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7/21/2019 2 2011 Apcn10 Algebra II Usach

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APUNTES DE ALGEBRA LINEAL MARCEL SAINTARD VERA

SEGUNDO SEMESTRE 2011

Para Curso LGEBRA II- USACH Material N10

1

3.0.- Transformaciones Lineales. En esta ltima unidad, estudiaremos un tipo de funcionesvectoriales; esto es, funciones que se aplican a vectores de un cierto espacio vectorial

para obtener vectores de otro espacio o del mismo. Concretamente, estudiaremos

funciones F: V

W, que al transformar un vector de Ven otro de W respetan una

correspondencia entre las operatorias de ambos espacios vectoriales. Al transformar la

suma de dos vectores de V, se obtiene la suma en W de los transformados de losvectores de V; Al transformar un vector ponderado en V, se obtendr el ponderado en W

del transformado del vector de V. A estas funciones las llamaremos Transformaciones

Lineales en espacios vectoriales. Veremos sus definiciones, su lgebra, la ventaja de

representarlas por matrices, sus caractersticas internas segn se definan de un espacio

vectorial en otro o sobre s mismo, su forma de relacionar los espacios vectoriales y deestablecer isomorfismos, cmo cambiar las matrices de representacin segn se escojan

diversas bases para los espacios vectoriales en que se definen, como optimizar la matriz

de representacin mediante diagonalizacin y bases ortogonales.

3.1.- Transformaciones Lineales: Las Transformaciones Lineales (T.L.) sern funciones o

aplicaciones definidas de un espacio vectorial Ven otro W, ambos definidos sobre unmismo cuerpoIK, pero cada uno con sus propias adicin y ponderacin vectoriales. Suaplicacin tiene la particularidad de respetar las operaciones de cada espacio vectorial,

es decir, al aplicar una T.L. a una suma de vectores se obtiene la suma de las imgenes

de esos vectores y al aplicarla a un vector ponderado se obtiene el ponderado de laimagen de ese vector. Veamos esto formalmente.

Definicin:

Consideremos dos espacios vectoriales V(IK)y W(IK). Se define una

Transformacin Lineal Tde Ven W, como una funcin T:V Wtal que v, wV; IK: 1) T(v + w) = T(v) + T(w)

2) T(v) = T(v)

Observaciones: a) Note que en toda T.L. la imagen del vector nulo de V, ser el vector nulo de

W. O sea, si T:V ..LT Wentonces T(0v) = 0w. Demustrelo Usted.

b) Las dos condiciones de las definicin (respeto de la adicin y de la

ponderacin, pueden abreviarse en una sola: Una T.L. respeta las

combinaciones lineales, de otro modo, T( =

n

1k

kkv ) = =

n

1k

kk vT )( .

El caso particular para dos vectores: T(v + w) = T(v) + T(w), es muy

ilustrativo.Ejemplos: 1.- Tanto T0: V

..LT W tal que T0(v) = 0w, vV como I: V ..LT V, con

I(v) = v,vV, funcionesNulaeIdentidadrespectivamente, son Ts. Lineales,cualesquiera sean Vy W.Demostracin: Resultan inmediatas y triviales, hgalas Usted.

2.- Sea TA: Rn

Rm funcin definida como TA(x) = A[x]

t, con AMmn,

x = (x1, x2, ...., xn)Rny [x]

t es la matriz columna asociada a x. Afirmamos

que TAes una T.L.


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2

Demostracin: SeanxeyRn,R.

Es fcil ver que: 1) TA(x + y) = A[x + y]

= A([x] + [y])

= A[x] + A[y]

= TA(x) + TA(y).

Luego, TA(x + y) = TA(x) + TA(y)

2) TA(x) =A[x]

= A([x])

= (A[x])

= TA(x).

Luego, TA(x) = TA(x).

Observacin: Veremos ms adelante, que toda T.L. definida de Rn

enR

m, se

puede identificar con (y representar por) una matriz AMmn,

que llamaremos Matriz asociada a esa T.L., o Matriz de

Transformacinpara la T.L.

Ejemplo: La T.L. F:R2 R3tal que F(x, y) = (2x y, x + y, 2x 3y)tiene

por matriz asociada a A =

32

11

12

, pues segn definicin de FA

resulta A[(x,y)] =

32

11

12

y

x =

+

y3x2

yx

yx2

, y significa que

[F(x, y)] = [(2x y, x + y, 2x 3y)]y representa, de un modo msevidente, a F(x, y) = (2x y, x + y, 2x 3y).

3.- Veamos un ejemplo no genrico.

T:P2[x] funcin

R2, tal que T(ax

2+ bx + c) = (2a c, a + b c)es T.L.

pues: 1) Parap(x) = ax2+ bx + c y q(x) = dx

2+ ex + f P2[x],

T(p(x) + q(x)) = T[(a + d)x2+ (b + e)x + (c + f)]

= [2(a + d) (c + f), (a + d) + (b + e) (c + f)]

= [(2a c) +(2d f), (a + b c) + (d + e f)]

= [(2a c), (a + b c)] + [(2d f), (d + e f)]

= T(ax2+ bx + c) + T(dx

2+ ex + f)

= T[p(x)] + T[q(x)]2) Para R y p(x) = ax

2+ bx + c P2[x],

T(p(x)) = T[(a)x2+(b)x + (c)]

= [2(a) c, a + b c]

= [(2a c), (a + b c)]

= (2a c, a + b c)

= T(ax2+ bx + c)

= T[p(x)]


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3

Teorema 3.1- La Imagen de una base define a una T.L.

Sean V(IK)y W(IK)dos espacios vectoriales. Consideremos una base ordenada

B = { }n1kk

b=

en el espacio Vy un conjunto S = { }n1kk

w=

de vectores cualesquiera

enW. Es demostrable que existe una nica transformacin lineal T, de Ven W,

tal que T(bj) = wj, para cadajvariando de 1a n.

Demostracin: SiendoB una base de V, para cualquier vector ven V, existen escalares{ }n1kk =

nicos y tales que v = =

n

1k

kkb . Para este vector v, se define T(v) = =

n

1k

kkw

que ser nico por construccin. Luego, Tes funcin de Ven W.

Note que F(v) = F( =

n

1k

kkb )= =

n

1k

kk bF )( , cuando Fsea una T. L.

Luego, la funcin Tarriba definida es un T.L. pues, por su definicin ocurre

que para cada vector de la baseB, T(bk) = wk. Luego tendramos que:

T(v) = T( =

n

1k

kkb )= T( =

n

1k

kkw )= =

n

1k

kk bT )(

Con todo lo anterior, la existencia y la unicidad se demuestran fcilmente.

Observacin: Siendo muy elemental el teorema anterior es de una importancia destacable. Nos

dice que bastar conocer las imgenes de los vectores de una base cualquiera del

espacio vectorial Ven W, para tener totalmente definida una T.L. de Ven W.

Ejemplo 1): Sea T:R3 ..LT R4tal que T(1, 0, 0) = (1, 1, 0, 1); T(0, 1, 0) = (2, 1, 1, 0) y,

por ltimo, T(0, 0, 1) = (3, 0, 0, 1).

Obtenga la imagen de (x, y, z) cualquiera de R3, segn T; T(x, y, z).

Confirme que es T.L.

Respuesta a): Sea (x, y, z)R3, luego, como conocemos las imgenes de la base cannica,

escribimos al vector como c.l. de esta base: (x, y, z) = xe1+ ye2+ ze3

Aplicando Ta nuestro vector: T(x, y, z) = T(xe1+ ye2+ ze3), y como es T.L.

tenemos que: T(x, y, z) = xT(e1) + yT(ye2) + zT(e3), y usando las imgenes

= x(1, 1, 0, 1) + y(2, 1, 1, 0) + z(3, 0, 0, 1)

= (x + 2y + 3z, x + y, y, x + z)

Luego, T(x, y, z) = (x + 2y + 3z, x + y, y, x + z).

Respuestab): Consideremos v = (x, y, z) y w = (a, b, c)R3

y R.Veremos siT(v + w) = T(v) + T(w).

T(v + w) = T(x + a, y + b, z + c)

= [x + a + 2(y + b) + 3(z + c), (x + a) + y + b, y + b, x

+ a + z + c]

= [x + 2y + 3z + a + 2b +3c, x + y a + b, y + b, x +

z + a + c]


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4

= [(x + 2y + 3z) + a + 2b +3c, (x + y) a + b, y + b, (x +

z) + a + c]

= (x + 2y + 3z, x + y, y, x + z) + (a + 2b + 3c,a + b, b, a + c)

= T(x, y, z) + T(a, b, c)

= T(v) + T(w).Luego, Tes una T.L.

Observacin: Note que T(x, y, z) = (x + 2y + 3z, x + y, y, x + z)

= x(1, 1, 0, 1) + y(2, 1, 1, 0) + z(3, 0, 0, 1), nos permite

asegurar que todas las imgenes segn T sern generadas por el conjunto de

vectores S = {(1, 1, 0, 1), (2, 1, 1, 0), (3, 0, 0, 1)}que rene a las imgenes dela base segn T. Luego podemos decir que rec T = . Ms an, se ve que Ses

l.i., luego Sser una base de rec T.

Ejemplo 2): Hagamos algo similar pero con base no cannica.

Si F:R3 ..LT R2se define como F(1, 1, 0) = (2, 1); F(1, 0, 1) = (1, 1)y, F(0,

1, 2) = (3, 2), Obtengamos F(x, y, z)segn base cannica.

Respuesta: Escribiendo (x, y, z)R3, como c.l. deB = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 2)}, base de

R3, (x, y, z) = b1+ b2+ b3.

Se obtiene:

z2

y

x

=+

=+

=+

que por Gauss-Jordan nos entrega

[A/b] =

zy

x

210101

011

+

zyx

y

210110

101

+

yxzyx

y

100110

101

y, finalmente:[A/b]

+

+

yxz

zy2x2

zy2x

100

010

001, con lo cual resulta que:

(x, y, z) = b1+ b2+ b3 = (x + 2y z)b1+ (2x + 2y z)b2+ (z x y)b3

Si Usted duda de esto, verifquelo!

Luego, usando el teorema que estamos ejemplificando:

F(x, y, z) = F(b1+ b2+ b3) = F(b1) + F(b2) + F(b3)

= (x + 2y z)F(b1) + (2x + 2y z)F(b2) + (z x y)F(b3)

= (x + 2y z)(2, 1) + (2x + 2y z)(1, 1) + (z x y)(3, 2)

= [2(x + 2y z) + (2x + 2y z) + 3(z x y), (x + 2y z) + (2x + 2y

z) + 2(z x y)

= (x + 3y, x + 2y)

Luego, hemos llegado a que F(x, y, z) = (x + 3y, x + 2y), (x, y, z)R3

Verifique Usted que: F(1, 1, 0) = (2, 1); F(1, 0, 1) = (1, 1); F(0, 1, 2) = (3, 2)


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5

Observacin: Observe que, debido a que las T.L. respetan las operaciones de los espacios dedominio y de imgenes, se pudo usar el escalonamiento de la aumentada: [B/S]

en queBy Sse forman con las [bi/ F(bi)]:

[B|S] =

23

11

12

210

101

011

23

23

11

210

110

101

00

23

11

100

110

101

y, finalmente:[B/S]

00

23

11

100

010

001= [E/F(E)], donde cada fila entrega las

imgenes de los vectores de base cannica que usamos como en elEjercicio 1a):

F(x, y, z) = xF(e1) + yF(ye2) + zF(e3), y usando las imgenes

= x(1, 1) + y(3, 2)

Luego, hemos llegado a que F(x, y, z) = (x + 3y, x + 2y), (x, y, z)R3.

3.2.- Ncleo e Imagen de una T.L.: Para caracterizar a T:V ..LT W, son fundamentales dosconjuntos de vectores relacionados con T, el primero es subconjunto del espacio

vectorial de partida Vy el otro del espacio vectorial de llegada W. Ambos llegarn a ser

subespacios de sus respectivos espacios vectoriales y facilitarn las formas de describir

y conocer a la T.L.

Definicin:

A.- Ncleo de T: Es el subconjunto de vectores de Vcuya imagen segn Tes0W. Tambin se le llama Conjunto Nulopara T o Kernel deT. Se anotar,N(T)KerT.

ParaT:V ..LT

W, Ker T = {vV / T(v) = 0W}.B.- Imagen de T: Es el subconjunto de vectores de W que son imagen de

algn vector de V, segn T. Tambin se le llama recorridode T. Se le anotarImT recT.

Para T:V ..LT W,ImT = {wW / vV:T(v) = w}.

Teorema 3.2.1.- Ncleo e Imagen como Subespacios.

En toda T.L.T:V ..LT W, se tiene que KerT V yImT W

Demostracin: Son usos directos del teorema fundamental de

subespacios vectoriales.

A) Sean K,s ytKerT, es decir, T(s) = T(t) = 0W.

Luego, T(s + t) = T(s) + T(t), por ser T una T.L. y por

ende, T(s + t) = 0W+ 0W= 0W, resultando que el vector

s + t KerT.

Con lo que est demostrado queKerT V.

B) Intente Usted desarrollar la demostracin deImT W.


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6

Consecuencia: Al ser ambos conjuntos subespacios, se definen la nulidad de T como ladimensin del Ncleo y rango de Tcomo la dimensin de la Imagen.

Y se anotan: nulT = dim(KerT) ranT = dim(ImT).

Teorema 3.2.2.- De NulidadyRango de una T.L.

En toda T.L.T:V ..LT W, con dimVfinita, nul T + ran T = dimV.

Demostracin: SeaB = { }k1ii

b=

una base de KerT,espacio nulo de T. ExpandiendoBa una base

de V, con dimV = n, existen n k vectores en V,{ }n1kii

b+=

, de modo que el

conjuntoBV= { }n

1iib

=es una base deV.

Segn el teorema 3.1.-, el conjunto de imgenes de una base generara a ImT,luegoImT = y comoT(bi) = 0W,

i = 1,..., k tendremos queImT = .

No es difcil probar que {T(bk + 1), ..., T(bn)}, vemoslo:

Supongamos que tenemos n kescalares jtales que +=

n

1kj

jj bT )( = 0W.

Como T es T.L., se tiene que:

+=

n

1kj

jjbT = 0W, en consecuencia, +=

n

1kj

jjb es

un vector de KerTy se escribe como c.l. de su baseB ={ }k1ii

b=

.

Luego, resulta que +=

n

1kj

jjb =

k

1j

jjb , con lo cual =

k

1j

jjb +=

n

1kj

jjb = 0V.

Y comoBV= { }n

1iib = es base de V, entonces j= 0yj= 0, j = 1, ..., n.Luego, {T(bk + 1), ..., T(bn)} es base de ImT y ranT = n k, con lo cual est

demostrado que nulT + ranT = dimV.

Ejemplo: Para T:R3 ..LT R4 tal que T(1, 1, 1) = (0, 3, 0, 6); T(1, 1, 0) = (0, 2, 1, 2)y

T(1, 0, 0) = (0, 1, 0, 2), obtenga bases para elNcleoy laImagende Ty verifiqueel teorema de nulidad y rango.

Respuesta: 1) Obtengamos T(x, y, z).

Recordemos que basta escalonar reducido [B/ T(B)] [E/ T(E)], con filas de

E, base cannica deR

3

:

2010

2120

6030

001

011

111

4110

0110

2010

100

010

001

T(x, y, z) = x(0, 1, 0, 2) + y(0, 1, 1, 0) + z(0, 1, 1, 4)

T(x, y, z) = (0, x + y + z, y z, 2x + 4z), x, y, zR.


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7

2) ObtengamosNcleo:T(x, y, z) = (0, x + y + z, y z, 2x + 4z) = (0, 0, 0, 0)

0z4x2

0zy

0zyx

=+

=

=++

Y luego: x = 2z; y = z, zIR.

Y entonces KerT = {( 2z, z, z), zIR} = y nulT = 1.

3) Para la Imagen de T: Considerando que ya tenemos la imagen de cualquier

vector (x, y, z) de IR3, tenemos una forma caracterstica de los vectores de

ImT.

Luego,ImT = {(0, x + y + z, y z, 2x + 4z), x,y,zIR}

=

Revisando si son l.i. l.d.:

41100110

2010

00002100

2010

, resultan l.d.

y una base para ImT sera:{(0, 1, 0, 2), (0, 1, 1, 0)},y ranT = 2.

4) Con lo anterior se verifica el teorema de nulidad y rango:

nulT + ranT = 1 + 2 = 3 = dimIR3.

3.2.3.- Teoremas Adicionales de Ncleo e Imagen:

En lo que respecta a las T.L. como funciones, el ncleo y la imagen tambin hacen

ciertos aportes:

a) Inyectividad de T: Si T:V ..LT W es tal que KerT = {0V}, entonces T esInyectiva. Se dice que define unMonomorfismo de Ven W.

Note que ranT = dimV. Slo tendremos Inyectividad cuando

dimV dimW.

b) Epiyectividad de T: Si T:V ..LT Wes tal queImT = W, entonces TesEpiyectiva.Note que en tal caso, nulT + dimW = dimV. Slo tendremos

Epiyectividadcuando dimW dimV.

c) Biyectividad de T: T:V ..LT WserBiyectivacuando seaInyectivayEpiyectiva,es decir, cuandoKerT = {0V} eImT = W.

Luego, habrBiyectividad, slo cuando dimW = dimV. Veremosque en estos casos se define unIsomorfismode Vcon W.

Note que todas las demostraciones de estas propiedades son inmediatas si se usan

adecuadamente los tres teoremas anteriores.


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3.3.- Algebra de Transformaciones Lineales: Por analoga con el espacio vectorial de lasfunciones reales, podemos asumir que las funciones de un espacio V en otro W

constituyen un espacio vectorial con la suma y la ponderacin habituales, esto es, por

imgenes de las funciones. Aqu demostraremos que el conjunto de todas lastransformaciones lineales de un espacio vectorial V en otro W, con estas operaciones

para funciones, constituye un espacio vectorial. Esto asegura la existencia de un lgebrade Ts.Ls. que se homologar con el lgebra de Matrices de un tamao adecuado a lasdimensiones de los espacios Vy W.

El conjuntoL(V,W) = {TVW/T:V ..LT W}, de todas las transformaciones linealesde Ven W, tiene las siguientes propiedades:

Teorema 3.3.1.- La familia de todas las Ts.Ls. de un espacio vectorial en otro constituye un

espacio vectorial con las habituales operaciones de funciones.

D

Demostracin:

Sean S,TL(V,W), y IK. Probaremos que S + Test en T(V,W).

(S + T)(v + w) = (S)( v + w) + T(v + w), suma de funciones.

= [S(v + w)] + T(v + w), ponderacin de funciones.

= [S(v) +S(w)] + T(v) + T(w), pues Sy Tson T.L.

=[S(v) + T(v)] + S(w) + T(w), ordenando en W.

=[(S + T)(v)] + (S + T)(w), lgebra de funciones.

Luego, S + T L(V,W), yL(V,W)es unespacio vectorial.

Observaciones: a) Es necesario tener presente queL(V,W) tiene sentido slo si V y W se

definen sobre un mismo CuerpoIK.

b) Por otro lado, la suma y la ponderacin de Ts.Ls. de V en W producenuevas Ts.Ls.

c) Note que la T.L. Nula T0(v) = 0Wser el neutro aditivo. Adems, cada T.L.

Stiene como opuesta a la T.L. Stal que (S)(v) = S(v).

d) Es, por ltimo, importante destacar que si dimV = n y dimW = m, entonces

se obtiene que dimL(V,W) = mn. Esto es clave para la identificacin entre

una T.L. de L(V,W)y una matriz de Mmxn(IR)que haremos luego con losisomorfismos.

Lo que estamos afirmando es que L(V,W) es un s.e.v. del espacio

vectorial de funciones de V en W, con las suma y ponderacin de

funciones por imgenes.


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Teorema 3.3.2.- Cuando tiene sentido, la composicin de Ts. Ls. es una nueva T.L.

Demostracin:

Consideremos s,tVy IR.

(GF)(s + t) = G(F(s + t)), por definicin de composicin,

= G(F(s) + F(t)), por serFuna T.L.

= G(F(s)) + G(F(t)), por ser Guna T.L.

= (G F) (s) + (G F)(t), definicin de composicin.

Luego, G Frespeta las combinaciones lineales Ven W.

Observaciones: 1.- Lo ms frecuente es componer Transformaciones Lineales enL(V,V) y entales casos hablaremos de Operadores Lineales en V.

2.- Note que enL(V,V)existirn GFy FG, pero no sern siempre iguales.Ejemplo:

En IR3; componga GFy FGpara F(x, y, z) = (y x, z y, x z) y

G(x, y, z) = (x + z, y + z, z). Debiese obtener que:

(GF)(x, y, z) = (y z, x y, x z) y (FG)(x, y, z) = (y x, y, x),obviamente diferentes.

De los dos teoremas anteriores se infiere que:

F, G, H y T L(V,V):

a) (G+H)

F = G

F + H

Fb) (G) F = (G F) = G (F)

c) G (F+T) = G F + G T

d) I F = F I = F, conITransformacin Lineal Identidad

3.- Ya hemos dicho que F:V ..LT Wser biyectivassi:ImF = Wy KerF = {0V}, es decir, ssi dimV = dimWy nul(F) = 0.

Luego, F:V ..LT WserInvertiblesi y slo si Fes biyectiva.Ms an, si Fes T.L. invertible, entonces F

1tambin es una T.L.

Por ltimo, si G y F son invertibles en L(V,W) y L(W,V),

respectivamente, entonces G

F ser invertible y (G

F)

1

= F

1

G

1

.4.- Recordemos que F inyectivassi KerF = {0V}y agreguemos que a Tse le

llama en este casoNo Singular.

Es demostrable que F no singular o inyectivaes el nico tipo de T.L. que

respeta la independencia lineal, es decir:

Sea T:V ..LT W. Si TesInyectivay S = {si}es conjunto l.i.en V, entonces {T(si)}es un conjunto l.i. en W.

Demostracin: tarea

Sean FL(U,V)y GL(V,W), con U,Vy Wespacios vectoriales sobreIK.Luego, la funcin GF, definida como (GF)(v) = G(F(v))es una T.L.

enL(U,W).


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Definicin:

Se dice que F:V ..LT W, define unIsomorfismode Ven Wsi y slo si Fes biyectiva.

Si existe un isomorfismode Ven W, diremos que Vy WsonIsomorfosy

se anota V W.

Observacin: es relacin de equivalencia por lo ya dicho.

Teorema 3.3.3.- Todo espacio vectorial de dimensin finita n es isomorfo con IKn.

Demostracin: Para cualquier base B = { }n1ii

b=

de V, se puede definir el

isomorfismo F:V ..LT IKn/ v = [v]B, vector coordenado devcon respecto a la baseB.

Teorema 3.3.4.- L(V,W) es isomorfo con las matrices del tipo Mmxn, si V y W son finitos.

Si V(IK) y W(IK)tienen dimV = ny dimW = m, entoncesL(V, W) Mmxn.

Demostracin: Basta notar que ambos espacios son isomorfos aIKmn

.

Observacin: Estos teoremas nos permitirn representar a todo espacio vectorial como n-uplade escalares en IK, y, por otro lado, a toda T.L. de V(IK) en W(IK), como

matrices del tipoMmxn. El lgebra de transformaciones lineales quedar reducida

al lgebra de matrices y tanto los vectores transformados por ellas como sus

imgenes podrn anotarse como coordenados segn cualquier base de sus

espacios.Ejemplo: 1.- ax

2+ bx + c, vector de P2[R] es isomorfo con (a, b, c) de R

3(R), en ambos

casos en sus bases cannicas.

2.- Consideremos F:M2 ..LT

R3 definida como ),,( uzzyyx

uz

yxF =

es

isomorfa conA =

1100

0110

0011pues comoM2es isomorfo conR

4 se tiene

que

uz

yxse transforma en (x, y, z, u)visto como columna.

Y como

1100

0110

0011

u

z

y

x

=

uz

zy

yx

, se observa que A, igual que F,

transforma

uz

yx en (x y, y z, z u). Luego, AM2 es isomorfo con

FL(M2,R3).

Todo es acio vectorial Vsobre K, con dimV = n, esIsomor oconIKn.

2 2011 apcnº10 algebra ii usach

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