinto V con superficie frontera S y eventualmente dividido en subregiones Vi de propiedades diferentes, separadas por superficies frontera Si. En cada subregión se cumple una ecuación de Poisson:

2

0 0

( ) ( )( ) ( ) ( )

r rE r r r

2 ( ) 0 r

iii Vgf rrr )()(2

Electrostática en el vacío Problemas de potencial

Las funciones fi cumplen condiciones de contorno (o con-diciones de borde o condiciones de frontera) en las super-ficies frontera entre subregiones y la frontera global. Estas condiciones de contorno pueden ser de dos tipos:

• se conocen los valores de las funciones sobre los puntos frontera (condiciones de Dirichlet):

• se conocen los valores de las derivadas normales de las funciones sobre los puntos frontera (condiciones de Neumann):

Problema de Dirichlet, problema de Neumann o problema mixto.

Sobre un punto frontera se debe establecer sólo una de estas condiciones de contorno. De otra forma, el problema es sobredeterminado y posiblemente sin solución que satisfaga ambas condiciones en un mismo punto.

iii Vgf rrr )()(2

iii Sff rrr )()( 0

iii Sfn

f

rr

r)(

)(1

Electrostática en el vacío Propiedades de las soluciones de un problema de potencial

• Unicidad: La solución de un problema de potencial es única.

Si f1(r) y f2(r) satisfacen la ec. de Poisson dentro de un recinto V y cumplen las condiciones de borde del problema en estudio sobre el contorno del recinto (valor del potencial o de su derivada normal), sólo pueden diferir en una constante aditiva:

• Superposición

Si f1(r) y f2(r) satisfacen la ecuación de Laplace en una determinada región del espacio, también la satisface cualquier combinación lineal:

• Armonicidad (teorema de Earnshaw)

No existe equilibrio estable para una partícula cargada en un recinto del espacio donde el potencial electrostático cumpla la ecuación de Laplace.

• Teorema del valor medio del potencial electrostático:

El potencial en un punto cualquiera r0 del espacio es el promedio de los potenciales sobre una esfera con centro en r0 y radio cualquiera, que no encierre carga alguna.

1 2( ) ( )f f C r r

1 1 2 2 ( ) ( ) ( )f f r r r

Electrostática en el vacío 5 – Laplace. Separación de variables Una forma de hallar una solución posible de la ec. de Laplace es suponer que el potencial es el producto de funciones que dependen de una única variable de posición. Este es el método de separación de variables.

Cartesianas:

Postulo:

y dividimos toda la ecuación por :

donde las k’s son constantes de separación.

Quedan tres ecuaciones diferenciales ordinarias:

2 2 22 2

2 2 2( ) ( , , ) 0x y z

x y z

r

2 2 2

2 2 2( , , ) ( ) ( ) ( ) 0

d X d Y d Zx y z X x Y y Z z YZ XZ XY

dx dy dz

2 2 22 2 2

2 2 2

1 1 10 x y z

d X d Y d Zk k k

X dx Y dy Z dz

XYZ

2 2 22 2 2

2 2 20 , 0 , 0x y z

d X d Y d Zk X k Y k Z

dx dy dz

Electrostática en el vacío Laplace. Separación de variables. Cartesianas Quedan tres ecuaciones diferenciales ordinarias:

con soluciones:

La elección de signos en las constantes de separación depende de las condicio-nes de borde del problema.

2 2 22 2 2

2 2 20 , 0 , 0x y z

d X d Y d Zk X k Y k Z

dx dy dz

0 para

0 para )cosh()senh()(

0 para

0 para )cos()sen()(

0 para

0 para )cos()sen()(

21

2121

21

2121

21

2121

z

zzzzzkzzk

y

yyyyyikyyik

x

xxxxxikxxik

kCzC

kzkCzkCeCeCzZ

kByB

kykBykBeBeByY

kAxA

kxkAxkAeAeAxX

Electrostática en el vacío Laplace. Separación de variables. Cartesianas Ejemplo: Una región 2D del espacio de base d y longitud infinita se halla limita-da por conductores a los potenciales indicados. Determinar el potencial dentro

de la región.

Dentro de la región se cumple la ecuación de Laplace:

Las condiciones de borde son:

Postulamos la solución:

con:

Como es un problema bidimensional, hay una sola constante de separación, ya que:

Elegimos la solución exponencial sobre x, ya que el potencial debe decaer a medida que x .

Entonces la solución para y debe ser en funciones trigonométricas (o exponenciales de exponentes imaginarios puros).

.

0)(2 r

0 :,0

:0,0 0

dyy

dyx

1 2 1 2( ) , ( ) sen( ) cos( )kx kxX x Ae A e Y y B ky B ky

)()(),( yYxXyx

kkkkk yxyx 022

Electrostática en el vacío Laplace. Separación de variables. Cartesianas

Ejemplo (cont.):

con:

Como para , el coeficiente A1 debe anularse. Tenemos así:

Ahora debemos elegir las constantes para satisfacer las otras condiciones de borde.

Para

Para

con n entero. Hay entonces infinitas soluciones del tipo:

de manera que, aplicando la propiedad de superposición de las soluciones de la ecuación de Laplace podemos escribir en general:

1 2 1 2

0

( , ) ( ) ( )

( ) ; ( ) sen( ) cos( )

0, 0 :

0, : 0

kx kx

x y X x Y y

X x A e A e Y y B ky B ky

x y d

y y d

)cos()sen(),( 21 kyCkyCeyx kx

( , ) 0x x y

2 20 ( ,0) 0 0kxy x C e C

1( , ) sen 0kxy d x d C e kd k n d

( , ) sen

nx

dn n

nx y C e y

d

0

( , ) senn

xd

n

n

nx y C e y

d


Ejemplo (cont.):

Nos queda aplicar la última condición de borde:

con:

Para ello usamos la ortogonalidad de las funciones seno:

Luego:

y tenemos:

0

0

(0, ) sen para 0n

n

ny C y y d

d

0

0 si sen sen

2 si

d m nn my y dy

d m nd d

0

0 para par

sen 1 cos 2para impar

d mm d

y dy m dd m m

m

y :

00

00 0

sen 1 cos sen sen2

d d

n m

n

dm n m dy dy m C y y dy C

d m d d

0

0

0 para m par21 cos( )

4 para m imparmC m

mm

0

( , ) senn

xd

n

n

nx y C e y

d


Ejemplo (cont.): Finalmente:

expresión que es un desarrollo en serie de Fourier en función de y. En la gráfica se presentan los términos del desarrollo para n = 0, 1, 2,..,5 y la suma (en rojo) de estos términos, que dan el potencial en x = 0.

Se ve que, a medida que se suman más términos, la función tiende a la forma de un pulso de altura 0 y ancho d. En los puntos de discontinuidad de la función original se observa una oscilación conocida como fenómeno de Gibbs. Esta oscilación, que surge de aproximar una función discontinua por funciones continuas, disminuye al aumentar el número de términos de la serie tomados.

Para valores de x > 0, las amplitudes de los términos de la serie de Fourier decaen exponencialmente.

•

y :

(2 1)

0

0

4 (2 1)( , ) sen

(2 1)

nx

d

n

nx y e y

n d

Electrostática en el vacío 6 – Laplace. Método de imágenes • Las propiedades de unicidad y superposición de las soluciones de un problema de

potencial llevan al desarrollo del método de imágenes que se utiliza para resolver problemas de potencial con conductores extensos con condiciones de simetría.

• Cuando un cuerpo conductor extenso se encuentra en una región donde existe campo, su carga libre se redistribuye para anular el campo en su interior. Esto da origen a un nuevo campo (campo inducido) que altera las líneas de campo del campo original. Como sabemos, las líneas de campo deben ser perpendiculares a la superficie del cuerpo conductor, que es una equipotencial.

• En general, la distribución de carga superficial sobre el conductor es de determinación muy difícil, lo que a su vez dificulta la resolución del problema original.

• En ciertos casos, con geometrías sencillas, el potencial resultante fuera de los conductores se puede obtener reemplazando la/s superficie/s conductora/s por un conjunto de cargas ficticias (cargas imagen) que, junto con las cargas verdaderas, dan el mismo potencial en las regiones no conductoras que el correspondiente a la configuración original.

y :

Electrostática en el vacío Laplace. Método de imágenes

Tal método es posible porque la solución de un problema de potencial es única. Por lo tanto no importa el método usado para obtener tal solución, siempre que satisfaga la ecuación de Poisson para el potencial electrostático en todo punto del espacio y cumpla las condiciones de borde sobre las superficies interfases. En particular, toda solución debe cumplir las siguientes condiciones generales:

• Las superficies de los conductores son superficies equipotenciales con potencial definido.

• El interior de los cuerpos conductores tiene el mismo potencial que su superficie.

• Las líneas de campo en el exterior de los cuerpos conductores deben ser normales a las superficies de estos cuerpos.

• En las interfases entre dieléctricos se debe conservar el potencial y su derivada normal.

La técnica consiste en colocar las cargas imagen de valor y posición adecuados para reproducir las condiciones de contorno prescriptas sobre las superficies conductoras e interfases dieléctricas suponiendo que éstas no estuvieran. La solución obtenida es válida solamente fuera de los volúmenes ocupados por los

conductores.

y :


Ejemplo: Sean dos cargas puntuales de valor q y -q, colocadas sobre el eje x y separadas en una distancia d.

La figura muestra las líneas equipotenciales (que son las trazas sobre el plano del dibujo de las superficies equipotenciales) y las líneas de campo (abiertas –parten de la carga positiva y llegan a la carga negativa).

En particular, observemos la equipotencial x = 0

( = 0, en rojo). Esta línea corresponde al plano equipotencial yz. Si ahora reemplazamos la carga negativa por un plano conductor conectado a tierra, la carga positiva genera una distribución de carga inducida negativa sobre el plano, ya que las líneas de campo que parten de la carga deben terminar sobre la superficie del plano (que es de extensión infinita).

y :


Ejemplo (cont.):

Vemos entonces que la situación (para x > 0) es equivalente al caso de las dos cargas, ya que ambos problemas cumplen, como es obvio, la ecuación de Laplace salvo en la posición de las cargas puntuales y sobre la superficie del plano conductor, y las mismas condiciones de contorno, ya que el plano es la superficie equipotencial = 0.

Por ello, una vez establecida la equivalencia de ambos problemas, se la usa para resolver en forma sencilla la configuración más difícil: una carga enfrentada a un plano conductor, y se reemplaza el plano conductor por una hipotética carga de signo opuesto al de la carga original (carga imagen). Finalmente se halla el potencial y el campo producido por las dos cargas en el semiespacio donde está la carga original. Esto permite calcular la distribución de carga sobre el plano.

y :


Ejemplo (cont.):

Elegimos una terna cartesiana con su eje z normal al plano interfase. Las cargas real e imagen producen el potencial en un punto cualquiera del espacio superior:

donde:

Se ve que Φ (z = 0) = 0, lo que satisface la condición de borde del problema original.

Se puede obtener el campo calculando el gradiente del potencial:

y :

0 1 0 2 0 1 2

1 1( ) 0

4 4 4

Q Q Qz

r r r r

r

222

2,1 )(ˆ dzyxdr zr

1 2

3/2 3/23 3 2 2 2 2 2 20 1 2 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )( ) ( ) 0

4 4 ( ) ( )

Q Q x y z d x y z dE z

r r x y z d x y z d

r r x y z x y zr r


Ejemplo (cont.):

Para z = 0 el campo es puramente verti-cal. En la figura se esquematizan las equipotenciales y líneas de campo para el conjunto de carga original + semies-pacio conductor. Las líneas de campo son perpendiculares a la superficie interfaz, donde se induce una carga.

La densidad de carga inducida sobre la interfaz surge de la expresión:

y se obtiene:

1 2

3/2 3/23 3 2 2 2 2 2 20 1 2 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )( ) ( ) 0

4 4 ( ) ( )

Q Q x y z d x y z dE z

r r x y z d x y z d

r r x y z x y zr r

0ˆ( ) ( ) ( ) r E r n r

2 2 2

0 3/22 2

( , ) ( , , 0) ;2

Q dx y E x y z x y

d

Electrostática en el vacío Laplace. Método de imágenes Ejemplo (cont.):

La densidad de carga inducida sobre la interfaz es negativa porque el campo y la normal a la superficie gaussiana tienen sentidos opuestos, independientemente del "signo" del campo mismo (que en nuestro referencial es negativo porque apunta en el sentido de –z). Tiene un valor absoluto máximo para ρ = 0 (origen de coordenadas) igual a y cae

a medida que nos alejamos del origen, como se muestra en la figura.

La carga total inducida sobre el plano es:

valor que coincide con el de la carga imagen.

2(2 )Q d

3 2

2 20 0

( , ) 2 ( )ind

S

dq x y dS d Qd Q

d

2 2 2

0 3/22 2

( , ) ( , , 0) ;2

Q dx y E x y z x y

d

Electrostática en el vacío Laplace. Método de imágenes Ejemplo (cont.):

La carga total inducida sobre la interfaz es igual a la carga imagen. Su presencia lleva a la anulación del campo en el interior del conductor.

Podemos calcular también la fuerza que ejerce el plano sobre la carga. Este tipo de cálculo es de interés para analizar la adhesión de gotas cargadas a un papel (conectado a tierra) en xerografía, impresión por chorro de tinta, pintura por dispersión, etc. Debe entenderse que el cálculo en este ejemplo es sólo una primera aproximación al problema.

La fuerza sobre la carga Q es entonces:

que coincide con el valor de la fuerza coulombiana entre Q y su imagen. La fuerza es siempre atractiva. Este resultado es válido cuando la gota se halla lejos del papel.

Q

d

ddQddSyxq

S

0

2/322

0

)(2),(

Éste es un ejemplo donde un conductor a potencial de referencia posee una distribución de carga.

2

2

0

( 0, )16

QQ x y z d

d F E

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