Combinacin Lineal

Un vector es combinacin lineal de los vectores del conjunto = ; ; ;

si existen los escalares , ,,tales que:

= + ++

1

Ejercicio: = (; ; ) es CL del conjunto de vectores ={(1;1;1),(1;1;0),(1;0;1)} ?

Vectores Linealmente Independientes y Linealmente Dependientes

Un conjunto de vectores = ; ; ; es Linealmente Independiente (LI)si la nica combinacin lineal que define al vector nulo es aquella donde los

escalares: ,, son todos iguales a cero.

Es decir: + ++ = con = ; ; ; : =

Un conjunto de vectores = ; ; ; es Linealmente Dependiente (LD)

si existe un 0, con = 1; 2; ; # tal que: + ++ = 0

2

Ejercicios

es Linealmente Independiente (LI) o Linealmente Dependiente (LD)?a) = {(1;1;1),(1;1;2),(1;3;1)}

b) = {(3;2;3),(0;2;4),(6;6;10)}

3

Conexin entre CL, LI, LD y los SEL

El planteo

analtico para

analizar si

existe o no

CL

Equivale a un

sistema de

ecuaciones

lineales

El planteo

analtico para

analizar si el

conjunto de

vectores es

LI LD

Equivale a un

sistema de

ecuaciones

lineales

homogneo

4

Vectores - Producto escalar

Definicin:

Producto escalar:

Sean dos vectores $ y %de , se define el producto escalar:

$. = $ . . cos+

donde: + = #-($; )

Propiedades:

1)

2)

3)

4)

5)

5

Ejercicios

1) Calcular: $. si $ = 2, = 4 y el ngulo entre ellos es + =/

0

2) Si $ = (3; 0) y = (4; 4), calcular: $.

3) Hallar $ si $. = 2 2, el ngulo entre ellos es + =0/

2y = 4

4) Demostrar: $ + + $ = 2 $ + 2

6

Vectores - Producto escalar

La frmula de clculo del producto escalar en funcin de las componentes de los vectores, es:

En :

$. = ($; $) . ; = $ + $ En 0:

$. = ($; $; $0) . ; ; 0 = $ + $ + $00 En :

$. = ($; $; ; $) . ; ; ; = $ + $ ++ $

Es decir:

El producto escalar, se puede calcular como:

Ejercicios:

a) $. = 3; 2 . 4; 5 =

b) $. = 1; 2; 5 . 3; 0; 5 =

c) $. = 1; 2; 3; 2 . 4; 1;3;7 =7

Vectores - Producto escalar

Frmula para calcular el ngulo

entre dos vectores:

Datos: $ y

Deduccin:

Del producto escalar (definicin

geomtrica):

$. = $ . . cos+

Vectores ortogonales (Condicin

analtica ):

Datos: $ y

(distintos del vector

nulo)

Deduccin:

Del producto escalar (definicin

geomtrica):

$. = $ . . cos+

$

+

$

90

8

Ejercicio: Del TP, ej. 18.7, Hallar todos los vectores:

18.7.1) Ortogonales al vector $ = 1; 2 de norma 9. Es nico?

18.7.6) Paralelos al plano coordenado (xz) que forman un ngulo

de 60 con 89

9

A partir del producto escalar entre dos vectores $ y , se define:

1) Proyeccin escalar del vector $ sobre la direccin del vector

2) Longitud de proyeccin escalar del vector $ sobre la direccin del vector

3) Vector proyeccin del vector $ sobre la direccin del vector

4) Componente ortogonal del vector $ sobre la direccin del vector

u

v

Proyecciones ortogonales de un vector sobre la direccin de

otro vector

10

Deduccin:

Proyeccin Escalar

11

Deduccin:

Vector Proyeccin

12

Deduccin:

Componente Ortogonal

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Vectores - Ejercicio

Sea el vector $ = (3; 3; 3). Hallar la proyeccin escalar de $ sobre = (1; 1; 0). Luego, obtener el vector proyeccin y la componente ortogonal de $ sobre

z

x

yO

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Vectores

Llegados a este punto, debe realizar las siguientes TAREAS:

Leer del material terico: Captulo 1: lgebra Vectorial del libro Nociones deGeometra y lgebra Lineal de Kozak y otros, Editorial Mc Graw Hill, Bs. As., 2007,2010, los siguientes apartados: Seccin 1.2 hasta el apartado 1.2.2.2 inclusive

(pginas 26 a 37).

Resolver del TP, como mnimo, los siguientes ejercicios:

(8) 1,2, 5, 6, 7, 10 y 12, (9.1) 3 y 4, (9.2) 2 y 4 , (10), (11.1) 1 y 3, (12) 1 y 6, (18) 5, (18.7)

2,4 y 7

Sugerimos que:

Organice su tiempo de estudio para favorecer un aprendizaje progresivo.

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