CALCULO DE UNAESTRUCTURA POR METOOOS

FOTOELASTICOS.

Dirigido porFELlX ESCRIG. Dr. Arquitecto.

Realizado porIGNACIO CAPITAN CARMONAPUBLlO FDEZ. DE HEREDIA MONTEROUBALDO GARCIA TORRENTEFRANCISCO MADRID FERNANDEZEstudiantes de sexto curso de Arquitectura .

Efectos de la marquesina, debidos a pesopropio, viento y nieve en su combinaciónmás desfavorable.

P1=151'3Ton

P2 = 182'7 Ton

05

2 6.5

175

FIG. 2

Q p111 I 11 111 1 1 11 11 I 1 I

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1I I

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1

1 6.5 ! 6.5 9.5

7

10

1. DEFINICION DEL PROBLEMA.

La estructura que proponemos está desti­nada a sustentar un graderío para un campode fútbol y consta de los siguientes elemen­tos estructurales. (Fig. 1).

al 16 lajas de hormigón, separadas 8,40 m.entre ejes, cuyo análisis y cálculo es el

objetivo de este trabajo. Dichas lajas secomponen de dos elementos, uno triangu­lar y otro trapezoidal con una perforación,separadas por un pasadizo de acceso.

Nuestro análisis, en este caso, se reduciráal cálculo de la pieza trapezoidal perforada.

b) Escaleras de acceso en hormigón.

e) Pasarelas de distribución en hormigón.

d) Gradas formadas por vigas cajón prefabri­cadas.

el Cercha para la marquesina que transmiteacc iones importantes sobre la estructura acalcular.

f) Arriostramientos transversales.

2. PLANTEAMIENTO DE CALCULO.

A efectos del cálculo que sigue, las accio­nes consideradas serán las representadas enla f ig . 2 .

Concargas y sobrecargas del graderío.

q=9'6T/m

3. METODO DE CALCULO.

Puesto que estamos en un caso de ten­sión plana la integración de la función deAiry con las cond iciones de contorno quetenemos proporciona la solución completa.Pero el método es inviable en un caso com­plejo como el nuestro y debemos buscar pro­cedimientos alternativos.

30

31

FIG.4

:A(po lariz .)1'.q¡

'.\

\

Al introducir un material fotoelástico ten­sionado desviaremos el plano inicial 1 en losplanos perpendiculares 2 según a 1 y a 2que, al llegar al «analizador», tendrán unacomponente en su dirección de polarización,tal como indica 3, igual y de sentido contrario.

En este caso también se habrá producidola extinción de la luz (Fig. 4).

- -_.... ,.= di ';'

II

J ~ .lQWc(3U\Il( ! A seI\c( C01t(

Pero el efecto fotoelástico no se reduce aesto. La velocidad con que la luz atraviesa uncuerpo depende de sus características y desu estado tensional. Así las componentes se­gún los planos de las direcciones principalessufrirán un retraso relativo d(vl - v2) donded es la longitud de onda de la luz en el inte­rior del material descargado y vl y v2 sus

Optamos por el método fotoelástico pormedio del análisis de un modelo reducidoconstruído con materiales transparentes.

En lo que sigue vamos a tratar de los fun­damentos y la aplicación de este método alcálculo de nuestra estructura.

4 . DESCRIPCION DEL METODO

Como es bien conocido, el método fotoe­lástico aprovecha la propiedad que tienen losmateriales transparentes para descompone­run haz de luz polarizada en un plano arbitra­rio en dos planos perpendiculares, según lasdirecciones en cada punto de las tensionesprincipales del material atravesado.

Luz polarizada es aquella que contiene lamayor parte de las ondas luminosas vibrandoen un plano determinado.

Imaginemos un dispositivo como el «A»de la fig. 3 que deje pasar únicamente la luzdel foco luminoso en planos paralelos a larendija (plano del polarizador). En la prácticaesto se consigue mediente láminas de «Pola­roid» sobre un .mecanismo que nos permitagirarlas en la dirección prevista.

Si a este dispositivo «A» le añadimos otro«8» (analizador), formado también por unalámina de Polaroid pero con el plano de pola­rización cruzado perpendicularmente habre­mos conseguido la extinción total de la luz.

32

velocidades según las direcciones principa­les. Puesto que (v1 - v2) es proporcional a(o 1 - o 2) el retraso b será

b=Cd(01- o2) (1)

C es constante para cada material a determi­nada temperatura y se llama «coeficienteoptico de tensión».

Las componentes de estos planos de ten­sión que recogemos en el analizador no seanularán en general y nos interesa conocerpara qué casos particulares ésto ocurre.

Veamos paso a paso el proceso.

La onda inicial polarizada en el plano OPpuede definirse por Up = a cos w t

donde Up es el desplazamiento de la onda enun tiempo t y w = 2rrvo/"A o. con vo v ): ovelocidad y longitud de onda de la luz en elaire.

Al entrar en el modelo la luz se descom­pone .en las direcciones 01 y.02 y .las expre­siones de los desplazamientos son:

U 1 = a cos a: . COS W t

U2 = a sen a: . cOSW t

Al abandonar el modelo. de espesor h,puesto que las direcciones 1 y 2 están some­tidas a distinta tensión también influ irán dis­tintamente en la velocidad de propagación.

U'1 = a coscecos cc [t - h/v 1]

U:z = a sena:cos w [t - h/v2]

Las componentes de estas ondas parale­las al analizador serán,UA =- U1 sen o: +U2 cos cc

UA =-a sena:coscx:[cos w (t-h/v1)­

- cos w (t - h/v2)]

que, mediante transformaciones trigonomé­tricas, puede ponerse en la forma

UA = a sen 2a: sen w (h/2v1 - h/2v2)

senw(t-h/2v1-h/2v2)

El factor sen w (t - h/2v1 - h/2 v2)representa una función armónica del tiempocuya amplitud es

a sen 2 ex: sen w (h/2v1 - h/2v2)

Así podemos ver que hay dos condicionespara la extinción de la luz emergente.

a) Puntos de donde ex = O ó rr /2, es decirdonde o 1 y o 2 están alineadas con los

planos del polarizador y analizador o vice­versa.

Al lugar geométrico de estos puntos lollamamos «lsoclina» correspondiente a unadeterminada inclinación de las tensionespr incipales. precisamente la que coincidecon la definida por el polarizador y analizador.

b] Puntos en donde

2(rrVo/"Ao)(h/2v1 - h/2v2) = O ó irr

(i = 1,2... . )

o lo que es lo mismo

(n h/"A oHvo/v1 - vo/v2) = O ó in

(i = 1,2, ... )

así definimos ve/vi. vO/v2 como índicesde refracción 111, Jl2' h (Jl1 - Jl2) es ladiferencia ti de las longitudes de onda en­tre las dos componentes de la vibración.Luego b = O ó i ~ o (i = 1, 2, . . . )

La extinción ocurre cuando

ti = Cd (0 1 -a 2 ) = O ó i Xo (i=1,2... . )

según (1)

f (a 1 - a 2) = O ó i ' (i = 1,2• .. . )

donde f es la «constante óptica de esfuer­zos» f = Cd/X o

A las líneas que unan puntos de

f(01- o2)=0,1.2, . ..

se las llama «isocromas» de orden O, 1, 2,respectivamente y es evidente que cada unade estas líneas une puntos en que la diferen­cia de tensiones principales tiene valores O.1/f, 2/f.. .

Estas líneas son independientes de la po­sición que tengan el polarizador y analizadorcruzados perpendicularmente, lo cual noshace pensar que, si consiguiéramos hacergirar este dispositivo a gran velocidad, po­drjarnos hacer desaparecer las «isoclinas» ydejar vistas exclusivamente las «isocrornas»,Al mecanismo que las elimina se le llama de«luz polarizada circulan) y en la práctica seconsigue mediante un procedimiento mássencillo que el descrito.

Consiste éste en situar a la salida del po­larizador y a la entrada del analizador sendoscristales polarizadores con su plano de pola­rización inclinado 45° con respecto a los an­teriores. A estos cristales se les llama «encuarto de onda» y tienen la misión de alabear

33

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r

FIG.5

en espiral el plano de polarización, como in­dica la fig. 5, imprimiéndole un poso de hél i­ce en un periodo completo. En este caso yano existe un plano definido de po larización yla condición «a» que vimos para que se pro ­dujera exti nción, ya no se da. Todos los pun ­tos en que se produce oscurecimiento sondebidos a la condición «b» y pertenecen alíneas isocromas. Esto puede demostrarseanalíticamente aunque en este trabajo noprofundizamos en ello.

El método fotoelástico proporciona puestanto las direcciones principales en cadapunto de un modelo transparente cargado.

En la práctica se presentan complicacio­nes para la determinación del valor «i» o nú­mero de franja y la identificación de cadadirección principal. Pero esto forma parte deuna técnica que tiene solución a ello.

En la bibliografía se indican los mejorestextos que pueden consultarse para profun­dizar en el tema.

5. ANALlSIS DIMENSIONAL.Como es necesario trabajar a escala redu­

cida habrá que establecer unas relacionesentre los parámetros del prototipo con losdel modelo, llamadas factores de escala.

Los cambios de escala afectarán a laslongitudes, a las solicitaciones y a las carac­terísticas del material. Para cada una de ellasdeterminaremos el correspondiente factor deescala , conocida su expresión dimensional.- En cuanto a longitudes

Lp = AL Lm- En cuanto a fuerzas

Fp=AFFm

34

- En cuanto a tensiones, como su 'expresióndimensional es ¿¡ = [F L-2] el factor de esca­la será op = A F t.. f ¿¡ m

Fp' Lp' ¿¡ p son magnitudes de fuerza longi­tud y tensión en el prototipo.

y Fm, Lm, ¿¡ m magnitudes equivalentesen el modelo.

Es de observar que las características adi­mensionales del material, como por ejemplo,el módulo de Poisson, no son susceptibles decambiar de escala. Por tanto introducen unerror que, en este caso, no es considerable.

La escala de longitudes puede ser dife­rente en las tres componentes espaciales.Nosotros las hemos elegido iguales en el pla­no del modelo y, distinta para el espesor.Pero nuestro objetivo es el cálculo de tensio­nes y según vimos en el apartado anterior elespesor no tiene influencia en el cálculofotoelástico. Igualmente sucede con todoslos restantes parámetros como puede ser elMódulo de Elastic idad.

Nuestros factores de escala son:AF = 4350'6

t.. L = 9 6 '4

6. CONSTRUCCION DEL MODELO.Para nuestro trabajo el modelo debe ser

transparente y con buenas propiedades fo­toelásticas, fundamentalmente un alto coefi­ciente óptico de tensiones. Ello nos dará unagran cantidad de líneas isocromáticas en be­neficio de la precisión de cálculo. El Makro­Ion (de la gama de los policarbonatos) es unmaterial excelente y, cortado cuidadosamen­te, no tiene tensiones residuales.

..-r-...-

/'".A'

....'" I./ I

I I II I

.~ ~ -$- ~ ~ -$

176 cm

20cm

tensiones indeseables la forma de corte serála indicada en la fig. 6 Y nuestra zona de aná­lisis es la cuadriculada.

Las cargas puntuales las aplicamos conunos .cables ligados a tensores y se controlanmediante unos dinamómetros intercalados.

En la fig . 7 se ve la disposición de conjunto.

Para el cálculo de las isocromas utilizare­mos el montaje descrito con el modelo deMakrolon. Para el cálculo de las isoclinas conel modelo de Plexiglás.

FIG.6

Como vimos al hablar de los fundamentosde la fotoelasticidad, las líneas isocromas seobtienen directamente con luz polarizada cir­cular, pero las isoclinas aparecen mezcladascon las anteriores en luz polarizada plana.

Una solución para obtenerlas indepen­dientemente es utilizar un material con bajocoeficiente óptico, tanto que no llegue a di­bujar isocromas, y trabajar con luz polarizadaplana. El vidrio o el Plexiglas cumplen estapropiedad.

Para evitar que los elementos de unión almarco de carga int roduzcan en el modelo

..

El Polariscopio utilizado es el Tiedemannde 0 460 mm. del Instituto Tecnológico deCiencias de la Construcción de la Un iversi­dad de Sevilla.

7. DETERMINACION DE LASISOCLlNAS.

Montado el modelo de Plexiglás cargadoentre el polarizador y el analizador cruzadosperpendicularmente aparecerán sobre élunas áreas oscuras, lugar geométrico de lospuntos del modelo en que las direcciones delas tensiones principales coinciden con las delos cristales analizador y polarizador (isocli­nas).

35

1

3

2

4

36

5

FIG.81 ISOCLlNAS a 0°2 ISOCLlNAS a 18°3 ISOCLlNAS a 36°4 ISOCLlNAS a 54°5 ISOCLlNAS a 72°

Girando simultáneamente éstos conse­guiremos las direcciones principales en to­dos los puntos del modelo. (Fig. 8).

Las líneas tangentes a las direccionesprincipales nos darán las líneas isostáticas.(Fig.9).

Los puntos en que coinciden todas lasisoclinas son singulares y tienen indetermi­nadas sus direcciones principales.

-

FIG.9 LINEAS ISOSTATICAS y DIRECCIONES PRINCIPALES.

8. CALCULO DE LAS ISO CROMAS.

Obtenidas de la forma descrita las curvasisoclinas que nos proporcionan las direccio­nes principales, se trata ahora de conocer elvalor de la diferencia de dichas tensionesa 1 - a 2 en cada punto.

Para ello , repetimos el ensayo con el mo­delo de -Makrolon bajo jas mismas solicita- ,ciones que en el caso anterior. Al ser atrave­sado el modelo por luz polarizada circularveremos en él una serie de líneas que deter­minan el lugar geométrico de puntos que t ie­nen la misma diferencia de tensiones princi­pales. Con el uso de la luz polarizada circulareliminamos del modelo las líneas isoclinas.

El campo de giro, de los cristales en«cuarto de onda» varía entre 0° y 45°. Paraun desfase de 45°, obtenemos la máximadistorsión circular, y aparecen las llamadas lí­neas de orden de franja entero (O, 1, 2 . . .-1, -2, .. . l.

El problema fundamental estriba en cono­cer qué valor concreto corresponde a cadacurva. Para ello nos valemos de los puntossingulares, ya detectados en el modelo dePlexiglás, y que son aquellos en los que ( a 1 ­- a 2) = O. Por lo tanto, aquella curva quecontenga alguno de estos puntos singularestendrá el orden de franja cero, siendo enton-

ces los adyacentes de orden 1 y -1 respecti­vamente.

Serán de orden positivo aquellas que, gi­rando los cristales un pequeño angulo, adop­tan posiciones cada vez más lejanas del ceroy viceversa para las de orden negativo. Quesea así o al contrario, dependerá del signodel coeficiente óptico del material empleado.En nuestro caso es corno ,s,e,~~ [ndicado,

Analogamente reconoceríamos las de or­den, 2, -2, 3, -3 , etc.

Para saber si dos líneas son del mismoorden basta con girar en cualqu ier sentido elcristal de cuarto de onda. Líneas que lleguena tener puntos comunes son del mismoorden.

A continuación, si colocamos el cristal decuarto de onda en la posición relativa 22,5°aparecen las líneas de orden medio: 0:5,1,5,2,5, . . . -0,5, -1,5, -2,5, ... etc.

Con nuevas posiciones obtenemos líneasde orden intermedio hasta cubrir con unamalla suficientemente densa el modelo. (Fig.10 y 11 l.

Como el número de orden de franja esproporcional a la diferencia de tensionesprincipales el valor de ésta se obtendrá mul­tiplicando el número de orden por una cons­tante del material F, llamada «valor unitariode franja» .

37

; 1 2

3 4

38

FIGURA 10

--

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I·te!

FIG. 11 LINEAS ISOCROMAS.

s

8

o

-7.'5 - 18

no es posible determinar a 1 y a 2 por sepa­rado . Necesitamos otra ecuación que nos losrelacione en cada punto.

9. CALCULO DE LA SUMA DE TENSIO­NES PRINCIPALES.

En teoría de la elasticidad, de las ecuacio­nes de equilibrio de las tensiones y de las decompatibilidad de las deformaciones obtene­mos la ecuación de compatibilidad en ten-

11.'"

l. -:..--edentes hemos < >: . 8 _ 8 '"-"ensiones princi- _ I~

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-I'.fi

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Esta constante es conocida para cadamaterial pero es más conveniente obtenerlamediante el calibrado de una probeta corta­da de la misma plancha que el modelo. Parasu calibrado la sometemos a unos esfuerzosque generen un campo tensional conocido.Comparando las isocromas en algún puntode la probeta con la diferencia de tensionesprincipales, conocidas en él, obtenemos elfactor de proporcionalidad F.

En nuestro caso, para el Makrolon, obtu­vimos f = 10 Kp/cm 2 . (Fig. 12

Con las operaciones precobtenido la dirección de las tpales en cada punto del modcia entre sus valores. Con s

_15

FIG.12

DIFERENCIA DE TEN­SIONES PRINCIPALES

39

Si conocemos los valores de u 1 + o 2 enél podremos integrar la anterior ecuación ydeterminar u 1 + u 2 en cualquier punto delmodelo.

sión plana

(a2/ax2+a2/ay2) (ul +(2)=0

siempre que sólo actúen fuerzas en el con­torno.

En modelos complejos con complicadascondiciones de carga la integración analíticaes inabordable y debemos utilizar métodossimplificados (iterativos, gráficos o analógi­cos).

Se demuestra que una aproximación ite­rativa válida es suponer que el valor(ul + (2)0=So es

So",,1/4(S~ +S2+S3+S4),para pequeños valores de h.

Para empezar la iteración, conociendo losvalores del contorno,

So ",,1/4(SA+Sa+ SC+ S o )

y así sucesivamente en puntos intermedios.(Fig.13).

FIG.14

Ii¡ahI

B .__..QQ---J9-®-1t

eh :1e

A

El orden de las isocromas e isopacas(líneas de igual suma de tensiones principa­les) es el mismo en estos puntos.

En puntos del contorno cargados. (Fig.15).

(01 +(2)=(01 - (2)+ 2 a2y o 2 = Pcos ex

( a 1 + a 2) =( a 1 - a 2) + 2 Pcos ex

o

A

2

3 o 1

~

e

FIG.13

En el caso de contornos irregulares. (Fig.14).

So = 1/(l/ac + l/bd)[SA/l (a-e) +

+ Sa/b(b+d) + SC/c(c+a) SD/d(d+b)]

Sabemos que en cualquier punto la sumade tensiones en dos direcciones perpendicu­lares es un invariente. Por tanto

(ox+ Uy)=(ol + (2)

En puntos del contorno descargados a 2 == O Y por tanto

°1 =(01- u2)=(ul +(2)

Por aplicación de estos procedimientosobtenemos el valor de la suma de tensionesprincipales en cada uno de los puntos de unamalla regular. (Fig. 16).

10. CALCULO DE LAS TENSIONESPRINCIPALES.

Obtenidos los valores a 1 - a 2 y a 1 + u 2en cada punto, es fácil determinar por sepa­rado el valor de a 1 y a 2·

En la fig. 17 se reflejan estos valores y elángulo que forman con el sistema de ejesconsiderado.

40

- 7."'5 "

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..., _7.° Z -'..

-1+

7 . 8 '1

Este es el último paso a realizar en el pre-sente ejercicio. Para poder armar la pieza - 'H'~-_"''T'5_'"'""'''T_-''

bastaría únicamente traducir estos resulta- _ 'H Z./-::,. .5. 8

dos obtenidos sobre el modelo mediante los .•.•ycoeficientes F y L del apartado 5 para así - ~ .z/' _... . .•.# . 1.0' . ' .7L

conocer los valores de las tensiones en la _ ~ . oz/

estructura a escala real. -.... /'" _0.7.< _4.%. .2.., 0.11, ./~- - 1- - ==--I-~r---r'-'-"-t1-"....zr-

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FIG.16

SUMA DE TENSIONESPRINCIPALES

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BIBLlOGRAFIA

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Photoelasticity I & 11Wiley 1941, 47

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Experimental Stress AnalysisUniversity Press. Cambridge 1967

KUSKE & ROBERTSON

Photoelastic Stress AnalyWiley 1974

FIG.17

VALORES DE TENSIONESY ANGULOS

41