13- ángulos trigonométricos
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ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
• EL ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO SE OBTIENE GIRANDO UN RAYO ALREDEDOR DE SU ORIGEN.
SENTIDO DE GIRO HORARIO
SENTIDO DE GIRO ANTIHORARIO
OA : LADO INICIAL
)O
A
B
) θ POSITIVO
) α NEGATIVO OB : LADO FINAL
O: VÉRTICE
SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR
• SISTEMA SEXAGESIMAL (SISTEMA INGLÉS)
o1 GRADO : MINUTO : '1 SEGUNDO : "1
'o 601 = "' 601 = "o 36001 =
1vuelta= o360
EQUIVALENCIAS
En el sistema sexagesimal los ángulos se pueden expresar en grados ,minutos y segundos
oA B'C '' oA B' C''+= +Los números B y C deben ser menores de 60
RELACIONES DE CONVERSIÓN
GRADOS MINUTOS SEGUNDOS
x 60 x 60
x 3600
: 60 : 60
: 3600
<
Para convertir de grados a minutos se multiplica por 60
Para convertir de minutos a grados se divide entre 60
Para convertir de minutos a segundos se multiplica por 60
Para convertir de segundos a minutos se divide entre 60
Para convertir de grados a segundos se multiplica por 3600
Para convertir de segundos a grados se divide entre 3600
EJEMPLO : o20 36'45''θ =EXPRESAR EN GRADOS SEXAGESIMALES θ
o ' ''20 36 45θ = + +o o
o 36 4520
60 3600θ = + +
o oo 3 1
205 80
= + +
o164980
θ =CONCLUSIÓN:
RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS DE GRADOS ,MINUTOS y SEGUNDOS
NÚMERO DE GRADOS SEXAGESIMALES = S NÚMERO DE MINUTOS SEXAGESIMALES ( m ) = 60S NÚMERO DE SEGUNDOS SEXAGESIMALES ( p ) = 3600S
Al número 36 se le divide entre 60 y Al número 45 se le divide entre 3600
EJEMPLO Calcular la medida de un ángulo en el sistema sexagesimal , sabiendo que su número de minutos sexagesimales más el doble de su número de grados sexagesimales es igual a 155.
SOLUCIÓN
Sea S = número de grados sexagesimales Entonces el número de minutos sexagesimales = 60S
Dato :
155 5(31)S
62 2(31)= =
60S 2S 155+ = 62S 155=
5S
2=
El ángulo mide : 5º 4º60'
22 2
º30'= =
SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR
• SISTEMA CENTESIMAL (SISTEMA FRANCÉS)
g1 GRADO : MINUTO : m1 SEGUNDO :
s1
g m1 100= m s1 100= g s1 10000=
1vuelta= g400
EQUIVALENCIAS
En el sistema centesimal los ángulos se pueden expresar en grados ,minutos y segundos
g m sA B C g m sA B C= + +Los números B y C deben ser menores de 100
RELACIONES DE CONVERSIÓN
GRADOS MINUTOS SEGUNDOS
x 100 x 100
x 10 000
: 100 : 100
: 10 000
<
<
Para convertir de grados a minutos se multiplica por 100
Para convertir de minutos a grados se divide entre 100
Para convertir de minutos a segundos se multiplica por 100
Para convertir de segundos a minutos se divide entre 100
Para convertir de grados a segundos se multiplica por 10000
Para convertir de segundos a grados se divide entre 10000
RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS DE GRADOS ,MINUTOS y SEGUNDOS
NÚMERO DE GRADOS CENTESIMALES = C NÚMERO DE MINUTOS CENTESIMALES ( n ) = 100C NÚMERO DE SEGUNDOS CENTESIMALES ( q ) = 10 000C
RELACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS SEXAGESIMAL Y CENTESIMAL
gO 109 = m' 5027 = s" 25081 =
GRADOS MINUTOS SEGUNDOS
109CS
=5027nm
=25081qp
=
SABEMOS QUE SIMPLIFICANDO SE OBTIENE
g180º 200=
g9º 10=
SABES QUE :
g9(1º ) 10(1 )=' m9(60 ) 10(100 )=
g9º 10=
' m27 50=
SABES QUE : g9º 10=g9(1º ) 10(1 )=
'' S9(3600 ) 10(10000 )='' s81 250=
SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR
• SISTEMA RADIAL (SISTEMA CIRCULAR)
UN RADIÁN ES LA MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL QUE SUBTIENDE EN CUALQUIER CIRCUNFERENCIA UN ARCO DE LONGITUD IGUAL AL RADIO.
.. 1rad
1vuelta 2 rad= π
o ' ''1rad 57 17 45=
R
R
R )
EN ESTE SISTEMA LA UNIDAD DE MEDIDA ES EL RADIÁN.
RELACIÓN ENTRE LOS TRES SISTEMAS
0 g180 200 rad= = πESTA RELACIÓN SE USA PARA CONVERTIR DE UN SISTEMA A OTRO.
EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR A RADIANES 0A) 54θ =
O54o
rad180π⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠
=3rad
10π
gB) 125φ =
g
rad200π⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠
=5rad
8πg125
EJEMPLOS
SABES QUE EL ÁNGULO DE UNA VUELTA MIDE : SIMPLIFICANDO SE OBTIENE :
g360º 400 2 rad= = π
EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR AL SISTEMA SEXAGESIMAL
A)2rad
3π ...........
o2(180 )3
= o120
gB)70 ................. g70o
g
910⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
= o63
EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR AL SISTEMA CENTESIMAL
A)3rad
4π
........... g3(200 )
4= g150
oB)27 ................ o27g
o
109
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
= g30
FACTORES DE CONVERSIÓN
DE GRADOS SEXAGESIMALES A RADIANES
DE GRADOS SEXAGESIMALES A CENTESIMALES
DE GRADOS CENTESIMALES A RADIANES
DE GRADOS CENTESIMALES A SEXAGESIMALES
DE RADIANES A GRADOS SEXAGESIMALES
DE RADIANES A GRADOS CENTESIMALES
o
rad180π
g
o
109
g
rad200π
o
g
910
orad 180π =
grad 200π =
FÓRMULA DE CONVERSIÓN
S180
= C200
= Rπ
S : NÚMERO DE GRADOS SEXAGESIMALES C : NÚMERO DE GRADOS CENTESIMALES R : NÚMERO DE RADIANES
EJEMPLO
CALCULAR EL NÚMERO DE RADIANES DE UN ÁNGULO ,SI SE CUMPLE:
8R3S 2C 37− + =
π
EN ESTE TIPO DE PROBLEMA SE DEBE USAR LA FÓRMULA DE CONVERSIÓN
SOLUCIÓN
S C R180 200
= = =π
KS k180=C k200=
R k= π
SE REEMPLAZA EN EL DATO DEL PROBLEMA 8( k)
3(180k) 2(200k) 37π
− + =π
,SIMPLIFICANDO SE OBTIENE
148k 37= 1k
4=
FINALMENTE EL NÚMERO DE RADIANES ES : R =14
⎛ ⎞π =⎜ ⎟⎝ ⎠ 4
π
S k9=C k10=
R0k2π
=
NOTA : LA FÓRMULA DE CONVERSIÓN EN ALGUNOS CASOS CONVIENE EXPRESARLA DE LA SIGUIENTE MANERA
S9= C10
= 20Rπ
OTRAS RELACIONES IMPORTANTES
* ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS SUMAN : o g90 100 rad2π
∨ ∨
* ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS SUMAN : O g180 200 rad∨ ∨ π
* EQUIVALENCIAS USUALES:
orad 603π
= orad 306π
=orad 454π
=
SISTEMA
SEXAGESIMAL
CENTESIMAL
RADIAL
COMPLEMENTO SUPLEMENTO S
C
R
90 - S 180 - S 100 - C 200 - C
R2π− Rπ −
EJERCICIOS
1. CALCULAR :
g
45º rad12E
50 33º
π+
=−
SOLUCIÓN Para resolver este ejercicio la idea es convertir cada uno de los valores dados a un solo sistema ,elegimos el SISTEMA SEXAGESIMAL
rad12π
=180º12
=15º g50; 45º
Reemplazamos en E
45º 15ºE
45º 33º+
= =−
60º12º
= 5
g
9º( )10
=
2. El número de grados sexagesimales de un ángulo más el triple de su número de grados centesimales es 78, calcular su número de radianes
SOLUCIÓN Sea S = número de grados sexagesimales
C = número de grados centesimales Sabes que : S C
9 10= = K y
Dato : S + 3C = 78
S = 9K C = 10K
9K + 3( 10K ) = 78 39K = 78 K = 2 El número de radianes es :
kR
20π
=2
R20π
= =10π
3. Determinar si es verdadero o falso
A ) rad 180π =B ) El complemento de es g30 g70
C ) g g
24º 2º36 3
=
D ) radπ
Los ángulos interiores de un triángulo suman
E ) 180ºπ =
F ) g1º 1>
G ) El número de grados sexagesimales de un ángulo es igual al 90% de su número de grados centesimales
