1b 07 polinomios taylor

5/24/2018 1B 07 Polinomios Taylor

1/13

Tema 7

Polinomios de Taylor.

7.1 Polinomios de Taylor.

Definicion 7.1 Recibe el nombre de polinomio de Taylor de grado n para la funcion f enel punto a , denotado por Pn,a , el polinomio:

Pn,a(x) =f(a) +f(a)

1! (x a) + f

(a)2!

(x a)2 + +fn)(a)

n! (x a)n.

Como es facil ver, este polinomio verifica que sus derivadas hasta el orden n coinciden con lasderivadas de la funcion f en el punto a .

Teorema 7.2 Supongamos que fes una funcion para la cual existen f , f , . . . , fn1) en unentorno de a y existe fn)(a). Sea Pn,a(x) el polinomio de Taylor de grado n para la funcion fen el punto a , entonces:

limxa

f(x) Pn,a(x)(x a)n = 0

Nota: Este resultado nos indica que la diferencia entre f(x) y Pn,a(x) no solo se hace pequenacuando x tiende a a , sino que se hace pequena incluso en comparacion con (x a)n .

Observacion:Con lo anterior estamos expresando que los polinomios de Taylor se aproximan muy bien a lafuncion, casi puede decirse que reproducen la funcion cerca del punto. Por ello, el uso de lospolinomios de Taylor en este sentido, es uno de los metodos mas sencilos para evaluar funcionesde forma aproximada.

Es obvio, que si aumentamos el orden del polinomio se produce una mejor aproximacion,no solo porque el valor del polinomio en un punto sea mas cercano al valor real de la funcion(mejor aproximacion) sino tambien porque pueden aumentar los puntos para los cuales laaproximacion es buena. No obstante esto no es lineal, es decir, no por aumentar mucho elgrado del polinomio vamos a conseguir una buena aproximaci on en todo el dominio.

En la Figura 7.1, podemos ver un ejemplo de lo que estamos diciendo, por mucho que

aumentemos el orden de los polinomios de Taylor, P n= Pn,0 , en x= 0 la funcion f(x) = 1

x2+1no puede aproximarse para los valores de x fuera de (1, 1).

Por ello se dice que las aproximaciones de Taylor son aproximaciones locales.

7.1.1 Estudio de maximos y mnimos locales.

Proposicion 7.3 Sea funa funcion para la cual existen f , f , . . . , fn1) en un entorno delpunto a y tal que

f(a) =f(a) = =fn1)(a) = 0 y fn)(a) = 0,

entonces:

a) Si n es par y fn)(a)> 0 , f presenta un mnimo local en a .

Calculo diferencial. 77


2/13

7.2 Formula de Taylor.

-2 -1 1 2

f(x)

P0

P2

P6

P4P8

Fig. 7.1. f(x) = 11+x2

y sus polinomios de Taylor en x= 0 de grados 0,2, 4, 6 y 8. Se observa claramente que la aproximacion es buena cercade x= 0 , pero muy mala lejos de x= 0

b) Si n es par y fn)

(a)< 0 , fpresenta un maximo local en a .

c) Si n es impar y fn)(a)> 0 , f es estrictamente creciente en a .

d) Si n es impar y fn)(a)< 0 , f es estrictamente decreciente en a .

7.2 Formula de Taylor.

Formula de Taylor 7.4 Supongamos que para una funcion f existen f , f , . . . , fn+1) sobreel intervalo [a, x] , y sea Rn,a(x) definido por

Rn,a(x) =f(x)

Pn,a(x),

es decir,

f(x) =Pn,a(x) + Rn,a(x) =f(a) +f(a)

1! (x a) + + f

n)(a)

n! (x a)n + Rn,a(x)

Entonces

Rn,a(x) =fn+1)(t)

(n + 1)!(x a)n+1 para un ciertot (a, x),

llamado resto de Lagrange, o bien

Rn,a(x) =fn+1)(t)

n! (x t)n(x a)para un ciertot (a, x),que se denomina resto de Cauchy.

7.2.1 Operaciones con los polinomios de Taylor.

Propiedades 7.5 Sean f y g dos funciones y Pn,a y Qn,a los polinomios de Taylor de gradon en a respectivos. Se tiene

a) El polinomio de Taylor de grado n para f+ g en a es Pn,a+ Qn,a

b) El polinomio de Taylor de grado n para f g en a es la parte hasta grado n del polinomio

producto de Pn,a y Qn,a .



3/13

7.3 Representacion de funciones.

c) El polinomio de Taylor de gradon para f /g en a se obtiene dividiendo el polinomioPn,aentre el polinomio Qn,a , pero ordenados de la potencia menor a la potencia mayor, hastallegar al grado n en el cociente. Esto es cierto siempre que Qn,a(a)= 0 o que si los k

primeros terminos del polinomio Qn,a son cero, tambien lo sean los k primeros terminosde Pn,a

Proposicion 7.6 Si Pn,a es el polinomio de Taylor de grado n para f en a y Qn,f(a) es elpolinomio de Taylor de grado n para g en f(a) , entonces el polinomio de Taylor de grado npara g f en a se obtiene tomando la parte hasta el grado n del polinomio Qn,f(a)[Pn,a(x)] ,composicion de los de f y g .

Corolario 7.7 De la formula de Taylor se deduce que cualquier polinomio de grado n , P(x) =a0+ a1x + + anxn se puede escribir como

P(x) =P(a) +P(a)

1! (x a) + + P

n)(a)

n! (x a)n a IR,

ya que Rn,a(x) = 0 , por ser nula la derivada de orden n + 1 de un polinomio de grado n .


7.3.1 Concavidad y convexidad.

Definicion 7.8 Sea f: (a, b) IR admitiendo derivada en cada punto x (a, b) . Se dice quef esconvexa en el intervalo (a, b) si todos los puntos de la curva y = f(x) estan por debajode la recta tangente a la curva en cualquier punto x0 (a, b) .

Esta definicion geometrica se traduce analticamente de la forma siguiente:

La ecuacion de la recta tangente a la curva en cada punto x0 (a, b) es y =f(x0) + f

(x0)(x x0) luego f es convexa en (a, b) si

f(x) f(x0) + f(x0)(x x0), x, x0 (a, b)

o equivalentemente, si y solo si

f(x) f(x0) f(x0)(x x0), x, x0 (a, b)

Definicion 7.9 Sea f: (a, b) IR derivable en (a, b). Se dice que f esconcavaen (a, b) si

y solo si todos los puntos de la curva y= f(x) estan por encima de la recta tangente a la curvaen cualquier punto x0 (a, b) .

Lo que es equivalente a que f(x) f(x0) f(x0)(x x0), x, x0 (a, b).

Teorema 7.10 Sea f: (a, b) IR . Si f(x) < 0 ,x (a, b) , entonces f(x) es convexa en(a, b).

Demostracion:Sea x0 (a, b), entonces:

f(x) =f(x0

) + f(x

0)(x

x0

) +f(t)

2! (x

x0

)2 para un ciertot

(x, x0

)



4/13


Por tanto

f(x) [f(x0) + f(x0)(x x0)] = f(t)2!

(x x0)2 0luego f es convexa ya que esto se dara para todo x, x0 (a, b), y significa que todos los puntosde la curva estan por debajo de la tangente a la curva en cualquier punto x0

(a, b).

Analogamente se puede probar que si f(x) > 0,x (a, b), entonces f sera concava en(a, b), o puede usarse que f es concava f es convexa.

Por lo tanto, los intervalos de concavidad y convexidad pueden determinarse estu-diando el signo de la derivada segunda de la funcion f.

7.3.2 Puntos de inflexion.

Definicion 7.11 Seax0 un punto en el que la funcion fes continua, y supongamos que existendos intervalos (a, x0) y (x0, b) en los que f es de distinta concavidad, entonces se dice que f

presenta un punto de inflexionen x0 .

Teorema 7.12 Sif(x) existe en un entorno dex0 y es continua en x0 , entonces una condicionnecesaria para que x0 sea un punto de inflexion de f es que f

(x0) = 0 .

Demostracion:Si x0 es un punto de inflexion de f, entonces:

Si f es concava a la derecha de x0 (luego f(x)> 0 en (x0, b)), sera convexa a la

izquierda de x0 (luego f(x)< 0 en (a, x0)), y viceversa.

Como f es continua en x0 , se tiene que limx

x0

f(x) = f(x0) de donde puede concluirse que

f(x0) = 0.

Proposicion 7.13 Sea f una funcion continua en x0 . Si f(x0) = 0 o f(x0) no existe y la

funcion f(x) cambia de signo en x0 , entonces ftiene un punto de inflexion en x0 .

Como consecuencia del estudio general de maximos y mnimos, y crecimiento y decrecimientolocal, se tiene:

Proposicion 7.14

a) Si f(x0) = 0 y la primera derivada que no se anula en x0 es de orden impar, entonces ftiene un punto de inflexion en x0 .

b) Si f(x0) = 0 y la primera derivada que no se anula en x0 es de orden par, entoncesf notiene un punto de inflexion en x0 .

7.3.3 Representacion de funciones.

7.3.3.1 Funciones en forma explcita: y= f(x).

Dada una funcion y = f(x), nos proponemos hacer su estudio y representacion grafica. Paraello se deben estudiar en terminos generales los siguientes aspectos:

a) Dominio de la funcion (si es que no viene explcitamente definido) y continuidad de f.

b) Simetras (par e impar) y periodicidad.



5/13


Definicion 7.15 Una funcion f se dice par si f(x) = f(x) (f simetrica respecto aleje de ordenadas, OY).

Una funcion f se dice impar si f(x) =f(x) (f simetrica respecto al origen decoordenadas, (0, 0) ).

Definicion 7.16 Una funcion fse diceperiodicade periodoT, siT es el menor numeroreal tal que f(x + T) =f(x),x .

c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.

d) Maximos y mnimos locales y globales.

Definicion 7.17 Seaf: A IR , se dice que falcanza un maximo globalen el puntox0 A si y solo si f(x0) f(x) ,x A .Se dice que f alcanza un mnimo global en el punto x0

A si y solo f(x0)

f(x),

x A .Generalmente, al estudiar una funcion f sobre un conjunto A va a interesar conocer losvalores mas extremos que puede tomar f en la totalidad del conjunto A , es decir, elmaximo global y el mnimo global. Estos extremos globales (tambien llamados extremosabsolutos) pueden existir o no, segun sean f y A; sin embargo el teorema de Weierstrass(Th. 6.25) garantiza, bajo ciertas condiciones su existencia.

Es claro que los extremos globales han de buscarse entre los extremos locales y los posiblesvalores de fen la frontera de A .

e) Intervalos de concavidad y convexidad.

f) Puntos de inflexion.

g) Comportamiento asintotico.

Definicion 7.18 Se denomina asntotaa la curva dada por la funcion y= f(x) , a todarecta tangente a la curva en el infinito; mas precisamente, a toda recta tal que su distanciaa un punto Pde la curva que se aleje infinitamente tienda a cero.

Asntotas verticales.- Si la recta x = a es una asntota de f, la condicion necesaria ysuficiente para que ello ocurra es que lim

xa f(x) =

Por ejemplo, si es limxa f(x) = y limxa+ f(x) = + , la posicion relativa de la rectax= a y de la curva y = f(x) sera la que se observa en la Figura 7.2.

Resto de asntotas.- Cualquier recta no vertical puede escribirse de la forma y =mx+ n . Y una recta y = mx+ n sera asntota de la curva y = f(x) s i y s olo si

limx+[f(x) (mx + n)] = 0 o bien limx[f(x) (mx + n)] = 0 o ambas cosas.Se tendra que lim

x[f(x) (mx + n)] = 0 limx[f(x) mx] =n que nos permiteencontrar n (conocido m).

Para conseguir m basta tener en cuenta que, limx

f(x) mxx

= limx

n

x = 0

limxf(x)

x m= 0 limxf(x)

x =m



6/13


y=f(x)

x=a

Fig. 7.2. Asntota vertical

y=f(x)

y=mx+n

Fig. 7.3. Asntota oblicua

As pues, si m = limx+

f(x)

x es un numero real y tambien lo es n = lim

x+[f(x) mx] ,la recta y= mx + n es una asntota hacia + a la curva y= f(x).Analogamente para .Si m = 0 decimos que la asntota es horizontal, y si m= 0 diremos que la asntota esoblicua(ver Figura 7.3).

7.3.3.2 Curvas dadas en forma parametrica: x= (t), y= (t).

Dadas las ecuaciones

x= (t)

y= (t)

, a cada valor de t le corresponde un unico valor de x y de yy por lo tanto a cada valor de t le corresponde un punto del plano.

El conjunto de puntos del plano de la forma ((t), (t)) cuando t recorre un determinado

conjunto de IR forma la grafica de la curva dada por las ecuaciones x= (t)

y= (t)

. Estas ecua-

ciones se denominan ecuaciones parametricas de dicha curva y se denomina parametro alvalor t .

Puede ocurrir que la funcion x = (t) admita inversa, t = 1(x), entonces y se podraescribir como funcion de x , y = (t) = (1(x)) = f(x) y tendremos la curva representadapor una funcion en forma explcita.

En general, dada una curva en parametricas, aunque x= (t) no admita inversa para todot , si admitira inversa por trozos, luego podemos suponer que a una curva en parametricas sele puede asociar una funcion en forma explcita (por trozos).

Entonces para estudiar una curva dada en parametricas, podemos usar los resultados cono-cidos para la forma explcita.

Sea y una funcion de x dada por las ecuaciones x= (t)

y= (t)

. Supongamos que estas

funciones son derivables y que la funcionx = (t) admite inversa t = 1(x) asimismo derivable.Por tanto y= (t) =(1(x)) = ( 1)(x) =y(x), con y 1 derivables. Aplicando laregla de la cadena se obtiene:

y(x) = [1

(x)] (1

)(x) = (t)(1

)(x) =(t) 1

(t)



7/13


Del mismo modo para obtener y(x) procederemos como sigue:

y(x) = d

dx

(t)(t)

=

d

dt

(t)(t)

dt

dx=

d

dt

(t)(t)

(1)(x) =

(t)(t) (t)(t)((t)2

1

(t)

El estudio y representacion grafica de una curva plana dada en parametricas se hace de modoanalogo a como se realizo para funciones del tipo y= f(x):

a) Dominio: Seran los valores de t para los que esten definidas ambas funciones (salvo quevenga explicitado).

b) Simetras:

(i) Si ocurre que (t) =(t)

(t) = (t)

, para cada punto de la curva de coordenadas

((t), (t)), hay otro de coordenadas ((t), (t)) que corresponde al valor delparametrot . Y la curva sera simetrica respecto al eje OX.

(ii) Si ocurre que (t) = (t)(t) =(t)

, para cada punto de la curva de coordenadas ((t), (t)),

hay otro de coordenadas ((t), (t)) que corresponde al valor del parametrot .Y la curva sera simetrica respecto al eje OY.

(iii) Si ocurre que (t) = (t)

(t) = (t)

, para cada punto de la curva de coordenadas

((t), (t)), hay otro de coordenadas ((t), (t)) que corresponde al valor delparametrot . Y la curva sera simetrica respecto al origen.

(iv) Si ocurre que (t) =(t)

(t) =(

t)

, para t yt obtenemos el mismo punto del plano,

luego la curva se repite y bastara con representarla para los valores positivos (onegativos) de t .

Todo esto no recoge todos los casos, pero s los que son de facil comprobacion.

c) Periodicidad:

(i) Si ocurre que: (t + T) =(t)

(t + T) =(t)

. En este caso, basta representarla para valores

del parametro en un intervalo de la longitud del periodo T, pues luego se repite.

(ii) Si ocurre que (t + T) =(t) + K

(t + T) =(t) , entonces para cada intervalo en el eje OX

de longitud K, la curva se repite y bastara estudiarla para los valores del parametroen un intervalo de longitud T.

(iii) Si ocurre que (t + T) =(t)(t + T) =(t) + H

, entonces para cada intervalo en el eje OY

de longitud H, la curva se repite y bastara estudiarla para los valores del parametroen un intervalo de longitud T.

d) Intervalos de crecimiento y decrecimiento:

Para hacer este estudio se calcula dydx = (t)(t). A continuacion se buscan los valores del

parametro t que anulan al menos una de las derivadas (t) o (t). A estos valores losdenominamos crticos.



8/13


Si estos valores crticos son t1 < t2 < . . . < tk determinaremos el signo de dydx en los

intervalos (, t1), (t1, t2) , . . . , (tk, +). O lo que es lo mismo en los intervalos parala x,

limt(t), (t1)

,

(t1), (t2)

, . . . ,

(tk), limt+(t)

.

e) Intervalos de concavidad y convexidad.

A partir del calculo de d2y

dx2, se puede hacer un estudio de los intervalos de concavidad y de

convexidad y de los puntos de inflexion. Hay que tener en cuenta que la expresion de d2y

dx2

puede ser bastante complicada por lo que en muchas ocasiones no es rentable su calculo.

f) Asntotas:

(i) Asntotas verticales: x= a es asntota vertical si y solo si

limtt0

(t) =a

limtt0

(t) =

(ii) Asntotas horizontales: y= b es asntota horizontal si y solo si

limtt0

(t) = limtt0

(t) =b

(iii) Asntotas oblicuas: y= mx + n es asntota oblicua si y solo si

limtt0

(t) = limtt0

(t) = y

limtt0

(t)(t) =m IR, m = 0

limtt0

[(t) m(t)] =n

7.3.3.3 Curvas dadas en coordenadas polares.

Sean O un punto del plano, al que llamaremos polo, y una semirrecta, llamada eje polar, quetiene su origen en O . La posicion de un punto cualquiera P del plano se determina por dosnumeros: r y ; el primero de ellos indica la distancia del punto P al polo y el segundo elangulo formado por el eje polar y la recta OP. Los numeros r y se denominan coordenadaspolares del punto P.

Si vara entre 0 y 2 , a todo punto P distinto de O le corresponde un par, bien de-terminado, de numeros r y . El polo es el unico punto cuyo r vale 0, aunque no estadeterminado.

Veamos la relacion que existe entre las coordenadas cartesianas de un punto (x, y) y sus coor-denadas polares (r, ), suponiendo que el polo coincide con el origen del sistema de coordenadascartesianas y el eje polar coincide con el semieje de las abcisas positivas.

xEje Polar

y P=(x,y)

r

x= r cos

y= r sen

x2 + y2 =r2 = r=

x2 + y2

tg = y

x= = arctg y

x

La ecuacion de algunas curvas se ve muy simplificada si se utilizan coordenadas polares. Porejemplo, la ecuacion de la circunferencia de radio R y centro el origen de coordenadas es encoordenadas polares r= R .

No vamos a hacer un estudio exhaustivo de curvas dadas en coordenadas polares, r= f(),pero s se trata de conseguir una representacion de dichas curvas en ciertos casos sencillos, como

a) r= a , la espiral de Arqumedes.



9/13

7.4 Funciones hiperbolicas y sus inversas

b) r2 =a2 cos(2), lemniscata de Bernouilli.

c) r= a(1 + cos ), cardioide, etc.

7.4 Funciones hiperbolicas y sus inversas

Definicion 7.19 Llamamos funcion seno hiperbolicoa la funcion sh: IR IR definida porsh x=

ex ex2

Llamamos funcion coseno hiperbolico a la funcion ch: IR [1, +) definida porch x=

ex + ex

2Llamamos funcion tangente hiperbolicaa la funcion th: IR IR definida por

th x= sh x

ch x=

ex exex + ex

= 1 2e2x + 1

Las funciones hiperbolicas verifican relaciones entre ellas similares a las funciones trigronometricas

usuales, la mas importante es sin duda:

ch2 x sh2 x= 1

7.4.1 Inversas de las funciones hiperbolicas.

7.4.1.1 Funcion Argumento del seno hiperbolico

Definicion 7.20 A la funcion, definida en todo IR , inversa de y = sh(x) la denominaremosargumento del seno hiperbolicoy la denotaremos por y = argsh(x) .

Para obtenerla, basta con usar el metodo propuesto:

Si de y = sh x= ex

ex

2 pasamos a x= ey

ey

2 tendremos que despejar y para obtener suexpresion. 2x= eyey = 2xey =e2y1 por ser ey = 0, luego tenemos que (ey)22xey1 =

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3 y=s x

y=x

y=argsh(x)

Fig. 7.4. sh x y su inversaargsh x

0 de donde se obtiene que ey = 2x4x2+42 = x

x2 + 1. Pero como ey > 0 debe ser

ey =x +

x2 + 1 por lo que y= ln(x +

x2 + 1) es la funcion buscada.



10/13

7.5 Ejercicios

7.4.1.2 Argumento del coseno y tangente hiperbolicas

Las funciones ch x y th x admiten funciones inversas, que denominaremos argumento delcoseno hiperbolico, argsh x , y argumento de la tangente hiperbolica, argth x , respecti-vamente.

3 -2 -1 1 2 3

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.53 y=c x

y=x

y=argch(x)

argch: [1, ) IR+ {0}y= argch x x= ch y

y= argch(x) = ln(x +

x2 1)

argth: (1, 1) IRy= argth x x= th y

y = argth(x) =1

2ln

1 + x

1 x -3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3y=arg x

y=x

y=th(x)

Ejercicio.- Claramente las funciones hiperbolicas son derivables, encontrar el dominio dederivacion y la expresion de las funciones derivadas.

7.5 Ejercicios

7.1 Escribir el polinomio x3 2x2 + 3x + 5 en potencias de x 2.7.2 Encontrar un polinomio de grado menor o igual que 10 que verifique: P(7) = 1 , P(7) = 2,

P(7) =

3, P(7) =....= P8)(7) = 0, P9)(7) =

1, P(7) = 5. Hallar la ecuacion de la

recta tangente a la grafica de P(x) en el punto de abscisa x= 9.

7.3 Hallar el desarrollo de McLaurin (formula de Taylor en x=0) de las siguientes funciones:

a) y= sen x ;

b) y= cos x ;

c) y= ex ;

d) y= ln(1 + x);

e) y= (1 + x) .

Deducir:

1) Que sen x es un infinitesimo equivalente al infinitesimo x .



11/13

7.5 Ejercicios

2) Que 1 cos x es un infinitesimo equivalente al infinitesimo x22 .3) Que ex 1 es un infinitesimo equivalente al infinitesimo x.4) Que ln(1 + x) es un infinitesimo equivalente al infinitesimo x .

7.4 Calcular

1 + x por medio de un polinomio y evaluar el error cometido en funcion delnumero de terminos de dicho polinomio y en funcion de x . Calcular (1.1)1/2 con un errormenor que una diezmilesima (104).

7.5 Calcular 1e con un error menor que 0.01 usando el desarrollo de McLaurin de la funcionex .

7.6 Calcular para que valores de x, al evaluar sen x por x se comete un error menor que 104 .

7.7 Calcular ln0.9 con un error menor que 0.5 104 a partir del desarrollo de la funciony= ln(1 + x) .

7.8 Escribir la formula de Taylor hasta el orden 4 para las siguientes funciones:

a) f(x) = (1 + x)1 en un entorno del punto 1.

b) f(x) = ln x en un entorno del punto 1.

c) f(x) =ex en un entorno del punto1.d) f(x) = 1x(x+1) en un entorno del punto 1.

7.9 Obtener la formula de Taylor de la funcion f(x) =x3 ln x en el punto x= 1. Hallar unacota optima del error que se comete al evaluar f(1.1) con el polinomio de Taylor de f enel punto x= 1 de grado 5.

7.10 Hallar el polinomio de Taylor en el punto cero de grado n de la funcion y =a ch(x

a

) con

a >0. Expresar el resto para una aproximacion polinomica de grado par. Acotar el errorcometido al aproximar la funcion por la parabola: y = a + x

2

2a en x= a .

7.11 Hallar limx0

x sen xx(1 cos(3x)) .

7.12 Para que valores de a y de b es finito el lmite: limx0

x(1 + a cos x) b sen xx3

?

7.13 Hallar n IN tal que limx0

arctg x tg xxn

=k = 0 y finito.

7.14 Encontrar una funcion equivalente cuando x tiende a cero a la funcion:

g(x) = ex + ex 2

x2 1 y deducir que lim

x0g(x) = 0.

7.15 Encontrar a y b para que limx0

ex 1+ax1+bxx3

sea finito.

7.16 Encontrar a y b para que ln( 1+x1x) x(2+ax2)

1+bx2 sea equivalente a 8x

7

175 cuando x tiende acero.

7.17 Encontrar una funcion equivalente a la funcion f(x) =x+22x+73 32 cuando x tiende a 2.



12/13

7.5 Ejercicios

7.18 Estudiar: continuidad, derivabilidad, intervalos de crecimiento y decrecimiento, maximosy mmimos relativos, intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexion de lafuncion f, siendo:

f(x) =

1x+2 si x < 3

|x2

4| si3 x 354(x 5)2ex3 si x >3

7.19 Estudiar y representar la grafica de las funciones siguientes:

a) f(x) = |2x2 + x 3| ;

b) f(x) =

1|x21| si x 0), estudiar sus maximos y mnimos segunlos valores de n .

7.24 Dada la funcion f(x) =

ln(2x2 3x + 1), estudiar su dominio de definicion, crecimientoy decrecimiento y utilizar dichos datos para obtener una representacion grafica aproximadade la funcion.

7.25 Se considera la funcion f(x) = x ln x

x2

1

definida en los intervalos (0, 1) y (1,

).

a) Probar que se pueden dar valores a f(0) y a f(1) para que la funcion sea continuaen 0 a la derecha y para que f sea continua y derivable en 1.

b) Que vale en cero la derivada a la derecha supuesto dado a f en cero el valor delapartado anterior?.

7.26 Estudiar y representar las siguientes curvas, dadas en coordenadas parametricas:

x= a cos3 ty= a sen3 t

x= 3t

1+t3

y= 3t2

1+t3

x= t2

y= t t33

7.27 Dada la funcion f(x) = arcsen x + 12(x2 + 1)

, se pide:



13/13

7.5 Ejercicios

a) Dominio de f.

b) Estudiar crecimiento y decrecimiento de f.

c) Ver que fno es derivable en x= 1. Hallar la derivada a la derecha y a la izquierdadel punto x= 1.

d) Maximos y mnimos relativos y absolutos de f.

e) Estudiar concavidad y convexidad de f.

f) Puntos de inflexion de f.

g) Asntotas de f.

h) Representacion grafica de f.

7.28 Dada la grafica de f(x), f: (0, 8) (8, 9) IR:

6 7

1 2 3 4 9

5 80

Estudiar: Intervalos de crecimiento, decrecimiento, concavidad, y convexidad; puntoscrticos y de inflexion de fsuponiendo que existe f(x) donde existe f(x). Representargraficamente f(x), sabiendo que f(x)> 0, si x (0, 9) y f continua en (0, 9).


1b 07 polinomios taylor

Documents