11 f i movi circu
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Vista vertical del MCU
Vista horizontal del MCU
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME. Es el movimiento cuya trayecto-ria
es una circunferencia y es recorrida con rapidez constante.
Elementos:
Revolución o Vuelta. Es un recorrido a
toda la longitud de la circunferencia.
Período (T). Es el tiempo que demora una
revolución. Se mide en segundos.
Frecuencia ( f ). Es el número de
revoluciones en la unidad de tiempo.
MOVIMIENTO CIRCULAR
Eje de rotación
r o
r o
•
•
t > 0 θ
S t = 0
θ t > 0
S t = 0
La frecue ncia es el inverso del período.
f = 1 / T
La frecuencia se mide en: rev/s o ciclos/s.
Una unidad práctica es la
r.p.m = revolución / minuto
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Velocidad Angular media. Es la relación entre el ángulo descrito y el
tiempo transcurrido.
ωm = θ
t (1)
Unidades: rad / s
MOVIMIENTO CIRCULAR
Vista horizontal del MCU
Eje de rotación
r o
• t > 0 θ
S t = 0
Si el movimiento circular es continuo,
en cada revolución el ángulo descrito
es θ = 2 radianes y el tiempo
transcurrido es igual al período ( t = T ).
Entonces:
ωm = 2
T (2)
ó ωm = 2 f
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Velocidad Angular Instantánea. Es la velocidad angular en cada
instante o punto de la trayectoria del móvil. Esta velocidad se define
como la derivada
•
ωm La velocidad angular instantánea
es un vector perpendicular al
plano de rotación y de un
sentido igual al de avance de un
tornillo derecho cuando es girado
en el sentido del movimiento
circular
ω = d θ
d t
(3)
o r θ
(t)
MOVIMIENTO CIRCULAR
En el movimiento circular uniforma la velocidad angular media y la
velocidad angular instantánea son de igual módulo ( ωm = ω )
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Velocidad tangencial o lineal media. Es la relación entre el arco
descrito y el tiempo transcurrido.
Vm = S
t
(4)
Unidades: m/s, cm/s, pie/s
MOVIMIENTO CIRCULAR
Si el movimiento es continuo en
cada revolución el móvil describe
un arco S = 2 r, en un tiempo
igual al período ( t = T).
(5) Vm = 2 r
T Vm = 2 r f ó
•
La velocidad tangencial en función de la velocidad angular es:
Vm = 2
T
r Vm = ω r (6)
ωm
o r S
θ (t) Vm
Entonces:
6
Velocidad Tangencial Instantánea. Es la velocidad tangente a la curva
en cada instante o punto de la trayectoria. Esta velocidad se define
como:
V = d s
d t (7)
MOVIMIENTO CIRCULAR
La velocidad tangencial instantá-
nea cambia continuamente de
dirección con el tiempo en cada
punto de la trayectoria.
S
θ o
r
V2 V1
(t1 )
V2
(t2 )
Δ V = V2 – V1 (8) •
ds El cambio de velocidad tangen-
cial se expresa en la forma:
El sentido de ΔV es hacia el centro de la circunferencia.
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Aceleración Centrípeta. Es la relación entre el cambio de velocidad
tangencial y el tiempo transcurrido.
S
•
θ o
r
V2 V1
(t1 )
V2
(t2 )
Unidades: cm/s2, m/s2, pie/s2
Según esta definición, la aceleración
centrípeta es un vector dirigido hacia el
centro de la circunferencia.
MOVIMIENTO CIRCULAR
El módulo de la aceleración centrípeta
es: ac =
V 2
r (10)
y usando V = ω r obtenemos:
ac = ω 2 r (11)
= Δ V
Δ t
V2 - V1
t2 - t1 ac = (9)
Tarea: Obtener la Ec. (10)
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Movimiento Circular Uniformemente Variado. Es el movimiento en el
cual el módulo de la velocidad (angular y tangencial) cambia en
forma constante con el tiempo
Δ ω
Δ t (12) m =
ω 2 – ω1
t2 – t1
=
MOVIMIENTO CIRCULAR
ω2
t2
V2
θ2
ω2 ω1
Δ ω m
Según esta definición y el diagrama vectorial, la aceleración angular es
un vector paralelo al cambio de velocidad angular.
o r θ1 V1
ω1
t1 •
Aceleración angular media. Es la relación entre el cambio de
velocidad angular ( ω ) y el tiempo transcurrido ( t )
9
Si el tiempo es medido desde t1 = 0 hasta t2 = t , entonces el módulo
de la aceleración angular se puede escribir en la forma:
MOVIMIENTO CIRCULAR
m = ω2 – ω1
t
(13)
Las unidades de la aceleración angular son: rad / s2
De la ecuación (13) se obtiene la velocidad angular final:
ω2 = ω1 + m t (14)
Esta ecuación es similar a la ecuación que define la velocidad
final del movimiento rectilíneo uniformemente variado.
Comparando estas dos ecuaciones vemos que solamente hemos
cambiado los parámetros lineales ( V y am ) por los parámetros
angulares ( ω y m ).
V2 = V1 + am t
10
Por lo tanto, deducimos que las otras ecuaciones del movimiento
circular uniformemente variado (M.C.U.V) son similares a las del
M.R.U.V.
(15) ω m = ω2 + ω1
2
MOVIMIENTO CIRCULAR
Esto es:
La velocidad angular media
podemos definirla como:
El desplazamiento angular entre
los instantes t1 y t2 es:
(2 – 1 ) = ω m ( t2 – t1 )
Si en esta ecuación usamos la velocidad angular media obtenemos:
ω2 + ω1
2
( 2 – 1 ) = ( ) ( t2 – t1 )
ω2
t2
V2
θ2 o r θ1 V1
ω1
t1
•
11
Ahora, si t1 = 0 y t2 = t entonces:
MOVIMIENTO CIRCULAR
ω2 + ω1
2
2 - 1 = ( ) t (16)
Usando la Ec. (14) en la Ec.(16) se obtienen la siguiente ecuación:
θ2 - θ1 = ω1 t + ½ m t2 (17)
Estas ecuaciones son también similares a las del M.R.U.V, pues
solamente hemos cambiado los parámetros lineales (X, V, a) por
los parámetros angulares.
2 (θ2 – θ1 ) m = (ω2 ) 2 – (ω1 )
2 (18)
Despejando “t” en la Ec.(14) y reemplazando en la Ec.(16)
obtenemos la ecuación siguiente:
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Aceleración Angular Instantánea. Es la aceleración angular en un
instante o punto determinado de la trayectoria y se define como:
MOVIMIENTO CIRCULAR
En el M.C.U.V la aceleración angular media y la aceleración
angular instantánea son iguales: m = .
= d ω
d t ó (19) =
d 2 θ
d t2
Aceleración Tangencial Instantánea. Es la aceleración debido al
cambio de módulo de la velocidad tangencial.
o r
•
at = d V
d t
(20)
Esta aceleración es un vector
tangente a la curva y se define
como la derivada
Las unidades son: cm/s2, m/s2, pie/s2
V2
ω2
V1
ω1
at
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Aceleración Lineal Total. Es la aceleración que se obtiene sumando
la aceleración centrípeta y la aceleración tangencial en un instante
determinado.
o
ω a = ac + at (21)
El módulo de la aceleración lineal total entonces es:
(22) a = ( ac ) 2 + ( at )
2
•
a at P
ac
MOVIMIENTO CIRCULAR
Donde, como ya explicamos,
anteriormente, los módulos de
las aceleraciones componentes
son:
ac = V2 / r y at = d V /dt
ó a = ( V2 / r )2 + ( d V / dt )2
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Movimiento Curvilíneo General. Es el movimiento que realiza una
partícula sobre una trayectoria curva cualquiera.
aN = V2
ρ
(23)
Donde ρ es el radio de curvatura
de la curva en un punto.
La Aceleración Tangencial es
definida como:
at = d V
d t (24)
MOVIMIENTO CURVILINEO
a aN
N
La Aceleración Normal o radial
es definida como
La aceleración total del móvil en un punto cualquiera de su trayec-
toria es igual a la suma de la Aceleración Normal y la Aceleración
Tangencial Instantáneas
T at
P
C
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Ejemplo 1. Una rueda de 60 cm de radio gira a razón de 1200 r.p.m.
Calcular: a) La velocidad angular, b) la velocidad tangencial y
c) la aceleración centrípeta de un punto en el borde de la rueda. Si
luego después la rueda es decelerada en forma constante hasta
detenerse en 25 s, calcular: d) La aceleración angular media y
e) el número de vueltas que dio hasta detenerse.
a) La velocidad angular se obtiene con:
ω = 2 f1 ω = 2 (20) ω = 40 = rad/s
b) La velocidad tangencial se obtiene con:
V = 2 r f1 V = 2 (0.60) (20) V = 24 = m/s
MOVIMIENTO CURVILINEO
Datos: r = 60 cm = 0.60 m, f1 = 1200 r.p.m = 20 rev/s, t = 25 s,
f2 = 0
Solución
.
16
c) La aceleración centrípeta se obtiene con:
ac = ω 2 r = ( 2 f1 ) 2 r ac = 4 2 (f1 )
2 r
ac = 4 2 (20) 2 (0.60) ac = m/s2
MOVIMIENTO CURVILINEO
d) La aceleración angular media se obtiene con:
m = ω2 – ω1
t
= m =
m = 2 ( 0 – 20 )
25 = rad/s2
e) El número de vueltas de obtiene con:
Usando valores
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MOVIMIENTO CURVILINEO
Ejemplo 2. Un auto toma una curva a una velocidad de 100.8 km/h,
en un punto donde el radio de curvatura es de 180 m . Calcular:
a) La velocidad angular el auto y b) su aceleración centrípeta en el
punto de la curva.
ρ c V
Solución:
Datos:
ρ = 180 m, es el radio de curvatura
V = 100.8 km/h = 28 m/s, es la
velocidad tangencial del automóvil.
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a) La velocidad angular se obtiene de:
V = ω r
ω = rad/s
28 = ω 180
b) La aceleración centrípeta o radial se obtiene con:
ac = V 2
ρ = m/s2 ac =
28 2
180
MOVIMIENTO CURVILINEO