12 tipos de movimiento

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  • TIPOS Y ESTUDIO DE LOS PRINCIPALES MOVIMIENTOS (CINEMTICA)Unidad 12

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    Contenidos (1)1.-Definicin de Cinemtica.2.-Clasificacin de los movimientos:3.-Movimiento rectilneo uniforme.4.- Movimiento rectilneo uniformemente acelerado. Cada libre.5.-Composicin de movimientos:5.1.Dos movimientos MRU perpendiculares.5.2.Tiro horizontal.5.3.Tiro oblicuo.

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    Contenidos (2)6.-Movimiento circular uniforme.7.- Movimiento circular uniformemente acelerado.

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    Definicin de CinemticaEs la ciencia que estudia el movimiento sin preocuparse de las causas que lo producen, es decir, de las fuerzas.Las nicas magnitudes que se usan son, pues, la posicin y el tiempo y las derivadas de ambas, es decir, la velocidad y la aceleracin.Para medir el espacio definiremos un sistema de referencia y el vector posicin r (r).

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    Tipos de movimientosSegn sean at y an los movimientos se clasifican en: Variacin en atat = 0; v = 0, es decir, la rapidez es constante Mov. Uniforme.at = k; es decir, la rapidez vara proporcionalmente al tiempo Mov. Uniformemente acelerado.at k; es decir, la rapidez no es directamente proporcional al tiempo Mov. Variado.

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    Tipos de movimientos (cont.)Variacin en anan = 0 (porque R= ); no hay variacin en la trayectoria Mov. Rectilneo.an 0 y R = k; la trayectoria es circular Mov. Circular.an 0 y R k ; la trayectoria cambia continuamente de radio Mov. Curvilneo.

  • Movimiento Rectilneo UniformeM.R.U. Se cumple que a = 0 at = 0 an = 0

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    Ecuacin del movimiento.Si a = dv/dt = 0, significa que v es constante y no depende del tiempo (no cambia ni el mdulo ni la direccin), ya que slo la derivada de una constante da 0.dv = a dt. Integrando: v = dv = a dt = kEjemplo: Sea v = 3 i m/s a = 0Para obtener la posicin se vuelve a integrar: r = dr = v dt = v t + r0 Ecuacin (r0 = constante) vectorialEjemplo: Sea r = (3 i) m/s dt = = (3 t + k) i m

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    Ejercicio: Sea un movimiento cuya ecuacin de velocidad es: v = (3 i + 4 j 6 k) m/s. Determinar la ecuacin vectorial de la posicin suponiendo que para t = 0 su posicin es r0 = (2 i + k) m, cul ser su posicin en el instante t = 2 s?r = dr = v dt = v t + r0 = = [(3 i + 4 j 6 k) t + (2 i + k)] m r = [(3 t + 2) i + 4 t j + (6 t + 1) k] mr (t = 2 s) = [(3 2 + 2) i + 4 2 j + (6 2 + 1) k] m = (8 i + 8 j 11 k) m r (t = 2 s) = (8 i + 8 j 11 k) m

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    Ecuacin escalar del movimiento.Como el movimiento es rectilneo, lo ms sencillo es situarlo en el eje de las x con lo que: v = vx i = k i r = x i = (x0 + vx t) iEliminando i de ambas miembros de las ecuaciones nos queda:vx = k ; x = x0 + vx tque se les denomina ecuaciones escalares.

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    Ecuaciones escalares del MRU en tres dimensiones.Si no est situado en el eje xv = vx i + vy j + vz ken donde vx, vy, vz son tres constantes.Entonces r = x i + y j + z k = = (x0 + vx t) i + (y0 + vy t) j + (z0 + vz t) k Y las ecuaciones escalares quedaran:vx = k1 ; x = x0 + vx tvy = k2 ; y = y0 + vy tvz = k3 ; z = z0 + vz t

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    Ejercicio: Escribir las ecuaciones escalares del movimiento anterior cuya ecuacin de velocidad era: v = (3 i + 4 j 6 k) m/s, y su posicin inicial vena determinada por r0 = (2 i + k) m.Ecuaciones escalaresde velocidadde posicinvx = 3 m/s ; x = (2 + 3 t) mvy = 4 m/s ; y = 4 t mVz = 6 m/s ; z = (1 6 t) m

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    Representacin grfica x/t. Al representar x frente a t se obtiene una recta cuya pendiente es v (v = tg ) y la ordenada en el origen es x0.

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    Representacin grfica v/t Al representar v frente a t se obtiene una recta horizontal ya v es constante y no vara con t.

  • Movimiento Rectilneo Uniformemente aceleradoM.R.U.A Se cumple que a = k ut at = k = a an = 0Como la direccin no vara ut puede coincidir con cualquier vector unitario i, j o k.

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    Ecuaciones del movimiento. MRUAa = dv/dt = ax i significa que la v vara con el tiempo siempre al mismo ritmo.dv = a dt. Integrando: v = dv = a dt = a t + v0 (v0 = constante)v = a t + v0 Para obtener la posicin se vuelve a integrar:r = dr = v dt = (a t + v0) dtr = a t2 + v0 t + r0 (r0 = constante) Si el movimiento transcurre a lo largo del eje x la ecuacin vectorial se expresar como: r = x i = ( ax t2 + v0x t + x0) i

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    Ejemplo: Sea un el movimiento definido por las siguientes constantes a = (5 i) m/s2 y v0 = 3 i m/s r0 = 4 i m. Determina las ecuaciones vectoriales de la velocidad y de la posicin.

    v = a dt = (5 i) m/s2 dtv = (5 m/s2 t + 3 m/s) i r = v dt = (5 m/s2 t + 3 m/s) i dtr = (5/2 m/s2 t2 + 3 m/s t + 4 m) i

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    Ejercicio: Sea un movimiento cuya ecuacin de velocidad es: v = (4 t +2 ) j m/s. Determinar la ecuacin vectorial de la aceleracin y de la posicin. Suponiendo que para t = 0 su posicin es r0 = 3 j m, cul ser su posicin en el instante t = 2 s?a = dv/dt = 4 j m/s2r = dr = v dt = (4 t + 2 ) j dt = = ( 4 t2 + 2 t + 3) j m r = (2 t2 + 2 t + 3) j m r (t = 2 s) = [2 (2)2 + 2 2 + 3] j m = = (8 + 4 + 3) j m r (t = 2 s) = 15 j m

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    Ecuaciones escalar del movimiento.Como el movimiento es rectilneo, lo situaremos en uno de los ejes, por ejemplo el x con lo que: v = vx i = a t + v0 = (ax t + v0x) i r = x i = (x0 + v0x t + ax t2 ) iEliminando el vector unitario i quedan las ecuaciones escalares: vx = ax t + v0x ; x = x0 + v0x t + ax t2Si el movimiento sucede en el eje y vertical (cada libre) y tomando g = 98 m/s2, ay = g (sentido hacia abajo) y las ecuaciones sern: vy = v0y g t ; y = y0 + v0y t g t2

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    Ecuacin vx = f(x).Despejando t en la ecuacin vx = ax t + v0x : vx vox t = axy sustituyendo en x = x0 + v0x t + ax t2 vx vox 1 (vx vox)2 x = x0 + v0x + ax ax 2 ax22 ax( x x0) = 2 vxvox 2 vox2 + vx2 + vox2 2 vxvox Despejando vx: vx2 = vox2 + 2 ax( x x0)

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    Ejercicio: Sea el movimiento anterior cuya ecuacionesdel movimiento eran: a = 4 j m/s2; v = (4 t +2 ) j m/s;r = (2 t2 + 2 t + 3) j m. Determinar sus ecuaciones escalares.vy = ay t + v0y ; y = y0 + v0y t + ay t2Comparando con la ecuacin general observamos que las constantes del movimiento son: ay = 4 m/s2 ; v0y = 2 m/s; y0 = 3 mY las ecuaciones escalares:ay = 4 m/s2vy = (4 t + 2) m/sy = (3 + 2 t + 2 t2) m

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    Representacin grfica a/tAl representar a frente a t se obtiene una recta horizontal ya a es constante y no vara con t.

    aX (m/s2)ax = kt(s)

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    Representacin grfica v/tAl representar v frente a t se obtiene una recta cuya pendiente es ax (ax = tg ) y la ordenada en el origen es v0x.

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    Representacin grfica x/t Al representar x frente a t se obtiene una parbola cuya pendiente v vara con el tiempo y que vale 0 cuando el movimiento cambia de sentido (v = tg ) y la ordenada en el origen es x0.

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    Ejercicio: Representar las grficas ay/t, vy/t, y/t del movimiento anterior cuyas ecuaciones eran: a = 4 j m/s2;v = (4 t +2 ) j m/s; r = ( 4 t2 + 2 t + 3) j m .26101418tg = (12m/s)/3 s = 4 m/s2

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    Ejercicio: Representar las grficas a/t, v/t, y/t del movimiento anterior cuyas ecuaciones eran: a = 4 j m/s2;v = (4 t +2 ) j m/s; r = (2 t2 + 2 t + 3) j m .37152743

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    Composicin de movimientosSe basan en dos principios:P. de Independencia: Cuando un mvil tiene dos movimientos simultneos, su cambio de posicin es independiente de considerarlos simultneos o sucesivos. P. de superposicin: La posicin, velocidad y aceleracin vienen dados por la sumas vectorial de los movimientos parciales.Si los movimientos transcurren en ejes distintos, se pueden considerar independientes. El tiempo es la nica magnitud comn para ambos.

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    Composicin de dos movimientos uniformes perpendiculares.La ecuacin de velocidad ser: v = vx i + vy j , siendo vx y vy constantes.La ecuacin de la posicin ser: r = x i + y j = (x0 + vx t) i + (y0 + vy t) j En la prctica se tienen dos ecuaciones independientes con el tiempo comn:vx = k ; vy = k ; x = x0 + vx t ; y = y0 + vy tDespejando t en una ecuacin y sustituyendo en la otra se obtiene la ecuacin de la trayectoria: vy y = y0 + (x x0) Ec. de una recta vx

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    Ejemplo: Se desea cruzar un ro de 50 m de ancho con una barca llevando un velocidad de 5 m/s. Que direccin deber tomar para cruzar justo enfrente si la velocidad del agua es de 3 m/s y qu tiempo tardar en conseguirlo?Ecuaciones escalares de velocidad:Vx= 5 m/s cos 3 m/s ; Vy= 5 m/s sen

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    Ejemplo: Se desea cruzar un ro de 50 m de ancho con una barca llevando un velocidad de 5 m/s. Que direccin deber tomar para cruzar justo enfrente si la velocidad del agua es de 3 m/s y qu tiempo tardar en conseguirlo?Ecuaciones escalares de posicin:x = (5 m/s cos 3 m/s) tPara cruzar justo enfrente x = 00 = 5 m/s cos 3 m/s cos = 3/5 =arc cos 3/5 = 5313 y = 5 m/s sen t = 5 m/s 0,8 t Para y = 50 m; 50 m = 4 m/s t t = 12,5 s

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    Tiro parablicoEs una composicin de dos movimientos: un MRU en el eje horizontal (de las x) y un MRUA (cada libre) en el eje vertical (de las y).Ecuaciones del movimiento:a = g j ; v = v0x i + (v0y g t) j r = (x0 + v0x t) i + (y0 + v0y t g t2) j v0x = v0 cos ; v0y = v0 sen Normalmente tomaremos x0 = 0 e y0 = h con lo que:v = v0 cos i + (v0 sen g t) j r = v0cos t i + (h + v0sen t g t2) j

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    Tiro parablico (continuacin).Ecuaciones escalares (paramtricas): vx = v0 cos ; vy = v0 sen g t x = v0 cos t; y = h + v0 sen t g t2Ecuacin de la trayectoria (se obtiene eliminando t en las ecuaciones de posicin): x x g x2 t = y = h + v0 sen v0 cos v0 cos 2 (v0 cos )2 g y = h + tg x x2 (parbola) 2 (v0 cos )2

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    Tiro horizontal (se cumple que: = 0 vx = v0 ; v 0y = 0 vy = g t)Se suele llamar h a la altura inicial (y0)Ecuaciones escalares (paramtricas):vx = v0 ; vy = g t x = v0 t ;y = h g t2Ecuacin de la trayectoria: g y = h x2 2 v02Tiempo de impacto con el suelo (y = 0): 0 = h g t2 t = 2 h/g

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    Tiro horizontal (continuacin).

    Alcance (x para y = 0): x = v0 2 h/g Velocidad de impacto con el suelo: vx = v0 ; vy = g 2 h/g = 2 g h v = vx2 + vy2 ; v = v02 + 2 g h

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    Ejemplo: Una persona lanza piedras horizontalmente desde lo alto de un acantilado de 25 m de altura. Si pretende que caigan a 30 m de la base del acantilado, calcula: a) la velocidad con que debe lanzar las piedras; b) el tiempo que tardan en caer stas.a) De la ecuacin del alcance [x = v0 (2 h/g)] despejamos v0: x 30 m v0 = = = 13,28 m/s (2 h/g) (2 25 m/9,8 m/s2)b) De la ecuacin [ x = v0 t] despejamos t: x 30 m t = = = 2,26 s v0 13,28 m/s

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    Tiro oblicuo (para simplificar, vamos a suponer que se lanza desde el suelo: y0 = h = 0).Ecuaciones escalares (paramtricas): vx = v0 cos ; vy = v0 sen g t x = v0 cos t;y = v0 sen t g t2Ecuacin de la trayectoria (se obtiene eliminando t en las ecuaciones de posicin): x x g x2 t = y = v0 sen v0 cos v0 cos 2 (v0 cos )2 g y = tg x x2 2 (v0 cos )2

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    Tiro oblicuo Tiempo de impacto con el suelo (y = 0):

    0 = v0 sen t g t2 Sacando factor comn t:0 = (v0 sen g t) tCuyas soluciones son: t = 0 2 v0 sen t = g

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    Tiro oblicuo. Alcance (x para y = 0):

    Sacando factor comn x de la ecuacin de la trayectoria e igualando a 0:0 = [tg g / (v0 cos )2 x] xCuyas soluciones son: x = 0 x = 2 v02 cos2 tg /g = 2 v02 sen cos /g v02 sen 2 x = gA igualdad de velocidad de lanzamiento el valor mximo se obtendr cuando = 45

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    Tiro oblicuo. Velocidad de impacto con el suelovx = v0 cos ; vy = v0 sen g t Sustituyendo t por 2 v0 sen / g en vy que es la que vara se tendr:vy = v0 sen g ( 2 v0 sen / g) vy = v0 sen ; vx = v0 cos v = vx2 + vy2 = (v0 cos )2 + ( v0 sen )2 v = v02(cos2 + sen2 ) = v02 = v0 Es decir, siempre que se lance desde el suelo, la velocidad de cada es igual a la de lanzamiento.

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    Tiro oblicuo. Altura mxima (y para vy = 0).0 = v0 sen g tDe donde t = v0 sen / g (observa que es justo la mitad que el tiempo de impacto con el suelo)Sustituyendo t por v0 sen / g en la ecuacin de posicin y y = v0sen (v0sen /g) g(v0sen / g)2== v02 sen2 / g (v02 sen2 / g) v02 sen2 y = 2 g

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    Ejemplo: Un futbolista chuta hacia puerta con una velocidad de 15 m/s. Calcula: a) el alcance para un ngulo de tiro de 30, 45 y 60 ; b) el tiempo que el baln permanece en el aire en cada tiro; c) la altura mxima en cada caso.a) v02 sen 2(15 m/s)2 sen 60 x(= 30) = = = 19,9 m g9,8 m/s2 v02 sen 2(15 m/s)2 sen 90 x(= 45) = = = 23,0 m g9,8 m/s2 v02 sen 2 (15 m/s)2 sen 120 x(= 60) = = = 19,9 m g9,8 m/s2b) 2 v0 sen 2 15 m/s sen 30 t (= 30) = = = 1,53 s g 9,8 m/s2Anlogamente t (= 45) = 2,16 s; t (= 60) = 2,65 s

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    Ejemplo: Un futbolista chuta hacia puerta con una velocidad de 15 m/s. Calcula: a) el alcance para un ngulo de tiro de 30, 45 y 60 ; b) el tiempo que el baln permanece en el aire en cada tiro; c) la altura mxima en cada caso.c) v02 sen2 (15 m/s)2 sen 2 30 y (= 30) = = = 2,87 m 2 g 2 9,8 m/s2 v02 sen2 (15 m/s)2 sen 2 45 y (= 45) = = = 5,74 m 2 g 2 9,8 m/s2 v02 sen2 (15 m/s)2 sen 2 60 y (= 60) = = = 8,61 m 2 g 2 9,8 m/s2

  • MOVIMIENTOS CIRCULARES

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    Movimientos circularesEl vector posicin r va cambiando continuamente de direccin y sentido pero no as su mdulo: r= R (radio)Periodo (T): Es el tiempo que tarda en dar una vuelta completa. Se mide en segundos.Frecuencia (): Es el nmero de vueltas que da por unidad de tiempo. Se mide en herzios = s1. T = 1/

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    Movimientos circulares (cont.). ngulo (): Se mide en rad. Es un vector perpendicular al plano del ngulo y sentido el del avance del tornillo.Como 1 vuelta = 360 = 2 radLa distancia recorrida (e) escalar toma el valor: e = R = R Existen otras dos magnitudes vectoriales que son la velocidad angular () y la aceleracin angular () con definiciones similares a sus correspondientes lineales.

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    Movimientos circulares (cont.).Velocidad angular (): = d / d tTiene la misma direccin y sentido que y se mide en rad/s.Aceleracin angular (): = d / d tTiene la misma direccin que y su mismo sentido si sta aumenta y sentido contrario si disminuye. Se mide en rad/s2.

  • Movimiento Circular UniformeM.C.U. Se cumple que a 0 at = 0 (v = cte) an = k (como v = cte R = cte)

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    Mov. Circular uniforme (MCU).Como at = at= v / t = 0 v= kLa velocidad angular es constante: = k = = 2 rad / T (s) = 2 rad Integrando: = d = d t = t + 0En la prctica utilizaremos la ecuacin escalar que es similar: = t + 0La celeridad v depende lgicamente del radio: e R v = = = R t t

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    Ejemplo: Las aspas de un molino giran con velocidad angular constante. Si dan 90 vueltas por minuto, calcula: a) la velocidad angular en radianes por segundo; b) la velocidad lineal de un punto de las aspas que se encuentra a 0,75 m del centro; c) el ngulo girado en 10 s.a) 90 vueltas min 2 rad = = 3 rad/s min 60 s vueltab) 3 rad v = R = 0,75 m = 7,1 m/s sc) 3 rad = t = 10 s = 30 rad = 15 vueltas s

  • Movimiento Circular Uniformemente aceleradoM.C.U.A Se cumple que a 0 at = k an k

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    Movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA). dv d v d (R) d at=at= = = = R = R d t d t d t d tIntegrando d = d t se obtiene la ecuacin de la velocidad angular en funcin del tiempo: = t + 0Volviendo a integrar se obtiene la ecuacin del ngulo en funcin del tiempo: = t2 + 0 t + 0

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    Relacin entre ecuaciones lineales y angulares.MRUv = k (constante)Ecuacin e = f(t):e = e0 + v t

    MCU = k (constante)Ecuacin = f(t): = 0 + t

    e = Rv = R

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    Relacin entre ecuaciones lineales y angulares (cont.).MRUAa = k (constante)Ecuacin v = f(t):v = v0 + a t Ecuacin e = f(t):e = e0 + v0 t + a t2

    MCUA = k (constante)Ecuacin = f(t): = 0 + t Ecuacin = f(t): = 0 + 0 t + t2e = Rv = R at = R

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    Ejemplo: Un disco de 15 cm de radio, inicialmente en reposo, acelera uniformemente hasta alcanzar una veloci-dad angular de 5 rad/s en 1 min. Calcula: a) la aceleracin angular del disco; b) la velocidad lineal de un punto de la periferia a los 25 s de iniciarse el movimiento; c) las componentes intrnsecas de la aceleracin en un punto del borde del disco; d) el n de vueltas que da en 1 minuto.a) 5 rad/s 0 = = = 0,083 rad/s2 t 60 sb) (t = 25 s) = 0 + t = 0,083 rad/s2 25 s = 2,1 rad/s v (t = 25 s) = R = 2,1 rad/s 0,15 m = 0,31 m/s

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    Ejemplo: Un disco de 15 cm de radio, inicialmente en reposo, acelera uniformemente hasta alcanzar una veloci-dad angular de 5 rad/s en 1 min. Calcula: a) la aceleracin angular del disco; b) la velocidad lineal de un punto de la periferia a los 25 s de iniciarse el movimiento; c) las componentes intrnsecas de la aceleracin en un punto del borde del disco; d) el n de vueltas que da en 1 minuto.c) at = R = 0,083 rad/s2 0,15 m = 0,012 m/s2an= v2 /R = 2 R = 2 t2 R = (0,083 rad/s2 )2 0,15 m t2 an = 1,03 103 t2 m/s2 (an depende de t) d) (t = 1 min) = 0t + t2 = 0,083 rad/s2 (60 s)2 = 150 rad = 23,9 vueltas

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    Ejercicio: Un tiovivo se pone en marcha y tarda 5 s, durante los cuales acelera uniformemente, en adquirir los caballitos situados a 5 m del centro la velocidad de 5 m/s con la cual permanece durante todo el tiempo que dura la atraccin. Calcula las componentes intrnsecas de la aceleracin a los 2 y a los 8 segundos de iniciado el movimiento, as como los valores de sus mdulos. v 5 m/s (t = 5 s) = = = 1 rad/s R 5 m 0 1 rad/s 0 = = = 0,2 rad/s2 t 5 s (t = 2 s) = 0 + t = 0,2 rad/s2 2 s = 0,4 rad/sv (t = 2 s) = R = 0,4 rad/s 5 m = 2 m/s

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    v2 (2 m/s)2 an (t = 2 s) = = = 0,8 m/s2 R 5 mat (t = 2 s) = R = 0,2 rad/s2 5 m = 1 m/s2a (t = 2 s) = [(0,8 m/s2)2 + (1 m/s2)2] = 1,28 m/s2 v2 (5 m/s)2 an (t = 8 s) = = = 5 m/s2 R 5 mat (t = 8 s) = R = 0 rad/s2 5 m = 0 m/s2a (t = 8 s) = [(5 m/s2)2 + (0 m/s2)2] = 5 m/s2

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    Mtodo prctico de integracin de polinomiosEjemplo:vx = 5 t3 + 4 t2 3 t + 2 = dx/dtx = dx = vx dt = 5/4 t4 + 4/3 t3 3/2 t2 + 2 t + k En general, sea y = a xn + b xn1 + ... + f x + g de forma que y = dz/dx. Se puede obtener z separando las dos diferenciales e integrando:z = dz = y dxz = (a xn + b xn1 + ... + f x + g)dxz =a xn+1/(n+1) + b xn /n + ... + fx2/2 + gx + k